МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ИНТЕГРАЛАМ

^{МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5}

^{ПО КУРСУ}

^{«МАТЕМАТИКА»}

<sup>ВВЕДЕНИЕ
1. Неопределенный интеграл. Основные понятия
2. Методы интегрирования. Простейшие методы интегрирования
3. Определенный интеграл. Основные методы интегрирования.
4. Геометрические приложения определенного интеграла
5. Литература</sup>

^{ВВЕДЕНИЕ}

^{1. Неопределенный интеграл. Основные понятия}

^{Неопределенным интегралом от функции  на промежутке X называется множество всех первообразных для функции . Неопределенный интеграл обозначается символом .}

^{Функция F(x) называется первообразной функцией для функции  на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка .}

^{Тогда по определению неопределенного интеграла получим}

^,

^{где C – произвольная постоянная.}

^{Интегральное исчисление решает задачу обратную задаче дифференциального исчисления. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Основной задачей интегрального исчисления является нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.}

^{Отсюда заключаем, что правильность результата интегрирования может быть проверена дифференцированием, то есть вычислением производной найденной первообразной.}

^{Свойства неопределенного интеграла}

^{10. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:}

^{20. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:}

^{30. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого:}

^{40. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:}

^{50. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы ко­нечного числа непрерывных функций равен сумме неопределен­ных интегралов от этих функций:}

^{60. Если , то , где a, b – постоянные числа, причем .}

^{70. Если , то , где  - любая дифференцируемая функция.}

^{Таблица основных неопределенных интегралов}

1. ^{1.              Если , то}

2. ^2.             

3. ^3.             

4. ^4.             

5. ^5.             

6. ^6.             

7. ^7.             

8. ^8.             

9. ^9.             

10.        ^10.          

11.        ^11.          

12.        ^12.          

13.        ^13.          

14.        ^14.          

15.        ^15.          

16.        ^16.          

17.        ^17.          

18.        ^18.          

19.        ^19.          

20.        ^20.          

^{В приведенной таблице u может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию  аргумента}

^{2. Методы интегрирования. Простейшие методы интегрирования}

^{А). Метод разложения основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной (в частности, используя свойство 4).}

^{Б). Метод замены переменной состоит в следующем. Вводится новая переменная с помощью соотношения . Тогда  и исходный интеграл преобразуется следующим образом}

^,

^{где  - дифференцируемая функция. Затем находится интеграл из правой части (если это возможно) и осуществляется возврат к исходной переменной x, используя соотношение , полученное из соотношения , выражая t через x. При интегрировании некоторых функций часто целесообразно осуществлять переход к новой переменной с помощью подстановки , а не .}

^{В). Метод внесения функции под знак дифференциала состоит в том, что новая переменная не выписывается явно. Для подынтегрального выражения выделяется некоторая функция , дифференциал от которой  входит составной частью в подынтегральное выражением , а оставшиеся часть является функцией от , т.е. . Тогда исходный интеграл преобразуется к виду:}

^{Полученный интеграл может оказаться существенно проще, а в некоторых случаях свестись к табличным.}

^{В заданиях 1 и 2 необходимо найти неопределенный интеграл, используя методы: разложения, замены переменной (или метод внесения функции под знак дифференциала) и таблицы неопределенных интегралов.}

^{Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результат интегрирования проверить дифференцированием}

^{a). ,                     b). ,}

^{c). ,                  d). .}

^{Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. В первом случае, т.е. a), покажем оба метода. Остальные примеры будем решать только одним способом.}

^{Задание 1 a). .}

^{1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Тогда}

^{После замены переменной воспользовались свойством 40 неопределенного интеграла: постоянный множитель  можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где  и .}

^{2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что  и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде}

^,

^{внесем под знак дифференциала . Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда}

^{После внесения под знак дифференциала функции  пришли к табличному интегралу , где  и .}

^{3. Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть свойство 10 неопределенного интеграла выполнено и, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.}

^{Задание 1 b).}

^{Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Тогда}

^{После замены переменной воспользовались свойством 40 неопределенного интеграла , и так как , то пришли к табличному интегралу , где .}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^.

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 1 c).}

^{Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Тогда}

^{После замены переменной воспользовались свойством 40 неопределенного интеграла , и так как , то пришли к табличному интегралу 1) , где .}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 1 d).}

^{Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию . Так как}

^,

^{то получим}

^{После внесения под знак дифференциала функции  пришли к табличному интегралу , где  и .}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 2. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием}

^{a). ,        b). ,     c). .}

^{Решение: При выполнении задания 2 можно предварительно разбить подынтегральное выражение на сумму двух выражений и, применив свойство 50 неопределенных интегралов, получить два неопределенных интеграла. Как правило, один из них является табличным, а другой, используя метод замены переменной или метод внесения под знак дифференциала, к нему приводится.}

^{Задание 2 a). .}

^{Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух дробей и, используя свойство 50, запишем интеграл в виде суммы двух интегралов. Для каждого из полученных интегралов применим метод внесения под знак дифференциала.}

^{Приходим к табличным интегралам: 9) , где ,  и 2) , где .}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 2 b). ,}

^{Исходный интеграл представляем в виде суммы двух интегралов и, сделав замены переменных , придем к двум табличным интегралам: , где ,  и , где , . Тогда}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 2 c). .}

^{Исходный интеграл представляем в виде суммы двух интегралов. Для первого интеграла, внеся под знак дифференциала , получим табличный интеграл , где  и . Второй интеграл является табличным , где  и .}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Интегрирование по частям}

^{В этом методе интегрирование осуществляется с помощью формулы}

^,

^{где u, v – дифференцируемые функции. Для применения этой формулы подынтегральное выражение разбивается на две части, одну из которых принимают за u, а другую за dv так, чтобы легко находился интеграл от dv и интеграл  вычислялся проще, чем исходный.}

^{Рассмотрим два типа интегралов и соответствующие рекомендации по выбору u и dv, для которых формула интегрирования по частям всегда является эффективной, т.е. приводит к более простому интегралу по сравнению с первоначальным. Отметим, что применение формулы интегрирования по частям не ограничивается только этими случаями.}

Тип интеграла	Вид интеграла	u	Dv
I
II

^{Задание 4. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием}

^{a). , b). ,}

^{c).                  d).}

^{Решение: При выполнении задания 4 необходимо воспользоваться формулой интегрирования по частям.}

^{Задание 4 a). .}

^{Данный интеграл является интегралом I типа, то есть многочлен первой степени  умножается на тригонометрическую функцию . Воспользуемся указанными выше рекомендациями и обозначим через u многочлен, то есть , а через dv оставшеюся часть подынтегрального выражения, то есть  . После этого найдем   и . Полученный интеграл можно вычислить, используя внесения под знак дифференциала  или свойство 60. Воспользуемся свойством 60, то есть если , то . Так как , то при  и , получим . При нахождении v в формуле интегрирования по частям полагаем C равным нулю, так как необходимо найти не все первообразные, а какую-нибудь одну из них.}

^{Применяя формулу интегрирования по частям , придем к более простому интегралу, который может быть приведен к табличному интегралу  внесением под знак дифференциала 5x, либо может быть вычислен, используя указанный табличный интеграл и свойство 60 , как это было показано выше при нахождении v.}

^{Выполним проверку результата. Найдем производную}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 4 b).}

^{Данный интеграл является интегралом II типа, то есть многочлен нулевой степени  умножается на обратную тригонометрическую функцию . Воспользуемся указанными выше рекомендациями и обозначим через u обратную тригонометрическую функцию, то есть , а через dv оставшеюся часть подынтегрального выражения, то есть . После этого найдем  и . Применим формулу интегрирования по частям.}

^{Проверку найденного неопределенного интеграла рекомендуется выполнить самостоятельно.}

^{Задание 4 c).}

^{Данный интеграл является интегралом I типа. Применяем формулу интегрирования по частям, воспользовавшись соответствующими рекомендациями.}

^{Проверку найденного неопределенного интеграла рекомендуется выполнить самостоятельно.}

^{Задание 4 d).}

^{Данный интеграл является интегралом II типа. Применяем формулу интегрирования по частям, воспользовавшись соответствующими рекомендациями.}

^{Проверку найденного неопределенного интеграла рекомендуется выполнить самостоятельно.}

^{Интегрирование рациональных функций}

^{Рациональной функцией  называется функция, равная отношению двух многочленов:}

               ⁽¹⁾

^{где n, m - целые положительные числа;}

^{Если m < n, то  называется правильной дробью, если m ? n - неправильной дробью.}

^{Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:}

^{где  - многочлены;  - правильная, дробь; l < n.}

^{Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать правильные рациональные функции .}

^{Интегрирование правильных рациональных дробей  начинают с разложения их на простейшие рациональные дроби.}

^{Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:}

^{1). ;       2). ;  3). ;       4).}

^{где A, M, N, a, p, q – постоянные числа; h ?2 и h – целое; .}

^{Покажем схему нахождения интегралов от простейших рациональных дробей:}

^где

^{Аналогичные приемы используются при интегрировании простейших дробей четвертого типа. При этом задача отыскания интеграла четвертого типа сводится к отысканию интеграла следующего вида}

^,

^{где ; , который может быть найден с помощью рекуррентной формулы понижения степени знаменателя}

^{Таким образом, всякая простейшая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функциях.}

^{Известно, что всякий многочлен  с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел может быть представлен в виде, (2)}

^{где  - действительные корни многочлена  кратностей , а ;}

^{Всякая правильная рациональная дробь (1) со знаменателем, представленным в виде (2), можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа 1)-4). В данном разложении каждому корню  кратности  многочлена  (множителю ) соответствует сумма  дробей вида}

                          ⁽³⁾

^{Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности  многочлена  (множителю ) соответствует сумма  элементарных дробей}

            ⁽⁴⁾

^{Для вычисления значений A, М, N в разложении функции R(x) на сумму простейших рациональных дробей часто используют метод не­определенных коэффициентов, суть которого заключается в следующем. С учетом формул (3), (4) данную дробь R(x) представим в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами А, М, N. Полученное равенство является тождеством. Поэтому, если привести все дроби к общему знаменателю  в числителе получим многочлен  степени (n - 1), тождественно равный многочлену , стоящему в числителе выражения (1). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в этих многочленах, получим систему n уравнений для определения n неизвестных коэффициентов А, М, N (с индексами).}

^{В некоторых случаях с целью упрощения вычислений можно воспользоваться следующим соображением. Так как многочлены  и  тождественно равны, то их значения равны при любых числовых значениях х. Придавая х конкретные числовые значения, получаем систему уравнений для определения коэффициентов. Такой метод нахождения неизвестных коэффициентов называется методом частных значений. Если значения х совпадают с действительными корнями знаменателя, получаем уравнение с одним неизвестным коэффициентом.}

^{Таким образом, всякая рациональная функция в принципе может быть проинтегрирована указанным выше способом.}

^{В заданиях 3 и 5 необходимо найти интегралы от рациональных функций.}

^{Задание 3. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием}

^{a). ,       b). ,  c). .}

^{Решение: Во всех примерах задания 3 подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе больше или равна степени многочлена стоящего в знаменателе. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь.}

^{Задание 3 a). .}

^{Таким образом . Используя свойство 50, разбиваем исходный интеграл на три интеграла. Первые два являются табличными , где , для первого интеграла , для второго - . Третий интеграл сводится к табличному , где , при помощи внесения под знак дифференциала функции .}

^{Проверим полученный результат. Продифференцируем}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 3 b). .}

^{Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь. Разобьем полученный интеграл на два интеграла. Первый является табличным , где , . Второй интеграл является простейшей правильной рациональной дробью третьего типа. Первый этап (выделение полного квадрата в знаменателе) опускается. Подынтегральную функцию разбиваем на сумму двух дробей, после чего второй интеграл представляется в виде суммы двух интегралов. Первый интеграл сводится к табличному , где , при помощи внесения под знак дифференциала функции , второй интеграл является табличным , где , .}

^{Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).}

^{Задание 3 c). .}

^{Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь. Разобьем полученный интеграл на три интеграла. Первый и второй интегралы является табличным , где ; для первого интеграла , для второго - . Третий интеграл - табличный , где , . Тогда}

^{Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).}

^{Задание 5. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием}

^{a). , b). .}

^{Решение: Во всех примерах задания 5 подынтегральная функция является рациональной дробью. Для интегрирования их воспользуемся разложением подынтегральных дробей на сумму простейших.}

^{Задание 5 a). .}

^{Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, так как степень многочлена стоящего в числителе () меньше степени многочлена стоящего в знаменателе (). Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения  Тогда . Согласно формуле (3), в разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида  соответствует слагаемое . Поэтому в данном случае имеем}

^{Приведя правую часть разложения на сумму простейших дробей к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество}

^{Коэффициенты A, B, C определим, например, с помощью метода частных значений (подставим одни и те же значения x в правую и левую часть тождества):}

^{Подставим  в тождество. Получим , так как .}

^{Аналогично при  получим: ; при  получим: .}

^{Таким образом, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными}

^{Подставим найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим}

^{Замечание: результат интегрирования можно оставить в виде суммы логарифмических функций.}

^{Результат интегрирования проверим дифференцированием.}

^{Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.}

^{Задание 5 b). .}

^{Так как подынтегральная функция является неправильной дробью (степень многочлена в числителе () больше, чем степень многочлена знаменателя ()), то путем деления числителя на знаменатель можно представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Удобно раскрыть скобки в знаменателе и поделить «уголком» числитель на знаменатель.}

^{Так как  и , то}

^{Тогда исходный интеграл примет вид}

^{Вычислим отдельно оставшийся интеграл. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которая может быть разложена на сумму трех простейших дробей (аналогично тому, как это было сделано в пункте a)).}

^{Тогда окончательно получим}

^{Проверка найденного интеграла осуществляется аналогично тому, как это было сделано в пункте а).}

^{3. Определенный интеграл. Основные методы интегрирования.}

^{Определенным интегралом функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего «элементарного» отрезка:}

^{где  - интегральная сумма для функции  на отрезке ; n – число «элементарных» отрезков, на которые разбивается отрезок ;  - произвольная точка внутри отрезка , длина которого равна .}

^{Основные свойства определенного интеграла}

^{1°. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный:}

^{2°. Каковы бы ни были числа а, b, с, имеет место равенство}

^{3°. Постоянный множитель можно выносить за знак опреде­ленного интеграла:}

^{4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:}

^{5°. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некото­ром промежуточном значении аргумента}

^{где .}

^{6о. Если  - какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула Ньютона - Лейбница}

^{Вычисления определенных интегралов}

^{a). Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона-Лейбница, которая может быть записана в виде}

^{b). Замена переменной в определенном интеграле  осуществляется по следующей формуле}

^{где  и  определяются в силу замены из условий  и . Следует отметить, что при замене переменной в определенном интеграле, в отличие от замены переменной в неопределенном интеграле, возвращаться к старой переменной после замены не надо.}

^{c). Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид}

^{Рекомендации по выбору u и dv остаются точно такими же, как и для формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле.}

^{В задании 6 необходимо вычислить определенный интеграл. В некоторых случаях необходимо воспользоваться заменой переменной в определенном интеграле, в других - формулой интегрирования по частям.}

^{Задание 6. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой}

^{a). ,   b). ,   c). ,}

^{d). ,           e). ,            f). .}

^{Решение: В заданиях a), b), c), d) выполним или замену переменной или внесение под знак дифференциала. В заданиях e), f) применим формулу интегрирования по частям.}

^{Задание 6 a). .}

^{Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной  в выражение  и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда}

^{Отметим, что предложенный пример можно было вычислить, используя метод внесения под знак дифференциала (можно было внести под знак дифференциала ). В этом случае пересчет пределов интегрирования не осуществляется. Этот метод будет проиллюстрирован в следующем примере.}

^{Задание 6 b). .}

^{Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию . Так как}

^,

^{то получим}

^{Задание 6 с). .}

^{Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда . Осуществим пересчет пределов интегрирования. При  получим . При  получим . Тогда получим}

^{Задание 6 d). .}

^{Воспользуемся методом внесения под знак дифференциала. Внесем под знак дифференциала функцию .}

^{Задание 6 e). .}

^{Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Данный интеграл является интегралом II типа.}

^{Задание 6 f). .}

^{Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла два раза, так как под знаком интеграла стоит многочлен второй степени. Данный интеграл является интегралом I типа.}

^{4. Геометрические приложения определенного интеграла}

^{Определенный интеграл  численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью Ох и прямыми .}

^{Площадь всякой плоской фигуры можно рассматривать как сумму или разность площадей некоторых криволинейных трапеций. Это означает, что с помощью определенных интегралов можно вычислить площади различных фигур.}

^{Если фигура ограничена сверху графиком функции , снизу графиком функции  (причем  на отрезке ) и прямыми , то площадь полученной фигуры находится по формуле}

^{Если фигура ограничена справа графиком функции , слева графиком функции  (причем  на отрезке ) и прямыми , то площадь полученной фигуры находится по формуле}

^{Объем тела, образованного вращением кривой , ограниченной прямыми  при , вокруг оси OX, равен}

^{Объем тела, образованного вращением кривой , ограниченной прямыми  при , вокруг оси OY, равен}

^{Задание 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  . Сделать чертеж.}

^{Решение: Построим фигуру, ограниченную линиями  и . Для этого предварительно найдем точки пересечения этих кривых.}

                                               ^{Рис. 1.}

^{Таким образом, кривые пересекаются в точках  и . Из чертежа видим, что фигура ограничена слева прямой , справа прямой . На отрезке  график функции  лежит выше графика функции . Для нахождения площади фигуры воспользуемся формулой , где .}

^Ответ:

^{Задание 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями , ,  и осями координат. Построить чертеж.}

^{Решение: Построим фигуру, ограниченную линиями}

^{1)  - парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы - точка A(0, 1). Ось симметрии – ось OY.}

x	0	1	-1	2	-2
y	1	2	2	5	5

^{2)  - парабола, ветви которой направлены вправо. Вершина параболы - точка E(1, 0). Ось симметрии – ось OX.}

x	1	2	2	5	5
y	0	1	-1	2	-2

^{3)  - прямая параллельная оси ось OY.}

^{4)  - ось OY. 5)   - ось OX.}

^{Рис. 2}

^{Найдем объем тела, образованного вращением фигуры OABCDEO. Объем указанного тела можно найти как разность объемов тел, образованных вращением фигур OABCDKO и EDKE, то есть}

^.

^{Так как каждая из указанных фигур вращается вокруг оси OX, ограничена осью OX, прямыми ,   и графиком одной функции  на отрезке , то объемы тел вращения этих фигур можно найти по формуле}

^{Для фигуры OABCDKO имеем: .}

^{Для фигуры EDKE имеем: .}

^Тогда