Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по математике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания по математике

библиотека
материалов

hello_html_1aab8408.gifhello_html_m51f03a96.gifhello_html_60f3e66a.gifhello_html_m3b269139.gifГосударственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

САМАРСКИЙ ТЕХНИКУМ СЕРВИСА ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ОБОРУДОВАНИЯ






Мелентьева С.Б.






МАТЕМАТИКА

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ТЕМЕ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».































Самара. 2014





ОДОБРЕНА

Предметно- цикловой

комиссией

____ /Елшанская С.В /


« » 20__ г.


Составлена в соответствии с ФГОС по специальностям СПО

Рекомендовано к использованию

решением методического

совета №__________

от «___ »__________2014 г.



Рекомендовано к использованию

решением методического совета №

от « » 20__ г.


Председатель совета

зам. директора по УМР

/ФИО / (подпись)

« » 20___ г.


Разработал: Мелентьева С.Б.



Рецензент:























Пособие представляет собой издание, содержащее карточки – инструкции и задания для самостоятельного решения направленные на усвоение, закрепление знаний и формирование практических умений и навыков решения уравнений и неравенств по теме: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств». Для обучающихся первого курса всех специальностей и профессий.



ВВЕДЕНИЕ



Данное пособие обеспечивает обязательный минимум общеобразовательной подготовки студентов по математике, при изучении темы «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств».

В пособие приведены карточки – инструкции обучающего характера, способствующие повторению, закреплению знаний и умений.

Подобранны разно уровневые задания для самостоятельного решения, которые помогут преподавателю правильно построить свою деятельность и использовать данный материал для составления и проведения дифференцированных самостоятельных, контрольных и зачетных работ.

Цель:

-научить решать показательные уравнения и неравенства;

-сформировать у студентов навыки и умения применения свойств показательной функции при решении упражнений;

-сформировать у студентов навыки и умения в решении основных видов показательных уравнений и неравенств, используя свойства степени и показательной функции;

Карточки - инструкции предназначены для студентов всех специальностей техникума при изучении темы «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств».



1.Основные теоретические сведения.



Определение. Показательной функцией называется функция hello_html_m628e768c.gif, где а- заданное число. hello_html_4df76f16.gif

Свойства показательной функции.

1. Область определения функции – множество R всех действительных чисел.

2. Область значений функции – множество всех положительных чисел.

3. Монотонность функции:

если, hello_html_7db4e636.gif функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел;

если, hello_html_m6309732.gif функция является убывающей на множестве всех действительных чисел;

4. График функции проходит через точку (0; 1)

5. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства:

hello_html_m4fa7faa2.gif

hello_html_41a1905b.gif

hello_html_32c3292.gif

hello_html_1129635d.gif

hello_html_7af33936.gif

Эти формулы называют основными свойствами степеней



Определение. Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени

Рассмотрим простейшее показательное уравнение hello_html_m11904f03.gif, где hello_html_m73437e0a.gif. Область значений функции hello_html_e5fb066.gif - множество положительных чисел. Поэтому в случае hello_html_64f8101d.gif или hello_html_m6ec0434f.gif уравнение не имеет решений.

Отметим некоторые способы решения показательных уравнений:

  1. Решение показательных уравнений приведением степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию.

  2. Метод вынесения общего множителя за скобку.

  3. Приведение показательного уравнения к квадратному, с введением новой переменной.

Определение. Неравенства вида hello_html_18cc488a.gifилиhello_html_1c8f9554.gif, где hello_html_m73437e0a.gif называют простейшими показательными неравенствами.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной функции. Известно, что при основании, больше единицы, показательная функция возрастает hello_html_m26d18a48.gif, а при положительном основании меньше единицы и больше 0,- убываетhello_html_m5ae248d7.gif.

В процессе решения показательных неравенства приводятся к виду

hello_html_m39461296.gif(hello_html_m3b311295.gif), если hello_html_7db4e636.gif знак неравенства сохраняется

или hello_html_5daefc95.gifесли hello_html_m6309732.gif знак неравенства меняется на противоположный

При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.













































2.Решение показательных уравнений приведением степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию.



Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».



  1. Решите уравнение hello_html_4136aa2a.gif

Решение. Представляем правую часть данного уравнения в виде hello_html_m3ec527a5.gif. Тогда, в соответствии со свойствами степеней, запишем уравнение, равносильное исходному

hello_html_16e9be9b.gif

Решаем это уравнение получаем hello_html_m12bcd009.gif и hello_html_m4a4dfee.gif.

Ответ: 1; 2.



  1. Решите самостоятельно:

а)hello_html_m22c0810a.gif; б) hello_html_616d2d1e.gif





Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».

  1. Решите уравнения:

hello_html_24e97b5f.gif



Решение.

Указание. hello_html_6e65693f.gif, поэтому заменим единицу числом hello_html_c68afc3.gif.

hello_html_m5dd624f1.gif

hello_html_m1f12b962.gif

hello_html_51c05533.gif

Указание. hello_html_m57daa1f8.gif применяя эту формулу, получаем:

hello_html_m17850083.gif







3.Метод вынесения общего множителя за скобку.



Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».



  1. Решите уравнение hello_html_m42ec4a74.gif

Решение. Это уравнение решается способом вынесения общего множителя за скобки. За скобки выноситься множитель с наименьшим показателем степени hello_html_m504caffe.gif. Чтобы найти многочлен. Заключаемый в скобки, надо каждый член многочлена. Стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель.

Используя правило hello_html_41a1905b.gif, произведем деление:

а) hello_html_57ee38de.gif

б) hello_html_1414851e.gif

в) hello_html_76e6afc9.gif

Получаем уравнение:hello_html_m7a364c72.gif

Производим действия, заключенные в скобке:

hello_html_m109b5cfc.gif

Разделим обе части уравнения на 79, получим

hello_html_3c8943b1.gif

hello_html_267c69ee.gif

hello_html_2b9b4ac9.gif

Ответ: 1



  1. Решите самостоятельно:

а)hello_html_22fbbb0b.gif б) hello_html_32910047.gif















4.Приведение показательного уравнения к квадратному,

с введением новой переменной.



Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».



  1. Решите уравнение hello_html_114720b6.gif

Решение. 1) Заменим hello_html_m4478ed11.gif, тогда hello_html_5aa1f7ca.gif.

2) Уравнение приводиться к виду hello_html_mf8b02be.gif, решая квадратное уравнение, получим корни hello_html_4f041d00.gif.

3) Получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида: hello_html_43db8703.gif

hello_html_m1b8727c6.gif.

4) Решим показательное уравнениеhello_html_77e4ffd4.gif. Так как hello_html_69cbc17d.gif, то hello_html_m39b8a0af.gif, откуда х=0.

5) Решим показательное уравнениеhello_html_m1b8727c6.gif. Так как 9hello_html_36622543.gif, то hello_html_m5e217a11.gif, откуда х=2.

Ответ: 0; 2.

Можно сделать проверку найденных корней уравнения.

1)Проверим корень х=0. Подставим значение х=0 в заданное уравнение, получим

hello_html_m77d6628b.gif; 0=0 – истинно.

2)Проверим корень х=2. Получаем hello_html_f4acfc6.gif; 0=0 – истинно. Таким образом, х=0 и х=2 являются корнями данного уравнения.



  1. Решение самостоятельно: hello_html_6db49852.gif







Карточка может иметь и сокращенную запись решения, например:

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».



  1. Решите уравнение: hello_html_m15e0774b.gif

Решение. 1) hello_html_7d633f50.gif.

2) hello_html_m713d68f5.gif.

3) hello_html_28cb2e5e.gif, hello_html_m7fd236f9.gif.

4) hello_html_m6372a560.gif; hello_html_m707e5a6.gif; hello_html_m1c1d8e53.gif; hello_html_757a07ce.gif;

hello_html_m78ebd69c.gif;

hello_html_4f19e20e.gif.

5) hello_html_34e82b6c.gif; hello_html_m5a07404f.gif; hello_html_75c26a07.gif; х=3.

6) hello_html_5d854c75.gif; hello_html_m225cf016.gif - не имеет смысла, так как hello_html_m2456a165.gif при любых значениях.

Ответ:3.



  1. Решите самостоятельно:hello_html_1ff8d8df.gif







Карточка может иметь только отдельные указания к решению уравнения, например:

Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных уравнений».



  1. Решите уравнение: hello_html_m675165b6.gif

Указания: 1) Преобразовать член уравнения hello_html_636b10d8.gif

2) Получаем уравнение hello_html_62439513.gif.. Почему способ вынесения общего множителя не годиться?

Данное показательное уравнение сводиться к квадратному введением вспомогательного переменного. Закончите решение уравнения.

  1. Решите уравнение:hello_html_m4016f1d4.gif

Указания: 1) Замените hello_html_m79855aa1.gif, тогда hello_html_m3d710da8.gif

2) Приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной hello_html_28cb2e5e.gif

  1. Решите уравнение:hello_html_m2afd1084.gif

Указание: Уравнение заменой переменного приводиться к квадратному.

















5.Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнения:

На оценку «3»

1

hello_html_ma1dd999.gif

2

hello_html_m3cc1eadd.gif


3

hello_html_24b6f74e.gif


4

hello_html_615c2e7f.gif

5


hello_html_412a74aa.gif

6

hello_html_d0345e7.gif

7


hello_html_765d91a2.gif

8

hello_html_m66b4d257.gif

9

hello_html_528d19a3.gif

10

hello_html_m3f6af75.gif


11

hello_html_m774321ab.gif


12

hello_html_m70075ba9.gif

13


hello_html_cdeb45e.gif

14

hello_html_2dc14ff9.gif

15


hello_html_6cff6a51.gif

16

hello_html_m18671532.gif

17


hello_html_m7d53eac5.gif

18

hello_html_m7d62b2d4.gif

19




hello_html_75616cf5.gif

20

hello_html_m317954d2.gif

21

hello_html_m3ef8c470.gif

22

hello_html_3b3a9199.gif


23

hello_html_m6d05cc6.gif


24

hello_html_m79df990.gif

25

hello_html_m6002b714.gif

26

hello_html_m1999ac83.gif



















На оценку «4»

1


hello_html_78ec19b9.gif




2

hello_html_m35775eea.gif

3

hello_html_m434cd42d.gif


4

hello_html_m5af201ed.gif

5


hello_html_55336048.gif




6

hello_html_m157a4861.gif

7


hello_html_m5c2e3a4.gif




8

hello_html_m7f5d87da.gif

9

hello_html_m6740efa0.gif




10

hello_html_m1c6bf0fa.gif


11

hello_html_100a5ab8.gif


12

hello_html_m14020d93.gif

13

hello_html_35b13a05.gif




14

hello_html_m17995260.gif

15

hello_html_m164ab636.gif




16

hello_html_58187e3a.gif

17

hello_html_720f3b83.gif


18

hello_html_2224f45e.gif

19

hello_html_m49ba1fe7.gif


20

hello_html_m3abc26b1.gif

21

hello_html_e1cc55f.gif




22

hello_html_m631c40bc.gif

23

hello_html_35fabe81.gif

24

hello_html_m25e87657.gif




25

hello_html_473c5462.gif

26

hello_html_55d5a037.gif













На оценку «5»

1

hello_html_m20fd98b2.gif




2

hello_html_37da254e.gif

3


hello_html_m2e1d7970.gif




4

hello_html_1b14ecb9.gif

5

hello_html_m3decbfd7.gif




6

hello_html_m13d0b0bc.gif

7


hello_html_m39c1c3b9.gif




8

hello_html_474c5465.gif=1

9


hello_html_m62182fe2.gif




10

hello_html_m6cf1ac21.gif

11


hello_html_m468f6d23.gif




12

hello_html_27549500.gif

13


hello_html_7b2039b5.gif




14

hello_html_167f3367.gif

15


hello_html_m14b1fcfc.gif




16

hello_html_m7bf0a5a4.gif

17

hello_html_m51db64bb.gif

18

hello_html_4b910c8d.gif



























6.Решение показательных неравенств.



Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».



  1. Решите неравенство: hello_html_513464d.gif

Решение: 1) Так, как hello_html_57f80b9d.gif.

Перепишем неравенство в следующем виде hello_html_m57121be9.gif. Показательная функция hello_html_m5c4fc801.gif убывает (hello_html_m38a5cef4.gif.поэтому данное неравенство равносильно неравенству hello_html_m79f09509.gif, решив его, получаем hello_html_482020b6.gif.

Ответ: hello_html_m34d7d821.gif



  1. Решите самостоятельно неравенство:

а) hello_html_m71fccfe1.gif б) hello_html_m266fe2a1.gif







Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».



  1. Решите неравенство: hello_html_2ec486db.gif

Решение:1) Обозначим hello_html_28cb2e5e.gif, тогда , так как hello_html_61058877.gif, то hello_html_m7fd236f9.gif

Неравенство hello_html_m647075ce.gif приводиться к виду hello_html_m190be505.gif

2) Решим неравенство hello_html_m190be505.gif

а) находим дискриминант по формуле hello_html_m73fc3417.gif

б)находим корни по формуле hello_html_ba47bbd.gif, hello_html_754e121f.gif, и hello_html_3dcb9d14.gif

в) проиллюстрируем полученные результаты на числовой прямой

График функции hello_html_5b02fd64.gif – парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент hello_html_ma1a0cee.gif). Так как hello_html_m190be505.gif, то множество решений этого неравенства есть числовой промежуток (-4;1), т.е. hello_html_4b7f4324.gif



-4 - 1 х



3) Так как hello_html_28cb2e5e.gif, то подписав вместо у найденное его значение, получаем двойное неравенство hello_html_39c2d189.gif

Рассмотрим это неравенство hello_html_m37972a45.gif при любом значении х, так как показательная функция hello_html_m79a650dd.gif может принимать только положительные значения (свойство показательной функции).

Остается рассмотреть одно условие: hello_html_m7c6d7ab2.gif или hello_html_6abd9591.gif. Функция hello_html_m79a650dd.gif - в–зрастающая (основание hello_html_m469b8c58.gif), следовательно, hello_html_m47663eef.gif

Ответ hello_html_6bb22aff.gif



  1. Решите самостоятельно неравенство:hello_html_13dc756e.gif













































7.Карточки для работы с хорошо успевающими учащимися.



Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».



  1. Решите неравенство hello_html_7714bb8f.gif

Решение. 1) hello_html_6463a9f3.gif, откуда получаем систему

hello_html_m6e5ad60f.gif

2)hello_html_ba03fd.gif; hello_html_d546970.gif; hello_html_41397d02.gif или hello_html_m33a12c6b.gif

а)hello_html_m59fafa44.gif. Тогда решение hello_html_m33a12c6b.gif

б) hello_html_76f6a47b.gif, тогда решение hello_html_41397d02.gif

Ответ: hello_html_7e15a90a.gif



Решите самостоятельно неравенство: hello_html_mc1d1a55.gif







Карточка-инструкция по теме: «Решение показательных неравенств».



  1. Решите неравенство: hello_html_6b7da742.gif.

Решение. 1) Если hello_html_5952e1c7.gif, то данное неравенство hello_html_m78ca0b8d.gif равносильно системе неравенств

hello_html_m448ae1a5.gif



2 3 х



а) hello_html_5952e1c7.gif, hello_html_5dbda59d.gif;

б) hello_html_13777d65.gif, откуда hello_html_m72f21243.gif или или hello_html_m60ec0e16.gif (см. рис. )

в) hello_html_m153cb28.gif или hello_html_15d1bbd6.gif;

hello_html_e97bce6.gifили hello_html_m72f21243.gif.

2) Если hello_html_m68c37764.gif. То данное неравенство равносильно системе неравенств

hello_html_m107d2bf6.gif

а) hello_html_m68c37764.gif, откуда hello_html_78560d9a.gif;

б) hello_html_533fc128.gif, откуда hello_html_m703d7da6.gif;

в) hello_html_26b8d77d.gif - с–стема решений не имеет

Ответ: hello_html_m17d5403c.gif.



  1. Решите самостоятельно неравенство: hello_html_m621c010f.gif





























































8.Задания для самостоятельного решения.

Решите неравенства:



На оценку «3»

1


hello_html_56499d5e.gif




2

hello_html_6baa3c4.gif

3


hello_html_57d2bbe0.gif




4

hello_html_m8f70d1a.gif

5


hello_html_m771877df.gif




6

hello_html_m6b0a3469.gif

7


hello_html_6f17e462.gif




8

hello_html_7614f114.gif

9


hello_html_17b634be.gif




10

hello_html_6f59f224.gif

11


hello_html_4474fc58.gif




12

hello_html_m34f1e8dc.gif

13

hello_html_59ea9d.gif









На оценку «4»

1

hello_html_m1cdc5a5a.gif




2

hello_html_41bf79c7.gif

3

hello_html_m7b54de02.gif




4

hello_html_207275ac.gif

5

hello_html_846d176.gif




6

hello_html_4cf52629.gif

7


hello_html_a52fe6.gif




8

hello_html_m6744fced.gif

9


hello_html_m63f455d6.gif




10

hello_html_4a534f54.gif



11


hello_html_2b3f6b8b.gif






12



hello_html_mf087532.gif



13

hello_html_m612e3e98.gif






14



hello_html_56b0ec2d.gif



15

hello_html_3f6fb57c.gif






16

hello_html_29eaf6c5.gif

17

hello_html_1e1c71cd.gif

18

hello_html_6ac4cb2b.gif







На оценку «5»



1

hello_html_m1b8fff28.gif






2

hello_html_m10420b04.gif

3

hello_html_m73dfac30.gif




4

hello_html_215a3242.gif


5

hello_html_m69cc4c94.gif




6

hello_html_m1e8f7b68.gif


7

hello_html_m4afdf30d.gif

8

hello_html_m56fd82a6.gif

































Литература.



  1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень)-М.: Издательский центр «Академия», 2009.-304с.

  2. Башмаков М.И. Математика.10 класса: Сборник задач: среднее (полное) общее образование -М.: Издательский центр «Академия», 2008.-272с.

  3. Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., Шварцбург С.И.. Алгебра и начало анализа: Учебник для 10-11 кл.общеобразоват. учреждений.-11-е изд.-М.:Просвещение, 2001.-384с.

  4. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Ростов н/Д: «Феникс», 2003.-352с.

  5. Тырымов А.А. Математика для поступающих в вузы (Способы решения основных типов задач, предполагаемых на письменных экзаменах. Алгебра и тригонометрия) часть 1- Издательство «Учитель», 2000.-80с.







































































Содержание.





  1. Введение. 3.

  2. Основные теоретические сведения 4

  3. Решение показательных уравнений приведением степеней в левой и

правой частях уравнения к одному и тому же основанию. 6.

  1. Метод вынесения общего множителя за скобку. 7

  2. Приведение показательного уравнения к квадратному, с введением

  3. новой переменной. 8.

  4. Задания для самостоятельного решения. 10

  5. Решение показательных неравенств. 13

  6. Карточки для работы с хорошо успевающими учащимися. 15

  7. Задания для самостоятельного решения. 17

  8. Литература. 19




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров329
Номер материала ДВ-352210
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх