Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» 2 курс для специальности: 22.02.05 Обработка металлов давлением
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических работ по дисциплине «Математика» 2 курс для специальности: 22.02.05 Обработка металлов давлением

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_55f18c67.gifКОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»









методические указания

по выполнению практических работ

по дисциплине «Математика»

по основной профессиональной образовательной программе

среднего профессионального образования

по подготовке специалистов среднего звена

( базовая подготовка)





для специальности: 22.02.05 Обработка металлов давлением

.



















2015г.


Методические указания составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом (далее – ФГОС) для специальности среднего профессионального образования (далее – СПО) 22.02.05 Обработка металлов давлением, утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 21.04. 2014 г. N 359

.





Составитель: Мозговая И.В., преподаватель



Рассмотрены и одобрены на заседании цикловой комиссии

Протокол № от . . 2015 г.

Председатель предметно-цикловой комиссии:

__________________/Сергеева И.В./


Согласованы на заседании методического совета


Протокол № от . 15 г.


Заместитель директора по УР:

__________________/Семенова С.А./
























СОДЕРЖАНИЕ


Введение…………………………………………………………………………………………4

Практическое занятие № 1

Вычисление пределов.………………………………………………………………………...6

Практическое занятие № 2

Нахождение производной сложной функции.……………………………………………..10

Практическое занятие № 3

Нахождение неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.………………………………………………………………………………15

Практическое занятие № 4

Замена переменной и интегрирование по частям в

неопределенном интеграле ………………………………………………………………...19

Практическое занятие № 5

Замена переменной и интегрирование по частям в

определенном интеграле.……………………........................................................................26

Практическое занятие № 6

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.………………………………………………………………………………………31

Практическое занятие № 7

Решение дифференциальных уравнений.……………………………………………………………………………………...37

Практическое занятие № 8

Действия над матрицами. …………………………………………………………………...46

Практическое занятие № 9

Вычисление определителей.…………………………………………………………………51

Практическое занятие № 10

Решение систем линейных уравнений.……………………………………………………56

Практическое занятие № 11

Действия над комплексными числами………………………………………………….....61

Практическое занятие № 12

Переход от алгебраической формы записи к тригонометрической

и показательной и обратно………………………………………………………………….67

Практическое занятие №13

Решение задач на определение вероятности с использованием

теорем сложения и умножения вероятностей…………………………………………….72

Практическое занятие №14

Составление вариационных рядов.

Нахождение числовых характеристик выборки…………………………………………77

Литература……………………………………………………………………………………..81














ВВЕДЕНИЕ.


Математика изучается как профильная учебная дисциплина при освоении специальности СПО 22.02.05 Обработка металлов давлением, утвержденным приказом Министерства образования и науки РФ от 21.04. 2014 г. N 359.

В структуре основной профессиональной образовательной программы дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный цикл.


Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:

уметь:

  • анализировать сложные функции и строить их графики;

  • выполнять действия над комплексными числами;

  • вычислять значения геометрических величин;

  • производить операции над матрицами и определителями;

  • решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

  • решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

  • решать системы линейных уравнений различными методами;

знать:

  • основные математические методы решения прикладных задач;

  • основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления;

  • роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

обладать общими компетенциями:

ОК 1.

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 3.

Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4.

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5.

Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 8.

Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9.

Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10.

Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).


Содержание рабочей программы дисциплины, согласовано с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования базового уровня.



Количество часов на освоение программы дисциплины:

максимальная учебная нагрузка обучающегося 100 часов, в том числе: обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 68 часов, самостоятельной работы обучающегося 32 часа. Практические занятия составляют 28 часов .


Выполнение практических работ поможет студентам освоить обязательный минимум содержания дисциплины, подготовиться к сдаче экзамена.

Практические работы проводятся после изучения теоретического материала в учебном кабинете математики. Обучающиеся должны иметь методические рекомендации по выполнению практических работ, конспекты лекций, измерительные и чертежные инструменты, средство для вычислений.

Общие указания по выполнению практических работ.

Каждый вариант работы состоит из нескольких задач. Обучающийся должен решить задачи по варианту, номер которого укажет преподаватель.

При выполнении практических работ надо придерживаться следующих правил:

1. Практическую работу следует выполнять в тетради чернилами черного или синего цвета, оставляя поля.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия обучающегося, его инициалы, номер специальности, название дисциплины, номер подгруппы.

3. В заголовке работы должны быть указаны номер практической работы, тема практической работы, номер варианта.

4. В работу должны быть включены задачи, указанные в практической работе, строго по предложенному варианту.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.

6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.

7. После получения проверенной работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки.

3. Основные требования к обработке результатов расчетов и оформлению отчетов.

Отчет по практической работе должен содержать:

1. Номер и тему практической работы, номер варианта.

2. Номер задачи и ее условие.

3. Подробное решение каждой задачи.

4. Полный ответ к каждой задаче.

Критериями оценки результатов работы студентов являются:

 уровень усвоения студентом учебного материала;

 умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

 сформированность ключевых (общеучебных) компетенций;

 обоснованность и четкость изложения материала;

 уровень оформления работы.

Анализ результатов.

Если практическая работа выполнена в полном объеме и правильно оформлена, то ставится оценка «5».

Если практическая работа выполнена более чем на 75%, ставится оценка «4».

Если практическая работа выполнена более чем на 60%, ставится оценка «3».

В противном случае работа не засчитывается.






КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие № 1



ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением





















Практическое занятие № 1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления пределов.


  1. Краткие сведения из теории

При вычислении предела элементарной функцииhello_html_6de219f2.gif разделяют два случая.


  1. Функцияhello_html_6de219f2.gif определена в предельной точке x=a .Тогда


hello_html_23271a37.gif. (1)

2) Функцияhello_html_6de219f2.gif в предельной точке x=a не определена или же вычисляется предел функции при hello_html_m15cadf7c.gif. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых функций и связи между ними.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция hello_html_6de219f2.gif в точке x=a или приhello_html_m15cadf7c.gif, представляет собой неопределённость вида:

hello_html_3fd14da7.gif.

Основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1) Если существует hello_html_549f982b.gif и hello_html_2d5b52b9.gif, то:

а)hello_html_m34add0ac.gifhello_html_83a606e.gif;

б) hello_html_m1aed372e.gif;

в) hello_html_55f9e8bb.gif, hello_html_m5c054028.gif.


2) Если в некоторой окрестности точки x=a (кроме, быть может, точки a) выполнено условие hello_html_m67a07c4.gif и если предел одной из этих функций в точке а

Существует, то

hello_html_m516be807.gif;

3) Если существует hello_html_3515eb3c.gif и hello_html_6de219f2.gif - элементарная функция, то

hello_html_774a32.gif .


Например,

hello_html_130b0ba8.gif , hello_html_ac714f3.gif;


  1. Первый замечательный предел:


hello_html_m2ae08810.gif (2)


5) Второй замечательный предел:

hello_html_m6ecbb415.gif (3).



2. Вычислить пределы в соответствии с номером варианта:



Номер

варианта

Предел

Предел

1

hello_html_m6d217d0a.gif

hello_html_m695d5408.gif

2

hello_html_m6e18d5c5.gif

hello_html_m32251c2f.gif

3

hello_html_54b8452c.gif

hello_html_m7c2341d5.gif

4

hello_html_m2b610408.gif

hello_html_m5bc84bcd.gif

5

hello_html_m156fa1c3.gif

hello_html_m78786e26.gif

6

hello_html_m2b72f7cd.gif

hello_html_m2d756232.gif

7

hello_html_m6a0c0ef5.gif

hello_html_7aa44fcb.gif

8

hello_html_74c4dd1f.gif

hello_html_m56f43529.gif

9

hello_html_m7904382.gif

hello_html_m2f41798c.gif

10

hello_html_79bf7db.gif

hello_html_m368175ba.gif

11

hello_html_7dca9da5.gif

hello_html_m773dd21b.gif

12

hello_html_3614a49d.gif

hello_html_m3b6beb9c.gif

13

hello_html_3e332229.gif

hello_html_m20db4e2.gif

14

hello_html_554ba2f3.gif

hello_html_7e915378.gif

15

hello_html_m7639ac33.gif


hello_html_m3b108264.gif




3. Решение типовых примеров:

Найдите пределы:

1).hello_html_m263712c3.gif.



2).hello_html_m31e32eb.gif .

3).hello_html_37892446.gif.


4).hello_html_69671f6a.gif.



5)

zamechatelnye_predely_clip_image093

6)

7)zamechatelnye_predely_clip_image112

zamechatelnye_predely_clip_image186


КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие № 2



НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ



(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением






















Практическое занятие № 2


НАХОЖДЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЙ


Цель практического занятия: научиться применять правила дифференцирования,

приобрести навыки и умения дифференцирования сложной функций.



1.Краткие сведения из теории


Производной функции hello_html_6acd0737.gif в точке hello_html_m62c149a7.gif называется предел отношения приращения hello_html_m7085300e.gifфункции в этой точке к приращению hello_html_m74aa7c63.gif аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:


hello_html_m59829a62.gif.


Функция hello_html_6acd0737.gif, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.


Производная функции hello_html_6acd0737.gif обозначается hello_html_m4f62f8c0.gif, hello_html_m7a80e8eb.gif,hello_html_m1a86587f.gifили hello_html_m5a2d7687.gif,hello_html_12f68e4f.gif, hello_html_4e4dee8b.gif.


Нахождение производной называется дифференцированием.


Пусть y=y(u) и u=u(x) –дифференцируемые функции, тогда сложная функция hello_html_m44f7e850.gif есть так же дифференцируемая функция , причём

hello_html_m59722363.gif , или hello_html_m7ea0b670.gif.


Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, её составляющих.




Правила дифференцирования


  1. hello_html_4caa76d0.gif , c const,

  2. hello_html_238a3d82.gif

  3. hello_html_m24884bc1.gif , где hello_html_m654b254.gif

  4. hello_html_15b62ee5.gif





Таблица производных элементарных функций


hello_html_505fc383.gif, c - const

hello_html_15d6ecbb.gif

hello_html_6b72340a.gif

hello_html_m2fbd3d38.gif

hello_html_m685ea10d.gif

hello_html_4d128f84.gif

hello_html_3cd77f20.gif

hello_html_m5462d885.gif

hello_html_m3b3c20a7.gif

hello_html_m60c95695.gif

hello_html_64e421f7.gif

hello_html_49332ae2.gif

hello_html_276ecf03.gif

hello_html_bcf4821.gif

hello_html_m48264242.gif

hello_html_mb67acbe.gif


2. Найдите производные функций, используя таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования, в соответствии с номером варианта.



Номер

варианта

Функция

Функция

1

88

hello_html_m28e539eb.gif

2

89

hello_html_m2a70754a.gif

3

83

hello_html_59f64032.gif

4

94

hello_html_365b6a71.gif

5

95

hello_html_70918fb9.gif

6

86

hello_html_216d66ae.gif

7

80

hello_html_67639220.gif

8

1

hello_html_m43efbd3a.gif

9

81

hello_html_177473d3.gif

10

87

hello_html_m4e50ffd3.gif

11

hello_html_m312e83fc.gif

hello_html_5d52b171.gif

12

84

hello_html_m62a00377.gifhello_html_5d154fcd.gif

13

82

hello_html_2bd79a79.gif

14

79

78

15

77

85



3. Решение типовых примеров.

Вычислите производные от заданных функций:


Пример 1.

hello_html_m4309a989.gif


Пример 2.

hello_html_m504a71d.gif


Пример 3.


5der4

5der6


Пример 4.


5der7

5der8. Тогда

5der9


Пример 5.


5der10

5der11


Пример 6.


5der12

5der13

Далее, по формуле производной сложной функции

5der14


Пример 7.


5der15

Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем

5der16


КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №3



НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением




















Практическое занятие № 3

НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Цель практического занятия: приобрести навыки и умения нахождения неопределенных интегралов.


  1. Краткие сведения из теории


Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (x) = f(x)

(или d F(x) = f(x)dx ).

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Общее выражение F(x) + C совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

hello_html_316b7a4c.gif, если (F(x) + C)¢ = f(x), где

f(x)dx – подынтегральное выражение;

F(x) – подынтегральная функция;

xпеременная интегрирования,

Cпроизвольная постоянная.


Основные свойства неопределенного интеграла


  1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

hello_html_m21520639.gif

  1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

hello_html_79570b2b.gif

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

hello_html_43433748.gif

  1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

hello_html_e7ed0f.gif


Таблица простейших интегралов.

1.hello_html_m2c064418.gif. 7. hello_html_m6fca6ed6.gif.

2. hello_html_m5f626747.gif. 8. hello_html_m2b6760a2.gif.

3. hello_html_m1628f17f.gif. 9. hello_html_m69e1308f.gif.

4. hello_html_100023ff.gif. 10. hello_html_m1daa02af.gif.

5. hello_html_ma0d99a9.gif. 11. hello_html_m7c6cdb78.gif.

6. hello_html_3989f6c1.gif. 12. hello_html_m2d253e26.gif.



2. Вычислите неопределенные интегралы в соответствии с номером варианта:


Номер варианта

Интеграл

Интеграл

Интеграл

1

hello_html_5e528b49.gif

hello_html_m46e0674e.gif

hello_html_m3b5a7e49.gif

2

hello_html_m1bb0ae1.gif

hello_html_26b9c49.gif

hello_html_m7921d987.gif

3

hello_html_12a6e58d.gif

hello_html_9814fef.gif

hello_html_m54c39889.gif

4

hello_html_6edbd7a2.gif

hello_html_9688c9e.gif

hello_html_6dd00c6d.gif

5

hello_html_2cd27ea0.gif

hello_html_c1cab0.gif

hello_html_m774130a6.gif

6

hello_html_6b13de0d.gif

hello_html_23fd4569.gif

hello_html_6973737b.gif

7

hello_html_5d29bae4.gif

hello_html_65e86ab4.gif

hello_html_2a886249.gif

8

hello_html_m7028039c.gif

hello_html_m6bab5e0e.gif

hello_html_m64b7033d.gif

9

hello_html_m3f91ef7c.gif

hello_html_71d4e447.gif

hello_html_68bc739d.gif

10

hello_html_m7d333cb2.gif

hello_html_m4677a3e9.gif

hello_html_3beb28b4.gif


3. Решение типовых примеров

1)hello_html_5d43039b.gif.


2)hello_html_74879060.gifhello_html_476bf9f1.gif.


3)hello_html_m6c3ddd4e.gif.


4)hello_html_1e23f61.gifhello_html_m23f78d2.gif.

5)hello_html_m1ef464.gif.














































КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №4



ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением




















Практическое занятие № 4


ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления неопределенных интегралов методом замены переменной и интегрирования по частям.



1.Краткие сведения из теории


Метод замены переменной


Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки hello_html_6942523b.gif, где hello_html_m92d7c89.gif - новая переменная. В этом случае формула замены переменной

hello_html_m1948b620.gif.



Метод интегрирования по частям


Интегрирование по частям называется нахождение интеграла по формуле

hello_html_m376e392b.gif, (1)

где u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.


С помощью формулы (1) отыскание интеграла hello_html_66f369fd.gif сводится к нахождению другого интеграла hello_html_1afd46da.gif; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.


При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.


При нахождении интегралов вида:


  • hello_html_34e8781a.gifhello_html_2ee9253f.gifhello_html_m27b3f1f2.gif

за u следует принять многочлен Р(х), а за dv - соответственно выражения hello_html_m29e9aa7d.gif, hello_html_m73e29a34.gif,

hello_html_5c2a3583.gif;


  • hello_html_m12071e7c.gifhello_html_m1208dcaa.gifhello_html_36be5854.gif

за u принимается соответственно функция hello_html_1ba1593c.gif, hello_html_m1884ad06.gif,

hello_html_m58c060e5.gif, а за d - выражение hello_html_66fc6f33.gif.





2. Найти неопределенные интегралы в соответствии с номером варианта:


а) методом замены переменной


№ варианта

Интеграл

Интеграл

Интеграл

1

hello_html_3287a297.gif

hello_html_21168374.gif

hello_html_m3c9c5535.gif

2

hello_html_m1f4e0032.gif

hello_html_m5a09c32a.gif

hello_html_m2a2448d1.gif

3

hello_html_m74aeb0e0.gif

hello_html_3ef17d6a.gif

hello_html_m15434395.gif

4

hello_html_7c764505.gif

hello_html_m1228faa9.gif

hello_html_m1eab747c.gif

5

hello_html_3dd601ba.gif

hello_html_2c25aaf2.gif

hello_html_39b14911.gif

6

hello_html_288ecc6f.gif

hello_html_17210f2f.gif

hello_html_3f483796.gif

7

hello_html_4c04db39.gif

hello_html_62974518.gif

hello_html_55e3b3ec.gif

8

hello_html_m47926b95.gif

hello_html_m1d34c3c4.gif

hello_html_58f895c4.gif

9

hello_html_5379efaf.gif

hello_html_40a80864.gif

hello_html_m16c2be3e.gif

10

hello_html_m5116bba.gif

hello_html_2cfa2bab.gif

hello_html_m76dd22aa.gif

б) интегрированием по частям


№ варианта

Интеграл

Интеграл

Интеграл

1

hello_html_72d02cd9.gif

hello_html_m6fccd74b.gif

hello_html_m6dfe13a0.gif

2

hello_html_m7af17cb1.gif

hello_html_m7712ffca.gif

hello_html_67a37e06.gif

3

hello_html_m328a3ca4.gif

hello_html_5312857d.gif


4

hello_html_m34a756da.gif

hello_html_m6a778565.gif

hello_html_m75a305a8.gif

5

hello_html_m5cf84b29.gif

hello_html_87b416c.gif

hello_html_m5ae7f53e.gif

6

hello_html_469088b0.gif

hello_html_a779d34.gif

hello_html_m389b896b.gif

7

hello_html_22825506.gif

hello_html_m5d7e73a0.gif

hello_html_38945d6f.gif

8

hello_html_191ffbf2.gif

hello_html_c383924.gif

hello_html_m54ef350b.gif





3. Решение типовых примеров:


Найти интегралы методом замены переменной:

  1. hello_html_663b2ba6.gif


Решение:

hello_html_m595d90be.gif.



  1. hello_html_mb4d6914.gif


Решение:

hello_html_1ad20ccb.gif.



  1. hello_html_m561b9313.gif


Решение:hello_html_m3f0cc95e.gif.


  1. Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image153.gif



Решение:


Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image153.gif



  1. integral1_clip_image094

Решение.

Положим x – 1 = t, тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt .

integral1_clip_image096

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

integral1_clip_image098




Найти интегралы методом интегрирования по частям:


  1. Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image099.gif



Решение:

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image101.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image103.gif
Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image105.gif

  1. Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image119.gif

Решение:

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image119.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image121.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image123.gif

  1. Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image155.gif

Решение:


Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image155.gif
Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image157.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image159.gif

  1. Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image161.gif

Решение:

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image161.gif

Дважды интегрируем по частям:

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image163.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image165.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image167.gif

Описание: http://www.mathprofi.ru/f/integrirovanie_po_chastyam_clip_image169.gif

  1. hello_html_170c213b.gif

Решение:

hello_html_m5f846adb.gif.

hello_html_5dc6d2a2.gifhello_html_m4ce0f2aa.gif

hello_html_5186d8fb.gifhello_html_2fca2239.gif.


  1. hello_html_6b3a2aea.gif

Решение:


hello_html_6d190a2f.gif.

hello_html_m760a6b1c.gifhello_html_m216ea555.gif

hello_html_m507c83a3.gifhello_html_44d2ee13.gif.



  1. hello_html_m695878a0.gif

Решение:

I=hello_html_5059261c.gif. (*)

hello_html_2fd148ca.gifhello_html_44bf9b29.gif

hello_html_m65aecaec.gifhello_html_m73dc68ba.gif.

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, полагая

hello_html_2fd148ca.gifhello_html_m4ce0f2aa.gif

hello_html_m65aecaec.gifhello_html_2fca2239.gif и, следовательно,

hello_html_7e768278.gif.

Подставляя полученное выражение в соотношение (*), приходим к уравнению с неизвестным интегралом I:


I=hello_html_3c178764.gifI,

из которого находим


Ihello_html_m6eb53d8.gif+С.

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №5



Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением




















Практическое занятие № 5

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления определенного интеграла методами замены переменной и интегрирования по частям.


  1. Краткие сведения из теории


Метод непосредственного интегрирования


Для вычисления определенного интеграла от функции f(x), в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит

формула Ньютона-Лейбница:

hello_html_69c0515c.gif,

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.


Метод замены переменной


Замену переменной в определенном интеграле выполняют по формуле:

hello_html_m7c64f13e.gif, где hello_html_m5b80d436.gif

В отличие от неопределенного интеграла возвращаться к первоначальной переменной не требуется.

При вычислении нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.


Метод интегрирования по частям


Интегрирование по частям выполняется по формуле:

hello_html_m42fbaacd.gif , где hello_html_m5a2af2c4.gif - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a, b].

При вычислении интегралов вида:


  • hello_html_34e8781a.gifhello_html_2ee9253f.gifhello_html_m27b3f1f2.gif

за u следует принять многочлен Р(х), а за dv - соответственно выражения hello_html_m29e9aa7d.gif, hello_html_m73e29a34.gif,

hello_html_5c2a3583.gif;



  • hello_html_m12071e7c.gifhello_html_m1208dcaa.gifhello_html_36be5854.gif

за u принимается соответственно функция hello_html_1ba1593c.gif, hello_html_m1884ad06.gif,

hello_html_m58c060e5.gif, а за dv - выражение hello_html_66fc6f33.gif.




  1. Вычислите определенные интегралы в соответствии с номером варианта:


№ варианта

Интеграл

Интеграл

1

hello_html_m6d2f7b4f.gif

hello_html_m47468e34.gif

2

hello_html_3db707ca.gif

hello_html_m7619ccaa.gif

3

hello_html_m2baf4307.gif

hello_html_7bfe2a5.gif

4

hello_html_m65946514.gif

hello_html_1f855833.gif

5

hello_html_m430ad5f1.gif

hello_html_7c9266a4.gif

6

hello_html_m4cc79491.gif

hello_html_m172abf8f.gif

7

hello_html_34a524d1.gif

hello_html_57155bcf.gif

8

hello_html_m6559847b.gif

hello_html_m118ee69a.gif

9

hello_html_1dcebd6d.gif

hello_html_mc5deb03.gif

10

hello_html_m18efc0cb.gif

hello_html_57315538.gif



3. Решение типовых примеров.

Вычислите определенные интегралы:


Пример 1.

hello_html_m19dca0c5.gif


Решение:


Сделаем замену переменной:

hello_html_2fba82bb.gif, тогда hello_html_5d89fc27.gif


Вычисляем новые пределы интегрирования:

hello_html_21b872c9.gif , следовательно,

hello_html_m2d1aeb4d.gif


Пример 2.

hello_html_m9bd2706.gif


Решение:


Воспользуемся формулой интегрирования по частям.


Положим hello_html_5ebefed6.gifhello_html_7f86d1bc.gif тогда: hello_html_562e0050.gif

hello_html_m645e25b5.gif.


Пример 3.

ds0101548

Решение:


Избавимся от иррациональности, положив 1 + x = t2.

Тогда dx = 2t dt, x = 3 → t = 2, x = 8 → t = 3.

В итоге получаем

ds0101549ds0201549ds0301549

ds0101550ds0201550ds0301550ds0401550

 Пример 4.

ds0101544ds0201544

Решение:

Положим hello_html_c346b97.gif,

отсюда x = t2 - 1 и dx = 2t dt.

Новые пределы интегрирования определяются из формулы hello_html_c346b97.gif;

полагая x = 0, будем иметь t = 1 и, полагая x = 3, получим t = 2.

Следовательно,

ds0101546ds0201546ds0301546ds0401546

ds0101547ds0201547ds0301547ds0401547

 Пример 5.

image1154



Решение:

image1154




















КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие № 6



Вычисление площадей ПЛОСКИХ фигур с помощью

определенного интеграла




(2 часа)

для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением





















Практическое занятие № 6

Вычисление площадей ПЛОСКИХ фигур с помощью

определенного интеграла


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения вычисления площадей фигур.


  1. Краткие сведения из теории


Геометрический смысл определенного интеграла.


Если интегрируемая на отрезке hello_html_m39abd0f0.gifфункция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл hello_html_24c7817c.gifчисленно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс 0х и прямыми х = а и х = b, т.е.

hello_html_m35ce0682.gif


http://uztest.ru/plugins/abstracts/44_1.gif


  • Если функция hello_html_m5daeb9c4.gif на отрезке hello_html_6d771994.gif, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_6e112c11.gif, осью 0х и прямыми hello_html_37ab629e.gifhello_html_12983d43.gif равна

hello_html_m67cc0f91.gif (1)

  • Если функция hello_html_24ec32db.gif на hello_html_6d771994.gif, то площадь вычисляется по формуле (1) от абсолютной величины подынтегральной функции

hello_html_14ca2f98.gif или hello_html_m6bc5c3ce.gif

  • Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми hello_html_m2ded9f29.gif и hello_html_15ad48da.gif, при условии, что hello_html_m789aeddc.gif, то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций

hello_html_m1ca6fc84.gif (2)



Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение hello_html_m276629ea.gif.


  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями,

в соответствии с номером варианта:


№ варианта


Уравнения линий

Уравнения линий

Уравнения линий

1

hello_html_ma9094e.gif

hello_html_1d456b4d.gif

hello_html_m28bd3867.gif

2

hello_html_5eca32b5.gif

hello_html_1b498e0c.gif

hello_html_m2fa2308c.gif

3

hello_html_5da7e6ef.gif

hello_html_m59010134.gif

hello_html_m5a337dee.gif

4

hello_html_m37b9265d.gif

hello_html_m45aa5f8e.gif

hello_html_4ca128c5.gif

5

hello_html_m3e613471.gif

hello_html_256c229.gif

hello_html_1dfdf50.gif

6

hello_html_m5b19cfd1.gif

hello_html_m6ef80a32.gif

hello_html_30ac814f.gif

7

hello_html_m328d8234.gif

hello_html_9d09fa6.gif

hello_html_24f4beb0.gif

8

hello_html_24b7cffd.gif

hello_html_m4687c17c.gif

hello_html_m53af9902.gif


9

hello_html_2dc993db.gif

hello_html_m3f16b2a2.gif

hello_html_56499fdb.gif


10

hello_html_m10c30736.gif

hello_html_1b1315b7.gif

hello_html_m722721c5.gif


  1. Решение типовых примеров:


Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101718.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201718.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0301718.JPG

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101719.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201719.JPG

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101720.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201720.JPG    или    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101721.JPG.

Находим: x1 = -2, x2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101722.JPG

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101723.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201723.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0301723.JPG

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101724.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201724.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0301724.JPG

Ответ: hello_html_68e0ec0.gif


Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями hello_html_2704d2a8.gif.

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:hello_html_m6917e3d6.gif

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

hello_html_m60333697.gif

Находим: hello_html_m5ff6081e.gifhello_html_m56e4117b.gif

Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

hello_html_6a4a4c55.gif

hello_html_m19ea98f1.gif

Ответ: hello_html_1db99cc0.gif

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями

hello_html_62715539.gif.

Решение.

Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

hello_html_4fd09316.gif

Ответ: hello_html_3be07a58.gif


Пример 4.Вычислить площадь, ограниченную линиями hello_html_m2cfefc84.gif и hello_html_70adbf28.gif.

Решение.

4

у

x

0

Решая систему уравнений hello_html_497e2fa9.gif и hello_html_m15fe082b.gif, найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: hello_html_7782bd6a.gif.

Искомая площадь равна разности площадей

двух криволинейных трапеций:









hello_html_146a6b6e.gif

Ответ:hello_html_m388725a5.gif


Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми hello_html_mca188de.gif, hello_html_m1cbaeb93.gif, hello_html_6813abc2.gif, hello_html_m19287b45.gifx

hello_html_m33a12e8b.gif

0

-1

2

3

hello_html_33c685de.gif

у








hello_html_mdd423c6.gif

Ответ: hello_html_m4f43aeeb.gif


Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=2sinx, x=0, hello_html_60139d7a.gif


Решение: Построим графики функций y=sinx, y=2sinx

hello_html_66c1ea2e.png


hello_html_m15ec18e4.gif Ответ: hello_html_m2dbef9a.gif

Пример 6..

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_m4aec84d2.gif, осями координат и прямой hello_html_m1f14be0c.gif.

В рассматриваемом случае функция hello_html_m2a02e759.gif на отрезке [0; 2] меняет знак, а именно hello_html_m44fab2d2.gif на отрезке [0; 1] и hello_html_24ec32db.gif на отрезке [1; 2] .

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):


hello_html_m503affbb.gif


hello_html_m249fe39b.gif


hello_html_9900225.gif(кв. ед.).




Ответ:hello_html_m5bf6b1dc.gif



КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №7



РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением




















Практическое занятие № 7

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения решения дифференциальных уравнений


Краткие сведения из теорииhello_html_m62a00377.gif


Понятие дифференциального уравнения


Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков.

Общий вид ДУ:

hello_html_m51c1b34.gif, hello_html_m1e1dab7.gif, hello_html_6c53fa37.gif

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение

Решением (или интегралом) ДУ называется такая функция hello_html_m5d726d72.gif, подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.


Процесс нахождения решения называется интегрированием ДУ.


Общим решением ДУ называется функция hello_html_103329.gif, зависящая от n произвольных постоянных hello_html_1b0b54bb.gif, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, записанное в неявном виде hello_html_m74d5f311.gif, называется общим интегралом.



Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными


Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:


hello_html_4e3eb4f5.gif


Поделив обе части уравнения на N1(y)M2(x), получим уравнение:


hello_html_53064b89.gif,


в котором переменные разделены.


Общий интеграл уравнения находится определенным интегрированием:


hello_html_m18468136.gif.



Найдите общее решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными в соответствии с номером варианта:



Номер

варианта

Дифференциальное уравнение

Номер

варианта

Дифференциальное уравнение

hello_html_m66a79882.gif

9.

hello_html_14a098e6.gif

hello_html_m6174dffa.gif

10.

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image002_0001

hello_html_m3d5dfe4b.gif

11.

hello_html_ca722e6.gif

hello_html_m5494bf52.gif

12.

hello_html_462cd5da.gif

hello_html_54cea927.gif

13.

hello_html_m21ffdcfc.gif

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image057_0000

14.

hello_html_6974e759.gif

hello_html_9d7f7d.gif

15.

hello_html_74e6d8d9.gif

hello_html_m5db661c5.gif

16.

hello_html_772b113b.gif



Решение типовых примеров:


Найти общие интегралы уравнений с разделяющимися переменными:


Пример 1.


differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image126


Решение:

Переписываем производную в нужном нам виде:
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image128

Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image130

И перекидываем множители по правилу пропорции:
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image132

Переменные разделены, интегрируем обе части:
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image134

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image136
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image138
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image140

В правой части получился логарифм, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом. Воспользуемся свойствами логарифмов:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image142
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image144
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image146

и тогда решение примет вид:
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image148
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image150
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image152

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image154

Это и есть общий интеграл данного уравнения, где С const.


Пример 2.


differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image172


Решение:

Разделяем переменные:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image061

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image063

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image065

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image067

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image069

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image071_0000

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image073_0001

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image075_0002

Выражаем функцию в явном виде, используя

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image077_0000.
differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image079_0000


Пример 3.


differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image176


Решение:

Разделяем переменные:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image182

Интегрируем уравнение:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image184

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image186

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image188

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image190


общее решение:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image194



Пример 4.


differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image038_0003


Решение:


Разделяем переменные:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image040

Интегрируем:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image042

Константу С не обязательно определять под логарифм.

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image045



Пример 5.


differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image053


Решение:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image115

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image117

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image119

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image123

Общий интеграл:

differencialnye_uravnenija_primery_reshenii_clip_image125


Линейные дифференциальные уравнения


Дифференциальное уравнение называется линейным,

если оно линейно, (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и ее производной dy /dx

Общий вид линейного уравнения:

у’+P(x)y = Q(x) (1)

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций y = uv . Тогда:

hello_html_7c919e53.gif , и данное уравнение (1) примет вид

hello_html_m5814f90c.gif


Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбирать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в, 0, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v = v(x) уравнения с разделяющимися переменными

hello_html_m4015b48f.gif


Подставляя выражение v = v(x) в уравнение (2), получаем уравнение относительно функции u

hello_html_m7acbff7.gif (3),

которое также является уравнением с разделяющимися переменными.


Найдя общее решение уравнения (3) в виде u = u (x, c), получим общее решение линейного уравнения (1):

hello_html_5e92128c.gif



Найдите общее решение линейных дифференциальных уравнений в соответствии с номером варианта:


Номер

варианта

Дифференциальное уравнение

Номер

варианта

Дифференциальное уравнение

1

hello_html_m35fc00d9.gif

6

hello_html_m16bf0944.gif

2

hello_html_m612c16b4.gif

7

hello_html_me1cb418.gif


3

hello_html_d681f8f.gif

8

hello_html_m553dfe18.gif


4

hello_html_3fdf6f70.gif


9

hello_html_73a56d7c.gif

5

hello_html_42610eec.gif


10

hello_html_2b43f68f.gif



Решение типовых примеров:


Найти общее решение линейных уравнений:


Пример 1.


hello_html_m2b56cde0.gif


Решение:


Полагаем y = uv.

Тогда hello_html_507ce713.gif и данное уравнение примет вид:

hello_html_7c3b99b4.gif

или hello_html_m269a51a7.gif (4)

Решая уравнение v’-v ctg x = 0, найдем его простейшее частное решение:

hello_html_72068bfb.gif

ln | v | = ln | sin x|, откуда v = sin x.


Подставляя v в уравнение(4) получим уравнение:

hello_html_m1634a07b.gif из которого находим u:

hello_html_3417cded.gif

Откуда u = - ctg x + C


Итак, искомое общее решение:

у= uv = (-ctg x + C)sin x = - cos x+C sin x



Пример 2.

lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image129

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену: lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image183_0001
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image260
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image262
Составим и решим систему:
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image264
Из первого уравнения найдем lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image038_0009:
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image267
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image269
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image271
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image273
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image275 – подставим во второе уравнение системы:
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image277
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image279
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image281
Таким образом:

lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image283
общее  решение:

lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image285

Пример 3.

lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image168

Решение:

Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:

lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image183_0002
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image288
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image290
Составим и решим систему:
 lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image292.
Из первого уравнения найдем lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image038_0010:
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image295
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image297
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image299
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image301 – подставим во второе уравнение системы:
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image303
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image305
lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image307
Общее решение:

lineinye_differencialnye_uravnenija_clip_image309















КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №8



ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ.




(2 часа)





для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением



















Практическое занятие №8

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ.


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения выполнения действий над матрицами и вычисления определителей.


1. Краткие сведения из теории

1) Понятие матрицы


Матрицей размера mhello_html_m65bd56d8.gifn называется прямоугольная таблица из чисел hello_html_55aa52c.gif, hello_html_5ed2e810.gifhello_html_m4de693ea.gif,

hello_html_m27282f18.gif, состоящая из m строк и n столбцов,hello_html_m62a00377.gif

где аij – элемент матрицы;

i- номер строки;

j – номер столбца.


Если число строк матрицы равно числу столбцов, матрица называется квадратной

hello_html_m55454b18.gif.


Квадратной матрицей третьего порядка называется таблица чисел:

hello_html_6f691fb8.gif .


Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель

hello_html_m3020c463.gif.

Если hello_html_m2ed92ffd.gif, то матрица называется невырожденной (неособенной).

Матрица называется симметрической, если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию аmn = аnm .


Две матрицы

А = hello_html_m1865aea0.gif и В = hello_html_ff24b94.gif считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, то есть когда аmn = bmn

( m, n = 1, 2, 3) .

2) Действия над матрицами


Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

hello_html_m1865aea0.gif + hello_html_ff24b94.gif = hello_html_4ef96987.gif .


Произведением числа m на матрицу А называется матрица, определяемая равенством

mhello_html_m1865aea0.gif = hello_html_6cd686e5.gif .


Произведение двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

АВ= hello_html_m1865aea0.gifhello_html_ff24b94.gif = hello_html_3d3d076d.gif.


По отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется АВ  ВА.


Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:

hello_html_1c2e57bd.gif .

Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А + 0 = А.


Единичной матрицей называется матрица

Е = hello_html_2ebb6f35.gif.

При умножении этой матрицы слева и справа на матрицу А получается матрица А:

ЕА = АЕ = А.

Матрицей – столбцом называется матрица hello_html_443cb7df.gif.hello_html_m534c45aa.gif

Произведение AX определяется равенством hello_html_m62a00377.gif


hello_html_m6c06f0d7.gif .


  1. Выполните задания в соответствии с номером варианта:

Найти значение матричного многочлена hello_html_maa8667.gif, где Е – единичная матрица:


Номер

варианта

Матрица А

Номер

варианта

Матрица А

1

hello_html_m738c1dc4.gif

9

hello_html_m6d889b78.gif

2

hello_html_m7af903bd.gif

10

hello_html_m679d39e5.gif

3

hello_html_m5a10041.gif

11

hello_html_3a5f1534.gif

4

hello_html_682fa08c.gif

12

hello_html_m619287fc.gif

5

hello_html_4d0862cb.gif

13

hello_html_6eafc028.gif

6

hello_html_2e79be0d.gif

14

hello_html_3962e942.gif

7

hello_html_m66960db6.gif

15

hello_html_71587643.gif

8

hello_html_ded9ef0.gif
















  1. Решение типовых примеров


  1. Найти значение матричного многочлена hello_html_maa8667.gif, если

hello_html_9a7bb2c.gif и Е – единичная матрица третьего порядка.


Решение:

hello_html_2ea04f6e.gif;


hello_html_1a60fe.gif; hello_html_m78db7b67.gif ; hello_html_548b25eb.gif;

hello_html_m71119c1a.gif.































КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №9



ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением



















Практическое занятие №9


ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения в вычисления определителей.


1. Краткие сведения из теории


1) Понятие определителя


Определителем второго порядка, соответствующим таблице элементов hello_html_m5a40be7f.gif, называется число hello_html_753f07cc.gif, которое определяется равенством hello_html_3b318ac2.gif.


Диагональ, на которой находятся элементы а11и а22, называется главной, а диагональ, на которой находятся элементы а21и а12 – побочной.


Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов

hello_html_39c1add5.gif , определяется равенством


hello_html_43150a1d.gif

(разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки).


Минором Mikэлемента аik определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Алгебраическим дополнением Aik элемента аikопределителя третьего порядка называется его минор, умноженный на (-1)n, где n – сумма номеров строки и столбца,

Т. о., знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента, определяется следующей таблицей: hello_html_1ead948b.gif. hello_html_m3381f71e.gif.



2) Основные свойства определителей


  • Величина определителя не изменится, если все его строки заменить на столбцы с теми же номерами, т. е.

hello_html_5ef05784.gif = hello_html_1c3183ac.gif .


  • При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак; например,


hello_html_5ef05784.gif = - hello_html_3e57f63c.gif .


  • Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя; например


hello_html_m1200a711.gif = hello_html_17b7c4de.gifhello_html_5ef05784.gif .


  • Если некоторые строки (столбцы) определителя целиком состоят из нулей, то определитель равен нулю.


  • Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя пропорциональны (в частности, равны) соответствующим элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю; например,

hello_html_m4cac61c2.gif= 0.


  • Если каждый элемент какой-либо i-й строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, отличающихся от данного определителя только i-й строкой (столбцом); i-я строка (столбец) одного из этих определителей состоит из первых слагаемых, другого определителя – из вторых слагаемых; например


hello_html_m645c3bda.gif = hello_html_5ef05784.gif + hello_html_421ee50b.gif .


  • Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель; например


hello_html_5ef05784.gif = hello_html_32020203.gif .

  • Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.


  • Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю; например

hello_html_m51299582.gif


(здесь взяты элементы первой строки и алгебраические дополнения элементов

второй строки).



  1. Выполните задания в соответствии с номером варианта:


  1. Вычислить определители второго и третьего порядка:


Номер

варианта

Определитель

Определитель

1

hello_html_m32a2ca1.gif


hello_html_7b5aab39.gif

2

hello_html_ma172757.gif


hello_html_m11a0aae0.gif

3

hello_html_m1e3c5c33.gif


hello_html_mca5f372.gif

4

hello_html_ccea5c6.gif


hello_html_2fe9014d.gif

5

hello_html_6b3c1d66.gif


hello_html_feff4cf.gif

6

hello_html_2016578b.gif


hello_html_4bd968b6.gif

7

hello_html_m155e4468.gif


hello_html_m2807ee9d.gif

8

hello_html_m3d434a73.gif


hello_html_c958a37.gif

9

hello_html_m72aa5f38.gif


hello_html_m30d475b5.gif

10

hello_html_m20aa34ce.gif


hello_html_m30f8527f.gif

11

hello_html_4086180c.gif


hello_html_m5101808a.gif

12

hello_html_7e2daa07.gif


hello_html_m6ef7d983.gif

13

hello_html_m4188976a.gif


hello_html_c8f5ea4.gif

14

hello_html_7d9de7b2.gif


hello_html_m303cd78d.gif

15

hello_html_m4491aab1.gif


hello_html_5434a266.gif


  1. Решение типовых примеров


  1. Вычислить определители второго и третьего порядков:

1) hello_html_m3f41eadf.gif.


2) hello_html_666f69f6.gif
















КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №10



Решение систем линейных уравнений




(2 часа)


для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением






















Практическое занятие №10


Решение систем линейных уравнений



Цель практического занятия: приобрести навыки и умения в вычисления определителей.


1. Краткие сведения из теории


Решение систем линейных уравнений методом Крамера


Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

hello_html_m4c13dd6d.gif , при условии, что определитель системы hello_html_7ed74878.gif,


имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

hello_html_m44e30c51.gifhello_html_5a1a2f85.gif, где hello_html_f823989.gif , hello_html_m3402f1c7.gif . (1)

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

hello_html_m782268f4.gif , при условии, что определитель системы


hello_html_12271a57.gif, имеет единственное решение, которое определяется

по формулам Крамера hello_html_m44e30c51.gifhello_html_m7ad0aadc.gifhello_html_6c700c23.gif, (2)

где hello_html_m4e812318.gif , hello_html_m62a00377.gifhello_html_7d079403.gif , hello_html_m40e88761.gif .



hello_html_43150a1d.gif

(разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки).










  1. Выполните задания в соответствии с номером варианта:


Решить системы уравнений методом Крамера в соответствии с номером варианта:



Номер

варианта

Система уравнений

Система уравнений

1

hello_html_m6a9f2b66.gif

hello_html_m6d86c481.gif

2

hello_html_2ecf428f.gif


hello_html_mb3c282b.gif

3

hello_html_m58d8fdc9.gif

hello_html_5995bca4.gif

4

hello_html_6db2cad0.gif


hello_html_m765a11b1.gif

5

hello_html_m44434538.gif

hello_html_6c4f9c30.gif

6

hello_html_1388c7e4.gif


hello_html_57fea98c.gif

7

hello_html_6d4e259c.gif


hello_html_636516fe.gif

8

hello_html_6669d79.gif


hello_html_2379d576.gif

9

hello_html_m1f2d8450.gif


hello_html_mff11f7c.gif

10

hello_html_4dbec1f8.gif

hello_html_5d9ccc15.gif

11

hello_html_m352cd4ce.gif

hello_html_m4ae78acd.gif

12

hello_html_305f63ae.gif


hello_html_m590dd6b7.gif

13

hello_html_m287fac8c.gif

hello_html_7636b334.gif

14

hello_html_40f7cfbf.gif

hello_html_7d1c7e85.gif

15

hello_html_ma8e12ab.gif

hello_html_m57c4253c.gif





  1. Решение типовых примеров


1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: hello_html_m2513c201.gif .

Определитель системы hello_html_623d8766.gif ; поэтому система имеет единственное решение, которое находим по формулам (1):

hello_html_m1b5662a7.gif , hello_html_5cd1a514.gif .


Ответ: (3; -2) .



2. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:


hello_html_6daf0e3.gif.


Находим определитель системы:


hello_html_m47365d6a.gif


Следовательно, система имеет единственное решение. Находим его по формулам (2):


hello_html_2ec0f1a8.gif, hello_html_5f83a825.gif,

hello_html_3175f76b.gif.

Ответ: (2; 1; -1) .







КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №11



ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ




(2 часа)



для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением





















Практическое занятие № 11

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения выполнения действий над комплексными числами.

  1. Краткие сведения из теории


Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, удобно производить сложение, вычитание, умножение и деление.

Пусть даны два комплексных числа hello_html_m7bda6df5.gif и hello_html_m33e2c215.gif, тогда

1) Суммой двух комплексных чисел hello_html_5f301b4.gif и hello_html_m70bf6864.gif называется комплексное число

hello_html_48c1f0a6.gif;

2) Разностью двух комплексных чисел hello_html_5f301b4.gif и hello_html_m70bf6864.gif называется комплексное число

hello_html_31b442c4.gif;

3) Произведением двух комплексных чисел hello_html_5f301b4.gif и hello_html_m70bf6864.gif называется комплексное число

hello_html_m5b8a13d0.gif.

На практике два комплексных числа перемножаются как обычные многочлены, при этом учитывается, что hello_html_m7b58f53e.gif.

4) Частным двух комплексных чисел hello_html_5f301b4.gif и hello_html_m70bf6864.gif называется комплексное число

hello_html_625a815e.gif .

На практике при делении двух комплексных чисел достаточно умножить числитель и знаменатель дроби hello_html_m255dc1bc.gif на число сопряженное знаменателю, то есть на число hello_html_m77eb98d8.gif.



Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической

форме


Над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня.

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме hello_html_m39881876.gif и hello_html_m7643a20d.gif, тогда

1) hello_html_m104a7f38.gif;

2) hello_html_m6324ba0a.gif.

Если hello_html_442064dc.gif, то

3) hello_html_7b2d845c.gif;


4) hello_html_m4ca75800.gif,

где hello_html_m4150cbb4.gif - арифметический корень, k=0, 1, 2, …, n -1.

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме


Над комплексными числами, заданными в показательной форме, также и как над комплексными числами в тригонометрической форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня.

Пусть даны два комплексных числа в показательной форме hello_html_334663e8.gif и hello_html_m2b61781.gif, тогда

1) hello_html_m63d84ed.gif;


2) hello_html_1e7dd7f1.gif.


Если hello_html_7ff14eb4.gif, то


3) hello_html_m313321e0.gif;


4) hello_html_30c6f463.gif, где hello_html_m4150cbb4.gif - арифметический корень, k=0, 1, 2, …, n -1.


2. Произвести действия над комплексными числами в соответствии с номером варианта:



Номер

варианта

Комплексные числа

Комплексные числа

1

hello_html_2eecd355.gif

hello_html_46219beb.gif, hello_html_1f522119.gif

2

hello_html_m2407ecd7.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

hello_html_358f5154.gif

3

hello_html_m7615542e.gif, hello_html_1f522119.gif

hello_html_3422f3a.gif

4

hello_html_m7d607b1b.gif

hello_html_5dd1efa4.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

5

hello_html_m1ebef287.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

hello_html_41566ee3.gif

6

hello_html_m2496a6c.gif, hello_html_1f522119.gif

hello_html_450b30f7.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

7

hello_html_39ddbd9.gif

hello_html_me518494.gif, hello_html_1f522119.gif

8

hello_html_m6762c04c.gif, hello_html_1f522119.gif

hello_html_m4e028ad6.gif

9


hello_html_3cce64e7.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

hello_html_3f5f12aa.gif,hello_html_1f522119.gif

10

hello_html_m198cf0da.gif

hello_html_m1efe153d.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

11

hello_html_44730a88.gif, hello_html_5753190b.gif

hello_html_m1453f6e6.gif, hello_html_1f522119.gif

12

hello_html_befd741.gif, hello_html_m24b15bd7.gif

hello_html_m4ea6ef3c.gif

13

hello_html_5692c627.gif

hello_html_7aeb72fb.gif, hello_html_m7673bdec.gif

14

hello_html_m199b9de7.gif,hello_html_m24b15bd7.gif

hello_html_7883ba34.gif, hello_html_1f522119.gif

15

hello_html_231908b0.gif, hello_html_1f522119.gif

hello_html_767a6fe5.gif, hello_html_5e1ba1f3.gif






3. Решение типовых примеров

Выполнить действия:


  1. Дано: hello_html_4f720a06.gif и hello_html_5e7697cd.gif.


Пример выполнения:

1) hello_html_m6aedb56c.gif;

2) hello_html_42d9b2a2.gif;

3) hello_html_58353a36.gif;

4) hello_html_m28fd9b50.gif.




  1. Дано: hello_html_m2d390f72.gif и hello_html_m3be9cc04.gif.


Пример выполнения:


1) hello_html_m5758f0f.gif;

2) hello_html_m6417e686.gif;

3) hello_html_m77b13715.gif


4) hello_html_248a7534.gif, где k = 0, 1, 2, 3.

При k = 0, 1, 2, 3 получим


hello_html_m657b57a6.gif;

hello_html_31393b07.gif;

hello_html_m3d05343f.gif;

hello_html_791c2412.gif.


  1. Дано: hello_html_266f05dc.gif и hello_html_m43961948.gif.


Пример выполнения:


1) hello_html_m5c5e659a.gif;

2) hello_html_1cfb34eb.gif;

3) hello_html_m23fe268c.gif;


4) hello_html_m2b3d8cc7.gif , k = 0, 1, 2, 3.


При k = 0, 1, 2, 3 получим


hello_html_65b8aaf2.gif; hello_html_594f25ba.gif;

hello_html_7037aa3f.gif; hello_html_m145a13d3.gif.






























КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие № 12



ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ

И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ОБРАТНО




(2 часа)


для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением



















Практическое занятие № 12


ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ К ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ

И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ОБРАТНО


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения перевода комплексных чисел из тригонометрической и показательной форм в алгебраическую и наоборот.


  1. Краткие сведения из теории



Перевод комплексных чисел из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную


Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа hello_html_7a2b5f94.gif к тригонометрической достаточно найти его модуль и один из аргументов. Модуль определяется по формуле

hello_html_7a32f786.gif.


Зная модуль r, аргумент находим из системы

hello_html_m62a00377.gifhello_html_17a65915.gif.




Перевод комплексных чисел из тригонометрической и показательной форм записи в алгебраическую


Для того чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа hello_html_m2815c3fb.gif или от показательнойhello_html_624a630.gifк алгебраической достаточно найти его действительную и мнимую части из системы


hello_html_2e44d005.gif














2. Произвести действия над комплексными числами в соответствии с номером варианта:




Номер

варианта

Комплексные числа

Комплексные числа

1

hello_html_m406070ce.gif

hello_html_m333ceee7.gif

2

hello_html_m3cfd30e2.gif

hello_html_m4718a58b.gif

3

hello_html_m62a00377.gifhello_html_m3ee65600.gif

hello_html_m6beebc88.gif

4

hello_html_2dd0af51.gif

hello_html_10087dd2.gif

5

hello_html_m74ef529.gif

hello_html_1aaf7ad9.gif

6

hello_html_m6997f999.gif

hello_html_m5a51e0a0.gif

7

hello_html_490de410.gif

hello_html_m748cc031.gif

8

hello_html_m4c5b8a90.gif

hello_html_2714024b.gif

9

hello_html_m75c604f.gif

hello_html_1a24c2fe.gif

10

hello_html_md193916.gif

hello_html_39bc5c2a.gif

11

hello_html_m2fb1f4c2.gif

hello_html_m260b0f1b.gif

12

hello_html_mb540bcc.gif

hello_html_m311c41d1.gif

13

hello_html_m7bbfc17d.gif

hello_html_m43d4b228.gif

14

hello_html_2dfd8057.gif

hello_html_m3fb61e2c.gif

15

hello_html_7794a5bb.gif

hello_html_105967f9.gif





3. Решение типовых примеров



  1. Выполнить действия:


  1. Дано: hello_html_24e21375.gif.


Пример выполнения:



hello_html_78f2585.gif








  1. Дано: hello_html_m3ed6c9a8.gif


Пример выполнения:

hello_html_46d205aa.gif



  1. Дано: hello_html_16355972.gif


Пример выполнения:

hello_html_m3f5547b1.gif






















КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие № 13



РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ




(2 часа)


для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением




















Практическое занятие №13

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Цель практического занятия: приобрести навыки и умения непосредственного вычисления вероятностей сложных событий.


  1. Краткие сведения из теории


Суммой (объединением) нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.


Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

hello_html_1eb58cc4.gif

Следствие.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.


Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

hello_html_m142a3a69.gif

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий.


Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:hello_html_m62a00377.gif

hello_html_1989f33c.gif

В частности, для независимых событий:

hello_html_m56ddd9d4.gif


Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий hello_html_49d747f2.gif, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

hello_html_54ec27b7.gif



  1. Решение типовых примеров:


Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение.

Появление цветного шара означает появление красного или синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие A):

hello_html_m1ebe768f.gif

Вероятность появления синего шара (событие B):

hello_html_5586ea1d.gif

События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Искомая вероятность: hello_html_m439ea64e.gif


Пример 2. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо трем, либо пяти, либо тому и другому одновременно.

Решение.

Пусть событие A состоит в том, что наудачу взятое число кратно 3.

Событие B - число кратно 5.

События A и B совместные, поэтому применима терема сложения вероятностей совместных событий. hello_html_m142a3a69.gif

Количество двузначных чисел – 90.

Количество двузначных чисел, кратных трем – 30; кратных пяти – 18.

hello_html_464f5baa.gif

Искомая вероятность: hello_html_31c0fb8b.gif


Пример 3.В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение.

Пусть событие A состоит в том, что из первой урны вынули белый шар.

Событие B – из второй урны вынули белый шар.

События A и B независимы.

hello_html_c842781.gif

Искомая вероятность: hello_html_m1110fb4a.gif

Пример 4. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали стандартные.

Решение.

Пусть событие A состоит в том, что первая деталь стандартная.

Событие B – вторая деталь стандартная.

События A и B – зависимые.

hello_html_m6f090493.gif

Искомая вероятность: hello_html_m2ca6f7d3.gif

Пример 5. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% от общего количества деталей; на втором – 35%; на третьем – 25%. Причем, на первом станке было изготовлено 90% деталей 1 сорта; на втором – 80%; на третьем – 70%. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется 1 сорта.

Решение.

Пусть событие A состоит в том, что взятая наугад деталь оказалась 1 сорта.

Событие hello_html_467cbadd.gif - деталь изготовлена на первом станке.

Событие hello_html_185f7a93.gif - деталь изготовлена на втором станке.

Событие hello_html_m2b1f7fd1.gif - деталь изготовлена на третьем станке.

hello_html_m7928a6bc.gifhello_html_7dc3a830.gif

Искомая вероятность может быть найдена по формуле полной вероятности:

hello_html_54ec27b7.gif

hello_html_m7ae2650.gif


  1. Решите задачи, в соответствии с номером варианта:


ЗАДАЧИ

1) На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлено «x» учебников, причем «y» из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу два учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

2) Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий соответственно равны hello_html_388ad53c.gif; hello_html_m165e41cc.gif. Какова вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий?

3) Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна «a»%; второй – «b»%; третий – «c»%. Найти вероятность того, что при аварии сработают все три сигнализатора одновременно.

4) Среди «k» лотерейных билетов имеется «t» выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

5) В пирамиде «x» винтовок, причем «y» из них с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна «a»%; для винтовки без оптического прицела – «b»%. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки?


Вариант № 1

  1. x=15; y=5

  2. n=0,8; m=0,7

  3. a=90%; b=85%; c=70%

4) k=100; t=5

5) x=5; y=3; a=95%; b=70%

Вариант № 2

1) x=20; y=4

2) n=0,75; m=0,9

3) a=80%; b=75%; c=90%

4) k=300; t=20

5) x=12; y=4; a=90%; b=65%


Вариант 3

1) x=25; y=5

2) n=0,8; m=0,7

3) a=70%; b=85%; c=95%

4) k=150; t=10

5) x=10; y=5; a=85%; b=60%

Вариант № 4

1) x=18; y=3

2) n=0,9; m=0,75

3) a=85%; b=90%; c=75%

4) k=200; t=15

5) x=15; y=3; a=95%; b=65%

Вариант № 5

1) x=30; y=6

2) n=0,8; m=0,9

3) a=95%; b=65%; c=70%

4) k=120; t=8

5) x=8; y=2; a=85%; b=60%

Вариант № 6

1) x=24; y=4

2) n=0,6; m=0,85

3) a=70%; b=85%; c=95%

4) k=150; t=5

5) x=6; y=4; a=90%; b=65%

Вариант № 7

1) x=15; y=3

2) n=0,85; m=0,6

3) a=80%; b=85%; c=90%

4) k=250; t=25

5) x=10; y=6; a=95%; b=70%



















КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»











Практическое занятие №14



СОСТАВЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ.




(2 часа)




для специальности:

  • 22.02.05 Обработка металлов давлением














Практическое занятие № 14


СОСТАВЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ.

Цель практического занятия: приобрести навыки и умения составления вариационных рядов, умение вычисления числовых характеристик выборки.

1. Краткие сведения из теории


Случайной величиной называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных исходов.

Наблюдаемые значения случайной величины x1 , x2 , x3 , … , x n называются случайной выборкой. xi называются вариантами.

Количество наблюдений называется объемом выборки.

Вариационный ряд – это упорядоченная по величине последовательность выборочных значений: x1x2x3  …  x n .

В задачах статистического контроля качества продукции часто используется величина

R = x n x1, называемая размахом или широтой выборки.

Статистический ряд получается из вариационного, если одинаковые значения xi указываются только один раз.

Статистическим распределением выборки называют перечень значений xi случайной величины и соответствующих им частот или относительных частот.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон частот.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

(x1 ; n1 ); (x2 ; n2 ); . . . ; (xk ; nk ).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi , а на оси ординат – соответствующие им частоты ni . Точки (xi ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значение выборки. Если все значения выборки x1 , x2 , x3 , … , x n объема n различны, то

hello_html_7eed512f.gif.

Если же значения x1 , x2 , x3 , … , x n имеют соответственно частоты

n1 , n2 , n3 , … , nk причем n1 + n2 + … + nk = n , то

hello_html_698a906.gif .

Выборчной дисперсией hello_html_m74cc3928.gifназывается среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений от среднего значения hello_html_m1b958fe0.gif. Если все значения

x1 , x2 , x3 , … , x n различны, то

hello_html_m42e8017f.gif.


Если же значения случайной величины x1 , x2 , x3 , … , x n имеют соответственно частоты n1 , n2 , n3 , … , nk причем n1 + n2 + … + nk = n , то

hello_html_684e10e.gif.




Решение типовых примеров


Пусть даны следующие значения случайной выборки:


5

10

-10

-20

0

5

5

25

15

10

20

-5

-20

15

15

0


Объем этой выборки n = 16.

Вариационный ряд:


-20

-20

-10

-5

0

0

5

5

5

10

10

15

15

15

20

25


Размах выборки: R n = 25 – ( -20) = 25 + 20 = 45.


Статистический ряд:


-20

-10

-5

0

5

10

15

20

25


Выборочное распределение:


-20

-10

-5

0

5

10

15

20

25

2

1

1

2

3

2

3

1

1


Полигон частот:

n



3


2


1


x

-20 -10 -5 0 5 10 15 20 25


Выборочное среднее:

hello_html_m649e2374.gif

hello_html_4069276.gif

Выборочная дисперсия:

hello_html_67f67b77.gif

hello_html_1c249cf3.gif

hello_html_67742aa0.gif


hello_html_m2bd3484b.gif

hello_html_cdbd80e.gifhello_html_440b0ca0.gif












































Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы


Основные источники:

  1. .Е.В Филимонова Математика для средних специальных учебных заведений: учебное пособие. – Изд. 4-е, доп. и перераб. – Ростов н/ Д: Феникс, 2008.-414, [1] с. - (Среднее профессиональное образование).

  2. А.А. Дадаян. Математика: учебник – 3-е изд. М.: Форум, 2014.-544 с. (Профессиональное образование).



Дополнительные источники:

  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений.- 8-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2006.-495с.

  2. Алексеева Г.Ю. Сборник задач и упражнений по математике для сузов / Г.Ю. Алексеева, Т.Н. Быкова, Н.И. Хрипченко. М.: Издательство «Экзамен», 2008. – 190, [2] с. (Серия « Учебник для сузов»)



Компьютерные программы и Интернет-ресурсы:


  1. Exponenta.ru: образовательный математический сайт.

  2. http://www.alleng.ru/ образовательный математический сайт

  3. http://window.edu.ru/ образовательный математический сайт

  4. MATH24.ru. Математический анализ: образовательный сайт.Поисковые системы сети Интернет: Яндекс. Рамблер, AltaVista, Апорт, Filez, Archie и др.

  5. Информационно-поисковые системы Консультант Плюс, Гарант, Кодекс и др.

Сайт компании «Консультант Плюс»: http://www.consultant.ru

Общая информация

Номер материала: ДВ-279168

Похожие материалы