Методические указания к выполнению практической работы по теме "Преобразование показательных и логарифмических выражений"

Содержание

                                                                                                              стр.

Пояснительная записка ……………………………………………………   3

Теоретический материал

       §1. Понятие логарифма, основные свойства логарифма                     4 - 5

       §2. Понятия десятичного и натурального логарифмов. Основное     

             логарифмическое тождество   ……………………………………... 6

Примеры решения задач по нахождению логарифмов……………............ 7

Задания для выполнения практической работы ........................................ 8-12

Контрольные вопросы ……………………………………………………   13

Литература  ………………………………………………………………… 14

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная методическая разработка предназначена для студентов первого курса специальностей  08.02.05 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», 23.02.04 «Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования (по отраслям)», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», а так же для преподавателей дисциплины «Математика»

Данное пособие содержит шесть вариантов для выполнения практической работы, необходимый теоретический материал для самостоятельного изучения студентами правил логарифмирования, а так же примеры решения задач по данной теме. В конце приводятся контрольные вопросы, для закрепления пройденного материала.  

Теоретический материал

§1. Понятие логарифма, основные свойства логарифма.

Логарифмом  положительного числа  b  по основанию a  ( a > 0,  a1) называется показатель степени, в которую нужно возвести  a, чтобы получить b .  Обозначение логарифма:                                                       П р и м е р ы :     log  81 = 4 , так как  34  = 81 ;                                                     3                              log 1/3 27 = – 3 , так как  ( 1/3 ) -3 = 33 = 27 . Основные свойства логарифмов.                                             1)   log b b = 1 ,  так как  b 1 = b . 2)   logb 1 = 0 ,  так как  b 0 = 1 . 3)  Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: log ( ab ) = log  a + log  b . 4)  Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: log ( a / b ) = log  a – log  b . 5)  Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:  log  ( b k ) = k · log  b . 6)  Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма: Два последних свойства можно объединить в одно:   7)  Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ): В частном случае при  N = a  имеем:   §2.  Понятия десятичного и натурального логарифмов. Основное                   логарифмическое тождество   Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg , т.е. log 10 N = lg N . Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2,718281828.

Основное логарифмическое тождество:

Десятичный логарифм:

lga = log₁₀a

Натуральный логарифм:

lna = log_e a, e ≈ 2,718…

Примеры решения задач по нахождению логарифмов.

Примеры.

1. Вычислить:

(3log₇2 – log₇24) : (log₇3 – log₇9).

Решение: Используя свойства логарифмов, получим

(3log₇2 – log₇24) : (log₇3 + log₇9)=(log₇2³ – log₇24) : log₇27 = log₇3^–1: log₇3³ = – log₇3 : 3log₇3 =-(1/3).

Ответ: -1/3.

2.Вычислить: 4^log₂^5+2log_0.25³.

Решение: используя свойства степени, получим

4^log₂^5+2log_0.25³=4^log₂⁵x4^2log_0.25³

 1) (2²)^log₂⁵=(2^log₂⁵)² =5²=25

2)

3) 25×1/9 = 25/9.

Ответ: 25/9.

Задания для выполнения практической работы.

ВАРИАНТ – I

1.     Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

д)

2.     Найдите x, если .

3.     Известно, что , найдите .

4.     Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

5.     Прологарифмируйте по основанию 10 (a>0, b>0)

.

ВАРИАНТ – II

1.     Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

д)

2.     Найдите x, если .

3.     Известно, что , найдите .

4.     Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

5.     Прологарифмируйте по основанию 4 (c>0, b>0)

ВАРИАНТ – III

1.     Вычислить:

а) ;

б) ;

в);

г).

д)

2.     Найдите x, если .

3.     Известно, что , найдите .

4.     Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, ,

5.     Прологарифмируйте по основанию 3 (a>0, b>0)

.

ВАРИАНТ – IV

1.     Вычислить: а) ; б) ; в); г) . д) 2.     Найдите x, если . 3.     Известно, что , найдите . 4.     Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством , , . 5.     Прологарифмируйте по основанию 2 (a>0, m>0)

ВАРИАНТ – V

1.     Вычислить:

а) ;

б) ;

в);

г).

д)

2.     Найдите x, если .

3.     Известно, что , найдите .

4.     Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, ,

5.     Прологарифмируйте по основанию 10 (a>0, c>0)

.

ВАРИАНТ – VI

1.     Вычислить:

а) ;

б) ;

в);

г) ;

д)

2.     Найдите x, если

 .

3.     Известно, что , найдите .

4.     Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

5.     Прологарифмируйте по основанию 2 (a>0, b>0, c>0)

Контрольные вопросы 

1. Понятие логарифма

2. Логарифм произведения

3. Логарифм частного

3. Понятие натурального логарифма

4. Понятие десятичного логарифма

5. Основное логарифмическое тождество

6.Логарифм степени

7. Формула перехода от одного основания к другому

Литература

1.     Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012.

2.     Башмаков М.И. Математика. Учебник, ОИЦ «Академия», 2013

3.     Березина Н.А., Максина Е.П. Математика. Учебник ИД «Риор»,  2010

4.     Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. Учебник. Издательство "Дрофа", 2010

5.     Григорьев С. Г., Иволгина С. В., Гусев В. А. Математика. Учебник. ОИЦ «Академия», 2013

6.     Пехлецкий И.Д. Математика. ОИЦ «Академия», 2014