Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ОДП.10. Математика для студентов 1-2 курса по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ОДП.10. Математика для студентов 1-2 курса по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям)

библиотека
материалов

hello_html_m4cd81d4c.jpg

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Осинский аграрный техникум»

Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ОДП.10. Математика

Редакция № 1

Изменение № 0

Лист 1 из 79




Экз. Контрольный

















Методические указания по выполнению практических работ

по дисциплине ОДП.10. Математика для студентов 1-2 курса

по специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям)




















Оса, 2015


Разработчик:

Высокова Нина Фадеевна, преподаватель математики








Данные методические указания предназначены для студентов 1 и 2 курсов специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям) при выполнении практических работ по дисциплине ОДП.10. Математика.

В методических указаниях представлены практические работы, даны указания по их выполнению и перечень литературы, которым обучающийся может воспользоваться при выполнении работ.





























Оглавление

Введение 4

Методические указания по проведению практических работ 5

Ход выполнения практической работы 6

Критерии оценивания практической работы 6

Литература 6

Перечень практических работ 7

Практическая работа № 1 8

Практическая работа № 2 10

Практическая работа № 3 13

Практическая работа № 4 15

Практическая работа № 5 17

Практическая работа № 6 19

Практическая работа № 7 22

Практическая работа № 8 23

Практическая работа № 9 27

Практическая работа № 10 29

Практическая работа № 11 31

Практическая работа № 12 34

Практическая работа № 13 35

Практическая работа № 14 36

Практическая работа № 15 38

Практическая работа № 16 40

Практическая работа № 17 43

Практическая работа № 18 48

Практическая работа № 19 58

Практическая работа № 20 60

Практическая работа № 21 61

Практическая работа № 22 63

Практическая работа № 23 64





I. Введение

Дисциплина ОДП.10. Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырех направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно-прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями и умениями) и воспитательное воздействие.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста.

Целью математического образования является развитие:

- навыков математического мышления;

- навыков использования математических методов и основ математического моделирования;

- математической культуры у обучающегося.

Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математические понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.

Математическое образование специалиста должно основываться на фундаментальных понятиях математики. Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление:

- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

знать:

- математические методы, позволяющие решать прикладные задачи;

уметь:

- применять эти методы в будущей практической деятельности.

При изучении дисциплины необходимо обращать внимание студентов наее прикладной характер, на то, где и когда изучаемые теоретические положения и практические навыки могут быть использованы в будущей практической деятельности.



Методические указания

по проведению практических работ по дисциплине ОДП.10. Математика

Пояснительная записка

Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине ОДП.10. Математика (для студентов первого и второго курсов специальности 38.02.04 Коммерция (по отраслям).

Содержание практических работ позволяет освоить:

  • Действия над приближенными значениями чисел;

  • Практические приемы выполнения действий над степенями;

  • Практические приемы вычисления логарифмов;

  • Способы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму;

  • Практические приемы преобразования простейших тригонометрических выражений;

  • Способы решения простейших тригонометрических уравнений;

  • Практические навыки построения графиков показательных, степенных, логарифмических и тригонометрических функций;

  • Практические приемы вычисления пределов;

  • Практические навыки исследования функций с помощью производной и построения их графиков;

  • Практические приемы вычисления с помощью методов дифференциального и интегрального исчисления;

  • Методы и способы решения уравнений и неравенств;

  • Приемы решения задач с применением вероятностных методов;

  • Практические приемы решения задач по темам «Параллельность прямых и плоскостей» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей»;

  • Практические навыки нахождения основных элементов многогранников, тел вращения;

  • Практические приемы нахождения площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения;

  • Практические приемы использования координат и векторов при решении математических и практических задач.

В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с четким алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал, примеры задач и набор заданий.

Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы студентов.







Ход выполнения практической работы

Практические работы необходимо выполнять в специальных тетрадях с указанием номера, темы, целей работы.

Ход работы:

  1. Познакомиться с теоретическим материалом

  2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)

  3. В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу или решить номера, которые указаны в работе.

  4. Сдать преподавателю тетради для практических работ.



Критерии оценивания практических работ

Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.

Оценка «4» ставится при безошибочном решении 80% предлагаемых заданий.

Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.

Оценка «2» - решено мене 70% предлагаемых заданий.

Литература:

  1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. - М.: Высш. Шк., 1990. – 495 с.: ил

  2. Богомолов Н. В. Математика: Учебник для сузов. - М.: Дрофа.,2008. – 359 с.: ил

  3. Богомолов Н. В. Сборник задач по математике: Учебник для сузов. - М.: Дрофа.,2007. – 204 с.: ил

  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Учебник для 10 – 11 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1993. – 207 с.: ил

  5. Алимов Ш. А. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый уровень - М.: Просвещение, 2012. – 464 с.: ил (электронная версия)

  6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровень) – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 стр. (электронная версия)

  7. Погорелов А. В. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразов. организаций: базовый и профильный уровень. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с. (электронная версия)

  8. Атанасян Л. С. Геометрия, 10 – 11: для общеобразов. учреждений: базовый и профильный уровень. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 255 с. (электронная версия)

  9. Балаян Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы – Ростов н/Д: Феникс, 2013.-217с. (электронная версия)




Перечень практических работ

работы

Тема

1.

Действия над приближенными значениями чисел.

2.

Выполнение действий над степенями.

3.

Вычисление логарифмов.

4.

Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

5.

Преобразования простейших тригонометрических выражений.

6.

Решение тригонометрических уравнений

7.

Построение графиков показательной, степенной и логарифмической функций.

8.

Построение графиков тригонометрических функций

9.

Вычисление предела функций

10.

Построение графиков функции. Исследование графиков с помощью производной.

11.

Вычисление интегралов

12.

Решение уравнений

13.

Решение неравенств

14.

Решение практических задач с применением основных понятий комбинаторики.

15.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

16

Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

17

Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

18

Нахождение основных элементов многогранников

19

Нахождение основных элементов правильных многогранников

20

Вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

21

Нахождение основных элементов цилиндра, конуса и шара.

22

Использование координат и векторов при решении математических задач.

23

Использование координат и векторов при решении прикладных задач.

Практическая работа №1

Действия над приближенными значениями чисел

Цель работы:

На конкретных примерах научиться выполнять действия над приближенными значениями чисел.


Содержание работы:

  1. Сложение приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:, где а и в– приближенные значения чисел; Δа и Δв –границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле:

  1. Вычитание приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности разности двух приближенных значений чисел равна сумме границ их абсолютных погрешностей:.

Граница относительной погрешности разности вычисляется по формуле:

  1. Умножение приближенных значений чисел

Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций:

hello_html_7d72751a.gif


hello_html_m3e5d7303.gif


Задания для самостоятельной работы:

  1. Н. В. Богомолов «Практические занятия по математике», см. гл. № 2, , № 1, 2, 6, 7, 9, 11, 14, 16.

  2. Практическая работа:



Найдите сумму приближенных значений чисел .

Вычислить разность чисел 5,67 и 3, 267, границы абсолютной погрешности которых соответственно равны 0,005 и 0, 0005.

Найдите верные цифры произведения приближенных значений чисел: .

Найдите границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел .

Вычислить относительную погрешность .

  1. Найдите сумму приближенных значений чисел .

  2. Вычислить разность чисел 6,587 и 21, 04, границы абсолютной погрешности которых соответственно равны 0,0005 и 0, 005.

  3. Найдите верные цифры произведения приближенных значений чисел: .

  4. Найдите границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел .

  5. Вычислить относительную погрешность .



Практическая работа № 2

Выполнение действий над степенями

Цель работы:

На конкретных примерах научиться выполнять действия над степенями.


Содержание работы:


Правила действий с корнями и степенями


hello_html_405c67e1.jpg

 

hello_html_45dc4262.jpg

hello_html_m57d0887e.jpg

hello_html_m72e88e59.jpg

hello_html_5cdf8888.jpg

hello_html_m5309820b.jpg

Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа № 3

Вычисление логарифмов

Цель работы:

На конкретных примерах научиться выполнять действия над логарифмами.


Содержание работы:


Свойства логарифмов

  1. = с, а > 0, а ≠ 1, с > 0.

  2. а > 0, а ≠ 1.

  3. а > 0, а ≠ 1.

  4. + а > 0, а ≠ 1,b > 0, с > 0.

  5. = - а > 0, а ≠ 1,b > 0, с > 0.

  6. = р * а> 0, а ≠ 1,b > 0.

  7. = , а > 0, а ≠ 1,b > 0.

  8. = а > 0, а ≠ 1,b > 0.

  9. = , а > 0, а ≠ 1,b > 0, с > 0, с ≠ 1.

  10. * = 1, а > 0, а ≠ 1,b > 0, b ≠ 1.

Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа № 4

Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму

Цель работы:

На конкретных примерах научиться преобразовывать сумму тригонометрических функций в произведение и произведение в сумму.


Содержание работы:

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы:

hello_html_31dd9376.jpg

Для преобразования алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение применяются формулы:

hello_html_m7af4989.png;

hello_html_m18271c3c.png;

hello_html_d7bfe8f.png;

hello_html_m3b98e7d8.png;

hello_html_46d3668f.png;



hello_html_1194f04.png, hello_html_63adf59b.png, hello_html_m173d54f6.png, hello_html_34d0a36f.png.


Задания для самостоятельной работы:

  1. Н. В. Богомолов «Практические занятия по математике», см. гл. 9 § 18, 19; рассмотреть решение примеров № 220, 221, 225.

  2. Практическая работа:

Практическая работа №5

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Цель работы:

На конкретных примерах научиться преобразовывать простейшие тригонометрические выражения.




Содержание работы:

Для преобразования тригонометрических выражений применяют тригонометрические формулы:

Основные тригонометрические тождества

  • sin² α + cos² α = 1

  • tg α · ctg α = 1

  • tgα = sin α ÷ cosα

  • ctgα = cosα ÷ sin α

  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

  • sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α

  • cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

  • cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

  • tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

  • ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α - sin² α

  • cos 2α = 2cos² α - 1

  • cos 2α = 1 - 2sin² α

  • sin 2α = 2sin α · cosα

  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

  • ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α - 4sin³ α

  • cos 3α = 4cos³ α - 3cos α

  • tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)

  • ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2

  • sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4

  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2

  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4

  • sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8

  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Задания для самостоятельной работы:

  1. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант

Вычислить , если

Вычислить , если

Вычислить , если

Вычислить , если

Вычислить

Вычислить

Вычислить, если

Вычислить, если

Вычислить


Вычислить




Практическая работа №6

Решение тригонометрических уравнений

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать тригонометрические уравнения.


Содержание работы:

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

hello_html_m116d1a85.gif

То всякое решение уравнения

Является решением совокупности уравнений Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции hello_html_36ace43.gif.
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение Решение.
Используя
 основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

hello_html_25546001.gif  

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на hello_html_m66be4aa2.gif, так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

hello_html_ba8f869.gif 
↔ 
hello_html_m4c5373cc.gif


Ответ: hello_html_7f017839.gif  hello_html_248e02b3.gif

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

hello_html_m357faa11.gif
hello_html_257c20a5.gif
hello_html_m23f36759.gif

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя
 основное тригонометрическое тождество, осуществим замену hello_html_43c99a1.gif, тогда уравнение (1) примет вид

hello_html_4c2a5791.gif

Введем подстановку hello_html_m586dada9.gif, тогда получим квадратное уравнение

hello_html_13b6dfac.gif

Решая его, находим корни hello_html_m395b6f5f.gif hello_html_53806235.gif. Затем осуществляя обратную подстановку hello_html_573bf4a5.gifили hello_html_m276ee4aa.gif, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: hello_html_110ba9e.gif hello_html_m550eb4f8.gif

Решение однородных тригонометрических уравнений первой степени

Уравнение asinx + bcosx = 0 называется однородным уравнением первой степени.

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой степени

asinx + bcosx = 0

Коэффициенты

a, b

Уравнение примет вид

Способ решения,

ответ

a =0 b 0

bcosx = 0

Частный случай

x = π2 + πk, kZ

a 0 b =0

asin x = 0

Частный случай

x = πk, kZ

a 0 b 0

asin x + bcos x = 0


Делим обе части уравнения на cosx, т.к. cosx 0, решаем уравнение

tgx = - b/a


Пример 1. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения почленно на , получим или

.

Пример 2. Решить уравнение

Используя формулы приведения представим данное уравнение в виде: или.

Разделим обе части уравнения на , получим . Разделим обе части получившегося равенства на 2, получим .



Решение однородных тригонометрических уравнений второй степени

Уравнениевида, называется однородным уравнением второй степени.


Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0

Коэффициенты

a, c

Уравнение примет вид

Способ решения,

ответ

a =0 c 0

b sin x cos x + c cos2 x = 0


Решаем методом разложения на множители

cosx (bsinx + ccosx )= 0

cos x = 0 или (bin x + ccosx )= 0

a 0 c =0

a sin2x + b sinxcos x = 0

Решаем методом разложения на множители

sinx (asinx + bcosx )= 0

sin x = 0 или (a sin x + bcosx )= 0

a 0 c 0

asin2x + bsinxcos x + ccos2x = 0

Делим обе части уравнения на cos2x, т.к. cosx 0, решаем уравнение

atg2x + btgx + c = 0

Решаем методом замены переменной

tgx= t

уравнение примет вид at2 + bt + c = 0



Задания для самостоятельной работы:

  1. Выполните самостоятельно:

    1. ;

    2. ,

    3. ,

    4. .

  2. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант












Практическая работа № 7

Построение графиков показательной, степенной и логарифмической функций

Цель работы:

На конкретных примерах научиться строить степенные, показательные и логарифмические функции, определять их основные свойства.


Содержание работы:

  1. Вспомнить теоретический материал по теме «Степенная функция» на основе учебника «Алгебра и начала математического анализа» Ш. А. Алимов гл. № 2 § 6, 7, стр. 39, 47;

  2. Вспомнить теоретический материал по теме «Показательная функция» на основе учебника «Алгебра и начала математического анализа» Ш. А. Алимов гл. № 3 § 11, стр. 72;

  3. Вспомнить теоретический материал по теме «Логарифмическая функция» на основе учебника «Алгебра и начала математического анализа» Ш. А. Алимов гл. № 4 § 18, стр. 100;


Задания для самостоятельной работы:

  1. Ш. А. Алимов «Алгебра и начала математического анализа»

    1. гл. № 2, стр. 70, № 175 (1,3,5),

    2. гл. № 3, стр. 77, № 197 (1,3), 201 (1,3)

    3. гл. № 4, стр. 105, № 332 (1,3),

  2. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант

3вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

Задание № 1: построить график функции:







Задание № 2: на основании графика функции определить основные свойства по плану:

  1. Область определения функции;

  2. Область значений функции;

  3. Четность, нечетность функции;

  4. Точки пересечения графика с осями координат;

  5. Асимптоты графика функции;

  6. Промежутки монотонности функции и ее экстремумы;

  7. Промежутки знакопостоянства.




Практическая работа № 8

Построение графиков тригонометрических функций

Цель работы:

На конкретных примерах научиться строить тригонометрические функции, определять их основные свойства.

Содержание работы:

Графики функций ,построенные для диапазона от 0o до 360o, показаны на рисунках ниже.

График функции (синусоида)

hello_html_3b29c4bc.gif


График функции (косинусоида)

hello_html_43ed92b1.gif

График функции (тангенсоида)

 

Синусоидальные и косинусоидальные графики

hello_html_5a6a4045.gif

График. (синусоиды).

График. (синусоиды).

hello_html_3775a57e.gif

hello_html_55f992c8.gif

График. (косинусоиды)

График. (косинусоиды).


Периодические функции и период

Каждый из графиков функций, показанных на четырех рисунках выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями.
Функции повторяются через каждые 360
(или 2π радиан), поэтому 360o называется периодом этих функций. Функции повторяются через каждые 180o (или π радиан),поэтому 180o - это период для данных функций.

В общем случае если (где р - константа), то период функции равен 360o/p (или 2π/p радиан ). Следовательно, если то период этой функции равен 360o/3= 120o, если , то период этой функции равен 360o/4= 90o.

Амплитуда 
Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1). Однако, если , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды - 4. Аналогично для

амплитуда равна 5, а период - 360o/2= 180o.


Пример 1. 
Построить в диапазоне от А= 0
до А=360o
 
Решение:
 Амплитуда =3, период = 360
o/2 =180o.hello_html_mc230640.gif

График. Построение (синусоида). 

hello_html_40ca4567.gif


Пример 2. 
Построить график в диапазоне от х=0
o до х=360o 

Решение:
Амплитуда = 4. период = 360
o/2 =180o.


График. Построение (косинусоида).

 Углы запаздывания и опережения

Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде , где α - сдвиг фазы относительно

Составив таблицу значений, можно построить графикфункции показанный на рис. слева. Если кривая начинается в 0
o, то кривая начинается в 60o (т.е. ее нулевое значение на 60o правее). Таким образом, говорят,чтозапаздывает относительно  
График. y=sin(A-60o) (синусоида).hello_html_60a47944.gif



 
Составив таблицу значений, можно построить график функции , показанный на рис. ниже.
  Если кривая начинается в 0
o, то кривая начинается на 45o левее (т.е. ее нулевая величина   находится на 45o раньше ). 
  Таким образом, говорят, что график
 опережает график на 45o. 
График. y=cos(A+45o) (косинусоида).
hello_html_m2bfba759.gif

В общем виде, график запаздывает относительно на угол α. 
Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90
o левее, т.е. опережает ее на 90o. Следовательно,  





Пример 5. 
Построить график в диапазоне от А=0
o до


  
Решение:
  Амплитуда = 5, период = 360
o/1 = 360o.  
  опережает на 30
т.е. начинается на 30o раньше. hello_html_m7163cd01.gif








График y=5sin(A+30o) (синусоида).


Пример 6. 
Построить график в диапазоне от А=0
o до А=360o
   
Решение:hello_html_30bac9c2.gif

Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан
В общем случае 
запаздывает относительно , следовательно запаздывает  относительно 7 на (π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30o 
График. (синусоиды).

Задания для самостоятельной работы:

  1. Практическая работа:

Постройте графики функций:

Практическая работа №9

Вычисление предела функций

Цель работы:

На конкретных примерах научиться вычислять пределы различными способами


Содержание работы:

Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность вида

Пример 1. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х2-25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5),на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: .Подставив х=5,получим результат: ===

Пример 2. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

hello_html_4361f810.gif

II. Неопределенность вида

Пример 4.Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности () видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:

==, т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.

Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа № 10

Исследование функций с помощью производнойи построение графиков функции

Цель работы:

На конкретных примерах научиться исследовать функции с помощью производной и на основе исследования строить графики.


Содержание работы:

Общая схема исследования функции и построение её графика.

  1. Найдите область определения функции.

  2. Исследуйте функцию на четность или нечетность.

  3. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.

  4. Найдите промежутки знакопостоянства.

  5. Найдите промежутки монотонности функции, её экстремумы.

  6. Найдите промежутки выпуклости графика функции, её точкиперегиба.

  7. Постройте график функции, используя полученные результатыисследования.


Построить график функции.

  1. ;

  2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической;

  3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: пологая, что , получим . Точку пересечения графика с осью Ох в данном случае затруднительно.

  4. Найдем промежутки монотонности функции ее экстремумы и промежутки знакопостоянства с помощью производной:

    1. Найдем производную: .

    2. Отметим данные точки на числовой прямой и определим промежутки возрастания и убывания функции:









Точки х=1 и х=3 делят область определения функции на три промежутка:

. В промежутках , т. е. функция возрастает, а в промежутке , т. е функция убывает.

    1. При переходе через точку х=1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=3 – с минуса на плюс. Значит , .

  1. Найдем вторую производную: . Отметим данную точку на числовой прямой и исследуем функцию на выпуклость и вогнутость:







Точка х=2 делит область определения функции на два промежутка и В первом из них , а во втором , т. е. в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, точка перегиба .



  1. Используя полученные данные, строим график функции:























Задания для самостоятельной работы:

Исследовать функции и построить их графики:

Практическая работа № 11

Вычисление интегралов

Цель работы:

На конкретных примерах научиться находить неопределенный и определенный интегралы различными способами.

Содержание работы:

Таблица интегралов

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


Формула Ньютона-Лейбница


Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.



Пример 1: Вычислите

Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:



Пример 2: Вычислите

Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы



2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих вомногих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

Пример 3: Вычислите

Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда , откуда . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо подставим ). Получаем:

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.



Задания для самостоятельной работы:

  1. Н. В. Богомолов «Практические задания по математике», смотреть:

    1. гл. 11 § 1, № 1, 2, 3;

    2. гл. 11 § 4, № 53;

    3. гл. 12 § 1, № 1, 2, 3;

    4. гл. 12 § 2, № 17.




  1. Практическая работа



Практическая работа № 12

Решение уравнений

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать уравнения различного вида и разными способами.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения иррациональных уравнений используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 2 §9 стр. 60;

  2. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения показательных уравнений используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 3 § 12 стр. 77;

  3. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения логарифмических уравнений используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 4 §19 стр. 105.


Задания для самостоятельной работы:


  1. Задания для самостоятельного решения:

Решите уравнения:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  1. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант

















Практическая работа № 13

Решение неравенств

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать неравенства различного вида и разными способами.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения иррациональных неравенств используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 2 §10 стр. 63;

  2. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения показательных неравенств используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 3 § 13 стр. 81;

  3. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения логарифмических неравенств используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 4 §20 стр. 109.

Задания для самостоятельной работы:


  1. Задания для самостоятельного решения:

Решите неравенства:

  1. ;

  2. ;

  3. Решить графический неравенство: ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  1. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант













Практическая работа № 14

Решение практических задач с применением основных понятий комбинаторики

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать практические задачи с применением основных понятий комбинаторики.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Правило произведения» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §60 стр. 317;

  2. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Перестановки» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §61 стр. 320;

  3. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Размещения» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §62 стр. 323.

  4. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Сочетания и их свойства» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §63 стр. 326.

  5. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Бином Ньютона» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §64 стр. 330.


Задания для самостоятельной работы:


  1. Задания для самостоятельного решения:

  1. Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры: 1) 1, 2 и 3; 2) 6, 7, 8 и 9;

  2. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы: 1) последней была цифра 3; 2) первой была цифра 5, а второй — цифра 1;

  3. Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А, В, С, D, Е , F вершин данного: 1) четырёхугольника; 2) треугольника?

  4. Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать: 1) троих студентов; 2) четверых студентов?

  5. Записать разложение бинома: 1) ; 2)



  1. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант

Сколькими способами можно составить расписание 5 уроков на один день из 5 различных учебных предметов?

Сколькими способами можно составить расписание 6 уроков из 6 разных учебных предметов?

Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырёх стульях в столовой детского сада?

Сколькими способами могут занять места 5 учащихся класса за пятью одноместными партами?

В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение физорга и культорга?

В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение физорга, культорга и казначея?

На окружности отмечено 7 точек. Сколько различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

На окружности отмечено 10 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Записать разложение бинома

Записать разложение бинома


Практическая работа № 15

Решение практических задач с применением вероятностных методов

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать практические задачи с применением вероятностных методов.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Вероятность события» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §67 стр. 343;

  2. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Сложение вероятностей» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §68 стр. 346;

  3. Рассмотреть теоретический материал и примеры решения задач по теме: «Независимые события. Умножение вероятностей» используя учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» Алимов Ш. А. гл. 9 §69 стр. 350.


Задания для самостоятельной работы:


  1. Задания для самостоятельного решения:

  1. В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) белый или чёрный; 5) белый или красный; 6) чёрный или красный; 7) или белый, или чёрный, или красный; 8) синий.

  2. В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) цветной; 2) либо белый, либо красный; 3) либо белый, либо синий? Решить задачу двумя способами.

  3. В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что: 1) обе детали оказались нестандартными; 2) обе детали оказались стандартными; 3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной; 4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной.


  1. Практическая работа:

1 вариант

2 вариант

В лотерее участвуют 100 билетов, среди которых 4 выигрышных. Наугад берут один билет. Какова вероятность того, что взятый билет выигрышный?

В лотерее участвуют 100 билетов, среди которых 5 выигрышных. Наугад берут один билет. Какова вероятность того, что взятый билет выигрышный?

Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) либо дама, либо валет; 2) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти? Решить задачу двумя способами.

Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) либо шестёрка, либо туз; 3) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти? Решить задачу двумя способами.

В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки, вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутых шара белые; 3) хотя бы один шар белый.

В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки, вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутых шара чёрные; 3) хотя бы один шар

чёрный.


Практическая работа № 16


Решение задач по теме “Параллельность прямых и плоскостей в пространстве ”

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении темы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Параллельность прямых, прямой и плоскости» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 1 §1 стр. 9;

  2. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 1 §2 стр. 15;

  3. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Параллельность плоскостей» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 1 §3 стр. 20.

Задачи для самостоятельного решения:hello_html_3d276c2d.png

  1. Дан куб ABCD.

Определи взаимное расположение данных прямых 

 (параллельны, пересекающиеся, скрещивающиеся):

  1. AB и

  2. BC и

  3. CD и А


  1. Пирамида SABCD пересечена плоскостью KLM, параллельной основанию

1. Как расположены прямые:  hello_html_m10767a24.png

а) AS  и SD?

б) AB  и KL?

в) SD и LM?

2. Как расположены плоскости: 

а) ASD и DSC?

б) ABD и ASD?





  1. Прямые MN и AB параллельны, прямые MP и AB скрещивающиеся. Найти угол между прямыми MP и AB, если .

  2. Прямая EF не лежит в плоскости квадрата ABCD, но параллельна стороне квадрата BC. Определи угол между прямыми EF и AD.hello_html_62ff8b68.png









  1. Дан куб ABCD. Определи угол между прямыми  hello_html_3d276c2d.png















hello_html_76aede55.png

  1. В плоскости α лежит правильный треугольник ABC.

Проведена медиана AD. Прямая a расположена в не

плоскости треугольника параллельно стороне

треугольника BC.

Рассчитай величину угла между a и AD 

hello_html_m108c6ee9.png





  1. В основании прямого параллелепипеда

ромб, один из углов которого .

Найдите величину угла между KM и  







  1. Используя данный куб

1. определи взаимное расположение плоскостей BB1C1 и AA1D1hello_html_m7b09bddb.png

  • параллельны

  • пересекающиеся

 

2. назови плоскость параллельную A1B1C1

  • ABC

  • DD1C1

  • A1D1D

  • A1B1C1

  • BB1C1hello_html_m3df838fb.png



  1. Через точку O, которая находится между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые a и b, пересекающие плоскости так, что точки A и B находятся в плоскости α,

а точки C и D - в плоскости β. AB=17 см, DO=27 см и AC=3AO. Вычисли: BD;CD

hello_html_m12427d7d.png




  1. Стороны M пересекают параллельные плоскости β и α в точках C,D и A,B. Вычисли длину отрезка AB, если MA=14 см, MC=20 см и CD=58 см.



Практическая работа № 17

Решение задач по теме “Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве ”

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении темы о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 2 §1 стр. 36;

  2. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 2 §2 стр. 43;

  3. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 2 §3 стр. 49.


Перпендикуляр и наклонная

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости,  не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB - наклонная.
B - основание наклонной.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

 Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC - перпендикуляр.

С - основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

 

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

hello_html_m327ead94.jpg

CB - проеция наклонной АВ на плоскость α.


Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

CBA - угол между наклонной АВ и плоскостью α.

 Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

Если AD > AB,

то DC > BC

DAB - угол между наклонными
DCB - угол между проекциями
Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

 

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. 

 

    AB

hello_html_m584529d4.jpg

aABBCBA}aCA

 

Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

 

 AC

 

hello_html_m584529d4.jpg

 

aACBCBA}aBA

 

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

  

Прямая а (общая граница полуплоскостей) называется ребром двугранного угла.

Если на ребре двугранного угла отметить какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки провести луч перпендикулярно к ребру, то образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.


Чтобы обозначить линейный угол двугранного угла:


1) необходимо выбрать точку B на ребре двугранного угла NM


2) из B провести

ABMN  и    BCMN


3) угол ABC является линейным углом двугранного угла.


hello_html_6235b76a.jpg

 Двугранный угол можно изображать различными способами. Например:

Часто в заданиях используется схематическое изображение двугранного угла:

 

hello_html_m24c217f3.jpg

Пример, в котором выгодно использовать схематическое изображение двугранного угла.

Величина двугранного угла равна 60 градусам. Внутри взята точка A, которая находится на равном расстоянии 8 см от обеих граней. Каково расстояние от точки А до ребра двугранного угла?

На этом рисунке будет легче увидеть соотношения в прямоугольных треугольниках.

 

hello_html_m15ee4e0b.jpg

 


 Задачи для самостоятельного решения:

  1. Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 60°. Pa, точка R - проекция точки P на плоскость βRC=7 см. Найдите PC.   

  2. К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 17 см, проекция наклонной равна 8 см . На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная? 

  3. К плоскости α проведена наклонная AB (Aα). Длина наклонной равна 24 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычислите, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

hello_html_12d210ad.jpg

  1.  Наклонная AD  с плоскостью α образует угол 30° , а наклонная DC с плоскостью α образует угол 45°. Длина перпендикуляра DB равна 19 см. Вычислите длины обеих наклонных.





  1. Длина отрезка VB равна 20 м. Он пересекает плоскость в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 8 м и 2 м. Найдите острый угол, который образует отрезок VB с плоскостью.

  2. Равнобедренный треугольник ABE находится в плоскости α. Боковые стороны треугольника ABE равны по 10 см, а сторона основания AE = 12 см. К этой плоскости проведены перпендикуляр CB, который равен 6 см, и наклонные CA и CE. Вычислите расстояние от точки C до стороны треугольника AE.

  3. Двугранный угол равен 45°. На одной грани двугранного угла дана точка B, расстояние от которой до ребра равно 22 см. Чему равно расстояние от точки B до второй грани двугранного угла?

  4. Двугранный угол равен 120 градусов. Внутри его дана точка A, которая находится на расстоянии 36 см от обеих граней угла. Чему равно расстояние от точки A до ребра двугранного угла?  

 

Практическая работа № 18

Решение задач по теме “Нахождение основных элементов многогранников ”

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Многогранники» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Понятие многогранника. Призма» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 2 §1 стр. 60;

  2. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Пирамида» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 3 §2 стр. 65;

Понятие многогранника. Призма

  1. Призма и ее элементы:

Призма - это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.

Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями призмы.

В зависимости от основания призмы бывают треугольными (рис. 1), четырёхугольными (рис. 2 и 3), шестиугольными (рис. 4) и др.

Рис. 1.

hello_html_m742ec8e0.jpg

Рис. 2.

hello_html_5189646d.jpg

Рис. 3.

hello_html_m737daf07.jpg

Рис. 4.

  Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой (рис. 1 - 4).

  

Рис. 5.

Призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основаниям, называется наклонной призмой (рис. 5).

  

Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы.

Высота прямой призмы совпадает с боковым ребром.  

Высота наклонной призмы видна на рис. 5. Без дополнительных условий невозможно определить, в какую точке проектируется высота наклонной призмы.

Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.

  1. Параллелепипед:

Параллелепипед - это четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды - особая группа призм. Как видно на данных рисунках, объёмные рисунки прямых параллелепипедов практически не отличаются. 

Виды параллелепипедов:


Наклонный

hello_html_2eba3071.jpg

Основание - параллелограмм.

Прямой

hello_html_m4a1682d9.jpg

  

Виды прямых параллелепипедов:

  

Прямой параллелепипед

hello_html_m4a1682d9.jpg

Прямоугольный параллелепипед

hello_html_721d309b.jpg

Основание - параллелограмм

hello_html_m6c7473a3.jpg

Основание - прямоугольник

hello_html_m6bc70284.jpg

 




Специальные случаи прямоугольного параллелепипеда:

  

Правильная четырёхугольная призма

hello_html_m4b7118ae.jpg

Куб

hello_html_5189646d.jpg

Основание - квадрат, но высота призмы не равна стороне основания.

hello_html_3e5b6a6c.jpg

Все рёбра куба равны, все грани - квадраты.


У куба 12 рёбер и 6 граней.


Площадь поверхности куба находится  умножением площади одной грани на 6.


Sкуба=6a2, где a - ребро куба.


  1. Диагонали и диагональное сечение призмы:

Диагональ призмы - это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ не существует только у треугольной призмы. 

Если диагонали основания прямой призмы равны, то диагонали самой призмы тоже равны.

Например, у куба, правильной четырёхугольной призмы, прямоугольного параллелепипеда диагонали равны (DF = EC, т.к. DB = CA), а у параллелепипеда, в основании которого находится параллелограмм, диагонали только попарно равны (DFECт.кDBCA).

 

Диагональное сечение призмы - это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Каждое диагональное сечение содержит две диагонали призмы.

 

Диагональное сечение прямой призмы является прямоугольником.

Диагональное сечение наклонной призмы - параллелограмм.

  Запомните!

У правильного шестиугольника диагонали бывают 2 видов - короткие и длинные. В связи с этим существует два вида диагональных сечений шестиугольной призмы:

Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны.

 СЕ - одна из коротких диагоналей шестиугольника, ВЕ - одна из длинных диагоналей. Учитывая то, что углы правильного шестиугольника равны  по 120 градусов, легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30 градусов, и использовать соотношения в этом треугольнике.

 

Форм

ула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

 Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например,

три измерения - это длины трех ребер DADCDD1

 

 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

D2=a2+b2+c2, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда, т.е., его длина, ширина и высота.

 

(Подобно теореме Пифагора, только здесь добавляется третье измерение.)

На рисунке: DB12=DA2+DC2+DD12

 Запомните: у прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:  DB1=CA1=AC1=BD1 

Формула диагоналей куба

Так как у куба все измерения равны, обозначаем их за a, тогда

D2=a2+a2+a2=3a2.

Упрощаем и получаем формулу диагонали куба:


 

 

  1. Углы, образованные диагоналями призмы и ее гранями:

При решении задач очень важно уметь обозначать углы, образованные диагоналями призмы и её боковыми гранями. 

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, необходимо:

  1. провести наклонную;

  2. из конца наклонной провести перпендикуляр к плоскости;

  3. провести проекцию наклонной;

  4. обозначить угол между наклонной и её проекцией.

Угол между диагональю и плоскостью основания в прямом параллелепипеде

  

Угол BDF - угол, образованный меньшей диагональю DF и плоскостью основания ABCD

(обычно на изображении параллелепипеда меньшая диагональ (DB) та, которая выглядит меньше).

Треугольник DBF - прямоугольный.

hello_html_2432493e.jpg

Угол ECA - угол, образованный большей диагональю EC и плоскостью основания ABCD

Треугольник ECA - прямоугольный.

 

Угол между диагональю и боковой гранью прямоугольного параллелепипеда

  


hello_html_m14e3c71b.jpg

Угол FDG - угол, образованный диагональю FD и боковой гранью DKGC.


Обратите внимание: ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани, поэтому треугольник DFG -прямоугольный.
hello_html_m1f8e3f04.jpg

hello_html_652e52df.jpg

Угол FDE - угол, образованный диагональю FD и боковой гранью AEKD


Обратите внимание: ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани, поэтому треугольник FDE -прямоугольный.

Угол, образованный диагональю и плоскостью основания правильной шестиугольной призмы

Угол CFC1 - угол, образованный большей диагональю призмы и плоскостью основания ABCDEF.


Треугольник CFC1 - прямоугольный.

 

Пирамида

  1. Правильная пирамида:

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой.

Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра - равные равносторонние треугольники.

 В учебном заведении нужно уметь решать задачи, где дана

-правильная треугольная пирамида (рис. 1)

-правильная четырёхугольная пирамида (рис. 2)

-правильная шестиугольная пирамида (рис.3)

Рис. 1.

Основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний треугольник.

Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения медиан. Запомните: BN:NK = 2:1

KD - апофема,

NKD и NLD - двугранные углы при основании пирамиды,

DCN и DBN- углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

hello_html_m109b2ba6.jpg

Рис. 2.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды -  квадрат.

Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

ML - апофема,

MLO - двугранный угол при основании пирамиды,

∢ MCO - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.


hello_html_m2f95b992.jpg

Рис. 3.

Основание правильной шестиугольной пирамиды -  правильный шестиугольник.

Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).

SE = h - апофема,

OES - двугранный угол при основании пирамиды.

  1. Пирамида с равными боковыми ребрами:

 Если боковые рёбра пирамиды с плоскостью основания образуют равные углы, то рёбра пирамиды равны, и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около многоугольника основания.

Чтобы было легче запомнить, можно представить вид пирамиды сверху

(см. рис.1).

Проекции рёбер равны, через их концы можно провести окружность.

hello_html_m1fb0b72.jpg

У пирамиды могут быть равны боковые рёбра тогда, когда около многоугольника основания можно описать окружность. 

hello_html_285a5b4f.jpg


  Рис. 2                                                         Рис. 3

  

Главные зависимости для многоугольников, около которых можно описать окружность 

  

Многоугольник, около которого можно описать окружность

Центр описанной окружности

Формулы

произвольный треугольник

(рис.2)

точка пересечения серединных перпендикуляров


где a,b,c - стороны треугольника

равнобедренный треугольник

точка пересечения серединных перпендикуляров, находится на высоте, проведенной к основанию



прямоугольный треугольник (рис.3)

середина гипотенузы

R - половина гипотенузы

прямоугольник

точка пересечения диагоналей

R - половина диагонали


Для таких пирамид нельзя использовать формулы правильной пирамиды для вычисления площади боковой поверхности, площадь боковой поверхности находят, сложив площади всех боковых граней пирамиды.

Ss=S1+S2+... 

Если основание - правильный многоугольник и все боковые грани равны, то пирамида является правильной.

 

  1. Пирамида с равными двугранными углами при основании:

Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Чтобы легче это запомнить, можно представить, что смотрите на пирамиду сверху
(см. рисунок).

Проекции высот боковых граней пирамиды равны, через их концы можно вписать окружность.

hello_html_m38076deb.jpg

  

У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.

Рис. 2                                                         Рис. 3

 

Отмечая радиус r на рисунке, нужно быть очень внимательным! Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне. Например, в произвольном треугольнике он не находится на биссектрисе (рис.2) и в ромбе не параллелен стороне (рис.3).
  






Главные зависимости для многоугольников, в которые можно вписать окружность

  

любой треугольник

(рис.2)

точка пересечения биссектрис


где p - полупериметр

ромб

(рис.3)

точка пересечения диагоналей


r - половина высоты ромба

 

Задачи для самостоятельного решения:

  1. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 16 см, ширина -  8 см и высота - 2 см.

  2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Площадь большей боковой грани равна  120  см2. Вычислите высоту призмы.

  3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с плоскостью основания образует угол 45°, стороны основания равны 12  и 16 см. Вычислите высоту параллелепипеда.

  4. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 26 см и образует с боковой гранью угол 30°. Вычислите площадь основания призмы.

  5. Высота правильной треугольной призмы равна 5 см, площадь боковой поверхности равна 60 см2. Вычислите сторону основания призмы.

  6. Сечение, которое проведено параллельно основанию треугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 5:9, считая от вершины. Вычислите площадь сечения, если площадь основания равна 784 дм2.

  7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 24 дм, боковое ребро с плоскостью основания образует угол 300. Вычислите высоту пирамиды.

 Практическая работа № 19

Решение задач по теме Нахождение основных элементов правильных многогранников

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Многогранники» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Правильные многогранники» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 3 §3 стр. 71.

  2. Рассмотрите теоретический материал по теме: «Правильные многогранники» используя учебник «Геометрия. 10-11 класс» Смирнов И. М.. гл. 4 §27 стр. 87.


Задачи для самостоятельного решения:

  1. В процессе рассмотрения теоре6тического материала заполните таблицу:



  1. Почему гранями правильного многогранника не могут быть правильные шестиугольники?hello_html_4cc15445.png

  2. Является пространственный крест (фигура, составленная из семи равных кубов, рисунок № 1) правильным многогранником? Сколько квадратов ограничивает его поверхность? Сколько у него вершин и ребер?



Рис. 1

  1. Какие из представленных на рисунке № 2 фигур можно считать развертками октаэдра?

hello_html_4cc15445.png











рис. 2

  1. Какое наименьшее ребро должна иметь кубическая коробка, чтобы в нее поместился тетраэдр с ребром, равным 8 см? В ответе укажите целое число сантиметров.

hello_html_m7ecf8797.png

  1. В одном углу кубической коробки с размерами 40 х 40 х 40 (см) сидит муха. В противоположном углу сидит паук. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности коробки, по которому паук может доползти до мухи. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу сантиметров.

hello_html_m6d788902.png

  1. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через два его параллельных ребра. Определите вид сечения.

  2. Ребро октаэдра равно 1. Определить расстояние между его противоположными вершинами (ось октаэдра).

  3. Чему равна площадь поверхности икосаэдра?hello_html_7c71d22f.png











hello_html_m2b3d13b3.png

  1. Чему равна площадь поверхности куба, если его объем равен 8 м3?









Практическая работа № 20

Решение задач по теме Нахождение основных элементов цилиндра, конуса и шара

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Тела и поверхности вращения» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Цилиндр, конус, шар» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 6 §1, п -53, §2, п -55, §3, п -58, стр. 125 - 137.

  2. Рассмотрите теоретический материал по теме: «Цилиндр, конус, шар» используя учебник «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы» Балаян Э. Н. раздел № 1 стр. 10.

  3. Рассмотреть теоретический материал по теме: «Фигуры вращения и площади их поверхностей» используя учебник «Математика» Богомолов Н. В. гл. 14 §86, §87, §88, §89 стр. 344 - 351.


Задачи для самостоятельного решения:

0, высота равна 4 см. Найдите площади оснований.
  1. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1:2, образующая составляет с плоскостью основания угол 600, высота равна 2 см. Найдите площади оснований.

  1. Дан шар радиуса . Через конец радиуса проведена плоскость под углом 600 к нему. Найдите площадь сечения.

hello_html_m3af3a402.gif

  1. Дан шар радиуса . Через конец радиуса проведена плоскость под углом 300 к нему. Найдите площадь сечения.

hello_html_m3af3a402.gif







 Практическая работа № 20

Решение задач по теме Вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Измерения в геометрии» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по теме:

    1. «Многогранники» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 3 §1, п -27, §2, п -29 и п-30, стр. 60 - 68.

    2. «Цилиндр, конус, шар» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 6 §1, п -54, §2, п -56, §3, п -62, стр. 125 – 140,

    3. «Объемы тел» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 7 §1, §2, §3 стр. 148 – 172

  2. Рассмотрите краткие теоретические сведения по курсу стереометрии используя учебник «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы» Балаян Э. Н. раздел № 1 стр. 6.

  3. Рассмотреть теоретический материал по теме:

    1. «Многогранники и площади их поверхностей» используя учебник «Математика» Богомолов Н. В. гл. 13 §84 стр. 341.

    2. «Фигуры вращения и площади их поверхностей» используя учебник «Математика» Богомолов Н. В. гл. 14 §90 стр. 351.

    3. «Объемы многогранников и тел вращения» используя учебник «Математика» Богомолов Н. В. гл. 15 §91, §92 стр. 356 - 360.


Задачи для самостоятельного решения:

  1. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются вершины А, , С, прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 с ребрами АВ = 2 см, ВС = 1 см, АА1 = 1 см.

hello_html_73bd8b0c.png

  1. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины ребер AD, A1D1, DC, D1C1 прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 с ребрами АВ = 2 см, ВС = 1 см, АА1 = 1 см.

hello_html_73bd8b0c.png

  1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами АВ = 1, ВС = 2 вокруг прямой ВС.

hello_html_m5e7a65ec.png

  1. Найти площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами АВ = 2, ВС = 1 вокруг прямой, проходящей через середины АВ и СD. hello_html_52c2d2d4.png

  1. Найдите площадь полной поверхности конуса, полученного вращением равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 4 и боковой стороной, равной 5, вокруг прямой, содержащей высоту ВD этого треугольника.hello_html_4f55901f.png


  1. Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника АВС с катетами 5 и 12 вокруг внешней оси, параллельной большому катету и отстоящему от него на 3. hello_html_m7771d835.png

  1. Найдите площадь поверхности вращения круга радиуса 1 вокруг прямой, содержащей его диаметр.

hello_html_m5b71ab59.png

  1. Найдите площадь. Поверхности вращения четверти круга радиуса 1 вокруг прямой ОВ. hello_html_m5b71ab59.png

  1. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольной трапеции ABCD с основанием AD = 2, ВС = 1 и острым углом в 450, вокруг прямой CD.

hello_html_7fb635ef.png

  1. Найдите объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника АВС со сторонами АВ = ВС = 5, АС = 6 вокруг прямой, содержащей биссектрису BD этого треугольника. hello_html_m35e5d9d6.png


  1. Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 60, а сторона основания – 6. Найдите объем пирамиды.

hello_html_m2b41793f.png

  1. Площадь поверхности куба равна 150. Найдите его объем.


hello_html_m34394c19.png






 Практическая работа № 21

Решение задач по теме Нахождение основных элементов цилиндра, конуса и шара”


Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Тела и поверхности вращения и их измерения» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.


Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по темам

    • «Цилиндр. Основные элементы цилиндра» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 6 §1 п-53 стр. 125 - 127.

    • «Конус. Основные элементы конуса» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 6 §2 п-55 стр. 130 - 132.

    • «Шар и сфера. Основные элементы шара и сферы» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 6 §3 п-58 стр. 136 - 137.



Задачи для самостоятельного решения:

 Практическая работа № 22

Решение задач по теме Использование координат и векторов при решении математических задач”


Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Координаты и векторы» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.


Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по темам «Векторы в пространстве» и «Метод координат в пространстве» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 4 и 5 стр. 81 - 122.

  2. Рассмотреть теоретический материал по теме «Прямая на плоскости и ее уравнение» используя учебник «Математика» Богомолов Н. В. гл. 10 §69, 70, 71, 72, стр. 288.




Задачи для самостоятельного решения:

Oyz; б) ОХ
  1. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор:

  1. .

  1. Дан параллелепипед A….D1. Найдите сумму векторов:

  1. Найдите координаты точки С, если:

  1. Найдите длину вектора:

  1. если А(0;-5;1), В(2;0;-8);

  2. если

  1. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, найдите скалярное произведение векторов:

  1. где H и Q – середины ребер AC и BD соответственно.

  1. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным а, найдите скалярное произведение векторов:

  1. где E и F – середины ребер BC и AD соответственно.

  1. Напишите уравнение плоскости, если она проходит через точку В(3;-2;2) и:

  1. Параллельна плоскости Oyz;

  2. Перпендикулярно оси Ох.

  1. Напишите уравнение плоскости, если она проходит через точку С(3;-4;-3) и:

  1. Параллельна плоскости Oхz;

Перпендикулярно оси Оу.

 Практическая работа № 23

Решение задач по теме Использование координат и векторов при решении прикладных задач”

Цель работы:

На основании знаний полученных при изучении раздела «Координаты и векторы» научиться решать стандартные задачи на нахождение и построение.

Содержание работы:

  1. Рассмотреть теоретический материал по темам «Векторы в пространстве» и «Метод координат в пространстве» используя учебник «Геометрия» Атанасян Л. С.. гл. 4 и 5 стр. 81 - 122.

  2. Рассмотреть теоретический материал по теме «Прямая на плоскости и ее уравнение» используя учебник «Математика» Богомолов Н. В. гл. 10 §69, 70, 71, 72, стр. 288.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1.

Парашютист опускается вертикально вниз со скоростью 4 м/с в безветренную погоду. С какой скоростью он будет двигаться при горизонтальном ветре, скорость которого относительно Земли 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения, если он спускается с высоты 2км?

 Работа над задачей.

  1. Запишем закон сложения скоростей в векторном виде.

  2. Сделаем чертеж, произведя сложение векторов скоростей.

  3. Искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора вычислим её, найдя тем самым модуль скорости.

  4. Зная, что при прямолинейном равномерном движении модуль перемещения пропорционален скорости, составим пропорцию  и найдем модуль искомого перемещения.




Задача 2.

Пусть  – скорость материальной точки,  – сила, действующая на нее. Чему равна мощность, развиваемая силой , если   = 5 H,   = 3,5 м/с; = 450. ).(Для решения задачи используется формула )

Задача 3.

Вычислить работу, которую производит сила hello_html_m602949be.gif = (6; 2), если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (-1; 3), в положение В (3; 4).(Для решения задачи используется формула )

Задача 4.

Мишень находится от лучника на расстоянии 50м. Мишень имеет форму концентрических окружностей. Диаметр центрального круга 10 см, толщина каждого кольца тоже 10 см. Стрела во время полете имеет скорость  50 м/с. Дует боковой ветер со скоростью 0,8 м/с. Попадет ли стрела в цель.?  В какой круг должен целится стрелок, чтобы попасть в десятку? Сделайте чертеж и решите задачу.

Задача 5.

Скорость лодки относительно течения 10 м/с, скорость течения 5 м/с. Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж.






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 04.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров357
Номер материала ДБ-175901
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх