Методические указания по теме "Дифференциальные уравнения"

Методические указания по теме: Дифференциальные уравнения.

  Пусть х – независимая переменная, а у – независимая функция от х.

1.      Равенство, связывающее между собой переменные х. у и производные или дифференциалы различных порядков функции у, называется дифференциальным уравнением.

Примеры дифференциальных уравнений:  2х + у – 3у^/ = 0;  у^/ + ху = 0;  siny^/ = cosxy.

2.      Всякая функция удовлетворяющая дифференциальному уравнению называется его решением.

Пример: у^/ + ху = 0 – дифференциальное уравнение,

Чтобы это проверить найдем производную функции  у =     и подставим в уравнение:  у^/ =( )^/ = ^/ = - х .

у^/  = - х ,      у =     подставим в уравнение у^/ + ху = 0     получим

  - х   +  х  = 0   -  равенство верное.

3. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (дифференциала), содержащийся в уравнении.

Пример:  у^// + у = 0 – уравнение второго порядка.

3.      Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением.

Для нахождения частного решения указывается х = х₀, у = у₀ (начальные данные).

Пример:  уравнение у^/ = -  , общее решение  у =  ,    х₀ = 2, у₀  = 3. Найти частное решение.

Решение:  В общее решение   у =   подставим     х₀ = 2, у₀  = 3   и найдем С.

3 =   следовательно  С = 3 2 = 6;  у =   -  частное решение.

Решить самостоятельно.

1.      Проверьте, является ли данная функция решением уравнения:

А) у = е^-х + х,   уравнение у^/ + у = 1 + х

Б) у = 3 х² - ,             х²у^/ - 2ху = 3

В) у = 2 cosx,               у^/ + у tgx = 0

2. Найдите частное решение уравнения:

А)  у^/ = - ,            у =         х₀ = 1, у₀ = 1

Б) ху^/ + 2у = ,     у = 3 -

В) cosx– y^/ = 0     y = sinx + C    х₀= 0  у₀ = 1