Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ СТАТИСТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ СТАТИСТИКА



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Другое

Поделитесь материалом с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Х.М. Бербекова»


КОЛЛЕДЖ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЭКОНОМИКИ







Дзугаева Ирина Алексеевна




МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


ПО ОРГАНИЗАЦИИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ






по дисциплине: СТАТИСТИКА






Для студентов специальности: 38.02.01.51 ЭКОНОМИКА И БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ










Нальчик, 2015 г.

Методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы студентов колледжа по дисциплине Статистика для студентов специальности 38.02.01.51 Экономика и бухгалтерский учет


Подготовлены Дзугаевой Ириной Алексеевной


Рассмотрены и утверждены на заседании ЦК Экономики и управления


«____» _________________2015 Протокол № ____



Председатель ЦК _____________________ (Ф.Г. Макоева)



Составитель (ли) ______________________(И.А. Дзугаева)































Внеаудиторная самостоятельная работа студентов – планируемая учебная, учебно-исследовательская работа студентов, выполняемая во внеаудиторное время по заданию и при методическом руководстве преподавателя.

Целями самостоятельной работы являются:

воспитание потребности студента в самообразовании, развитие его познавательных и творческих способностей;

формирование профессиональных умений и навыков;

побуждение к учебно-исследовательской работе;

реализация компетентностного подхода в образовании.

Самостоятельная работа студентов способствует развитию самостоятельности, ответственности и организованности, творческого характера в решении проблем учебного и профессионального уровня.

КОЛИЧЕССТВО ЧАСОВ ПО УЧЕБНОМУ ПЛАНУ 32

ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

п/п

Тема занятия

Вид занятия

Объем часов

Форма контроля

1

Формы, виды и способы статисти-ческого наблюдения

Конспектирование первоисточников и другой учебной литературы

4

Фронтальный опрос

2

Ряды распределения в статистике

Конспектирование первоисточников и другой учебной литературы

4

Фронтальный опрос

3

Статистические таблицы

Решение задач

4

Проверка письменных заданий

4

Статистические графики

Решение задач

4

Проверка письменных заданий

5

Показатели вариации и анализ частотных распределений

Решение задач

4

Проверка письменных заданий

6

Виды и методы анализа рядов динамики

Конспектирование первоисточников и другой учебной литературы

4

Фронтальный опрос

7

Индексы. Классификация индексов

Решение задач

4

Проверка письменных заданий

8

Способы формирования выборочной совокупности

Решение задач

4

Проверка письменных заданий

Тема. Статистические таблицы.

Результаты группировки и сводки материалов оформляются в виде статистических таблиц и статистических графиков.

Табличная форма изложения придает статистическим данным наглядность, рельефность и компактность.

Всякая статистическая таблица состоит из трех основных элементов:

1) заголовок, в котором указывается основная цель или содержание таблицы, часто время и место, к которым относятся излагаемые в ней данные (шапка таблицы);

2) подлежащее (обычно помещается в боковике таблицы — первом вертикальном столбце, в наименовании строк) — перечень тех групп или частей, на которые подразделена вся масса единиц;

3) сказуемое — цифры, при помощи которых характеризуются выделенные в подлежащем группы; сказуемое формирует верхние заголовки и составляет содержание граф с логически последовательным расположением показателей слева направо.

Данные статистических таблиц могут быть использованы для целей оперативного руководства и научного анализа. Различие целей сказывается в первую очередь на характере подлежащего таблицы. В зависимости от подлежащего различают три основных вида таблиц: простые, групповые, комбинационные.

Контрольные вопросы.

  1. Назовите основные элементы статистической таблицы.

  2. Что такое подлежащее и сказуемое статистической таблицы?


Тема. Статистические графики.

Графики являются одной из форм представления статистической информации. Они находят широкое применение при обобщении и анализе данных, так как позволяют наглядно и доступно отразить результаты обработки большого объема информации.

Статистический график представляет собой условное изображение, при помощи которого с помощью геометрических образов дается характеристика определенных показателей. Иллюстрация данных в виде графиков позволяет облегчить восприятие статистической информации и способствует правильному ее толкованию.

Для графического изображения статистических данных используются различные виды графиков. Подразделяются графики по следующим признакам: цели использования, способу построения и форме графического образа.

По способу построения графики делятся на диаграммы и статистические карты. В зависимости от целей использования выделяют структурные диаграммы, диаграммы сравнения, динамики и выполнения плана..

Для обеспечения практического использования графиков необходимо соблюдать следующие правила их построения: выбрать графический образ; задать поле графика, пространственные и масштабные ориентиры; ввести экспликацию графика.

Графический образ, т.е. вид графика, представляет собой те точки, линии, геометрические фигуры и т.д., которые используются для изображения статистических показателей.

Поле графика — плоскость, на которой изображены графические образы.

Пространственные ориентиры задаются в виде системы координат. Наиболее распространенной является прямоугольная система координат.

Масштабные ориентиры зависят от масштаба и масштабной шкалы графика. Масштаб — это мера перевода числовой величины в графическую. Масштабной шкалой является линия, на которой в определенном порядке нанесены штрихи и соответствующие им числа, расположенные строго под штрихами.

Экспликация графика — это словесное описание его содержания. Оно включает название рисунка, подписи вдоль масштабных шкал и пояснения к отдельным компонентам графика.

Получившие широкое распространение в современных условиях пакеты прикладных программ компьютерной графики значительно облегчают задачи исследователя при построении и практическом применении графиков.

Виды диаграмм.

1. Линейные диаграммы. Линейная диаграмма на первый взгляд напоминает обычный математический график, но отличие состоит в том, что диаграмма строится в виде отдельных точек, которые соединяются линиями для наглядности (рис. 3.1).



hello_html_a6593fc.png


Рис. 3.1 Линейная диаграмма


2.Столбиковые диаграммы. Каждый столбик соответствует по величине уровню исследуемого статистического показателя, что позволяет сравнивать эти показатели.

3. Полосовые (ленточные) диаграммы от других состоит в том, что масштабная шкала располагается по горизонтали и определяет величину полос по длине.

4. Для целей сравнения также используются диаграммы в виде различных геометрических фигур треугольных, квадратных, прямоугольных, по площади которых устанавливается размер социально-экономического явления. В треугольной диаграмме нужно так выбрать стороны и высоту треугольника, чтобы его площадь отвечала величине показателя.

5. Для графического изображения структуры социально-экономических явлений используются секторные диаграммы. Они является одним из наиболее распространенных видов структурных диаграмм. Анализ структуры осуществляется в результате сопоставления различных частей целого при помощи площадей, образуемых секторами круга.

5. Фигурные (или картинные) диаграммы усиливают наглядность изображения, так как включают рисунок изображаемого показателя.

Статистические карты используются для характеристики распределения явления на определенной территории. К статистическим картам относятся картограммы и картодиаграммы. Картограмма представляет собой географическую карту, на которой изображается интенсивность размещения социально-экономического явления в пределах каждой единицы территориального деления (рис. 3.2).



hello_html_d8fd35.png


Рис. 3.2. Картограмма


Контрольные вопросы.

  1. Что такое статистический график?

  2. Виды статистических графиков?


Тема. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней.

Для всесторонней характеристики вариационного ряда. Поэтому необходимо установить степень колеблемости отдельных значений признака. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариаций. Вариация представляет собой различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Причиной вариации являются разные условия существования разных единиц совокупности. Вариация присуща всем без исключения явлениям природы и общества. Исследования вариации в статистике имеют большое значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Измерение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для применения научно обоснованных управленческих решений.

Виды показателей вариации

Для измерения вариации признака применяются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах колебаний, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное отклонение).

Размах колебаний, или размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R = x max - x min

Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями.

Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете колеблемости всех значений признака. К таким показателям относятся среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической. Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойства) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма отклонений то есть суммируются абсолютные значения независимо от знака.(при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта). Оно определяется по следующим формулам:

Для не сгруппированного ряда:

hello_html_m3642ffb.gif

Для сгруппированного ряда:

hello_html_m1251fb8f.gif

Преимущество среднего линейного отклонения как меры рассеивания перед показателем размаха вариации очевидно, потому что эта мера основана на учете всех возможных отклонений от среднего. Однако этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений приводят к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными.

Среднее линейное отклонение рассчитывается из отклонений в первой степени,

Дисперсия и среднее квадратическое — из отклонений во второй степени.

Дисперсия это средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

σ2 =Σ(x i - x )2/n

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

σ2 =Σ(x i - x )2x fi/∑ fi

Среднее квадратичное отклонение представляет собой обобщающую характеристику размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической и может быть вычислено следующим образом:

σ= √σ2

Среднее квадратичное отклонение показывает, на сколько, в среднем, отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, а также является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому хорошо интерпретируется.

Порядок расчета среднего квадратического отклонения на основе вариационного ряда таков:

1) находим среднюю арифметическую ряда ( х );

2) находим отклонение каждого варианта от средней арифметической

(x i - x );

3) возводим каждое отклонение в квадрат: (x i - x )2,

4) умножаем каждый квадрат отклонений на соответствующие веса:

(x i - x )2 x fi

5) суммируем все произведения: Σ(x i - x )2х fi

6) разделив указанную выше сумму произведений на сумму весов (частот или частостей), получаем дисперсию .

σ2=Σ(x i - x )2 fi/ fi

7) извлекая квадратный корень из дисперсии, получаем стандартное отклонение

σ= √σ2

Таким образом, основой для расчета стандартного отклонения является дисперсия:




Пример 1.

Рассчитаем стандартное отклонения по данным примера 3.

Группы вкладчиков по размеру вклада, руб.

Число вкладчиков fi

Середина интервала хi


_

(x i - x )2

_

(x i - x )2 fi

300- 600

10

450

311364

3113640

600-900

20

750

66564

1331280

900-1200

50

1050

1764

88200

1200-1500

14

1350

116964

1637496

1500-1800

6

1650

412164

2472984

Итого

100

-

-

8636600


Средний размер вклада был получен: х = 1008 руб.

Определим среднее квадратическое отклонение и его произведение на соответствующую частоту, добавив в таблицу расчетные колонки.

σ2 = 8636600/100 = 86366

σ= √σ2 = √86366 = 294 руб.

Вывод: Отклонение от среднего составляет 294 руб.

Относительными показателями вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к соответствующей характеристике центра распределения — средней арифметической или медиане.

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости — коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратичного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах. Обозначается коэффициент вариации буквой «кси» - υ.

υ = (σ/ x ) 100 %


Пример 2.

По данным примера 1 определить коэффициент вариации.

υ = 294/1008 100 % = 29,2 %

Вывод: Коэффициент вариации составляет 29,2%<33%, то есть изучаемая совокупность однородна и группировка произведена верно.


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.


1. Что такое вариация признака и чем обусловлена необходимость ее изучения?

2. Какими показателями измеряется вариация?

3. Как вычисляется дисперсия?

4. Как вычисляется среднее квадратичное отклонение для сгруппированных и несгруппированных данных?

5 Для каких целей вычисляют коэффициент вариации?


Тема 10. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ

Индексы занимают особое положение в статистике и относятся к важнейшим обобщающим показателям, используемым в экономике.

С помощью индексов изучается развитие народного хозяйства в целом, отдельных его отраслей, предприятий, они используются при разработке и контроле плановых заданий, при сравнениях по различным территориям, при выявлении роли факторов, определяющих изменение сложных экономических показателей. Сложное явление состоит из элементов, непосредственно несоизмеримых (несуммируемых). Например, если завод производит несколько видов различной продукции, то данные о выпуске продукции в натуральном выражении суммировать нельзя, эти данные несоизмеримы. Для того чтобы показать изменение выпуска по каждому виду продукции и общее изменение по нескольким видам продукции, используются индексы

Индекс представляет собой относительный показатель сравнения двух состояний одного и того же явления. Индекс характеризует изменение явления во времени, в пространстве или по сравнению с любым эталоном.

Индекс имеет форму коэффициента, т.е. числа, показывающего, во сколько раз величина текущего (отчетного) периода больше или меньше величины базисного периода. Показатели текущего периода обозначаются числом 1, показатели базисного периода – числом 0.

Индексы выражаются в долях или процентах.

Какие задачи могут быть решены при помощи индексов?

1. Индексы позволяют измерять изменение сложных явлений. В отличие от обычных относительных величин, которые исчисляются по изолированным признакам, индексы могут включать систему признаков. Это означает, что объектом индексного анализа выступают простые и сложные по своей структуре явления.

2. С помощью индексов можно определить влияние отдельных фактов на изменение динамики сложного явления. Используя взаимосвязь индексов, можно установить, например, в какой мере выручка от продажи продукции возросла за счет увеличения объема продаж, а в какой мере — за счет повышения цены.

3. Индексы являются показателями сравнений не только с прошлым периодом (сравнение во времени), но и с другой территорией — сравнение в пространстве, а также с планами, нормативами, прогнозами и т. д.

Когда рассматриваются сопоставления уровней изучаемого явления во времени, то говорят об индексах динамики, в пространстве — о территориальных индексах и т. д.

Для удобства восприятия индексов в теории статистики разработана определенная символика. Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение. Составим таблицу условных обозначений (табл.1) .

Таблица 1


Условное обозначение для индексов цен

Условное обозначение для индексов себестоимости

р - цена единицы продукции

Z - себестоимость единицы продукции

q – физический объём реализованной продукции

q – физический объем произведенной продукции

Σp0q0 - стоимость продукции в базисном периоде (товарооборот)


Σp1q1 –товарооборот текущего периода

Σz0q0 – производственные затраты (издержки) базисного периода


Σz1q1 – издержки текущего периода

Σp0q1; Σp1q0 – условный товарооборот

Σz1q0 ; Σz0q1 - условные затраты


Если специального символа для обозначения не существует показатели обозначаются по своему усмотрению.

По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и сводные (общие) индексы.

Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменение только одного элемента совокупности (например, изменение выпуска легковых автомобилей определенной марки). Индивидуальный индекс обозначается i. Название индекса ставится внизу, например, ip – индекс цены, iq – индекс физического объема, iz – индекс себестоимости, ipq – индекс товарооборота и т.д.

Индивидуальный индекс представляет собой дробь, числитель которой является показателем текущего периода, а знаменатель - показателем базисного периода (табл. 2).


Таблица 2

Название индекса

Формула индекса

Индекс цены

ip = p1/p0

Индекс физического объема

iq = q1/q0

Индекс себестоимости

iz = z1/z0

Индекс товарооборота

ipq = p1q1/ p0 q0

Индекс издержек производства

izq = z1q1/z0 q0



Сводный (общий) индекс отражает изменение по всей совокупности эле-ментов сложного явления. Обозначают сводный (общий) индекс символом I.

Методы расчета общих индексов

В зависимости от методологии расчета в общих индексах различают агрегатные индексы (основная форма) и средние из индивидуальных индексов. Последние, в свою очередь, делятся на средние арифметические и средние гармонические индексы.

Агрегатные индексы ( «агрегат» от лат. — складываемый, суммируемый)

Агрегатный индекс представляет собой основную и наиболее распространенную форму индекса. И применяется для исследования несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов.

Агрегатный индекс это дробь: числитель и знаменатель, которой представляет собой сумму произведения двух величин, одна из которых меняется (эта величина называется индексируемой), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (эта величина называется вес индекса). То есть, главной особенностью агрегатного индекса является то, что числитель и знаменатель всякого агрегатного индекса отличается между собой только индексируемой величиной, признак же веса всегда постоянный.

Причем, если признак веса берется по отчетному периоду это индекс по Пааше. Если же признак веса берется по базисному периоду это индекс по Ласпейресу.


Таблица 3

Основные формулы исчисления общих индексов


Название общего индекса

Формула для исчисления

Что показывает индекс


По Пааше

(вес 1)

По Ласпейресу

(вес 0)

1

2

3

4

Индекс цен


Σ p1q1

Ip = Σ p0q1

Σ p1q0

Ip = Σ p0q0

Во сколько раз изменился товарооборот или сколько процентов составило его изменение за счет изменения цены.

Индекс физического

объема товарооборота

Σ p1q1

Iq = Σ p1q0


Σ p0q1

Iq = Σ p0q0


Во сколько раз изменился товарооборот или сколько процентов составило его изменение за счет изменения объема продаж

Индекс товарооборота (обобщенный)

Σ p1q1

Ipq = Σ p0q0

Во сколько раз изменился или сколько процентов составил товарооборот текущего периода по сравнению с базисным..

Индекс себестоимости


Σ z1q1

Iz = Σ z0q1

Σ z1q0

Iz = Σ z0q0

Во сколько раз изменились издержки производства или сколько процентов составило их изменение за счет изменения себестоимости.

Индекс физического объема затрат

Σ z1q1

Iq = Σ z1q0


Σ z0q1

Iq = Σ z0q0


Во сколько раз изменились издержки производства или сколько процентов составило их изменение за счет изменения объема производства.

Индекс производственных затрат

Σ z1q1

Izq = Σ z0q0

Во сколько раз изменились или сколько процентов составили издержки производства текущего периода по сравнению с базисным..

Чтобы определить динамику явления, то есть на сколько натуральных единиц или процентов произошло изменение необходимо определить абсолютное и относительное изменения.

1. Абсолютное изменение – изменение в натуральных или стоимостных единицах.

Оно определяется как разность между числителем и знаменателем индекса. (Вид или форма индекса не имеет значения).

2. Относительное изменение – изменение в процентах. Оно определяется как разность индекса и 100 % (I – 100% или i – 100 %).











Пример 1


Товар


Ед.

измерения

Цена (руб.)


Количество проданного

товара (тыс.ед.)

Индивидуальные

индексы (%)


Товарооборот

(тыс. руб.)


апр

p0

май

p1

апр

q0

май

q1

ip

iq

ipq

апрель

p0q0

Май

p1q1

Условн p1q0

Чай

Кофе

Сахар

пачка

банка

кг

3

2

20

2,5

2,5

18

50

40

1,5

60

50

2

83

125

90

120

125

133

100

156

120

150

80

30

150

125

36

125

100

27

итого

-

-

-

-

-

-

-

-

260

311

252


По данным о продаже чая, кофе и сахара в мае и апреле рассчитать индивидуальные и общие индексы. Данные представить в таблице. Также определить все абсолютные и относительные изменения для каждого вида товара и по совокупности товаров. В качестве условного товарооборота рассмотреть стоимость товара в мае в ценах апреля.

Также возможно взять стоимость товара в апреле по ценам мая. Это равнозначно.

Абсолютные и относительные изменения по каждому товару:

    • Чай.

    • цена в мае по сравнению с апрелем снизилась на 17% или 0,5 руб;

    • объем продаж в мае по сравнению с апрелем увеличился на 20% или 10000 пачек;

    • товарооборот в мае по сравнению с апрелем остался неизменным.

    • Кофе

    • цена в мае по сравнению с апрелем увеличилась на 25% или 0,5 руб;

    • объем продаж в мае по сравнению с апрелем увеличился на 25% или 10000 банок;

    • товарооборот в мае по сравнению с апрелем увеличился на 56% или 45 тыс. руб.

    • Сахар

    • цена в мае по сравнению с апрелем снизилась на 10% или 2 руб;

    • объем продаж в мае по сравнению с апрелем увеличился на 33% или 500 кг;

    • товарооборот в мае по сравнению с апрелем увеличился на 20% или 6 тыс. руб.


Общий индекс товарооборота:


Σ p1q1 311 тыс.

Ipq = Σ p0q0 = 260 тыс. = 1,196 ~ 119,6%

Товарооборот по всем товарам в мае по сравнению с апрелем увеличился на 19,6% или на 51 тыс. руб.

Общий индекс цены (по Ласпейресу):


Σ p1q0 252 тыс.

Ip = Σ p0q0 = 260 тыс. = 0,97 ~ 97%

Товарооборот по всем товарам снизился за счет изменения цен в мае по сравнению с апрелем на 3% или на 8 тысяч руб.

Общий индекс физического объема товарооборота (по Пааше):

Σ p1q1 311 тыс.

Iq = Σ p1q0 = 252 тыс. = 1,23 ~ 123 %

Товарооборот по всем товарам увеличился за счет изменения объема продаж в мае по сравнению с апрелем на 23% или на 59 тысяч руб.


Примечание. Если бы в качестве условного товарооборота рассмотрели стоимость товара в апреле по ценам мая, индексы получились бы в следующие. Ip – по Пааше, а Iq – по Ласпейресу.

Индексы средние из индивидуальных рассчитываются по формулам среднего арифметического и среднего гармонического показателей, но в обоих случаях являются производными от агрегатных индексов. Применение агрегатных индексов или средних из индивидуальных обусловлено только видом исходных данных. Если для применения агрегатного индекса не хватает показателя, но известен индивидуальный индекс, то недостающий показатель может быть определен с помощью этого индекса, а затем подставлен в агрегатную форму.

Если неизвестен показатель базисного периода – получим индекс в форме среднего арифметического. Если неизвестен показатель текущего периода - в форме среднего гармонического.

Построим среднеарифметический индекс цены. Дано: p0, q1 и ip .

Индексируемая величина – цена, значит вес индекса – объем продаж, так как известно q1 будем использовать индекс по Пааше.

Σ p1q1

Ip = Σ p0q1 p1 найдем с помощью индивидуального индекса.

p1

ip = p0 p1 = ip٠ p0


_ Σ ip p0q1

Ip = Σ p0q1


Построим среднегармонический индекс цены. Дано: p1, q0 и ip .

Индексируемая величина – цена, значит вес индекса – объем продаж, так как известно q0 будем использовать индекс по Ласпейресу.


Σ p1q0

Ip = Σ p0q0 p0 найдем с помощью индивидуального индекса.

p1 p1

ip = p0 p0 = ip


_ Σ p1q1______

Ip = Σ (p1 / ip) q1

Аналогично рассчитывают индексы физического объема, себестоимости и др.


Пример 2

Определить среднее снижение цен на швейные изделия в отчетном периоде по сравнению с базисным по следующим данным:


Наименование швейных изделий

Продано в отчетном периоде, млн руб. p1q1

Снижение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %


ip (%)

Хлопчатобумажные

Шелковые

10

17

-20

-15

80

85

Решение.

В данном случае общий индекс цен может быть рассчитан из индивидуальных по формуле среднего гармонического индекса в форме Пааше:


_ Σ p1q1______ 10 + 17 . 27 . 27

Ip = Σ (p1 / ip) q1 = 10 + 17 = 12,5 + 20 = 32.5 = 0.83 ~ 83%

0.8 0.85

т.е. цены на хлопчатобумажные и шелковые изделия в среднем снизились на 17% (83 - 100 = -17).

Индексы переменного и фиксированного составов (анализ динамики средних показателей)

Все экономические явления находятся во взаимной связи друг с другом. Так, стоимость выработанной на предприятии продукции зависит от количества выработанной продукции и цены за единицу продукции; затраты предприятия на выпуск продукции связаны с количеством выработанной продукции и себестоимостью единицы продукции; объем выработанной предприятием продукции определяется уровнем производительности труда и численностью работников. Подобным образом при определенных условиях связаны между собой и индексы, характеризующие изменения этих явлений.

Индексный метод широко используется при анализе роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, позволяя определить размер абсолютного изменения сложного явления за счет каждого фактора в отдельности. Сложным явлением следует считать такой показатель, который может быть представлен как произведение двух или более показателей. Так, объем выпуска продукции определяется произведением уровня средней выработки одного работника на среднесписочную численность работников.

Предположим, что сложное явление Y представляет собой произведение двух показателей х и f, то есть в среднем Ā=х∙f. Величина явления и факторов в текущем периоде обозначена 1, в базисном периоде 0. Изменение сложного явления может быть представлено индексом:

Ā1 Σх1 ∙f1 : Σх0 ∙f0

IA = Ā0 = Σf1 Σ f0

Задача заключается в том, чтобы выявить влияние каждого фактора в отдельности.

Очевидно, что средняя величина показателя (Ā) может меняться как за счет изменения значений признака (х) у отдельных единиц, так и за счет изменения их весов (f), т.е. за счет изменения состава (структуры) совокупности. Это и является основанием для именования данного отношения средних величин индексом переменного состава.

Σх1 ∙f1 : Σх0 ∙f0

I(А)п.с. = Σf1 Σ f0

Если при расчете средних величин за два периода зафиксировать веса одного и того же периода, то при сравнений таких средних влияние изменения структурного фактора будет устранено, и этот индекс называют индексом фиксированного (или постоянного) состава (I(А)ф.с). Веса при этом фиксируются, как правило, на уровне текущего периода (f1), т.е.

Σх1 ∙f1 : Σх0 ∙f1

I(А)ф.с. = Σf1 Σ f1

Нетрудно заметить, что при сокращении на этот индекс можно записать как:

Σх1 ∙f1

I(А)ф.с. = Σх0 ∙f1

т.е. в агрегатном виде.

Индекс фиксированного состава характеризует среднее изменение самого индексируемого показателя при постоянстве структуры совокупности.

При сравнении средних показателей можно принять неизменными значения х, тогда на динамику средних будет оказывать влияние только изменение весов, т.е. структуры совокупности. Этот индекс условно называют индексом структуры (или индексом структурных сдвигов). Х при этом фиксируют, как правило, на уровне базисного периода (х0), т.е.


Σх0 ∙f1 : Σх0 ∙f0

I(А)стр.. = Σf1 Σ f0

Индекс структуры показывает, в какой степени изменение средней величины индексируемого показателя произошло за счет изменения структуры (состава) совокупности.

Индексы структуры, переменного состава и фиксированного состава связаны между собой.

Iп.с. = Iф.с. ٠ Iстр.

Записанные выше в общем виде формулы индексов переменного и фиксированного состава, а также индекс структуры принимают тот или иной конкретный вид в зависимости от символики, используемой для отдельных показателей.

1. Индексы себестоимости. Предположим, что определенный вид продукции производится на нескольких предприятиях. Если обозначить себестоимость единицы продукции через z, а выпуск продукции отдельных предприятий (как веса) через q , можно следующим образом записать формулу индекса себестоимости переменного состава:


Σz1 ∙q1 : Σz0 ∙q0

I(z)п.с. = Σq1 Σ q0

Индекс характеризует изменение средней себестоимости единицы данной продукции по совокупности предприятий за счет изменениями себестоимости продукции на каждом предприятии. Абсолютное и относительное изменение рассчитывают также, как и у обычных индексов.

2. Индекс себестоимости фиксированного состава, характеризующий динамику средних показателей при одной и той же фиксированной структуре совокупности, выразится формулой


Σz1 ∙q1 : Σz0 ∙q1

I(z)ф.с. = Σq1 Σ q1

После сокращения на этот индекс принимает вид формулы агрегатного индекса себестоимости:


Σz1 ∙q1

I(z)ф.с. = Σz0 ∙q1

В этом индексе устранено влияние структурного фактора (удельного веса отдельных предприятий в общем выпуске продукции) на динамику средней себестоимости; он практически характеризует среднее изменение себестоимости данного вида продукции по совокупности предприятий. Обратите внимание на то, что рассчитывать абсолютное изменение по сокращенной форме нельзя, только по полной.

3. Индекс структурных сдвигов применительно к показателю себестоимости

Σz0 ∙q1 : Σz0 ∙q0

I(z)стр.. = Σq1 Σ q0


Этот индекс характеризует изменение средней себестоимости единицы продукции (однородной) за счет изменения только структуры выпуска (т.е. доли отдельных предприятий (участков) в общем выпуске продукции).

Аналогично рассчитывают, например, индекс цены и др.


Пример 3

Имеются следующие данные о производстве и себестоимости продукта А по двум фабрикам за два периода:

Фабрика


Произведено тыс. ед.

Себестоимость единицы продукта, руб

в базисном

периоде q1

в отчетном

периоде

q0

в базисном

периоде

z0

в отчетном

периоде z1


1

2

50

60

80

40

150

250

135

230

Итого

110

120

Определить:

1) изменение себестоимости в целом по обеим фабрикам с помощью индексов переменного и фиксированного составов;

2) индекс структурных сдвигов.

Решение.

1. Чтобы рассчитать индекс себестоимости переменного состава, определяем среднюю по двум фабрикам себестоимость продукта А в отчетном и базисном периодах, а затем их сопоставляем.


Σz1 ∙q1 : Σz0 ∙q0 135∙80 + 230∙40 : 150∙50 + 250∙60 163,7

I(z)п.с. = Σq1 Σ q0 = 120 110 = 204,5 = 0,815 ~ 81,5 %


т.е. средняя по двум фабрикам себестоимость продукта А снизилась на 18,5%. Очевидно, что это снижение произошло как за счет снижения себестоимости на каждой фабрике, так и за счет влияния структурного фактора — увеличения выпуска более дешевого продукта на фабрике № 1.

Для устранения влияния структурного фактора рассчитываем индекс себестоимости фиксированного состава:


Σz1 ∙q1 : Σz0 ∙q1 150∙80 + 250∙40 167,3

I(z)ф.с. = Σq1 Σ q1 = 163,7 : 120 = 183,3 = 0,909 ~ 90,9 %


т.е. себестоимость продукта А в среднем по двум фабрикам снизилась на 9,1%.

2. Индекс структурных сдвигов


Σz0 ∙q1 : Σz0 ∙q0 183,3

I(z)стр.. = Σq1 Σ q0 = 204,5 = 0,896 ~ 89,6 %


Этот индекс показывает, как изменилась средняя себестоимость продукта А за счет структурного фактора, т.е. средняя себестоимость продукта А снизилась на 10,4% (89,6 — 100 = —10,4) за счет увеличения выпуска (доли) более дешевого продукта А на фабрике № 1.

Индекс структурных сдвигов можно рассчитать и по формуле, связывающей индексы.

Iп.с. = Iф.с. ٠ Iстр , разделив индекс себестоимости переменного состава на индекс фиксированного состава:


I(z)п.с. 0,815

I(z)стр.. = I(z)стр = 0,909 = 0,896 ~ 89,6 %. Тот же самый результат.


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:


1. Что в статистике называется индексом?

2. Какие задачи решаются с помощью индексов?

3. В каких единицах принято измерять индексы?

4. Какой индекс называется индивидуальным?

5. Какие индексы называются общими (агрегатными)?

6. Что понимается под весами при исчислении агрегатного индекса

физического объема?

7. Что понимается под индексируемой величиной?

8. Какие индексы называются средними из индивидуальных?

9. Что понимается под индексами переменного, фиксированного состава и индексом структурных сдвигов?


Тема. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной ее части. Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющих несплошное наблюдение, является выборочный метод.

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5 - 10%, реже до 15 - 25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.

В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка сопровождается уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов (определение сахаристости фруктов, клейковины печеного хлеба, установление носкости обуви, прочности тканей на разрыв и т.д.).

Проведение исследования социально — экономических явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:

1) обоснование (в соответствии с задачами исследования) целесообразности применения выборочного метода;

2) составление программы проведения статистического исследования выборочным методом;

3) решение организационных вопросов сбора и обработки исходной информации;

4) установление доли выборки, т.е. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности;

5) обоснование способов формирования выборочной совокупности;

6) осуществление отбора единиц из генеральной совокупности для их обследования;

7) фиксация в отобранных единицах (пробах) изучаемых признаков;

8) статистическая обработка полученной в выборке информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;

9) определение количественной оценки ошибки выборки;

10) распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.

В генеральной совокупности доля единиц, обладающих изучаемым признаком, называется генеральной долей (обозначается р), а средняя величина изучаемого варьирующего признака — генеральной средней (обозначается hello_html_m779d45a3.gif).

В выборочной совокупности долю изучаемого признака называют выборочной долей, или частостью (обозначается hello_html_31033342.gif), а среднюю величину в выборке — выборочной средней (обозначается hello_html_m1eca6fc2.gif).

Пример 1

При контрольной проверке качества хлебобулочных изделий проведено 5%-ное выборочное обследование партии нарезных батонов из муки высшего сорта. При этом из 100 отобранных в выборку батонов 90 шт. соответствовали требованиям стандарта. Средний вес одного батона в выборке составлял 500,5 г при среднем квадратическом отклонении hello_html_2acd0728.gifг.

На основе полученных в выборке данных нужно установить возможные значения доли стандартных изделий и среднего веса одного изделия во всей партии. Прежде всего устанавливаются характеристики выборочной совокупности. Выборочная доля, или частость, hello_html_31033342.gif определяется из отношения единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общей численности единиц выборочной совокупности n:

hello_html_m5bbbc526.gif

Поскольку из 100 изделий, попавших в выборку n, 90 ед. оказались стандартными m, то показатель частости равен: hello_html_31033342.gif= 90:100=0,9.

Средний вес изделия в выборке х = 500,5 г определен взвешиванием. Но полученные показатели частости (0,9) и средней величины (500,5 г) характеризуют долю стандартной продукции и средний вес одного изделия лишь в выборке. Дляhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifопределения соответствующих показателей для всей партии товара надо установить возможные при этом значения ошибки выборки.

Ошибка выборки — это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Определение ошибки выборочной средней

При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:

hello_html_m4a4fd92a.gif,

где hello_html_m1ad432ab.gif — средняя ошибка выборочной средней; hello_html_3be4565d.gif— дисперсия выборочной совокупности; n — численность выборки.

При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:

hello_html_2c10e7f4.gif,

где N — численность генеральной совокупности.


Определение ошибки выборочной доли

При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле:


hello_html_m522517b0.gif,

где hello_html_m5bbbc526.gif — выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком; hello_html_m2b64378d.gif - число единиц, обладающих изучаемым признаком; hello_html_187aa9e0.gif - численность выборки.

При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формулам:


hello_html_m64e0543f.gif

Предельная ошибка выборки hello_html_5ee9741a.gif связана со средней ошибкой выборки hello_html_m1ad432ab.gif отношением:

hello_html_7445153b.gif

При этом t как коэффициент кратности средней ошибки выборки зависит от значения вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки при бесповторном отборе определяется по следующим формулам:

hello_html_375ae1b.gif, hello_html_345cbde6.gif.

Предельная ошибка выборки при повторном отборе определяется по формуле:

hello_html_51e9c896.gif, hello_html_53efec79.gif.


Малая выборка

При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки. Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4 — 5 единиц.

Средняя ошибка малой выборки hello_html_31b3369.gif вычисляется по формуле:

hello_html_m6985f77e.gif,

где hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_49272fd8.gif — дисперсия малой выборки.

При определении дисперсии hello_html_3be4565d.gif число степеней свободы равно n-1:


hello_html_ma5e320c.gif.

Предельная ошибка малой выборки hello_html_m5ee3669e.gif определяется по формулеhello_html_446c0b74.gif

При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента, в которых даны распределения стандартизированных отклонений:


hello_html_m1c16dc85.gif.

Способы распространения характеристик выборки на генеральную совокупность

Выборочный метод чаще всего применяется для получения характеристик генеральной совокупности по соответствующим показателям выборки. В зависимости от целей исследований это осуществляется или прямым пересчётом показателей выборки для генеральной совокупности, или посредством расчёта поправочных коэффициентов.

Способ прямого пересчёта. Он состоит в том, что показатели выборочной доли hello_html_31033342.gif или средней hello_html_m1ebd324f.gif распространяется на генеральную совокупность с учётом ошибки выборки.

Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара нестандартных изделий. Для этого (с учётом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.


Пример 2

При выборочном обследовании партии нарезных батонов 2 000 ед. доля нестандартных изделий в выборке составляет: hello_html_2f24536a.gif0,1 (10:100) при установленной с вероятностью hello_html_43a8bbee.gif=0,954 предельной ошибке выборки hello_html_m22b4ebe7.gif. На основе этих данных доля нестандартных изделий во всей партии составит: hello_html_5e491519.gif или от 0,04 до 0,16. Способом прямого пересчёта можно определить пределы абсолютной численности нестандартных изделий во всей партии: минимальная численность — 2 000 : 0,04 = 80 шт.; максимальная численность — 2 000 : 0,16 = 320 шт.

Способ поправочных коэффициентов. Применяется в случаях, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного учета. В статистической практике этот способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после обобщения данных сплошного учета практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением так называемого “процента недоучета”.

Так, например, если в хозяйствах населения поселка по данным 10%-ной выборки было зарегистрировано 52 головы скота, а по данным сплошного учета в этом массиве значится 50 голов, то коэффициент недоучета составляет 4% [(2*50):100]. С учетом полученного коэффициента вносится поправка в общую численность скота, находящегося у населения данного поселка.


Способы отбора единиц из генеральной совокупности

В статистике применяются различные способы формирования выборочных совокупностей, что обусловливается задачами исследования и зависит от специфики объекта изучения.

Основным условием проведения выборочного обследования является предупреждение возникновения систематических ошибок, возникающих вследствие нарушения принципа равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности. Предупреждение систематических ошибок достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности.

Существуют следующие способы отбора единиц из генеральной совокупности:

1) индивидуальный отбор — в выборку отбираются отдельные единицы;

2) групповой отбор — в выборку попадают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;

3) комбинированный отбор — это комбинация индивидуального и группового отбора.

Способы отбора определяются правилами формирования выборочной совокупности.

Выборка может быть:

  1. собственно-случайная;

  2. механическая;

  3. типическая;

  4. серийная;

  5. комбинированная.

1) Собственно-случайная выборка состоит в том, что выборочная совокупность образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки. Доля выборки есть отношение числа единиц выборочной совокупности n к численности единиц генеральной совокупности N, т.е.


hello_html_m11976f12.gif.

Так, при 5%-ной выборке из партии товара в 2 000 ед. численность выборки n составляет 100 ед. (5х2000:100), а при 20%-ной выборке она составит 400 ед. (20х2000:100) и т.д.

2) Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности, разбитой на равные интервалы (группы). При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки.

Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке — каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д. Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.

3) Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность вначале расчленяется на однородные типические группы. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации. Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.

Для определения средней ошибки типической выборки используются формулы:

повторный отбор: hello_html_mc2e5772.gif, hello_html_m27a880ad.gif


бесповторный отбор: hello_html_m3f9613cb.gif, hello_html_6bfcf47b.gif


Дисперсия определяется по следующим формулам:


hello_html_6953f481.gif, hello_html_m4447e4cc.gif


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое выборочное наблюдение и в каких случаях к нему прибегают?

2. Как определяются генеральная и выборочная совокупности?

3. Какие существуют способы отбора (виды выборки)?

4. От чего зависит точность выборки?

5. Что такое повторная и бесповторная выборки?

6. Что называется генеральной и выборочной долей?

7. Как рассчитать среднюю и предельную ошибку выборки (для средней и для доли)?

8. В чем особенность определения ошибок выборки при так называемой малой выборке?

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов,

дополнительной литературы


Основные источники:


  1. Толстик Н.В. Статистика: Учебник/ Н.В. Толстик, К.М. Матегорина. – изд. 6-е, допол. и перераб. Ростов н/Д:Феникс, 2010, 344 с.

  2. Статистика: Учебник/ В.С. Мхитарян, Т.А. Дуброва, В.Г. Минашкин и др.; Под ред. В.С. Мхитаряна - М.: Мастерство, 2001.

  3. Теория статистики: Учебник/ Под ред. проф. Г.Л. Громыко – М.: ИНФРА-М, 2000, 414 с.

  4. Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой – 4-е изд., перераб. и допол. – М.: Финансы и статистика, 2002, 480 с.

  5. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие/ Под ред. Р.А. Шмойловой – М.: Финансы и статистика, 2001, 416 с.

Дополнительные источники:


  1. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики:

Учебник. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 416 с.

  1. Статистика. Учебник / Под ред. В.С. Мхитаряна. - М.: Экономистъ,

2005. - 671 с.

  1. Рудакова Р.П., Букин Л.Л., Гаврилов В.И. Статистика. 2-е изд. – СПб.:

Питер, 2007 – 288 с.: ил.

  1. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки

специалистов финансово-экономического профиля: учебник. – М.:

Финансы и статистика, 2007. – 480 с.: ил.


Интернет-ресурсы:


1. http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm.

2. http://www.kv.by/index2003250601.htm



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 13.11.2015
Раздел Другое
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров162
Номер материала ДВ-151132
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх