Методические указания по элементам высшей математики

Депобразования и молодежи Югры

бюджетное учреждение профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«Мегионский политехнический колледж»

(БУ «Мегионский политехнический колледж»)

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

Мегион, 2016

РАССМОТРЕНО

на заседании ЦМК естественнонаучных дисциплин

БУ «Мегионский политехнический колледж»

Протокол №___ от «__»___________2016 г.

Составитель:

Хучашева Л.М., преподаватель 

Методические указания разработаны для оказания помощи обучающимся в выполнении практических работ по дисциплине «Элементы высшей математики» (специальность «Программирование в компьютерных системах»).

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.. 4

Практическая работа № 1. 18

Практическая работа № 2. 18

Практическая работа № 3. 21

Практическая работа № 4. 21

Практическая работа № 5. 30

 Практическая работа № 6. 30

Практическая работа № 7. 32

Практическая работа № 8. 32

Практическая работа № 9. 37

Практическая работа № 10. 37

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Элементы высшей математики» и предназначена для обучающихся специальности «Программирование в компьютерных системах»

Цель разработки: направление и оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по дисциплине «Элементы высшей математики».

Выполнение практических работ является неотъемлемым этапом изучения дисциплины «Элементы высшей математики», практическая работа выполняется обучающимся самостоятельно во время учебного процесса по календарно - тематическому плану на основании нормативных документов, методических указаний, полученных теоретических знаний и опыта работы.

Основные этапы выполнения практической работы:

1. Изучение темы практической работы

2. Выполнение расчетной части

3. Оформление графиков, схем

4. Оформление практической работы

СПИСОК ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

по дисциплине «Элементы высшей математики»

для специальности «Программирование в компьютерных системах»

Практическая работа № 1.

Функции.   Теория пределов.

Практическая работа № 2.

Понятие о матрицах. Действия над матрицами. Определители матриц. Правило Крамера. Метод Гаусса. Обратная матрица. Понятие единичной матрицы

Практическая работа № 3.

Уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости. Уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение плоскости, эллипс, гипербола, парабола

Практическая работа № 4.

Изображение и запись комплексных чисел в алгебраической тригонометрической и показательной формах

Практическая работа № 5.

Производная и дифференциал. Таблица производных.   Производные и дифференциалы высших порядков.

Практическая работа № 6.

Дифференцируемые функции. Правило Лопиталя.

Практическая работа № 7.

Общая схема исследования функции и построения графика. Критические точки первого рода. Участки монотонности. Выпуклость функции. Критические точки второго рода. Участки выпуклости. Точки перегиба. Асимптоты функции.

Практическая работа № 8.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям.

Практическая работа № 9.

Основное понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница Площадь, ограниченная плоской кривой. Длина дуги плоской кривой. Объем тела вращения.

Практическая работа № 10.

Определение дифференциального уравнения. Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнение Бернулли; Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка

Практическая работа № 1

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Функции.   Теория пределов.

Цель работы:  научиться вычислять пределы функций

Вариант 1

1.Вычислить предел функции:

.                                               

2.Вычислить предел функции:

.

3.Вычислить предел функции :

.

4.Вычислить предел функции:

.

Вариант 2

1.Вычислить предел функции:

.

2.Вычислить предел функции:

.

3.Вычислить предел функции:

.

4.Вычислить предел функции:

.

Вариант 3

1.Вычислить предел функции:

.

2.Вычислить предел функции:

.

3.Вычислить предел функции:

.

4.Вычислить предел функции:

.

Вариант 4

1.Вычислить предел функции:

.

2.Вычислить предел функции:

3.Вычислить предел функции:

.

4.Вычислить предел функции:

.

Вариант 5

1.Вычислить предел функции:

.

2.Вычислить предел функции:

.

3.Вычислить предел функции:

.

4.Вычислить предел функции:

.

Вариант 6

1.Вычислить предел функции:

.

2.Вычислить предел функции:

..

3.Вычислить предел функции:

.

4.Вычислить предел функции:

.

Время на выполнение: 60 мин.

 

 

 

Практическая работа № 2

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Понятие о матрицах. Действия над матрицами. Определители матриц. Правило Крамера. Метод Гаусса. Обратная матрица. Понятие единичной матрицы

Цель работы:  научиться производить операции над матрицами, решать системы уравнений методом Крамера,Гаусса и с помощью обратной матрицы

Вариант 1

1. Найти матрицу C=A+2B, если , .

2.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Вариант 2

1.Найти матрицу C=A+3B, если , .

2.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Вариант 3

1.Найти матрицу C=2A-B, если , .

2.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

,

Вариант 4

1.Найти матрицу C=3A+B, если , .

2.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Вариант 5

1.Найти матрицу C=A-4B, если , .

2.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

                     

Вариант 6

1.Найти матрицу C=4A-B, если , .

2.Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

Практическая работа № 3

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости. Уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение плоскости, эллипс, гипербола, парабола

Цель работы: научиться строить прямые и кривые второго порядка

Вариант 1

1. Построить графики кривых, заданных уравнениями 25х²-100х+4у²+8у+4=0

Вариант 2

1. Определить тип кривой, привести к каноническому виду,

построить графики кривых, заданных уравнениями 4х²+8х-9у²+36у-68=0

Вариант 3

1. Определить тип кривой, привести к каноническому виду,

построить графики кривых, заданных уравнениями 2х²-12х-3у+6=0

Вариант 4

1. Определить тип кривой, привести к каноническому виду,

построить графики кривых, заданных уравнениями х²-8х+у²+6у=0

Вариант 5

1. Определить тип кривой, привести к каноническому виду,

построить графики кривых, заданных уравнениями х²-4х+у²+14у+54=0

Вариант 6

1. Определить тип кривой, привести к каноническому виду,

построить графики кривых, заданных уравнениями 4х²-8х+9у²-36у+4=0

                                  Практическая работа № 4

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Изображение и запись комплексных чисел в алгебраической тригонометрической и показательной формах

Цель работы: научиться изображать и записывать комплексные числа в различных формах

Вариант 1

1.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить на плоскости  4+3ί

2.Данное комплексное число возвести в квадрат, умножить, разделить, вычесть и сложить с комплексным числом  5-7 ί

Вариант 2

1.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить на плоскости   -3 +4ί

2.Данное комплексное число возвести в квадрат, умножить, разделить, вычесть и сложить с комплексным числом  5-7 ί

Вариант 3

1.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить на плоскости   -8 +6ί

2.Данное комплексное число возвести в квадрат, умножить, разделить, вычесть и сложить с комплексным числом  5-7 ί

Вариант 4

1.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить на плоскости     20-15ί

2.Данное комплексное число возвести в квадрат, умножить, разделить, вычесть и сложить с комплексным числом  5-7 ί

Вариант 5

1.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить на плоскости -10 +24ί

2.Данное комплексное число возвести в квадрат, умножить, разделить, вычесть и сложить с комплексным числом  5-7 ί

Вариант 6

1.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить на плоскости  -30 +40ί

2.Данное комплексное число возвести в квадрат, умножить, разделить, вычесть и сложить с комплексным числом  5-7 ί

 

Практическая работа № 5

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Производная и дифференциал. Таблица производных.   Производные и дифференциалы высших порядков.

Цель работы: научиться вычислять производные и дифференциалы высших порядков.

Вариант 1

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3. Вычислить производную   Ln⁴ cos2x

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 2

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3. Вычислить производную   Lg⁴ sin3x

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 3

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3 Вычислить производную    arccos⁴ 5x

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 4

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3. Вычислить производную    cos x/ Ln²x

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 5

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3. Вычислить производную   tg x/ Ln²x

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 6

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3. Вычислить производную   cos x/ ctg²x

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Дополнительные задания

1.Найти частные производные 

  1.          2              3             4

2. Найти полный дифференциал  dz,

1 .                       2                      3     

4            5                    6 

                              

 

                                  Практическая работа № 6

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Дифференцируемые функции. Правило Лопиталя.

Цель работы: научиться вычислять пределы по правилу Лопиталя

Вариант 1.

1.Найти пределы по правилу Лопиталя               

Вариант 2.

1.Найти пределы по правилу Лопиталя              

Вариант 3.

1.Найти пределы по правилу Лопиталя                     

.         

  Вариант 4.

1.Найти пределы по правилу Лопиталя             

  Вариант 5.

1.Найти пределы по правилу Лопиталя  .           .

Вариант 6

1.Найти пределы по правилу Лопиталя                       .

Дополнительные задания

1. Найти производную

  1.  .              2.           3.        

4.              5.                6. .  

7.                   8.               9.  .  

10.

                                     Практическая работа № 7

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Общая схема исследования функции и построения графика. Критические точки первого рода. Участки монотонности. Выпуклость функции. Критические точки второго рода. Участки выпуклости. Точки перегиба. Асимптоты функции.

Цель работы: научиться проводить полное исследование функций

Вариант 1

1.Исследовать функцию и построить ее график.   А) у = х³-3х² +3х+2

Б) у = 3х  / х ² +1

Вариант 2

1.Исследовать функцию и построить ее график.  А) у= х³-9х² +15х+1

Б) у = ( х ² +1) / х

Вариант 3

1.Исследовать функцию и построить ее график  А) у = 2х³-9х² +12х-3

Б) у=6/ (х²  - 1)

Вариант 4

1.Исследовать функцию и построить ее график.  А) у = 2х³-3х² -36х+10

Б) у= (х-4) /  х²

Вариант 5

1.Исследовать функцию и построить ее график.  А)у = - х³+9х² -24х+10

Б) у= (х² -7) / х

Вариант 6

1.Исследовать функцию и построить ее график.  А)у = х³-3х² -9х+35

Б)у= х² /(х-3)

Дополнительные задания

1. Исследовать функции

1.  .                2.

3. .                        4..

5.  .              6.

                                   Практическая работа № 8

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям.

Цель работы: научиться интегрированию разными методами

Вариант 1

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования

(для № 1-5).

1..

2..

3..

4..

5..

6.Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

7..

8..

9..

10.Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: .

Вариант 2

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования

 (для № 1-5).

1..

2..

3..

4..

5..

6.Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

7..

8..

9..

10.Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: .

                                 Практическая работа № 9.

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы: Основное понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница .Площадь, ограниченная плоской кривой. Длина дуги плоской кривой. Объем тела вращения.

Цель работы: научиться находить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница, вычислять площадь, длину дуги и объем тела вращения

Вариант 1

1.Вычислить определенный интеграл: .

2.Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .

3.Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: .

4.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: .

5.Скорость движения точки изменяется по закону  (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Вариант 2

1.Вычислить определенный интеграл: 1..        

2.Вычислить определенный интеграл методом подстановки: .

3.Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: .

4.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: .

5.Скорость движения точки изменяется по закону  (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду.

Дополнительные задания

1. Вычислить интеграл

   1            2            3            4 

   5        6              7                 8   

   9           10 

                               Практическая работа № 10.

По предмету: Элементы высшей математики

Тема работы:

Определение дифференциального уравнения. Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнение Бернулли; Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения

Вариант 1

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений

 (для № 1-4).

1..

2..

3..

4..

Решить задачу Коши:

5. .

Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка

(для № 6-12).

6..

7..

8..

9..

10..

11..

12..

Вариант 2

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений

(для № 1-4).

1..

2..

3..

4..

Решить задачу Коши:

5..

Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка

(для № 6-12).

6..

7..

8..

9..

10..

11..

12..

Дополнительные задания

1. Найти общее решение

1.          2.  

2. Найти решение задачи Коши

1.                 2.  

3 .                      4.  

3. Найти общее решение

1.                                             2.

3.                                                          4.