- 17.10.2015
- 757
- 7
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Смотреть ещё
8 075
методических разработок по математике
Перейти в каталог
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Г.МОСКВЫ
«МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Часть 1
2012
Практикум составлен в соответствии с Федеральными Государственными Образовательными Стандартами третьего поколения по курсу «Элементы высшей математики» для студентов специальностей 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и 230115 «Программирование в компьютерных системах» и отражает опыт преподавания данного курса в Московском техническом колледже.
Практикум имеет целью помочь студенту при подготовке и проведении практических работ по темам, изучаемым в 1 семестре.
Предложенное количество практических работ способствует лучшему усвоению теоретического материала.
Составитель:
Маштакова Римма Атгемовна
Рецензент:
Утверждено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин протокол №_____от . .12 г____
Пояснительная записка
Предлагаемый Практикум по дисциплине «Элементы высшей математики» предназначен для студентов, обучающихся на втором курсе по специальностям 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и 230115 «Программирование в компьютерных системах» и разработан в соответствии с требованиями ФГОС третьего поколения.
Практикум состоит из двух частей. Часть 1 включает 11 практических работ и призван оказать помощь студентам при подготовке и проведении практических работ по следующим разделам: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Комплексные числа».
Каждая работа содержит подробный разбор решения одного варианта, далее предложены 32 варианта заданий для решения по 1-9 примеров в каждом в зависимости от темы. При необходимости некоторые практические работы можно разбить не две или три работы с меньшим количеством заданий. Все варианты имеют примерно одинаковую степень сложности. Некоторые работы содержат краткий теоретический материал. В приложении даны справочные материалы в виде таблиц. Время проведения практической работы два академических часа. Использование в процессе преподавания дисциплины «Математика» данного практикума позволит научить обучающихся:
- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;
- решать задачи, используя уравнения прямых на плоскости;
- применять методы дифференциального исчисления функции одной переменной;
- пользоваться понятиями теории комплексных чисел. Это позволит приобрести студентам следующие компетенции: ОК 1 – 10, ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 2.4,ПК 3.4
Автор считает, что сборник далек от совершенства и будет благодарен за все замечания, направленные на его улучшение.
Практическое занятие №1
Тема: «Действия над комплексными числами в алгебраической тригонометрической и показательной формах»
Цель работы: научить выполнять действий над комплексными числами, заданных в различных формах.
Разбор одного варианта.
Задание:
1) Решить уравнение, а корни изобразить на комплексной плоскости:
2) Даны числа . Найти: а) Сумму указать вещественную и мнимую часть, б) Разность и указать сопряженные и противоположные комплексные числа, в) Произведение , г) частное .
3) Даны комплексные числа
а)
б)
Выполнить действия:
4*) Выполнить указанные действия над комплексными числами в алгебраической форме
Решение:
1) Решить уравнение , а корни изобразить на комплексной плоскости.
Это квадратное уравнение, поэтому найдем дискриминант:
= представим как произведение заменим -1 на по определению мнимой единицы, тогда =
Найдем корни:
;
здесь 10 – действительная часть комплексного числа откладываем по оси x, а 1 – мнимая часть, откладываем по оси у. Для изображения комплексных чисел получим точки
1. Дано:
;
Найти:
а); б); в) ; г)
Решение:
а) что бы сложить комплексные числа в алгебраической форме складывают их действительные части и их мнимые части:
, здесь 4- это действительная часть комплексного числа, а -j - мнимая часть.
б)
сопряженным к нему будет число 6+15j, а противоположным - - .
в) Раскроем скобки по правилу умножения многочленов =
= по определению заменим на -1, тогда = = складываем действительные части, а затем мнимые = .
г)
умножим числитель и знаменатель на множитель сопряженный к знаменателю, это
перемножим по правилу многочленов.
=
3) а) Дано:
;
Найти:
Решение: т.к. , что бы умножить комплексные числа в тригонометрической форме, надо умножить их модули, а аргументы сложить, тогда
Чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме надо разделить их модули а аргументы вычесть, тогда
Что бы возвести комплексное число в тригонометрической форме в степень n надо модуль возвести в степень n, а аргумент умножить на n:
б) Дано:
;
Найти:
Решение:
4*)
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
1. Решить уравнение, а корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.
2. Даны комплексные числа . Найти:
а) сумму и указать вещественную и мнимую часть;
б) разность и указать комплексные числа сопряженные и противоположные к z;
в) произведение ;
г) частное .
3. Даны комплексные числа: а) и ;
б) и . Выполнить действия ; ; .
) Выполнить указанные действия в алгебраической форме.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
, ; б) и ) . |
б) и ; ) |
111 б) и ) |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
и ;
; б) и ; ) |
и ;
и ; ) |
и
б) и . ) |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
и ;
. б) и ) |
и
и ) |
и
. б) и . ) |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
и
б) и . ) |
и
и . ) |
и .
б) и ) |
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
|
и
б) и ) |
и
б) и .
) . |
и
. б) и .
) |
|
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
|
и .
б) и . ) |
и
и . ) |
и
б) и . ) |
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
|
и .
б) и . ) |
и .
б) и ) |
и .
б) и . ) |
|
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
и
б) и ) |
и
и ) |
,
и ) |
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
|
и 3)а) и ) |
и
и ) |
и
и ) |
|
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант30 |
|
и
и
|
и
и
) |
и
и ) |
|
Вариант 31 |
Вариант 32 |
|
|
и
и ) |
и
и ) |
|
|
Практическая работа № 2
Тема: «Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной, и обратно»
Цель работы: выработать навыки по переходу от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной формам, и обратно.
Разбор одного варианта:
Задание.
1) Найти модуль и главный аргумент комплексного числа. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах:
2) Записать комплексное число в тригонометрической, а затем в алгебраической формах:
;
3) Выполнить действия в показательной форме, а результат записать в алгебраической и тригонометрической формах.
;
4) Перевести комплексное число в тригонометрическую форму, а затем выполнить указанные действия.
;
Решение:
, Действительная часть здесь ; мнимая часть ;
Найдём модуль комплексного числа:
= = = = 10.
Найдём аргумент комплексного числа. Действуем по алгоритму:
Определим четверть расположения комплексного числа: , ему соответствует точка с координатами , которая расположена в 3-ей четверти.
Тогда аргумент
Получим тригонометрическую форму , подставим найденные ,тогда .
Получим показательную форму: , тогда . Поскольку не является главным значением аргумента, то .
Ответ:
1) , здесь .
Подставим в тригонометрическую форму ) + j, пользуясь свойством чётности функции косинус и нечётности синуса имеем - j), т.к.
Имеем
Ответ:
3) ,
в № 1) нашли, что ,
тогда ,
тогда
.
Ответ: .
4) ;
Переведём число в тригонометрическую форму, для этого изобразим это комплексное число, которому соответствует точка (0;7). Тогда - это угол между вектором, изображающим комплексное число и положительным направлением оси OX, он равен .
Тогда +j).
Переведём число в тригонометрическую форму.
Найдём .
Вспомогательный угол .
С помощью калькулятора находим .Определим четверть расположения комплексного числа . Это четвертая четверть, поэтому , т. е.
Тогда +j).
Выполним действия:
).
Ответ:).
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
|
|
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
|
|
|
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
|
|
|
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
|
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
|
|
|
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
|
|
|
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
|
|
|
Вариант 31 |
Вариант 32 |
Вариант 33 |
|
|
|
Задание 4 является дополнительным, а не обязательным.
Практическая работа №3
Тема «Векторы, операции над ним»
Цель работы: научить выполнять
действия над векторами в пространстве, заданными своими координатами, вычислять
длину вектора, находить скалярное произведение векторов и угол между векторами.
Разбор одного варианта:
Вариант.
1)Дано:
Найти: а) Линейную комбинацию векторов
б) Скалярное произведение векторов
2) Найти направляющие косинусы вектора:
3) Найти вектор и его длину, если Q (4;-1;2), P (0;-3;1).
4) Найти угол С в треугольнике АВС, если А (-1;-2;-3), В (2;1;3), С (-1;5;2).
5*) Вычислить площадь этого треугольника АВС.
Решение:
1) а) Найдем линейную комбинацию векторов:
= =
Используя умножение вектора на число и правило сложения и вычитания векторов имеем:
б ) Найдем скалярное произведение векторов:
2) Направляющими косинусами вектора называются косинус угла,
образованным вектором с осями координат ОХ, ОУ, ОZ:
вектор имеет координаты: , тогда
Ответ: ; ; .
3) Дано: Решение:
Q (4;-1;2) Координаты вектора, заданного начальной и конечной точкой, вычисляется
P (0;-3;1) по формуле: , тогда
.
Ответ: , .
4) Дано: Решение: в треугольнике АВС образован векторами и , найдем их:
Треугольник
АВС, , их длины
, тогда
С помощью калькулятора найдем <C = arcos(0,492)~60,5 градусов.
Ответ:
5) Дано: Решение:
Ответ:
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1) Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если А (1; -2; 3); В (4; 0; -8); С (3; 4; 5) 4) Найти угол А в треугольнике АВС, если А (1; 2; 3); В (-2; 3; -4); С (3; 4; 5). ) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. |
1) Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если С (-3; 2; 0); D (4;-3; 1). 4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(4; 5; 0); В (3; -2; 1), С (2; -3; 2). Найти угол В. ) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
1) Дано: , Найти: а)линейную комбинацию векторов . б) Скалярное произведение векторов 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если Р (-2; 1; 0); К (4; -2; 3). 4) Найти угол С в треугольнике, если А (3; 2; 1); В (-4; 3; -2); С (5; 4; 3). ) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение . |
1) Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) Скалярное произведение векторов . 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если М (0;-1; 4); N (-4; 7; 3). 4) Найти угол A в треугольнике АВС, если А (0; 5; 4); В (1; -2; 3); С (2;-3; -2). ) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1) Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если А (1; -3; 2); С (-4; 2; 0),. 4) Найти угол В в треугольнике, если А (3; -2; 1); В (4; -3; 2);С (-5; - 4; 3). 5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
|
1) Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если B (-6; 0; 1); D (-3; 2; -1). 4) Найти угол С в треугольнике, если А (0; -5; 4); В (1; 2; -3); С (-2; 3; 2). 5) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , используя векторное произведение. |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
1) Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и найти его длину, если L (1; -4; 6); Р (-2; 0; 3). 4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-5; -2; -3); В (-4; 0; 1); С (0; -3; 1). Найти угол А. 5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
|
1) Дано: , Найти: а)линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2) Найти направляющие косинусы вектора: 3) Найти вектор и его длину, если Q (9; 1; 1); P (2; -3; -4). 4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-7; 1; 2); В (1; -4; 6); С (3; 4; -7).Найти угол 5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
1. Дано: ; Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2. Найти направляющие косинусы вектора: 3. Найти вектор и его длину, если А (-1; -2; 6); В (4; -1; -8). 4. Найти угол А в треугольнике АВС, если А (1; 2; 2); В (-2; 3; -3); С (3; 4; 4). ) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. |
1. Дано: ; Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2. Найти направляющие косинусы вектора: 3. Найти вектор и его длину, если С (3; -1; 0); D (5;-2; -1). 4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(4; 5; 1); В (1; -2; 2), С (3; -3; 3) . Найти угол В. ) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1. Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б)Скалярное произведение векторов 2.Найти направляющие косинусы вектора: 3.Найти вектор и его длину, если Р (-2; 7 0); К (4; -2; 4). 4. Найти угол С в треугольнике, если А (3; 3; 2); В (-4; 4; -2); С (6; 4; 3). ) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение. |
1. Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) Скалярное произведение векторов . 2. Найти направляющие косинусы вектора: 3. Найти вектор и его длину, если М (1;-1; 5); N (-4; 6; -2). 4. Найти угол A в треугольнике АВС, если А (0; 5; 4); В (1; -2; 3); С (2;-3; -2). ) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: , используя векторное произведение. |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
1.Дано: , Найти: а)линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2. Найти направляющие косинусы вектора: 3. Найти вектор и его длину, если А (1; -5; 4); С (-4; 3; 0),. 4. Найти угол В в треугольнике, если А (5; -2; 1); В (4; -2; 2);С (-5; - 4; 1). Найти угол В. 5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.
|
1. Дано: , Найти: а)линейную комбинацию векторов . б)Скалярное произведение векторов 2. Найти направляющие косинусы вектора: 3.Найти вектор и его длину, если B (-6; 0; 1); D (-4;-2; 5). 4. Найти угол С в треугольнике, если А (0; -5; 1); В (1; 2; -6); С (-2; 4; 2). 5*. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , используя векторное произведение. |
Вариант 15 |
Вариант 16 |
1.Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов 0,5. б) скалярное произведение векторов . 2.Найти направляющие косинусы вектора: 3. Найти вектор и найти его длину, если L (1; -4; 2); Р (-2; 1; 5). 4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-5; -2; -3); В (-4; 0; 1); С (0; -3; 1). Найти угол А. 5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. |
1.Дано: , Найти: а) линейную комбинацию векторов . б) скалярное произведение векторов . 2. Найти направляющие косинусы вектора: 3. Найти вектор и его длину, если Q (9; 1; 1); P (0; -1; -2). 4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-7; -1; 0); В (1; -4; 6); С (-3;- 4; 7).Найти угол А. 5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение. |
Пример отмеченный * является дополнительным.
Практическая работа №4.
Тема: «Составление уравнений прямых и их построение»
Цель работы: научить составлять уравнения прямой, проходящей через две точки, через точку, параллельно данной прямой, через точку, перпендикулярно данной прямой, вычислению угла между прямыми.
Необходимые формулы:
1) Общее уравнение прямой: , где A и B одновременно .
2) Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Oy в точке с ординатой b (начальная ордината):
3) Уравнение прямой проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k:
4) Условие параллельности прямых: состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1=k2.
5) Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2 (k1≠0, k2≠0), состоит в выполнении соотношений:
, то есть угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
6) Тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, вычисляется по формуле
причем знак «+» соответствует острому углу , а знак «-» -тупому.
Разбор данного варианта:
Задание.
Треугольник MKN задан вершинами .
Найти: 1) Уравнение прямой ML, параллельной стороне NK.
2) Уравнение меридианы KP.
3) уравнение высоты NH.
4) Угол K.
5) Центр тяжести треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны NK, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:
Имеем тогда
Преобразуем к виду .
раскроем скобки
и выразим «y»
разделим на
Это и есть уравнение стороны NK.
Сравнивая с , получаем, что угловой коэффициент стороны NK:
По условию искомая прямая ML параллельна стороне треугольника их угловые коэффициенты равны:
Составим уравнение прямой ML, которая проходит через точку , с угловым коэффициентом имеем тогда
выразим «y»
это уравнение прямой ML.
2) Надо составить уравнение медианы KP. По определению медианы точка P – середина отрезка MN. Найдем её координаты:
Тогда
Итак точка P имеет координаты . Составим уравнение медианы KP как прямой проходящей через две точки
Здесь
, так как произведение крайних равно произведению средних
, выразим «y»
. Это уравнение меридианы KP.
3) Надо составить уравнение высоты NH. По определению высоты: NH перпендикулярна MK.
Составим уравнение прямой MK, как прямой проходящей через две точки :
;
разделим на это уравнение MK, тогда угловой коэффициент прямой МК равен:
По условию NH перпендикулярна
Составим уравнение NH:
проходящей через точку N(3;-8),
4) Найдем угол K.
Угол K образован прямыми MK и NK, тогда из пункта 1 имеем из пункта 3 имеем
тогда =
с помощью калькулятора находим угол .
5) Найдем центр тяжести треугольника MNK. По определению центр тяжести треугольника это точка пересечения медиан, причем каждая медиана делится точкой центра тяжести в отношении 2 к 1 от вершины. Имеем медиану KP: K(0;1), Используя формулу деления отрезка в данном отношении получим точку О- центр тяжести треугольника MNK.
Из теории имеем , тогда ,
Итак,
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
Треугольник задан вершинами А (-6; -2), В (4; 8) и С (2; -8). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС; 2) Уравнение медианы CD; 3) Уравнение высоты АЕ; 4) Угол В; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (-8; -2), В (2; 10) и С (4; 4). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|
Треугольник задан вершинами А (-2; -2), В (7; -6) и С (1; 2). Найти: 1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (2; -1), В (-7; 3) и С (-1; -5). Найти: 1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
Треугольник задан вершинами А (-5; 3), В (3; 4) и С (7; -3). Найти: 1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH ; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (2; 6), В (4; -2) и С (-2; -6). Найти: 1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника |
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
|
Треугольник задан вершинами А (2; 6 ), В ( 4 ; -2 ) и С ( 6; 2). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (5; 3), В ( -3,5; 0) и С ( 1; 6 ).Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника. |
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
|
Треугольник задан вершинами А (6; 5), В (3; 1) и С (9; 1). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС; 2) Уравнение медианы CD; 3) Уравнение высоты АЕ; 4) Угол В; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (-3; 4), В (-4; 1) и С (-1; 2). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
Треугольник задан вершинами А (3; 4), В (4; 1) и С (1; 2). Найти: 1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (3; 3), В (0; -1) и С (3; 1). Найти: 1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
|
Треугольник задан вершинами А (1; 2), В (5; 5) и С (-1; -3). Найти: 1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH ; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (3; -5), В (-1; 1) и С (4; 0). Найти: 1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника |
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
|
Треугольник задан вершинами А ( 8; 6 ), В ( 6 ; 4 ) и С (-2; 14). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А ( -8; 4), В ( -2; 1) и С ( 1; -3 ). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 17 |
Вариант 18 |
|
Треугольник задан вершинами А (1; 3), В (-2; -1) и С (4; -2). Найти: 1)Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС; 2) Уравнение медианы CD; 3) Уравнение высоты АЕ; 4) Угол В; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (-6; -2), В (-3; 1) и С (1; -4). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
|
Треугольник задан вершинами А (-4; -2), В (0; 1) и С (2; -1). Найти: 1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (2; -5), В (1; -3) и С (4; 1). Найти: 1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
|
Треугольник задан вершинами А (-1; -1), В (1; 3) и С (4; -1). Найти: 1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH ; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника. |
Треугольник задан вершинами А (-6; 1), В (-3; 7) и С (0; -1). Найти: 1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника |
|
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
Треугольник задан вершинами А ( 0; 6 ), В ( 3 ; 1 ) и С ( 4; 2). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (3; 4), В ( 2; -1) и С ( -1; 1 ). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3)Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
|
Треугольник задан вершинами А (4; 7), В (6; -1) и С (2; -2). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС; 2) Уравнение медианы CD; 3) Уравнение высоты АЕ; 4) Угол В; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (-6; 0), В (-7; 7) и С (1; 1). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 27 |
Вариант 28 |
|
Треугольник задан вершинами А (4; 7), В (-1; 3) и С (8; 2). Найти: 1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (7; -3), В (12; 9) и С (6; 1). Найти: 1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Вариант 29 |
Вариант 30 |
|
Треугольник задан вершинами А (-5; 3), В (3; 4) и С (7; -3). Найти: 1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB; 2) Уравнение медианы BM; 3) Уравнение высоты AH ; 4) Угол C; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
Треугольник задан вершинами А (2; 6), В (4; -2) и С (-2; -6). Найти: 1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника |
|
Вариант 31 |
Вариант 32 |
|
Треугольник задан вершинами А ( 2; 6 ), В ( 4 ; -2 ) и С ( 6; 2). Найти: 1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC; 2) Уравнение медианы CM; 3) Уравнение высоты BH; 4) Угол A; 5) Центр тяжести этого треугольника. |
Треугольник задан вершинами А ( 5; 3), В ( -3 5; 0) и С ( 1; 6 ). Найти: 1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC; 2) Уравнение медианы AM; 3) Уравнение высоты CH; 4) Угол B; 5) Центр тяжести этого треугольника.
|
|
Пример под номером 5 является дополнительным.
Практическая работа № 5
Тема: «Операции над матрицами. Вычисление определителей»
Цель работы: Отработать навык по вычислению определителей 4-го порядка путём элементарных преобразований, выполнению операций над матрицами, записи системы уравнений в матричном виде.
Разбор одного варианта:
Задание.
1) Вычислить определитель 4-го порядка, используя элементарные преобразования:
2) Выполнить умножение матриц, предварительно определив размер новой матрицы:
3) Транспонировать матрицу:
4) Записать систему уравнений в матричном виде:
Решение:
1) Вычислим определитель 4-го порядка используя элементарные преобразования. Для этого из элементов второй строки отнимем соответствующие элементы третьей строки:
поменяем местами первую и вторую строки, при этом согласно свойствам определителя, знак определителя изменится =
= будем обнулять элементы первого столбца, т.е. для этого элементы второй строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-5).
Элементы третьей строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-2).
Элементы четвёртой строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-3),
тогда = - = -
= разложим по элементам первого столбца =
-1= - 1 = поменяем
местами первую и вторую строки, при этом определитель меняет знак. = = =
разложим по элементам первого столбца = = = = 20.
2) – определим размер новой матрицы , следовательно
Каждый элемент матрицы С : получается умножением i-й строки матрицы на j-й столбец второй матрицы по правилу скалярного произведения векторов.
Матрица – произведение имеет 9 элементов.
получится умножением первой строки первой матрицы и первого столбца второй матрицы.
Тогда получим:
3) Транспонировать матрицу:
- Матрица имеет 3 строки и 4 столбца, т.е. размер 3х4. При транспонировании: замене строк столбцами с соответствующими номерами – размер матрицы :4х3. Запишем первую строку в первый столбец, вторую строку во второй столбец и т.д., получаем:
.
4) Записать систему уравнений в матричном виде:
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных: , столбец неизвестных , столбец свободных членов , тогда в матричном виде уравнение имеет вид:
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание.
1. Вычислить определитель четвертого порядка, используя элементарные преобразования.
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4)
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
|
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|||||||
|
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
||||||||
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
||||||||
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
||||||||
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
||||||||
Вариант 31 |
Вариант 32 |
|||||||||
1) D 2) 3) 4) |
1) D 2) 3) 4) |
|||||||||
Практическая работа №6
Тема: «Нахождение обратной матрицы.
Решение системы линейных уравнений матричным способом»
Цель работы: научиться вычислять обратную матрицу и с ее помощью находить решение определенной системы линейных уравнений.
Разбор одного варианта.
Задание.
1) Записать уравнение в матричном виде
2) Вычислить определитель матрицы
3) Вычислить миноры и алгебраические дополнения всех элементов матрицы A.
4) Составить матрицу из алгебраических дополнений и транспонировать ее .
5) Получить обратную матрицу
6) Решить систему матричным способом:
Решение:
1) Запишем систему в матричном виде: AX = B
=
2) Запишем формулу для вычисления определителя матрицы A путем разложения по элементам первого столбца:
3) Вычислим миноры и алгебраические дополнения:
, где - минор элемента . Имеем
==
==
==
==
==
==
==
==
==
4) Составим матрицу алгебраических дополнений согласно индексам:
и транспонируем ее:
=
Вычислим определитель, используя формулу из пункта 2.
Проверим по другой формуле – разложением по элементам второй строки:
Ответы совпали.
5) Получим обратную матрицу
6) Тогда решение системы:
= пользуясь правилом умножения матриц имеем:
det A |
|
|
-49
|
|
|
Ответ: (0; -1; 2)
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
1. Записать уравнение в матричном виде: .
2. Вычислить определитель матрицы А: det A =
3. Вычислить алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы: , где - минор элемента .
4. Составить матрицу из алгебраических дополнений и транспонировать ее:
5. Получить матрицу обратную данной:
6. Решить систему матричным способом:
det A |
|
|
7
|
|
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
|
|
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
||
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
||
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 31 |
Вариант 32 |
Вариант 33 |
|
|
|
Практическая работа №7
Тема: «Решение системы линейных уравнений
по формулам Крамера и методом Гаусса»
Цель работы: отработать навык по решению систем линейных уравнений различными методами с помощью теории матриц.
Разбор одного варианта.
Задание. Пример 1. Решить систему методом Крамера и методом Гаусса:
Решение:
1) Решим методом Крамера: из коэффициентов при неизвестных составим главный определитель системы и вычислим его разложением по элементам первой строки:
Получим вспомогательный определитель при x путем замены первого столбца
(неизвестный при x) главного определителя на столбец свободных членов:
Заменой столбца неизвестных при y в главном определителе найдем:
Заменой столбца неизвестных при z в найдем :
Тогда по формулам Крамера:
; ; решение системы
; ; ; ; ;
Ответ: (0; -1; 2)
2) Решим систему методом Гаусса:
Прямой ход:
Составим расширенную матрицу системы из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:
A|B = с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду, для этого поменяем местами элементы второй и первой строки.
A|B = элементы второй строки разделим на (-7)
. Элементы второй строки умножим на -4 и сложим с соответствующими элементами третьей строки , получим
Обратный ход: по полученной расширенной матрице составим систему, помня о том, что коэффициенты стоящие в первом столбце это коэффициенты при неизвестном х, во втором столбце – при у, в третьем столбце – при z:
из последнего уравнения получим , подставим во второе:
, тогда , подставим в первое уравнение:
Ответ: (0; -1;2)
Пример 2.
Решить систему методом Крамера:
Решение:
Вычислим определитель системы и определители при неизвестных.
Найдем значения х, у, z по формулам Крамера:
, ;
,
,
Итак, ответ (1; -1; 2).
Пример 3. решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение:
Переставим третье уравнение на место первого:
Запишем расширенную матрицу системы:
.
Чтобы получить треугольную матрицу нужно чтобы . Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на -3. А к элементам третьей строки прибавим элементы первой, предварительно умноженные на -2.
Разделим элементы третьей строки на
Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:
Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные:
, |
|
, |
; |
, |
. Ответ: ( 1; 2; 3) |
Задание:
1. Используя формулы Крамера, решить систему.
2. Используя метод исключения Гаусса, решить систему.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
|
|
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
|
|
|
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
|
|
|
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
|
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
|
|
|
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
|
|
|
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
|
|
|
Вариант 31 |
Вариант 32 |
Вариант 33 |
|
|
|
Дополнительные примеры для решения систем
методом Гаусса и формулам Крамера
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
Практическая работа № 8
Тема: «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»
Цель работы: углубить знания по вычислению пределов и раскрытию неопределенностей, используя принцип замены эквивалентными, I и II замечательные пределы.
Полезно знать, что предел отношения двух многочленов при , существенно зависит от их степени:
Принцип замены эквивалентными, заключается в следующем:
Если при , то имеет место следующие эквивалентности:
Разбор одного варианта.
Задание.
Решение:
предел знаменателя дает:
то имеет место неопределенность
вида , которая вызвана присутствием корня. Раскроем
неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к
числителю
применив в числителе формулу разности квадратов
имеем:
при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает
сократив на - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение имеем
разложим числитель и знаменатель на множители:
В числителе разложим квадратный трехчлен на множители по формуле
, где
Найдем корни квадратного уравнения
Заполним разложение:
в знаменателе 100 это 102 формула получим
в первом множителе вынесем минус, тогда
тогда
предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие имеет место неопределенность вида , раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на и сократим, тогда
помня, что при , , имеем
воспользуемся принципом замены эквивалентными при эквивалентно т.е.
Заменим бесконечно малые эквивалентными бесконечно малыми т.к.
введем замену – обозначим за и выразим ;
при , тогда по свойству степени
, тогда
выражение в скобках равно , тогда .
больших величин (неопределенность вида ). Умножим и разделим на сопряженный множитель , тогда в числителе применим формулу разность квадратов
бесконечно
свойством разность логарифмов есть логарифм частного, перепишем в виде
применить второй замечательный предел , необходимо, чтобы степень была обратно слагаемому в скобках, тогда и подставим , выделим формулу выражение в квадратных скобках есть , тогда
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
||
|
|
||
Вариант 3 |
Вариант 4 |
||
|
|
||
Вариант 5 |
Вариант 6 |
||
|
|
||
Вариант 7 |
Вариант 8 |
||
|
|
||
Вариант 9 |
Вариант 10 |
||
|
|
||
Вариант 11 |
Вариант 12 |
||
|
|
||
Вариант 13 |
Вариант 14 |
||
|
|
||
Вариант 15 |
Вариант 16 |
||
|
|
||
Вариант 17 |
Вариант 18 |
||
|
|
||
Вариант 19 |
Вариант 20 |
||
|
|
||
Вариант 21 |
Вариант 22 |
||
|
|
||
Вариант 23 |
Вариант 24 |
||
|
|
||
Вариант 25 |
Вариант 26 |
||
|
|
||
Вариант 27 |
Вариант 28 |
||
|
|
||
Вариант 29 |
Вариант 30 |
||
|
|
||
Вариант 31 |
Вариант 32 |
||
|
|
||
Задания 8 и 9 являются дополнительными.
Практическая работа № 9
Тема: «Вычисление производных сложных функций»
Цель работы: отработать навык по нахождению производных сложных функций.
Разбор одного варианта.
Задание.
Найти производные следующих функций:
1.
2.
3.
4.
5.
Решение: Производная сложной функций равна произведению производных функций её составляющих.
Пример 1.
==
= .
=
= , здесь воспользовались формулой .
=
, это степенная функция, поэтому
= (видим , тогда) =
Пример 5.
Данная функция представляет собой степенно- показательную функцию, т.к. неизвестное содержится как в основании, так и в показателе степени. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся логарифмическим дифференцированием.
Прологарифмируем обе части по основанию е.
По свойству логарифма показатель степени 1-х выносим перед логарифмом: Теперь продифференцируем обе части, , в левой части производная от произведения
Отношение косинуса к синусу заменим на котангенс.
Теперь перенесем у в правую часть:
И заменим у на исходную функциюТогда,
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
1)-4) Найдите производные сложных функций.
5*) Найти производную, используя логарифмическое дифференцирование.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
|
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
|
|
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
|
Вариант 13 |
Вариант14 |
|
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
|
|
Вариант17 |
Вариант 18 |
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
|
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
|
|
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
|
|
Вариант 27 |
Вариант 28 |
|
|
Вариант 29 |
Вариант 30 |
|
|
Вариант 31 |
Вариант 32 |
|
|
Задание 5 является дополнительным.
Практическая работа № 10
Тема: «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»
Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывая неопределенности вида или по правилу Лопиталя.
Разбор одного варианта.
Задание.
Решение:
подстановкой предельного значения получаем неопределенность вида , для ее раскрытия применяем правило Лопиталя:
подстановка дает неопределенность вида , применяем правило Лопиталя:
= неопределенность вида сохранилась, поэтому применим правило Лопиталя еще раз:
постановка дает , неопределенность , которую раскроем по правилу Лопиталя:
подстановкой получам неопределенность , применим правило Лопиталя:
=
подстановка дает , по правилу Лопиталя имеем:
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание:
Вычислить пределы, используя правила Лопиталя.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
||
|
|
||
Вариант 3 |
Вариант 4 |
||
|
|
||
Вариант 5 |
Вариант 6 |
||
|
|
||
Вариант 7 |
Вариант 8 |
||
|
|
||
Вариант 9 |
Вариант 10 |
||
|
|
||
Вариант 11 |
Вариант 12 |
||
|
|
||
Вариант 13 |
Вариант 14 |
||
|
|
||
Вариант 15 |
Вариант 16 |
||
|
|
||
Вариант 17 |
Вариант 18 |
||
|
|
||
Вариант 19 |
Вариант 20 |
||
|
|
||
Вариант 21 |
Вариант 22 |
||
|
|
||
Вариант 23 |
Вариант 24 |
||
|
|
||
Вариант 25 |
Вариант 26 |
||
|
|
||
Вариант 27 |
Вариант 28 |
||
|
|
||
Вариант 29 |
Вариант 30 |
||
|
|
||
Вариант 31 |
Вариант 32 |
||
|
|
||
Практическая работа № 11
«Построить график функции»
Цель работы: научиться исследованию функции по схеме и построению график функции на его основе.
Схема исследования функции:
1. Найти область определения функции D(f).
2. Если область определения симметрична относительно ОУ, то исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.
3.Найти промежутки знакопостоянства (если это не вызывает затруднений), решив уравнение
у = 0 и исследовать функцию на концах каждого промежутка.
4.Найти асимптоты графика.
5.Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.
3. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
На основе исследования построить график.
Разбор трех вариантов.
Пример 1: Исследовать функцию и построить график.
Решение: Исследуем по схеме:
.
Непериодична.
.
|
|
|
|
|
у |
— |
+ |
— |
+ |
График расположен |
ниже оси ОХ |
выше оси ОХ |
ниже оси ОХ |
выше оси ОХ |
а) вертикальные будем искать там, где функция неопределенна,
т.е. в точках x=1; x=. Для этого найдем односторонние пределы в этих точках.
вертикальные асимптоты
б) наклонная асимптота:
; |
следовательно - наклонная асимптота.
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
не сущ. |
- |
0 |
- |
не сущ |
- |
0 |
+ |
|
& |
т. max |
( |
экст. нет |
( |
экст. нет |
( |
экст. нет |
( |
т. min |
& |
.
7)
=
=;
|
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
- |
не сущ. |
+ |
0 |
- |
не сущ. |
+ |
|
|
перег. нет |
|
перег. |
|
перег. нет |
|
Построим график по нашему исследованию.
Пример 2. Построить график функции .
1) Найдем область определения функции:, кроме ;
т. е. .
2) Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, то исследуем на четность/ нечетность: - функция четна, график симметричен относительно ОУ.
3) Найдем промежутки знакопостоянства. Решим уравнение у = 0.
|
|
-3 |
(-3; -2) |
-2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
+ |
0 |
- |
Не существует |
+ |
Не существует |
- |
0 |
+ |
График располо- жен |
Выше оси ОХ |
Нуль функ-ции |
Ниже оси Ох |
|
Выше оси ОХ |
|
Ниже оси Ох |
Нуль функции |
Выше оси ОХ |
4) Найдем асимптоты:
а) вертикальные:
- вертикальная асимптота.
- вертикальная асимптота.
б) наклонную
(старшая степень в знаменателе). Следовательно наклонной асимтоты нет.
В) горизонтальную
( коэффициенты при старших степенях одинаковы)
горизонтальная асимтота.
Графики асимптот нанесем на чертеж, а также поведение графика левее и правее асимптот.
5) Исследуем функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума. Вычислим производную, используя правило дифференцирования частного: Найдем критические точки первой производной:
|
|
-2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
- |
Не существует |
- |
0 |
+ |
Не существует |
+ |
|
( |
разрыв |
( |
max 2,25 |
& |
разрыв |
& |
Найдем значение функции в точке максимума:
6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точку перегиба.
вынесем общий множитель числителя за скобки и сократим на него = . Найдем критические точки второй производной: , так как числитель не обращается в 0, то .
|
|
-2 |
|
2 |
|
|
- |
Не существует |
+ |
Не существует |
- |
|
|
Перегиба нет |
|
Перегиба нет |
|
7) Используя данные исследования, строим схематический график поведения функции.
Пример 3. Построить график функции .
Решение:
1) , .
2) ни четна, ни нечетна.
3) Непериодическая.
Нули функции: не пересекает ОУ.
|
|
(0; 2) |
|
|
- |
- |
+ |
Это промежутки знакопостоянства.
4) Найти асимптоты:
а) Найдем вертикальную асимптоту вертикальная асимптота.
б) Найдем наклонную асимптоту наклонной асимптоты нет.
в) горизонтальная асимптота.
5)
.
|
|
0 |
|
4 |
|
|
- |
не сущ. |
+ |
0 |
- |
|
( |
экстр. нет |
& |
m.max |
( |
6)
|
|
0 |
|
6 |
|
|
- |
не сущ. |
- |
0 |
+ |
|
|
перег. нет |
|
т. перег. |
|
ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.
Задание.
Исследовать по схеме и построить график функции.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|
|
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
|
|
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
|
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
Вариант 16 |
|
|
|
|
Вариант 17 |
Вариант 18 |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
|
|
|
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
|
|
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
Вариант 28 |
|
|
|
|
Вариант 29 |
Вариант 30 |
Вариант 31 |
Вариант 32 |
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЯ.
Правила дифференцирования
, в частности
, в частности
Таблица производных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Список литературы:
Основная:
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике; Учебное пособие для средних спец. учеб. Заведений, -10-е., перераб. –М.: Высшая школа, 2008 -495 с.
2. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учебное пособие, 3-е издание стереотипное – М., Высшая школа, 2005.
3. Богомолов Н.В. Математика; Учебник – М.: Дрофа, 2010
Дополнительные источники:
1. Дадаян А.А. –Математика. -2е изд. –М.:ФОРУМ: ИНФРА –М. 2007 -544с.
2. Дадаян А.А. –Сборник задач по математике. -2е изд. –М.:ФОРУМ: ИНФРА –М. 2007 -352с.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
|
Стр. |
Пояснительная записка |
3 |
Практическая работа № 1 «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах» |
4 |
Практическая работа № 2 «Переход от алгебраической, тригонометрической и показательной формы комплексного числа и обратно» |
8 |
Практическая работа № 3 «Векторы, операции над ними» |
13 |
Практическая работа № 4 «Составление уравнений прямых, их построение» |
18 |
Практическая работа №5 «Операция над матрицами. Вычисление определителей» |
23 |
Практическая работа № 6 «Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы» |
29 |
Практическая работа № 7 «Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера и методом Гаусса» |
33 |
Практическая работа № 8 «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей» |
37 |
Практическая работа № 9 «Вычисление производных сложных функций» |
47 |
Практическая работа № 10 «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя» |
53 |
Практическая работа № 11 «Построение графиков функций» |
58 |
Приложения. |
66 |
Справочные материалы |
|
Список литературы. |
69 |
Оглавление |
70 |
В нашем каталоге доступно 74 329 рабочих листов
Перейти в каталогПолучите новую специальность за 3 месяца
Получите профессию
за 6 месяцев
Пройти курс
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 662 916 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Маштакова Римма Атгемовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.