Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по организации самостоятельной работы студентов. Дисциплина: Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания по организации самостоятельной работы студентов. Дисциплина: Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия

библиотека
материалов

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Иркутской области

Иркутский региональный колледж педагогического образования

(ГБПОУ ИО ИРКПО)


Кафедра математики и информатики









Методические указания

по организации самостоятельной работы студентов


Специальности:

44.02.02 Преподавание в начальных классах

44.02.03 Педагогика дополнительного образования

49.02.01 Физическая культура



Дисциплина: Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия


















Иркутск 2016





Организация разработчик: ГБПОУ ИО ИРКПО


Разработчик:

Парникова М.В., преподаватель математики___________________

Терещенко К.А., преподаватель математики____________________

Тумина Т.К ., преподаватель математики_______________________




Рассмотрены и утверждены на заседании кафедры Математики и информатики

Протокол № 9 от «5» мая 2016 г.

Зав. кафедрой _____________________________/Гусева А.В./




Утверждены на заседании научно-методического совета

Протокол № __ от «___» __________ 2016 г.


Заместитель директора по ОД_________________/Тимергалеева Ж.Г./





Методические указания к выполнению самостоятельной работы студентов по дисциплине Математика / сост.: Парникова М.В., Терещенко К.А., Тумина Т.К. – Иркутск: ГБПОУ ИО ИРКПО, 2016. -78 с.




Методические указания предназначены для оказания методической помощи студенту при выполнении самостоятельной работы по дисциплине Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия.






© ГБПОУ ИО ИРКПО, 2016





Оглавление













Пояснительная записка


Данные методические указания разработаны на основе программы учебной дисциплины «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» для специальностей среднего профессионального образования в соответствии с федеральным базисным учебным планом. Максимальная нагрузка обучающегося на изучение предмета составляет 234 часа, в том числе обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 156 часов, самостоятельной работы обучающегося 78 часов.

Методические указания разработаны для студентов специальностей 44.02.02 Преподавание в начальных классах, 44.02.03 Педагогика дополнительного образования; 49.02.01 Физическая культура и предназначены для реализации требований федерального государственного образовательного стандарта и рабочей программы по дисциплине Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия; оказания методической помощи студенту при выполнении самостоятельной работы.


Содержание методических указаний направлено на достижение следующих целей:

  • обеспечения сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

  • обеспечения сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;

  • обеспечения сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;

  • обеспечения сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.


Самостоятельная работа по дисциплине «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» направлено на достижение следующих результатов:

личностных:


  • сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;


  • понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;


  • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;


  • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;


  • готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;


  • готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;


  • готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;


  • отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;


метапредметных:


  • умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;


  • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;


  • владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;


  • готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;


  • владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;


  • владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения;


  • целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;


предметных:


  • сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;


  • сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;


  • владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;


  • владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;


  • сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать. поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;


  • владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;


  • сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;


  • владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.




Тематика самостоятельной работы по дисциплине

«Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»


Раздел

Тема

Форма контроля

Время

Раздел 1. Геометрия

Тема 1.1. Прямые и плоскости в пространстве

Тема 1.2. Координаты и векторы

Тема 1.3. Многогранники

письменная работа в тетрадях

макеты двугранных углов

4

письменная работа в тетрадях

2

письменная работа в тетрадях

модели многогранников

4

Тема 1.4. Тела и поверхности вращения


письменная работа в тетрадях

модели тел вращения

4

Тема 1.5. Измерения в геометрии


письменная работа в тетрадях


2

Раздел 2. Алгебра, начала математического анализа, геометрия

Тема 2.1. Развитие понятия о числе

Тема 2.2. Корни, степени и логарифмы

Тема 2.3. Основы тригонометрии

Тема 2.4. Функции, их свойства и графики

Тема 2.5. Начала математического анализа

Тема 2.6. Интеграл и его применение

Тема 2.7. Уравнения и неравенства


письменная работа в тетрадях


4

письменная работа в тетрадях


8

письменная работа в тетрадях


8

письменная работа в тетрадях


6

письменная работа в тетрадях


12

письменная работа в тетрадях


2

письменная работа в тетрадях


16

Раздел 3. Комбинаторика. Статистика и теория вероятностей.

Тема 3.1. Элементы комбинаторики

Тема 3.2. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.


письменная работа в тетрадях

подготовка реферта

4

письменная работа в тетрадях


2


Обобщенные критерии оценки качества выполнения самостоятельной работы



Ответ оценивается отметкой «отлично», если:

  • работа выполнена полностью;

  • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «хорошо » ставится в следующих случаях:

  • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны;

  • допущены одна ошибка или есть два – три недочёта;

Отметка «удовлетворительно» ставится, если:

  • допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов, но обучающийся обладает обязательными умениями по данной теме.



Отметка «неудовлетворительно» ставится, если:

  • допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.



РАЗДЕЛ 1. Геометрия

Тема 1.1. Прямые и плоскости в пространстве


Методические указания к самостоятельной работе №1


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа).


Цель: Развитие интереса к предмету.


Задание 1: Написать сказку «Приключения прямой и плоскости в пространстве»


Методические рекомендации


  1. Повторить конспект темы «Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью».

  2. Составить план сказки и написать её. При написании сказки обязательно использовать изученные определения, теоремы и аксиомы стереометрии. Объем работы зависит от собранного материала.


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Задание 2: Изготовить макеты двугранных углов, с заданной градусной мерой.

Методические рекомендации

1. Повторить конспект темы «Двугранный угол».

2. Изготовить макеты двугранных углов с заданной градусной мерой, в качестве материала для макета использовать картон.

Рекомендуемая литература:

1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.

4) Полезные Интернет – сайты:

а) http://shkola.lv/index.php?mode=lsntheme&themeid=92

б) http://www.mathmath.ru/node21 -1.php

в) http://yunc.org/УГОЛ


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.




Тема 1.2. Координаты и векторы


Методические указания к самостоятельной работе №2


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Знать правила действия над векторами и уметь применять их при вычислениях.

Задания:

1. Найти длину вектора , если A (-4;-3;1) и B(6;9;5)

2. Найти координаты т. М – середины отрезка АВ, если А (7;1;5) и В(-8;4;-1).

3. Найти 4, если ,

4. Найти скалярное произведение векторов )

5. Найти косинус угла между векторами


Методические рекомендации

Повторить конспект темы «Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычисление векторов. Умножение вектора на число». «Разложение вектора по направлениям. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов».

Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Тема 1.3. Многогранники


Методические указания к самостоятельной работе №3


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Развитие интереса к предмету, закрепить понятие многогранника при изготовлении моделей, используя развертки.


Задание 1. Изготовить модель многогранников (призма, пирамида). Вычислить площадь поверхности полученных моделей многогранников.


Задание 2.

1. Дано: MNPLK - правильная четырёхгранная пирамида: MC | KL

hello_html_2e161097.gif

1. Назовите:

а) боковые грани;

б) боковые рёбра;

в) вершину пирамиды;

г) основание.

2. Назовите:

а) апофему пирамиды;

б) высоту пирамиды

3. Запишите формулы для нахождения:

а) боковой поверхности пирамиды;

б) полной поверхности пирамиды.

4. Сторона основания - 9см, апофема - 8 см. Найдите площадь полной

поверхности пирамиды.

5. Боковое ребро пирамиды 5 см, апофема 4 см. Найдите площадь полной

поверхности пирамиды.


Задание 3.


В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54, а радиус цилиндра равен 3.

Ответ: 1,5


Методические рекомендации


1) Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.


hello_html_m13ec27e2.jpg


2) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятие призмы, пирамиды, правильного многогранника».


Форма отчетности: изготовление моделей многогранников, письменная работа в тетради


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.


Тема 1.4. Тела и поверхности вращения


Методические указания к самостоятельной работе №4


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)


Цель: Закрепить понятие тел вращения при изготовлении моделей, используя развертки.


Задание 1. Изготовить модель цилиндра и конуса, вычислить площадь основания.


Задание 2. Задание для проверки теоретической части домашнего задания


1. Нанесите на рисунок основные элементы цилиндра.

hello_html_m2d47c158.png

2. Изобразите а) осевое сечение цилиндра; б) сечение цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?

hello_html_m2d47c158.pnghello_html_m2d47c158.pnghello_html_m2d47c158.png

3. Запишите формулы для вычисления площади поверхности цилиндра.

Что можно найти по этим формулам? Что должно быть известно в этих случаях?


Задание 3. Решите задачи:

а) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: высоту цилиндра.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: радиус цилиндра

в) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: площадь основания цилиндра


Методические рекомендации


1) Одним из способов изготовления тел вращения является способ с использованием, так называемых, развёрток.

Если модель поверхности тела вращения изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по образующей, отделить основание и развернуть так, чтобы она превратится в модель некоторого многоугольника плюс круг. Эту фигуру называют развёрткой поверхности тела вращения. Для получения модели тела вращения удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели тел вращения можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все элементы.


hello_html_136805b3.pnghello_html_40f51503.png

hello_html_1d46d5b8.png



Используя развертки тел вращения, изготовьте их модели.




2) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятия цилиндра, конуса, шара, сферы».


Форма отчетности: изготовление моделей тел вращения, письменная работа в тетради.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.

Тема 1.5. Измерения в геометрии


Методические указания к самостоятельной работе №5


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)


Цель: Знать формулы для нахождения объемов многогранников и тел вращения.


Задание 1. Выполнить индивидуальные задания по карточкам.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №1

Задание 1.

Запишите определение:

многогранник – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Основанием прямой четырёхугольной призмы является прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см. Длина бокового ребра равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задание 3.

Решите задачу:

Найти площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, у которой высоты боковых граней 7 см, а стороны оснований 4 см, 5 см и 5 см.

Задание 4.

Решите задачу:

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: высоту цилиндра.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №2

Задание 1.

Запишите определение:

пирамида – это…

Задание 2.

Решите задачу:

В прямой четырёхугольной призме основание – квадрат с периметром 28 см, длина бокового ребра 6 см. Найдите полную поверхность призмы.


Задание 3.

Решите задачу:

Найти площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, у которой сторона основания 4 см, а апофема 5 см?

Задание 4.

Решите задачу:

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: радиус цилиндра

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №3

Задание 1.

Запишите определение:

призма – это…

Задание 2.

Решите задачу:

В основании прямой четырёхугольной призмы - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы.


Задание 3.

Решите задачу:

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите сторону основания пирамиды.

Задание 4.

Решите задачу:

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60. Найдите: площадь основания цилиндра

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №4

Задание 1.

Запишите определение:

параллелепипед – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 210 см2, а площадь её боковой поверхности равна 160 см2. Найдите чему равна сторона основания и высота ребра.

Задание 3.

Решите задачу:

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды;

Задание 4.

Решите задачу: Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: высоту цилиндра.


Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №5

Задание 1.

Запишите определение:

тетраэдр – это…

Задание 2.

Решите задачу:

В основании четырёхугольной призмы - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Все боковые рёбра призмы равны. Высота равна 9 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Задание 3.

Решите задачу:

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задание 4.

Решите задачу:

Решите задачу: Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: So цилиндра.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №6

Задание 1.

Запишите определение:

цилиндр – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Дана правильная четырёхугольная призма. Её высота равна 6 см, а периметр основания 32 см. Найдите площадь полной поверхности.


Задание 3.

Решите задачу:

Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза АВ равна 29см, катет АС равен 21см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задание 4.

Решите задачу:

В основании прямой четырёхугольной призмы - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см2. Вычислите объём призмы.


Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №7

Задание 1.

Запишите определение:

конус – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 12 см, высота 8 см. Вычислите боковую поверхность.

Задание 3.

Решите задачу:

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см.

Задание 4.

Решите задачу:

Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания – 5 м2. Найдите высоту цилиндра.


Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №8

Задание 1.

Запишите определение:

диагональ призмы – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Задание 3.

Решите задачу:

Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см.

Задание 4.

Решите задачу:

Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 210 см2 , а площадь её боковой поверхности равна 160 см2 . Вычислите объём призмы.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №9

Задание 1.

Запишите определение:

прямая призма – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Задание 3.

Решите задачу:

Дана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Длины оснований равны  5 см,  3 см. Апофема L = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.

Задание 4.

Решите задачу:

Высота цилиндра 10см. Радиус основания 3см. Найти площадь боковой поверхности и объём цилиндра.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №10

Задание 1.

Запишите определение: наклонная призма – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

Задание 3.

Решите задачу:

Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды.

Задание 4.

Решите задачу:

В основании четырёхугольной пирамиды - прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см. Все боковые рёбра пирамиды равны. Высота равна 9 см. Найдите объём пирамиды.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №11

Задание 1.

Запишите определение:

высота пирамиды – это

Задание 2.

Решите задачу:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 2см и 3см. Объем призмы равен 12. Найдите ее боковое ребро.

Задание 3.

Решите задачу:

Цилиндр получен вращением квадрата со стороной 5см вокруг одной из его сторон. Найдите объем полученного цилиндра.


Задание 4.

Решите задачу:

Дана правильная четырёхугольная пирамида. Её высота равна 6 см, а периметр основания 64 см. Найдите объём пирамиды.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №12

Задание 1.

Запишите определение:

правильная пирамида – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Задание 3.

Решите задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S вершина, SО = 12, диагональ квадрата 18. Найдите боковое ребро SD.

Задание 4.

Решите задачу:

Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 5 см, найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №13

Задание 1.

Запишите определение:

апофема – это…


Задание 2.

Решите задачу:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5. Объем призмы равен 40. Найдите ее боковое ребро.


Задание 3.

Решите задачу:

В правильной треугольной пирамиде SABC К- середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 7, а площадь боковой поверхности равна 168. Найдите длину отрезка SК.

Задание 4.

Решите задачу:

Радиус основания цилиндра в два раза меньше образующей, равной 4а. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №14

Задание 1.

Запишите определение:

основания цилиндра – это

Задание 2.

Решите задачу:

Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.


Задание 3.

Решите задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SA=13, диагональ основания 24. Найдите длину отрезка SO.

Задание 4.

Решите задачу:

Радиус основания цилиндра равен 8 см, высота – 3 см, найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №15

Задание 1.

Запишите определение:

образующая цилиндра – это…

Задание 2.

Решите задачу:

В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров.

Задание 3.

Решите задачу:

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC=17, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

Задание 4.

Решите задачу:

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, высота 8 см. Вычислите боковую поверхность пирамиды.


Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №16

Задание 1.

Запишите определение:

осевое сечение цилиндра – это…

Задание 2.

Решите задачу:

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти объем призмы и площадь полной поверхности.

Задание 3.

Решите задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=8 , диагональ основания =30 . Найдите боковое ребро SC .

Задание 4.

Решите задачу:

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его меньшей стороны.

Практическая работа студента на тему «Многогранники. Тела вращения»

Карточка №17

Задание 1.

Запишите определение:

высота цилиндра – это…

Задание 2.

Решите задачу:

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если сторона основания равна 5 см, а высота боковой грани равна 4 см.

Задание 3.

Решите задачу:

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC=13, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

Задание 4.

Решите задачу:

Найдите радиус цилиндра, если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64π м2, а высота – 8 м


Задание 2. Тестовая работа по теме «Тела вращения. Цилиндр».



Вариант 1.задача

выбор ответа

1

Радиус основания цилиндра равен 2 см, высота – 5 см, тогда площадь боковой поверхности равна:

40

10

20

4

2

В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16 кв.дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

80

96

64

32

3

Радиус основания цилиндра в два раза меньше образующей, равной 4, тогда площадь боковой поверхности равна:

16

32

4

8

4

Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его большей стороны, равна:

56

72

88

48

5

Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 кв.м, а высота – 4 м, тогда радиус равен:

16

8

26

8

6

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна:

256

100

24

64

7

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту и радиус увеличить в три раза?

3

6

9

27

8

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

36

64

48

96

9

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 4 раза а радиус увеличить в 2 раза?

не изменится

8

4

2

10

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза а радиус увеличить в 12 раз?

4

6

не изменится

8

Вариант 2.

выбор вета

1

Диаметр основания цилиндра равен 4 см, высота – 3 см, тогда площадь боковой поверхности равна:

40

10

12

4

2

В цилиндре радиуса осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 9 кв.дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

40

60

36

3

Радиус основания цилиндра в три раза меньше образующей, равной 6, тогда площадь боковой поверхности равна:

24

32

4

8

4

Площадь полной поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 7 см вокруг его меньшей стороны, равна:

56

48

5

Если площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 кв.м, а радиус – 8м, тогда образующая равна:

16

4

26

8

6

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, то площадь основания цилиндра может быть равна:

256

100

24

7

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус увеличить в три раза?

9

не изменится

3

27

8

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 6 и 8 см, то площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

64

48

9

Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в 4 раза, а диаметр уменьшить в 2 раза?

увеличится в 2раза

увеличится в 8 раз

не изменится

уменьшится в 2 раза

10

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в 3 раза, а радиус увеличить в 6 раз?

2

6

не изменится

3


Задание 3. Вычислите объемы тел вращения:

1 вариант


  1. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см и высота 4 см.

hello_html_7a92c24f.png


  1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.

hello_html_39a5bdb1.png


  1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4 м2. Найдите объем цилиндра.

hello_html_m255c9f35.png

  1. Высота конуса равна . образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в . Найти объем конуса.

hello_html_m1873eb31.png

  1. Площадь большого круга шара равна 3 см2. Найдите объем шара.

hello_html_605fbd33.png



2 вариант


  1. Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см.

hello_html_mce686a1.png


  1. Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.


hello_html_2f4d366e.png

  1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите объем цилиндра.

hello_html_m491429ed.png


  1. Радиус основания конуса равен 3 м, высота - 4 м. Найдите площадь объем конуса.

hello_html_31895e60.png


  1. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.


hello_html_m6fd6b984.png


Методические рекомендации


1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Понятия цилиндра, конуса, шара, сферы», «Измерения в геометрии: формулы объема цилиндра, формулы площади поверхности цилиндра».


2) Теоретический материал

Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.



Раздел 2. Алгебра и начала анализа


Тема 2.1. Развитие понятия о числе


Методические указания к самостоятельной работе №6


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Знать правила действия над приближенными числами без точного учета погрешностей, знать правила действия над приближенными числами с точным учетом погрешностей.


Задание 1. Решение заданий без точного учета погрешностей

1.1 Найти сумму и разность , если:

а) ; б) ;

в) ;г);

1.2. Найти произведение и частное , если

а) ;б) ;

в) ;г) ;

1.3. Найдите значение выражения для ; . Для вычисления рекомендуется пользоваться калькулятором.

1.4. Вычислите, ответ округлите до 0,001.


а) ;

б) ;

в) ;

2. Найдите произведение и частное , если:

а) с точностью до 0,5%; с точностью до 1%;

б) с точностью до 1%; с точностью до 0,5%;

в) с точностью до 0,1%; с точностью до 1%.

3. Масса ящика с конфетами равна кг, масса пустого ящика равна кг. Найти массу конфет.

4. Найти площадь прямоугольника ширины и длины, если м и м с точностью до 1%.

5. Найти степень , если с точностью до 2,5%.

6. Найти , если с точностью до 2,5%.


Методические рекомендации


1) Перед выполнением задания 1, повторите правила выполнения действий без точного учета погрешностей:


1. При сложении, вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеется в данном, с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в данном с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.

4. При извлечении квадратных и кубических корней в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном числе.

5. При выполнении промежуточных действий в результате следует сохранять одну лишнюю (запасную) цифру, которую в окончательном результате отбрасывают.


Определение 1: Цифры, записанные справа от запятой, называются десятичными знаками числа.


Определение: Значащими цифрами числа называются все его верные цифры, кроме нулей, записанных левее первой отличной от нуля цифры.


Определение 2: Цифра в записи приближения называется верной, если абсолютная погрешность не превышает того разряда, в котором эта цифра записана. В противном случае цифра называется сомнительной.


2) Перед выполнением задания 2, повторите правила выполнения действий с точным учетом погрешностей:


Правила выполнения действий с точным учетом погрешности:

1. 4.

2. 5.

3.


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). –М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.


Тема 2.2. Корни, степени и логарифмы


Методические указания к самостоятельной работе №7


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Знать основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, свойства степени с целым и рациональным показателем, свойства арифметического корня, уметь применять их при преобразовании выражений.


Задание 1.

-ой степени из неотрицательного числа hello_html_m505a546c.gif называется такое неотрицательное число hello_html_m4bcaa134.gif, hello_html_m430a60fa.gif-ая степень которого равна hello_html_m505a546c.gif, т.е. hello_html_334c2e18.gif, если hello_html_m45593ffa.gif hello_html_m3eba9506.gif.

Замечание:

При hello_html_m430a60fa.gif-четном равенство hello_html_334c2e18.gif выполняется только для hello_html_2ea05abb.gif.

При hello_html_m430a60fa.gif-нечетном равенство hello_html_334c2e18.gif выполняется для любого числа hello_html_m505a546c.gif.

Рассмотрим на примере как корень нечетной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем: hello_html_2cc8c407.gif

Квадратичный корень: hello_html_1b6d023f.gif

Кубический корень: hello_html_57c6da48.gif


Пример 1. Вычислите:

Решение:

а) hello_html_m52ca365e.gif;

б) hello_html_m33d3ce13.gif;

в) hello_html_m7c0fcc73.gif.


Упражнение 1

Вычислите:

2) -1;

3) 2;

4) -3;

5) 0;

6) 0,4;

7) -0,3;

8) 13;

9) hello_html_3b43b178.gif;

10) hello_html_m21d750c2.gif;

11) 0,3;

12) hello_html_m3c022bb2.gif.


Задание 2.

а) hello_html_m260cfec4.gif;

б) hello_html_587cfe99.gif;

в) hello_html_m69a07795.gif;

г) hello_html_m36c2e4c1.gif;

д) hello_html_1ff33341.gif.


Решение:

а) hello_html_6bb1b766.gif (свойство 1);

б) hello_html_m6bffada8.gif (свойство 2);

в) hello_html_2d47c77d.gif (свойство 3);

г) hello_html_4ad268c1.gif (свойство 4);

д) hello_html_m2ade4254.gif (свойство 5).


Упражнение 2

Вычислите:

1) 6;

2) 2;

3) hello_html_56babeb8.gif;

4) 15;

5) 100;

6) 81;

7) hello_html_1dd061dc.gif;

8) hello_html_m66c4e602.gif;

9) -34;

10) -8;

11) 7;

12) 2;

13) 3;

14) 4;

15) 3;

16) 2


Задание 3.

Пример 3. Вычислите:

;

б) hello_html_m4ad24d4b.gif;

в) hello_html_5e5fe965.gif;

г) hello_html_m51a87d9d.gif;

д) hello_html_m74399b93.gif;

е) ;

ж) hello_html_1e3ab3da.gif;

з) hello_html_m483f152d.gif;

и) hello_html_6fe85482.gif;

к) hello_html_m21f2fa65.gif.


Упражнение 3

Вычислите:

2) 3;

3) 4;

4) 27;

5) hello_html_ma9dca4f.gif;

6) hello_html_1d173fc1.gif;

7) hello_html_1d173fc1.gif;

8) hello_html_m7d3f329a.gif;

9) 8;

10) 5;

11) 9;

12) 7;

13) 3;

14) hello_html_1d173fc1.gif;

15) 64;

16) 6;


Задание 4.1

.

Запись hello_html_835e29c.gif равносильна записи hello_html_eab21d3.gif, где hello_html_m587eed25.gif, hello_html_m67bd3726.gif, hello_html_m63dd950.gif.


Пример 4.1Вычислите:

, т.к. hello_html_mf501fa2.gif;

б) hello_html_709050d4.gif, т.к. hello_html_m47152ec0.gif;

в) hello_html_3e51f7a3.gif, т.к. hello_html_e6dc6e.gif;

г) hello_html_m12a91fe.gif, т.к. hello_html_m3f2c1763.gif;

д) hello_html_eda0ebb.gif, т.к. hello_html_a37eb78.gif;

е) hello_html_332a716f.gif, т.к. hello_html_36730cac.gif;

ж) hello_html_m2c817086.gif, т.к. hello_html_3f241311.gif.


Упражнение 4.1

Вычислите:

1) 2;

2) 3;

3) 3;

4) 5;

5) 2;

6) 4;

7) 4;

8) 3;

9) -2;

10) -2;

11) -3;

12) -6;

13) -4;

14) -5;

15) -3;

16) -7;

17) 3;

18) -1;

19) -5;

20) 2.


Задание 4.2


, hello_html_m20efb6ed.gif, hello_html_m131d21e3.gif.

б) Вычислите с помощью микрокалькулятора hello_html_m540df558.gif, hello_html_5707f982.gif.

Решение:

а) hello_html_m584acd2a.gif, т.к. hello_html_a8ac497.gif и hello_html_m3bfcead1.gif;

hello_html_m57cb810b.gif, т.к. hello_html_m160522b6.gif и hello_html_77567cd1.gif;

hello_html_31ca3e48.gif, т.к. hello_html_47e63e75.gif и hello_html_7321c5be.gif.

б) Вычисления с помощью микрокалькулятора проводятся по программам:

hello_html_44e736a3.gif

hello_html_2cd0df96.gif


Упражнение 4.2

1) Вычислите:

;

з) hello_html_m2bef86bc.gif.


Ответы:

а) hello_html_47f0260d.gif;

б) hello_html_6339a451.gif;

в) hello_html_m7b868a4d.gif;

г) hello_html_5de8ddc.gif;

д) hello_html_19dc1d54.gif.


Решение:

а) hello_html_m734c6c0c.gif;

б) hello_html_49790a0b.gif;

в) hello_html_m2c31f5c4.gif;

г) hello_html_m2496ba92.gif;

д) hello_html_m49562e9b.gif.


Упражнение 4.3

Вычислите:

Ответы: Пример 4.4. Вычислите:
Решение:

а) hello_html_m3341eaca.gif (св-ва 3, 4);

б) hello_html_54273747.gif (св-ва 3, 4);

в) hello_html_m5c45a688.gif (св-во 1);

г) hello_html_46260ca6.gif

(св-ва 2,3);

д) hello_html_62ad1b9c.gif (св-во 6);

е) hello_html_77577745.gif (св-во 5);

ж) (св-во 6).


Упражнение 4.4

Вычислите:

Ответы:

2. Вычислите:

а) ; б) ;

в)

2. Вычислите:

а) ; б) ;

в)

3. Найдите , если известно, что .

3. Вычислите если известно, что .

4. Вычислить:

а) ;

б)

4. Вычислить:

а) ;

б)



Методические рекомендации


1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Корни, степени и логарифмы».

2) Свойства логарифмов.

  1. Основное логарифмическое тождество:

  2. - формула перехода к другому основанию


3) Степени чисел от 0 до 10


hello_html_6b5caf89.gif


hello_html_m5ac1f807.gif


hello_html_516e791b.gif


hello_html_m1192d25e.gif


Свойства степеней

Свойства корней n-ой степени

  1. hello_html_m346db4f7.gifhello_html_m346db4f7.gif


  1. hello_html_m584cf525.gifhello_html_m584cf525.gif


  1. hello_html_m353b851c.gifhello_html_m353b851c.gif


  1. hello_html_m44e15799.gifhello_html_m44e15799.gif


  1. hello_html_498c6a93.gifhello_html_498c6a93.gif

  2. hello_html_m5d6b7451.gifhello_html_m5d6b7451.gif

  3. hello_html_44b2acc2.gifhello_html_44b2acc2.gif

  4. hello_html_47408cd8.gifhello_html_47408cd8.gif


  1. hello_html_m53d0ab90.gifhello_html_m53d0ab90.gif

  1. hello_html_4af7ca47.gifhello_html_4af7ca47.gif


  1. hello_html_f331160.gifhello_html_f331160.gif


  1. hello_html_79efdd77.gifhello_html_79efdd77.gif


  1. hello_html_m5210dba.gifhello_html_m5210dba.gif


  1. hello_html_m2d967716.gifhello_html_m2d967716.gif


  1. hello_html_m1be28e08.gifhello_html_m1be28e08.gif

  2. hello_html_498c6a93.gifhello_html_498c6a93.gif


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005


Тема 2.3. Основы тригонометрии

Методические указания к самостоятельной работе №7


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Знать основные тригонометрические формулы для вычисления тригонометрических выражений, уметь при заданном значении аргумента функции находить значения других трех основных тригонометрических функций.


Задание 1.


Пример 1. Найдите катет и острые углы прямоугольного треугольника по

гипотенузе hello_html_m58884c0a.gif и катету hello_html_m4bdcbebe.gif.


Решение:

3) hello_html_m21ba2366.gif. Тогда hello_html_2f09bc29.gif

Ответ: hello_html_mef25910.gif, hello_html_5ddf7df5.gif, hello_html_2f09bc29.gif.


Упражнение 1

  1. В треугольнике hello_html_550140ea.gif угол hello_html_1113473e.gif прямой, hello_html_2aca99dd.gif, hello_html_m7090617e.gif. Найдите hello_html_6c6c4c1.gif, hello_html_m3c6dad54.gif, hello_html_m6b493d83.gif, hello_html_915ff60.gif.

  2. В прямоугольном треугольнике один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.

  3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна hello_html_m505a546c.gif, а один из острых углов hello_html_567774a5.gif. Найдите второй острый угол и катеты.


Ответы:

а) hello_html_m5990c81f.gif;

б) hello_html_2c9059b2.gif;

в) hello_html_m779e48ba.gif.

Решение:

а) Повороту точки hello_html_5f8396f5.gif на угол hello_html_2bb43786.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная в III четверти, поэтому hello_html_40614d0e.gif.

б) Повороту точки hello_html_5f8396f5.gif на угол hello_html_5537e230.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная в IV четверти, поэтому hello_html_m3925093f.gif.

в) Повороту точки hello_html_5f8396f5.gif на угол hello_html_m5209b1e7.gif соответствует точка единичной окружности, расположенная в I четверти, поэтому hello_html_m2e19b5a4.gif.

Ответ: hello_html_40614d0e.gif; hello_html_m3925093f.gif; hello_html_m2e19b5a4.gif.

Упражнение 2.

Определите знак чисел:

Ответы:

Пример 3. Вычислите hello_html_1ab13e3c.gif.

Решение:

hello_html_26fbba36.gif


Ответ: hello_html_m2b9e69a9.gif.


Упражнение 3

Найдите значение выражения:

Ответы:

Пример 4. Вычислить:

Решение:

а) hello_html_1978024d.gif.

б) hello_html_773c503f.gif

hello_html_m489fe6ab.gifhello_html_760669ae.gif.

в) сhello_html_m15e5410c.gif.


Упражнение 4

Вычислите:

Ответы:

Задание 2.

Пример 4.

.

б) Угол hello_html_m77c24121.gif можно представить по второму правилу в виде суммы двумя способами:

hello_html_m7393ec5d.gifили hello_html_m65e702c2.gif

Пусть hello_html_m210fc9c7.gif

hello_html_m7159d152.gifи по второму правилу тангенс заменяется на котангенс, т.е.

hello_html_42efe7a8.gif

Другой способ решения:

Пусть hello_html_1bb7250b.gif

hello_html_m7159d152.gifи по второму правилу замены тангенса не происходит, тогда hello_html_m2a8988d.gif.

Ответ: hello_html_m47018c8e.gif.


Упражнение 4

1. Упростите выражение:

а) hello_html_m17f430f0.gif;

д) hello_html_m5c5eae3e.gif;

и) hello_html_de53ae9.gif;

б) hello_html_430e1a57.gif;

е) hello_html_197be8b.gif;

к) hello_html_m45726575.gif;

в) hello_html_5ad67fb3.gif;

ж) hello_html_3de3ea07.gif;

л) hello_html_4615d500.gif;

г) hello_html_m4af66cde.gif;

з) hello_html_88df15b.gif;

м) hello_html_76709453.gif.


Ответы:

1.

а) hello_html_m2e8a61ec.gif;

б) hello_html_cd7a679.gif.

Решение:

а) hello_html_56c93209.gif

hello_html_m28be84ec.gif.

б) hello_html_1cae1103.gif

hello_html_m64446775.gif.


Упражнение 5

1. Упростите выражение:

16) sin2α + ctg2α sin2α


11)

14)

17) (tgα + ctgα) sinα cosα

12)

15) cos2α + tg2α cos2α

18) sin2α cos2α (tg2α + ctg2α + 2)


19) sin4α + sin2α cos2α +cos2α

20) sin2α + sin2α cos2α + cos4α


21) cos4α - sin4α + 2 sin2α


22) (2+sinα)(2 - sin α)+(2 + cosα)(2-cos α)




2. Докажите тождества:

Ответы:

1.

Найдем hello_html_25f84771.gif из основного тригонометрического тождества:

hello_html_59e50a98.gif

hello_html_m165fa06b.gif

hello_html_m659b7ac.gif

hello_html_m3dfc3a1e.gif, т.к. hello_html_mb7e1a57.gif, то

hello_html_61b225ae.gifи hello_html_4dc39ebb.gif

Тогда hello_html_46607ff1.gif

Ответ: hello_html_m502872d9.gif.


Упражнение 6.

Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:

1) hello_html_27f7eeda.gif; hello_html_40f7f0fb.gif; hello_html_md7791fb.gif;

2) hello_html_m290db6f2.gif; hello_html_701935ed.gif; hello_html_3596a327.gif;

3) hello_html_m370dffa2.gif; hello_html_5220ea8e.gif; hello_html_3704f6d2.gif;

4) hello_html_6ee16e1e.gif; hello_html_m2a8c8fd5.gif; hello_html_m25bd4528.gif;

5) hello_html_m1cb9ecb6.gif; hello_html_6e4f6236.gif; hello_html_4b88ab5f.gif;

6) hello_html_m7911816d.gif; hello_html_3170eb30.gif;

7) hello_html_m1491ca60.gif; hello_html_3170eb30.gif; hello_html_m74964095.gif;

8) hello_html_m510ad6ca.gif; hello_html_3170eb30.gif; hello_html_m74964095.gif.



Методические рекомендации


1) Основные тригонометрические тождества.

  1. ;

  2. и


2) Формулы сложения.


3) Формулы двойного и половинного аргументов.

  1. ;


4) Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.



5) Значения тригонометрических функций


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005



Тема 2.4. Функции, их свойства и графики

Методические указания к самостоятельной работе №8


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Знать определение функции, элементарной функции, сложной функции, логарифмической функции, показательной функции, тригонометрической функции.


Задание 1.

Пример 1.

Данная точка принадлежит графику функции hello_html_m387e0cf4.gif, так как hello_html_6fc2ad92.gif.


2) Найти наименьшее и наибольшее значения функции hello_html_m36abc92b.gif на отрезке hello_html_1fcde0d4.gif.

Решение:

По графику функции hello_html_m36abc92b.gif определяем, что на отрезке hello_html_1fcde0d4.gif hello_html_m78fa37e6.gif - наименьшее значение функции; hello_html_1e9a0617.gif - наибольшее значение функции.


3) Найти область определения функции hello_html_72148044.gif.

Решение:

Областью определения функции является множество hello_html_m6bf0f793.gif всех действительных чисел, кроме hello_html_2896fbf0.gif. То есть hello_html_m507cf76c.gif.


4) Найдите множество значений функции hello_html_m7eec33be.gif.

Решение:

hello_html_27d05a79.gif

Домножим на 3 все части неравенства:

hello_html_m2e208f5e.gif

Прибавим -1 ко всем частям неравенства:

hello_html_14814cb8.gif

hello_html_12040ad7.gif

Значит hello_html_m48e235c2.gif


Упражнение 1.

1. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции hello_html_m387e0cf4.gif точка с координатами:

д) hello_html_5d1ece94.gif;

е) hello_html_m210bd76f.gif;

ж) hello_html_m368fec46.gif;

з) hello_html_m306fad00.gif.

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функций hello_html_m387e0cf4.gif и hello_html_m36abc92b.gif:

а) hello_html_7045e8a2.gif;

б) hello_html_m28d5c624.gif;

в) hello_html_m5b0547fe.gif;

г) hello_html_c2d7c9.gif.

4. Найдите множество значений функции:

: д) hello_html_m78fa37e6.gif; hello_html_778ee070.gif;

е) hello_html_m47018c8e.gif; hello_html_60e9e139.gif;

ж) hello_html_m47018c8e.gif; hello_html_60e9e139.gif;

з) hello_html_m47018c8e.gif; hello_html_60e9e139.gif.

3.

Задание 2.


Упражнение 2

1. Постройте графики функции:

1) hello_html_m2424403d.gif;

2) hello_html_5918fa20.gif;

3) hello_html_m5b7ec3ab.gif;

4) hello_html_532e04.gif;

5) hello_html_6469a3fa.gif;

6) hello_html_6d6512ef.gif.



3. Изобразите схематически график функции:

1) hello_html_4cb898c0.gif;

2) hello_html_m3b671223.gif;

3) hello_html_7b7f0de7.gif;

4) hello_html_m51693e7e.gif;

5) hello_html_m1f789036.gif;

6) hello_html_m348e1b0.gif.




Ответы (4):

; hello_html_49dc94e.gif.

Решение:

а) hello_html_m5ca3f98c.gif > hello_html_681a9f6a.gif, т.к. основание 3 > 1 (см. график)

hello_html_me62f0fa.gif > hello_html_m67c12df1.gif, т.к. основание 0 < hello_html_56f42738.gif < 1 (см. график)

б) Область определения функции hello_html_m7eb00d70.gif: hello_html_4d174773.gif.

Область определения функции hello_html_49dc94e.gif: hello_html_m5b2016e6.gif


Упражнение 3

1. Постройте график функции: а) hello_html_2aaeeddc.gif; б) hello_html_60de1bc3.gif.

2. Изобразите схематически график функции:

а) hello_html_m272b89cd.gif; б) hello_html_109f577a.gif; в) hello_html_m485b8bfd.gif; г) hello_html_m68f3b5ae.gif.

3. Сравните числа:

а) hello_html_m3b66b67a.gif и hello_html_m7eb7ad5a.gif; б) hello_html_298ab9e1.gif и hello_html_23703b67.gif; в) hello_html_m64703e56.gif и hello_html_1cf81c61.gif; г) hello_html_4b8c6d2e.gif и hello_html_2be16155.gif.

4. Найдите область определения функции:

а) hello_html_m20e2932b.gif; б) hello_html_m5a82b896.gif; в) hello_html_7d28d53d.gif; г) hello_html_4b1f13b.gif.

Ответы: 4) а) hello_html_34af171.gif; б) hello_html_m1ddd071b.gif; в) hello_html_m78f9758e.gif; г) hello_html_m642dcc37.gif.



Задание 4: Ответьте письменно на вопросы:


10. Сформулируйте определение функции, логарифмической функции, тригонометрической функции, показательной функции.

20. Какую функцию называют сложной?

30. Перечислите основные элементарные функции.

40. Какие функции называются элементарными?


Методические рекомендации


Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Построение графиков функций».


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005


Тема 2.5. Начала математического анализа

Методические указания к самостоятельной работе №9


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)


Цель: Уметь применять определение производной и ее механический смысл к решению прикладных задач.


Задание 1.

Пример 1.

а) Найти производную суммы hello_html_19ef69dc.gif.

Решение: hello_html_m5a8a6dfd.gif

hello_html_m598f3d83.gif

hello_html_4bc45bdc.gif.

б) Найти производную произведения hello_html_aed57e6.gif.

Решение: hello_html_m6581cc76.gif

hello_html_dddd0.gif

= 2х4- 2х2 – х3 – 3х3 –х = 5х4 – 4х3 + 3х2 – 2х.

в) Найти производную частного hello_html_m62a33f70.gif.

Решение: hello_html_m65ae1ea8.gif

hello_html_ma132e45.gif

hello_html_m14308d29.gif.

г) Найти производную сложной функции hello_html_m40a51cc8.gif.

Решение: hello_html_m40963bb9.gif

hello_html_mba12dcf.gif.


д) Найти производную тригонометрической функции

hello_html_3d8d66c3.gif.

Решение: hello_html_68212b44.gif

hello_html_m7a4fa419.gif.


е) Вычислить hello_html_m254dbfb0.gif, если hello_html_2ee4611b.gif.

Решение: hello_html_34217dab.gif

hello_html_6e1dc32d.gif.


Упражнение 1

Найти производную суммы:

15) hello_html_m14089961.gif;

16) hello_html_m32b06063.gif;

17) hello_html_m381d419e.gif;

18) hello_html_m7a0860d9.gif;

19) hello_html_7b174c5e.gif;

20) hello_html_m3f42e899.gif.

Найти производную частного:

27) hello_html_m10369eda.gif;

28) hello_html_45f5d845.gif;

29) hello_html_68962a82.gif;

30) hello_html_45110a58.gif;

31) hello_html_m22f16c98.gif;

32) hello_html_504742ac.gif;

33) hello_html_m653b9b33.gif;

34) hello_html_2987cc50.gif.


Найти производную тригонометрической функции:

47) hello_html_34ef88e6.gif, hello_html_788088d5.gif;

48) hello_html_m71d2f563.gif, hello_html_4da410bb.gif;

49) hello_html_57346a38.gif, hello_html_m1b6b74c2.gif;

50) hello_html_76e2e3ac.gif, hello_html_m7a3d467b.gif.


Ответы:

Так как hello_html_7b82ab9e.gif, то

hello_html_29156fbb.gif

Ответ: hello_html_999f92b.gif.

б) К графику функции hello_html_77485240.gif проведена касательная с угловым коэффициентом hello_html_m381ff2b4.gif. Найти координаты точки касания.

Решение: hello_html_199b592.gif

hello_html_60b0cc94.gif, т.е. hello_html_m77f15365.gif, тогда hello_html_788088d5.gif и

hello_html_41b6a955.gif

Ответ: hello_html_47a0aea6.gif.

в) В какой точке касательная к графику функции hello_html_m47312144.gif параллельна прямой hello_html_158201ab.gif.

Решение: Если касательная параллельна данной прямой, то их угловые коэффициенты равны, т.е. hello_html_4d0d9dab.gif.

Найдем угловой коэффициент касательной к графику данной функции:

hello_html_a8433d9.gif

Из уравнения прямой hello_html_158201ab.gif, hello_html_22a2cd30.gif.

Тогда hello_html_6e7da92f.gif, hello_html_2217b0de.gif, hello_html_788088d5.gif.

Ответ: hello_html_788088d5.gif.


Упражнение 2

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции hello_html_68bc9a18.gif в точке с абсциссой hello_html_m3ecac621.gif:

5) hello_html_m140bab76.gif, hello_html_999f92b.gif;

6) hello_html_77485240.gif, hello_html_m1b901c46.gif;

7) hello_html_ac3eb6f.gif, hello_html_75243748.gif;

8) hello_html_m2ff82b28.gif, hello_html_737ae0e4.gif.

В какой точке касательная к графику функции hello_html_m3c0c90da.gif параллельна заданной прямой:

1) hello_html_m5a7b7925.gif;

2) hello_html_71d9b58d.gif;

3) hello_html_7ebbaeac.gif;

4) hello_html_m3c581aa2.gif;

5) hello_html_6a9af7a4.gif;

6) hello_html_m66903ade.gif;

7) hello_html_7f281873.gif;

8) hello_html_1960c1dc.gif;

9) hello_html_60e9e139.gif;

10) hello_html_127974d0.gif;

11) hello_html_4594edcf.gif;

12) hello_html_m78fa37e6.gif.


Задание 3.

Пример 3. Тело движется по прямой так, что расстояние hello_html_153f14da.gif от начальной точки изменяется по закону hello_html_m76fe6e3a.gif (м), где hello_html_3c8fb0dd.gif - время движения в секундах.

а) Найти скорость тела через 7 с после начала движения.

б) Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 12 м/с?

в) Через какое время после начала движения тело остановится?

Решение:

а) hello_html_6fca579a.gif

Тогда hello_html_m4201c88c.gif

Ответ: 4 м/с.

б) hello_html_6fca579a.gif

По условию hello_html_4b5d14b6.gif м/с, значит

hello_html_720ffb6e.gifи hello_html_7351c251.gif с

Ответ: 15 с.

в) hello_html_6fca579a.gif

Так как тело останавливается, то hello_html_2783a869.gif, тогда

hello_html_m1b868d7a.gifи hello_html_m2bff9c31.gif с

Ответ: 3 с.


Упражнение 3

Тело движется по прямой так, что расстояние hello_html_153f14da.gif от начальной точки изменяется по закону hello_html_m15f8de80.gif (м), где hello_html_3c8fb0dd.gif - время движения в секундах:

а) через 3 с;

б) через 6 с.

2. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной:

а) 18 м/с;

б) 12 м/с.

3. Через какое время после начала движения тело остановится?


Ответы:

Нули производной функции: 0; 2

hello_html_mcb8acc0.png

Значит hello_html_m12f69f7c.gif при hello_html_m775a175.gif

hello_html_23f714ad.gifпри hello_html_3e7b5147.gif

Ответ: функция возрастает при hello_html_m775a175.gif,

функция убывает при hello_html_3e7b5147.gif.


Упражнение 4

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) возрастает при убывает при

2) возрастает при убывает при

3) возрастает при hello_html_2db05cbc.gif и hello_html_m1e2d802c.gif; убывает при hello_html_m5f5c196f.gif;

4) возрастает при hello_html_31525f81.gif; убывает при hello_html_m44e29058.gif;

5) возрастает при hello_html_115cc935.gif и hello_html_48540f9.gif; убывает при hello_html_m5f5c196f.gif;

6) возрастает при hello_html_mfddb29d.gif и hello_html_48540f9.gif; убывает при hello_html_115cc935.gif и hello_html_m18bce5a4.gif;

7) возрастает при убывает при и

8) возрастает при hello_html_6f93841d.gif и hello_html_5edbbaec.gif; убывает при hello_html_md9b383.gif.



Задание 5.

Пример 5. Найти точки экстремума и экстремумы функции hello_html_m6b7b64af.gif.

Решение: hello_html_52b4a20a.gif

Найдем стационарные точки:

hello_html_4c29763e.gif, hello_html_37dadc33.gif, hello_html_m1be39641.gif

hello_html_6f3beb25.png


Т.к. в точке hello_html_37dadc33.gif знак производной не меняется, то в этой точке экстремума нет.

При переходе через точку hello_html_m1be39641.gif производная меняет знак с «-» на «+», поэтому hello_html_m1be39641.gif - точка минимума.

Найдем минимум функции:

hello_html_16d1dcef.gif.

Ответ: hello_html_32919486.gif, hello_html_683ddf65.gif.


Упражнение 5

Найти точки экстремума и экстремумы функции, построить графики функции:

1) hello_html_7d7305ee.gif, hello_html_74e5c2bd.gif;

hello_html_m16202f6b.gif, hello_html_m7dc53441.gif;

hello_html_5fc28c6a.gif, hello_html_45c614bc.gif;

2) hello_html_m695b5d0d.gif, hello_html_m62ce905b.gif;

3) hello_html_m61eb351d.gif, hello_html_38ae9ca7.gif;

hello_html_32919486.gif, hello_html_m2f18670e.gif;

4) hello_html_70ddbda5.gif, hello_html_m54c4aabb.gif;

hello_html_m7479a281.gif, hello_html_m4dc6b909.gif;

5) hello_html_1121c40.gif, hello_html_m5c424e68.gif;

hello_html_32919486.gif, hello_html_m6ddad481.gif;

6) hello_html_7d7305ee.gif, hello_html_m251c20df.gif;

hello_html_m16202f6b.gif, hello_html_m71dab7ca.gif;

hello_html_5fc28c6a.gif, hello_html_m685b68c3.gif;


Задание 6.

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

hello_html_746ff0ba.gifна отрезке hello_html_595bc8c1.gif.

Решение: hello_html_m5b727f95.gif

Найдем стационарные точки:

hello_html_694988d6.gif, hello_html_21a3cabc.gif, hello_html_55e9fc72.gif

hello_html_m4c98f7c0.gif; hello_html_5ac646a8.gif

Найдем значение функции в точке 2:

hello_html_m5b3db1f6.gif

Найдем значения функции на концах отрезка:

hello_html_m125bc067.gif

hello_html_m169e2a8c.gif

Из чисел 19, -35, 17 наибольшее 19, наименьшее -35.

Ответ: 19, -35.


Упражнение 6

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:

1) hello_html_77df763e.gif;

2) hello_html_a9244f0.gif;

3) hello_html_352f6003.gif;

4) hello_html_m188b5f4e.gif.


Методические рекомендации


1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Производная и ее геометрический, физический смысл», «Уравнение касательной к графику функции», «Правило и формулы дифференцирования. Применение производной для вычисления углового коэффициента касательной, нахождение скорости», «Наибольшее и наименьшее значение функции, экстремума».


2) Правила дифференцирования и таблица производных основных функций.


Правила.


3. Пусть функция hello_html_1ed0a11d.gif дифференцируема на интервале hello_html_m3b136682.gif, hello_html_63aacbd9.gif и hello_html_m40c28181.gif. Тогда:
  1. если при переходе через стационарную точку hello_html_m3ecac621.gif функции hello_html_1ed0a11d.gif ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то hello_html_m3ecac621.gif - точка максимума функции hello_html_1ed0a11d.gif;

  1. если при переходе через стационарную точку hello_html_m3ecac621.gif функции hello_html_1ed0a11d.gif ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то hello_html_m3ecac621.gif - точка минимума функции hello_html_1ed0a11d.gif.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значения функции в этих точках называют экстремумами (максимумами и минимумами).


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005



Тема 2.6. Интеграл и его применение

Методические указания к самостоятельной работе №10


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)


Цель: Знать метод прямоугольников и метод трапеций вычисления определенного интеграла. Уметь пользоваться формулами прямоугольников и трапеций при нахождении приближенного значения определенного интеграла.


Задание 1.

Пример 1. а) Найти все первообразные функции hello_html_m7f377c90.gif.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной осью hello_html_62e93288.gif и параболой hello_html_m5309acd3.gif

Решение:

а) hello_html_m2bece42c.gif.

Ответ: hello_html_5637e961.gif.

б) Изобразим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции hello_html_m5309acd3.gif и осью hello_html_62e93288.gif

Найдем координаты точек пересечения графика функции hello_html_m5309acd3.gif с осью абсцисс:

hello_html_m2a35ee53.gifи hello_html_6c1f931e.gif, hello_html_m29187c6f.gif

Для функции hello_html_m5309acd3.gif одной из первообразных является функция hello_html_m617d4557.gif


hello_html_m6dac88f7.gif, hello_html_m4763281c.gif

Тогда hello_html_526e6509.gif

Ответ: hello_html_m73d64f45.gif.


Упражнение 1

1. Найти все первообразные функции:

1) графиком функции hello_html_355684f4.gif, прямыми hello_html_m78a60445.gif; hello_html_7d6dce73.gif и осью абсцисс;

2) осями координат, графиком функции hello_html_m4eb41fe7.gif и прямой hello_html_7d6dce73.gif;

3) осью абсцисс и графиком функции hello_html_6dda3b41.gif;

4) осью абсцисс и графиком функции hello_html_2f470603.gif;

5) графиком функции hello_html_458dc24.gif, прямыми hello_html_m738a077c.gif; hello_html_m78a60445.gif и осью абсцисс;

6) осями координат, графиком функции hello_html_4840b21d.gif и прямой hello_html_100c51c2.gif.


Ответы:

1.

.

Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005.


Тема 2.7. Уравнения и неравенства

Методические указания к самостоятельной работе №11


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)

Цель: Уметь с помощью графика находить решение уравнений и неравенств. Применять правила решения тригонометрический, показательных, логарифмических уравнений и неравенств при решении задач.


Задание 1.

Пример 1. Найти корни уравнения hello_html_2bf8705f.gif, принадлежащие промежутку hello_html_34f73051.gif

Решение:

Воспользуемся графическим способом решения уравнения. Для этого построим графики функций hello_html_m589e3545.gif на промежутке hello_html_m5533b957.gif и hello_html_m7cffb969.gif.

Решением уравнения hello_html_2bf8705f.gif являются абсциссы точек пересечения графиков функций hello_html_m589e3545.gif, hello_html_55c5693b.gif и hello_html_m7cffb969.gif: hello_html_m3e9f1ec8.gif; hello_html_6bd8ea3e.gif.

Ответ: hello_html_18c48f42.gif; hello_html_4ea43038.gif.


Упражнение 1.

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку hello_html_m5533b957.gif:

13) hello_html_m262a9e37.gif, hello_html_m41bffb5e.gif;

14) hello_html_504942ec.gif, hello_html_m1780a447.gif;

15) hello_html_62f082eb.gif, hello_html_1dbe830f.gif;

16) hello_html_2bf8705f.gif, hello_html_607b618.gif;

17) hello_html_m7b39257f.gif, hello_html_607b618.gif;

18) hello_html_m749beb0c.gif, hello_html_5d3a2fdc.gif;

19) hello_html_m391e8093.gif, hello_html_m42513de9.gif;

20) hello_html_m2ed18494.gif, hello_html_m5eacc2eb.gif;

21) hello_html_m109c162f.gif, hello_html_282244b9.gif;

22) hello_html_m4401fc6c.gif, hello_html_607b618.gif.


Ответы:

Пример 2. Решите уравнения:

а) hello_html_62f082eb.gif

hello_html_m335758c2.gif

hello_html_11d89715.gif

hello_html_m678bff2a.gif

б) hello_html_m61968c2b.gif

hello_html_561f0f05.gif

hello_html_m6c740adb.gif


в) hello_html_m723991c1.gif

hello_html_m12257552.gif

hello_html_3190180.gif


г) hello_html_m6c2fe6cc.gif

hello_html_m112f67ee.gif

hello_html_58d7557a.gif

hello_html_35f9a5d2.gif

hello_html_m3d7cb81e.gif

д) hello_html_121aee5d.gif

hello_html_m64272830.gif

hello_html_m2ed18494.gif

hello_html_561f0f05.gif

hello_html_m6c740adb.gif

е) hello_html_m7caea0fb.gif

hello_html_mc2791bb.gif

hello_html_362740d5.gif

hello_html_m6bc077b9.gif

hello_html_m762fa0b0.gif

hello_html_10a67a83.gif


Упражнение 2

Решите уравнение:

1) hello_html_22764faa.gif;

2) hello_html_5f14dcbe.gif;

3) hello_html_m58b8c0d6.gif;

4) hello_html_276c4b62.gif;

5) hello_html_m72223546.gif;

6) hello_html_m176960c6.gif;

7) hello_html_66cc0d85.gif;

8) hello_html_b0e6053.gif;

9) hello_html_m52c0f20a.gif;

10) hello_html_m5abcda1b.gif;

11) hello_html_3fd98fd7.gif;

12) hello_html_de839bf.gif;

13) hello_html_m7cf5f6e3.gif;

14) hello_html_73d4cc38.gif;

15) hello_html_m76dcb838.gif;

16) hello_html_47ca9780.gif;

17) hello_html_md696dc3.gif;

18) hello_html_m2e78ef12.gif;

19) hello_html_m7cf5f6e3.gif;

20) hello_html_m56bff12a.gif;

21) hello_html_31ef4038.gif.



Задание 2.

1. Выполнить конспект:

Решение неравенств методом интервалов


Схема решения неравенства вида hello_html_51b6adbf.gif

  1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

  2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если hello_html_m3250e074.gif четное, то нуль четной кратности, если hello_html_m3250e074.gif нечетное – то нечетной).

  3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенства. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:

    1. если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется;

    2. если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

  4. Записать ответ.


Пример. hello_html_m475dc37f.gif


2. hello_html_abd1ced.png

3. hello_html_30cbf0af.jpg

4. hello_html_mbd22a93.gif

Замечание: Если функция, стоящая в левой части неравенства, содержит множители вида hello_html_m2163cf02.gif, следует заменить их соответствующими множителями hello_html_m1950c99d.gif с учетом четности hello_html_m3250e074.gif


Примечание.

1. hello_html_1f6729f0.gif

2. hello_html_m5c446544.gif


Применение метода интервалов для решения дробно-рациональных неравенств


Строгие неравенства

hello_html_3125ea56.gif(или hello_html_dc3c75e.gif), где hello_html_meda1757.gif

равносильно неравенству

hello_html_m68c05814.gif(или hello_html_7da461ec.gif)

( см. схему решения неравенств)

Пример 5.1. hello_html_m661eba38.gif

hello_html_e325161.jpg

Ответ: hello_html_62522c44.gif

Нестрогие неравенства

hello_html_7073a2d1.gif(или hello_html_m55de0a40.gif), где hello_html_meda1757.gif

равносильно системе

hello_html_m63171892.gif(или hello_html_7da461ec.gif)

(первое неравенство решаем по схеме)


Пример 5.2. hello_html_43991f28.gif

hello_html_37d4021.jpg

Ответ: hello_html_71cfedef.gif


Пример 5.3. hello_html_m1ec5ad82.gif

hello_html_76de8968.jpg

Ответ: hello_html_m65342202.gif

Замечание. Сокращение числителя и знаменателя на hello_html_m2d23af7d.gif во втором примере привело бы к неравенству hello_html_5774bf1c.gif, решение которого hello_html_65268783.gif содержит значение hello_html_m1dadf286.gif, которое не является решением исходного неравенства.


Решите неравенства:


Пример 5.4.

hello_html_60ca7964.gif

Нули функции в левой части первого неравенства: hello_html_7a9edaf2.gif

hello_html_m31a514f7.png

Ответ: hello_html_26057f9d.gif


Пример 5.5.

hello_html_m4d97f5cd.gif

Нули функции: hello_html_59f8dfb5.gif

hello_html_m7054ed47.png

Ответ: hello_html_m33dc00ad.gif


Пример 5.6.

hello_html_m1d2cd789.gif

hello_html_m13154b2e.gif

Нули функции в левой части первого неравенства: hello_html_4fbe7c95.gif

hello_html_2285fa5.png

Ответ: hello_html_m275be200.gif


Пример 5.7.

hello_html_f8c5e90.gif

hello_html_1d7e9c15.gif

Нули функции: hello_html_75edc152.gif

hello_html_m4ce6bc0e.png

Ответ: hello_html_m1a0e7db6.gif


Упражнение 2

Решить неравенства:

1) hello_html_37e0af6a.gif;

2) hello_html_2e64d3f2.gif;

3) hello_html_m546769e5.gif;

4) hello_html_28f0f8d6.gif;

5) hello_html_1b4ecca6.gif;

6) hello_html_mec38f81.gif;

7) hello_html_m7bc15845.gif;

8) hello_html_7700677a.gif;

9) hello_html_m33a6ed1a.gif;

10) hello_html_m4b9703a7.gif;

11) hello_html_273b4b87.gif;

12) hello_html_m28ce509e.gif.



Задание 3.

Пример 3. Укажите (не строя график) является ли функция возрастающей, убывающей:

3) hello_html_711cfdec.gif;

4) hello_html_6a0a60f4.gif.




Решение:

1) Функция hello_html_3bde8fcf.gif возрастающая, т.к. основание hello_html_1a52bb98.gif.

2) Функция hello_html_757a40e4.gif убывающая, т.к. основание hello_html_m1c3afcc1.gif.

3) Заметим, что hello_html_2e20b220.gif. Показательная функция убывающая (основание hello_html_m2130847d.gif) и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, поэтому hello_html_64fe27cb.gif, т.е. hello_html_bcf33ce.gif.

4) Показательная функция hello_html_65a2312a.gif возрастающая (основание hello_html_6495d847.gif) и большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому hello_html_m2b91b248.gif.


Упражнение 3

1. Постройте графики функции:

1) hello_html_m2424403d.gif;

2) hello_html_5918fa20.gif;

3) hello_html_m5b7ec3ab.gif;

4) hello_html_532e04.gif;

5) hello_html_6469a3fa.gif;

6) hello_html_6d6512ef.gif.



3. Изобразите схематически график функции:

1) hello_html_4cb898c0.gif;

2) hello_html_m3b671223.gif;

3) hello_html_7b7f0de7.gif;

4) hello_html_m51693e7e.gif;

5) hello_html_m1f789036.gif;

6) hello_html_m348e1b0.gif.




Ответы (4):

а) hello_html_1017e3a1.gif;

б) hello_html_1a68bb88.gif;

в) hello_html_m32381e81.gif.

Решение:

б) hello_html_1a68bb88.gif

hello_html_m3aa2de7a.gif

hello_html_198e30fe.gif

hello_html_m22bc9259.gif

hello_html_m40a1fd51.gif

hello_html_95e0ea6.gif

hello_html_73a03fcf.gif

hello_html_m1dadf286.gif

Ответ: 3


в) hello_html_m32381e81.gif

hello_html_4595c04.gif

hello_html_17b39566.gif

hello_html_m94cb6d1.gif

hello_html_31eb7aca.gif

hello_html_m520186fa.gif

hello_html_m36ca5754.gif

hello_html_2137c777.gif

hello_html_m47d45992.gif

Ответ: hello_html_60e9e139.gif



Упражнение 4

Решите уравнения:

1) hello_html_2836f10c.gif;

2) hello_html_57ba0897.gif;

3) hello_html_32aa0f29.gif;

4) 6;

5) hello_html_56f42738.gif;

6) hello_html_4569f52d.gif;

7) hello_html_57ba0897.gif;

8) hello_html_m49275c71.gif;

9) -1;

10) 2;

11) 3;

12) 4;

13) 0;

14) -1;

15) 1;

16) -10;

17) 1;

18) -2;

19) hello_html_m36703c7b.gif;

20) 0;

21) hello_html_6729834d.gif;

22) hello_html_m7fecc18b.gif;

23) hello_html_24c182ad.gif;

24) 3.


Задание 5.

Пример 5. Решите неравенства:

а) hello_html_4bd8b6c5.gif

hello_html_m712282f0.gif, т. к. основ. hello_html_m1b415100.gif, то

hello_html_4765f46a.gif

hello_html_m4dd94360.gif

hello_html_4d06f717.gif

hello_html_m50964753.gif

Ответ: hello_html_5b73370c.gif


б) hello_html_5a01beff.gif

hello_html_meee4077.gif

hello_html_m203a0e80.gif, т. к. hello_html_a6f9f84.gif, то

hello_html_m1aa281e.gif

hello_html_493bdbd0.gif

hello_html_m5e9432cb.gif

hello_html_79fdff25.gif. Замечание: hello_html_m6dfd7320.gif

Ответ: hello_html_678f0525.gif

в) hello_html_m1de8a9d6.gif

hello_html_m1f85bd2.gif

hello_html_m1e84dd76.gif

hello_html_m2046fa26.gif

hello_html_53b7f266.gif

hello_html_2b50175d.gif

hello_html_m3cf97610.gif

hello_html_m5c6e7e03.gif

hello_html_3bf85e0e.gif. Показательная функция hello_html_m116df49e.gif возрастает, т.к. основание hello_html_m2382d5d0.gif

Поэтому hello_html_m102982c3.gif

Ответ: hello_html_m5577afd2.gif


Упражнение 5

Решите неравенства:

1) hello_html_m2ded05dc.gif;

2) hello_html_27d07756.gif;

3) hello_html_m10442d69.gif;

4) hello_html_m5b07d95f.gif;

5) hello_html_m6b4e517c.gif;

6) hello_html_m259c8bac.gif;

7) hello_html_m56d01602.gif;

8) hello_html_m5faac013.gif;

9)

10) hello_html_m5577afd2.gif;

11) hello_html_50e03773.gif;

12) hello_html_2ac6ef20.gif.


Задние 6.

Пример 6. Решите уравнения:

а) hello_html_m76497d3.gif

hello_html_1499fd0c.gif

hello_html_1be315d1.gif

Ответ: 216

б) hello_html_6696a35e.gif

hello_html_6a20b4da.gif

hello_html_66157741.gif

hello_html_m661892c6.gif

Ответ: hello_html_598ee57a.gif

в) hello_html_m2ae59dfe.gif

Домножим обе части

уравнения на 2, получим

hello_html_m2fa929c6.gif

hello_html_bb988a0.gif

hello_html_m7d393a9b.gif

hello_html_m57bff3de.gif

hello_html_m7cf96daf.gif

hello_html_40392252.gif

Ответ: 22

г) hello_html_260ef39e.gif

Заметим, что hello_html_769a1039.gif;

hello_html_m7cdcec8d.gif,

получили: hello_html_m15114b61.gif.

Перепишем уравнение в виде более удобном для преобразований:

hello_html_mc397911.gif

По свойству 1:

hello_html_m6b212f19.gif

hello_html_mfba03f1.gif

hello_html_m27da18cb.gif

hello_html_m6bd82ee5.gif

hello_html_m751f067.gif

hello_html_2896fbf0.gif

Проверка: подставим значение hello_html_2896fbf0.gif в данное уравнение:

hello_html_76132599.gif

hello_html_15f18622.gif

hello_html_m375509a0.gif

hello_html_4c1a7160.gif

Ответ: hello_html_2896fbf0.gif


Упражнение 6

Решите уравнения:

1) hello_html_56f42738.gif;

2) 25;

3) 1;

4) hello_html_m76011989.gif;

5) 3;

6) 3;

7) 2;

8) hello_html_56babeb8.gif;

9) 4,5;

10) 13;

11) 0,6;

12) 2;

13) 19;

14) 1,5;

15) 24997;

16) 1,5;

17) 2,5;

18) -6;

19) 8;

20) -7;

21) 2;

22) hello_html_27da5be2.gif;

23) hello_html_47cbf83f.gif;

24) корней нет.




Пример 7. Решите неравенства:

а) hello_html_19a378cf.gif;

б) hello_html_28a3da81.gif;

в) hello_html_59d1a03a.gif;

г) hello_html_m370ecbad.gif.

Решение:

а) hello_html_19a378cf.gif

Заметим, что hello_html_5ec9ab57.gif.

Тогда данное неравенство примет вид: hello_html_2218fa1c.gif

Т.к. функция hello_html_m495fa9a0.gif определена при hello_html_34af171.gif и возрастает, то:

hello_html_m697b15f4.gif

Ответ: hello_html_m5382ef2e.gif.

б) hello_html_28a3da81.gif

hello_html_m7fa65be1.gif, перепишем данное неравенство:

hello_html_6db8538f.gif

Т.к. функция hello_html_m3acf4d9f.gif определена при hello_html_34af171.gif и убывает, то:

hello_html_m118485bb.gif

Ответ: hello_html_m4eeab7d.gif.

в) hello_html_724cfdf8.gif

hello_html_5c4c7733.gif

hello_html_m373769f9.gif

Т.к. функция hello_html_49af5251.gif, определена при hello_html_m4d49f22c.gif и возрастает, то:

hello_html_m72c9f46c.gif

Ответ: hello_html_m5938ea58.gif.

г) hello_html_m370ecbad.gif

Т.к. логарифмическая функция с основанием hello_html_56babeb8.gif является убывающей, то по

алгоритму решения логарифмических неравенств получаем:

hello_html_41066678.gif

Ответ: hello_html_3b4698d7.gif.


Упражнение 7

Решите неравенства:

1) hello_html_52e897c0.gif;

2) hello_html_m4e78244b.gif;

3) hello_html_m7bc972d7.gif;

4) hello_html_67f8bb17.gif;

5) hello_html_m2ad8463b.gif;

6) hello_html_mde02203.gif;

7) hello_html_1104a534.gif;

8) hello_html_506cbc7.gif;

9)

10) hello_html_5a9f6ad6.gif;

11) hello_html_206b6f96.gif;

12) hello_html_78a7f822.gif;

13) hello_html_m48976826.gif;

14) hello_html_m642dcc37.gif;

15) hello_html_2201843e.gif;

16) hello_html_me30419b.gif;

17) hello_html_13b031ad.gif;

18) hello_html_m6ced131a.gif;

19) hello_html_5148ccba.gif;

20)

21)

22) hello_html_6edd14a7.gif;

23) hello_html_6edd14a7.gif;

24) hello_html_m46657dbd.gif;

25) hello_html_m2d9d875d.gif;

26) hello_html_m3a368a6a.gif;

27) hello_html_m13d2f1e5.gif;

28) hello_html_m238ec3ed.gif;

29) hello_html_m4596685f.gif;

30) hello_html_52e897c0.gif.




Методические рекомендации


1) Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Системы уравнений», «Рациональные, иррациональные и показательные неравенства. Тригонометрические уравнения»


2) I. Решение простейших тригонометрических уравнений.


и т.д.

Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса)





  1. Однородное уравнение I степени вида



Деление обеих частей на . Получаем:


  1. Однородное уравнение II степени вида



Деление обеих частей на . Получаем:



  1. Уравнение вида


Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой




3)

hello_html_2972c487.gif

hello_html_m36bf8be1.gifили решаем уравнение hello_html_15c3b28c.gif и делаем проверку подстановкой корней в исходное уравнение.


4)


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:


1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005

Раздел 3. Комбинаторика. Статистика и теория вероятностей

Тема 3.1. Элементы комбинаторики

Методические указания к самостоятельной работе №12


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)


Цель: Развитие интереса к предмету.

Задание 1.

Подготовить реферат по теме «Жизнь и научная деятельность И.Ньютона».


Задание 2.

ВАРИАНТ №1

  1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1. 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

  2. Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

  3. Решить уравнение

ВАРИАНТ №2

  1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?

  2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если можно использовать материал семи различных цветов?

  3. Решить уравнение 30x=

ВАРИАНТ №3

  1. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать?

  2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

  3. Решить уравнение 30

ВАРИАНТ №4

  1. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3 человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?

  2. На собрании должны выступить 5 человек (A, B, C, D, E). Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих, если А должен выступать первым?

  3. Решить уравнение 20

ВАРИАНТ №5

  1. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?

  2. Сколькими способами можно выбрать гласную букву из слова журнал?

  3. Решить уравнение

ВАРИАНТ №6

  1. Сколькими способами можно составить список из 6 человек?

  2. Сколькими способами собрание. Состоящее из 18 человек. Может выбрать из своего состава председателя и секретаря?

  3. Решить уравнение

ВАРИАНТ №7

  1. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3. 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрами 3 или 5?

  2. Из города А в город В ведут 6 дорог, а из города В в город С ведут 3 дороги. Сколько путей, проходящих через город В, ведут из А в С?

  3. Решить систему уравнений




  1. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в этом турнире?

  2. Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

  3. Решить систему уравнений




Ответы к заданиям варианта

1

  1. 20; 2. 20; 3.{23}

2

  1. 120; 2. 210; 3. {7}

3

1.120; 2. 96; 3. {6; 25}

4

  1. 56; 2. 24 3.{5}

5

  1. 720; 2.15; 3. {5}

6

1.720; 2.306; 3. {5}

7

  1. 72; 2. 18; 3. {(14;6)}

8

  1. 105; 2. 56; 3.[(12;5)}




Задание 3.

Вариант 1.

  1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000

5. Решить относительно n уравнение : Рn+2 /Pn=12

1)8 2)9 3)7 4)2

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1)0,1 2) 0,5 3) 0,125 4) 0,625

7*. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002


Вариант 2.

  1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите: 6!+ 4!

1)544 2) 10 3) 30 4) 744

5. Решить относительно n уравнение :1/ Pn-4= 20/ Pn-2

1)2 2)4 3) 12 4) 7

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,25 2)0,0625 3) 0,5 4) 0,125

7*. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8



Ответы к тестам

Вариант 1

задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

3

2

4

1

4

3

4

Вариант 2

задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

4

1

2

4

4

1

1



Методические рекомендации


1. Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «Основные понятия комбинаторики. Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки»

2. Реферат (см. задание 1) должен быть выполнен с соблюдением методическим рекомендациям по написанию реферата.


Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


Рекомендуемая литература:

1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005



Тема 3.2. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики

Методические указания к самостоятельной работе №13


Форма СРС: Внеаудиторная самостоятельная работа (домашняя работа)


Цель: В результате выполнения самостоятельной работы студент должен:

закрепить: основные понятия (генеральная и выборочная совокупности, объем выборки, способы выборки); способы группировки статистических данных (определение вариационного ряда, его смысл и назначение, формулы для оценки параметров генеральной совокупности (понятие, смысл, назначение и расчет размаха вариации, выборочного среднего, дисперсии, среднего квадратического отклонения, моды и медианы). виды случайных событий; синтаксис команд для вычисления вероятностей; свойства вероятности; теоремы сложения и умножения вероятностей.






Задание 1:

  1. Дана выборка 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5. Определить объем и размах выборки. Задать дискретный вариационный ряд. Найти математическое ожидание и дисперсию. Построить полигон.

  2. Восстановить распределение частот для выборки объемом n = 30. Написать распределение относительных частот. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, зная ее закон распределения: 

    а) расстояние между двумя произвольными городами меньше, чем 50 тысяч километров;

    б) наугад выбранное слово русского языка заканчивается буквами «нзо»;

    в) Вася выиграет в лотерее?

    1. Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?

    2. Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.

    3. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков, больше чем четыре, равна ...

    4. В урне 7 белых и 9 черных шаров. Из урны наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что 1) оба шара будут белыми; 2) оба шара будут черными; 3) один шар будет белым, а один черным.

    5. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет 1) одинаковое число очков на обеих костях; 2) число 11; 3) четное число.

    6. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: "о, п, р, с, т". Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных "в одну линию" кубиков можно будет прочесть слово "спорт".

    7. 32 буквы русского алфавита написаны на отдельных карточках, которые перемешаны. Наудачу вынимают 5 карточек. Найти вероятность, того, что при этом из вытащенных карточек можно составить слово «зачет»

    .

    1. В списке из 360 фамилий 7 начинаются с буквы А, 5 - с буквы Е, 8 – с И, 9 – с О, 4 – с У, 2 – с Ю, другие фамилии начинаются с согласной буквы. Какова вероятность того, что наудачу выбранная фамилия начинается с гласной?

    2. Буквы слова ЛИТЕРА написаны на отдельных карточках, которые перемешаны. Наугад выбираются 4 карточки. Найти вероятность того, что при этом получится слово ТИРЕ.

    3. В группе 10 студентов, среди которых 7 отличников. По списку наудачу отобраны 4 студента. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажется 4 отличника.

    4. На стеллаже 1000 книг, из них 150 по информатике и 50 - по математике. Найти вероятность того, что наудачу взятая книга будет по информатике или математике.

    5. На полке стоит 10 различных учебников, из которых два по языкознанию. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 2-х книг есть хотя бы одна по языкознанию.

    6. В читальном зале имеется 12 учебников по информатике, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

    7. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий : "появился герб", "появилось 6 очков".

    8. На двух полках находятся книги: на первой -10 (из них 3 в переплете), на второй - 15 (из них 6 в переплете). С каждой полки наудачу берут по одной книге. Найти вероятность того, что обе книги окажутся в переплете.

    9. В читальном зале имеется 6 учебников по информатике и 4 по математике. Наудачу взяты 2 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из учебников будет по информатике.


    Методические рекомендации


    Перед выполнением практических заданий необходимо ознакомиться с теоретическим материалом в предложенной учебной литературе, а именно с темой «События, вероятность события, сложение и умножение вероятностей».


    Форма отчетности: письменная работа в тетрадях.


    Рекомендуемая литература:

    1) Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный уровни, 10-11 кл.). – М., 2005.2);

    2) Башмаков М. И. Математика (базовый уровень, 10 кл.) – М., 2009.

    3) Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика (СПО). – М., 2005





    СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


          1. Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 271 с.

          2. Александров А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М. : Просвещение, 2014. – 272 с.

          3. Башмаков М.И. Математика. Задачник : учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия» , 2014. – 416 с.

          4. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.

          5. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 431 с.

          6. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]. – М. : Просвещение, 2014. – 464 с.

          7. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М. : просвещение, 2014. – 255 с.

          8. Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М. : Просвещение, 2014. – 415 с.

          9. Пратусевич М.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень / М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. – М. : Просвещение, 2014. – 463 с.


Автор
Дата добавления 17.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров243
Номер материала ДБ-158251
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх