Инфоурок Другое КонспектыМетодические указания по теме "Экстремум функции нескольких переменных"

Методические указания по теме "Экстремум функции нескольких переменных"

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Методические указания по теме:   ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 Функция z = f(x;y) имеет максимум (минимум) в точке М000) если существует окрестность этой точки, такая, что для всех точек М(х;у), принадлежащих этой окрестности и области определения функции, значение функции в точке М000) больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке М(х;у) из этой окрестности, т.е. выполняется условие 

F(x0;y0) f(x;y)  (соответственноF(x0;y0) f(x;y)  )

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка М000), в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимые условия существования экстремума.

    Если точкаМ000)  является точкой экстремума функции z = f(x;y), то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю. Т.е.

  Точки, в которых частные производные равны нулю, называются критическими (стационарными) точками. Не всякая критическая (стационарная) точка является точкой экстремума.

Достаточные условия существования экстремума.

  Пусть функция z = f(x;y) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности критической  точки М000).    Введем обозначения:

A=  ;  B =     ;  C =

И составим дискриминант(определитель) .

Тогда точка  М000):

1)   Является точкой минимума, если в этой точке А,

2)   Является точкой максимума, если в этой точке А,

3)   Не является точкой экстремума, если в этой точке .

 

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию    z = х2 + ху +у2 – 3х – 6у

Решение:   находим частные производные первого порядка:

;         .

воспользовавшись необходимым условием существования экстремума:

 

Решив эту систему, получим х = 0, у = 3, т.е. критическая точка М(0;3).

Найдем частные производные второго порядка в точке М:

и составим дискриминант:

Величина этого минимума    zmin= - 9.

Исследовать на экстремум функцию  z = 3xyx3y3

Решение:  находим частные производные первого порядка:

;         .

воспользовавшись необходимым условием существования экстремума:

   откуда

х(1 – х3) = 0

действительные корни х1 =0, х2 =1.

Определяем значения  у1 и у2. после чего находим две пары критических значений: (0;0) и (1;1).

  Найдем частные производные второго порядка:

и составим дискриминант:.

знак дискриминанта в найденных критических точках.

В точке (1;1):

    -   экстремум есть, так как выполняется достаточное условие существования экстремума.

Определяем вид экстремума: А = - 6 .

  Следовательно, в точке (1;1) заданная точка имеет максимум.

 Величина этого максимума zmax =3 – 1 -1 = 1.

Решить самостоятельно

Исследовать на экстремум следующие функции:

1.      Z= (х -1)2 + 2у2

2.      Z = 2x3 – x2 +xy2 -4x + 3

3.      Z = 2x3 +2y3 -36xy +430

4.      Z = x3 – 3axy + y

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 890 523 материала в базе

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 16.06.2017 981
    • DOCX 21.3 кбайт
    • 35 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зингер Лариса Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зингер Лариса Ивановна
    Зингер Лариса Ивановна
    • На сайте: 6 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 3
    • Всего просмотров: 22560
    • Всего материалов: 15

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой