МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Выксунский филиал Федерального Государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Положение о Педагогическом Совете СПО

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

профильный цикл

технический профиль

специальности:

151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Выкса 2015 г.

УТВЕРЖДЕНО. ОДОБРЕНО

УТВЕРЖДЕНО.

На заседании методического совета

Протокол №______

от «____»______________ 2015г.

Начальник по УМР________________

«____»____________ 2015 г.

на заседании ЦК ОПД

Протокол №______

от «____»______________2015 г.

Председатель ЦК

_____________ Осипова В.М.

«_____»_____________ 2015г.

Методические указания для выполнения практических работ являются частью основной профессиональной образовательной программы ВФ НИТУ МИСиС СПО «Выксунский металлургический техникум» по специальности 151031 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям) в соответствии с требованиями ФГОС.

Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной и очно-заочной форм обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов и инструкцию по ее выполнению.

Организация - разработчик: Выксунский филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Разработчики: Осипова В.М. преподаватель ВФ НИТУ «МИСиС» СПО

Рецензент: Никольский Е.В.- кандидат пед наук, преподаватель ВФ НИТУ «МИСиС»

СОДЕРЖАНИЕ

Темы практических занятий

страницы

Практическое занятие № 1. Производные элементарных функций.

5

Практическое занятие № 2. Производные сложных функций.

9

Практическое занятие № 3. Вторая производная. Производные высших порядков.

12

Практическое занятие № 4. Применение производных к исследованию функции.

15

Практическое занятие № 5. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.

18

Практическое занятие № 6. Интегрирование методом замены переменной.

21

Практическое занятие № 7. Вычисление определенного интеграла.

24

Практическое занятие № 8. Площадь криволинейной трапеции.

27

Практическое занятие № 9. Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

30

Введение

Методические указания по дисциплине для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.

Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами третьего поколения, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине и допуска к дифференцированному зачету, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Практические работы оцениваются по пятибалльной системе.

Оценка

Критерии оценки (содержательная характеристика)

«2»

Работа выполнена полностью. Студент не владеет теоретическим материалом, допуская ошибки по сущности рассматриваемых (обсуждаемых) вопросов, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допускает ошибки при ответе на дополнительные вопросы.

«3»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом на минимально допустимом уровне, отсутствуют ошибки при описании теории, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.

«4»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, допуская незначительные ошибки на дополнительные вопросы.

«5»

Работа выполнена полностью. Студент владеет теоретическим материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, представляет полные и развернутые ответы на дополнительные вопросы.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное исчисление.

Название практической работы № 1

«Производные элементарных функций»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Производные основных элементарных функций», закрепить умения находить производную функции, используя таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций и правила дифференцирования.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Производные элементарных функций».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Производные элементарных функций».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание производной элементарных функций.

знать:

• понятие производной функции;

• основные формулы и правила дифференцирования элементарных функций.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 20 задач на отыскание производной элементарных функций.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Таблица производных основных элементарных функций.

1. (с)^/ = 0, с - сonst 9.

2. (x^α)^/ = αx ^{α – 1} 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

17.

Правила дифференцирования.

1. - вынесение константы за знак производной.

2.- производная суммы равна сумме производных.

3. - производная произведения.

4. - производная частного.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Сформулируйте понятие производной функции.

2. В чем состоит физический смысл производной?

3. В чем состоит геометрический смысл производной?

Задания для практического занятия:

Задание №1 Найти производные элементарных функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

Задание №2 Найти значения производной функции в указанных точках.

1. x = 16

2. x =4

3. x= 1

4. y = lg x + x³ x = -1

Форма контроля выполнения практических работ:

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

1. В первом задании Вы должны найти производные элементарных функций, используя основные формулы и правила дифференцирования, предварительно выполнив преобразования над функциями, если это необходимо.

2. Во втором задании вы должны найти частные значения производных в указанных точках, предварительно найдя производную самой функции.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

1. В первом задании у Вас должен быть один ответ для каждого примера, который получится после дифференцирования функции.

2. Во второй задаче должен быть только числовой ответ.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Найти производные элементарных функций.

1. f(x) = 2x³ – 3x⁴ + 19.

Решение.

f ^/(x) = (2x³ – 3x⁴ + 19) ^/ = (2x³) ^/ - (3x⁴) ^/ - 19 ^/ = 6x² – 12x³ + 0 = 6x² – 12x³.

2. 

Решение.

Находим производную частного.

3. f(x) = x² – 1/x + (x – e^x)(x + 2)³.

Решение.

Задание №2 Найти значения производной функции в указанных точках.

По аналогии с первым заданием записывается условие, под ним – решение.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное исчисление.

№ 2«Производные элементарных функций»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Производная сложной функции», закрепить умения находить производную сложной функции, используя правило нахождения производной сложной функции, таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций и правила дифференцирования.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Производная сложной функции».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Производная сложной функции».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание производной сложной функции.

знать:

• понятие производной функции;

• основные формулы и правила дифференцирования элементарных функций;

• понятие сложной функции;

• правило дифференцирования сложной функции.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 12 задач на отыскание производной сложной функции.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

4. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

5. Ручка.

6. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме

практической работы

Пусть функция - сложная функция.

Теорема. Если y есть дифференцируемая функция от u, а u есть дифференцируемая функция от x, то

1. y есть дифференцируемая функция по x,

2. производная y по x равна произведению производной y по u на производную u по x, т.е. если

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Сформулируйте понятие производной функции.

2. Перечислите основные правила дифференцирования функции?

3. Чему равна производная константы?

4. Как продифференцировать алгебраическую сумму функций?

5. Как найти производную произведения (частного)?

6. Какая функция называется сложной функцией?

7. Как найти производную сложной функции?

Задания для практического занятия:

Задание №1 Найти производные следующих сложных функций.

1. 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Задание № 2 Вычислите производные при заданных значениях аргумента.

1. при x = 0

2. при x =

Форма контроля выполнения практических работ:

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

1. В первом задании Вы должны найти производные сложных функций, используя основные формулы и правила дифференцирования, а также правило дифференцирования сложной функции.

2. Во втором задании вы должны найти частные значения производных в указанных точках, предварительно найдя производную самой функции.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

1. В первом задании у Вас должен быть один ответ для каждого примера, который получится после дифференцирования функции.

2. Во второй задаче должен быть только числовой ответ.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Найти производные следующих сложных функций.

1. 

Решение.

2. 

Решение.

Находим производную частного.

3. 

Решение.

Задание №2 Вычислите производные при заданных значениях аргумента.

1. y = 3ln²arctg4x при х = 1

Решение.

Найдем производную сложной функции.

Найдем значение производной при x = 1

.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное исчисление.

№ 3«Вторая производная. Производные высших порядков»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Вторая производная. Производные высших порядков», закрепить умения находить первую и вторую производную функции, используя таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций и правила дифференцирования, а также производные высших порядков, использовать физический смысл второй производной для решения задач.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Производные высших порядков».

2. Обеспечить установление студентами внутрипредметных и межпредметных связей;

эмоциональную поддержку студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Вторая производная. Производные высших порядков».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание второй производной и производной высших порядков функций; решать задачи прикладного характера на отыскание ускорения движения тела.

знать:

• понятие второй производной функции;

• физический смысл второй производной;

• понятие производной высших порядков.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 10 задач на отыскание производных функций.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической

работы

Определение. Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Если функция f ¢ (x) дифференцируема в точке х₀  (a, b), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке х₀ и обозначают f ′′ (x₀), то есть

Определение. Пусть функция y = f(x) имеет на интервале (a, b) производные f ¢ (x), f ′′ (x), …, f ^(n − 1) (x). Если в точке х₀  (a, b) существует производная функции f ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x₀), то эту производную называют производной n-ого порядка, то есть

где производная нулевого порядка − это функция f(x).

Физический смысл второй производной. Ускорение а прямолинейного движения точки в данный момент времени равно второй производной пути по времени.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется производной второго порядка?

2. Что называется средним ускорением?

3. Что называется производной высших порядков?

4. Как отыскать производную 3-го, 4-го и т.д. порядков?

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Найти производные высших порядков функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Задание № 2. Сколько раз нужно дифференцировать функцию , чтобы в результате получился многочлен 30-й степени.

Задание № 3. Докажите, что для функции у = справедливо равенство y^IV =y^V.

Задание № 4.

1. В момент времени t = 1 найдите скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону .

2. Точка движется по закону . В какие моменты времени ее ускорение будет равно нулю?

Форма контроля выполнения практических работ:

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

1. В первом задании Вы должны найти производные высших порядков функций, используя основные формулы и правила дифференцирования, предварительно выполнив преобразования над функциями, если это необходимо.

2. Во втором задании Вы должны пояснить сколько раз нужно дифференцировать функцию и почему.

3. В третьем задании Вы выполняете доказательство равенства.

4. В четвертом задании решаете задачу на применение физического смысла второй производной.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

1. В первом задании у Вас должен быть один ответ для каждого примера, который получится после дифференцирования функции.

2. Во втором задании должен быть ответ с пояснением.

3. В третьем задании доказательство равенства.

4. В четвертом задании решение задачи, в результате которого получается один ответ.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Найти производные высших порядков функций.

y^// - ?

Решение

Ответ:

Задание № 2 Материальная точка движется по закону , где измеряется в метрах, а - в секундах. Найти значение , при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

Искомое время найдем из уравнения:

Ответ.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное исчисление.

№ 4«Применение производных к исследованию функций»

Учебная цель: Закрепить и обобщить умения и навыки исследования функций и построения графиков с помощью производной.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Исследование функций с помощью производной».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Исследование функции с помощью производной».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание производной сложных и элементарных функций, производной второго порядка;

• находить промежутки возрастания и убывания функции;

• находить экстремумы функции;

• находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке;

• находить промежутки выпуклости и вогнутости функции.

знать:

• понятие производной функции;

• основные формулы и правила дифференцирования элементарных функций;

• схему исследования функции с помощью производной.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 2 задач на исследование функций с помощью производной и 4 на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Проверить на четность (нечетность). Четная функция симметрична относительно оси ординат, нечетная – относительно начала координат.

4. Производную.

5. Стационарные точки.

6. Промежутки возрастания и убывания.

7. Точки экстремума и значения функции в этих точках.

8. Промежутки выпуклости функции.

9. Результаты исследования занести в таблицу.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Определение точки минимума и точки максимума.

2. Определение критической точки.

3. Необходимое условие, чтобы точка х₀ была точкой экстремума.

4. Алгоритм нахождения критических точек функции.

5. Определение стационарных точек.

6. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции). Достаточные условия существования экстремума функции .

7. Достаточный признак возрастания, убывания функции.

8. Алгоритм нахождения экстремумов функции.

9. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

10. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. y =х³ – х² – 3х 2. .

Задание № 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке.

1. у =1/3 х³ + х² [1;4]

3. у=1/(х²+1).

[-2;6]

2. у = (х-3)²(х-2) [-4;1]

4. у = х⁴ – 8х² – 9

[-3;3]

Форма контроля выполнения практических работ

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

1. В первом задании Вы должны исследовать функции по схеме и построить их графики.

2. Во втором задании Вы должны найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, сравнивая значения функции на концах отрезка и в стационарных точках.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

1. В первом задании у Вас должен быть построен график функции, согласно результатам исследования, занесенным в таблицу.

2. Во второй задаче должен быть только числовой ответ.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения – множество действительных чисел.

2. Точки пересечения с осями координат:

если x = 0, то y = 0 – точка А (0,0);

если y = 0, то решим уравнение .

и

и

Получили еще две точки В (; 0) и С (; 0).

3. Четность, нечетность: - функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Находим производную. .

5. Стационарные точки. Приравняем производную к нулю: , получим x = -1, x = 0, x= 2 – стационарные точки.

6. Промежутки возрастания и убывания. Найденные точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка, определим знак производной на этих промежутках.

7. Точки экстремума. x = -1, x = 2 – точки минимума; x = 0 – точка максимума.

8. Выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: .

Найдем точки перегиба: ;

и - точки перегиба

Определим знак второй производной на интервалах:

9. Составим таблицу.

x

x < -1

- 1

– 1 < x < 0

0

0 < x < 2

2

x > 2

3

f ‘(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

-5/12

min

0

max

-8/3

min

9/4

Задание №2 Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке.

По аналогии с первым заданием записывается условие, под ним – решение.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.2. Интегральное исчисление.

№ 5«Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Элементы дифференциального и интегрального исчисления»; закрепить умения интегрировать функцию, используя таблицу основных интегралов.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Неопределенный интеграл».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание первообразной функции;

• применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания неопределенного интеграла;

• решать задачи на отыскание неопределенного интеграла с помощью преобразования подинтегальных выражений.

знать:

• понятие первообразной функции;

• понятие неопределенного интеграла;

• основные правила и формулы итегрирования.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 20 задач на отыскание неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F^/(x) = f(x).

Теорема 1. Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то функция

F(x) + C,

где С – произвольная постоянная, также является первообразной для f(x) на том же промежутке, причем любая другая первообразная Ф(x) может быть записана в виде

Ф(x) = F(x) + C.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на промежутке X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается .

Таким образом

Таблица основных интегралов.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется первообразной функции f(x)?

2. Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?

3. Сформулируйте теорему о множестве первообразных функции f(x)?

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13)

Задание № 2. Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражения стоящие под знаком интеграла.

14) 15)

16) 17)

18) 19)

20)

Форма контроля выполнения практических работ

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

1. В первом задании Вы должны найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

2. Во втором задании Вы должны найти неопределенный интеграл, предварительно преобразовав выражения стоящие под знаком интеграла.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

1. В первом и во втором задании у вас должно получиться выражение – множество первообразных для данной функции.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

1)

Решение

2)

Решение

3)

Решение

Задание №2 Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражения стоящие под знаком интеграла.

По аналогии с первым заданием записывается условие, под ним – решение.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.2. Интегральное исчисление.

№ 6«Интегрирование методом замены переменной»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Элементы дифференциального и интегрального исчисления»; закрепить умения интегрировать функцию, используя метод замены переменной.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Неопределенный интеграл. Интегрирование методом замены переменной».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Неопределенный интеграл. Интегрирование методом замены переменной».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание первообразной функции;

• применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания неопределенного интеграла;

• решать задачи на отыскание неопределенного интеграла методом замены переменной.

знать:

• понятие первообразной функции;

• понятие неопределенного интеграла;

• основные правила и формулы итегрирования.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 10 задач на отыскание неопределенного интеграла методом замены переменой.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

Таблица основных интегралов.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19.

В основе интегрирования методом замены переменной (методом подстановки) лежит формула

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется первообразной функции f(x)?

2. Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?

3. Сформулируйте теорему о множестве первообразных функции f(x)?

4. Перечислите известные вам мет оды интегрирования.

5. Охарактеризуйте каждый из них.

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Найти неопределенный интеграл.

1. 1. 6.

   2. 7.

   3. 8.

   4. 9.

   5. 10.

Форма контроля выполнения практических работ

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

В данных задании Вы должны найти неопределенный интеграл, пользуясь метод замены переменной.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

1. В результате решения задач у вас должно получиться выражение – множество первообразных для данной функции.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

1. 1. 1. 

Решение.

1. 1. 2. 

Решение.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.2. Интегральное исчисление.

№ 7«Вычисление определенного интеграла»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Элементы интегрального исчисления»; закрепить умения интегрировать функцию, вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница различными методами.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Определенный интеграл».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Определенный интеграл».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание первообразной функции;

• применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;

• решать задачи на вычисление определенного.

знать:

• понятие первообразной функции;

• понятие определенного интеграла;

• основные правила и формулы итегрирования.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 16 задач на отыскание определенного интеграла.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

4. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

5. Ручка.

6. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

Таблица основных интегралов.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19.

Определение. Разность F(b) – F(a) называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают .

- формула Ньютона-Лейбница.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется первообразной функции f(x)?

2. Что называется определенным интегралом функции f(x)?

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла?

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Вычислить определенный интеграл.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

15) 16)

Форма контроля выполнения практических работ

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

В данных задании Вы должны вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница методом непосредственного интегрирования.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

В результате решения задач у вас должно получиться выражение – множество первообразных для данной функции.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Вычислить определенный интеграл.

1. 1. 1. 1. 

Решение.

6. 5. 2. 

Решение

6. 5. 2. 

Решение

6. 5. 2. 

Решение

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.2. Интегральное исчисление.

№ 8«Площадь криволинейной трапеции»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Элементы дифференциального и интегрального исчисления»; закрепить умения интегрировать функцию, используя таблицу основных интегралов, сформировать умения вычислять площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание первообразной функции;

• применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;

• решать задачи на вычисление определенного итеграла;

• решать задачи на вычисление площади криволинейной трапеции.

знать:

• понятие первообразной функции;

• понятие определенного интеграла;

• основные правила и формулы итегрирования;

• понятие криволинейной трапеции;

• правила вычисления площади криволинейной трапеции.

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 6 задач на отыскание площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

План вычисления площади криволинейной трапеции:

1. Схематический чертеж.

2. Представление искомой площади как суммы или разности площадей.

3. Записать каждую функцию в виде y = f(x).

4. Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции или площади искомой фигуры.

Площади фигур.

у у

S х

х S

Если рассмотренная фигура не является криволинейной трапецией, тогда площадь нужно представить как сумму или разность криволинейных трапеций.

m

n

S₁ S₂

a b

S = S₁ + S₂ S = S _amb – S _anb

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется первообразной функции f(x)?

2. Что называется определенным интегралом функции f(x)?

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Свойства определенного интеграла.

5. Сформулируйте понятие криволинейной трапеции.

6. Сформулируйте правила нахождения площади криволинейной трапеции.

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.

1) x – y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2 2) x – y + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0

3) y = x², y = 0, x = 0, x = 3 4)

₆₎ y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2

Задание № 2. Решить задачу.

Форма контроля выполнения практических работ

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

В первом задании Вы должны вычислить площадь криволинейно трапеции с помощью определенного интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала необходимо построить данную фигуру, а затем найти площадь полученной фигуры.

Во втором задании Вы должны воспользоваться физическим смыслом определенного интеграла.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

В результате решения задач у вас должно получиться положительное число, выражающее площадь плоской фигуры.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

4. Задание 2 оформляется аналогично.

Образец отчета по практической работе

Задание №1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0.

Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2). Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т.е. f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

Ответ. S = 13, 5 кв. ед.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.2. Интегральное исчисление.

№ 9«Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла»

Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Элементы дифференциального и интегрального исчисления»; закрепить умения интегрировать функцию, используя таблицу основных интегралов, умения вычислять объемы тел вращения с помощью определенного интеграла.

Учебные задачи:

1. Создать условия для развития способностей обучаться самостоятельно, для формирования системы знаний и общих компетенций, связанных с темой «Определенный интеграл. Объемы тел вращения».

2. Обеспечить проверку и оценку знаний и способов деятельности студентов.

3. Обобщение и систематизация материала, изученного по теме «Определенный интеграл. Объемы тел вращения».

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:

Студент должен

уметь:

• решать задачи на отыскание первообразной функции;

• применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;

• решать задачи на вычисление определенного интеграла;

• решать задачи на вычисление объемов тел вращения.

знать:

• понятие первообразной функции;

• понятие определенного интеграла;

• основные правила и формулы интегрирования;

• понятие криволинейной трапеции;

• формулы вычисления объемов тел вращения

Задачи практической работы:

1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Решить 6 задач на отыскание объема тел вращения с помощью определенного интеграла.

4. Оформить решение в тетради.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических работ (в клетку, 12 листов).

2. Ручка.

3. Рабочая тетрадь с теоретическим материалом (конспекты лекций).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.

О

  y = f(x)

бъем тел вращения.

   Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Формулы объемов тел вращения около:

оси Ох ; оси Оу

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется первообразной функции f(x)?

2. Что называется определенным интегралом функции f(x)?

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Свойства определенного интеграла.

5. Сформулируйте понятие тела вращения.

6. От чего зависит выбор формулы для нахождения объема тела вращения?

Задания для практического занятия:

Задание № 1. Найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями.

1) y² – 4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0

2) y² – x + 1 = 0, x – 2 = 0, y = 0

3) y = - x² + 2x, y = 0

4) y² = 2x, x – 2 = 0

5) Осью Ox и полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤ π).

Задание № 2. Найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оy площади, ограниченной линиями и прямыми x = 0, y = -1.

Форма контроля выполнения практических работ

Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».

Инструкция по выполнению практической работы

В первом и втором заданиях Вы должны вычислить объем тел вращения с помощью определенного интеграла. Сначала необходимо построить данную фигуру, а затем найти ее объем, пользуясь соответствующими формулами для нахождения объемов тел вращения.

Методика анализа результатов, полученных в ходе практической работы

В результате решения задач у вас должно получиться положительное число, выражающее площадь плоской фигуры.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. В тетради для практических работ напишите номер практической работы и ее название.

2. Далее должно быть заглавие «Задание 1».

3. Под заглавием записывается условие задачи, решение и ответ (так для каждого примера из задания).

4. Задание 2 оформляется аналогично.

Образец отчета по практической работе

Задание №1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx площадки, ограниченной линиями y² = 4x и y = x.

Решение. Решив систему находим точки пересечения параболы и прямой: О (0; 0) и А (4; 4). Следовательно, пределы интегрирования a = 0 и b = 4. Объем тела вращения представляет собой разность объемов параболоида, образованного вращением кривой y² = 4x (V₁) и конуса, образованного вращением прямой y = x (V₂). Тогда

Ответ: (куб. ед.)

Список рекомендуемой литературы и интернет ресурсов

Основная литература по всем разделам:

1. Баврин И.И. Математический анализ: учебник.– М.: Высш.шк., 2006

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2008.

3. Богомолов, Н. В. Математика : учеб. Для ссузов. - М. : Дрофа, 2008.

4. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник. - М.: Высш.шк., 2007.

5. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. Сред. Проф. учреждений. – М.: Издательский центр «Академия», 2005.

6. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы.- М.: Форум, 2005.

Дополнительные источники:

1. Богомолов, Н. В. Сборник задач по математике . - М. : Дрофа, 2007

2. Выгодский М.Я Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 2007

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа. – 1980

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа. – 1980

5. Омельченко, В. П. Математика. - Ростов на Дону : Феникс, 2008.

6. Филимонова Е.В. Математика: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – Ростов н/Д: Феникс, 2005.

7. Щипачев В.С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2007

8. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2007

Интернет-ресурсы:

1. http://siblec.ru – Справочник по высшей математике.

2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, курсовые. примеры решения задач, интегралы и производные. дифференцирование, производная и первообразная, электронные учебники.

3. www.newlibrary.ru – Новая электронная библиотека.

4. www.mathnet.ru – Общероссийский математический портал.

5. www.edu/ru - Федеральный портал российского образования.

6. www. matburo.ru – Матбюро: решение задач по высшей математике.