МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» 2 курс для специальности: 22.02.05 Обработка металлов давлением

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

методические указания

по выполнению практических работ 

по  дисциплине «Математика»

по основной профессиональной образовательной программе

среднего профессионального образования

по подготовке специалистов среднего звена

( базовая подготовка) 

    для специальности:      22.02.05   Обработка   металлов давлением

.

2015г.

Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом (далее – ФГОС) для специальности среднего профессионального образования (далее – СПО)  22.02.05   Обработка   металлов давлением,    утвержденным   приказом Министерства образования и науки РФ  от 21.04. 2014 г. N 359

.

Составитель:  Мозговая И.В., преподаватель

Рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии  

   Протокол №      от       .      .  2015 г.

Председатель предметно-цикловой комиссии:

                                                                                         __________________/Сергеева И.В./

Согласованы на заседании методического совета

Протокол №    от         .        15  г.

Заместитель директора по УР: 

                                                __________________/Семенова С.А./

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………………………4

Практическое занятие № 1

Вычисление пределов.………………………………………………………………………...6

Практическое занятие № 2

Нахождение производной сложной функции.……………………………………………..10

Практическое занятие № 3

Нахождение неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.………………………………………………………………………………15

Практическое занятие № 4

Замена переменной и интегрирование по частям в

 неопределенном  интеграле ………………………………………………………………...19

Практическое занятие № 5

Замена переменной и интегрирование по частям в

 определенном интеграле.……………………........................................................................26

Практическое занятие № 6

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.………………………………………………………………………………………31

Практическое занятие № 7

Решение дифференциальных уравнений.……………………………………………………………………………………...37

Практическое занятие № 8

Действия над матрицами. …………………………………………………………………...46

Практическое занятие № 9

Вычисление определителей.…………………………………………………………………51

Практическое занятие № 10

Решение систем линейных уравнений.……………………………………………………56

Практическое занятие № 11

Действия над комплексными числами………………………………………………….....61

Практическое занятие № 12

Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической

 и показательной и обратно………………………………………………………………….67

Практическое занятие №13

Решение задач на определение вероятности с использованием

 теорем сложения и умножения вероятностей…………………………………………….72

Практическое занятие №14

Составление вариационных рядов.

 Нахождение числовых характеристик выборки…………………………………………77

Литература……………………………………………………………………………………..81

ВВЕДЕНИЕ.

     Математика изучается как профильная учебная дисциплина при освоении специальности СПО          22.02.05   Обработка   металлов давлением,    утвержденным   приказом Министерства образования и науки РФ  от 21.04. 2014 г. N 359.

В структуре основной профессиональной образовательной программы дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный цикл.

  Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:

уметь:

§  анализировать сложные функции и строить их графики;

§  выполнять действия над комплексными числами;

§  вычислять значения геометрических величин;

§  производить операции над матрицами и определителями;

§  решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

§  решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

§  решать системы линейных уравнений различными методами;

знать:

§  основные математические методы решения прикладных задач;

§  основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

§  основы интегрального и дифференциального исчисления;

§  роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

обладать общими компетенциями:

ОК 1.	Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 3.	Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4.	Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5.	Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 8.	Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9.	Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10.	Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Содержание рабочей программы дисциплины, согласовано с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования базового уровня.

     Количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальная учебная нагрузка обучающегося 100 часов, в том числе: обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 68 часов,  самостоятельной работы обучающегося 32 часа. Практические занятия составляют 28 часов .

Выполнение практических работ поможет студентам освоить обязательный минимум содержания дисциплины, подготовиться к сдаче экзамена.

          Практические работы проводятся после изучения теоретического материала в учебном кабинете математики. Обучающиеся должны иметь методические рекомендации по выполнению практических работ, конспекты лекций, измерительные и чертежные инструменты, средство для вычислений.

Общие указания по выполнению практических работ.

          Каждый вариант работы состоит из нескольких задач. Обучающийся должен решить задачи по варианту, номер которого укажет преподаватель.

    При выполнении практических работ надо придерживаться следующих правил:

1. Практическую работу следует выполнять в тетради чернилами черного или синего цвета, оставляя поля.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия обучающегося, его инициалы, номер специальности, название дисциплины, номер подгруппы.

3. В заголовке работы должны быть указаны номер практической работы, тема практической работы, номер варианта.

4. В работу должны быть включены задачи, указанные в практической работе, строго по предложенному варианту.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.

6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.

7. После получения проверенной работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки.

3. Основные требования к обработке результатов расчетов и оформлению отчетов.

      Отчет по практической работе должен содержать:

1. Номер и тему практической работы, номер варианта.

2. Номер задачи и ее условие.

3. Подробное решение каждой задачи.

4. Полный ответ к каждой задаче.

Критериями оценки результатов работы студентов являются:

 уровень усвоения студентом учебного материала;

 умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

 сформированность ключевых (общеучебных) компетенций;

 обоснованность и четкость изложения материала;

 уровень оформления работы.

Анализ результатов.

Если практическая работа выполнена в полном объеме и правильно оформлена, то ставится оценка «5».

Если практическая работа выполнена более чем на 75%, ставится оценка «4».

Если практическая работа выполнена более чем на 60%, ставится оценка «3».

В противном случае работа не засчитывается.

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

Цель практического занятия: приобрести  навыки и умения вычисления пределов.

1.      Краткие сведения из теории

            При вычислении предела элементарной функции разделяют два случая.

1)      Функция определена в предельной точке x=a .Тогда

.                                                             (1)

            2)  Функция в предельной точке x=a не определена или же вычисляется предел функции при . Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых функций и связи между ними.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция  в точке x=a или при,  представляет собой неопределённость вида:

.

             Основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1)  Если существует    и   , то:

    а);

    б)   ;

    в)   ,         .

2)  Если в некоторой окрестности точки x=a (кроме, быть может, точки a) выполнено условие   и если предел одной из этих функций в точке а 

Существует, то

;

3)  Если существует   и   - элементарная функция, то

 .

            Например,

              ,    ;

4)      Первый замечательный предел:

                                   (2)

5) Второй замечательный предел:

             (3).

            2.   Вычислить пределы   в соответствии с номером варианта:  

Номер варианта	Предел	Предел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

            3. Решение типовых примеров:

Найдите  пределы:

1)..

2).  .

3)..

4)..

5)

6)

7)

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 2

НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 2

НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЙ

Цель практического занятия: научиться применять правила дифференцирования,

 приобрести навыки и умения дифференцирования сложной функций.

1.Краткие сведения из теории

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке  к приращению  аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Функция  , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Производная функции  обозначается , ,или ,, .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Пусть y=y(u) и u=u(x) –дифференцируемые функции, тогда сложная функция  есть так же дифференцируемая функция , причём

           , или      .

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, её составляющих.

Правила дифференцирования

1.        ,  c – const,

2.     

3.                                 , где

4.     

Таблица производных элементарных функций

, c - const

2. Найдите производные функций,  используя таблицу производных элементарных  функций и правила дифференцирования, в соответствии с номером варианта.

Номер варианта	Функция	Функция
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

3. Решение типовых примеров.

Вычислите  производные от заданных функций:

Пример 1.

 

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

. Тогда

Пример 5.

Пример 6.

Далее, по формуле производной сложной функции

Пример 7.

Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем

 

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №3

НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 3

НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

            Цель практического занятия: приобрести навыки и умения нахождения неопределенных интегралов.

1.      Краткие сведения из теории 

Функция  F(x)   называется первообразной для функции  f(x), если   F¢(x) = f(x) 

(или d  F(x) = f(x)dx ).

Любая непрерывная функция  f(x)  имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Общее выражение F(x) + C  совокупности всех первообразных для функции  f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

,  если    (F(x) + C)¢ = f(x),            где

f(x)dx – подынтегральное выражение;

F(x) – подынтегральная функция;

x –переменная интегрирования,

C – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

1)                                                                                                              Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2)                 Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс  произвольная постоянная:

3)                                                                                                              Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4)                 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

Таблица простейших интегралов.

1..                    7.  .

2. .                                         8.  .

3.  .                                     9.  .

4.  .                                            10.  .

5.  .                               11.  .

6.  .                            12.  .

            2.   Вычислите неопределенные интегралы в соответствии с номером варианта:

Номер варианта	Интеграл	Интеграл	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

            3. Решение типовых примеров

1).

2).

3).

4).

5).

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №4

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 4

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления неопределенных интегралов методом замены переменной и интегрирования по частям.

1.Краткие сведения из теории

Метод замены переменной

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки   , где  - новая переменная. В этом случае формула замены переменной

.

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям называется нахождение интеграла по формуле

,              (1)

где u и  v - непрерывно дифференцируемые функции от х.

С помощью формулы (1) отыскание интеграла  сводится к нахождению другого интеграла ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве  u  берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

При нахождении интегралов вида:

•   

за  u  следует принять многочлен Р(х), а за dv - соответственно выражения  , ,

;

•     

 за  u  принимается соответственно функция  ,  ,

, а за d  - выражение .

2.   Найти неопределенные интегралы в соответствии с номером варианта:

а) методом замены переменной

№ варианта	Интеграл	Интеграл	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

б)  интегрированием по частям

№ варианта	Интеграл	Интеграл	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8

3. Решение типовых примеров:

Найти интегралы методом замены переменной: 

1)     

            Решение:

.

2)     

Решение:

.

3)       

Решение:.

4)     

Решение:

5)     

Решение.

Положим x – 1 = t, тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt .

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Найти интегралы методом интегрирования по частям: 

1)     

Решение:

2)     

Решение:

3)                            

    Решение:

4)     

Решение:

Дважды интегрируем по частям:

5)     

Решение:

.

                      

                        .

6)        

Решение:

 .

                         

                        .

7)       

Решение:

I=.                                                             (*)

                                    

                             .

          К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, полагая

                                    

                                       и, следовательно,

               . 

           Подставляя полученное выражение в соотношение (*), приходим к уравнению с неизвестным интегралом I:

I=I,

из которого находим

I+С.

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №5

 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 5

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения вычисления определенного интеграла методами замены переменной и интегрирования по частям.

1. Краткие сведения из теории

Метод непосредственного интегрирования      

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит

формула Ньютона-Лейбница:

,

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Метод замены переменной

Замену переменной в определенном интеграле выполняют по формуле:

, где

В отличие от неопределенного интеграла возвращаться к первоначальной переменной не требуется.

При вычислении  нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям выполняется по формуле:

 , где  - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a, b].

При вычислении интегралов вида:

•  

за  u  следует принять многочлен  Р(х), а за  dv  - соответственно выражения  ,  ,

;

•    

 за  u  принимается соответственно функция  ,  ,

, а за  dv  -  выражение  . 

2.      Вычислите определенные интегралы в соответствии с номером варианта:

№ варианта	Интеграл	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

3. Решение типовых примеров.

Вычислите определенные интегралы:

Пример 1.

Решение:

Сделаем замену переменной:

, тогда

Вычисляем новые пределы интегрирования:

    , следовательно,

Пример 2.

Решение:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

 Положим          тогда:  

.

Пример 3.

 

Решение:

Избавимся от иррациональности, положив 1 + x = t².

Тогда dx = 2t dt, x = 3 → t = 2, x = 8 → t = 3.

В итоге получаем

 Пример 4.

Решение:

Положим          ,

отсюда x = t² - 1 и dx = 2t dt.

Новые пределы интегрирования определяются из формулы ;

полагая x = 0, будем иметь t = 1 и, полагая x = 3, получим t = 2.

Следовательно,

 Пример 5.

Решение:

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 6

Вычисление площадей ПЛОСКИХ фигур с помощью

 определенного интеграла

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 6

Вычисление площадей ПЛОСКИХ фигур с помощью

 определенного интеграла

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения вычисления площадей фигур.

1.        Краткие сведения из теории

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если интегрируемая на отрезке функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс 0х и прямыми х = а  и х = b, т.е.

§  Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью 0х и прямыми  равна

  (1)

§  Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (1) от абсолютной величины подынтегральной функции

                 или       

§  Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций

 (2)

Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

2.      Найдите площадь фигуры, ограниченной данными  линиями,

в  соответствии с номером варианта:

№ варианта	Уравнения линий	Уравнения линий	Уравнения линий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

3.      Решение типовых примеров:

Пример 1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

    или    .

Находим: x₁ = -2, x₂ = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Ответ:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями .

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Находим:

Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

Ответ:

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями

.

Решение.

Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

Ответ:

Пример 4.Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

Решение.

Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

Искомая площадь равна разности площадей

двух криволинейных трапеций:

Ответ:

Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , ,  

Ответ:

Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=2sinx, x=0,

Решение: Построим графики функций y=sinx, y=2sinx

              Ответ:

Пример 6..  

 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  , осями координат и прямой .

   В рассматриваемом случае функция    на отрезке  [0; 2]  меняет знак,  а именно   на отрезке  [0; 1]  и     на отрезке  [1; 2] .

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):

              

                                

             (кв. ед.).

Ответ:

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №7

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 7

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения решения дифференциальных уравнений

Краткие сведения из теории

Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальным  уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков.

Общий вид ДУ:

,      ,      

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение

Решением  (или интегралом) ДУ называется  такая  функция , подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.

Процесс нахождения решения  называется интегрированием ДУ.

Общим решением ДУ называется функция ,  зависящая от  n произвольных постоянных , обращающая это уравнение в  тождество.

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

Поделив обе части уравнения на N₁(y)M₂(x), получим уравнение:

,

в котором переменные разделены.

Общий интеграл уравнения находится определенным интегрированием:

.

Найдите общее решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными в соответствии с номером варианта:

Номер варианта	Дифференциальное уравнение	Номер варианта	Дифференциальное уравнение
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Решение типовых примеров:

Найти общие интегралы уравнений с разделяющимися переменными:

Пример 1.

Решение:

Переписываем производную в нужном нам виде:

Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

В правой части получился логарифм, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом. Воспользуемся свойствами логарифмов:

 

и тогда решение примет вид:

Это и есть общий интеграл данного уравнения, где С –const.

Пример 2.

Решение:

Разделяем переменные:

Выражаем функцию в явном виде, используя

.

Пример 3.

 

Решение:

Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

общее решение:

Пример 4.

Решение:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу С не обязательно определять под логарифм.

Пример 5.

Решение:

Общий интеграл:

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным,

 если оно линейно, (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и ее производной dy /dx

Общий вид линейного уравнения:

у’+P(x)y = Q(x)         (1)

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций y = uv . Тогда:

 ,     и данное уравнение (1) примет вид

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбирать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось   в, 0, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v = v(x) уравнения с разделяющимися переменными

Подставляя выражение v = v(x) в уравнение (2), получаем уравнение относительно функции u

              (3),

которое также является уравнением с разделяющимися переменными.

Найдя общее решение уравнения (3) в виде  u = u (x, c), получим общее решение линейного уравнения (1):

                                             

Найдите общее решение линейных дифференциальных уравнений  в соответствии с номером варианта:

Номер варианта	Дифференциальное уравнение	Номер варианта	Дифференциальное уравнение
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Решение типовых примеров:

Найти общее решение линейных уравнений:

Пример 1.

Решение:

Полагаем y = uv.

 Тогда  и данное уравнение примет вид:

или   (4)

Решая уравнение v’-v ctg x = 0, найдем его простейшее частное решение:

ln | v | = ln | sin x|, откуда v = sin x.

Подставляя v в уравнение(4) получим уравнение:

 из которого находим u:

Откуда u = - ctg x + C

Итак, искомое общее решение:

у= uv = (-ctg x + C)sin x = - cos x+C sin x

Пример 2.

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:


Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :




 – подставим во второе уравнение системы:



Таким образом:

общее  решение:

Пример 3.

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:

Составим и решим систему:
 .
Из первого уравнения найдем :



 – подставим во второе уравнение системы:



Общее решение:

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №8

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ.

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие №8

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ.

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения выполнения действий над матрицами и вычисления определителей.

1. Краткие сведения из теории

1) Понятие матрицы

Матрицей размера  mn   называется  прямоугольная таблица из чисел , , 

,  состоящая из  m  строк и n  столбцов,

где    а_ij – элемент матрицы;

i- номер строки;

j – номер столбца.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, матрица называется квадратной

.

Квадратной матрицей третьего порядка называется таблица чисел:

 .

Квадратная матрица   А  называется вырожденной (особенной), если ее определитель

 .

Если , то матрица называется невырожденной (неособенной).

Матрица называется симметрической, если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию а_mn = а_nm .

Две матрицы

А =     и    В =     считаются равными  (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, то есть когда а_{mn =} b_mn 

( m, n = 1, 2, 3) .

2) Действия над матрицами

Суммой двух матриц  А и В  называется матрица, определяемая равенством

  +    =    .

Произведением числа  m  на матрицу  А  называется матрица, определяемая равенством

m =   .

Произведение двух матриц  А и В  называется матрица, определяемая равенством

АВ=  = .

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется   АВ ¹ ВА.

Нулевой матрицей называется матрица,  все элементы которой равны нулю:

 .

Сумма этой матрицы и любой матрицы  А  дает матрицу  А:   А + 0 = А.

Единичной матрицей называется матрица

Е = .

При умножении этой матрицы слева и справа на матрицу  А  получается матрица  А:

ЕА = АЕ  = А.

Матрицей – столбцом называется матрица    .

Произведение   AX   определяется равенством  

   .

2.      Выполните задания  в соответствии с номером варианта:

Найти значение матричного многочлена , где Е – единичная матрица:

Номер варианта	Матрица А	Номер варианта	Матрица А
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

3.      Решение типовых примеров

1)      Найти значение матричного многочлена ,  если

  и  Е – единичная матрица третьего порядка.

Решение:

;

;        ;      ;

.

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №9

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие №9

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения в вычисления определителей.

1. Краткие сведения из теории

1)  Понятие определителя

Определителем второго порядка, соответствующим таблице элементов , называется число , которое определяется равенством    .

Диагональ, на которой находятся элементы  а₁₁  и  а₂₂ , называется главной, а диагональ, на которой находятся элементы  а₂₁  и  а₁₂ – побочной.  

Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов  

 ,   определяется равенством   

(разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки).

Минором  M_ik  элемента а_ik определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Алгебраическим дополнением  A_ik  элемента  а_ik  определителя третьего порядка называется его минор, умноженный на (-1)ⁿ, где n – сумма номеров строки и столбца,

Т. о., знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента, определяется следующей таблицей:  .        .

2) Основные свойства определителей

• Величина определителя не изменится, если все его строки заменить на столбцы с теми же номерами, т. е.

 =  .

• При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак; например,

 =  -  .

• Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя; например

 =  .

• Если некоторые строки (столбцы) определителя целиком состоят из нулей, то определитель равен нулю.

• Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя пропорциональны (в частности, равны) соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю; например,

= 0.

• Если каждый элемент какой-либо  i-й  строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного определителя только  i-й  строкой (столбцом);  i-я строка (столбец) одного из этих определителей состоит из первых слагаемых, другого определителя – из вторых слагаемых; например

 =   +   . 

• Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель; например

 =  .

• Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

• Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю; например

(здесь взяты элементы первой строки и алгебраические дополнения элементов

 второй строки).

4.      Выполните задания  в соответствии с номером варианта:

1)      Вычислить определители второго и третьего порядка:

Номер варианта	Определитель	Определитель
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

5.      Решение типовых примеров

2)      Вычислить определители второго и третьего порядков:  

1)     .

2)    

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №10

Решение систем  линейных уравнений

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие №10

Решение систем  линейных уравнений

Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения в вычисления определителей.

1. Краткие сведения из теории

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

          Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

             ,   при условии, что определитель системы     , 

          имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:  

                ,   где     ,       .                               (1)

          Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

             ,    при условии, что определитель системы

,  имеет единственное решение,  которое определяется

                    по формулам Крамера        ,                                (2)

    где       ,       ,        .          

(разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки).

2.      Выполните задания  в соответствии с номером варианта:

Решить системы уравнений методом Крамера  в соответствии с номером варианта:

Номер варианта	Система уравнений	Система уравнений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

3.      Решение типовых примеров

          1.  Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:  .

          Определитель системы   ;  поэтому система имеет единственное решение, которое находим по формулам  (1):

 ,                       .

          Ответ:  (3; -2) .

          2.  Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:                

                      .

Находим определитель системы:  

  

Следовательно, система имеет единственное решение.  Находим его по формулам (2):

,                  ,         

.

          Ответ:  (2; 1; -1) .

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №11

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 11

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

           Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения выполнения действий над комплексными числами.

1.        Краткие сведения из теории

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

           Над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, удобно производить сложение, вычитание, умножение и деление.

           Пусть даны два комплексных числа     и   ,  тогда

1) Суммой двух комплексных чисел     и    называется комплексное число

;

2) Разностью  двух комплексных чисел   и   называется комплексное число  

;

3)  Произведением  двух комплексных чисел   и  называется комплексное число 

.

      На практике два комплексных числа перемножаются как обычные многочлены, при этом учитывается, что   .

4)  Частным  двух комплексных чисел  и  называется комплексное число         

 .

       На практике при делении двух комплексных чисел достаточно умножить числитель и знаменатель дроби    на число сопряженное знаменателю, то есть на  число .

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической

форме

         Над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня.

         Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме     и    ,    тогда

1)     ;

2)     .

         Если   ,   то

3)      ;

4)      ,

         где    - арифметический корень,   k=0, 1, 2, …, n -1.

Действия над комплексными числами, заданными  в показательной форме

         Над комплексными числами, заданными в показательной форме, также и как над комплексными числами в тригонометрической форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня.

           Пусть даны два комплексных числа в показательной форме    и  , тогда

1)    ;                                                                                             

2)    .                                                                                                          

          Если    , то

3)    ;                                                                                                                   

4)    ,     где    - арифметический корень,   k=0, 1, 2, …, n -1. 

                  2.  Произвести действия  над комплексными числами в соответствии с номером варианта:

Номер варианта	Комплексные числа	Комплексные числа
1		,
2	,
3	,
4		,
5	,
6	,	,
7		,
8	,
9	,	,
10		,
11	,	,
12	,
13		,
14	,	,
15	,	,

 3.  Решение типовых примеров

            Выполнить действия:

1)      Дано:      и   .

           Пример выполнения:

1)  ; 

2)  ;

3)   ;

4)   .

2)      Дано:      и   .

           Пример выполнения:

1)  ;

2)  ;

3)  

4)  ,   где  k = 0, 1, 2, 3.

           При  k = 0, 1, 2, 3  получим

;

;

;

.

3)      Дано:     и   .

Пример выполнения:

1)   ;

2)   ;

3)  ;

4)    ,   k = 0, 1, 2, 3.

При  k = 0, 1, 2, 3  получим

;                                                              ;                    

;                                            .             

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 12

ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ

 И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ОБРАТНО

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие № 12

ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ

 И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ОБРАТНО

Цель практического занятия: приобрести навыки и умения перевода комплексных чисел из тригонометрической и показательной форм в алгебраическую и наоборот.

1.      Краткие сведения из теории

Перевод комплексных чисел из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную

Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа  к тригонометрической достаточно найти его модуль и один из аргументов. Модуль определяется по формуле

.

Зная модуль r, аргумент находим из системы

.

Перевод комплексных чисел из тригонометрической и показательной форм записи в алгебраическую

Для того чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа  или от показательнойк алгебраической достаточно найти его действительную и мнимую части из системы

2. Произвести действия над комплексными числами в соответствии с номером варианта:

Номер варианта	Комплексные числа	Комплексные  числа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

3. Решение типовых примеров

1)      Выполнить действия:

1)      Дано: .

Пример выполнения:

2)      Дано:

Пример выполнения:

3)      Дано:

Пример выполнения:

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие № 13

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие №13

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

            Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения непосредственного вычисления вероятностей сложных событий.

1.      Краткие сведения из теории

  Суммой (объединением) нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

  Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

В частности, для независимых событий:

Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

2.      Решение типовых примеров:

  Пример 1.  В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

  Решение.  

Появление цветного шара означает появление  красного или синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие A):

Вероятность появления синего шара (событие B):

События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Искомая вероятность: 

  Пример 2.  Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо трем, либо пяти, либо тому и другому одновременно.

  Решение.

  Пусть событие A состоит в том, что наудачу взятое число кратно 3.

Событие B - число кратно 5.

События A и B совместные, поэтому применима терема сложения вероятностей совместных событий.

Количество двузначных чисел – 90.

Количество двузначных чисел, кратных трем – 30; кратных пяти – 18.

Искомая вероятность:

  Пример 3.В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

  Решение.

Пусть событие A состоит в том, что из первой урны вынули белый шар.

Событие B – из второй урны вынули белый шар.

События A и B независимы.

Искомая вероятность:

  Пример 4. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали стандартные.

  Решение.

Пусть событие A состоит в том, что первая деталь стандартная. 

Событие B – вторая деталь стандартная.

События A и B – зависимые.

  Искомая вероятность:

  Пример 5. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% от общего количества деталей; на втором – 35%; на третьем – 25%. Причем, на первом станке было изготовлено 90% деталей 1 сорта; на втором – 80%; на третьем – 70%. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется 1 сорта.

  Решение.

Пусть событие A состоит в том, что взятая наугад деталь оказалась 1 сорта.

Событие  - деталь изготовлена на первом станке.

Событие  - деталь изготовлена на втором станке.

Событие  - деталь изготовлена на третьем  станке.

                                      

Искомая вероятность может быть найдена по формуле полной вероятности:

3.      Решите задачи, в  соответствии с номером варианта:

ЗАДАЧИ 1) На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлено «x»  учебников, причем «y»  из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу два учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. 2) Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий соответственно равны ; . Какова вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий? 3) Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна «a»%; второй – «b»%; третий – «c»%. Найти вероятность того, что при аварии сработают все три сигнализатора одновременно. 4) Среди «k» лотерейных билетов имеется «t» выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными. 5) В пирамиде «x» винтовок, причем «y» из них с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна «a»%; для винтовки без оптического прицела – «b»%. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки?

Вариант № 1 1)      x=15;   y=5 2)      n=0,8;   m=0,7 3)      a=90%;   b=85%;   c=70% 4)  k=100;   t=5 5)  x=5;   y=3;   a=95%;   b=70%

Вариант № 2  1)  x=20;   y=4  2)  n=0,75;   m=0,9  3)  a=80%;   b=75%;   c=90%  4)  k=300;   t=20  5)  x=12;   y=4;   a=90%;   b=65%

Вариант № 3 1)  x=25;   y=5 2)  n=0,8;   m=0,7 3)  a=70%;   b=85%;   c=95% 4)  k=150;   t=10 5)  x=10;   y=5;   a=85%;   b=60%

Вариант № 4 1)  x=18;   y=3 2)  n=0,9;   m=0,75 3)  a=85%;   b=90%;   c=75% 4)  k=200;   t=15 5)  x=15;   y=3;   a=95%;   b=65%

Вариант № 5 1)  x=30;   y=6 2)  n=0,8;   m=0,9 3)  a=95%;   b=65%;   c=70% 4)  k=120;  t=8 5)  x=8;   y=2;  a=85%;   b=60%

Вариант № 6 1)  x=24;   y=4 2)  n=0,6;   m=0,85 3)  a=70%;   b=85%;   c=95% 4)  k=150;  t=5 5)  x=6;  y=4;   a=90%;   b=65%

Вариант № 7 1)  x=15;   y=3 2)  n=0,85;   m=0,6 3)  a=80%;   b=85%;   c=90% 4)  k=250;  t=25 5)  x=10;  y=6;   a=95%;   b=70%

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»

Практическое занятие №14

СОСТАВЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ.

(2 часа)

    для специальности:

·         22.02.05   Обработка   металлов давлением

Практическое занятие №  14

СОСТАВЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ.

            Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения составления вариационных рядов,  умение вычисления  числовых характеристик выборки.      

           1.    Краткие сведения из теории

     Случайной величиной называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных исходов.

     Наблюдаемые значения случайной величины  x₁ , x₂ , x₃  , … , x _n  называются случайной выборкой.  x_i  называются вариантами.

     Количество наблюдений называется объемом выборки.

     Вариационный ряд – это упорядоченная по величине последовательность выборочных значений:     x₁ £ x₂ £ x₃ £ … £ x _n .

    В задачах статистического контроля качества продукции часто используется величина       

R = x _n - x₁ , называемая размахом или широтой выборки.

     Статистический ряд получается из вариационного, если одинаковые значения  x_i указываются только один раз.

     Статистическим распределением выборки называют перечень значений  x_i случайной величины и соответствующих им частот или относительных частот.

     Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон частот.

     Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки 

        (x₁ ; n₁ );  (x₂ ; n₂ );  . . . ; (x_k ; n_k ).

     Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты  x_i , а на оси ординат – соответствующие им частоты  n_i .  Точки  (x_i ; n _i )  соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

     Выборочной средней  называется среднее арифметическое значение выборки.  Если все значения выборки  x₁ , x₂ , x₃  , … , x _n  объема   n  различны, то

                                               .

     Если же значения   x₁ , x₂ , x₃  , … , x _n  имеют соответственно частоты

 n₁ , n₂ , n₃ , … , n_k  причем   n₁ + n₂ + … + n_k = n ,   то

                                        .           

     Выборчной  дисперсией     называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений от среднего значения   .  Если все значения

x₁ , x₂ , x₃  , … , x _n  различны, то

            .

     Если же значения случайной величины x₁ , x₂ , x₃  , … , x _n  имеют соответственно частоты     n₁ , n₂ , n₃ , … , n_k  причем   n₁ + n₂ + … + n_k = n ,   то

               .

Решение типовых примеров

     Пусть даны следующие значения случайной выборки:

5

10

-10

-20

0

5

5

25

15

10

20

-5

-20

15

15

0

     Объем этой выборки   n = 16.

     Вариационный ряд:

-20

-20

-10

-5

0

0

5

5

5

10

10

15

15

15

20

25

     Размах выборки:   R _n = 25 – ( -20) = 25 + 20 = 45.

     Статистический ряд:

-20

-10

-5

0

5

10

15

20

25

     Выборочное  распределение:

-20	-10	-5	0	5	10	15	20	25
2	1	1	2	3	2	3	1	1

     Полигон частот:

                                                                    n

                                                                   3

                                                                        2

                                                                   1

                                                                                                                                         x               

                                -20            -10    -5       0       5      10      15     20      25                                                             

     Выборочное среднее:

                   

     Выборочная дисперсия:

                 

  

 

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

1.      .Е.В Филимонова Математика для средних специальных учебных заведений: учебное пособие. – Изд. 4-е, доп. и перераб. – Ростов н/ Д: Феникс, 2008.-414, [1] с. - (Среднее профессиональное образование).

2.       А.А. Дадаян. Математика: учебник – 3-е изд. М.: Форум, 2014.-544 с. (Профессиональное образование).

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений.- 8-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2006.-495с.
2. Алексеева Г.Ю. Сборник задач и упражнений по математике для сузов / Г.Ю. Алексеева, Т.Н. Быкова, Н.И. Хрипченко. М.: Издательство «Экзамен», 2008. – 190, [2] с. (Серия « Учебник для сузов»)

Компьютерные программы и Интернет-ресурсы:

1.      Exponenta.ru: образовательный математический сайт.

2.      http://www.alleng.ru/ образовательный математический сайт

3.       http://window.edu.ru/ образовательный математический сайт

4.               MATH24.ru. Математический анализ: образовательный сайт.Поисковые системы сети Интернет: Яндекс. Рамблер, AltaVista, Апорт, Filez, Archie и др.

5.              Информационно-поисковые системы Консультант Плюс, Гарант, Кодекс и др.

Сайт компании «Консультант Плюс»: http://www.consultant.ru