Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 1

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

hello_html_15428af3.gifhello_html_m247b8755.gifhello_html_74949ea8.gifhello_html_m73cd7cd8.gifhello_html_m843c240.gifhello_html_6f6b0943.gif

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Г.МОСКВЫ

«МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»











МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ


Часть 1



























2012





Практикум составлен в соответствии с Федеральными Государственными Образовательными Стандартами третьего поколения по курсу «Элементы высшей математики» для студентов специальностей 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и 230115 «Программирование в компьютерных системах» и отражает опыт преподавания данного курса в Московском техническом колледже.

Практикум имеет целью помочь студенту при подготовке и проведении практических работ по темам, изучаемым в 1 семестре.

Предложенное количество практических работ способствует лучшему усвоению теоретического материала.


Составитель:

Маштакова Римма Атгемовна


Рецензент:


Утверждено на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин протокол №_____от . .12 г____


















Пояснительная записка


Предлагаемый Практикум по дисциплине «Элементы высшей математики» предназначен для студентов, обучающихся на втором курсе по специальностям 230113 «Компьютерные системы и комплексы» и 230115 «Программирование в компьютерных системах» и разработан в соответствии с требованиями ФГОС третьего поколения.

Практикум состоит из двух частей. Часть 1 включает 11 практических работ и призван оказать помощь студентам при подготовке и проведении практических работ по следующим разделам: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Комплексные числа».

Каждая работа содержит подробный разбор решения одного варианта, далее предложены 32 варианта заданий для решения по 1-9 примеров в каждом в зависимости от темы. При необходимости некоторые практические работы можно разбить не две или три работы с меньшим количеством заданий. Все варианты имеют примерно одинаковую степень сложности. Некоторые работы содержат краткий теоретический материал. В приложении даны справочные материалы в виде таблиц. Время проведения практической работы два академических часа. Использование в процессе преподавания дисциплины «Математика» данного практикума позволит научить обучающихся:

- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

- решать задачи, используя уравнения прямых на плоскости;

- применять методы дифференциального исчисления функции одной переменной;

- пользоваться понятиями теории комплексных чисел. Это позволит приобрести студентам следующие компетенции: ОК 1 – 10, ПК 1.1, ПК 1.2, ПК 2.4,ПК 3.4


Автор считает, что сборник далек от совершенства и будет благодарен за все замечания, направленные на его улучшение.
















Практическое занятие №1

Тема: «Действия над комплексными числами в алгебраической тригонометрической и показательной формах»


Цель работы: научить выполнять действий над комплексными числами, заданных в различных формах.


Разбор одного варианта.

Задание:

  1. Решить уравнение, а корни изобразить на комплексной плоскости: hello_html_m5c34dc21.gif

2) Даны числа hello_html_406b2156.gif. Найти: а) Сумму hello_html_29dbdaaa.gif указать вещественную и мнимую часть, б) Разность hello_html_7bfb8e4e.gif и указать сопряженные и противоположные комплексные числа, в) Произведение hello_html_m40c52c86.gif, г) частное hello_html_m364a4527.gif.

3) Даны комплексные числа

а) hello_html_6857af33.gif

hello_html_m52e34ffe.gif

б) hello_html_6ed1ec4e.gif

Выполнить действия: hello_html_6ae214db.gif hello_html_6ddc198f.gif

4*) Выполнить указанные действия над комплексными числами в алгебраической форме

hello_html_359c0ee5.gif

Решение:

1) Решить уравнение hello_html_m5c34dc21.gif, а корни изобразить на комплексной плоскости.

Это квадратное уравнение, поэтому найдем дискриминант:

hello_html_m1c243549.gif= представим как произведение hello_html_1dbfc70d.gif заменим -1 на hello_html_75fd5e01.gif по определению мнимой единицы, тогда = hello_html_m4f42d27c.gif

hello_html_m57529338.gif

Найдем корни:

hello_html_44255e9c.gif

hello_html_53b541c7.gif; hello_html_7dbd9d37.gif

здесь 10 – действительная часть комплексного числа откладываем по оси x, а 1 – мнимая часть, откладываем по оси у. Для изображения комплексных чисел получим точки hello_html_2c701086.gifОписание: Безымянный.png

  1. Дано:

hello_html_682d3d6e.gif; hello_html_m6d4b8db2.gif

Найти:

а)hello_html_29dbdaaa.gif; б)hello_html_7bfb8e4e.gif; в) hello_html_m40c52c86.gif; г) hello_html_m364a4527.gif

Решение:

а) что бы сложить комплексные числа в алгебраической форме складывают их действительные части и их мнимые части:

hello_html_m7f0c9de4.gif, здесь 4- это действительная часть комплексного числа, а -j - мнимая часть.

б) hello_html_m33c40674.gif

сопряженным к нему будет число 6+15j, а противоположным - -hello_html_13c7dce7.gif .

в) hello_html_m44c10ef0.gifРаскроем скобки по правилу умножения многочленов =

= hello_html_m2fddabfa.gif по определению hello_html_75fd5e01.gif заменим на -1, тогда = hello_html_3fc1b052.gif = складываем действительные части, а затем мнимые = hello_html_m355fa7a9.gif.

г) hello_html_m74859347.gif

умножим числитель и знаменатель на множитель сопряженный к знаменателю, это hello_html_2f49ac47.gif

hello_html_ma83ab1c.gifперемножим по правилу многочленов.

= hello_html_m52036c3e.gif

3) а) Дано:

hello_html_6857af33.gif; hello_html_473bfae0.gif

Найти: hello_html_m31cfb1bb.gif hello_html_6ddc198f.gif

Решение: т.к. hello_html_m6f6a981d.gif, что бы умножить комплексные числа в тригонометрической форме, надо умножить их модули, а аргументы сложить, тогда

hello_html_m7d71db94.gif

Чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме надо разделить их модули а аргументы вычесть, тогда

hello_html_m2ac9dc4b.gif

Что бы возвести комплексное число в тригонометрической форме в степень n надо модуль возвести в степень n, а аргумент умножить на n:

hello_html_m342a8afa.gif

б) Дано:

hello_html_m29495247.gif; hello_html_m27991395.gif

Найти:

hello_html_m31cfb1bb.gifhello_html_6ddc198f.gif

Решение:

hello_html_bc8ddbe.gif

hello_html_178997fa.gif

hello_html_m4c4cf7c6.gif

4*) hello_html_36449aee.gif

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Задание:

1. Решить уравнение, а корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.

2. Даны комплексные числа hello_html_m11c8aae9.gifhello_html_76b1e08e.gif. Найти:

а) сумму hello_html_f09d149.gif и указать вещественную и мнимую часть;

б) разность hello_html_feb9964.gif и указать комплексные числа сопряженные и противоположные к z;

в) произведение hello_html_m15d15bab.gif;

г) частное hello_html_434d89a4.gif.

3. Даны комплексные числа: а)hello_html_m6c711daf.gif и hello_html_m1cfc48af.gif;

б) hello_html_778a26c2.gif и hello_html_45c61f5a.gif. Выполнить действия hello_html_2110d3a9.gif; hello_html_m5b235d27.gif; hello_html_m23421110.gif.

hello_html_m41b56430.gif) Выполнить указанные действия в алгебраической форме.


Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

hello_html_m66554d67.gif

hello_html_78386e53.gifhello_html_4539d5dc.gif

hello_html_m6ef293a2.gif,

hello_html_m535fed59.gif;

б) hello_html_68ab8364.gif и hello_html_m63e30261.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_27eeb52c.gif.

hello_html_m6098f50d.gif

hello_html_m6d31c276.gifhello_html_3cee0bce.gif

hello_html_309fc739.gif

hello_html_6c1619eb.gif

б) hello_html_5067aeda.gif и hello_html_44e85774.gif;

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_m3d42c43c.gif

hello_html_m16b32fed.gif

hello_html_m2702f989.gifhello_html_5f9f4d24.gif

hello_html_m58b9ece9.gif111hello_html_m7f753535.gif

б) hello_html_4a1f04e3.gif и hello_html_m5f9a3386.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_m3eb61508.gif

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

hello_html_m35502717.gif

hello_html_56e524b2.gifи hello_html_3a3ee855.gif;

hello_html_m4f447793.gif

hello_html_m75290c3c.gif;

б)hello_html_fa1bce8.gif и hello_html_m43a79c58.gif;

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_m60b5bd11.gif

hello_html_7be1a675.gif

hello_html_m1063ec4.gifи hello_html_4539d5dc.gif;

hello_html_22fdc04c.gif

hello_html_56b9cfea.gif

hello_html_m537f3972.gifи hello_html_c30b385.gif;

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_26f00147.gif

hello_html_b7ccdeb.gif

hello_html_7198f2dc.gifи hello_html_1c5c408a.gif

hello_html_791ae8a2.gif

hello_html_m1d5d8501.gif

б)hello_html_79403d01.gif и hello_html_m3d2bb792.gif.

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_m495ab29c.gif

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

hello_html_m3dd8f69a.gif

hello_html_7afb430f.gifи hello_html_26489336.gif;

hello_html_2c9a1056.gif

hello_html_1bcd60.gif.

б) hello_html_13f83f97.gif и hello_html_m1a10f3f7.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_47e84d08.gif

hello_html_3de9df9f.gif

hello_html_34c3a884.gifи hello_html_687f77d4.gif

hello_html_105d49d0.gif

hello_html_35256ad6.gif

hello_html_m4e47edc7.gifи hello_html_me7ae969.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m7a775b27.gif

hello_html_m7d1adc3f.gif

hello_html_28315b67.gifи hello_html_m3e06efb5.gif

hello_html_m48d86cdd.gif

hello_html_m4fb978a3.gif.

б) hello_html_m46b35984.gif и hello_html_m1083b385.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_4e293050.gif


Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

hello_html_m31aa0c8.gif

hello_html_482c3c1b.gifи hello_html_2acefc1.gif

hello_html_m511000f0.gif

hello_html_2c94e0cc.gif

б) hello_html_m2455db0f.gif и hello_html_45917819.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_14b236fe.gif

hello_html_945d18a.gif

hello_html_m5cdfa753.gifи hello_html_54db589c.gif

hello_html_m42261ad.gif

hello_html_7e9405ee.gif

hello_html_3afca511.gifи hello_html_m6d6064d7.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_3455570.gif

hello_html_5ed0f1f8.gif

hello_html_m4d4c66d6.gifи hello_html_m185bdb9a.gif.

hello_html_64d1da53.gif

hello_html_271d3586.gif

б) hello_html_m1da53bac.gif и hello_html_m2d9024f3.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m244fa69e.gif

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

hello_html_203ea36b.gif

hello_html_5c50830a.gifи hello_html_3cee0bce.gif

hello_html_cdafac8.gif

hello_html_m182c1f0.gif

б) hello_html_4484aba1.gif и hello_html_mbfac517.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m30161a7a.gif

hello_html_23b1997e.gif

hello_html_19e1a533.gifи hello_html_5f9f4d24.gif

hello_html_349a62ac.gif

hello_html_m74d6ee6b.gif

б) hello_html_m334c2bc.gif и hello_html_m224c61fe.gif.


hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m8b73c71.gif.

hello_html_m30e4e027.gif

hello_html_602e9b3f.gifи hello_html_4230090e.gif

hello_html_9800d0e.gif

hello_html_3dedb928.gif.

б) hello_html_69391a4b.gif и hello_html_m1a19971e.gif.


hello_html_m41b56430.gif) hello_html_65c9e430.gif

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

hello_html_m7f471a0.gif

hello_html_mfdf8793.gifи hello_html_5f9f4d24.gif.

hello_html_m28c340c1.gif

hello_html_m29d11920.gif

б) hello_html_m12b9f387.gif и hello_html_m678b4838.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_6fa16f76.gif

hello_html_3bb27f98.gif

hello_html_m3ed49e42.gifи hello_html_m1147965f.gif

hello_html_350c361f.gif

hello_html_7f9d9422.gif

hello_html_9d3022.gifи hello_html_fa9608b.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_7b72c647.gif

hello_html_m74667418.gif

hello_html_463d1b46.gifиhello_html_b462b5d.gif

hello_html_6e228354.gif

hello_html_m6d992429.gif

б)hello_html_m55605f42.gif и hello_html_m70b4995f.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m6b74ed78.gif

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 21

hello_html_6494ace3.gif

hello_html_m1b92b2cf.gifи hello_html_m79401895.gif.

hello_html_1ed83a48.gif

hello_html_6f8d2eeb.gif

б) hello_html_357e1eac.gif и hello_html_m35f06877.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_6f787019.gif

hello_html_29c7714f.gif

hello_html_422c4c02.gifи hello_html_m69d2e708.gif.

hello_html_m2be96c94.gif

hello_html_m8817992.gif

б) hello_html_36594e80.gifи hello_html_3b0c4345.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_48957ca1.gif

hello_html_38961fbb.gif

hello_html_6cc0fe84.gifи hello_html_m5da53aed.gif.

hello_html_m4b12c928.gif

hello_html_m2b3b6669.gif

б) hello_html_m94ba91b.gifи hello_html_m3fa84d3.gif.

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m57ea7dd4.gif

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

hello_html_637e0a5a.gif

hello_html_1a342e66.gifи hello_html_6e0b9442.gif

hello_html_551644c6.gif

hello_html_c8e7951.gif

б)hello_html_m7748dc5b.gif и hello_html_m667ac7db.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_m7b1fbc8b.gif

hello_html_m1e53da2c.gif

hello_html_54b343e8.gifиhello_html_mfc9d2a8.gif

hello_html_158b1f09.gif

hello_html_6f537f6b.gif

hello_html_m320094f0.gifи hello_html_m1023dcfc.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_33356768.gif

hello_html_16a7b396.gif

hello_html_m55327d3a.gif,hello_html_mf0d3a3b.gif

hello_html_m2c3931a0.gif

hello_html_4d011050.gif

hello_html_m656862ad.gifи hello_html_7bcbb0b9.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m1cedcdb1.gif

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

hello_html_m449b8f90.gif

hello_html_1ff0a445.gifи hello_html_m31a2acc5.gif

3)а)hello_html_1e6da93d.gif

hello_html_m241c6d2c.gifhello_html_mec772be.gifи hello_html_5ebdf598.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_4faba9e8.gif

hello_html_m244f1ab8.gif

hello_html_m4cf00015.gifи hello_html_256d70a8.gif

hello_html_3aebee2f.gif

hello_html_18731b97.gif

hello_html_41fc1dc6.gifи hello_html_m5f933a93.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m5c98d836.gif

hello_html_19e6c3ad.gif

hello_html_m231d435a.gifи hello_html_m74a2ed37.gif

hello_html_166df3ed.gif

hello_html_m2cf59389.gif

hello_html_23d8a491.gifи hello_html_m6a308db6.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m7cf1a10b.gif

Вариант 28

Вариант 29

Вариант30

hello_html_m1008ac91.gif

hello_html_3adb70e5.gifи hello_html_m14d19c77.gif

hello_html_mfd3fbbd.gif

hello_html_m22e4c91.gif

hello_html_m8bba673.gifи hello_html_m52f509fa.gif

hello_html_7cf3c3.gifhello_html_26b22c04.gif

hello_html_m6a7f39f2.gif

hello_html_m29ff2a5a.gifи hello_html_m985c19e.gif

hello_html_3377fe7e.gif

hello_html_m4b0b5a40.gif

hello_html_m72832d5a.gifи hello_html_5554f59d.gif


hello_html_m41b56430.gif) hello_html_22d386d3.gif

hello_html_d29fe5.gif

hello_html_m256ba19f.gifи hello_html_m4a3bf2bc.gif

hello_html_m15a741da.gif

hello_html_78d437e6.gif

hello_html_59b68f65.gifи hello_html_63d2e78e.gif

hello_html_m41b56430.gif) hello_html_m35cd2a12.gif

Вариант 31

Вариант 32


hello_html_m2b8729ac.gif

hello_html_1ce37c16.gifи hello_html_m2164c0a4.gif

hello_html_m4c3ae006.gif

hello_html_md38120d.gifhello_html_md2490cc.gifи hello_html_m4b292444.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_m675a19ea.gif

hello_html_986596b.gif

hello_html_3b6d3d5b.gifи hello_html_110969f6.gifhello_html_m36c01cd8.gif

hello_html_m61c35c2c.gif

hello_html_m5f66f181.gif

hello_html_6fc7f8f8.gifи hello_html_m1086e928.gif

hello_html_m41b56430.gif)hello_html_1dac1a87.gif




Практическая работа № 2

Тема: «Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной, и обратно»

Цель работы: выработать навыки по переходу от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной формам, и обратно.

Разбор одного варианта:

Задание.

1) Найти модуль и главный аргумент комплексного числа. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах: hello_html_72eb8c40.gif

2) Записать комплексное число в тригонометрической, а затем в алгебраической формах:

hello_html_1adc99df.gif;

3) Выполнить действия в показательной форме, а результат записать в алгебраической и тригонометрической формах.

hello_html_1960d231.gif;

4) Перевести комплексное число в тригонометрическую форму, а затем выполнить указанные действия.

hello_html_m357fea77.gif;

Решение:

hello_html_7609e8a3.gif, Действительная часть здесь hello_html_2eccef26.gif; мнимая часть hello_html_m5135b262.gif;

Найдём модуль комплексного числа:

hello_html_m3bee34a2.gif = hello_html_208fec20.gif = hello_html_323f798.gif = hello_html_1a32ade8.gif = 10.

Найдём аргумент комплексного числа. Действуем по алгоритму: hello_html_7d240c2a.gif

Определим четверть расположения комплексного числа: hello_html_7609e8a3.gif , ему соответствует точка с координатами hello_html_75e4dd9a.gif, которая расположена в 3-ей четверти.

Описание: C:\Users\Владимир\Desktop\Безымянный.png

Тогда аргумент hello_html_m7bba1d4a.gif

Получим тригонометрическую форму hello_html_6241e242.gif, подставим найденные hello_html_612c3343.gif,тогда hello_html_m6211d397.gif.

Получим показательную форму: hello_html_m5576af49.gif, тогда hello_html_61a8f58a.gif. Поскольку hello_html_29d11d06.gif не является главным значением аргумента, то hello_html_m5278214a.gif.

Ответ: hello_html_m2d216617.gif

  1. hello_html_1614bec8.gif, здесь hello_html_51881800.gif.

Подставим в тригонометрическую форму hello_html_m1ca63a36.gif) + jhello_html_m6e00829a.gif, пользуясь свойством чётности функции косинус и нечётности синуса имеем hello_html_57dde3d1.gif - jhello_html_63f68d1d.gif), т.к. hello_html_2b4b7667.gif

Имеем hello_html_m5cb5e98d.gif

Ответ:hello_html_m4a45fee4.gif

3) hello_html_1960d231.gif,

в № 1) нашли, что hello_html_m2d216617.gif,

тогда hello_html_m32fdaa86.gif,

тогда hello_html_1c07f40f.gif

hello_html_62ec9dda.gif.

Ответ: hello_html_m211e22fb.gif.

4) hello_html_m357fea77.gif;

Переведём число hello_html_m2b659aac.gif в тригонометрическую форму, для этого изобразим это комплексное число, которому соответствует точка (0;7). Тогда hello_html_m58576334.gif - это угол между вектором, изображающим комплексное число и положительным направлением оси OX, он равен hello_html_m9ab5c81.gif.

Тогда hello_html_m7a1ae6d9.gif+jhello_html_2357c81d.gif).

Описание: C:\Users\Владимир\Desktop\Безымянный23.png

Переведём число hello_html_m765d5160.gif в тригонометрическую форму.

Найдём hello_html_43120f4.gif.

Вспомогательный уголhello_html_133987a3.gif .

С помощью калькулятора находим hello_html_m6dd48ce.gif.Определим четверть расположения комплексного числа hello_html_m66ec0611.gif. Это четвертая четверть, поэтому hello_html_m7fd00bba.gif, т. е. hello_html_41c02a66.gif

Описание: C:\Users\Владимир\Desktop\23.png

Тогда hello_html_49d1fab3.gif+jhello_html_558c75c8.gif).

Выполним действия:

hello_html_m4b55f1a9.gif).

Ответ:hello_html_1ecfe05a.gif).

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Задание:

  1. Найти модуль и главный аргумент комплексного числа. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

  2. Записать комплексные числа в тригонометрической и алгебраической формах.

  3. Выполнить действия в показательной форме, а результат записать в алгебраической и тригонометрической формах.

  4. *Перевести комплексное число в тригонометрическую форму, а затем выполнить указанные действия.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

hello_html_6f2199d2.gif

hello_html_3adac5ce.gif

hello_html_28cbfe2d.gif

hello_html_m5fd58576.gif

hello_html_m3f73018e.gif

hello_html_m10d2ee0.gif

hello_html_534f4279.gif

hello_html_27a2ba1e.gif

hello_html_d6caa1d.gif

hello_html_583c9304.gif

hello_html_m41ce0f7e.gif

hello_html_m2396e85c.gif

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

hello_html_m18511b3b.gif

hello_html_2e917ee2.gif

hello_html_m7e23123c.gif

hello_html_m21f46465.gif

hello_html_5d8d5343.gif

hello_html_m10a1bd9a.gif

hello_html_49113929.gif

hello_html_17d89b95.gif

hello_html_3547acfa.gif

hello_html_d211eae.gif

hello_html_2b53f58e.gif

hello_html_39887d6e.gif

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

hello_html_m76ed1c88.gif

hello_html_m6f62e55d.gif

hello_html_m7b2c645b.gif

hello_html_18efdb23.gif

hello_html_m3f32e1df.gif

hello_html_m5ea67c32.gif

hello_html_m1bee5db8.gif

hello_html_m8c7568d.gif

hello_html_3c65fe9a.gif

hello_html_m40145cb9.gif

hello_html_m347c81b0.gif

hello_html_5e8b2727.gif

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

hello_html_478313e5.gif

hello_html_4975888c.gif

hello_html_m5b674fed.gif

hello_html_99c3482.gif

hello_html_3f4124a.gif

hello_html_m7cdad99f.gif

hello_html_m3b110a72.gif

hello_html_15fcc6c3.gif

hello_html_22a8493b.gif

hello_html_m55c569db.gif

hello_html_m1f251703.gif

hello_html_46eef4a5.gif

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

hello_html_407a7be1.gif

hello_html_m4cb7c537.gif

hello_html_m6a71043f.gif

hello_html_m32699cc2.gif

hello_html_m64e17a6.gif

hello_html_57948ad9.gif

hello_html_3d225fc5.gif

hello_html_126364f9.gif

hello_html_m1574de8e.gif

hello_html_1f5fd1e8.gif

hello_html_30a78df9.gif

hello_html_58b2247.gif

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

hello_html_22a8493b.gif

hello_html_m23e232fa.gif

hello_html_m3bfe7cd2.gif

hello_html_m13257b04.gif

hello_html_796ef525.gif

hello_html_521ec8e0.gif

hello_html_3e01bc82.gif

hello_html_m3b72cc06.gif

hello_html_22a8493b.gif

hello_html_46e06505.gif

hello_html_4c35c968.gif

hello_html_2025264a.gif

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 21

hello_html_3843356d.gif

hello_html_m6274c898.gif

hello_html_4b5148b8.gif

hello_html_64533804.gif

hello_html_m1574de8e.gif

hello_html_m4b0b1bc9.gif

hello_html_3c4396b8.gif

hello_html_m5995775a.gif

hello_html_m7f25024b.gif

hello_html_m6dd8200f.gif

hello_html_6c1f4486.gif

hello_html_17d8324e.gif

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

hello_html_m6575bc3c.gif

hello_html_7539e00f.gif

hello_html_6b9ab11.gif

hello_html_3ba13dfa.gif

hello_html_22a8493b.gif

hello_html_2c42c98a.gif

hello_html_3b9861cb.gif

hello_html_m5024f109.gif

hello_html_6ea440c3.gif

hello_html_mb5ed39.gif

hello_html_1af3e9d3.gif

hello_html_23ff8ae6.gif

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

hello_html_1aad5f68.gifhello_html_m5bf03477.gif

hello_html_m4c758216.gif

hello_html_4ce4df4f.gif

hello_html_72a51d40.gif

hello_html_3c191d03.gif

hello_html_m56265e7d.gif

hello_html_89ef8e4.gif

hello_html_22a8493b.gif

hello_html_m4c244c53.gif

hello_html_m152abb6e.gif

hello_html_m4036f7a6.gif

Вариант 28

Вариант 29

Вариант 30

hello_html_6ea440c3.gif

hello_html_4d2be0f6.gif

hello_html_58b60b6c.gif

hello_html_m1d87c147.gif

hello_html_559a2acf.gif

hello_html_m76e4b222.gif

hello_html_67f2f24f.gif

hello_html_133a2284.gif

hello_html_72a51d40.gif

hello_html_m15414965.gif

hello_html_m2e7f0599.gif

hello_html_37b9646b.gif

Вариант 31

Вариант 32

Вариант 33

hello_html_22a8493b.gif

hello_html_m26936581.gif

hello_html_3407d457.gif

hello_html_m27d65c10.gif

hello_html_796ef525.gif

hello_html_m4849723d.gif

hello_html_3946340b.gif

hello_html_443415d8.gif

hello_html_m579686b1.gif

hello_html_5fc58436.gif

hello_html_1147f42.gif

hello_html_m14db1118.gif

Задание 4 является дополнительным, а не обязательным.



Практическая работа №3

Тема «Векторы, операции над ним»


Цель работы: научить выполнять действия над векторами в пространстве, заданными своими координатами, вычислять длину вектора, находить скалярное произведение векторов и угол между векторами.

Разбор одного варианта:

Вариант.

1)Дано: hello_html_564bc697.gif

Найти: а) Линейную комбинацию векторов hello_html_m352e3725.gif

б) Скалярное произведение векторов hello_html_fb4916b.gif

2) Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_1610949b.gif

3) Найти вектор hello_html_m2f66c70b.gif и его длину, если Q (4;-1;2), P (0;-3;1).

4) Найти угол С в треугольнике АВС, если А (-1;-2;-3), В (2;1;3), С (-1;5;2).

5*) Вычислить площадь этого треугольника АВС.

Решение:
1) а) Найдем линейную комбинацию векторов:
hello_html_m352e3725.gif= hello_html_4a7feab7.gif=

Используя умножение вектора на число и правило сложения и вычитания векторов имеем:

hello_html_3d50b3d4.gifhello_html_2ebe7980.gif

б ) Найдем скалярное произведение векторов:

hello_html_444631e4.gif

2) Направляющими косинусами вектора называются косинус угла, образованным вектором с осями координат ОХ, ОУ, ОZ:
hello_html_m70aaf1fc.gif

hello_html_m164df403.gifвектор hello_html_m73ec32cd.gif имеет координаты: hello_html_m6973c2c0.gif, тогда hello_html_m68fc3d97.gif

hello_html_m5e30b8fe.gif

hello_html_3b7781ad.gif

hello_html_27f9249.gif

Ответ: hello_html_m103288b4.gif; hello_html_m45d731de.gif; hello_html_m7fd9a72d.gif.

3) Дано: Решение:

Q (4;-1;2) Координаты вектора, заданного начальной и конечной точкой, вычисляется

P (0;-3;1) по формуле: hello_html_4e2e44a8.gif, тогда

hello_html_14912bc.gifhello_html_1ded04fa.gif.

hello_html_m589bc97b.gif

Ответ: hello_html_m1717ff58.gif, hello_html_m4a2ab4ac.gif.

4) Дано: Решение: hello_html_m25f9bfe0.gif в треугольнике АВС образован векторами hello_html_79759e14.gif и hello_html_4737a2ab.gif, найдем их:

Треугольник hello_html_21b1b4a9.gif

АВС, hello_html_13630e2b.gif, их длины

hello_html_7f82201e.gifhello_html_m629210de.gif

hello_html_m6bc42381.gifhello_html_7cf4ac09.gif

hello_html_m52b36714.gif

hello_html_m2c3c22f5.gifhello_html_6f043074.gif

hello_html_3def082e.gif

hello_html_m10ee05a8.gif, тогда hello_html_m7f057cf2.gif

С помощью калькулятора найдем <C = arcos(0,492)~60,5 градусов.

Ответ: hello_html_m7798f498.gif

5) Дано: Решение:

hello_html_m3b2c2bf5.gifhello_html_m989aea6.gif

hello_html_m43391174.gifhello_html_m2188494c.gif
hello_html_m6bc42381.gif hello_html_6483c587.gif

hello_html_m52b36714.gif

hello_html_36aac80c.gif

Ответ: hello_html_37032cc6.gif


ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.


Вариант 1

Вариант 2

  1. Дано: hello_html_4acac9de.gif, hello_html_18c8ce69.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_cfff1b5.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m5728758e.gif.

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m3257abda.gif

  2. Найти вектор hello_html_6be90fe8.gif и его длину, если А (1; -2; 3); В (4; 0; -8); С (3; 4; 5)

  3. Найти угол А в треугольнике АВС, если А (1; 2; 3); В (-2; 3; -4); С (3; 4; 5).

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.

  1. Дано: hello_html_137b8632.gif, hello_html_m50d280c7.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_356e11f4.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m37e9f770.gif.

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m18216a6.gif

  2. Найти вектор hello_html_m69aca002.gif и его длину, если

С (-3; 2; 0); D (4;-3; 1).

  1. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(4; 5; 0); В (3; -2; 1), С (2; -3; 2). Найти угол В.

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.

Вариант 3

Вариант 4

  1. Дано: hello_html_m7562c181.gif, hello_html_m2621f406.gif

Найти:

а)линейную комбинацию векторов hello_html_m5446ecf.gif.

б) Скалярное произведение векторов hello_html_m75f93477.gif

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_63ddfd1e.gif

  2. Найти вектор hello_html_m2348cadb.gif и его длину, если Р (-2; 1; 0); К (4; -2; 3).

  3. Найти угол С в треугольнике, если А (3; 2; 1); В (-4; 3; -2); С (5; 4; 3).

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: hello_html_3ace10d3.gif, используя векторное произведение .

  1. Дано: hello_html_f9f0e10.gif, hello_html_m73ef291c.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_19139c05.gif.

б) Скалярное произведение векторов hello_html_m5728758e.gif.

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m4b510f4f.gif

  2. Найти вектор hello_html_m14e8305f.gif и его длину, если М (0;-1; 4); N (-4; 7; 3).

  3. Найти угол A в треугольнике АВС, если А (0; 5; 4); В (1; -2; 3); С (2;-3; -2).

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: hello_html_7f858bb9.gif,

используя векторное произведение

Вариант 5

Вариант 6

  1. Дано: hello_html_6aaac75.gif, hello_html_2ff78c94.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_m6b516234.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m37e9f770.gif.

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_6a8a4022.gif

  2. Найти вектор hello_html_m5a0fb617.gif и его длину, если А (1; -3; 2); С (-4; 2; 0),.

  3. Найти угол В в треугольнике, если А (3; -2; 1); В (4; -3; 2);С (-5; - 4; 3).

5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.


  1. Дано: hello_html_7355a40b.gif, hello_html_188052b.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_m203bec13.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m56c93678.gif

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m5a0b709b.gif

  2. Найти вектор hello_html_257436d6.gif и его длину, если

B (-6; 0; 1); D (-3; 2; -1).

  1. Найти угол С в треугольнике, если А (0; -5; 4); В (1; 2; -3); С (-2; 3; 2).

  2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

hello_html_m246cda19.gif,

используя векторное произведение.

Вариант 7

Вариант 8

  1. Дано: hello_html_2afd5092.gif, hello_html_1f3519d6.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_1e9fe49a.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_7d9a7863.gif.

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_357a603f.gif

  2. Найти вектор hello_html_64f12c0.gif и найти его длину, если L (1; -4; 6); Р (-2; 0; 3).

4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-5; -2; -3);

В (-4; 0; 1); С (0; -3; 1). Найти угол А.

5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.


  1. Дано: hello_html_m7e82aaaa.gif, hello_html_d438a0c.gif

Найти:

а)линейную комбинацию векторов hello_html_m5bf11d03.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m7d1119b3.gif.

  1. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m4e2f380.gif

  2. Найти вектор hello_html_m6e8d2692.gif и его длину, если

Q (9; 1; 1); P (2; -3; -4).

4) Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-7; 1; 2);

В (1; -4; 6); С (3; 4; -7).Найти угол

5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.


Вариант 9

Вариант 10

1. Дано: hello_html_4acac9de.gif;hello_html_18c8ce69.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_m472f2eee.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_7ec8f137.gif.

2. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m205c5ca9.gif

3. Найти вектор hello_html_6be90fe8.gif и его длину, если А (-1; -2; 6); В (4; -1; -8).

4. Найти угол А в треугольнике АВС, если А (1; 2; 2); В (-2; 3; -3); С (3; 4; 4).

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.

1. Дано: hello_html_137b8632.gif;hello_html_m50d280c7.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_3c5b75a4.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m728ac638.gif.

2. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m2090403b.gif

3. Найти вектор hello_html_m69aca002.gif и его длину, если С (3; -1; 0); D (5;-2; -1).

4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(4; 5; 1); В (1; -2; 2), С (3; -3; 3) . Найти угол В.

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.

Вариант 11

Вариант 12

1. Дано: hello_html_m642d21b5.gif, hello_html_m74f5ade1.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_m5446ecf.gif.

б)Скалярное произведение векторов hello_html_m75f93477.gif

2.Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_290072af.gif

3.Найти вектор hello_html_m2348cadb.gif и его длину, если Р (-2; 7 0); К (4; -2; 4).

4. Найти угол С в треугольнике, если А (3; 3; 2); В (-4; 4; -2); С (6; 4; 3).

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: hello_html_m702b618d.gif, используя векторное произведение.

1. Дано: hello_html_m6317f445.gif, hello_html_m18f402bf.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_19139c05.gif.

б) Скалярное произведение векторов hello_html_m5728758e.gif.

2. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m15662cf3.gif

3. Найти вектор hello_html_m14e8305f.gif и его длину, если М (1;-1; 5); N (-4; 6; -2).

4. Найти угол A в треугольнике АВС, если А (0; 5; 4); В (1; -2; 3); С (2;-3; -2).

hello_html_65d0871c.gif) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: hello_html_7f858bb9.gif, используя векторное произведение.

Вариант 13

Вариант 14

1.Дано: hello_html_6aaac75.gif, hello_html_2ff78c94.gif

Найти:

а)линейную комбинацию векторов hello_html_m594e4c89.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m37e9f770.gif.

2. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_m22a2bbf3.gif

3. Найти вектор hello_html_m5a0fb617.gif и его длину, если А (1; -5; 4); С (-4; 3; 0),.

4. Найти угол В в треугольнике, если А (5; -2; 1); В (4; -2; 2);С (-5; - 4; 1). Найти угол В.

5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.


1. Дано: hello_html_5322a181.gif, hello_html_5787f29c.gif

Найти:

а)линейную комбинацию векторов hello_html_m203bec13.gif.

б)Скалярное произведение векторов hello_html_m56c93678.gif

2. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_1f332c3c.gif

3.Найти вектор hello_html_257436d6.gif и его длину, если

B (-6; 0; 1); D (-4;-2; 5).

4. Найти угол С в треугольнике, если А (0; -5; 1); В (1; 2; -6); С (-2; 4; 2).

5*. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах hello_html_fc90c36.gif,

используя векторное произведение.

Вариант 15

Вариант 16

1.Дано: hello_html_2afd5092.gif, hello_html_1f3519d6.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов 0,5hello_html_56130af4.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_7d9a7863.gif.

2.Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_3d21c3c0.gif

3. Найти вектор hello_html_64f12c0.gif и найти его длину, если L (1; -4; 2); Р (-2; 1; 5).

4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-5; -2; -3);

В (-4; 0; 1); С (0; -3; 1). Найти угол А.

5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.

1.Дано: hello_html_m5ffab1d0.gif, hello_html_m2a513523.gif

Найти:

а) линейную комбинацию векторов hello_html_m5bf11d03.gif.

б) скалярное произведение векторов hello_html_m7d1119b3.gif.

2. Найти направляющие косинусы вектора: hello_html_4be2105e.gif

3. Найти вектор hello_html_m6e8d2692.gif и его длину, если

Q (9; 1; 1); P (0; -1; -2).

4. Дан треугольник, вершины которого имеют координаты: А(-7; -1; 0); В (1; -4; 6);

С (-3;- 4; 7).Найти угол А.

5*) Вычислить площадь этого треугольника, используя векторное произведение.

Пример отмеченный * является дополнительным.



Практическая работа №4.

Тема: «Составление уравнений прямых и их построение»

Цель работы: научить составлять уравнения прямой, проходящей через две точки, через точку, параллельно данной прямой, через точку, перпендикулярно данной прямой, вычислению угла между прямыми.

Необходимые формулы:

  1. Общее уравнение прямой: hello_html_4ba71565.gif, где A и B одновременно hello_html_47f4e8d2.gif.

  2. Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Oy в точке с ординатой b (начальная ордината):

hello_html_2d9f6e6b.gif

  1. Уравнение прямой проходящей через точку hello_html_d569994.gif и имеющей угловой коэффициент k: hello_html_185179c1.gif

  2. Условие параллельности прямых: состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1=k2.

  3. Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2 (k1≠0, k2≠0), состоит в выполнении соотношений:

hello_html_m74fa2d31.gif, то есть угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

  1. Тангенс угла hello_html_m58576334.gif между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, вычисляется по формуле

hello_html_23e1959d.gifпричем знак «+» соответствует острому углу hello_html_m58576334.gif, а знак «-» -тупому.

Разбор данного варианта:

Задание.

Треугольник MKN задан вершинами hello_html_2fdbb008.gif.

Найти: 1) Уравнение прямой ML, параллельной стороне NK.

2) Уравнение меридианы KP.

3) уравнение высоты NH.

4) Угол K.

5) Центр тяжести треугольника.

Решение:

  1. Составим уравнение стороны NK, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:

hello_html_7803c5c5.gif

Имеем hello_html_2ad8672d.gif тогда hello_html_m4474aec2.gif

Преобразуем к виду hello_html_2d9f6e6b.gif.

hello_html_3dea4508.gifраскроем скобки

hello_html_7f91615.gifи выразим «y»

hello_html_m44fb81c1.gif

hello_html_m5877a117.gifразделим на hello_html_30dcda55.gif

hello_html_26b1f1b2.gifЭто и есть уравнение стороны NK.

Сравнивая с hello_html_2d9f6e6b.gif, получаем, что угловой коэффициент стороны NK: hello_html_79a87cc4.gif

По условию искомая прямая ML параллельна стороне треугольника hello_html_5ca649a6.gif их угловые коэффициенты равны: hello_html_m1c9ead9b.gif

Составим уравнение прямой ML, которая проходит через точку hello_html_728a21ca.gif, с угловым коэффициентом hello_html_m33c4479e.gif имеемhello_html_270f5519.gif тогда

hello_html_m53b2c02.gifвыразим «y»

hello_html_7004253c.gif

hello_html_2fdd9344.gifэто уравнение прямой ML.

  1. Надо составить уравнение медианы KP. По определению медианы точка P – середина отрезка MN. Найдем её координаты: hello_html_14778541.gif

Тогда hello_html_6397342a.gif

Итак точка P имеет координаты hello_html_403a08c8.gif. Составим уравнение медианы KP как прямой проходящей через две точки hello_html_m3555476.gif hello_html_m21685202.gif

hello_html_7803c5c5.gif

Здесь hello_html_m2b4bc2c7.gif

hello_html_m2b3b6b4f.gif

hello_html_m22d9d89f.gif, так как произведение крайних равно произведению средних

hello_html_7054e108.gif

hello_html_2f965a9d.gif, выразим «y»

hello_html_m1d5340ff.gif. Это уравнение меридианы KP.

  1. Надо составить уравнение высоты NH. По определению высоты: NH перпендикулярна MK.

Составим уравнение прямой MK, как прямой проходящей через две точки hello_html_30c30e71.gif:

hello_html_7803c5c5.gif; hello_html_m3ca052ce.gif

hello_html_4e1743c3.gif

hello_html_m17568af3.gifразделим на hello_html_154a24d1.gif это уравнение MK, тогда угловой коэффициент прямой МК равен: hello_html_m30417a7f.gif

По условию NH перпендикулярна hello_html_5e1762c5.gif hello_html_m39ead28e.gif hello_html_7b7799bd.gif

Составим уравнение NH:

hello_html_m289d2c33.gifпроходящей через точку N(3;-8), hello_html_m51a7f69b.gif

hello_html_1f22de0b.gif

hello_html_5d5e1d38.gif

hello_html_57fd41c3.gif

hello_html_m4408f2ad.gif

4) Найдем угол K.

Угол K образован прямыми MK и NK, тогда hello_html_8b26792.gif из пункта 1 имеем hello_html_1e13e89.gif из пункта 3 имеем hello_html_m30417a7f.gif

тогда hello_html_m16e69e88.gif = hello_html_m2809d0ba.gif

hello_html_1cda93f3.gifс помощью калькулятора находим угол hello_html_5f507e3c.gif.

5) Найдем центр тяжести треугольника MNK. По определению центр тяжести треугольника это точка пересечения медиан, причем каждая медиана делится точкой центра тяжести в отношении 2 к 1 от вершины. Имеем медиану KP: K(0;1),hello_html_m40a79929.gif Используя формулу деления отрезка в данном отношении получим точку О- центр тяжести треугольника MNK.

hello_html_m77cd66d3.gif

Из теории имеем hello_html_1eb8814d.gif, тогда hello_html_m5d69ce53.gif, hello_html_64e42f4a.gif

Итак, hello_html_m7ecd2e10.gif



ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Вариант 1

Вариант 2

Треугольник задан вершинами

А (-6; -2), В (4; 8) и С (2; -8). Найти:

  1. Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;

  2. Уравнение медианы CD;

  3. Уравнение высоты АЕ;

  4. Угол В;

  5. Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (-8; -2), В (2; 10) и С (4; 4). Найти:

  1. Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

  2. Уравнение медианы CM;

  3. Уравнение высоты BH;

  4. Угол A;

  5. Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 3

Вариант 4

Треугольник задан вершинами

А (-2; -2), В (7; -6) и С (1; 2). Найти:

  1. Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;

  2. Уравнение медианы BM;

  3. Уравнение высоты AH;

  4. Угол C;

  5. Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (2; -1), В (-7; 3) и С (-1; -5). Найти:

  1. Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;

  2. Уравнение медианы AM;

  3. Уравнение высоты CH;

  4. Угол B;

  5. Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 5

Вариант 6

Треугольник задан вершинами

А (-5; 3), В (3; 4) и С (7; -3). Найти:

  1. Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;

  2. Уравнение медианы CM;

  3. Уравнение высоты BH ;

  4. Угол A;

  5. Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (2; 6), В (4; -2) и С (-2; -6). Найти:

  1. Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;

  2. Уравнение медианы BM;

  3. Уравнение высоты AH;

  4. Угол C;

  5. Центр тяжести этого треугольника

Вариант 7

Вариант 8

Треугольник задан вершинами

А (2; 6 ), В ( 4 ; -2 ) и С ( 6; 2). Найти:

  1. Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;

  2. Уравнение медианы AM;

  3. Уравнение высоты CH;

  4. Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (5; 3), В ( -3,5; 0) и С ( 1; 6 ).Найти:

  1. Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

  2. Уравнение медианы CM;

  3. Уравнение высоты BH;

  4. Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.

Вариант 9

Вариант 10

Треугольник задан вершинами

А (6; 5), В (3; 1) и С (9; 1). Найти:

1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;

2) Уравнение медианы CD;

3) Уравнение высоты АЕ;

4) Угол В;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (-3; 4), В (-4; 1) и С (-1; 2). Найти:

1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 11

Вариант 12

Треугольник задан вершинами

А (3; 4), В (4; 1) и С (1; 2). Найти:

1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;

2) Уравнение медианы BM;

3) Уравнение высоты AH;

4) Угол C;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (3; 3), В (0; -1) и С (3; 1). Найти:

1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;

2) Уравнение медианы AM;

3) Уравнение высоты CH;

4) Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 13

Вариант 14

Треугольник задан вершинами

А (1; 2), В (5; 5) и С (-1; -3). Найти:

1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH ;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (3; -5), В (-1; 1) и С (4; 0). Найти:

1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;

2) Уравнение медианы BM;

3) Уравнение высоты AH;

4) Угол C;

5) Центр тяжести этого треугольника

Вариант 15

Вариант 16

Треугольник задан вершинами

А ( 8; 6 ), В ( 6 ; 4 ) и С (-2; 14). Найти:

1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;

2) Уравнение медианы AM;

3) Уравнение высоты CH;

4) Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А ( -8; 4), В ( -2; 1) и С ( 1; -3 ). Найти:

1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 17

Вариант 18

Треугольник задан вершинами

А (1; 3), В (-2; -1) и С (4; -2). Найти:

1)Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;

2) Уравнение медианы CD;

3) Уравнение высоты АЕ;

4) Угол В;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (-6; -2), В (-3; 1) и С (1; -4). Найти:

1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 19

Вариант 20

Треугольник задан вершинами

А (-4; -2), В (0; 1) и С (2; -1). Найти:

1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;

2) Уравнение медианы BM;

3) Уравнение высоты AH;

4) Угол C;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (2; -5), В (1; -3) и С (4; 1). Найти:

1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;

2) Уравнение медианы AM;

3) Уравнение высоты CH;

4) Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 21

Вариант 22

Треугольник задан вершинами

А (-1; -1), В (1; 3) и С (4; -1). Найти:

1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH ;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.

Треугольник задан вершинами

А (-6; 1), В (-3; 7) и С (0; -1). Найти:

1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;

2) Уравнение медианы BM;

3) Уравнение высоты AH;

4) Угол C;

5) Центр тяжести этого треугольника

Вариант 23

Вариант 24

Треугольник задан вершинами

А ( 0; 6 ), В ( 3 ; 1 ) и С ( 4; 2). Найти:

1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;

2) Уравнение медианы AM;

3) Уравнение высоты CH;

4) Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (3; 4), В ( 2; -1) и С ( -1; 1 ). Найти:

1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3)Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 25

Вариант 26

Треугольник задан вершинами

А (4; 7), В (6; -1) и С (2; -2). Найти:

1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;

2) Уравнение медианы CD;

3) Уравнение высоты АЕ;

4) Угол В;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (-6; 0), В (-7; 7) и С (1; 1). Найти:

1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 27

Вариант 28

Треугольник задан вершинами

А (4; 7), В (-1; 3) и С (8; 2). Найти:

1) Уравнение прямой CN, параллельной стороне AB;

2) Уравнение медианы BM;

3) Уравнение высоты AH;

4) Угол C;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (7; -3), В (12; 9) и С (6; 1). Найти:

1) Уравнение прямой BN , параллельной стороне AC;

2) Уравнение медианы AM;

3) Уравнение высоты CH;

4) Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Вариант 29

Вариант 30

Треугольник задан вершинами

А (-5; 3), В (3; 4) и С (7; -3). Найти:

1) Уравнение прямой CN , параллельной стороне AB;

2) Уравнение медианы BM;

3) Уравнение высоты AH ;

4) Угол C;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Треугольник задан вершинами

А (2; 6), В (4; -2) и С (-2; -6). Найти:

1) Уравнение прямой AN , параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника

Вариант 31

Вариант 32

Треугольник задан вершинами

А ( 2; 6 ), В ( 4 ; -2 ) и С ( 6; 2). Найти:

1) Уравнение прямой AN, параллельной стороне BC;

2) Уравнение медианы CM;

3) Уравнение высоты BH;

4) Угол A;

5) Центр тяжести этого треугольника.

Треугольник задан вершинами

А ( 5; 3), В ( -3 5; 0) и С ( 1; 6 ). Найти:

1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC;

2) Уравнение медианы AM;

3) Уравнение высоты CH;

4) Угол B;

5) Центр тяжести этого треугольника.


Пример под номером 5 является дополнительным.


Практическая работа № 5

Тема: «Операции над матрицами. Вычисление определителей»

Цель работы: Отработать навык по вычислению определителей 4-го порядка путём элементарных преобразований, выполнению операций над матрицами, записи системы уравнений в матричном виде.

Разбор одного варианта:

Задание.

1) Вычислить определитель 4-го порядка, используя элементарные преобразования:

hello_html_mefc9052.gif

2) Выполнить умножение матриц, предварительно определив размер новой матрицы:

hello_html_1fc3b233.gif

3) Транспонировать матрицу:

hello_html_meae5bce.gif

4) Записать систему уравнений в матричном виде:

hello_html_mf679d8.gif

Решение:

1) Вычислим определитель 4-го порядка используя элементарные преобразования. Для этого из элементов второй строки отнимем соответствующие элементы третьей строки:

hello_html_mc37f253.gifhello_html_m5bf281fa.gif

поменяем местами первую и вторую строки, при этом согласно свойствам определителя, знак определителя изменится = hello_html_16a9519a.gif

= будем обнулять элементы первого столбца, т.е. hello_html_523c1e3a.gif для этого элементы второй строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-5).

Элементы третьей строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-2).

Элементы четвёртой строки сложим с соответствующими элементами первой строки, предварительно умноженными на (-3),

тогда = -hello_html_m3751cd79.gif = - hello_html_23be1661.gif

= разложим по элементам первого столбца =

-1hello_html_6c5ed9d3.gif= - 1hello_html_m73bb4863.gif = поменяем

местами первую и вторую строки, при этом определитель меняет знак. = hello_html_c460f88.gif = hello_html_6a25b5ec.gif =

разложим по элементам первого столбца = hello_html_m4d0d7ef0.gif = hello_html_1d574e3b.gif = hello_html_m14912193.gif = 20.

2) hello_html_1fc3b233.gif – определим размер новой матрицы hello_html_m61128f3d.gif, следовательно

hello_html_m6ede23c4.gif

Каждый элемент матрицы С : hello_html_m5e7e0ad9.gif получается умножением i-й строки матрицы на j-й столбец второй матрицы по правилу скалярного произведения векторов.

Матрица – произведение имеет 9 элементов.

hello_html_m6986883f.gifполучится умножением первой строки первой матрицы и первого столбца второй матрицы.

hello_html_60581545.gif

hello_html_m15fc74ca.gif

hello_html_m34ac7e8f.gif

hello_html_m24090521.gif

hello_html_55a735b4.gif

hello_html_21699240.gif

hello_html_683f9415.gif

hello_html_2ef06cc7.gif

hello_html_m1820970b.gif

Тогда получим:
hello_html_m118cd720.gif

3) Транспонировать матрицу:

hello_html_meae5bce.gif- Матрица имеет 3 строки и 4 столбца, т.е. размер 3х4. При транспонировании: замене строк столбцами с соответствующими номерами – размер матрицы hello_html_m3fea30af.gif:4х3. Запишем первую строку в первый столбец, вторую строку во второй столбец и т.д., получаем:

hello_html_4850746f.gif.

4) Записать систему уравнений в матричном виде:

hello_html_mf679d8.gif

Составим матрицу hello_html_47264b7d.gif из коэффициентов при неизвестных: hello_html_m6ab3a054.gif, столбец неизвестных hello_html_m34f64e39.gif, столбец свободных членов hello_html_m750f170.gif, тогда в матричном виде уравнение имеет вид:hello_html_m2900d6b6.gif

hello_html_m62f68fa4.gif


ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.


Задание.

  1. Вычислить определитель четвертого порядка, используя элементарные преобразования.

  2. Выполнить умножение матриц, предварительно определив размер новой матрицы.

  3. Транспонировать матрицу А.

  4. Записать систему уравнений в матричном виде.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1) hello_html_m7ad4877d.gif

2) hello_html_m6ab101cc.gif

3) hello_html_m26ffaae1.gif

4) hello_html_3dc41177.gif

1) hello_html_m67d67dd2.gif

2) hello_html_6e038269.gif

3) hello_html_m6d147d47.gif

4) hello_html_me1a7586.gif

1) hello_html_m5617d756.gif

2) hello_html_m14c53da8.gif

3) hello_html_1225dee0.gif

4) hello_html_18472667.gif

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6


1) hello_html_91ae59a.gif

2) hello_html_m76b8853d.gif

3) hello_html_m3169e68c.gif

4) hello_html_1ac373de.gif



1) hello_html_m455e0f9c.gif

2) hello_html_m7480cb94.gif

3) hello_html_m2652c936.gif

4) hello_html_m197822e5.gif


1) hello_html_704be977.gif

2) hello_html_7da34a6c.gif

3) hello_html_m7700a027.gif

4) hello_html_m60ec15cc.gif

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

1) hello_html_5d8485da.gif

2) hello_html_m2df4d482.gif

3) hello_html_5bbd4ab2.gif

4) hello_html_m171af078.gif

1) hello_html_3432f538.gif

2) hello_html_m55404482.gif

3) hello_html_m664e6a08.gif

4) hello_html_m6bdae059.gif

1) hello_html_m1c2d7d12.gif

2)hello_html_ma64c97d.gif

3) hello_html_7ab8be37.gif

4) hello_html_m157d2cc1.gif

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

1) hello_html_25b631d5.gif

2) hello_html_6daf79d8.gif

3) hello_html_m1541a0a5.gif

4) hello_html_m45ff36c5.gif

1) hello_html_499ac221.gif

2) hello_html_ac82c48.gif

3) hello_html_m20193601.gif

4) hello_html_m63aa7af2.gif

1) hello_html_m6e348525.gif

2) hello_html_m6ab101cc.gif

3) hello_html_6ca96efa.gif

4) hello_html_1f35a1a7.gif

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

1) hello_html_m3b6aabcf.gif

2) hello_html_74b82c94.gif

3) hello_html_4e19daa1.gif

4) hello_html_272b0e70.gif

1) hello_html_39de69f2.gif

2) hello_html_106cc902.gif

3) hello_html_m15952c13.gif

4) hello_html_m29b1a2ad.gif

1) hello_html_7fa29719.gif

2) hello_html_m48385181.gif

3) hello_html_b703b13.gif

4) hello_html_m46ec1952.gif

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

1) hello_html_625ab321.gif

2) hello_html_5cbae27a.gif

3) hello_html_m6314322a.gif

4) hello_html_m3010dd03.gif

1) hello_html_75304e20.gif

2) hello_html_m60fec387.gif

3) hello_html_7fd77ee0.gif

4) hello_html_m5ffe3cbe.gif

1)  hello_html_m173d2f83.gif

2)hello_html_50899308.gif

3) hello_html_m306b03dc.gif

4) hello_html_m770441d4.gif

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 21

1) hello_html_620528cd.gif

2)hello_html_m40c72594.gif

3) hello_html_m458674c3.gif

4) hello_html_3ec4e097.gif

1) hello_html_2ccfebb3.gif

2)hello_html_4f0b39b6.gif

3) hello_html_m39e19e6b.gif

4) hello_html_173d48a2.gif

1) hello_html_5026ff65.gif

2)hello_html_38d90d21.gif

3) hello_html_med19d3d.gif

4) hello_html_m6e416c4b.gif

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

1) hello_html_1fdaf985.gif

2)hello_html_f5ac220.gif

3) hello_html_m22c47f06.gif

4) hello_html_47aa95e8.gif

1) hello_html_576850ab.gif

2)hello_html_m38929e1f.gif

3) hello_html_m4f6483eb.gif

4) hello_html_m3c4f772e.gif

1) hello_html_m6f784d9.gif

2)hello_html_mf79bdb6.gif

3) hello_html_m6e906021.gif

4) hello_html_66bd401b.gif

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

1) hello_html_2c3bf4d9.gif

2)hello_html_m2b2cc5c2.gif

3) hello_html_m620a220b.gif

4) hello_html_m57395573.gif

1) hello_html_m8b2c7d3.gif

2)hello_html_m4fd60284.gif

3) hello_html_m6aa6073e.gif

4) hello_html_84faeaa.gif

1) hello_html_m1ff089eb.gif

2)hello_html_291f673a.gif

3) hello_html_m45b2e793.gif

4) hello_html_m15a9ea6c.gif

Вариант 28

Вариант 29

Вариант 30

1) hello_html_m7f6b0e5.gif

2)hello_html_26db717f.gif

3) hello_html_m262e71b1.gif

4) hello_html_m60daba6f.gif

1) hello_html_43621006.gif

2) hello_html_7acbc3cb.gif

3) hello_html_b2f4a4a.gif

4) hello_html_m7f42e462.gif

1) hello_html_m602c2327.gif

2)hello_html_m200e76d4.gif

3) hello_html_55902caa.gif

4) hello_html_6deb5fba.gif

Вариант 31

Вариант 32

1) hello_html_385786d3.gif

2) hello_html_17b7708e.gif

3) hello_html_2e6f05ca.gif

4) hello_html_791c868b.gif

1) hello_html_77faabf5.gif

2)hello_html_m80d9f0b.gif

3) hello_html_m4877b3db.gif

4) hello_html_m1df5042e.gif


Практическая работа №6

Тема: «Нахождение обратной матрицы.

Решение системы линейных уравнений матричным способом»

Цель работы: научиться вычислять обратную матрицу и с ее помощью находить решение определенной системы линейных уравнений.

Разбор одного варианта.

Задание.

  1. Записать уравнение в матричном виде hello_html_m22de481.gif

  2. Вычислить определитель матрицы hello_html_m55b54fa9.gif

  3. Вычислить миноры hello_html_32a672cb.gif и алгебраические дополнения hello_html_m2d8850e9.gif всех элементов матрицы A.

  4. Составить матрицу из алгебраических дополнений hello_html_4182a9c2.gif и транспонировать ее hello_html_m3cd73f86.gif.

  5. Получить обратную матрицу hello_html_m7d47f6d3.gif

  6. Решить систему матричным способом: hello_html_39fbc2b0.gif

hello_html_m1441ac70.gif

Решение:

  1. Запишем систему в матричном виде: Ahello_html_79c0f69b.gifX = B

hello_html_m863f9e2.gif= hello_html_2a36902c.gif

  1. Запишем формулу для вычисления определителя матрицы A путем разложения по элементам первого столбца: hello_html_22186042.gif

  2. Вычислим миноры и алгебраические дополнения:

hello_html_mec32c5e.gif, где hello_html_7fb526be.gif - минор элемента hello_html_7db8e705.gif. Имеем

hello_html_4e1f88d0.gif=hello_html_1f811519.gif=hello_html_2d624911.gif

hello_html_6affc617.gif

hello_html_m33940ce6.gif=hello_html_1c432212.gif=hello_html_71e3d1be.gif

hello_html_m4c6295cb.gif

hello_html_14defc6c.gif=hello_html_m5b01cac8.gif=hello_html_m400c2bfe.gif

hello_html_m79ef3f61.gif

hello_html_15d3f163.gif=hello_html_41c281de.gif=hello_html_m14c3de14.gif

hello_html_m40fb686d.gif

hello_html_m68587557.gif=hello_html_7adf8d72.gif=hello_html_4a965cd4.gif

hello_html_m3f0b76c6.gif

hello_html_1bc33ffa.gif=hello_html_m15885505.gif=hello_html_m4e189b3b.gif

hello_html_66a8c9bd.gif

hello_html_4f5c548c.gif=hello_html_1b0e55fc.gif=hello_html_5f06e282.gif

hello_html_5ec36190.gif

hello_html_m32d7d0ba.gif=hello_html_m7a2888e9.gif=hello_html_290dd6c.gif

hello_html_1c40b564.gif

hello_html_159d2030.gif=hello_html_m7833d179.gif=hello_html_m477dcaaf.gif

hello_html_m72647e54.gif

  1. Составим матрицу алгебраических дополнений согласно индексам:

hello_html_m2d5d0a4a.gifи транспонируем ее:

hello_html_m3cd73f86.gif= hello_html_m5a7a130e.gif

Вычислим определитель, используя формулу из пункта 2.

hello_html_24940af2.gif

Проверим по другой формуле – разложением по элементам второй строки:

hello_html_m7bee06c4.gif

hello_html_2e63f61a.gifОтветы совпали.

  1. Получим обратную матрицу

hello_html_m7d47f6d3.gif

hello_html_m4bbcc50f.gif

  1. Тогда решение системы:

hello_html_39fbc2b0.gif

hello_html_4da300a0.gif= пользуясь правилом умножения матриц имеем:

hello_html_65812bb4.gif


det A


hello_html_m1c80adf0.gif



hello_html_74322545.gif


-49




hello_html_1cd81461.gif


hello_html_m2c2eb679.gif


Ответ: (0; -1; 2)


ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.


Задание:

  1. Записать уравнение в матричном виде: hello_html_m1ceaaa95.gif.

  2. Вычислить определитель матрицы А: det A = hello_html_52d8f15c.gif

  3. Вычислить алгебраические дополнения hello_html_m26412714.gif для каждого элемента матрицы: hello_html_mec32c5e.gif, где hello_html_7fb526be.gif - минор элемента hello_html_7db8e705.gif.

  4. Составить матрицу hello_html_39b9d2cd.gif из алгебраических дополнений hello_html_m26412714.gif и транспонировать ее:

  5. Получить матрицу обратную данной: hello_html_m7d47f6d3.gif

  6. Решить систему матричным способом: hello_html_m49b549b.gif


Ответ оформить в виде таблицы, например:




det A

hello_html_m1c80adf0.gif

hello_html_74322545.gif


7




hello_html_352cb0ad.gif


hello_html_m793d2b58.gif


Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

hello_html_1a765d5.gif

hello_html_519bf631.gif

hello_html_686752b2.gif


Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

hello_html_4df676ff.gif

hello_html_27d91ed6.gif

hello_html_210947f6.gif

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

hello_html_mb49dec9.gif

hello_html_m6ce4503a.gif

hello_html_m5397f.gif

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

hello_html_mbd63601.gif

hello_html_6b4619cb.gif

hello_html_m54017835.gif

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

hello_html_3c2bfa62.gif

hello_html_5d5b848.gif

hello_html_m4d962cf4.gif

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

hello_html_m5a33cc65.gif

hello_html_12be1ba5.gif

hello_html_7c1f5d5f.gif

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 21

hello_html_4fd9ccac.gif

hello_html_b3d1dc9.gif

hello_html_425ddd2e.gif

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

hello_html_m376075fa.gif

hello_html_m530e4243.gif

hello_html_m241643b9.gif

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

hello_html_m618d3933.gif

hello_html_635d289b.gif

hello_html_m18b89bf0.gif

Вариант 28

Вариант 29

Вариант 30

hello_html_4d68bf83.gif

hello_html_m16c7eabf.gif

hello_html_m8c667f7.gif


Вариант 31

Вариант 32

Вариант 33

hello_html_4d55fe71.gif

hello_html_7d5eb45.gif

hello_html_m24f53fb6.gif


Практическая работа №7

Тема: «Решение системы линейных уравнений

по формулам Крамера и методом Гаусса»


Цель работы: отработать навык по решению систем линейных уравнений различными методами с помощью теории матриц.

Разбор одного варианта.

Задание. Пример 1. Решить систему методом Крамера и методом Гаусса:

hello_html_9cde9ca.gif

Решение:

  1. Решим методом Крамера: из коэффициентов при неизвестных составим главный определитель системы hello_html_m44dfdda9.gif и вычислим его разложением по элементам первой строки:

hello_html_47c50c14.gif

hello_html_m6efb6f67.gif

Получим вспомогательный определитель при x путем замены первого столбца

(неизвестный при x) главного определителя на столбец свободных членов:

hello_html_7eef5238.gif

hello_html_m12b482c4.gif

Заменой столбца неизвестных при y в главном определителе найдем:

hello_html_40b7d21f.gif

hello_html_29fb4ad4.gif

hello_html_2c86ecfd.gif

Заменой столбца неизвестных при z в hello_html_m44dfdda9.gif найдем hello_html_611f5ccd.gif :

hello_html_6f965f4b.gif

hello_html_6d940bc4.gif

Тогда по формулам Крамера:

hello_html_m65c2e6bb.gif; hello_html_327557b.gif; hello_html_5e1d37c1.gif решение системы

hello_html_1ff349a9.gif; hello_html_6f34565d.gif; hello_html_38ce5075.gif; hello_html_m38808435.gif; hello_html_m7669fdb4.gif; hello_html_m67435499.gif

Ответ: (0; -1; 2)

2) Решим систему методом Гаусса:

Прямой ход:

Составим расширенную матрицу системы из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:

A|B = hello_html_m562a340a.gif с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду, для этого поменяем местами элементы второй и первой строки.

A|B = hello_html_572eb118.gif hello_html_35722d36.gif элементы второй строки разделим на (-7)

hello_html_m8ed4139.gif. Элементы второй строки умножим на -4 и сложим с соответствующими элементами третьей строки , получим hello_html_m4946814f.gif

Обратный ход: по полученной расширенной матрице составим систему, помня о том, что коэффициенты стоящие в первом столбце это коэффициенты при неизвестном х, во втором столбце – при у, в третьем столбце – при z:

hello_html_m41db36e3.gifиз последнего уравнения получим hello_html_ma824c2a.gif , подставим во второе:

hello_html_m46896cb5.gif, тогда hello_html_771b1a1d.gif, подставим в первое уравнение: hello_html_md1512eb.gif

hello_html_7f0dbb4d.gif

hello_html_m2aa34bd6.gif

hello_html_m7060d32e.gif

hello_html_m116db970.gif

Ответ: (0; -1;2)


Пример 2.

Решить систему методом Крамера: hello_html_m409f58ca.gif

Решение:

Вычислим определитель системы и определители при неизвестных.

hello_html_mb1bdada.gifhello_html_m8cbb196.gifhello_html_300d5b45.gifhello_html_m1d0f6371.gifНайдем значения х, у, z по формулам Крамера:

hello_html_m5af0cf5d.gif, hello_html_48d4af70.gif;

hello_html_m8bbdcf6.gif, hello_html_5fcde179.gif

hello_html_de23b68.gif, hello_html_m2798a009.gif

Итак, ответ (1; -1; 2).

Пример 3. решить систему уравнений методом Гаусса:

hello_html_m1f671c1a.gif

Решение:

Переставим третье уравнение на место первого:

hello_html_m187cbfcb.gif

Запишем расширенную матрицу системы:

hello_html_m15ae5113.gif.

Чтобы получить треугольную матрицу нужно чтобы hello_html_m4fd10d2d.gif. Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на -3. А к элементам третьей строки прибавим элементы первой, предварительно умноженные на -2.

hello_html_m145b73dd.gif




hello_html_m591ccdeb.gif hello_html_2508355b.gif hello_html_m3d3a9487.gif

hello_html_744ef178.gif hello_html_m3140b1e0.gifhello_html_5cfc6175.gifhello_html_34fcd792.gif

Разделим элементы третьей строки на hello_html_23e90d64.gif

hello_html_66172669.gif hello_html_66172669.gif

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

hello_html_2c906be5.gif

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные:

hello_html_43aef27e.gif,

hello_html_m4b04144d.gif


hello_html_m16484b04.gif,

hello_html_m5bdc6378.gif;

hello_html_4357fb7b.gif,

hello_html_m5bbac104.gif.

Ответ: ( 1; 2; 3)

Задание:

  1. Используя формулы Крамера, решить систему.

  2. Используя метод исключения Гаусса, решить систему.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

hello_html_m4704a52c.gif

hello_html_2d852204.gif

hello_html_mb49dec9.gif

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

hello_html_5643a96.gif

hello_html_76ef6e1a.gif

hello_html_m5f443367.gif

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

hello_html_m135fb9cd.gif

hello_html_243bdbed.gif

hello_html_2510d13a.gif

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

hello_html_6e7c573a.gif

hello_html_149b893b.gif

hello_html_4a7a5365.gif

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

hello_html_2a6e0eb2.gif

hello_html_126f764e.gif

hello_html_247e3f03.gif

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

hello_html_a664956.gif

hello_html_318464bc.gif

hello_html_efd102.gif

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 21

hello_html_mb6f3fb4.gif

hello_html_737637b0.gif

hello_html_m5d8bedb8.gif

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

hello_html_460d042f.gif

hello_html_b72a2c2.gif

hello_html_m7f42139e.gif

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

hello_html_3768b315.gif

hello_html_md7f2967.gif

hello_html_m371a113d.gif

Вариант 28

Вариант 29

Вариант 30

hello_html_2678b172.gif

hello_html_meefb9d0.gif

hello_html_m38176532.gif

Вариант 31

Вариант 32

Вариант 33

hello_html_m159b6444.gif

hello_html_m45e767f0.gif

hello_html_241cf57f.gif


Дополнительные примеры для решения систем

методом Гаусса и формулам Крамера

1. hello_html_51297e97.gif

2. hello_html_m21f0b3b6.gif

3. hello_html_m7a5301da.gif

4. hello_html_60586b61.gif

5. hello_html_m595b6cbf.gif

6.hello_html_bfb08b5.gif

7. hello_html_m186f2811.gif

8.hello_html_456612cb.gif

9.hello_html_660a076e.gif

10. hello_html_maa5194f.gif

11. hello_html_m4d61453f.gif

12.hello_html_m31c8c0bb.gif





Практическая работа № 8

Тема: «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»


Цель работы: углубить знания по вычислению пределов и раскрытию неопределенностей, используя принцип замены эквивалентными, I и II замечательные пределы.

Полезно знать, что предел отношения двух многочленов при hello_html_m6202822.gif, существенно зависит от их степени:

hello_html_2c5e04cb.gif

Принцип замены эквивалентными, заключается в следующем:

Если hello_html_m68aeddd4.gif при hello_html_5bb256dd.gif, то имеет место следующие эквивалентности:

hello_html_42f15b2.gif

hello_html_m22ada9d7.gif

hello_html_m3fb432b2.gif

hello_html_m5fa8cdc4.gif

hello_html_3ce7b27c.gif

hello_html_m6ae4013c.gif

hello_html_5e1bb5b0.gif

hello_html_22507ce8.gif

Разбор одного варианта.

Задание.

Решение:

hello_html_m2d82376d.gif

hello_html_m35a0e3fa.gifпредел знаменателя дает:
hello_html_m566a6619.gif


то имеет место неопределенность вида hello_html_1cc47fad.gif, которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю

hello_html_5060ae7d.gif

применив в числителе формулу разности квадратов

hello_html_fcacf35.gifимеем:

hello_html_28624280.gif

при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает

hello_html_5366349d.gif

сократив на hello_html_1e84d289.gif - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение hello_html_m458ac7f3.gif имеем

hello_html_214e78a6.gif

hello_html_2cff0b14.gif

разложим числитель и знаменатель на множители:

В числителе разложим квадратный трехчлен на множители по формуле

hello_html_m30eacd66.gif, где hello_html_m60f61dbf.gif

hello_html_6a863eca.gif

Найдем корни квадратного уравнения hello_html_19e50371.gif

hello_html_m54155f51.gif

hello_html_2fdb279e.gif

hello_html_m689b8ec0.gif

hello_html_m259812c2.gif

Заполним разложение:

hello_html_m74c3051b.gif

в знаменателе 100 это 102 hello_html_34d3dd5c.gif формула hello_html_104496fb.gif получим

hello_html_m2f820385.gif

в первом множителе вынесем минус, тогда hello_html_m5d2dd7d2.gif

hello_html_5afd1390.gif

hello_html_m287ce658.gif

hello_html_593fdd3.gif

hello_html_m4cbbf718.gif

hello_html_m240ceb8a.gif

hello_html_m1bb89975.gif

hello_html_m48b25a5a.gifhello_html_me160452.gif

hello_html_722b0cb.gifтогда

hello_html_m4c5c61c7.gif

hello_html_m497b1f17.gif

предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие hello_html_34d3dd5c.gif имеет место неопределенность вида hello_html_m506be959.gif, раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на hello_html_m4f3a936b.gif и сократим, тогда

hello_html_757a6330.gif

помня, что при hello_html_m6202822.gif, hello_html_m7256fcbb.gif hello_html_m77f5e59e.gif, имеем

hello_html_m7b53e01.gif

hello_html_m976324f.gif

воспользуемся принципом замены эквивалентными при hello_html_m4e4b4bdc.gif эквивалентно hello_html_695bfd0f.gif т.е. hello_html_4b5bab8d.gif

hello_html_m63da36e8.gif

hello_html_m3478bba5.gif

Заменим бесконечно малые эквивалентными бесконечно малыми т.к. hello_html_1bcfe295.gif

hello_html_m76a3a619.gif

hello_html_m3c334317.gif

hello_html_m1bfb494d.gif

hello_html_m4c5cbdf7.gif

hello_html_m6ef16e80.gif

hello_html_1a166990.gif

hello_html_m28ff81a2.gif

введем замену – обозначим hello_html_15a755f2.gif за hello_html_m1c4907bc.gif и выразим hello_html_m1345e0fb.gif; hello_html_1ad8e542.gif

при hello_html_187a35f0.gif, тогда hello_html_1a8d2e49.gif по свойству степени

hello_html_m2732a82d.gif, тогда hello_html_51992be9.gif

hello_html_5f7d1de4.gifвыражение в скобках равно hello_html_233d5bf8.gif, тогда hello_html_998ca7d.gif.

hello_html_73c0eaaf.gif

больших величин (неопределенность вида hello_html_mef162c1.gif). Умножим и разделим на сопряженный множитель hello_html_418836b3.gif, тогда hello_html_m40765224.gif в числителе применим формулу разность квадратов

hello_html_5be40095.gif

hello_html_m9f4f5d2.gif

бесконечно hello_html_m66e6e6f2.gif

hello_html_m51df11d9.gif

свойством разность логарифмов есть логарифм частного, перепишем в виде

hello_html_365f47fa.gif

hello_html_11251628.gif

применить второй замечательный предел hello_html_m14f30e08.gif, необходимо, чтобы степень была обратно слагаемому в скобках, тогда hello_html_1a7e9e77.gif и подставим hello_html_m66015a8d.gif , выделим формулу hello_html_m44ca61da.gif выражение в квадратных скобках есть hello_html_233d5bf8.gif, тогда

hello_html_53434537.gif


ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Вариант 1

Вариант 2

hello_html_606978d8.gif

hello_html_m5e3cf80f.gif

hello_html_m51b45477.gif

hello_html_m76a75ac9.gif

hello_html_283e0e84.gif

hello_html_m76a3811.gif

hello_html_3b04c26e.gifhello_html_m61be5b9e.gif

hello_html_598cfe2c.gif

hello_html_6bce667.gif

hello_html_2fbb1c98.gif

hello_html_m614a091c.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_3ee45cf1.gif

hello_html_m486e9395.gif

hello_html_861e00a.gif

hello_html_399980d2.gif

hello_html_m6c334d4e.gif

Вариант 3

Вариант 4

hello_html_m60c6d9d6.gif

hello_html_m10771247.gif

hello_html_m2612e0a7.gif

hello_html_4d40b039.gif

hello_html_m7af27a04.gif

hello_html_m5f3727ca.gif

hello_html_m4c0320d3.gif

hello_html_m6f9d0734.gif

hello_html_m527f014c.gif

hello_html_2140fcd0.gif

hello_html_m473d1c4f.gif

hello_html_6092cf6d.gif

hello_html_m15f658e6.gif

hello_html_6d031c1c.gif

hello_html_14eee73.gif

hello_html_m4f4544ab.gif

hello_html_33cd0ab8.gif

hello_html_2a57ab94.gif

Вариант 5

Вариант 6

hello_html_m1a487055.gif

hello_html_69a24984.gif

hello_html_538b07c7.gif

hello_html_3b2bcdac.gif

hello_html_39b1684c.gif

hello_html_15615ff0.gif

hello_html_3176f062.gif

hello_html_28c97d81.gif

hello_html_m184f58ca.gif

hello_html_m41ca7f38.gif

hello_html_m25c3e467.gif

hello_html_m772e81b6.gif

hello_html_m1f4b7ced.gif

hello_html_3ef6f885.gif

hello_html_m1e8ac682.gif

hello_html_941df2c.gif

hello_html_m1e23df53.gif

hello_html_m3504d2aa.gif

Вариант 7

Вариант 8

hello_html_7aea04f8.gif

hello_html_m730ef738.gif

hello_html_b7c2fc4.gif

hello_html_46ee71a0.gif

hello_html_m5aa880cc.gif

hello_html_m5204c98f.gif

hello_html_m76a1f87b.gif

hello_html_4defa34d.gif

hello_html_m4c8b94ad.gif

hello_html_m18a5159a.gif

hello_html_m11cea7d.gif

hello_html_m3bf9cce6.gif

hello_html_52595e1c.gif

hello_html_m4b923fd1.gif

hello_html_40b0013b.gif

hello_html_37b20d90.gif

hello_html_m2e6274d2.gif

hello_html_m7bc7202b.gif

Вариант 9

Вариант 10

hello_html_4ae70b95.gif

hello_html_4aa95ed1.gif

hello_html_3f8d2b43.gif

hello_html_30142db4.gif

hello_html_m783be899.gif

hello_html_m5519099e.gif

hello_html_m7fe0b0f6.gif

hello_html_m23a2ec43.gif

hello_html_7181519a.gif

hello_html_m600c2c90.gif

hello_html_m1bece5f2.gif

hello_html_1b5fd3df.gif

hello_html_mec31a7b.gif

hello_html_m2598a238.gif

hello_html_1485d907.gif

hello_html_m3ae337c5.gif

hello_html_7d64e06a.gif

hello_html_78e431aa.gif

Вариант 11

Вариант 12

hello_html_4d5693bf.gif

hello_html_3c99b02d.gif

hello_html_1bd4974a.gif

hello_html_m28b2b7e3.gif

hello_html_m6fc7a08e.gif

hello_html_m14d822f0.gif

hello_html_m2a8435ec.gif

hello_html_38e1e8f0.gif

hello_html_m5a264d93.gif

hello_html_m3ebf4a55.gif

hello_html_103cffc.gif

hello_html_797d99c1.gif

hello_html_3fde33a6.gif

hello_html_2ec63891.gif

hello_html_m7f689e3c.gif

hello_html_m73c177f2.gif

hello_html_m37222014.gif

hello_html_m3725cab9.gif

Вариант 13

Вариант 14

hello_html_761aef77.gif

hello_html_m48992c44.gif

hello_html_m1ad631d4.gif

hello_html_739966ca.gif

hello_html_56eceea1.gif

hello_html_6030c8e1.gif

hello_html_m711d4163.gif

hello_html_m49204a24.gif

hello_html_6e4be1f.gif

hello_html_m3580f514.gif

hello_html_m1483a1e8.gif

hello_html_3096be85.gif

hello_html_m698db4b5.gif

hello_html_266b8a70.gif

hello_html_21ee5d60.gif

hello_html_m174d5bdc.gif

hello_html_m463c7b70.gif

hello_html_m44ab6ceb.gif

Вариант 15

Вариант 16

hello_html_18d03912.gif

hello_html_6e7e04b.gif

hello_html_44d673a.gif

hello_html_m1860b1e9.gif

hello_html_m519d3.gif

hello_html_297a5d17.gif

hello_html_7798b8c5.gif

hello_html_30adae0b.gif

hello_html_167f2bf0.gif

hello_html_55b22e45.gif

hello_html_71c59765.gif

hello_html_42f4ccf6.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_1d21e540.gif

hello_html_36ac426e.gif

hello_html_mfc34583.gif

hello_html_m5b20f1eb.gif

hello_html_9c9abb3.gif

Вариант 17

Вариант 18

hello_html_606978d8.gif

hello_html_m5e3cf80f.gif

hello_html_27150aa1.gif

hello_html_m76a75ac9.gif

hello_html_283e0e84.gif

hello_html_142fbc11.gif

hello_html_3b04c26e.gif

hello_html_m7599da9a.gif

hello_html_34195af1.gif

hello_html_6bce667.gif

hello_html_2fbb1c98.gif

hello_html_m19c841da.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_3ee45cf1.gif

hello_html_m4e5ce59.gif

hello_html_861e00a.gif

hello_html_782b3ba4.gif

hello_html_m59dfaac0.gif

Вариант 19

Вариант 20

hello_html_m60c6d9d6.gif

hello_html_m10771247.gif

hello_html_14c97b3d.gif

hello_html_4d40b039.gif

hello_html_m7af27a04.gif

hello_html_m267cd92a.gif

hello_html_m4c0320d3.gif

hello_html_e2445ec.gif

hello_html_6a73dc85.gif

hello_html_2140fcd0.gif

hello_html_m473d1c4f.gif

hello_html_m75308f5f.gif

hello_html_m15f658e6.gif

hello_html_6d031c1c.gif

hello_html_m6accad78.gif

hello_html_m4f4544ab.gif

hello_html_mca8aab3.gif

hello_html_423530d6.gif

Вариант 21

Вариант 22

hello_html_m1a487055.gif

hello_html_69a24984.gif

hello_html_m18076092.gif

hello_html_3b2bcdac.gif

hello_html_39b1684c.gif

hello_html_791d7604.gif

hello_html_3176f062.gif

hello_html_m34f5f255.gif

hello_html_m5b99e894.gif

hello_html_m41ca7f38.gif

hello_html_m25c3e467.gif

hello_html_7e586e73.gif

hello_html_m1f4b7ced.gif

hello_html_3ef6f885.gif

hello_html_m4ccbc695.gif

hello_html_941df2c.gif

hello_html_47232a90.gif

hello_html_7c3260be.gif

Вариант 23

Вариант 24

hello_html_7aea04f8.gif

hello_html_m730ef738.gif

hello_html_b7c2fc4.gif

hello_html_46ee71a0.gif

hello_html_m5aa880cc.gif

hello_html_m5204c98f.gif

hello_html_m76a1f87b.gif

hello_html_m83050a2.gif

hello_html_m4c8b94ad.gif

hello_html_m18a5159a.gif

hello_html_m11cea7d.gif

hello_html_m3bf9cce6.gif

hello_html_52595e1c.gif

hello_html_m4b923fd1.gif

hello_html_40b0013b.gif

hello_html_37b20d90.gif

hello_html_m2647c013.gif

hello_html_m7bc7202b.gif

Вариант 25

Вариант 26

hello_html_m143cfd73.gif

hello_html_462e2f5.gif

hello_html_50ca2836.gif

hello_html_m5c5ee080.gif

hello_html_354882ec.gif

hello_html_35a2b3ad.gif

hello_html_4f1bdbb2.gif

hello_html_m28cdf423.gif

hello_html_13f53a76.gif

hello_html_625b194b.gif

hello_html_63eec35d.gif

hello_html_m7b9aad85.gif

hello_html_m54cbc14f.gif

hello_html_m544bee66.gif

hello_html_m5b049cef.gif

hello_html_214bb012.gif

hello_html_m27b266ac.gif

hello_html_m20e7f46.gif

Вариант 27

Вариант 28

hello_html_119514e5.gif

hello_html_m45ec1698.gif

hello_html_6247aec1.gif

hello_html_m3731589a.gif

hello_html_2d9a6066.gif

hello_html_m73214287.gif

hello_html_73eeb39.gif

hello_html_15edfc49.gif

hello_html_b234f75.gif

hello_html_m775eaa93.gif

hello_html_mfac1ab4.gif

hello_html_md5dd65e.gif

hello_html_m3adfb87d.gif

hello_html_17dfdb46.gif

hello_html_1505c3f6.gif

hello_html_2608110d.gif

hello_html_m4d8324ef.gif

hello_html_231916c8.gif

Вариант 29

Вариант 30

hello_html_761aef77.gif

hello_html_m48992c44.gif

hello_html_m1ad631d4.gif

hello_html_739966ca.gif

hello_html_56eceea1.gif

hello_html_267cde7c.gif

hello_html_m711d4163.gif

hello_html_5a7798e.gif

hello_html_6e4be1f.gif

hello_html_m3580f514.gif

hello_html_m1483a1e8.gif

hello_html_3096be85.gif

hello_html_m698db4b5.gif

hello_html_266b8a70.gif

hello_html_21ee5d60.gif

hello_html_m174d5bdc.gif

hello_html_31307b0e.gif

hello_html_m44ab6ceb.gif

Вариант 31

Вариант 32

hello_html_18d03912.gif

hello_html_6e7e04b.gif

hello_html_44d673a.gif

hello_html_m1860b1e9.gif

hello_html_m519d3.gif

hello_html_297a5d17.gif

hello_html_7798b8c5.gif

hello_html_m7b6105c5.gif

hello_html_167f2bf0.gif

hello_html_55b22e45.gif

hello_html_71c59765.gif

hello_html_42f4ccf6.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_1d21e540.gif

hello_html_36ac426e.gif

hello_html_mfc34583.gif

hello_html_1e3b6622.gif

hello_html_m44ab6ceb.gif

Задания 8 и 9 являются дополнительными.


Практическая работа № 9

Тема: «Вычисление производных сложных функций»

Цель работы: отработать навык по нахождению производных сложных функций.

Разбор одного варианта.

Задание.

Найти производные следующих функций:

  1. hello_html_41c8817.gif

  2. hello_html_388c0c3c.gif

  3. hello_html_1ae9368d.gif

  4. hello_html_5979f27.gif

  5. hello_html_99b50e4.gif

Решение: Производная сложной функций равна произведению производных функций её составляющих.

Пример 1. hello_html_41c8817.gif

hello_html_m417db1a1.gifhello_html_48720216.gif=hello_html_m6b053e95.gif=hello_html_11852162.gif

hello_html_m1b7cf6e0.gif= hello_html_71d5d207.gif .

hello_html_4691062.gif

hello_html_m101d81f7.gifhello_html_ma5e08ce.gifhello_html_m7c48e444.gif

hello_html_1be10211.gif=

= hello_html_66b9c5af.gif, здесь воспользовались формулой hello_html_61c9688f.gif.

hello_html_4ced8b7a.gif

hello_html_m2249c28a.gif

hello_html_m7da60eac.gifhello_html_m61accc9c.gif=

hello_html_m25bb9749.gif

hello_html_m936aba.gif, это степенная функция, поэтому

hello_html_5f4f8ad.gif

hello_html_402437bd.gif

hello_html_fb0ee8a.gif

= hello_html_427c6156.gif (видим hello_html_mf81e5a2.gif, тогда) = hello_html_397d61de.gif

Пример 5. hello_html_99b50e4.gif

Данная функция представляет собой степенно- показательную функцию, т.к. неизвестное содержится как в основании, так и в показателе степени. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся логарифмическим дифференцированием.

Прологарифмируем обе части по основанию е.

hello_html_m4cc070a9.gifПо свойству логарифма показатель степени 1-х выносим перед логарифмом: hello_html_m7ac44f8d.gifТеперь продифференцируем обе части, hello_html_m456c5a59.gifhello_html_m61accc9c.gif, в левой части производная от произведения

hello_html_m47275520.gif

hello_html_576607b4.gifhello_html_47f0ecb3.gif

hello_html_40318931.gifОтношение косинуса к синусу заменим на котангенс.

hello_html_m6f1066d9.gifТеперь перенесем у в правую часть:

hello_html_5a77f1e2.gifИ заменим у на исходную функциюhello_html_99b50e4.gifТогда,

hello_html_m7d84cb41.gif

ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.


Задание:

1)-4) Найдите производные сложных функций.

5*) Найти производную, используя логарифмическое дифференцирование.

Вариант 1

Вариант 2

hello_html_m136eefb7.gif

hello_html_278dcd07.gif

hello_html_5b690d11.gif

hello_html_m19e5c888.gif

hello_html_m68b787a2.gif

hello_html_m3177c75f.gif

hello_html_m71a86f69.gif

hello_html_m20c729b3.gif

hello_html_d157c9.gif

hello_html_m188f51c9.gif

Вариант 3

Вариант 4

hello_html_3c452f45.gif

hello_html_m6593cac7.gif

hello_html_32d47c7f.gif

hello_html_m73ccf3c7.gif

hello_html_1716b84f.gif

hello_html_fc83827.gif

hello_html_621a4d5a.gif

hello_html_63178e4e.gif

hello_html_m3be19927.gif

hello_html_4a457904.gif

Вариант 5

Вариант 6

hello_html_36e5e2c1.gif

hello_html_536a2e6c.gif

hello_html_m3682983e.gif

hello_html_3614c7a0.gif

hello_html_4facf3a8.gif

hello_html_1c0eb797.gif

hello_html_m745e785.gif

hello_html_bd72cd2.gif

hello_html_m6fe23573.gif

hello_html_m2535aa6d.gif

Вариант 7

Вариант 8

hello_html_m7c853403.gif

hello_html_m7c296a92.gif

hello_html_m2a6c01ef.gif

hello_html_m4ffe6303.gif

hello_html_51aeeda3.gif

hello_html_m1155255f.gif

hello_html_m6cd0a338.gif

hello_html_m11d30eb8.gif

hello_html_m3ce9a44a.gif

hello_html_m23ee8910.gif

Вариант 9

Вариант 10

hello_html_m161e371f.gif

hello_html_m12b70bb8.gif

hello_html_4317dd0a.gif

hello_html_76bb948f.gif

hello_html_2edd5e0c.gif

hello_html_2607fd82.gif

hello_html_5255fc40.gif

hello_html_62e31d48.gif

hello_html_mec77c98.gif

hello_html_68668b55.gif


Вариант 11

Вариант 12

hello_html_m136eefb7.gif

hello_html_278dcd07.gif

hello_html_5b690d11.gif

hello_html_m19e5c888.gif

hello_html_m68b787a2.gif

hello_html_m3177c75f.gif

hello_html_m71a86f69.gif

hello_html_m20c729b3.gif

hello_html_d157c9.gif

hello_html_m188f51c9.gif

Вариант 13

Вариант14

hello_html_3c452f45.gif

hello_html_m6593cac7.gif

hello_html_32d47c7f.gif

hello_html_m73ccf3c7.gif

hello_html_1716b84f.gif

hello_html_fc83827.gif

hello_html_621a4d5a.gif

hello_html_63178e4e.gif

hello_html_m3be19927.gif

hello_html_4a457904.gif

Вариант 15

Вариант 16

hello_html_36e5e2c1.gif

hello_html_536a2e6c.gif

hello_html_m3682983e.gif

hello_html_3614c7a0.gif

hello_html_4facf3a8.gif

hello_html_1c0eb797.gif

hello_html_m745e785.gif

hello_html_bd72cd2.gif

hello_html_m6fe23573.gif

hello_html_m2535aa6d.gif

Вариант17

Вариант 18

hello_html_m7c853403.gif

hello_html_m7c296a92.gif

hello_html_m2a6c01ef.gif

hello_html_m4ffe6303.gif

hello_html_51aeeda3.gif

hello_html_m1155255f.gif

hello_html_m6cd0a338.gif

hello_html_m11d30eb8.gif

hello_html_m3ce9a44a.gif

hello_html_m23ee8910.gif

Вариант 19

Вариант 20

hello_html_m161e371f.gif

hello_html_m12b70bb8.gif

hello_html_4317dd0a.gif

hello_html_76bb948f.gif

hello_html_2edd5e0c.gif

hello_html_2607fd82.gif

hello_html_5255fc40.gif

hello_html_62e31d48.gif

hello_html_mec77c98.gif

hello_html_68668b55.gif

Вариант 21

Вариант 22

hello_html_m136eefb7.gif

hello_html_278dcd07.gif

hello_html_5b690d11.gif

hello_html_m19e5c888.gif

hello_html_m68b787a2.gif

hello_html_m3177c75f.gif

hello_html_m71a86f69.gif

hello_html_m20c729b3.gif

hello_html_d157c9.gif

hello_html_m188f51c9.gif

Вариант 23

Вариант 24

hello_html_3c452f45.gif

hello_html_m6593cac7.gif

hello_html_32d47c7f.gif

hello_html_m73ccf3c7.gif

hello_html_1716b84f.gif

hello_html_fc83827.gif

hello_html_621a4d5a.gif

hello_html_63178e4e.gif

hello_html_m3be19927.gif

hello_html_4a457904.gif

Вариант 25

Вариант 26

hello_html_36e5e2c1.gif

hello_html_536a2e6c.gif

hello_html_m3682983e.gif

hello_html_3614c7a0.gif

hello_html_4facf3a8.gif

hello_html_1c0eb797.gif

hello_html_m745e785.gif

hello_html_bd72cd2.gif

hello_html_m6fe23573.gif

hello_html_m2535aa6d.gif

Вариант 27

Вариант 28

hello_html_m7c853403.gif

hello_html_m7c296a92.gif

hello_html_m2a6c01ef.gif

hello_html_m4ffe6303.gif

hello_html_51aeeda3.gif

hello_html_m1155255f.gif

hello_html_m6cd0a338.gif

hello_html_m11d30eb8.gif

hello_html_m3ce9a44a.gif

hello_html_m23ee8910.gif

Вариант 29

Вариант 30

hello_html_m161e371f.gif

hello_html_m12b70bb8.gif

hello_html_4317dd0a.gif

hello_html_76bb948f.gif

hello_html_2edd5e0c.gif

hello_html_2607fd82.gif

hello_html_5255fc40.gif

hello_html_62e31d48.gif

hello_html_mec77c98.gif

hello_html_68668b55.gif

Вариант 31

Вариант 32

hello_html_m136eefb7.gif

hello_html_278dcd07.gif

hello_html_5b690d11.gif

hello_html_m19e5c888.gif

hello_html_m68b787a2.gif

hello_html_m3177c75f.gif

hello_html_m71a86f69.gif

hello_html_m20c729b3.gif

hello_html_d157c9.gif

hello_html_m188f51c9.gif

Задание 5 является дополнительным.


Практическая работа № 10

Тема: «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»

Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывая неопределенности вида hello_html_1cc47fad.gif или hello_html_m506be959.gif по правилу Лопиталя.

Разбор одного варианта.

Задание.
hello_html_8fffe68.gif

hello_html_67a02728.gif

hello_html_m3c6498aa.gif

hello_html_5d6d7f5c.gif

hello_html_m657f6ad0.gif

Решение:


hello_html_20f4189e.gif

подстановкой предельного значения получаем неопределенность вида hello_html_1cc47fad.gif , для ее раскрытия применяем правило Лопиталя:

hello_html_m19ac2527.gif

hello_html_355497a5.gif

hello_html_545f3e2d.gif

подстановка hello_html_m27640d7c.gif дает неопределенность вида hello_html_m506be959.gif, применяем правило Лопиталя:

hello_html_128e1287.gif

= неопределенность вида hello_html_m506be959.gif сохранилась, поэтому применим правило Лопиталя еще раз:

hello_html_18097024.gif

hello_html_41c25115.gif

постановка hello_html_6f34565d.gif дает hello_html_m6799cdf2.gif, hello_html_6ad021e8.gif неопределенность hello_html_1cc47fad.gif, которую раскроем по правилу Лопиталя:

hello_html_61a38372.gif

hello_html_6afeb780.gif

подстановкой hello_html_6f34565d.gif получам неопределенность hello_html_1cc47fad.gif, применим правило Лопиталя:

hello_html_3d1d7ec7.gif

hello_html_m1a7fd3f8.gif

=hello_html_577e6515.gif

hello_html_m5b984561.gif

подстановка hello_html_m2c89f36.gif дает hello_html_1cc47fad.gif , по правилу Лопиталя имеем:

hello_html_m107961f6.gif


ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Задание:

Вычислить пределы, используя правила Лопиталя.

Вариант 1

Вариант 2

hello_html_606978d8.gif

hello_html_m5e3cf80f.gif

hello_html_m51b45477.gif

hello_html_m76a75ac9.gif

hello_html_283e0e84.gif



hello_html_6bce667.gif

hello_html_2fbb1c98.gif

hello_html_m614a091c.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_3ee45cf1.gif


Вариант 3

Вариант 4

hello_html_m60c6d9d6.gif

hello_html_m10771247.gif

hello_html_m2612e0a7.gif

hello_html_4d40b039.gif

hello_html_m7af27a04.gif


hello_html_2140fcd0.gif

hello_html_m473d1c4f.gif

hello_html_6092cf6d.gif

hello_html_m15f658e6.gif

hello_html_6d031c1c.gif


Вариант 5

Вариант 6

hello_html_m1a487055.gif

hello_html_69a24984.gif

hello_html_538b07c7.gif

hello_html_3b2bcdac.gif

hello_html_39b1684c.gif


hello_html_m41ca7f38.gif

hello_html_m25c3e467.gif

hello_html_m772e81b6.gif

hello_html_m1f4b7ced.gif

hello_html_3ef6f885.gif


Вариант 7

Вариант 8

hello_html_7aea04f8.gif

hello_html_m730ef738.gif

hello_html_b7c2fc4.gif

hello_html_46ee71a0.gif

hello_html_m5aa880cc.gif


hello_html_m18a5159a.gif

hello_html_m11cea7d.gif

hello_html_m3bf9cce6.gif

hello_html_52595e1c.gif

hello_html_m4b923fd1.gif


Вариант 9

Вариант 10

hello_html_4ae70b95.gif

hello_html_4aa95ed1.gif

hello_html_3f8d2b43.gif

hello_html_30142db4.gif

hello_html_m783be899.gif


hello_html_m600c2c90.gif

hello_html_m1bece5f2.gif

hello_html_1b5fd3df.gif

hello_html_mec31a7b.gif

hello_html_m2598a238.gif


Вариант 11

Вариант 12

hello_html_4d5693bf.gif

hello_html_3c99b02d.gif

hello_html_1bd4974a.gif

hello_html_m28b2b7e3.gif

hello_html_m6fc7a08e.gif


hello_html_m3ebf4a55.gif

hello_html_103cffc.gif

hello_html_797d99c1.gif

hello_html_3fde33a6.gif

hello_html_2ec63891.gif


Вариант 13

Вариант 14

hello_html_761aef77.gif

hello_html_m48992c44.gif

hello_html_m1ad631d4.gif

hello_html_739966ca.gif

hello_html_56eceea1.gif


hello_html_m3580f514.gif

hello_html_m1483a1e8.gif

hello_html_3096be85.gif

hello_html_m698db4b5.gif

hello_html_266b8a70.gif


Вариант 15

Вариант 16

hello_html_18d03912.gif

hello_html_6e7e04b.gif

hello_html_44d673a.gif

hello_html_m1860b1e9.gif

hello_html_m519d3.gif


hello_html_55b22e45.gif

hello_html_71c59765.gif

hello_html_42f4ccf6.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_1d21e540.gif


Вариант 17

Вариант 18

hello_html_606978d8.gif

hello_html_m5e3cf80f.gif

hello_html_27150aa1.gif

hello_html_m76a75ac9.gif

hello_html_283e0e84.gif


hello_html_6bce667.gif

hello_html_2fbb1c98.gif

hello_html_m19c841da.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_3ee45cf1.gif


Вариант 19

Вариант 20

hello_html_m60c6d9d6.gif

hello_html_m10771247.gif

hello_html_14c97b3d.gif

hello_html_4d40b039.gif

hello_html_m7af27a04.gif


hello_html_2140fcd0.gif

hello_html_m473d1c4f.gif

hello_html_m75308f5f.gif

hello_html_m15f658e6.gif

hello_html_6d031c1c.gif


Вариант 21

Вариант 22

hello_html_m1a487055.gif

hello_html_69a24984.gif

hello_html_m18076092.gif

hello_html_3b2bcdac.gif

hello_html_39b1684c.gif


hello_html_m41ca7f38.gif

hello_html_m25c3e467.gif

hello_html_7e586e73.gif

hello_html_m1f4b7ced.gif

hello_html_3ef6f885.gif


Вариант 23

Вариант 24

hello_html_7aea04f8.gif

hello_html_m730ef738.gif

hello_html_b7c2fc4.gif

hello_html_46ee71a0.gif

hello_html_m5aa880cc.gif


hello_html_m18a5159a.gif

hello_html_m11cea7d.gif

hello_html_m3bf9cce6.gif

hello_html_52595e1c.gif

hello_html_m4b923fd1.gif


Вариант 25

Вариант 26

hello_html_m143cfd73.gif

hello_html_462e2f5.gif

hello_html_50ca2836.gif

hello_html_m5c5ee080.gif

hello_html_354882ec.gif


hello_html_625b194b.gif

hello_html_63eec35d.gif

hello_html_m7b9aad85.gif

hello_html_m54cbc14f.gif

hello_html_m544bee66.gif


Вариант 27

Вариант 28

hello_html_119514e5.gif

hello_html_m45ec1698.gif

hello_html_6247aec1.gif

hello_html_m3731589a.gif

hello_html_2d9a6066.gif


hello_html_m775eaa93.gif

hello_html_mfac1ab4.gif

hello_html_md5dd65e.gif

hello_html_m3adfb87d.gif

hello_html_17dfdb46.gif


Вариант 29

Вариант 30

hello_html_761aef77.gif

hello_html_m48992c44.gif

hello_html_m1ad631d4.gif

hello_html_739966ca.gif

hello_html_56eceea1.gif


hello_html_m3580f514.gif

hello_html_m1483a1e8.gif

hello_html_3096be85.gif

hello_html_m698db4b5.gif

hello_html_266b8a70.gif


Вариант 31

Вариант 32

hello_html_18d03912.gif

hello_html_6e7e04b.gif

hello_html_44d673a.gif

hello_html_m1860b1e9.gif

hello_html_m519d3.gif


hello_html_55b22e45.gif

hello_html_71c59765.gif

hello_html_42f4ccf6.gif

hello_html_1731b836.gif

hello_html_1d21e540.gif



Практическая работа № 11

«Построить график функции»

Цель работы: научиться исследованию функции по схеме и построению график функции на его основе.

Схема исследования функции:

  1. Найти область определения функции D(f).

  2. Если область определения симметрична относительно ОУ, то исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.

3.Найти промежутки знакопостоянства (если это не вызывает затруднений), решив уравнение

у = 0 и исследовать функцию на концах каждого промежутка.

4.Найти асимптоты графика.

5.Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.

  1. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

На основе исследования построить график.

Разбор трех вариантов.

Пример 1: Исследовать функцию hello_html_4d399643.gif и построить график.

Решение: Исследуем по схеме:

  1. Найдем область определения функции hello_html_m1c160099.gif, решив уравнение hello_html_m4d5205ed.gif hello_html_768e6b84.gif

hello_html_3efc756c.gif.

  1. Так как hello_html_m1c160099.gif симметрична относительно оси ОУ, то исследуем функцию на четность, нечетность: hello_html_7651d937.gif функция нечетная, график симметричен относительно точки (0; 0).

Непериодична.

  1. Найдем промежутки знакопостоянства, решив уравнение у = 0.

hello_html_2d1e3d8d.gifhello_html_51d695de.gifhello_html_m77a88c81.gifhello_html_51d695de.gifhello_html_m148f8e8a.gif.

hello_html_m1c160099.gif

hello_html_57c6a0d1.gif

hello_html_m27bab9d8.gifhello_html_3cfc2e9a.gif

hello_html_m5986b672.gif

hello_html_29f7269.gif

у

+

+

График расположен

ниже оси ОХ

выше оси ОХ

ниже оси ОХ

выше оси ОХ


  1. Найдем асимптоты графика:

а) вертикальные будем искать там, где функция неопределенна,

т.е. в точках x=1; x=hello_html_33c53a6f.gif. Для этого найдем односторонние пределы в этих точках.

hello_html_4f491740.gifhello_html_6af92c01.gifвертикальные асимптоты

б) наклонная асимптота: hello_html_32f62850.gif

hello_html_m66089661.gif; hello_html_mf7fee9.gif

hello_html_6d43117a.gif

hello_html_ma87750e.gifследовательно hello_html_272b2c8a.gif - наклонная асимптота.

  1. Исследовать функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума.

hello_html_m4d306bfa.gif

hello_html_m12652a43.gifhello_html_58309aa3.gif


hello_html_m1c160099.gif

hello_html_m7e2057da.gif

hello_html_1e96c7db.gif

hello_html_m63d4a977.gif

-1

hello_html_m4943b388.gif

0

hello_html_m7e67559c.gif

1

hello_html_m2dad6406.gif

hello_html_774005d3.gif

hello_html_m27a49d4c.gif

hello_html_m7a63dc0.gif

0

не

сущ.

0

не

сущ

0

hello_html_m26a30447.gif

т.

max

экст.

нет

экст.

нет

экст.

нет

т.

min


hello_html_m1eb3a4c4.gif

hello_html_55dde76c.gif.

7) hello_html_2a82189e.gif

=hello_html_17ceebd5.gifhello_html_m4d1b6daa.gifhello_html_m5830ac21.gif

=hello_html_m3b4fdd3.gif; hello_html_m547fc714.gif hello_html_m148f8e8a.gif


hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_m4c928426.gif

-1

hello_html_m522913f7.gif

0

hello_html_3b8e4426.gif

1

hello_html_2ce86d0a.gif

hello_html_206079c0.gif

не сущ.

0

не сущ.

hello_html_m26a30447.gif

hello_html_m70f94d88.gif

перег. нет

hello_html_m5c86915a.gif

перег.

hello_html_m70f94d88.gif

перег. нет

hello_html_m5c86915a.gif


Построим график по нашему исследованию.

hello_html_7d74d6ba.gif


Пример 2. Построить график функции hello_html_70b0a769.gif.

1) Найдем область определения функции:hello_html_m55874855.gif, кроме hello_html_mdd967f.gif;

т. е. hello_html_118f2cc2.gifhello_html_mb5d7c96.gifhello_html_m5c86915a.gifhello_html_498a1f16.gifhello_html_m5c86915a.gifhello_html_m3dc12d08.gif.

2) Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, то исследуем на четность/ нечетность:hello_html_m27d06b0e.gifhello_html_m5daf8c53.gif - функция четна, график симметричен относительно ОУ.

3) Найдем промежутки знакопостоянства. Решим уравнение у = 0.

hello_html_m2d2267d4.gifhello_html_m29aee778.gif

hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_m2d5f3434.gif

-3

(-3; -2)

-2

hello_html_74f07067.gif

2

hello_html_m55859db0.gif

3

hello_html_m2823194c.gif

hello_html_m26a30447.gif

0

Не существует

Не существует

0

График располо-

жен

Выше оси ОХ

Нуль функ-ции

Ниже оси Ох


Выше оси ОХ


Ниже оси Ох

Нуль функции

Выше оси ОХ


4) Найдем асимптоты:

а) вертикальные:

  • hello_html_m1b83e70f.gif;

hello_html_22bccad7.gifhello_html_2be9e3f8.gif- вертикальная асимптота.


  • hello_html_m50d4c298.gif

hello_html_61b0d351.gifhello_html_m1203d366.gif- вертикальная асимптота.

б) наклонную hello_html_cf3f69d.gif

hello_html_57916549.gif(старшая степень в знаменателе). Следовательно наклонной асимтоты нет.

В) горизонтальную

hello_html_m5bc315f7.gif( коэффициенты при старших степенях одинаковы)

hello_html_4d50717e.gifгоризонтальная асимтота.

Графики асимптот нанесем на чертеж, а также поведение графика левее и правее асимптот.


hello_html_6cbd2e8e.gif

5) Исследуем функцию на монотонность (возрастание, убывание) и точки экстремума. Вычислим производную, используя правило дифференцирования частного: hello_html_3141f655.gifhello_html_204dfe80.gifhello_html_d53c580.gif Найдем критические точки первой производной: hello_html_5c8c14e.gifhello_html_m75349f0a.gif


hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_mb5d7c96.gif

-2

hello_html_m50b0d75c.gif

0

hello_html_m5713e66f.gif

2

hello_html_m3dc12d08.gif

hello_html_m7a63dc0.gif

Не существует

0

Не существует

hello_html_m26a30447.gif


разрыв

max

2,25


разрыв

Найдем значение функции в точке максимума: hello_html_2d87604.gif

6) Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точку перегиба.

hello_html_7b8644a4.gifвынесем общий множитель числителя за скобки и сократим на него = hello_html_ad76ac.gifhello_html_m603d4f4e.gifhello_html_c76d843.gif. Найдем критические точки второй производной: hello_html_655060c2.gif, так как числитель не обращается в 0, то hello_html_m6acb9b0d.gif.

hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_mb5d7c96.gif

-2

hello_html_498a1f16.gif

2

hello_html_m3dc12d08.gif

hello_html_206079c0.gif

Не существует

Не существует

hello_html_m26a30447.gif

hello_html_m70f94d88.gif

Перегиба нет

hello_html_m5c86915a.gif

Перегиба нет

hello_html_m70f94d88.gif

7) Используя данные исследования, строим схематический график поведения функции.


hello_html_7f34542d.gif

Пример 3. Построить график функции hello_html_7a5fd2d6.gif.

Решение:

1) hello_html_43aebda.gif, hello_html_m21cefa7f.gif.

2) hello_html_m59ed2c04.gif ни четна, ни нечетна.

3) Непериодическая.

Нули функции: hello_html_m345c7d11.gif hello_html_m6ff77bd3.gif не пересекает ОУ.

hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_m252bcf1.gif

(0; 2)

hello_html_m3dc12d08.gif

hello_html_m26a30447.gif

Это промежутки знакопостоянства.

4) Найти асимптоты:

а) Найдем вертикальную асимптоту hello_html_m51056f96.gif вертикальная асимптота.

б) Найдем наклонную асимптоту hello_html_m30b31abb.gif наклонной асимптоты нет.

в) hello_html_2b9021f8.gifhello_html_m30b31abb.gif hello_html_3ccb29ab.gif горизонтальная асимптота.

5) hello_html_m13208ff8.gifhello_html_m1b41e697.gifhello_html_m48ba7386.gif

hello_html_m3ad8e655.gifhello_html_68af97ee.gifhello_html_m1b41e697.gifhello_html_5f9a5415.gif

hello_html_5f37df3c.gifhello_html_52fe250d.gifhello_html_m31e823ff.gifhello_html_2f2d3e60.gifhello_html_15e9a291.gif

hello_html_m3918aec7.gifhello_html_m6d180b58.gif.

hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_m252bcf1.gif

0

hello_html_m46461e7c.gif

4

hello_html_332fd417.gif

hello_html_m7a63dc0.gif

не сущ.

0

hello_html_206079c0.gif

экстр. нет

m.max hello_html_66112f98.gif


6) hello_html_m3de4abd1.gifhello_html_m2d17f7a2.gifhello_html_m5f358831.gifhello_html_23e84b5c.gif

hello_html_m547fc714.gifhello_html_4ca39814.gif

hello_html_m11f551b2.gif

hello_html_m252bcf1.gif

0

hello_html_m59fb3c6f.gif

6

hello_html_6a5c03a7.gif

hello_html_206079c0.gif

не сущ.

0

hello_html_m26a30447.gif

hello_html_m70f94d88.gif

перег. нет

hello_html_m70f94d88.gif

т. перег. hello_html_m57b34a96.gif

hello_html_m5c86915a.gif


hello_html_2423668d.gif



ВАРИАНТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ.

Задание.

Исследовать по схеме и построить график функции.


Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4


hello_html_m21a12c25.gif


hello_html_m26651f3e.gif

hello_html_m7e39f0b4.gif


hello_html_m718319bf.gif

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8


hello_html_7a9eb0b5.gif


hello_html_m55977ec.gif


hello_html_6d67b0c3.gif


hello_html_2145c386.gif

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12


hello_html_2b6eefb5.gif


hello_html_9510092.gif


hello_html_m6c153588.gif


hello_html_1e4124e9.gif

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

Вариант 16


hello_html_m447fabc4.gif


hello_html_m366f3695.gif


hello_html_m7939e56.gif


hello_html_mf286f6.gif

Вариант 17

Вариант 18

Вариант 19

Вариант 20


hello_html_2348fc5a.gif


hello_html_7f7eebe4.gif

hello_html_1809d53e.gif


hello_html_m718319bf.gif

Вариант 21

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24


hello_html_3b5a7a69.gif


hello_html_3e3a2914.gif


hello_html_7acfd9a.gif


hello_html_73b9cf39.gif

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

Вариант 28


hello_html_6037264c.gif


hello_html_m6633859c.gif


hello_html_m29c95dcd.gif


hello_html_77c80614.gif

Вариант 29

Вариант 30

Вариант 31

Вариант 32


hello_html_6a5ba23d.gif


hello_html_5740434a.gif


hello_html_1e7cce2.gif


hello_html_mf286f6.gif












ПРИЛОЖЕНИЯ.

Правила дифференцирования

hello_html_479cb346.gif

hello_html_867bd78.gif, в частности hello_html_3ba3275a.gif

hello_html_28bbfb34.gif, в частности hello_html_25b1eb5b.gif


Таблица производных

hello_html_m19bfbfa3.gif

hello_html_m6d8d7fa6.gif

hello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m3aadbaa7.gif

hello_html_2cc1ce9e.gif

hello_html_573f5fb5.gif


hello_html_137d474b.gif


hello_html_m44ad4932.gif

hello_html_m76f3199.gif

hello_html_1142ed51.gif

hello_html_72d65965.gifhello_html_m27bab9d8.gif

hello_html_1ee02d35.gif

hello_html_m36a9fe97.gif


hello_html_m266b5eb3.gif

hello_html_m1f2485a8.gif



hello_html_46e49dc9.gif

hello_html_m38f66ce3.gif


hello_html_mbdfce5d.gif

hello_html_6484d9bc.gif

hello_html_m172f09e1.gif

hello_html_m26156fdf.gif


hello_html_5356de39.gif

hello_html_1097e569.gif

hello_html_44a0e9f3.gif

hello_html_6fcbbaad.gif


hello_html_20c484bd.gif

hello_html_35c9ca6e.gif

hello_html_7e32c93.gif

hello_html_491053d4.gif


hello_html_m11db972d.gif

hello_html_m3d8b91ed.gif

hello_html_4233011.gif

hello_html_m60ab99d1.gif

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.


hello_html_28583a25.gif

hello_html_m2ad2ab33.gif

hello_html_m6345a60.gifhello_html_cbfd51a.gif

hello_html_m668f7cf.gif

hello_html_m61022e4c.gif

hello_html_m753a0536.gif

hello_html_78b1293b.gif



hello_html_m8ee01ee.gif

hello_html_7ce98a91.gif

hello_html_16d624f.gif

hello_html_3177f047.gif

hello_html_m6dc618aa.gif

hello_html_m35057108.gif

hello_html_56b130af.gif

hello_html_3610752c.gif

hello_html_24799a10.gif

hello_html_m44ebff63.gifhello_html_m27bab9d8.gif

hello_html_12c5fa41.gif

hello_html_53da9cda.gif

hello_html_m773995d6.gifhello_html_53797e00.gif

hello_html_47e5afbb.gif

hello_html_m838e7e8.gif

hello_html_2d61feba.gif

hello_html_m1063e9b1.gif

hello_html_57ed37cf.gif

hello_html_m110b2dd1.gifhello_html_11e108f7.gif

hello_html_m5f544b92.gif

hello_html_m56e0adf.gif




таблица





















































Список литературы:

Основная:


  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике; Учебное пособие для средних спец. учеб. Заведений, -10-е., перераб. –М.: Высшая школа, 2008 -495 с.

  2. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учебное пособие, 3-е издание стереотипное – М., Высшая школа, 2005.

  3. Богомолов Н.В. Математика; Учебник – М.: Дрофа, 2010



Дополнительные источники:

  1. Дадаян А.А. –Математика. -2е изд. –М.:ФОРУМ: ИНФРА –М. 2007 -544с.

  2. Дадаян А.А. –Сборник задач по математике. -2е изд. –М.:ФОРУМ: ИНФРА –М. 2007 -352с.


























ОГЛАВЛЕНИЕ:



Стр.

Пояснительная записка

3

Практическая работа № 1 «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах»

4

Практическая работа № 2 «Переход от алгебраической, тригонометрической и показательной формы комплексного числа и обратно»

8

Практическая работа № 3 «Векторы, операции над ними»

13

Практическая работа № 4 «Составление уравнений прямых, их построение»

18

Практическая работа №5 «Операция над матрицами. Вычисление определителей»

23

Практическая работа № 6 «Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы»

29

Практическая работа № 7 «Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера и методом Гаусса»

33

Практическая работа № 8 «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

37

Практическая работа № 9 «Вычисление производных сложных функций»

47

Практическая работа № 10 «Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя»

53

Практическая работа № 11 «Построение графиков функций»

58

Приложения.

66

Справочные материалы


Список литературы.

69

Оглавление

70




















Общая информация

Номер материала: ДВ-072472

Похожие материалы