Введение

Изучите информацию по конспекту и учебнику Ш.Алимова «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» (далее – учебник алгебры) §1 и выполните задания № 1-4, 1232-1235.

Раздел 1. Развитие понятия о числе

1. 1. Тема «Целые, рациональные и действительные числа»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §2 и выполните задания № 9-10 и самостоятельную работу (далее СР) №1.

Самостоятельная работа №1

Заполните таблицу:

Вид числа

Обозначение множества

чисел

Числа, входящие в данное множество

Натуральные числа

Целые числа

Рациональные числа

Иррациональные

числа

Действительные числа

1. 2. Тема «Действия с дробными числами»

Самостоятельная работа №2

Выучите правила действий с дробями, проработайте примеры и выполните задания №1-9 .

Правило 1. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Остальные дроби – неправильные.

Примеры:

1)У дроби числитель 17 меньше знаменателя 29, значит эта дробь – правильная.

2) У дроби числитель 17 больше знаменателя 12, значит эта дробь – неправильная.

3) У дроби числитель 17 равен знаменателю 17, значит эта дробь – неправильная.

Правило 2. Правильная дробь меньше 1. Неправильная дробь может быть больше или равной 1.

Примеры:

1)Дробь - правильная, значит она меньше 1.
2)Дроби и - неправильные, значит они не меньше 1: >1 и =1

Правило 3. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой больше знаменатель. Правильная дробь всегда меньше неправильной.

Примеры:

1) У дробей и знаменатели равны, числитель 7 меньше числителя 30, значит

2) У дробей и числители равны, знаменатель 30 больше знаменателя 17, значит

3) Дробь - правильная, а дробь - неправильная, значит

Правило 4. Сократить дробь – это значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же число, отличное от 1 (на общий делитель числителя и знаменателя).

Примеры:

Общий делитель числителя 12 и знаменателя 40 равен 4, поэтому дробь можно сократить на 4:

Правило 5. Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) дробей будет наименьшее общее кратное знаменателей. Если знаменатели не имеют общих множителей, то НОЗ равен произведению знаменателей. Если один из знаменателей делится на другой, то он и будет НОЗ. Если знаменатели имеют общий множитель, то для нахождения НОЗ надо один из знаменателей разделить на наибольший общий множитель и частное умножить на другой знаменатель.

Примеры:

1. Знаменатели дробей и не имеют общих множителей (кроме 1), значит НОЗ равен 10*17=170
   
   

2. Знаменатель дроби делиться на знаменатель дроби , значит НОЗ равен 15.

3. Знаменатели дробей и имеют наибольший общий множитель 5. Поэтому для нахождения НОЗ выполним шаги:
   1) 15:5=3
   2) 25*3=75,
   значит НОЗ равен 75.

Правило 6. Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо числитель разделить на знаменатель: частное будет целой частью, остаток – числителем, а знаменатель не изменится.

Пример: Выделить целую часть из дроби :
30:11=2 (остаток 8),
значит .

Задание 2. Выделите целую и дробную части чисел: и

Правило 7. Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби надо целую часть числа умножить на знаменатель и прибавить к числителю – получим новый числитель,
а знаменатель не изменится.

Пример: .

Задание 3. Представьте в виде неправильной дроби числа и .

Задание 1. Найди наименьший общий знаменатель дробей: и ; и ; и
Правило 8. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю, а потом сложить или вычесть числители.

Примеры: 1)

2. 

Задание 4. Выполните сложение дробей: ; ; ;

Правило 9. Чтобы умножить дроби надо
1) записать в числитель произведение числителей. А в знаменатель – произведение знаменателей;
2) если возможно, сократить полученную дробь.

Примеры:

1. 

2. 

Задание 5. Выполните умножение: ; ;

Правило 10. Чтобы разделить на дробь надо деление заменить умножением на обратную дробь

Пример:

Задание 6. Выполните деление: ;

Правило 11. Чтобы сложить смешанные числа надо:
1)привести дробные части к общему знаменателю;
2)отдельно сложить целые части и отдельно дробные части;
3)если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить из нее целую часть и прибавить к полученной целой части.

Примеры:

1. 

2. 

Задание 7. Выполните сложение: ;

Правило 12. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел надо:
1) привести дробные части к общему знаменателю;
2) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо «занять» 1 от целой части к дробной части и превратить ее в неправильную дробь;

3. отдельно вычесть целые части и отдельно дробные части;

Примеры:

1. 

2. 

Задание 8. Выполните вычитание: ;

Правило 13. Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, нужно:
1) умножить целую часть на натуральное число;
2)умножить дробную часть на это натуральное число;
3)полученные результаты сложить.

Примеры:

1. 
   
   

2. 

Задание 9. Выполните умножение: ; ;

1.3. Тема «Приближенные вычисления»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры §3 и выполните задания №1242-1243. Повторите темы Раздела1 для подготовки к контрольной работе.

1. 4. Тема «Контрольная работа Разделу 1».

Самостоятельная работа №3

Подготовьте сообщение на одну из следующих тем:

• История происхождения комплексного числа;

• История развития числа.

Раздел 2. Корни, степени и логарифмы

2.1. Тема «Арифметический корень натуральной степени»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры § 4, выполните задания № 28-35.

2.2. Тема «Свойства арифметического корня. Решение иррациональных уравнений»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры § 4, выполните задания № 36-44, §9 №152-154.

2.3. Тема «Степени с рациональными и действительными показателями»

Изучите материал по конспекту и учебнику алгебры § 5, выполните задания № 57-62.

2.4. Тема «Преобразование степенных выражений»

Изучите материал по конспекту и учебнику алгебры § 5, выполните задания № 68-73.

2.5. Тема 5 «Показательные уравнения»

Изучите материал по конспекту и учебнику алгебры § 12, выполните задания № 209-212 и СР№4.

Самостоятельная работа №4

Задание: составьте кроссворд «Степень и ее свойства» с соблюдением методических рекомендаций по подготовке кроссвордов.

2.6. Тема «Логарифм числа»

Изучите материал по конспекту и учебнику алгебры § 15, выполните задания № 266-276.

2.7. Тема «Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы»

Изучите материал по конспекту и учебнику алгебры § 16, выполните задания № 290-295, § 17 № 303-306.

2.8. Тема «Логарифмические уравнения»

Изучите материал по конспекту и учебнику алгебры § 19, выполните задания № § 19 № 307, 327, 337, 340.

2.9. Тема «Преобразование логарифмических выражений»

Повторите темы Раздела 2 по конспекту и учебнику алгебры, выполните задания № 368-372 и СР №5 для подготовки к контрольной работе по Разделу 2.

Самостоятельная работа №5

Задание: заполнить таблицу «Корни, степени и логарифмы».

Понятия

Теоретические сведения

Пример, решение

1

Определение степени.

2

Свойства степени с действительным показателем.

3

Определение арифметического корня.

4

Свойства арифметического корня.

5

Определение логарифма.

6

Основное логарифмическое тождество.

7

Условие существования логарифма.

8

Свойства логарифмов.

2.10. Тема «Контрольная работа по Разделу 2»

Самостоятельная работа №6

Задание: составьте тестовые задания с ответами (в количестве 5-10) по теме «Степени и логарифмы».

Раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве

3.1. Тема «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

Изучите материал по конспекту и учебнику Погорелова «Геометрия 10-11 класс» (далее – учебник геометрии) §1 и ответьте на вопросы в конце параграфа, выполните задания №1,7,12 .

3.2. Тема «Параллельность прямой и плоскости»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §2 и ответьте на вопросы в конце параграфа, выполните задания №5,13,29 .

3.3. Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §3 п.14-17 и выполните задания СР№7.

Самостоятельная работа №7

Задание: выучите теоретический материал и выполните задания №1-5.

Теоретический материал к выполнению задания

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90⁰.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Задание №1. В тетраэдре АВСD:ВСАD. Докажите, что АDMN, где М и N – середины ребер АВ и АС.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Задание №2. Прямая ОАOBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD.

Задание №3. В треугольника АВС дано: угол С = 90⁰, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.

Задание №4. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

ТЕОРЕМЫ, УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИ

Теорема 1: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны между собой.

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна

Задание №5. Прямая РQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что

РQ = P₁Q₁.

3.4. Тема «Перпендикуляр и наклонная»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику геометрии §3 п.18, ответьте на вопросы по данной теме (в конце параграфа), выполните задания СР№8.

Самостоятельная работа №8

Задание: решите задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная».

1) Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.

2) Длина наклонной 10см, перпендикуляра, проведённого из той же точки что и наклонная к той же прямой, равна 6см. Найдите длину проекции наклонной.

3) Из точки А к данной плоскости  проведены перпендикуляр АА₁ и две наклонные

АВ и АС. СА₁= 4,АВА₁ = 30°, АСА₁ = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

4) Из точки А к данной плоскости  проведены перпендикуляр АА₁ и две наклонные АВ и АС, каждая из которых наклонена к плоскости под углом 45°, угол между наклонными 120°. Расстояние между основаниями наклонных 12см. Найти расстояние от точки А до плоскости .

5) Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см.

3.5. Тема «Угол между прямой и плоскостью»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику геометрии §4 п.31-33, §5 п.39 ответьте на вопросы в конце §4, выполните задания №37,38,41 на стр.62.

3.6. Тема «Параллельное проектирование и его свойства»

Повторите темы Раздела 3 и выполните задания СР№9 для подготовки к контрольной работе.

Самостоятельная работа №9

Задание: заполните таблицу «Прямые и плоскости в пространстве».

Закончить предложения или ответить на вопросы:

чертежи

Аксиомы стереометрии:

1)

2)

3)

Две прямые в пространстве параллельны, если…

Две прямые скрещиваются, если…

Прямая и плоскость пересекаются, если…

Прямая и плоскость параллельны, если…

Прямая лежит в плоскости, если…

Плоскости пересекаются, если…

Плоскости параллельны, если…

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если…

Прямая и плоскость перпендикулярны, если…

Признак перпендикулярности двух плоскостей:

Сформулируйте понятия:

1. Перпендикуляр – это

2. Наклонная – это…

3. Проекция – это…

Теорема о трех перпендикулярах:

Угол между прямой и плоскостью это…

Двугранный угол – это…

3.7. Тема «Контрольная работа по Разделу 3»

Самостоятельная работа №10

Задание: подготовьте сообщение по теме «Параллельность и перпендикулярность в моей профессии».

Раздел 4. Комбинаторика

4.1. Тема «Основные понятия комбинаторики»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 60 и выполните задания №1043-1047.

4.2. Тема «Решение задач комбинаторики»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 61-63 и выполните задания №1063,1072,1080,1092,1096.

4.3. Тема «Формула бинома Ньютона».

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 64 и выполните задания №1092,1093.

4.4. Тема «Треугольник Паскаля».

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 64 и выполните задания СР №11 и №1096.

Самостоятельная работа №11

Задание: решите тестовые задания по теме «Комбинаторика» и проверьте себя по ответам.

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных занятий?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 11 группе 32 студента. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000

5. Решить относительно n уравнение : Рn+2 /Pn=12

1)8 2)9 3)7 4)2

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1)0,1 2) 0,5 3) 0,125 4) 0,625

7^*. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных занятий.

1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите: 6!+ 4!

1)544 2) 10 3) 30 4) 744

5. Решить относительно n уравнение :1/ P_n-4= 20/ P_n-2

1)2 2)4 3) 12 4) 7

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,25 2)0,0625 3) 0,5 4) 0,125

7^*. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8

Ответы к тестам:

4.5. Тема «Контрольная работа по Разделу 4»

Самостоятельная работа №12

Задание: подготовьте материал для презентации по теме «Элементы комбинаторики».

Раздел 5. Векторы и координаты

5.1. Тема «Прямоугольная система координат в пространстве»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §4 п.23-25 и выполните задания №2,3,16 на стр.60.

Теоретический материал к выполнению заданий

Декартова система координат в пространстве

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная (декартова) система координат.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка - началом координат. Она обозначается обычно буквой О, а оси координат так: Ox, Oy, Oz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами: М (x; y ;z)

Пример: Определить координаты точек

А (3; 5; 5), B (2;-4; 2), C (6; 0; 0),

D (5; 0; 6), E (0; 7; 0)

5.2. Тема «Векторы и координаты»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §4 п.35-36

и выполните задания №50,51,54 на стр.64.

Теоретический материал к выполнению заданий

В прямоугольной системе координат Оxyz на каждой из положительных полуосей отложили от начала координат вектор, длина которого равна единице. Обозначили через единичный вектор оси абсцисс, через - единичный вектор оси ординат и через - единичный вектор оси аппликат. Векторы , и называют координатными векторами.

Любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде

,

Причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом и являются координатами точки М (х;у;z) – конца вектора.

Коэффициенты x, y и z в разложении вектора называются координатами вектора в данной системе координат и записываются в фигурных скобках:

{x;y;z}

Для точки М вектор будет являться радиус-вектором.

Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус вектора.

Свойства координат векторов:

1. Координаты нулевого вектора равны нулю:

2. Координаты равных векторов соответственно равны:

3. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:

4. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов:

5. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число:

Вычисление длины вектора по его координатам

Рассмотрим вектор . Разложим его по координатным плоскостям: , , .

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

Расстояние между двумя точками

Рассмотрим две произвольные точки и . Длина отрезка будет равна длине вектора , т.е. расстояние между точками и определяется по формуле:

5.3. Тема «Действия над векторами»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §4 п.36-37

и выполните задания №57,60 на стр.64.

Теоретический материал к выполнению заданий

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Скалярное произведение векторов – это скалярная величина, равная сумме произведений соответствующих координат.

+ z₁▪z₂

Обозначение:

Геометрический смысл: Скалярное произведение двух векторов равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

Свойства скалярного произведения:

1. 1. Коммутативность

   2. Дистрибутивность

   3. 

   4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля)

Угол между векторами.

Два вектора называются коллинеарными, если выполняется:

Свойство: Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

5.4. Тема «Использование координат и векторов при решении практических задач»

Повторите темы Раздела 5 и выполните задания СР №13 для подготовки к контрольной работе.

Самостоятельная работа №13

Задание: выполните задания по теме «Векторы».

Вариант 1

1. От точки А отложите вектор: а) равный ; б) сонаправленный ; в) противоположно направленный .

2. ABCD – ромб. Равны ли векторы:

а) ____; б) ____;

в) ____.

3. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте вектор .

4. В параллелограмме АВСD на стороне АВ отмечена точка К так, что АК: КВ=2:1, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы и через векторы и .

5. Чему равны координаты вектора

1) 2) 3)

6. Запишите разложение вектора по координатным векторам и . ___________

7. Даны два вектора :

1) найдите координаты вектора ______

2) будут ли коллинеарными векторы и _______

8. Найдите координаты вектора , если . __________________

Вариант 2

1. От точки В отложите вектор: а) равный ; б) сонаправленный ; в) противоположно направленный .

2. ABCD – квадрат. Равны ли векторы:

а) ____; б) _____; в) ____.

3. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте вектор .

4. В параллелограмме АВСD на стороне ВС отмечена точка Р так, что ВР:РС=3:1, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы и через векторы и .

5. Чему равны координаты вектора

1) 2) 3)

6. Запишите разложение вектора по координатным векторам и . ___________

7. Даны два вектора :

1) найдите координаты вектора ______

2) будут ли коллинеарными векторы и _______

8. Найдите координаты вектора , если

. __________________

5.5. Тема «Контрольная работа по Разделу 5»

Самостоятельная работа №14

Задание: составьте вопросы по теме «Векторы» (не менее 10 вопросов с ответами).

Раздел 6. Основы тригонометрии

6.1. Тема «Радианная мера угла»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 21-22, выполните задания № 415, 417-420 и СР №15.

Самостоятельная работа №15

Задание: изготовьте модель тригонометрического круга на плотной бумаге формата А4.

6.2. Тема «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа».

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 23, выполните задания № 430-434.

6.3. Тема «Формулы приведения».

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 24-25, выполните задания № 443-444,459.

6.4. Тема «Формулы сложения».

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 26, 31, выполните задания № 465-467, 524.

6.5. Тема «Тригонометрические тождества».

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 27, выполните задания № 475-476 и СР №16.

Самостоятельная работа №16

Задание: выполните тестовые задания по теме «Тригонометрия»

1. Упростите выражение 5соs²α-7+5sin²α

1) 1+ соs²α 2)2 3)-2 4)12

2. Упростите выражение cosx+tgxsinx

1)1 2)2 cosx 3) cosx+sinx 4)

3. Упростите выражение -tg²α

1)ctg²α 2)0 3) ctg²α- tg²α 4)2tg²α

4. Найдите tgα, если cosα=, α

1)- 2) - 3) - 4)

5. Вычислите значение выражения cosπ-sin(-)+ tg²

1) 2)3 3) 4)1

6. Найдите значение выражения 2- tg²α если sinx=0,2

1)1,2 2) 1,96 3)1,04 4)1,6

6.6. Тема «Преобразование суммы и разности тригонометрических функций»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 28-30, выполните задания № 482,483,500-501.

6.7. Тема «Арксинус, арккосинус, арктангенс»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 33-35, выполните задания

№ 569,587,608.

6.8. Тема «Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры § 36, выполните задания

№ 620,621,62 и СР №17. Повторите темы Раздела 6.

Самостоятельная работа №17

Задание: заполните таблицу «Тригонометрические формулы».

Понятия

Теоретические сведения, формулы

Пример, решение

Основное тригонометрическое тождество

Формулы зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Тригонометрические тождества

Тригонометрические функции отрицательных углов (-α)

Формулы сложения

6.9. Тема «Контрольная работа по Разделу 6».

Самостоятельная работа №18

Задание: подготовьте сообщение на тему «История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук».

Раздел 7. Функции, их свойства и графики

7.1. Тема «Числовая функция и ее исследование»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику М.И.Башмакова «Математика» (далее учебник математики) §3-4 , ответьте на вопросы в конце параграфов, выполните задания СР№19.

Теоретический материал к выполнению заданий

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной, т.е. для каждого х есть один у.

Например, у=5+х. Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Пример 1. Найти область определения и множество значений функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у), т.е. какие значения может принимать х. Для этого найдем ОДЗ (область допустимых значений дроби):

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  (∞; 3) и (3;+∞) - всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у), т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции (∞; 4) и (4;+∞) - всё множество действительных чисел, кроме 4.

Пример 2. Найти  D (у) и Е (у) функции, изображенной на графике

 

Область определения (значения х) смотрим по оси х - это промежуток [4; 7], 

Областью значения (значения у) смотрим по оси у - это промежуток [4; 4].

Исследование функции

Областью определения данной функции является промежуток [3,5; 5,5].

Областью значений функции - промежуток [1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

Для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так: на промежутках [4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) - отрицательные.

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются - на промежутке [4,5; 2]  функция убывает. С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются - на промежутке [2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что  x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1), т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2) < f (x1), т.е. чем больше х, тем меньше у.

Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соответственно.

Пример 2.

Определить является ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Решение. Воспользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем  x1 < x2, например х1=1, х2=7

Получаем при подстановке

f (x1) - f (x2) = (3х1 + 5) - (3x2 + 5) = 3x1+ 5 - 3x2- 5 = 3х1-3х2=3*1-3*7=3-21=-19<0

Получаем, что f (x1) < f (x2) < 0,а значит f (x1) < f (x2)   т.е. данная функция является возрастающей, т.е. чем больше х, тем больше у.

Точки экстремума, экстремумы функции

Точку  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки  понимают интервал , где  - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Самостоятельная работа №19

Задание: Выполните задания по теме «Числовая функция».

1. Найдите область определения функции: у=1/(х²+2х-3)

2. Найдите область определения функции:

3. Найдите нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс: у=х²-3х+2

4. Найдите координаты точек пересечения графика с осью ординат у=х²+х-2

5. Вычислите координаты точек пересечения графиков функции: у=5/х; у=х-4 

7.2. Тема «Обзор свойств известных функций»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику математики §6, ответьте на вопросы в конце параграфа, выполните задания СР№20.

Теоретический материал к выполнению заданий

Четные и нечетные функции

Функция y=f(x) называется четной, если для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x² является четной.

Возьмем произвольное х=3: f(-x)=(-х)²= x² = f(x) Следовательно, f(x) = f(-x), значит функция четная. На рис.1 представлен график функции y=x².

Н

Рис.1

а рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(-x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x³ является нечетной. Проверим это.

f(-x) = (-х)³ = - x³ = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. На рис.2 изображен график функции y=x³.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x³ симметрична относительно начала координат.

Рис.2

Примеры: Исследовать на чётность функции:

1. h(х) = х⁵ +,

Решение.

h (– х) = (–х)⁵ + – х5 –= – (х⁵ +),

h(– х) = – h (х) => функция  h(х)  = х⁵ +  нечётная.

2. у = ,

Решение: у = f(х),     D(f) = (–∞; –9) и (–9; +∞),  несимметричное множество, значит это функция общего вида.

3. f(х) = ,   у = f (х), 

Решение: f (– х) == ;

f (– х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

Обратная функция

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией. А квадратичная функция или функция синус не будут являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y₀, соответствует лишь одно число из области определения x₀, такое что f(x₀) = y₀.

Если теперь мы каждому значению х₀ поставим в соответствие значение y₀, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = kx + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

График функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением

y = x.

На рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Пример. Найти функцию, обратную для у=3х+2 .

Решение.

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y 

(другими словами, решим уравнение у=3х+2 относительно x).

 - это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать .

Таким образом,  и  - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов).

Самостоятельная работа №20

Задание: выполните задания по теме «Свойства функции».

1. Рассмотрите часть графика функции, где она возрастает (выделите ее синим цветом).

2. Отметьте две произвольные точки А и В.

3. Определите абсциссы этих точек

4. А: х₁= ; В: х₂=

5. Значение функции в эти точках

f(x₁)= ; f(x₂)=

6. Сравните: х₁ и х₂; f(x₁) и f(x₂).

7. Продолжите предложение:

«Функция возрастает на промежутке, если для любых….

8. Аналогично рассмотрите часть графика, где функция убывает (выделите ее красным цветом).

9. Отметьте две произвольные точки А и В;

10. Определите абсциссы этих точек А: х₁= В: х₂=

11. Значение функции в эти точках f(x₁)= f(x₂)=

12. Сравните: х₁ и х₂; f(x₁) и f(x₂).

13. Продолжите предложение: «Функция убывает на промежутке, если для любых …

14. Какие из представленных функций являются четными, а какие нечетными? а) 
    б)  в)  г) 

15. Найдите функцию, обратной данной а) у=х⁵-1; б) у=2х-3.

7.3. Тема «Операции над функциями и их графиками»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику математики §5, выполните задания СР №21.

Теоретический материал к выполнению заданий.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Построение графика функции y=f(x)+n

График функции y=f(x)+n получается из графика y=f(x) сдвигом вдоль оси Оу на n единиц. Направление сдвига определяется знаком числа n (при n>0 график сдвигается вверх, при n<0 – вниз).

На рис.1 изображены графики функций , +3, -2.

На рис.2: y=f(x), y=f(x)-10

Рис.1 Рис.2

Построение графика функции y=f(x-m)

График функции y=f(x-m) получается из графика функции y=f(x) сдвигом вдоль оси Ох вправо при m>0 и влево при m<0.

На рис.3 графики функций: , , .

На рис.4: у = - х³, у = - (х-4)³, у = - (х+3)³.

Рис.3 Рис.4

Построение графика функции y=af(x)

График функции y=af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в а раз по оси Оу ( в случае |а|<1получается сжатие).

На рис.5 изображены графики функций: , ,

На рис.6: y=f(x), x, y=2f(x).

Рис.5 Рис.6

Построение графика функции y=f(kx)

В одной и той же системе координат построим графики функций:

1), 2), 3)

Для построения графика функции y=f(kx) надо подвергнуть график функции y=f(x) сжатию вдоль оси Ох, если |k|>1, и растяжению в 1/|k| раз, если |k|<1.

В нашем случае:

1) y=f(x),

2) y=f(2x),

3)

Самостоятельная работа №21

Задание: постройте графики функций:

1) у =х²-1 (используя график функции у=х²)

2) (используя график функции )

и укажите их свойства:

а) область определения;

б) область значений;

в) промежутки монотонности;

г) экстремумы;

д) наибольшее и наименьшее значение.

7.4. Тема «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику математики §7 , выполните задания №143,178 (из учебника алгебры), повторите темы Раздела 7 для подготовки к контрольной работе.

7.5. Тема «Контрольная работа по Разделу 7»

Самостоятельная работа №22

Задание: подготовьте материал для презентации по теме «Основные функции и их графики».

Раздел 8. Многогранники и круглые тела

8.1. Тема «Понятие о многогранниках. Параллелепипед. Куб»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §5 п.41,45,46 и выполните задания СР №23.

Самостоятельная работа №23

Задание: изготовьте модель многогранника (на выбор) и выполните задания по теме «Прямоугольный параллелепипед. Куб».

Теоретический материал к выполнению заданий

ВИДЫ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Тетраэдр

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Куб

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Элементы симметрии: Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Развертка многогранника

Развёртка поверхности - фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными.

Н

развертка куба

а практике развёрткой называют плоскую заготовку или чертёж плоской заготовки, из которой получают объёмную форму путём изгибания.

развертка куба

развертка икосаэдра

развертка октаэдра

развертка тетраэдра

развертка додекаэдра

1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ

У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

• Каждая грань параллелепипеда - прямоугольник.

• Противоположные грани параллелепипеда равны.

Каждый параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.

Среди всех параллелепипедов особую роль играет - куб.

Куб - это такой параллелепипед, у которого все ребра равны, поэтому все его грани - квадраты. За единицу измерения объема принимается объем единичного куба, т.е. объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины.

1 кубический сантиметр (1 cм³) - объем куба, длина ребра равна 1 см.

1 кубический дециметр (1 дм³) - объем куба, длина ребра равна  1 дм.

1 кубический метр (1 м³) - объем куба, длина ребра которого равна 1 м.

Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с вычисляется по формуле

Объем наклонного (любого) параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h:

.

Объем куба равен кубу (третьей степени) его ребра. V = a³

Пример 1. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого равны 6 мм, 10 мм и 15 мм.

Решение: 6 x 10 x 15 = 900 (мм³).

Пример 2. Найдите объем куба, ребро которого равно 5 дм.
Решение: 5³ = 5 x 5 x 5 = 125 (дм³).
Заметим, что единица объема, равная одному кубическому дециметру, имеет и другое название - литр. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ.

Задания по теме «Прямоугольный параллелепипед. Куб».

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м³; 1 литр.

б) в кубических сантиметрах: 1 дм³; 1 м³.

2.Ответьте «да» или «нет».

а) Р = (а + b)2

периметр прямоугольника

в) V = а b с

площадь прямоугольника

б) S = а а

площадь квадрата

г) V = а а а

объём куба

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

4.

Объём параллелепипеда равен 60 см³.

Проставьте недостающий размер.

? 4 см

5 см

1. 5. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а)?

Каков его объём?

6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см³; б) 60 см³; в) 32 см³; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м³; б) 144 м³; в) 72 м³; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см².

а) 16 см³; б) 64 см³; в) 80 см³; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м³. 

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

8.2. Тема «Призма»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §5 п. 42-46 и выполните СР №24.

Самостоятельная работа №24

Пользуясь теоретическим материалом, выполните задания по теме «Призма».

Теоретический материал к выполнению заданий

Призмой называется многогранник, две грани которого (основания) – равные n – угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней (боковые грани) – параллелограммы. Призма называется прямой, если все её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной, если она прямая и её основания – правильные многоугольники.

Формулы для нахождения площадей

фигур

а

S = a b a S =а² a

a a S = a S = a

a b

a

a h S = a

h S =

b b

h S = a

a

Задания по теме «Призма»

1. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём призмы.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см³; б) 45 см³; в) 10√3 см³; г) 12√3 см³; д) 18√3 см³.

3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8. Объем призмы равен 80. Найдите ее боковое ребро.

4. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60⁰. Найдите:

1. диагональ основания призмы;

2. диагональ призмы;

3. высоту призмы;

4. площадь боковой поверхности призмы;

5. площадь полной поверхности призмы;

6. объём призмы.

5. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

8.3. Тема «Пирамида. Тетраэдр»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §5 п.47-51 и выполните СР №25.

Самостоятельная работа №25

Выполните задания по теме «Пирамида. Тетраэдр».

Теоретический материал к выполнению заданий

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами. Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный  n-угольник, а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

Задания по теме «Пирамида. Тетраэдр»

1. Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=S_осн∙h; б) V=S_осн∙h; в) V=S_осн∙h.

2. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двадцать три раза?

а) в 23 раза; б) в 46 раз; в) в 69 раз.

3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6.

а) 4; б) 8; в) 16.

4. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м³. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

8.4. Тема «Тела вращения: цилиндр, конус, шар и сфера»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §6 п.52-56 и выполните задания №1,9,29 стр.103

8.5. Тема «Объём и его измерение»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §7 и выполните задания СР№26.

Самостоятельная работа №26

Пользуясь теоретическим материалом, выполните задания по теме «Объем геометрических тел».

Теоретический материал к выполнению заданий

Прямоугольный параллелепипед

V=abc,

S_бок =2(ac+bc),

S_п=2(ab+bc+ac),

Куб

V=a³

S_бок=4a²

S_п=6a²

Призма

V= S_осн h

S_бок = Р_осн h

S_п= 2S_осн + S_бок

Пирамида

S_бок =

S_п = S_осн + S_бок

Цилиндр

V=πR²h

S_б=2πRH

Sп=2πRH + 2πR²

Конус

Sб=2πRL

Sп=2πR(R+L),

Шар

-

S=4πR²

Задания по теме «Объем геометрических тел».

1. Площадь полной поверхности куба равна 6 см². Найдите его объем.

а) 1 см³; б) 2 см³; в) 1,5 см³.

2. Основание прямой призмы – прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, высота 3 см. Найдите объем призмы.

а) 30 см³; б) 72 см³; в) 72 см².

3. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды.

а) 768 дм³; б) 384 дм³; в) 128 дм³.

4. Объем ко­ну­са равен 16. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са.

5. Около шара опи­сан ци­линдр, пло­щадь

по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна 18.

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

8.6. Тема «Решение задач на вычисление параметров геометрических тел»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику геометрии §7-8 и выполните задания №1,2,6,7,21 на стр.128.

8.7. Тема Контрольная работа по разделу 8

Самостоятельная работа №27

Задание: составьте кроссворд по теме «Многогранники и круглые тела».

Раздел 9. Начала математического анализа

9.1. Тема «Последовательность, предел последовательности»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §3 и выполните задания №14,16,17.

Самостоятельная работа №28

Задание: решите задачи по теме «Числовые последовательности».

Вариант 1

1. Напишите формулу общего члена последо-вательности натуральных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 1.

2. Последовательность (х_n) задана формулой х_n = 3n – 4. Найдите:

а) x_1; б) x₅; в) x₁₂; г) x₁₀₀; д) x_{n + 1}.

3. Последовательность задана формулой

a_n = 7n - 5.

а) Вычислите первые пять членов этой

последовательности.

б) Определите, будет ли число 9 являться

членом этой последовательности?

в) Найдите самый близкий к числу 95 член

этой последовательности.

Вариант 1

1. Напишите формулу общего члена последо-вательности натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.

2. Последовательность (х_n) задана формулой х_n = - 3n – 4. Найдите:

а) x_1; б) x₅; в) x₁₂; г) x₁₀₀; д) x_{n + 1}.

3. Последовательность задана формулой

a_n = 7n + 5.

а) Вычислите первые пять членов этой

последовательности.

б) Определите, будет ли число33 являться

членом этой последовательности?

в) Найдите самый близкий к числу 95 член

этой последовательности.

9.2. Тема «Производная, ее физический смысл»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §44 и выполните задания №776, 778, 780, 781.

9.3. Тема «Производная степенной функции»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §45 и выполните задания №787-793.

9.4. Тема «Правила дифференцирования»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §46 и выполните задания №803,805,810,814.

9.5. Тема «Производные основных элементарных функций»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §47 и выполните задания №832,835,839 и СР №29.

Самостоятельная работа №29

Задание: составьте таблицу основных формул дифференцирования.

9.6. Тема «Геометрический смысл производной»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §48 и выполните задания №858,859,860.

9.7. Тема «Применение производной к исследованию функций»

Изучите материал данной темы по конспекту и учебнику алгебры §50 и выполните задания №924,925. Повторите темы Раздела 9 для подготовки к контрольной работе.

9.8. Тема «Контрольная работа разделу 9»

Самостоятельная работа №30

Задание: составьте тестовые задания (в количестве 5-10) с ответами по теме «Производная».

Раздел 10. Интеграл и его применения

10.1. Тема «Первообразная и интеграл»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры §54 и выполните задания №983-984.

10.2. Тема «Площадь криволинейной трапеции»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры §55 и выполните задания №988-989.

10.3. Тема «Примеры применения интеграла в физике и геометрии»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры § 56 и выполните задания № 999-1000, СР №31. Повторите темы Раздела 10 для подготовки к контрольной работе.

Самостоятельная работа №31

Задание: выполните графическую работу «Вычисление площадей фигур с помощью интеграла»

1

.

№2

№3

№4

10.4. Тема «Контрольная работа по теме Раздела 10»

Самостоятельная работа №32

Задание: составьте тест на тему «Первообразная». Тест должен содержать не менее 7 заданий и по 3-4 ответа к каждому заданию (верный только один). Включить задания двух видов:

1. Вычисление первообразных различных функций.

2. Вычисление первообразной, график которой проходит через точку с заданными координатами.

Раздел 11. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Тема 11.1. «События. Вероятность события»

Изучите материал темы по конспекту, Интернет-источникам и учебнику алгебры §65-67 и выполните задания СР №33.

Самостоятельная работа №33

Задание: решите задачи на определение вероятности события.

1.В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

2.Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

5.Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

6.В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Тема 11.2. «Сложение, умножение вероятностей»

Изучите материал темы по конспекту, Интернет-источникам и учебнику алгебры §68-70 и выполните СР №34.

Самостоятельная работа №34

Задание: ответьте письменно на следующие вопросы:

1. Что изучает теория вероятностей?

2. Дать определения испытания и события.

3. Какие бывают события?

4. Какое событие называется достоверным?

5. Какое событие называется невозможным?

6. Какое событие называется случайным?

7. Дать определение вероятности события.

8. Дать определение суммы событий и сформулировать теорему сложения вероятностей.

9. Дать определение произведения событий и сформулировать теорему умножения вероятностей.

Тема 11.3. «Статистика»

Изучите материал темы по конспекту, Интернет-источникам и учебнику алгебры §71-73 и выполните задания СР № 35.

Теоретический материал к выполнению заданий

Статистика изучает численность отдельных групп, показатели рождаемости и смертности населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, природные ресурсы и многое другое.

Элементы математической статистики

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются числовой ряд - представление данных, частота (абсолютная) показывает сколько раз встречается каждое значение, относительная частота - отношение абсолютной частоты к общему количеству данных, среднее арифметическое ряда чисел - это отношение суммы чисел на количество данных, размах ряда – разность между наибольшим и наименьшим из ряда чисел, мода – число, часто встречающееся в данном ряду, медианой ряда состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если ряд упорядочить. Если в ряду четное число данных, то тогда медиана - это среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел данного ряда.

Самостоятельная работа №35

Задание: зная рост и вес членов своей семьи, составьте ранжированный ряд и определить среднее арифметическое, моду ряда, медиану ряда.

Тема 11.4. «Представление числовых данных»

Повторите темы Раздела11 и выполните задания СР №36.

Самостоятельная работа №36

Задание: выполните задания по теме «Представление числовых данных».

Дан следующий вариационный ряд:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 2 4 4 4 5 5 5

Требуется:

1) Построить полигон распределения.

2) Вычислить выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану.

3) Построить выборочную функцию распределения.

Тема 11.5. «Контрольная работа по Разделу 11»

Самостоятельная работа №37

Задание: подготовьте материал для презентации «Элементы математической статистики».

Раздел 12. Уравнения и неравенства

Тема 12.1. «Алгебраические уравнения и системы»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры §8 и выполните задания СР №38.

Самостоятельная работа №38

Задание: пользуясь теоретическим материалом, решите следующие уравнения и системы уравнений.

Линейные уравнения

а) х = 6,

б) ,

Квадратные и приводимые к квадратным

а) z- 10 = 29,

б) (х – 4) - 5(х – 4) + 6 = 0,

Уравнения высших степеней

а) 3у = 96,

б) х + х + х + 1 = 0

Дробно-рациональные уравнения

а)

Уравнения с модулем

а) =

б)= -2

Уравнения с параметром

а) aх = 10,

б)2ах – 5 = 17

Системы уравнений:

а)

б)

Теоретический материал к выполнению заданий

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную. 

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Найти все корни уравнения или доказать, что их нет – это значит решить уравнение. 

Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями. 
                    x – 3 = 6       ⇒       x = 6 + 3       ⇒       x = 9 . 

 Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями (решениями). 

                    3x = 6         ⇒         3x : 3 = 6 : 3         ⇒         x = 2 . 

Линейные уравнения

Уравнение вида ax = b называется линейным. Например: 

                    1. 3x = 9  ( ax = b ) . 

                    2. 3x – 3 = 9 ; 
                         3x = 9 + 3 ; 
                         3x = 12  ( ax = b ) . 

Принято: цифры в алгебраических выражениях заменять 
первыми буквами латинского алфавита   — a, b, c, …, 
а переменные обозначать последними   — x, y, z. 

 a ≠ 0     b - любое значение  ax = b имеет один корень x = b : a . 
 a = 0     b ≠ 0                              ax = b не имеет корней . 
 a = 0     b = 0                              ax = b имеет бесконечно много корней . 

    3x = 3               один корень       x = 3 : 3       x = 1 . 
    0 • x = 5           корней нет . 
    0 • x = 0           бесконечно много корней     x — любое число.

Квадратное уравнение   —

это уравнение вида    ax²+bx+c = 0 ,  где коэффициенты   a ,   b   и   c   —   любые действительные числа,  причем   а ≠ 0.

Решение квадратного уравнения

Система уравнений с двумя переменными:

Решением данной системы уравнений является пара чисел  (a, b) , при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества:    

Решение системы уравнений

Линейная система:  (метод исключения переменной)
    Ответ: (2; 1)

Тема 12.2. «Методы решения иррациональных, показательных уравнений»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры §9,12 и выполните задания №183, 250-251.

Теоретический материал к выполнению заданий

Решение иррациональных уравнений

Возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка корней.

1) Если х = 42, то 2) Если х = 2, то

Значит, число 42 не является корнем уравнения

Значит, число 2 является корнем уравнения

Ответ. 2

Методы решения показательных уравнений

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Основания степеней, стоящих в левой и правой части уравнения есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней, имеем уравнение , тогда на основании теоремы получаем уравнение: .

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение. Учитывая, что , , тогда первоначальное уравнение примет вид: .

Ответ: .

2. Введение новой переменной

Пусть где тогда уравнение примет вид

Решая данное квадратное уравнение, находим, что

Корень не удовлетворяет условию

Следовательно, решим уравнение

Ответ. x= 3.

3. Разложение на множители

Тема 12.2. «Методы решения логарифмических и тригонометрических уравнений»

Изучите материал темы по конспекту и учебнику алгебры §19, 36 и выполните задания № 378-379, 656-657.

Теоретический материал к выполнению заданий

Методы решения логарифмических уравнений

Решение простейших логарифмических уравнений

Решение простейшего логарифмического уравнения (1)

основано на определении логарифма: логарифмом положительного числа x по основанию а называется показатель степени b, в которую надо возвести основание, чтобы получить x.

Для уравнения (1) из определения получаем: - единственный корень.

Для уравнения вида (2) получаем равносильное уравнение .

Пример: Решите уравнение: log _1/6 (0,5 + х) = - 1

Решение

log _1/6 (0,5 + х) = - 1

Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ: 0,5 + х > 0

т.к. область определения логарифмической функции - положительные значения

Запишем уравнение из определения логарифма: (см. формулу 2):

0,5 + х = 6

х = 5,5

Проверим, является ли число 5,5 корнем данного уравнения. Подставим вместо х число 5,5 в ОДЗ

ОДЗ: 0,5 + 5,5 >0 6 >0 – верно

Ответ: 5,5

1. Введение новой переменной

ОДЗ: х>0. Пусть , тогда уравнение примет вид

Решив данное квадратное уравнение, находим его корни

Следовательно,

Ответ. х = 10; х = 100.

2. Замена уравнения равносильным

Решая квадратное уравнение находим,

Корень х = - 4, не удовлетворяет условию

Ответ. 0

3. Разложение на множители

Ответ. 2; 3

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aЄR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

1. sinx = a, |a| ≤1

2. cos x = a , |a| ≤1

3. tg x = a , a Є R ctg x = a , a Є R

Тема 12.3. «Методы решения неравенств»

Проработайте материал темы по конспекту и учебнику алгебры § 9,13,20, выучите наизусть алгоритмы решений линейных, квадратных, показательных и логарифмических неравенств, выполните задания №140,143,253,381.

Теоретический материал к выполнению заданий

Неравенства вида: ax+b>0, ax+b<0, ax+b≤0, ax+b≥0 называются линейными.

Например: ; .

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки.

2. Перенести слагаемые с переменной в левую часть, слагаемые без переменной – в правую, изменяя знаки перед ними на противоположные.

3. Привести подобные слагаемые.

4. Разделить число из правой части на числовой коэффициент при переменной. Если коэффициент отрицательный, то знак неравенства меняется на противоположный.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. ,

,

,

,

,

. Ответ: (– ∞; – 9).

Методы решения квадратных неравенств

Квадратные неравенства – это неравенства вида:

ax²+bx+c>0,

ax²+bx+c<0,

ax²+bx+c≤0,

ax²+bx+c≥0.

1. Метод совокупности систем

Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня х₁ и х₂, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители: а(х-х₁)(х-х₂).

Пример 1: решите неравенство-3х²-5х+2>0,

Решение.

3х²+5х-2<0,

3х²+5х-2=0,

x_1,2 =

x₁=, x₂= -2;

3х²+5х-2=3(x-)(x+2);

Ответ: (-2; )

3(x-)(x+2)<0,

или

нет решения .

2. Метод параболы

Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax²+bx+c, где a0. Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Алгоритм решения следующий:

1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента;

2) найти нули функции (если они существу­ют);

3) построить эскиз графика;

4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значе­ния.

Графическое изображение

D<0

D=0

х_1,2=

х_1,2=

D>0

х_1,2=

х_1,2=

Решите неравенства:

Пример 1: х² - 2х -3 ≤ 0,

Решение. a = 1, ветви направлены вверх, х² - 2х - 3 ≤ 0, x₁ = 3, x₂ = -1

Ответ: - 1 ≤ х ≤ 3.

Пример 2: 9 - 4x² > 0,

Решение . a = -4. Ветви направлены вниз. Нули функции: 9 - 4х² = 0. (3 - 2х) (3 + 2х) = 0;

x₁ = -1,5 , x₂ = 1,5

Ответ: -1,5 < х <- 1,5.

Пример 3: 9х² - 6х + 1 > 0.

Решение: а = 9, ветви направлены вверх. Нули функции: 9х² - 6х + 1 = 0

(3x – 1)² = 0; x = 1/3

График касается оси ОХ .

Ответ: х > 1/3 , х < 1/3

Пример 4: -х² + х –1≤ 0.

Решение: а = –1, ветви направле­ны вниз.

Нули функции: -х² + х - 1 = 0; х² – х + 1 = 0; D = 1 – 4 = -3<0

Нулей нет; ось ОХ график не пересекает. Очевидно, что данное неравенство решений не имеет.

Ответ: нет решений.

3. Метод интервалов

Алгоритм решения:

1) Разложить квадратный трёхчлен по формуле ах² + bх + с = а(х-х₁)(х-х₂). Для этого необходимо решить квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 и найти его корни х_{1 и} х_2;

2) на числовом луче отметить точки с координатами х_{1 и} х₂, разделяющие луч на три интервала;

3) определить знак, который принимает выражение а(х-х₁)(х-х₂) на каждом интервале;

4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значе­ния.

Пример.

Решить неравенство: х²- 2х- 3 ≤0

Решение.

1) Для решения квадратного неравенства необходимо решить квадратное уравнение и определить его корни:

х² - 2х - 3 = 0,

D = b² – 4ac = (-2)² – 4*1*(-3) = 4+12 = 16

x₁ = 3, x₂ = -1

Разложив по формуле ах² + bх + с = а(х-х₁)(х-х₂) квадратный трёхчлен х² - 2х – 3, получим:

х² - 2х – 3 = (х-3)(х+1).

2. Нанесем на числовой луч точки x₁ = 3, x₂ = -1. Эти точки разделят числовой луч на три интервала:

(-∞;-1]- I интервал

[-1;3]- II интервал

[3;+ ∞) – III интервал

3) Определим, какой знак будет у нашей функции на каждом из трех обозначенных интервалов. Для этого в выражение (х-3)(х+1) вместо х подставим любое число из каждого интервала. И, если результат будет 0, то в интервале поставим знак +(«плюс»), а если результата 0, то знак – («минус»).

-1 3

Так как по условию задачи нас интересуют значения функции с отрицательным знаком или нулем, т.е. ≤ 0, то ответом будет отрицательный интервал на числовом луче.

Ответ: - 1 ≤ х ≤ 3 или х[-1;3].

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств вида , где а – положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:

1. Если а >1, то неравенство равносильно неравенству .

2. Если 0<а<1, то неравенство равносильно неравенству _{(меняется знак неравенства)}.

Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.

Пример 1. Решить неравенство: 2^х < 8

Пример 2. Решить неравенство:

Решение логарифмических неравенств

Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида

Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:

1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

2. Если 0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств:

Пример 1.

Решение:

Ответ

Пример 2.

Решение:

Ответ (1;1,2).

Пример 3. .

Решение:

Ответ (-10;20).

Пример 4. .

Решение:

Ответ (3;21).

Тема 12.4. «Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств»

Выполнить задания СР №39 для подготовки к контрольной работе по Разделу 12.

Самостоятельная работа №39

Задание: решите уравнение и неравенства

1. Ответ:

2. Ответ: х = - 1, х = 2.

3. Ответ: х = - 1

4. Ответ: , .

неравенства

ответы

неравенства

ответы

5. 

6. 

7. 

8. x(x+2)(x+3)≤0

9. (x²+4x+3)/(x – 4)≤0

10. 2^x≥16

(–∞; –3)

[–1,5; +∞)

(-∞;-3] [-2;0]

(-∞;-3] [1;4)

[4; ∞)

11. (1/2)^x≥1/16

12. 4^2x+1 > 0,125

13. 100^2x+1 < 0,1

14. log₃x>3

15. log_1/3(x – 4)> – 2

16. log₂(x – 4)<4

17. log₂(2x – 3)>log₂(x+4)

18. log_1/2(2x – 3)>log_1/2(x+4)

(-∞;4]

(-5/4; ∞)

x < -3/4

(27; ∞)

(4;13)

(4;20)

(7; ∞)

(3/2; 7)

1. Решить уравнение:

Решение.

или

Ответ:

2) Решить уравнение:

= 0

решений нет х = - 1, х = 2.

Ответ: х = - 1, х = 2.

Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.

3) Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а .

Ответ: .

4) Решить уравнение .

Решение. Введем новую переменную . Подставляем переменную в исходное уравнение и получаем следующее квадратное уравнение: . Находим корни: , ; , . Но , , ; , , .

Ответ: , .