МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.01 «Математика» для студентов 2курса специальности 23.02.04 «Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, дорожных, строительных машин и оборудования» (по отраслям)

ДЕПАРТАМЕНТ ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение Нижегородской области

«КРАСНОБАКОВСКИЙ ЛЕСНОЙ КОЛЛЕДЖ»

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по учебной работе

____________________О.Н.Спирин

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению практических работ

по дисциплине ЕН.01 «Математика»

для студентов 2курса специальности

23.02.04 «Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, дорожных, строительных машин и оборудования» (по отраслям)

РАССМОТРЕНО

на заседании предметно-цикловой комиссии

общеобразовательных дисциплин

протокол №___от « »___________2017г.

Председатель

________________И.А. Шарова

СОСТАВИЛА

Преподаватель

Г.А. Чудоквасова

р.п. Красные Баки

2017г

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

3

1. Требования к знаниям и умениям при выполнении практических работ

3

2. Правила выполнения практических работ

4

Практическая работа №1. Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов. Исследование функций на непрерывность.

6

Практическая работа № 2-3. Вычисление производной сложных функций.

8

Практическая работа № 4. Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов.

12

Практическая работа № 5. Определенный интеграл. Вычисление определенных интегралов. Геометрический смысл определенного интеграла.

16

Практическая работа № 6. Функции нескольких переменных. Приложение интеграла к решению прикладных задач. Частные производные. Решение прикладных задач. Нахождение частных производных.

20

Практическая работа № 7-8. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраическом виде, в тригонометрической и показательной форме.

22

Практическая работа №9. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

26

Практическая работа №10. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение прикладных задач

28

Практическая работа № 11. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.

32

Практическая работа №12. Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

35

Практическая работа № 13. Операции над множествами.

38

Практическая работа № 14. Построение графов.

42

Практическая работа № 15. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

46

Практическая работа № 16. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.

53

Практическая работа № 17. Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины заданной законом распределения.

56

Практическая работа № 18. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Оценка погрешности.

57

Практическая работа № 19. Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.

60

Практическая работа № 20. Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.

Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.

63

Критерии оценки практической работы.

65

Литература

67

Введение

В соответствии с ФГОС дисциплина ЕН.01 «Математика» по специальности 23.02.04 «Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, дорожных, строительных машин и оборудования» (по отраслям) является естественнонаучной дисциплиной, входит в математический и общий естественнонаучный цикл, формирует базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

Целью данных методических рекомендаций является организация преподавателем эффективной работы студентов на практических занятиях по дисциплине ЕН.01 «Математика» как средства, способствующего повышению качества образовательного процесса.

Задачи:

1. сформировать общие и профессиональные компетенции во время проведения практических работ через содержание представленных методических рекомендаций;

2. помочь преподавателю в подборе материала предлагаемого студентам для выполнения практических работ с целью закрепления и углубления знаний;

3. рационально организовать самостоятельную работу студентов по выполнению практических работ через распределение времени, затраченного на ее выполнение, предложенную форму контроля их знаний, критерии оценок.

Практическая работа является одним из видов учебных занятий студентов, выполняемых под руководством преподавателя.

Основные цели практических работ:

- систематизация и закрепление знаний и практических умений студентов полученных при изучении на уроке;

- углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию, дополнительную литературу;

- развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирование самостоятельного мышления;

- развитие исследовательских умений.

1. Требования к знаниям и умениям при выполнении практических работ

В результате работ, предусмотренных программой по данной специальности, студент должен знать:

- определение предела функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы;

- определение производной, таблицу производных, формулы производных суммы, произведения, частного;

- основные методы интегрирования, таблицу простейших интегралов, формулу Ньютона- Лейбница, свойства определенного и неопределенного интегралов;

- определение дифференциального уравнения, определение общего и частного решения дифференциального уравнения, методы решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка;

- основные элементы комбинаторики, классическое определение вероятности;

- способы задания случайной величины, определения непрерывной и дискретной случайной величин, закон распределения случайной величины;

- определение математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины, среднее квадратичное отклонение случайной величины.

уметь:

- вычислять пределы функций с использованием первого и второго замечательного пределов;

- вычислять производные сложных функций при данном значении аргумента;

- вычислять неопределенные интегралы;

- интегрировать простейшие определенные интегралы;

- решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка;

- применять формулы комбинаторики при решении задач, находить вероятность, используя классическое определение вероятностей;

- по заданному условию строить закон распределения дискретной случайной величины;

- находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по заданному закону ее распределения, находить среднее квадратичное отклонение случайной величины.

2. Правила выполнения практических работ.

В начале учебного года (на первом учебном занятии) преподаватель знакомит студентов со структурой построения всего курса дисциплины ЕН.01 «Математика», в которую должны быть органично вписаны практические работы. Каждый студент после такого занятия должен понимать, сколько практических работ ему предстоит выполнить в период изучения дисциплины и, каким образом он будет отчитываться перед преподавателем. Можно составить таблицу, по которой студенту легко будет ориентироваться по темам курса, видам практических работ, срокам выполнения, критериям оценивания.

Правила выполнения практических работ

1. Каждый студент после выполнения работы должен представить отчет о проделанной работе с анализом полученных результатов и выводом по работе.

2. Отчет о проделанной работе следует делать в тетради школьного формата в клетку. Содержание отчета указано в описании практической работы.

3. Таблицы и рисунки следует выполнять с помощью чертежных инструментов (линейки, циркуля и т. д.) карандашом с соблюдением ЕСКД.

4. Расчет следует проводить с точностью до двух значащих цифр. Вспомогательные расчеты можно выполнить на отдельных листах, а при необходимости на листах отчета.

5. Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное с преподавателем.

6. Критериями оценки результатов практической работы студентов являются:

• уровень усвоения студентом учебного материала;

• умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

• сформированность общеучебных умений;

• обоснованность и четкость изложения материала;

• уровень оформления работы.

Зачет по практическим работам студент получает при условии выполнения всех предусмотренной программой работ, после сдачи отчетов по работам при удовлетворительных оценках за опросы и контрольные вопросы во время практических занятий.

На выполнение практических работ в курсе изучения дисциплины отводится 40 часов. Методические рекомендации помогут студентам целенаправленно изучать материал по теме, определять свой уровень знаний и умений при выполнении практической работы.

3. Основная часть:

Практическая работа №1.

Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов. Исследование функций на непрерывность.

1. Цель работы: Научиться находить пределы функции, используя основные теоремы о пределах, теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях и связи между ними, замечательные пределы.

2. Оборудование: Инструкционные карты

3. Теоретические сведения:

Пусть функция y= имеет своим пределом число A: , причем изменяется в зависимости от изменения переменной x.

Определение: Число A называется пределом функции f(x) в точке и обозначается , если для любого числа ℰ существует число δ такое, что для всех x, удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство ℰ.

Теорема 1. Если существует пределы функций f(x) и φ(x) при x, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и φ(x):

Теорема 2. Если существуют пределы функций f(x) и φ(x) при x, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и φ(x):

Теорема 3. Если существуют пределы функций f(x) и φ(x) при x, предел функции φ(x)отличен от нуля, то существует также предел отношения , равный отношению пределов функций f(x) и φ(x):

Следствие 1: Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Следствие 2:Если n- натуральное число, то справедливы соотношения:

,

Следствие 3: Предел многочлена (целой рациональной функции)

при равен значению этого многочлена при x=a, т.е.

Следствие 4: Предел дробно- рациональной функции

при равен значению этой функции при x=c, если с принадлежит области определения этой функции, т.е.

Замечательные пределы:

1. Задания:

Вычислить пределы

Вариант № 1

Вариант №2

Вариант №3

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы

1. Какое число называют пределом функции f(x)?

2. Сформулировать теоремы о пределах функции.

3. Выписать два замечательных предела.

Практическая работа № 2-3.

Вычисление производной сложных функций.

1. Цель работы: Научиться находить производные сложных функций и вычислять их значения в заданной точке, исследовать функцию и по результатам исследования строить график функции.

2. Оборудование:

Таблица производных, инструкционные карты.

2. Теоретические сведения:

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке, x – точка этого промежутка и число таково, что тоже принадлежит этому промежутку.

Определение: Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Функции, которые в общем виде могут быть представлены следующим образом: , , называются сложными функциями или функциями от функции.

Производная сложной функции. Если сложная функция, то

Если y является дифференцируемой функцией от u, а u является дифференцируемой функцией от x, то производная y по x равна произведению производной функции y по u на производную функции u по x.

Основные формулы дифференцирования:

1. (С- постоянная)

3. (u, v,w- функции от x)

24.

Схема исследования функций:

• Найти область определения функции.

• Установить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.

• Найти точки разрыва и исследовать пределы функции в этих точках.

• Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

• Исследовать интервалы возрастания и убывания функции.

Для исследования функции на возрастание и убывание находят производную ƒ΄(х) функции ƒ(х) определяют ее знак. (Если ƒ΄(х) 0, то ƒ(х) возрастает; если ƒ΄(х) 0, то ƒ(х) убывает)

• Найти точки перегиба.

• Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость.

• Найти точки пересечения с осями координат.

• Определить промежутки знакопостоянства функции, т.е. промежутки, на которых ƒ(х) 0 и ƒ(х) 0.

• Построить график заданной функции.

Пример 1.Исследовать функцию у = и построить ее график. Решение. Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки х = 1, поэтому, D(у) = (-1) (1; +). * Так как у (-х) = = - , то функция ни четная и ни нечетная. * Так как у(х + Т) = = ни при каком Т 0, то данная функция не периодическая. * Строим прямую х = 1. В случае, когда х приближается к 1 слева, значения функции стремятся к – , а в случае, когда х приближается к 1 справа, значения функции стремятся к + . Так как у = + = х + 1 + , то при |х| график этой функции приближается к графику функции у_{1 =} х +1. * Находим производную у΄ = = и из уравнения - 2х – 3 = 0 определяем критические точки: х₁ = - 1 и х₂ = 3. Так как для точек интервала ( - ; - 1) производная имеет знак «+», а для точек интервала ( - 1; 1) производная имеет знак «-», то точка х₁ = -1 является точкой максимума функции. Аналогично убеждаемся, что точка х₂ = 3 является точкой минимума функции. * Так как уравнение х² + 3 = 0 не имеет действительных корней, то график функции не пересекает ось 0х. * На интервале (- ; - 1) функция возрастает, на интервале ( - 1; 1) – убывает, на интервале (1; 3) вновь убывает, на интервале (3; + ) – возрастает. Найдем точки графика при х₁ = - 1 и х₂ = 3; А ( - 1; - 2); В (3; 6). * Найдем точки пересечения графика функции с осью 0у: у(0) = - 3. * Построим график исходной функции.

у

6 Ву = х + 1

-1 1 3 Х

А -2

-3

х = 1

Задания:

Вычислить f’(x) при данных значениях x:

Вариант № 1

Вариант №2

Вариант №3

Исследуйте функцию и постройте ее график

вариант

задание

вариант

задание

1

14

2

15

3

16

4

17

5

18

6

19

7

20

8

21

9

22

10

23

11

24

12

25

13

26

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6 . Контрольные вопросы:

1. Сформулировать определение производной.

2. Какая функция называется сложной?

3. Чему равна производная сложной функции?

4. Схема исследования функции при построении графика.

Практическая работа № 4.

Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов.

1. Цель работы: Научиться вычислять неопределенные интегралы непосредственным интегрированием, методом замены переменной, интегрированием по частям.

2. Оборудование: Таблица неопределенных интегралов, инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

Определение: Дифференцируемая функция F(x), a<x<b называется первообразной для функции f(x) на интервале a<x<b, если F`(x)=f(x) для каждого a<x<b.

Для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно. Если F(x)- первообразная для f(x) на некотором промежутке, то и функция F(x)+C, где C- любая постоянная, также является первообразной для функции f(x) на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для f(x) в данном промежутке, может быть записана в виде F(x)+C.

Определение: Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на интервале a<x<b называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут . Здесь f(x)dx- подынтегральное выражение; f(x)- подынтегральная функция; x- переменная интегрирования; С- произвольная постоянная.

Если функция f(x) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, то есть :

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

Основные формулы интегрирования

Пусть функция u = u(х) и v = v(х) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: = uv - .

1. Метод подстановки или метод введения новой переменной.

Это самый эффективный прием сведения неопределенного интеграла к табличному виду.

Пример1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Положим х + 1 = t, тогда х = t – 1; = ; = . Продифференцировав х + 1 = t, получим dх=dt. = = = - 2 + = - 2 +=

- 2 + = + - + С = + - + С.

2. . Метод интегрирования по частям. Пусть функция u = u(х) и v = v(х) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: = uv - .

Пример 2.Найти .

Решение. Обозначим u = ; dv = dх, = ,т.е. v = х; du = ()' dх. По формуле (1) получаем: = х – = х – = х - х + С = х ()+ С.

4 . Задания

Вычислить неопределенные интегралы

Вариант №1.

Вариант №2.

Вариант №3.

A

Б

1

_{1 1}

₂

₃

₄

₅

₆

₇

₈

₉

₁₀

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6 . Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется первообразной?

2. Что называют неопределенным интегралом?

3. Какая функция называется интегрируемой на промежутке?

4. Перечислить свойства неопределенного интеграла.

5. Формула интегрирования по частям.

6. В чем заключается метод подстановки для вычисления неопределенного интеграла?

Практическая работа № 5.

Определенный интеграл. Вычисление определенных интегралов. Геометрический смысл определенного интеграла.

1. Цель работы: Научиться вычислять определенные интегралы с помощью формулы Ньютона – Лейбница, находить площади плоских фигур

2. Оборудование: Таблица неопределенных интегралов, инструкционные карты.

1. 1. Теоретические сведения:

Формула Ньютона- Лейбница:

,4

То есть определенный интеграл равен разности значений любой5 первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования(число a- нижний предел интегрирования, число b- верхний предел интегрирования, отрезок a≤x≤b- отрезок интегрирования )

Порядок вычисления определенного интеграла:

1. найти неопределенный интеграл от данной функции;

2. в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний пределы интегрирования;

3. из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

, гдеa<c<b

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

Основные формулы интегрирования

4 . Задания

1. Вычислить определенные интегралы

Вариант №1.

3. dx

4. dx

Вариант №2.

3. dx

4. dx

Вариант №3.

3. dx

4. dx

2. Найти площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке.

1

6

11

2

7

12

3

8

13

4

9

14

5

10

15

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6 . Контрольные вопросы:

1. Записать формулу Ньютона- Лейбница.

2. Сформулировать порядок вычисления определенного интеграла.

3. Сформулировать основные свойства определенного интеграла.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6

Нахождение частных производных.

1. Цель работы: Научиться вычислять частные производные функций нескольких переменных.

2. Оборудование: инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const),

 

(где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной, считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. Имеем

(y фиксировано);

(x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

4 . Задания

Вычислить частные производные:

вариант

задание №1

задание №2

задание №3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

Практическая работа № 7-8.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраическом виде, в тригонометрической и показательной форме.

1. Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.

2.Оборудование: инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

Комплексное число – это выражение вида

, (1.1)

где x, y – вещественные числа, а – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью (). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Числа и называются комплексно – сопряженными.

Следующая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа:

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами и :

1) (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);

2) (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );

3) (эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому , .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

или (1.3.)

Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме _{, указать модуль и аргумент комплексного числа.}

Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

. (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) ; b) .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: ; и , т.е. (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, и (в силу (1.4)). Учитывая что и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

4. Задания.

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) ; 2) ; 3) ; 4) _{5) 6) 7)} .

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) 7)

Задания.

1. Найдите сумму и произведение комплексных чисел и если:

2. Найдите разность и частное комплексных чисел и , если:

3. Выполните действия

4. Записать комплексное число Z в алгебраической форме:

1) ,

2) ,

5. Записать число Z в тригонометрической форме:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

Практическая работа №9.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Цель работы: Научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Оборудование: Таблица неопределенных интегралов, инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит только от одного независимого переменного.

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения , где y=f(x)- искомая неизвестная функция, ее производная по x, а F- заданная функция переменных x,y, .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от x и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по x.

Общее решение, записанное в неявном виде Φ(x,y,C)=0 называется общим интегралом.

Частным решением уравнения , называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С :Φ(x,y,)=0

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид такого уравнения: , где , - функции только от x, , - функции только от y.

Поделив обе части уравнения на произведение ≠0, получим уравнение с разделяющимися переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид

, где f(x) и q(x)- заданные функции от x.

Основные формулы интегрирования

4 . Задания

Найти общее и частное решения дифференциальных уравнений

Вариант №1.

Вариант №2.

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6 . Контрольные вопросы:

1. Какое уравнение называют дифференциальным?

2. Какое уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка?

3. Что называют общим решением дифференциального уравнения, частным решением?

4. Записать вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Практическая работа №10.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Цель работы: научиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

2. Оборудование: Таблица неопределенных интегралов, инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

В теории  и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

, где  и  – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где  и  – константы, а  – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция  может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно: 
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции  ничего не записываем.

 – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. 
Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будет использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение  имеет два различных действительных корня ,  (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так: 
, где  – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: 

Пример 1.

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

, 

 

Ответ: общее решение: 

Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если характеристическое уравнение  имеет два кратных (совпавших) действительных корня  (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: 
, где  – константы. 
Вместо  в формуле можно было нарисовать , корни всё равно одинаковы.

Если оба корня равны нулю , то общее решение опять же упрощается: . Кстати,  является общим решением того самого примитивного уравнения , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение:  – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни .

Пример 2.

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Здесь можно вычислить дискриминант, получить ноль и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу сокращенного умножения:

Получены два кратных действительных корня 

Ответ: общее решение: 

Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни

Если характеристическое уравнение  имеет сопряженные комплексные корни ,  (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: 
, где  – константы.
Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: 

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:

Пример 3.

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:


 – получены сопряженные комплексные корни

Ответ: общее решение: 

Пример 4.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , 

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

, 
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:

Алгоритм нахождения частного решения следующий:

Сначала используем начальное условие :

Согласно начальному условию, получаем первое уравнение:  или просто 

Далее берём наше общее решение  и находим производную:

Используем второе начальное условие :

Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение:  или просто 

Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

Подставим найденные значения констант  в общее решение :

Ответ: частное решение: 

4. Задания:
Вариант 1

1. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 5

1. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Вариант 6

1. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

Задания к практической работе.

1 y ' '4 y '5y  0 ,

2 y ' '2 y '2 y  0 ,

3 y ' 'y '  0 ,

при у (0) = – 3; у' (0) = 0

при у (0) = 1; у' (0) = 1

при у (0) = 0; у'

(0)

= 1

4 y ' '25y '  0 ,

5 y ' '12 y '35y  0 ,

6 y ''2 y ' 0 ,

при у (1) =20; у' (1) = 10

при у (1) = 10; у' (1) = 2

при у (0) = 0; у'

(0)

= 8

7 y ''3y ' 0 ,

8 y ''4 y '5y  0 ,

9 y ''3y '2 y  0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

1

при у (0) = – 3; у' (0) = 0

при у (0) = 1; у'

(0)

= 1

10

y ''3y ' 0 ,

11

y ''25y  0 ,

12

y ''4 y '4 y  0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

6

при у (0) =10; у' (0) = 10

при у (0) = 4; у' (0)

= 2

13

y ''4 y '13y  0 ,

14

y ''5y ' 0 ,

15

y ''5y '6 y  0 ,

при у (0) = 1; у' (0) =

12

при у (0) = 0; у' (0) = 1

при у (0) = 1; у'

(0)

= – 6

16

y ''10 y '25y  0 ,

17

y ' '4 y '  0 ,

18

y ''9 y ' 0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

1

при у (0) = 0; у' (0) = 8

при у (1) = 1; у'

(1)

= – 6

19

y ''y '2 y  0 ,

20

y ''7 y '6 y  0 ,

21

y ''7 y ' 0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

3

при у (0) = 0; у' (0) = 5

при у (0) = 3; у'

(0)

= 14

22

y ''6 y ' 0 ,

23

y ''6 y '10 y  0 ,

24

y ''8y ' 0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

3

при у (0) = 2; у' (0) = 1

при у (0) = 0; у'

(0)

= 8

25

2 y ''y ' 0 ,

26

y ''8y '16 y  0 ,

27

y ''9 y '20 y  0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

1

при у (0) = 2; у' (0) = 5

при у (0) = 1; у'

(0)

= 7

28

4 y ''y ' 0 ,

29

5y ''y ' 0 ,

30

y ''3y '10 y  0 ,

при у (0) = 0; у' (0) =

8

при у (0) =1; у' (0) = 1

при у (0) = 1; у' (0)

= 1

31

y ' '4 y '5y  0 ,

32

y ' '2 y '2 y  0 ,

33

y ' 'y '  0 ,

при у (0) = – 3; у' (0) = 0

при у (0) = 1; у' (0) = 1

при у (0) = 0; у'

(0)

= 1

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2.Цель работы.

3.Задания с решениями.

4.Вывод по работе.

6 . Контрольные вопросы:

1 Что такое линейное дифференциальное уравнение второго порядка?

2 Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением?

3 Что такое характеристическое уравнение?

4 Как связано общее решение однородного дифференциального уравнения с корнями характеристического уравнения?

Практическая работа № 11.

Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.

1. Цель: отработка навыков нахождения области определения, частных производных функции нескольких переменных.

2.Оборудование: инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

Дифференциальные уравнения – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Общий вид дифференциального уравнения:

F(x,y,y’,y ,,…)=0

где x – независимая переменная, y – неизвестная функция, y, - её производная первого порядка и т.д.

Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это уравнение обращает его тождество.

Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных определенных значениях произвольных постоянных C

Для нахождения частных решений задают начальные условия.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение.

Интегральная кривая - график y=F(x), построенный на плоскости xOy, являющийся решением дифференциального уравнения.

Общему решению y=F(x,C) соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.

Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную то решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и единственно т.е. через точку (x0,у0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Виды дифференциальных уравнений:

▫ Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения, в которых одна независимая переменная

▫ Дифференциальные уравнения в частных производных - уравнения, в которых независимых переменных две и более

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где  — независимые переменные, а  — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие .

Записывают:

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

4. Задания.

1. Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

2. Найти частные производные , от функции .

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

Практическая работа № 12.

Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

1. Цель работы: Научиться исследовать ряд на сходимость при помощи признака Даламбера, разлагать функции в ряд Маклорена.

2. Оборудование: Таблица производных, инструкционные карты.

3. Теоретические сведения:

Определение: Числовым рядом называется выражение вида , где - числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе. Числа могут быть действительными или комплексными, тогда ряды называются действительными или комплексными.

Сокращенное обозначение ряда через знак суммирования ∑:

, где числа называются членами ряда; - общим членом ряда. Индекс n может принимать значения 1, 2, … или

n= 0, 1, 2, …

Определение: Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел. Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся ( он не имеет суммы).

Свойства сходящихся рядов:

1. Если ряд сходится и его сумма равняется S, то ряд - также сходится и его сумма равна cS.

2. Если ряды и сходятся и их суммы равны и , то каждый из двух рядов сходится и сумма каждого равна .

Необходимое условие сходимости ряда:

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть если , то

Если не равен нулю или этот предел не существует, то ряд расходится. Необходимое условие сходимости ряда не является достаточным.

Определение: Положительным называется ряд, все члены которого неотрицательны. Частичные суммы положительного ряда имеют предел- конечный или бесконечный. В первом случае ряд сходится, во втором расходится. Знакопеременным называется ряд, который содержит как положительные, так и отрицательные члены. Знакочередующимся называется ряд, если его члены поочередно положительны и отрицательны.

Признак Даламбера для положительного ряда

Пусть дан положительный ряд . найдем отношение последующего члена к предыдущему при

, тогда

1. Если , то ряд сходится;

2. Если , то ряд расходится;

3. Если , то ряд может сходиться, а может расходиться.

Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

, где называются коэффициентами степенного ряда.

Определение: Если функция разлагается в степенной ряд

, то ее можно представить в виде:

,

который называется рядом Маклорена.

Основные формулы дифференцирования:

1. (С- постоянная)

3. (u, v,w- функции от x)

4 . Задания

Вариант №1.

Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера

Разложить в ряд по степеням x следующие функции:

Вариант №2.

Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера

Разложить в ряд по степеням x следующие функции:

5 . Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6.Контрольные вопросы:

1. Сформулировать определение числового ряда.

2. Какие ряды называются сходящимися, расходящимися.

3. Сформулировать основные свойства сходящихся рядов.

4. Какое условие является необходимым для сходимости ряда?

5. Какие ряды называются положительными, знакопеременными, знакочередующимися?

6. Сформулировать признак Даламбера для положительного ряда.

7. Какой ряд называется степенным?

8. Какой ряд называется рядом Маклорена?

Практическая работа № 13.

Операции над множествами.

1 Цель работы: сформировать умение выполнять операции с множествами, представлять в виде диаграммы результат операции между множествами.

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

Множеством называют совокупность, набор каких- либо объектов (предметов). Предметы, составляющие множество, называются элементами. Обозначение множеств: A, B, C,…, обозначение элементов множеств: a,b,c,… Вхождение элемента во множество A обозначается .

Если a не принадлежит множеству А, обозначается .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называются пустым и обозначается символом .

Способы задания множества:

1. Простое перечисление

2. Указание характеристик свойств множества

Отношения множеств

1. A=B означает, что множества А и В состоят из одних и тех же элементов.

2. Запись А В означает, что каждый элемент множества А является в тоже время элементом множества В или А подмножество В.

3. Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество и само множество А.

4. Если А В и В А, то А=В.

5. Если Е определенное множество, содержащее в себе другие множества, то множество Е называется универсальным.

6. Если А некоторое подмножество универсального множества Е, тогда множество

(не А), состоящее из всех элементов множества Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А.

Перечисленные отношения наглядно иллюстрируются с помощ0ью диаграмм Эйлера- Венна- замкнутых линий, внутри которых расположены элементы данного множества, а снаружи- элементы, не принадлежащие этому множеству.

Операции над множествами

1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А или множеству В. Обозначение: С=АВ.

2. Пересечением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В. Обозначение: С=А В.

3. Разностью двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементоа А, не входящих в В. Обозначение: С=АВ.

4. Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

5. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).

6. Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

7. Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

8. Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

9. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

10. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

11. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

12. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

13. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

14. Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

15. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

16. Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

17. Свойства:

18. Свойства перестановочности:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

19. Сочетательное свойство:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

4. Задания:

Вариант № 1

1. Найти , , АВ, А В, АВ, если:

А={1,2,3,4}, В={1,4,6,8,10}

А={a,b,c,d}, В={e,f,b,g}

2. Указать все подмножества данного множества: {1,2,3,4}

3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества:

1. 1. 1. Множество всех треугольников,

      2. Множество тупоугольных треугольников

      3. Правильных,

      4. Остроугольных,

      5. Равнобедренных,

      6. Прямоугольных

4.Проиллюстрировать на диаграмме Эйлера- Венна:

А\(ВС)=(А\В)(А\С)

5. Каждая из 30 невест красива, воспитана или умна. Воспитанных невест- 21, красивых- 18, умных- 15, красивых и воспитанных- 11, умных и воспитанных- 9, умных и красивых- 7. Сколько невест обладает всеми тремя указанными качествами?

Вариант №2

1. Найти , , АВ, А В, АВ, если:

А={1,5,3,4}, В={1,8,6,7,10}

А={a,b,c,d}, В={e,f,с,g}

2. Указать все подмножества данного множества: {1,5,7,4}

3. Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества:

1. 1. 1. Множество квадратов,

      2. Четырехугольников,

      3. Трапеций ,

      4. Ромбов,

      5. Прямоугольников ,

      6. Выпуклых четырехугольников,

      7. параллелограммов

4.Проиллюстрировать на диаграмме Эйлера- Венна:

А\(ВС)=(А\В)(А\С)

5.Множество М состоит из m лиц, владеющих хотя бы одним из трех языков- английским, французским, немецким. Известно, что английским языком владеют 70 лиц, французским- 65, немецким- 50, английским и французским- 40, английским и немецким- 30, французским и немецким- 20, а всемя тремя языками владеют 5 лиц. Найти m.

Задание 1. 1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2ⁿ+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

Задание 2. 1) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

2) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы

1. Что называют множеством?

2. Какое множество называется пустым?

3. Перечислить операции над множествами.

Практическая работа № 14.

Построение графов.

1 Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме: «Основы дискретной математики».

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

Граф- это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.

Если ребра ориентированы, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.

Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным.

Петля- это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают.

Простой граф- граф без кратных ребер и петель.

Степень вершины- это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество остальных прилегающих к ней ребер.

Пустым называется граф без ребер.

Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.

Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей.

Маршрут в графе путь, ориентацией дуг которого можно пренебречь.

Цепь- маршрут, в котором все ребра попарно различны.

Цикл- замкнутый маршрут, являющийся цепью.

Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.

Дерево — это связный граф без циклов.

4. Задание: Выполните задание по теме: Граф и его элементы.

А) Запишите количество ребер и вершин графа;

В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа, представленного на рисунке;

С) Запишите номера вершин, имеющих одинаковую степень:

1.

4.

2.

5.

3.

6.

Задание: Выполните задание по теме: Граф и его элементы.

Граф задан диаграммой.

А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV₂ в вершину V₅. Составьте простую цепь, соединяющую эти вершины.

В) Постройте простой цикл, содержащий вершину V₄.

С) Определите вид заданного графа

7.

10.

8.

11.

9.

12.

Задание: Выполните задание по теме: Понятие дерева в теории графов:

13.

Сколько различных способов обедов можно выбрать в вагоне-ресторане, если бы на каждый обед выбирать одно холодное блюдо, одно первое, одно второе, одно третье? В меню на этот раз были выставлены студень, красная икра, свежепосоленная рыба; на первое – уха из стерляди, щи с грибами; на второе – осетрина жаренная, теленок жареный на вертеле; на третье – арбузы, груши.

16.

Перечислите все возможные сочетания деловой одежды, если у вас в гардеробе брючный костюм черного цвета, белая и голубая блузки, синяя юбка и серый джемпер.

14.

Изобразите дерево возможных исходов при троекратном бросании монеты.

17.

Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 5×10 клеток. Какое наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?

15.

Нарисуйте граф с семью вершинами, в котором для любых двух вершин существует только один связывающий их путь.

18.

Рассади участников «Большой восьмерки» за круглым столом всеми возможными способами.

Задание: Графы и логические задачи:

19.

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что:

• Вода и молоко не в бутылке.

• Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом.

• В банке не лимонад и не вода.

• Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится, какая из жидкостей?

22.

Какое наименьшее число переливаний необходимо для того, чтобы с помощью 7-и 11-литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 литра?

20.

На улице, встав в кружок, беседуют Аня, Валя, Галя и Надя.

• Девочка в зеленом платье – не Аня и не Валя – стоит между девочкой в голубом платье и Надей.

• Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какого цвета платье у каждой из девочек?

23.

В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Зовут их Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори, а сумма лет Ани и Веры делится на три?

21.

В Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Москвич сидел между Томичем и Витей, санкт-петербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидел пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, Юра не бывал в Москве и Томске, а Томич с Толей регулярно переписываются. Определите, кто в каком городе живет.

24.

Беседуют трое друзей – Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас – блондин, другой – брюнет, третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?

Задание: Выполните задание по теме: Сетевые графы: В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями. Числа, стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями. Если пересечение строки и столбца пусто, то станции не являются соседними. Укажите схему, соответствующую таблице.

25.

A

B

C

D

E

F

A

5

B

5

9

3

8

C

9

4

D

3

2

E

8

4

2

7

F

7

28.

A

B

C

D

E

F

A

2

B

2

3

2

3

C

3

2

D

2

1

E

3

2

1

6

F

6

26.

А

В

С

D

А

4

5

В

4

3

6

С

3

D

5

6

29.

A

B

C

D

E

F

A

4

B

4

6

3

6

C

6

4

D

3

2

E

6

4

2

5

F

5

27.

А

В

С

D

Е

А

1

4

1

В

1

3

С

4

2

D

3

E

1

2

30.

А

В

С

D

Е

А

3

1

В

4

1

С

3

4

2

D

1

E

1

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2.Цель работы.

3.Задания с решениями.

4.Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы:

1. Дайте определение графа.

2. Сформулируйте понятие смежных ребер.

3. Дайте определение правильного графа.

4. Запишите формулу суммы степеней графа.

5. Дайте определение изолированной вершины графа.

Практическая работа № 15.

Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

1 Цель работы: научиться решать задачи с применением формул комбинаторики; находить вероятность в задачах, используя классическое определение вероятностей.

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

Определение: Произведением 1*2*3*4*5*…*n первых натуральных чисел обозначается знаком n! (читается «n- факториал»), причем формально полагают 0!=1, 1!=1.

Определение: Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их следования.

Определение: Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Определение: Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события A, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Аксиомы вероятностей:

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Если события А₁, А₂ … попарно несовместны, то Р(А₁+А₂+…)=Р(А₁)+Р(А₂)+…

Свойства вероятностей:

Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.

Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.

Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 3: Вероятность поражения одной мишени – 0,7, а другой – 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.

Решение: Т.к. события совместны, то

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р()=1

Условная вероятность – вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке – 4 красных и 6 черных, во второй – 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.

Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Тогда вероятность того, что обе ручки красные:

Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н₁, Н₂, …, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и , то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй – 30 ламп и в третьей – 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй – 0,8 и для третьей партии – 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?

Решение: Пусть событие А – наудачу взятая лампа проработает заданное время.

Тогда, пусть Н₁ – лампа из первой партии, Н₂ – лампа из второй партии и Н₃ – лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н₁ – лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н₂ – лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н₃ – лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности

Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии

Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение: Пусть событие А – извлекается белый шар.

Тогда, пусть Н₁ – шар из первой урны, Н₂ – шар из второй урны и Н₃ – шар из третьей урны. Тогда событие А/Н₁ – белый шар из первой урны, А/Н₂ – белый шар из второй урны и А/Н₃ – белый шар из третьей урны. Найдем вероятности

Формула Бернулли

1. Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли

Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.

Решение:

2. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

_{Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?}

Решение:

3. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m₁ и не более m₂ раз вычисляется по формуле

_{Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.}

Решение:

4. Наивероятнейшее значение m₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.

Решение:

4. Задание 1. Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:

1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?

7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.

9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.

10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.

Задание 2. Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:

1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?

2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.

4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй – только синие и в третьей – только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?

5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?

Задание 3. Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:

1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.

3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?

4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?

5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.

7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

11. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Задание 4.

Вариант № 1

1. Вычислите:

А) 7! – 6!

Б) 10! + 3!

В)

Г)

Д)

Е)

2. Решите уравнение:

3. Сколькими способами можно рассадить 10 человек на 10 стульях?

4. Сколькими возможными способами можно распределить между шестью лицами две разные путевки в санаторий?

5. Сколькими способами можно присудить семи лицам три одинаковые премии?

6. В ящике из 180 деталей 30 бракованных. Вынимают наугад 1 деталь. Чему равна вероятность того, что эта деталь окажется бракованной?

7. В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта.

Вариант №2

1. Вычислите:

А) 8! – 5!

Б) 6! + 7!

В)

Г)

Д)

Е)

2. Решите уравнение:

3. Сколькими способами можно рассадить 6 человек на 6 стульях?

4. Сколькими способами можно присудить семи лицам три премии разного значения (первую, вторую и третью)?

5. Сколькими возможными способами можно распределить между шестью различными лицами две одинаковые путевки в санаторий?

6. В ящике из 240 яблок 60 красного цвета. Вынимают наугад одно яблоко. Какова вероятность того, что это яблоко окажется красного цвета?

7. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные?

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы

1. Какие соединения называются размещениями, перестановками, сочетаниями?

2. Сформулируйте классическое определение вероятности.

Практическая работа № 16.

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.

1 Цель работы: научиться по заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Величина X считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина X может принять эти значения. Указанный перечень возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы:

X

…

p

…

Случайная величина X может принять значение с вероятностью (i=1,2,3,…,n).

Так как в результате испытания величина X всегда примет одно из значений , то

Пример 1: Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

х_i

2

5

8

9

р_i

0,1

0,4

0,3

0,2

Решение:

Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.

Решение:

4.Задания:

Вариант № 1

1. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

х

1

2

3

р

0,3

0,2

0,5

Найти M(X), D(X),

2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

х

2

4

6

8

р

0,4

0,2

0,1

0,3

у

0

1

2

р

0,5

0,2

0,3

Z=2X+3Y

Найти M(Z), D(Z).

3. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти дисперсию следующих величин

А) Х-1

Б) -2Х

В) 3Х+6

Вариант №2

1. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:

х

2

3

5

р

0,3

0,1

0,6

Найти M(X), D(X),

2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

х

2

8

7

4

р

0,3

0,1

0,4

0,2

у

5

1

2

р

0,3

0,1

0,6

Z=3X+5Y

Найти M(Z), D(Z).

3. Дисперсия случайной величины Х равна 6. Найти дисперсию следующих величин

А) Х+2

Б) -2Х+1

В) 4Х+5

Задание 2. Найти числовые характеристики дискретных случайных величин:

1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

х_i

3

5

2

р_i

0,1

0,6

0,3

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

х_i

1

2

5

р_i

0,3

0,5

0,2

4.Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

х_i

2

3

5

р_i

0,1

0,6

0,3

5. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы

1. Какая величина называется случайной?

2. Какая случайная величина называется дискретной?

3. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?

Практическая работа № 17.

Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины заданной законом распределения.

1 Цель работы: научиться находить математическое ожидание, дисперсию случайной величины по заданному закону ее распределения, среднее квадратичное отклонение случайной величины.

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

К числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.

Определение: Математическое ожидание (М) дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений, умноженных на их вероятности.

Свойства математического ожидания:

1. 1. М(С)=С, с- const

   2. М(СХ)=СМ(Х)

   3. М(XV)=M(X)*M(V)

   4. M(X+V)=M(X)+M(V)

   5. M(X-V)=M(X)-M(V)

Определение: Дисперсией (рассеянием) D(X) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства дисперсии:

Определение: Средним квадратичным отклонением ()случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии.

4.Задания:

Вариант № 1

1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100 000 р., 10 выигрышей по 10 000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

2. Пусть случайная величина X- число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения случайной величины X.

3. В издательстве выпущено 100 книг по овцеводству. Лотереей разыграны одна книга в 500 р. и 10 по 10 р. Найти закон распределения случайной величины X- возможного выигрыша одной книги.

Вариант №2

1. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появления шестерки.

2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 5000 р. и 10 выигрышей по 100 р. найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

3. На фабрике изготовлено 100 холодильников. В лотерее разыгран один холодильник в 10 000 р. и 10 холодильников в 5 000 р. Найти закон распределения случайной величины X- возможного выигрыша одного холодильника.

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2. Цель работы.

3.Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы

1. 1. Дать определение математическому ожиданию.

2.Дать определение дисперсии.

3. Дать определение среднему квадратичному отклонению

Практическая работа № 18.

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Оценка погрешности.

1.Цель работы: Изучить вычисление определенных интегралов численными методами, развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

Значения у₀, у₁,..., у_n находят из равенств , к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла нужно:

• разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками х₀= а, х₁, х₂,..., х _{n -1}, х _n = b ;

• вычислить значения подынтегральной функции  в точках деления, т.е. найти у ₀ = f (x₀), у ₁ = f (x₁), у ₂ = f (x₂), у _{n -1} = f (x_n-1), у _n = f (x_n) ;

• воспользоваться одной из приближённых формул.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Алгоритм применения метода прямоугольников для нахождения приближённого значения интеграла

Пример применения метода прямоугольников.

1. Разобьём отрезок [a,b] на n равных частей.

1. Пусть n=6.

2. Найдем
   
   

2.

3. Найдем точки деления:

х _k = a + k   х

k=0,1,…,n

3.

4. Найдем значение функции в точках деления:

у ₀ = f(x₀), у ₁ = f(x₁), у ₂ = f(x₂),

 у _{n -1} = f (x_n-1), у _n = f (x_n);

4.

5. Подставим полученные значения в формулу:

5.

6. Вычислим точное значение интеграла.

6.

7. Вычислим погрешность:

7.

4. Задания:

1. 1. 1. 1. Найти среднее значение M функции f(x), используя формулу,
            если данная функция непрерывна, а аргумент x изменяется от a до b.

1.2

1.3

1.4

1.5

2. Изучить метод трапеции и составить таблицу:

Алгоритм применения метода трапеций для нахождения приближённого значения интеграла

Пример применения метода трапеций.

3. Вычислить интегралы методом прямоугольников и методом трапеций. Сравнить полученные результаты. Найти относительную погрешность вычислений.

3.1

3.5

3.8

3.2

3.6

3.9

3.4

Вычислить

разделив отрезок [0;4] на 40 равных частей.

3.7  

Вычислить

разделив отрезок [0;8] на 40 равных частей.

3.10

Вычислить

разделив отрезок [0;1] на 20 равных частей.

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2. Цель работы.

3. Задания с решениями.

4.Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы

1. 1. Дать определение математическому ожиданию.

2.Дать определение дисперсии.

3. Дать определение среднему квадратичному отклонению

Практическая работа № 19.

Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.

Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».

2 Оборудование: Инструкционные карты

3 Теоретические сведения:

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлах x₀ , x₁ , ... , x_N строят интерполяционный полином P_N(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f ^(r)(x) ≈P^(r)N(x),

0 ≤ r ≤ N

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f ^(r) (x) = P^(r)_N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина (h_i = x_i - x_i-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом h_i ≡ h > 0:

r=1, N=1 (два узла): f '(x₀ ) = (f₁ - f₀ )/h - hf ''(ξ)/2

f '(x₁ ) = (f₁ - f₀ )/h + hf ''(ξ)/2

r=1, N=2 (три узла): f '(x₀ ) = (-3f₀ + 4f₁ - f₂)/2h + h²f '''(ξ)/3

f '(x₁ ) = (f₂ - f₀)/2h - h²f '''(ξ)/6

f '(x₂ ) = (f₀ - 4f₁ + 3f₂)/2h + h²f '''(ξ)/3

r=2, N=2 (три узла): f ''(x₀ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h₂ - hf '''(ξ)

f ''(x₁ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h² - h²f ⁽⁴⁾ (ξ)/12

f ''(x₂ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h² + hf '''(ξ)

r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x₀ ) = (2f₀ - 5f₁ + 4f₂ - f₃ )/h² + 11h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

f ''(x₁ ) = (f₀ - 2f₁ + f₂ )/h² - h²f ⁽⁴⁾⁽ξ)/12

f ''(x₂ ) = (f₀ - 2f₁ + f₃ )/h² - h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

f ''(x₃ ) = (-f₀ + 4f₁ - 5f₂ + 2f₃ )/h² + 11h²f ⁽⁴⁾(ξ)/12

В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x₀ , x_N). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x₀ , x_N] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.

4. Задание: Составить таблицу конечных разностей функций, заданных аналитически, от начального значения х₀ до конечного х₇, приняв шаг равным h:

1.

4.

2.

5.

3.

6.

Задание: Построить таблицу разностей функции, заданной таблично:

1. x

1

2

3

4

5

6

7

y

7,5

2

-3,5

-6

-2,5

10

34,5

4.

x

1

2

4

5

6

7

y

6

16

36

72

130

216

336

2.

x

1

2

3

4

5

6

7

y

-3,9

-0,2

6,7

17,4

32,5

52,6

78,3

5.

x

1

2

3

4

5

6

7

y

-3

-6

-3

12

45

102

189

3.

x

1

2

3

4

5

6

7

y

-3,9

-5,2

-3,3

2,4

12,5

27,6

48,3

6.

x

1

2

3

4

5

6

7

y

0

8

30

72

140

240

378

Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+b_n:

1.

x=2,4+0,05n

x

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

y(x)

3,526

3,782

3,945

4,043

4,104

4,155

n=1

2.

x=4,5-0,06n

x

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

y(x)

4,222

4,331

4,507

4,775

5,159

5,683

n=5

3.

x=1,6+0,08n

x

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y(x)

10,517

10,193

9,807

8,387

8,977

8,637

n=2

4.

x=2,4+0,05n

x

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

y(x)

3,526

3,782

3,945

4,043

4,104

4,155

n=3

5.

x=4,5-0,06n

x

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

y(x)

4,222

4,331

4,507

4,775

5,159

5,683

n=7

6.

x=1,6+0,08n

x

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y(x)

10,517

10,193

9,807

8,387

8,977

8,637

n=4

Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:

1. x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

8

6

10

26

60

118

206

330

496

2.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

-2

15

58

139

270

463

730

1083

1534

3.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

-1,5

16

70,5

180

362,5

636

1018,5

1528

2182,5

4.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

5,5

18

40,5

76

127,5

198

290,5

408

553,5

5.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

7

24

63

136

255

432

679

1008

1431

6.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

0

18

78

204

420

750

1218

1848

2664

Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке , методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:

1. x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

8

6

10

26

60

118

206

330

496

=1,5

2.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

-2

15

58

139

270

463

730

1083

1534

=2,5

3.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

-1,5

16

70,5

180

362,5

636

1018,5

1528

2182,5

=1,25

4.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

5,5

18

40,5

76

127,5

198

290,5

408

553,5

=1,75

5.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

7

24

63

136

255

432

679

1008

1431

=2,2

6.

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

0

18

78

204

420

750

1218

1848

2664

=2,1

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2.Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6.Контрольные вопросы:

1. Запишите основные задачи численного дифференцирования.

2. Запишите формулы вычисления погрешности вычислений.

3. Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.

4. Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.

5. Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.

Практическая работа № 20.

Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.

Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.

1. Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».

Пояснения к работе:

Методические рекомендации по составлению кроссвордов

В процессе работы необходимо:

• просмотреть и изучить необходимый материал, как в лекциях, так и в дополнительных источниках информации;

• составить список слов раздельно по направлениям;

• составить вопросы к отобранным словам;

• проверить орфографию текста, соответствие нумерации;

• оформить готовый кроссворд.

Общие требования при составлении кроссвордов:

• Не допускается наличие "плашек" (незаполненных клеток) в сетке кроссворда;

• Не допускаются случайные буквосочетания и пересечения;

• Загаданные слова должны быть именами существительными в именительном падеже единственного числа;

• Двухбуквенные слова должны иметь два пересечения;

• Трехбуквенные слова должны иметь не менее двух пересечений;

• Не допускаются аббревиатуры (ЗиЛ и т.д.), сокращения (детдом и др.);

• Не рекомендуется большое количество двухбуквенных слов;

• Все тексты должны быть написаны разборчиво, желательно отпечатаны.

Требования к оформлению:

На каждом листе должна быть фамилия автора, а также название данного кроссворда;

Рисунок кроссворда должен быть четким;

Сетки всех кроссвордов должны быть выполнены в двух экземплярах:

1-й экз. - с заполненными словами;

2-й экз. - только с цифрами позиций.

Ответы публикуются отдельно. Ответы предназначены для проверки правильности решения кроссворда и дают возможность ознакомиться с правильными ответами на нерешенные позиции условий, что способствует решению одной из основных задач разгадывания кроссвордов — повышению эрудиции и увеличению словарного запаса.

Критерии оценивания составленных кроссвордов:

Четкость изложения материала, полнота исследования темы;

Оригинальность составления кроссворда;

Практическая значимость работы;

Уровень стилевого изложения материала, отсутствие стилистических ошибок;

Уровень оформления работы, наличие или отсутствие грамматических и пунктуационных ошибок;

Количество вопросов в кроссворде, правильное их изложения.

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Название работы.

2.Цель работы.

3. Задания с решениями.

4. Вывод по работе.

6. Контрольные вопросы:

1. 1. 1. Что называется решением обыкновенного  дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка

      2. Сформулируйте задачу Коши.

      3. В чем заключается графическая интерпретация метода Эйлера.

      4. Основная идея метода Эйлера-Коши.

      5. Запишите формулу трапеций.

4. Критерии оценки практической работы.

Итогом выполнения практических работ обучающихся являются отметки, которые выставляется в журнале теоретических занятий.

4.1  Рейтинговая карта оценки практических работ по дисциплине ЕН.01 «Математика»

За выполнение заданий студентам выставляется балл согласно рейтинговой карты, приведенной в таблице.

Таблица  – Рейтинговая карта

Тема

Практическая работа, №

Мин. кол-во баллов

Макс. кол-во баллов

Раздел 1. Математический анализ

1.1

Практическое занятие № 1. Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов. Исследование функций на непрерывность.

2

4

1.1

Практическое занятие № 2-3. Вычисление производной сложных функций.

2

4

1.1

Практическое занятие №4 . Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов.

2

4

1.1

Практическое занятие №5 . Определенный интеграл. Вычисление определенных интегралов. Геометрический смысл определенного интеграла.

2

4

1.1

Практическое занятие № 6. Функции нескольких переменных. Приложение интеграла к решению прикладных задач. Частные производные. Решение прикладных задач. Нахождение частных производных

3

6

1.2

Практическое занятие №7 -8. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраическом виде, в тригонометрической и показательной форме.

4

8

1.3

Практическое занятие № 9. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

6

12

1.3

Практическое занятие № 10. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение прикладных задач

6

12

1.4

Практическое занятие №11. Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных.

6

12

1.5

Практическое занятие № 12. Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена

6

12

Итого

39

78

Раздел 2. Основы дискретной математики

2.1

Практическое занятие №13. Операции над множествами.

8

16

2.2

Практическое занятие №14. Построение графов

8

16

Итого

16

32

Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

3.1

Практическое занятие № 15. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей.

4

8

3.2

Практическое занятие № 16. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. По заданному условию построить закон распределения дискретной случайной величины.

3

6

3.3

Практическое занятие № 17. Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины заданной законом распределения.

3

6

Итого

10

20

Раздел 4. Основные численные методы

4.1

Практическое занятие № 18. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Оценка погрешности.

12

24

4.2

Практическое занятие № 19. Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.

12

24

4.3

Практическое занятие № 20. Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.

10

20

Итого

34

68

Количество баллов по ПР

99

198

5.2  Критерии оценки практических работ

За выполнение практической работы студенту выставляется балл рейтинга по критериям, представленным в следующей таблице.

Таблица  – Критерии рейтинговой оценки практической работы студента

п/п

Оцениваемые навыки

Метод оценки

Критерии оценки

Максимальный балл рейтинга

Средний балл рейтинга

Минимальный балл рейтинга

1.

Отношение к работе

Фиксирование срока сдачи работы

Работа сдана в требуемые сроки

Работа сдана с задержкой на 1-2 недели

Работа сдана с задержкой на 3-4 недели

2.

Способность самостоятельно выполнять работу

Просмотр работы в тетради студента

Полное выполнение работы, отсутствие ошибок

Допускает одну ошибку (неточность) при выполнении работы

Допускает две, три ошибки при выполнении работы

3.

Умение отвечать на вопросы, пользоваться профессиональной лексикой

Собеседование (защита) при сдаче работы

Грамотно отвечает на поставленные вопросы

Допускает незначительные ошибки в изложении алгоритма задания

Допускает ошибки в изложении алгоритма задания. Имеет ограниченный словарный запас

Литература

1. В.П. Омельниченко, Э.В. Курбатова. Математика 2-е изд., перераб. и доп. Ростов н/Д. Феникс, 2010 г.

2. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. Математика. Учебник для ССУЗов 6-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009

3. Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике. Учебное пособие для ССУЗов 5-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2009

4. А.В. Дадаян. Математика. Учебник 2-е изд. М.: ФОРУМ, ИНФРА-М, 2006

5. Н.В. Богомолов. Задачи по математике с решениями. Учебное пособие для средних проф. Учебных заведений. М.: Высшая школа. 2010 г.

6. Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1991

7. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. М.: Наука, 1974

8. Яковлев Г.Н. Геометрия. М.: Наука, 1989

9. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1991. – 480 с.: ил.

Краткое описание документа:

Целью данных методических рекомендаций является организация преподавателем эффективной работы студентов на практических занятиях по дисциплине ЕН.01 «Математика» как средства, способствующего повышению качества образовательного процесса.

Задачи:

• сформировать общие и профессиональные компетенции во время проведения практических работ через содержание представленных методических рекомендаций;
• помочь преподавателю в подборе материала предлагаемого студентам для выполнения практических работ с целью закрепления и углубления знаний;
• рационально организовать самостоятельную работу студентов по выполнению практических работ через распределение времени, затраченного на ее выполнение, предложенную форму контроля их знаний, критерии оценок.