Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» для специальности 19.02.10 «Технология продукции общественного питания» (2 курс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» для специальности 19.02.10 «Технология продукции общественного питания» (2 курс)

библиотека
материалов

Государственное автономное образовательное учреждение

Мурманской области среднего профессионального образования

«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»












Методические указания

к выполнению самостоятельных работ по дисциплине

«Математика»



для специальности

19.02.10 «Технология продукции общественного питания»





























2015 г.

Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» по специальностям среднего профессионального образования 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»

Организация-разработчик: ГАОУ МО СПО «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»


Разработчики:


Кармановская Т.В., преподаватель ГАОУ МО СПО МСК им. Н. Е.Момота




Рассмотрены и одобрены

предметно-цикловой комиссией

«Естественнонаучные дисциплины»

Председатель _______ И.А. Егорова

Протокол № _____

от «___» _______________ 2015 года.





Рецензент:

Пояснительная записка


По учебному плану в соответствии с рабочей программой на изучение дисциплины обучающимися предусмотрено 24 часа самостоятельной работы. В методические указания включены темы курса. Каждая тема включает в себя теоретический материал, краткие сведения практических заданий.

Самостоятельная работа обучающихся

Раздел

Тема

Кол-во часов

Форма работы обучающихся

1

Теория пределов

Исследование функции на непрерывность

2

Подготовка реферата

2

Неопределенный и определенный интеграл

Решение прикладных задач определенного интеграла

4

Подготовка реферата

3

Множества и отношения

Теория графов

4

Подготовка реферата

4

Множества и отношения

Отношения и свойства над ними

4

Подготовка реферата

5

Ряды

Ряды

4

Подготовка реферата

6

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

6

Подготовка реферата


Итого


24


Объем самостоятельной работы обучающихся определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) обучающихся по программам общего образования.

Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого обучающегося, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом.

Самостоятельная внеаудиторная работа по математике проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний обучающихся;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности обучающихся, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется обучающимися по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

- для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

- для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

- для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.


Требования к оформлению самостоятельных работ

Каждая тема оформляется в виде реферата, как на листах формата А 4, так и тетради в клетку. Обучающийся сам выбирает форму оформления.

Структура содержания реферата:

1. Титульный лист.

2. Содержание.

3. Используемая литература.

В каждой теме должна быть раскрыта теоретическая часть и представлены практические задания. В теоретической части должна прослеживаться последовательность излагаемого материала. Необходимые графики и рисунки изображаются карандашом и линейкой с соблюдением соответствующего масштаба. Практические задания должны быть представлены с подробным решением.



Раздел: «Теория пределов»

Тема: «Исследование функции на непрерывность»

Цель: раскрыть понятия непрерывности функции, точки разрыва, точек разрыва 1-го и 2-го рода, алгоритм исследования функции на непрерывность.

Функция hello_html_m7a3621bd.gif называется непрерывной в точке hello_html_6f52a88a.gif, если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки hello_html_6f52a88a.gif;

2) существует конечный предел hello_html_6894542b.gif

3) этот предел совпадает со значением функции в точке hello_html_6f52a88a.gif, т.е.

hello_html_1056cc3d.gif

Если функция не является непрерывной в точке hello_html_6f52a88a.gif, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки hello_html_6f52a88a.gif), то hello_html_6f52a88a.gif называется точкой разрыва функции.

Для определения типа разрыва в точке hello_html_6f52a88a.gifнаходят односторонние пределы hello_html_1c3884ac.gif и hello_html_452e91cc.gif. При этом, если оба односторонних предела конечны в точке hello_html_6f52a88a.gif, то эта точка называется точкой разрыва первого рода. Если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то точка hello_html_6f52a88a.gif называется точкой разрыва второго рода.



Раздел: «Неопределенный и определенный интеграл»

Тема: «Решение прикладных задач определенного интеграла»

Цель: привести примеры физических и технических задач, которые можно решать с помощью определенного интеграла.

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_e23adbc.gif, осью OX и прямыми hello_html_66526ca4.gif, hello_html_m6705f66c.gif (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

hello_html_m5eb633b4.gif

рис

рис

Рис. 1

Рис. 2

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: hello_html_m2d3c69ce.gif

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 2).

Чтобы получить объем тела вращения из объема hello_html_3e822076.gif тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем hello_html_m30ce0980.gif тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем hello_html_7aba67e8.gif. По формуле найдем hello_html_3e822076.gif и hello_html_m30ce0980.gif:

hello_html_13302d3.gif (ед. объема);

hello_html_m4f626cf5.gif (ед. объема);

hello_html_546d4a38.gif(ед. объема).



Раздел: «Множества и отношения»

Тема: «Теория графов»

Цель: ввести понятие графа, основные свойства графов. Теория графов.

Такая структура, как граф (в качестве синонима используется также термин “сеть”), имеет самые различные применения в математике, информатике и в смежных прикладных областях, поэтому познакомимся с основными понятиями теории графов.

Граф G = (V, Е) задается парой конечных множеств V и Е. Элементы первого множества v1, v2,..., vM называются вершинами графа (при графическом представлении им соответствуют точки). Элементы второго множества e1, e2, ..., eN называют ребрами. Каждое ребро определяется парой вершин (при графическом представлении ребро соединяет две вершины графа). Если ребра графа определяются упорядоченными парами вершин, то такой граф называют ориентированным (на чертеже при изображении ориентированного графа на каждом ребре ставят стрелку, указывающую его направление). Ориентированный граф с пятью вершинами и семью ребрами изображен на рисунке:

0

1

2

3

4

e7

e1

e2

e5

e6

e4

e3


Если две вершины соединены двумя или более ребрами, то эти ребра называют параллельными (например, ребра е4 и е5). Если начало и конец ребра совпадают, то такое ребро называется петлей (например, ребро е7). Граф без петель и параллельных ребер называется простым.

Если ребро ek определяется вершинами vi и vj (будем обозначать этот факт следующим образом: ek = (vi, vj), то говорят, что ребро ek инцидентно вершинам vi и vj. Две вершины vi и vj называются смежными, если в графе существует ребро (vi, vj).

Последовательность вершин vi1, vi2, .... vik, таких, что каждая пара (yi,(j-1), vij) при 1 < j k определяет ребро, называется маршрутом в графе G. Вершины vi1 и vik называют концевыми вершинами маршрута, все остальные входящие в него вершины - внутренними.

Маршрут, в котором все определяемые им ребра различны, называют цепью. Цепь считают замкнутой, если ее концевые вершины совпадают. Замкнутая цепь, в которой все вершины (за исключением концевых) различны, называется циклом. Незамкнутая цепь, в которой все вершины различны, носит название путь. Если в ориентированном графе существует путь из vi в vj, то говорят, что вершина vj достижима из вершины vi.

Две вершины vi и vj называют связанными в графе G, если в нем существует путь, для которого эти вершины являются концевыми. Граф G называется связным, если каждые две вершины в нем являются связанными. На рис. 1.7 изображен простой неориентированный связный граф.

Последовательность вершин v1, v5, v4, v3 , например, определяет путь, а последовательность вершин v1, v5, v4, v3, v1 - цикл. Деревом будем называть неориентированный связный граф без циклов. Лес - это любой граф без циклов. На рис. 1.8 показаны возможные деревья с пятью вершинами.

hello_html_m6d3b6783.png

Анализ приведенных здесь понятий и определений показывает, что в качестве моделей графы удобно использовать в тех случаях, когда рассматривается система каких-либо объектов, между которыми существуют определенные связи, отношения, когда изучается структура системы, возможности ее функционирования.



Раздел: «Множества и отношения»

Тема: «Отношения и свойства над ними»

Цель: раскрыть понятие отношений, свойства над отношениями.

Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения ХХ.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х хRх для хХ.

Например: 1) отношение равенства

2) отношение “кратно” на N

  1. отношение подобия треугольников

Отношение перпендикулярности не рефлексивно, т.к. отрезок не перпендикулярен сам себе.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняются условия : из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у находится в отношении R с элементом Х

hello_html_35699b20.gifНа графе это

R симметрична на Х (хRууRх)

Например, симметричными будут следующие отношения:

  • отношение параллельности на множестве прямых.

  • отношение подобия треугольников

Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R c элементом х не находится

R антисимметрично на Х <=> (хRу х уRх)

Например, антисимметричными будут следующие отношения: длиннее, больше, больше на

Отношением R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом Z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом Z.

R транзитивно на Х (хRу уRzxRz)

Например, АВ=2см., АС=3см., и ДК=4см. Отношение “меньше”.

Если АВ<АС и АС<ДК, то АВ<ДК


Раздел: «Ряды»

Тема: «Ряды»

Цель: понятие числового ряда, сходимость и расходимость числовых рядов, необходимый признак сходимости ряда, признак сравнения рядов, признак Даламбера, понятие знакочередующегося ряда, признак сходимости Лейбница, функциональные ряды, степенные ряды, область сходимости степенного ряда.

Числовым рядом называется выражение вида

hello_html_24428306.gif,

где u1, u2, u3,…, un,… - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда. un – общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда hello_html_m6946a725.gif.

Сумма первых n членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда и обозначается Sn.

hello_html_m153004ce.gif

Предел последовательности hello_html_m36b1d0e6.gifчастичных сумм ряда при hello_html_m2c3b0bd9.gif, если он существует, называется суммой ряда, т.е. hello_html_m62709041.gif

Если hello_html_352e6780.gif существует, то ряд (61) сходится. В противном случае ряд (61) расходится.

Необходимый признак сходимости

Если ряд hello_html_m6f66ef.gif сходится, то его общий член hello_html_2730a657.gif при hello_html_m2c3b0bd9.gif стремится к нулю, т.е. hello_html_m5dc8c052.gif.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Знакоположительным называется ряд с неотрицательными членами.

Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

hello_html_24428306.gif

и

hello_html_655f17fb.gif ,

причем hello_html_f875e7f.gif, hello_html_17197211.gif Тогда если сходится ряд (64), то сходится и ряд (63); если расходится ряд (63), то расходится и ряд (64).

Второй признак сравнения (в предельной форме).

Пусть для рядов существует предел

hello_html_20b75ba2.gif.

Тогда если hello_html_m463b9564.gif, то либо оба ряда сходятся, либо расходятся одновременно; если hello_html_255e4c98.gif и ряд сходится, то сходится и ряд. Если же hello_html_m38c91f1f.gif и ряд расходится, то расходится и ряд.

Стандартные ряды, применяемые для признаков сравнения:

Гармонический ряд: hello_html_m749465f2.gif - расходится.

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле): hello_html_m452df871.gif расходится при hello_html_m104645c3.gif и сходится при hello_html_m21e9a1b9.gif.

Ряд геометрической прогрессии hello_html_5fe019a.gif при hello_html_m10e6ba02.gif сходится, при hello_html_m4d021629.gif расходится.

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами hello_html_m6f66ef.gif и существует конечный или бесконечный предел

hello_html_1811cd66.gif,

то этот ряд сходится при hello_html_m539c821c.gif и расходится при hello_html_m4f0c1c91.gif.

При hello_html_m43b0f022.gif признак Даламбера не дает однозначного ответа о сходимости.

Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены, которые следуют друг за другом поочередно.

hello_html_m3d2feaaa.gif

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.

Для сходимости знакочередующегося ряда достаточно выполнения двух условий:

1) hello_html_m386aebd0.gif;

2) hello_html_10279453.gif .

При этом, если ряд (67) сходится по признаку Лейбница и сходится ряд, составленный и модулей его членов

hello_html_m3d584c27.gif,

то говорят, что ряд (67) сходится абсолютно. Если же ряд (68) расходится, то ряд сходится условно (может как сходиться, так и расходиться).

Функциональные ряды.

Ряд, членами которого являются функции от hello_html_24fb21.gif, называется функциональным:

hello_html_3eeb8daf.gif ,

Значение hello_html_5b9d136.gif, при котором ряд (69) сходится, т.е. сходится числовой ряд hello_html_m31a00c70.gif, называется точкой сходимости функционального ряда.

Множество значений аргумента hello_html_24fb21.gif, при которых функции hello_html_m561c28e9.gif определены, и ряд hello_html_68e90a32.gif сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Функция hello_html_8c4b87e.gif называется остатком функционального ряда.

Степенные ряды. Радиус и область и сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

hello_html_m55d61fa9.gif ,

где a, A0, A1, A2, …, An, … - действительные числа. Частный случай степенного ряда при hello_html_47687750.gif:

hello_html_3eacd977.gif .

Теорема Абеля. Если степенной ряд (14) сходится при hello_html_a31546a.gif, то он сходится, причем абсолютно, при любом x, удовлетворяющем неравенству

hello_html_m7f0db740.gif

Если же ряд (14) расходится при hello_html_a31546a.gif, то он расходится и при любом x, удовлетворяющем неравенству

hello_html_m54787bf3.gif

Из теоремы Абеля следует, что существует симметричный интервал абсолютной сходимости степенного ряда относительно точки hello_html_m41225ade.gif, которая называется центром сходимости. Половина длины интервала называется радиусом сходимости и обозначается R.

Радиус сходимости R может принимать значения hello_html_5ef3cc56.gif. Сходимость ряда в точках hello_html_m4f7397e4.gif и hello_html_m53634e76.gif исследуется дополнительно и добавляется к интервалу, образуя область сходимости.

Радиус сходимости находится по формуле

hello_html_m7e6eb9a2.gif

Или при применении радикального признака Коши:

hello_html_m48cfcdd3.gif


Раздел: «Дифференциальные уравнения»

Тема: «Дифференциальные уравнения»

Цель: понятие дифференциального уравнения, порядка дифференциального уравнения, общего и частного решения дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения в частных производных.

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

hello_html_6efc9ce0.gif

где x – независимая переменная, y – неизвестная функция этой переменной, hello_html_m4b8f2c0.gif – ее первая производная.

Если уравнение можно разрешить относительно hello_html_m7b27b823.gif, то его записывают hello_html_m18e2e598.gif.

Решением дифференциального уравнения называется функция hello_html_m2dbfc06a.gif - первообразная для функции hello_html_45f796cd.gif, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка записывается в виде hello_html_m4d82935.gif, где С – произвольная постоянная.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши. Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, нужно в общее решение уравнения hello_html_m4d82935.gifподставить x = x0, y = y0 и из полученного уравнения найти C, затем найденное значение C подставить в общее решение.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

hello_html_m69af72be.gif или hello_html_m3ef4712.gif

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для того, чтобы решить уравнение, нужно разделить переменные x и y, т.е. собрать в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Заменим производную hello_html_m7b27b823.gif на hello_html_m769aec83.gif и разделим переменные. Получим:

hello_html_m49c199c3.gif

Решение этого уравнения находим почленным интегрированием левой и правой частей:

hello_html_m1b550790.gif

где С = С2 С1.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

hello_html_12a68af5.gif

где p(x), q(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Для решения уравнения воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде y = u(x)v(x). Тогда hello_html_7c12887.gif Подставим значения y и hello_html_m7b27b823.gif в уравнение (45):

hello_html_m2fafde20.gif

hello_html_m1ca1afca.gif

Выберем v(x) так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.

hello_html_37354142.gif,

тогда получится уравнение

hello_html_m48fb4700.gif

Оба уравнения являются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Общее решение исходного уравнения запишется как произведение частного решения уравнения и общего решения уравнения:

hello_html_60de3ede.gif

Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида

hello_html_mba8e0cb.gif

где х – независимая переменная, y – неизвестная функция этой переменной, hello_html_m2afbc704.gif и hello_html_m300752e6.gif – ее производные.

Общее решение уравнения 2-го порядка имеет вид:

y = g(x, C1, C2),

где С1 и С2 – две произвольные постоянные.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

hello_html_18394ee.gif

где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения имеет вид: hello_html_7bef3946.gif,

где у1 и у2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения, С1 и С2 – произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых частных решений у1 и у2 используется характеристическое уравнение вида

hello_html_m1fadb9b0.gif.

В зависимости от корней характеристического уравнения получаются различные виды функций у1 и у2 и вид общего решения уравнения (таблица 6).

Таблица

Дискриминант

характеристического уравнения

Корни характеристического уравнения

Вид общего решения уравнения

hello_html_284d910d.gif

действительные

различные hello_html_229dd53a.gif

hello_html_m1d182578.gif

hello_html_m2b2323b3.gif

действительные

равные hello_html_405370a1.gif

hello_html_m2fbf508c.gif

hello_html_44985e7b.gif

комплексные hello_html_m38978822.gif

hello_html_m442860c.gif

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

hello_html_6a8419a5.gif при hello_html_3b4e8ae.gif

Решение: Проинтегрируем обе части дифференциального уравнения

hello_html_cfa9720.gif,

hello_html_m256e7aab.gif - общее решение дифференциального уравнения,

Подставим вместо x и y заданные значения

hello_html_m4ee3fba0.gif,

hello_html_mb86f490.gif подставим в общее решение дифференциального уравнения, получим hello_html_67a73c18.gif, выразим переменную y, получим следующее

hello_html_m6b4b9cda.gif, разделим обе части на 2

hello_html_m76a88e89.gif, избавимся от корня, возведем обе части в квадрат

hello_html_m4705a456.gif- частное решение дифференциального уравнения.

Пример. hello_html_m1ac658c1.gif

hello_html_30e912a8.gif, подставим в исходное уравнение hello_html_m252e35e1.gifраскроем скобки

hello_html_2ce33838.gif приводя подобные слагаемые получим следующее

hello_html_m674a9209.gif, разделим обе части на hello_html_106019ee.gif и проинтегрируем обе части уравнения, получим

hello_html_m793057c6.gif,

hello_html_68fe9593.gif, подставим в исходную подстановку, получим

hello_html_m7b6222c2.gif



Рекомендуемая литература

  1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. – М: Издательский центр «Академия», 2011

  3. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2009

  4. Дадаян, А.А., Математика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.

  5. Дадаян, А.А., Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.


Интернет ресурсы:

  1. http://festival.1september.ru/

  2. http://www.fepo.ru

  3. www.mathematics.ru


Общая информация

Номер материала: ДВ-252244

Похожие материалы

Комментарии:

1 месяц назад

Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» по специальностям среднего профессионального образования 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»