Методические указания по теме "Экстремум функции нескольких переменных"

Методические указания по теме:   ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 Функция z = f(x;y) имеет максимум (минимум) в точке М₀(х₀;у₀) если существует окрестность этой точки, такая, что для всех точек М(х;у), принадлежащих этой окрестности и области определения функции, значение функции в точке М₀(х₀;у₀) больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М(х;у) из этой окрестности, т.е. выполняется условие 

F(x₀;y₀) f(x;y)  (соответственноF(x_0;y₀) f(x;y)  )

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка М₀(х₀;у₀), в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимые условия существования экстремума.

    Если точкаМ₀(х₀;у₀)  является точкой экстремума функции z = f(x;y), то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю. Т.е.

  Точки, в которых частные производные равны нулю, называются критическими (стационарными) точками. Не всякая критическая (стационарная) точка является точкой экстремума.

Достаточные условия существования экстремума.

  Пусть функция z = f(x;y) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности критической  точки М₀(х₀;у₀).    Введем обозначения:

A=  ;  B =     ;  C =

И составим дискриминант(определитель) .

Тогда точка  М₀(х₀;у₀):

1)   Является точкой минимума, если в этой точке А,

2)   Является точкой максимума, если в этой точке А,

3)   Не является точкой экстремума, если в этой точке .

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию    z = х² + ху +у² – 3х – 6у

Решение:   находим частные производные первого порядка:

;         .

воспользовавшись необходимым условием существования экстремума:

Решив эту систему, получим х = 0, у = 3, т.е. критическая точка М(0;3).

Найдем частные производные второго порядка в точке М:

и составим дискриминант:

Величина этого минимума    z_min= - 9.

Исследовать на экстремум функцию  z = 3xy – x³ – y³

Решение:  находим частные производные первого порядка:

;         .

воспользовавшись необходимым условием существования экстремума:

   откуда

х(1 – х³) = 0

действительные корни х₁ =0, х₂ =1.

Определяем значения  у₁ и у_2. после чего находим две пары критических значений: (0;0) и (1;1).

  Найдем частные производные второго порядка:

и составим дискриминант:.

знак дискриминанта в найденных критических точках.

В точке (1;1):

    -   экстремум есть, так как выполняется достаточное условие существования экстремума.

Определяем вид экстремума: А = - 6 .

  Следовательно, в точке (1;1) заданная точка имеет максимум.

 Величина этого максимума z_max =3 – 1 -1 = 1.

Решить самостоятельно

Исследовать на экстремум следующие функции:

1.      Z= (х -1)² + 2у²

2.      Z = 2x³ – x² +xy² -4x + 3

3.      Z = 2x³ +2y³ -36xy +430

4.      Z = x³ – 3axy + y