Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМетодические указания по теме "Производная"

Методические указания по теме "Производная"

Скачать материал

Методические указания

 по теме

 « ПРОИЗВОДНАЯ»

 

 

Введение

 

Методические указания предназначены для учителей и учеников старших классов. Они содержат обширный справочный материал, решение задач различного уровня сложности, задания для самостоятельной работы, а также тестовые задания по теме. Пособие поможет старшеклассникам систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них.

Все замечания и пожелания будут приняты с благодарностью.

 

Определение производной

 

Пусть функция  непрерывна в точке

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при  (если предел существует)

 есть некоторое число. Однако, если для каждого значения х из  для которого указанный предел существует, сопоставить производную функции  в точке х, то получим функцию:

Эта функция называется производной функцией (или просто производной) для функции  и обозначается  Из определения производной следует, что непрерывность функции  в точке  является необходимым условием существования производной (дифференцируемости), но не достаточным.

Используя определение, можно рекомендовать следующий план отыскания производной для функции

1)    Зафиксировав значение х, найти

2)    Придав аргументу х приращение   (так, чтобы не выйти из области определения функции ), найти

3)    Вычислить приращение функции

4)    Составить отношение .

5)    Найти предел отношения  при

Пример 1.  Найти производную функции

Решение.    Имеем:

1)

2)

3)

4)

5)

Итак,

Пример 2.  Найти производную функции  в точке

Решение.    Будем считать, что  и  Имеем:

1)

2)

3)

4)

5)

Итак,

Пример 3.  Найти производную функции  в точке

Решение.

1)

2)

3)

4)

6)

Итак,

 

 

производные основных элементарных функций

 

 

                       


 

 

 

Основные правила дифференцирования

 

 

 

Пример 4.  Найдите производную функции

Решение.

Итак,

Пример 5.  Найдите производную функции

Решение.

Итак,

Пример 6.  Найдите производную функции

Решение.

Итак,

Пример 7.  Найдите производную функции

Решение.

Итак,

Пример 8.  Найдите производную функции

Решение.

Итак,

Пример 9.  Найдите производную функции

Решение.

Итак,

Пример 10.          Найдите производную функции

Решение.

По определению модуля имеем:

 

После преобразований получим:

 

Тогда

 

Итак, .

 

 

Геометрический смысл производной

 

 

Производная функции  является угловым коэффициентом касательной к графику функции  в точке . Напомним, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси   (рис. 1). Уравнение касательной к графику функции  в точке  (рис. 2):

 

сканирование0001         сканирование0002

Рис. 1                                                         Рис. 2

 

Уравнение нормали к графику функции  в точке  имеет вид (рис. 3):

 

сканирование0003

Рис. 3

Замечание: если  то уравнение касательной:  а уравнение нормали:

Пример 11.          Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой

Решение.    Уравнение касательной имеет вид:

Из уравнения кривой найдем ординату точки касания:  Затем найдем производную и вычислим ее значение в точке    Полученные значения подставим в уравнение касательной

Итак,   уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой

Пример 12.          Дана кривая  Найти точку ее графика, в которой касательная параллельна прямой

Решение.    Напомним, что угловой коэффициент касательной равен   так как касательная параллельна прямой, то их угловые коэффициенты равны, т.е.  Найдем производную функции:  Из этого следует  т.е.  тогда

Итак, искомая точка (‑1;0).

Пример 13.          Найти угол, который образует график функции  с осью абсцисс в начале координат.

Решение.    Найдем производную функции:  Значит  т.е. искомый угол равен

Итак, — искомый угол.

Пример 14.          В какой точке кривой  касательная наклонена к оси абсцисс под углом ?

Решение.    Найдем  производную  Так как по условию  то  Следовательно  Остается найти ординату точки касания:

Итак, - искомая точка.

Пример 15.          Под каким углом прямая  пересекается с параболой

Решение.    Углом между прямой и кривой называется угол между этой прямой и касательной к кривой в точке их пересечения. Очевидно, что искомый угол  Так как  то  Следовательно,

Итак,  - искомый угол.

 

 

Приближенное вычисление значений функций

 

 

Если по известному значению функции  в точке  требуется найти ее значение в некоторой достаточно малой окрестности этой точки  то используют приближенную формулу

Пример 16.          Вычислить

Решение.    Рассмотрим функцию   Т. к.  и полагая  найдем  Итак   Подставляя данные выражения в формулу   получим:  

Итак,

Пример 17.          Вычислить

Решение.    Рассмотрим функцию   Полагая ,  и применяя формулу  получаем:

Итак,

Пример 18.          Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Решение.    Воспользуемся формулой   Полагая   и применяя формулу  получаем:

Итак,

 

 

Механический и физический смысл производной

 

 

Пусть  – уравнение зависимости пути от времени при движении какого-то тела. Тогда  – скорость движения этого тела в момент времени t, а  – ускорение движущегося тела в момент времени t.

Пример 19.          Закон движения точки по прямой задан уравнением  (S - в метрах, t - в секундах). Найдите скорость и ускорение точки в момент t=2.

Решение.    Найдем скорость движения точки в момент времени t=2:  

Найдем ускорение:

Итак,

Пример 20.          Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону  (S - в сантиметрах, t - в секундах). Найдите действующую на тело силу и кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

Решение.    Найдем скорость тела через  2 с после начала движения:

Найдем ускорение:

Найдем действующую силу:

Найдем кинетическую энергию:

Итак,  

Пример 21.          Плот подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега равно 25 м, если известно, что ворот расположен выше поверхности воды на 4 м.

сканирование0007

Рис. 4

Решение.    Пусть  – длина каната между воротом и плотом   (рис. 4),  - расстояние плота от берега,  следовательно,  Здесь х  есть функция от времени t, т.е.  Нам нужно найти скорость движения плота, т.е. . Имеем   Значит,  откуда

По условию задачи  и, следовательно,  Тогда

Итак, искомая скорость равна 3,03 м/мин.

 

 

Возрастание, убывание функции.

Точки экстремума

 

 

Функция  возрастает (убывает) на множестве А, если для любых в точке  таких, что  выполняется неравенство  ().

Если на каком-то промежутке функция  возрастает (убывает) и дифференцируема на этом промежутке, то  (), причем равенство нулю лишь в конечном числе точек этого промежутка. Верно и обратное утверждение. Отсюда следует, что если производная в точке  меняет свой знак с + на –  (с – на +), то функция  в этой точке меняет возрастание на убывание (убывание на возрастание). А это значит, что функция  имеет в точке  максимум (минимум).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Алгоритм исследования функции  на экстремум.

1)      Найти производную функции .

2)      Найти критические точки, то есть точки, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, то есть решить уравнение  .

3)      Рассмотреть окрестность каждой из найденных точек, не содержащую других критических точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки.

4)Используя достаточные условия экстремума, сделать соответствующие выводы.

Пример 22.          Доказать, что функция  возрастает на всей числовой прямой.

Решение.    Найдем производную заданной функции: .

Очевидно, что при всех х выполняется неравенство , причем  лишь в отдельной точке  Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 23.          а) Доказать, что функция  убывает на всей числовой прямой; б) решить уравнение

Решение.   

а)      Найдем производную заданной функции:

Полученное выражение всегда отрицательно. В самом деле, для всех значений х выполняются неравенства  и  Сложив их, получим

Значит,

Тем более  Это неравенство выполняется при всех значениях х. Значит функция убывает на всей числовой прямой.

б)      Рассмотрим уравнение  Как было установлено только что,  - убывающая функция. В то же время  - возрастающая функция. Имеет место следующее утверждение: если одна из функций  или возрастает, а другая убывает, и если уравнение  имеет корень, то только один (рис. 5).

Корень заданного уравнения подобрать нетрудно -  (при этом значении уравнение обращается в верное числовое равенство 5=5).

Пример 24.          Исследовать на экстремум функцию

Решение.                                                                                                  

1)      Найдем производную

2)      Приравняв производную нулю, находим . В данном случае производная всюду определена; значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет.

3)      Знак производной меняется в зависимости от промежутка так, как показано на рис. 6.

сканирование0012

Рис. 6

 При переходе через точку  производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку  - с минуса на плюс.

4)      В точке  функция имеет максимум  а в точке  - минимум

 

сканирование0008

Рис.5

Пример 25.          Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Решение.

1)                Найдем производную

2)      Производная обращается в нуль в точках  - это стационарные точки. Производная не существует в точке  но это не критическая точка, это точка разрыва функции.

3)      Отметим точки  и  на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках (рис. 7).

 

сканирование0009

Рис. 7

4)      Делаем выводы: на лучах  и  функция возрастает, на полуинтервалах  и  функция убывает.

Далее,  - точка максимума, а  - точка минимума.

Пример 26.          Найти все значения х, при которых функция имеет экстремумы

Решение.    Рассмотрим два случая:

1)      Найдем производную:

2)      Производная обращается в нуль в точках  - это стационарные точки. Производная не существует в точке  - это критическая точка.

3)      Отметим точки  и  на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках (рис. 8).

сканирование0013

Рис. 8

4)      Делаем выводы:   - точки минимума,  - точка максимума.

 

 

Наибольшее, наименьшее значения функции

 

 

Значение  функции  в точке  называется наибольшим (наименьшим) значением этой функции, если для любого х  из  D(f) выполняется неравенство:

 ().

 

Справедлива следующая теорема:

Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на  функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка  или в одной из точек экстремума на интервале (а;b).

В частности, если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции  на отрезке .

1)      Найти производную функции

2)      Найти точки, в которых  или  не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка

3)      Вычислить значения функции  в точках, полученных в             п. 2, а также на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и являются соответственно наибольшим  и наименьшим  значениями функции  на отрезке

Пример 27.          Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке а) , б) , в)

Решение.

1)                Найдем производную

2)      Производная существует при всех х. Найдем точки, в которых .

3)      Имеем:  

а) Обе точки принадлежат заданному отрезку. Значит, на третьем шаге мы составляем таблицу значений функции

 

x

‑4

‑3

5

6

y

69

82

‑174

‑161

 

Таким образом,  (достигается в точке );  (достигается в точке ).

б) Отрезку  не принадлежит ни одна из найденных стационарных точек, значит, достаточно вычислить значения функции в концевых точках: .

Таким образом,  (достигается в точке );  (достигается в точке ).

в) Отрезку  принадлежит лишь одна из двух найденных точек, а именно точка . Значит, на третьем шаге мы составляем таблицу значений функции

 

x

0

5

6

y

1

‑174

‑161

 

Таким образом,  (достигается в точке );  (достигается в точке ).

Пример 28.          Найти наименьшее значение функции  на интервале

Решение.

1)      Найдем производную

2)      Производная равна нулю, если  или  Второе уравнение не имеет решений, а из первого находим  т.е.  Из этих значений интервалу  принадлежит лишь значение

Производная не существует, если  Однако, на  это уравнение не имеет решений.

Итак, внутри интервала  функция имеет лишь одну критическую точку

Если  то  Поскольку при приближении к концам интервала  значения функции неограниченно увеличиваются, функция достигает наименьшего значения в единственной критической точке, т.е. в точке

Итак,

 

 

 

 

 

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

 

 

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений  величин удобно решать по следующему плану.

1)      Выделяют оптимизированную величину (т. е. величину, наибольшее или наименьшее значение  которой требуется найти) и обозначают ее через y (или S, p, R и т. д.) в зависимости от содержания задачи.

2)      Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. д.) считают независимой переменной и обозначают через х; устанавливают реальные границы изменения х в соответствии с условиями задачи.

3)      Исходя из конкретных условий данной задачи, выражают y через х и известные величины.

4)      Для полученной на предыдущем этапе функции  находят наибольшее или наименьшее значение  (в зависимости от требований задачи) по промежутку реального изменения х, найденному в п. 2.

5)      Интерпретируют результат п. 4 для данной конкретной задачи.

Пример 29.          Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.

Решение.

1)      Оптимизируемая величина - S площадь прямоугольника; надо найти Sнаиб.

сканирование0011

Рис. 9

2)      Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через х      (рис. 9); тогда длина другой стороны равна  значит, реальные границы измерения х таковы:

3)      Площадь прямоугольника выражается равенством

Найдем наибольшее значение функции  на отрезке

4)      Найдем производную и решим уравнение  т.е.

Откуда  (значение  не удовлетворяет условию ).

Составим таблицу значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:

 

х

0

S

0

0

 

5)      Функция принимает наибольшее значение при   при этом длина другой стороны прямоугольника равна  т.е. искомый прямоугольник квадрат.

Пример 30.          В степи, на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к поисковой партии расположен райцентр. Поисковая партия отправляет курьера‑велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе - со скоростью 10 км/ч.

Решение.    Сделаем чертеж.

сканирование0014

Рис. 10

На рисунке 10 P означает местонахождение поисковой партии, прямая  l - шоссе, В - райцентр, PA = 9 км, AB = 15 км, PMB - маршрут следования курьера, где положение точки M между A и В пока неизвестно.

1) Оптимизируемая величина - время t движения курьера из P в B; надо найти tнаим.

2) Положим AM = x. По смыслу задачи точка M может занять любое положение между A и В, не исключая самих точек А и В. Значит, реальные границы измерения х таковы:

3) Выразим t через х. Имеем  Этот путь велосипедист едет со скоростью  8 км/ч, т.е.  время t1, затраченное на этот путь, выражается формулой . Далее, Этот путь велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, т.е. время t2, затраченное на этот путь, выражается формулой . Суммарное время t, затраченное на весь путь, равно , т.е.

4) Для функции  надо найти наименьшее значение на отрезке

а) Находим :

б) Производная  существует при всех х. Найдем точки, в которых  Имеем

    ;    

Значение  принадлежит отрезку

в) Составим таблицу значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:

х

0

12

15

t

105/40

87/40

5/40


 

Следовательно, tнаим = 87/40.

5. Так как tнаим  достигается при  то велосипедисту надо ехать по такому маршруту РМВ, чтобы расстояние между точками А и М по шоссе было равно 12 км.

Пример 31.          Через фиксированную точку М внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади (рис. 11).

Решение.

1)      Оптимизируемая величина - площадь S треугольника АОВ.

2)      Проведем DM || OB, MK || OA. Положим КВ = х, реальные границы изменения х таковы:

сканирование0006

Рис. 11

3)      Поскольку М - фиксированная точка, отрезки DM и MK также фиксированы, положим DM = a, MK = b и выразим S через  x, a, b.

Рассмотрим треугольники MKB и AOB; они подобны, значит,  т.е.  Отсюда находим

Далее, имеем  где  Значит,

4)      Рассмотрим функцию , где  Найдем ее наименьшее значение.

а) Имеем

б) Производная не существует в точке х = 0 и обращается в нуль в точках х = ‑а,  х = а. Из этих трех точек промежутку  принадлежит лишь точка х = а.

в) Как при , так и при  имеем . Значит, наименьшее значение функции достигается в точке х = а.

5)      Вернемся к исходной геометрической задаче. Так как  и , то MK  - средняя линия треугольника AOB; значит, М - середина АВ. Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку М прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке М пополам.

 

 

Применение производной для доказательства тождеств и неравенств

 

 

Доказательство тождеств и неравенств с помощью производной основано на следующей теореме.

Для того, чтобы непрерывная функция была постоянна на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы ее производная во всех внутренних точках промежутка была равна нулю.

Пример 32.          Доказать тождество

Решение.    Рассмотрим функцию

и найдем производную. Имеем

Воспользовавшись формулой  получим

Но  Значит  при всех х, а поэтому  - постоянная функция, т.е.  Остается найти значение постоянной С. Для этого достаточно вычислить значение  при любом значении х, например при  Имеем  Итак,  а потому  Следовательно, справедливо тождество

Откуда

Пример 33.          Доказать, что при  справедливо неравенство

Решение.    Рассмотрим функцию  и найдем ее производную:  Замечаем, что  на интервале  значит, функция  убывает на этом  интервале. Поэтому, в частности, при  справедливо неравенство  но

Итак,  т.е.

Пример 34.          Доказать, что если  то

Решение.    Рассмотрим функцию  и найдем ее производную:  Так как  то функция  возрастает на всей числовой прямой. Значит, из  вытекает  т.е. 

Пример 35.          Доказать, что при всех х справедливо неравенство

Решение.    Рассмотрим функцию  и исследуем ее на экстремум. Имеем

Других критических точек у функции нет (уравнение  не имеет корней). Если  то  а если  то  значит,  - точка минимума. Поскольку других точек экстремума нет, то      - наименьшее значение функции. Но  Итак,  т. е.

Пример 36.          При каком значении параметра а кривая  пересекает ось ординат координатной плоскости хОy под углом ?

Решение.    Из условия задачи следует, что угол между касательной, проведенной к кривой  в точке (0; 1), и осью абсцисс равен  Поэтому имеет место равенство  Полагая здесь  находим, что

Итак,

              

 

Построение графиков функций.

Общая схема исследования функции

 

 

1)      Найти область определения функции.

2)      Исследовать функцию на четность.

3)      Исследовать функцию на периодичность.

4)      Найти точки пересечения графика с осями координат.

5)      Найти асимптоты.       

6)      Найти производную функции и ее критические точки.

7)      Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

8)      Для уточнения построения графика следует найти две-три  дополнительные точки.

9)      Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Пример 36.          Построить график функции

Решение.

1)    Функция определена при любом значении х, т. е.

2)    Функция четная, так как

3)    Функция непериодическая.

4) Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение  Полагая  получим квадратное уравнение  имеющее корни 4 и ‑2. Из уравнения  находим  уравнение  не имеет решений. Мы нашли две точки пересечения графика с осью Ох: (2; 0) и (‑2; 0).

С осью Оу график функции  пересекается в точке (0; ‑8).

5) Найдем интервалы знакопостоянства функции. Заданная функция  непрерывна на всей числовой прямой и обращается в нуль в точках 2 и ‑2. Значит, в промежутках  и  она сохраняет постоянный знак. Чтобы определить знак функции на каждом из указанных промежутков, достаточно взять по одной «пробной» точке из каждого промежутка.

Имеем  Значит,  в промежутке  Далее,  Поэтому  в промежутке  Наконец Следовательно,  а потому  в промежутке

6) Изучим поведение функции вблизи границ области определения. Поскольку  такими «границами» можно считать  и . Заметим, что если  или  то  Асимптот график не имеет.

7) Исследуем на экстремум; имеем . Приравняв производную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки  Если  то  а в остальных промежутках знаки чередуются справа налево. Составим таблицу:

 

x

-1

0

1

0

+

0

0

+

убыв

-9

min

возр

-8

max

убыв

-9

min

возр

 

Итак, в точках  и функция имеет минимум, а в точке  − максимум.

8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, включая те, что были уже отмечены в ходе исследования:

 

x

-2

-1

0

1

2

-2,5

2,5

y

0

-9

-8

-9

0

6

6

 

9) Строим график функции  (рис. 12).

сканирование0005

Рис.12

Пример 37.          Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

1)      Функция определена при всех значениях x, кроме  и  т.е.

2)      Функция нечетная, т.е.  Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию лишь на промежутке

3)      Функция непериодическая.

4)      Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение  т.е.  точка  принадлежит графику функции.

5)      Найдем асимптоты. Вертикальными асимптотами являются прямые  и  Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить  , значит горизонтальных асимптот нет.

сканирование0010 

Рис. 13

6)      Найдем производную  Очевидно, что  при всех значениях  Следовательно, функция убывает на промежутках  Экстремумов функция не имеет.

7)      Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, включая те, что были уже отмечены в ходе исследования:

x

-1

-3

0

1

3

y

1/3

0,6

0

1/3

0,6

 

8)      Строим график функции  (рис. 13).

Пример 38.          Исследовать и построить график функции

Решение.

1)      Функция определена при любом значении х, т. е.

2)      Функция нечетная, так как

 

3)      Функция периодическая с основным периодом  Поскольку период функции равен  достаточно провести исследование только от  до  построить график функции на отрезке  и продолжить его, пользуясь периодичностью. Но так как функция является нечетной, то достаточно исследовать функцию и построить ее график на отрезке , затем пользуясь симметрией относительно начала координат, отразить его на отрезок , а далее уже воспользоваться периодичностью. Итак, дальнейшие исследования проведем для отрезка .

4)      Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение  имеем   На отрезке  последнее уравнение имеет два корня:  и  Значит график функции не пересекает ось абсцисс ни в какой внутренней точке отрезка

5)      В интервале  функция принимает только положительные значения.

6)      Функция непрерывная и периодическая, следовательно асимптот график функции не имеет.

Найдем значения функции на концах отрезка ; имеем

7)      Найдем точки экстремума. Так как  то, приравняв производную нулю, получим  Далее, решая уравнение находим,  и  Таким образом, внутри отрезка  имеется только одна критическая точка  Ясно, что это точка максимума, поскольку, как мы отмечали выше, на концах отрезка функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка она положительна. Найдем значение функции в точке максимума:

8)      Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

x

0

y

0

1

0

 

9)      Пользуясь полученными результатами, построим график функции сначала на отрезке , а затем и на всей числовой прямой      (рис. 14).

сканирование0004

Рис. 14

 

 

Задания с параметром

 

 

Пример 39.          При каких значениях параметра а функция  является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет критических точек?

Решение.    При любом значении параметра а данная функция дифференцируема на всей числовой прямой и

А тогда задачу можно переформулировать следующим образом: при каких значениях параметра а неравенство

справедливо для любого х?

Так как неравенство должно выполняться для любого х, то оно по необходимости должно иметь место и для . Подставляя значение  в последнее неравенство, получаем

откуда находим, что

Учитывая теперь, что  на основании того, что  приходим к выводу, что при  неравенство  справедливо для любого х.

Итак,

Пример 40.          При каких значениях параметра а функция  убывает при всех значениях х?

Решение.    Функция  будет убывать при всех значениях х, если производная

при всех х. Отсюда находим, что

Итак,

Пример 41.          При каких отличных от нуля значениях параметров a и b все экстремумы функции  отрицательны и локальный максимум находится в точке ?

Решение.    Так как коэффициент при  положителен, то максимум должен находится левее минимума. Для нахождения экстремальных точек вычислим производную заданной функции и приравняем ее нулю. Имеем:

Отсюда

1) Если  то  и, следовательно,  т. е.  Таким образом,  По условию все экстремумы отрицательны, поэтому при  имеем:  Отсюда находим, что

2) Если  то  Значит  т. е.  и таким образом,  При таком значении а имеем:  и, следовательно,

Итак, при  и  или  и  все экстремумы функции  отрицательны и локальный максимум находится в точке

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

1. Закон движения точки по прямой задан формулой: а)  б)  Найти скорость и ускорение точки в момент времени 

2. Две точки двигаются по прямой по законам:  и  В какой момент времени скорости движения точек равны? (время измеряется в секундах, расстояние в метрах)

3. Функция задана своим графиком. Сравните значения производной в указанных точках:                                             а)  и

сканирование0011б)  и

в)  и

г)  и

4. По графику функции  определите знак производной в точках с абсциссой: а) -8;  б) -3;  в) 0;  г) 3.

5. Найдите производную функцию:

а)   б)    в)    г)

д)     е)   ж)   з)

6. Вычислить скорость изменение функции  в точке

а)        б)  

в)             г)  

д)       е)  

ж)        з)  

7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке абсциссой :

сканирование0003а)

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

в)  

г)  

 

8. Решите уравнение

а)                      б)

в)              г)

9. Решить неравенство >0:

а)                     б)

10. Определите, какой угол образует с осью Ох касательная, проведенная к графику функции   в точке с абсциссой :

а)                     б)  

в)               г)  

11. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

а)                 б)  

12. В какой точке графика функции  касательная наклонена к оси Ох под углом ?

а)               б)  

13. Найдите точки, в которых касательная к графику функции  параллельна прямой :

а)           б)   

14. К графику функции  проведена касательная в точке с абсциссой  Как расположена точка пересечения этой касательной с осью Ох?

15. Найти промежуток возрастания и убывания функции :

а)            б)

сканирование000216. На рисунке изображен график производной функции , заданной на отрезке [-6;5]. Исследуйте функцию  на монотонность и укажите точки экстремумов функции.

 

 

 

 

сканирование000417. На рисунке изображен график производной функции  , заданной на отрезке [-6;5]. Укажите число промежутков возрастания функции  и сумму их длин, найдите точки максимума функции.

 

 

сканирование000918. изобразите эсту графика функции , если промежутки знаков постоянства производной  представлена на схеме:

             сканирование0010

19. Найдите стационарные и критические точки функции :

а)                б)

в)           г)

20. Найдите точки экстремума функции :

а)          б)

в)                       г)

21. Найдите экстремумы функции :

а)               б)

в)                     г)

22. При каких значениях параметра :

а) уравнение  имеет один корень;

б) уравнение  имеет два корня?

23. Постройте эскиз графика функции, обладающего указанными свойствами:

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума;

б) функция возрастает при  и при  и убывает на промежутке [1; 5]; точка  является критической, а точка  − стационарной.

24. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [a; b]:

а)  на отрезке [-1; 3];

б)  на отрезке [-2; 0];

в)  на

25. Представьте  число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого на четвертую степень второго было наибольшим?

26. Забором, длинной 16м. требуется огородить с трех сторон прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите размеры участка.

27. Участок имеет форму прямоугольной трапеции с острым углом 30°. Периметр трапеции равен 24°. Определите максимально возможную площадь участка.

28. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который может вписать в шар радиуса м.

29. Найти точки экстремума функции :

а)

б)

30. Пункты А, В, С, соединены прямолинейными автомагистралями, причем АС=500 км, АВ=370 км и  Из В в А с постоянной скоростью 60 км/ч. Найти наименьшее расстояние между автомобилями в течение первых двух часов движения.

31. Печатный текст на странице книги занимает площадь 192 см2. верхнее и нижнее поле книги составляют по 2 см., а ширина боковых полей – по 1,5 см. Найти ширину и высоту страницы, для которой количество израсходованной бумаги будет наименьшим.

32. Точка А лежит на графике функции  а точка В на оси Ох, и ее абсцисса равна ординате точки А. Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где точка О – начало координат,

 и

33. При каких значениях параметра  наименьшее значение функции  равно ?

34. Провести касательную к графику функции  из точки .

35. При каком значении параметра  прямая  является касательной к графику функции ?

 

Тест 

 Производная  функции

 

                    1.                    Найдите производную функции   .

1)               2)                 3)   – 4 х      4)  

                    2.                     Найдите значение производной функции   в точке  .

1)   – 6                  2)   4                    3)   – 4                  4)   6

                    3.                    Решите уравнение , если  .

1)                  2)   2                    3)                  4)   0

                    4.                     Найдите угловой коэффициент  касательной, проведенной  к графику функции    в точке с абсциссой  .

1)   – 9                  2)   8                    3)   – 8                  4)   – 0,5

                    5.                    Найти длину промежутка убывания функции  .

1)   1                    2)   3                    3)   2                    4)   1

                    6.                    Найти  точки (точку) максимума  функции  .

1)                2)                  3)                  4)  

                    7.                     Задана непрерывная функция . На рисунке изображен график ее производной . Укажите количество точек экстремумов функции.

                                             y

                                 

                                                                      x

                                                  0

 

1)   3                              2)   4                              3)   5

                    8.                     Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции   на  [-1; 2].

1)   – 37                2)   – 5                 3)   160                4)   – 32

                    9.                     Материальная точка движется прямолинейно со скоростью . Найдите  расстояние, которое пройдет точка за первые . своего движения, если в момент  времени  t = 1с. пройдет путь, составляющий  12м.

1)   62                            2)   60                            3)   82

 

 

 

Ответы: 1. 23м/c; 14м/с2; 36м/с; 17м/с2. 2. 1. 3. а)"<"; б) "<"; в) "<"; г)">". 4. а) <0; б) =0; в) >0; г) =0. 5. а)  б)  в) г) 6. а) 0; б) 3; в) 4; г)  д)  е) 0; ж) ; з) .      7. а)  б) 2; в) 3; г) . 8. а) ; б) ±; в) -1; г) , .              9. а) (-1;2); б) , . 10.  б)  в)  г)        11. а)  б)  12. а) б) (0;1). 13. а) (-1;0) и (-3;2);     б)  14. левее точки (0;0). 15. а) возрастает на  и на  убывает на  б) возрастает на  и на  16. функция возрастает на [-5;-3], [0;2]; функция убывает на [-6;-5], [-3;0], [2;5];  − точки минимума;  − точки максимума.                         17. 2 промежутка возрастания, сумма их длин равна 2,5;  -точки максимума.

 

сканирование000618.    а)                                                           б)

сканирование0005

 

 

 

 

 

 

19. а)  − стационарные точки; б)  − критические точки;         в)  − стационарная точка;  – критическая точка; г)  − стационарная точка. 20. а)  – точки минимума; б)  − точка максимума;  − точка минимума; в)  − точка максимума;  − точка минимума; г)  − точка максимума. 21. а)  в точке   в точке  б)  в точке   в точке             в)  в точке  г)  в точках  и ,  в точке  22. а) при < - 2 или a > 2; б)при

 

 

 

 

23.        а)                                                     б)

сканирование0007сканирование0008

 

 

 

 

 

 

24. а) 19, 35;  б) -3, -4; в) yнаибольшее  не существует, yнаименьшее= - 1. 25. 1 и 4.       26. 4м., 8м. 27. 24. 28. 4. 29. а)  − точки минимума,  − точки максимума; б)  − точки максимума,  − точки минимума. 30. . 31. 15 см., 20 см. 32. . 33. -1. 34.. 35.-1.

                                                                                                                  

Тест                                                                                                         

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

3

4

3

2

1

2

4

1

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методические указания по теме "Производная""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Режиссер-постановщик

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Методические указания предназначены для учителей математики и учеников старших классов. Они содержат обширный справочный материал, решение задач различного уровня сложности, задания для самостоятельной работы, а также тестовые задания по теме. Пособие поможет старшеклассникам систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них.


Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 702 321 материал в базе

Материал подходит для УМК

  • «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    Тема

    Глава 5. Производная

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Задания по теме "Логарифмические уравнения, неравенства и их системы"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 44. Логарифмические уравнения
  • 13.12.2017
  • 581
  • 2
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Задания по теме "Показательные уравнения, неравенства и их системы"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 40. Показательные уравнения и неравенства
  • 13.12.2017
  • 967
  • 10
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Конспект урока по алгебре и началам анализа "Дифференцирование и интегрирование степенной функции с действительным показателем"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 38. Степенные функции, их свойства и графики
Рейтинг: 5 из 5
  • 13.12.2017
  • 2331
  • 50
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Приложение к уроку алгебры в на тему "Наибольшее и наименьшее значение функции "
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин
  • 13.12.2017
  • 402
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок алгебры в 11 классе "Наибольшее и наименьшее значение функции"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин
Рейтинг: 5 из 5
  • 12.12.2017
  • 3463
  • 134
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Презентация к уроку алгебры 11 класс на тему "Наибольшее и наименьшее значение функции"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 32. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин
  • 12.12.2017
  • 1278
  • 16
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Коспект к уроку математики в 11 классе
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 41. Понятие логарифма
  • 12.12.2017
  • 432
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
11 кл входная к/р за курс 10 кл
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: Глава 1. Числовые функции
  • 11.12.2017
  • 373
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 14.12.2017 1031
    • DOCX 1.8 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Сичинава Галина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Сичинава Галина Владимировна
    Сичинава Галина Владимировна
    • На сайте: 7 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1252
    • Всего материалов: 1

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

Копирайтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 63 человека из 26 регионов
  • Этот курс уже прошли 85 человек

Курс повышения квалификации

Развитие предметных навыков при подготовке младших школьников к олимпиадам по математике

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 61 человек из 19 регионов
  • Этот курс уже прошли 106 человек

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика. Сложение и вычитание

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1378 человек из 85 регионов
  • Этот курс уже прошли 3 294 человека

Мини-курс

Введение в искусственный интеллект

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 107 человек из 40 регионов
  • Этот курс уже прошли 70 человек

Мини-курс

Инвестиционная деятельность в недвижимость

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное продвижение и организация проектов в сфере искусства

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе