Методические указания по выполнению практических работы по учебной дисциплине Математика

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области

«Черемховский техникум промышленной индустрии и сервиса»

Методические указания

по выполнению

практических работы

по учебной дисциплине

Математика

по профессиям среднего профессионального образования

140446.03  Электромонтер по ремонту и обслуживанию

электрооборудования (по отраслям)

100116.01   Парикмахер;

260807.01 Повар, кондитер

Черемхово, 2015 г.

Методические указания для выполнения практических работы разработаны на основе  программы  учебной дисциплины Математика  и примерной программы учебной дисциплины Математика для профессий начального профессионального образования - М.: ФИРО, 2014.

Разработчик:

Загвоздинаа Наталья Николаевна, преподаватель математических дисциплин

Рассмотрено и одобрено на заседании методической комиссии  преподавателй общеобразовательных дисциплин Протокол № _____от «___»________2015  г. Руководитель МК _________________.В.А.Богданова

Содержание

Пояснительная записка	7
Критерии оценки практических работ	9
Практическая работа по теме: Арифметические операции над рациональными числами	10
Практическая работа по теме: Линейные уравнения и неравенства.	10
Практическая работа по теме: Линейная функция и ее график.	10
Практическая работа по теме: Квадратные уравнения. Квадратичные уравнения.	11
Практическая работа по теме:  Повторение базисного материала школьного курса математики	11
Практическая работа по теме: Десятичные, бесконечные, периодические дроби.	11
Практическая работа по теме: Действительные числа	12
Практическая работа по теме: Приближенные вычисления.	12
Практическая работа по теме: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.	12
Практическая работа по теме: Развитие понятия о числе.	13
Практическая работа по теме: Корни натуральной степени из числа.	13
Практическая работа по теме: Степени с рациональным показателем и их свойства.	14
Практическая работа по теме: Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительными показателями.	14
Практическая работа по теме: Преобразование рациональных и иррациональных степенных выражений.	15
Практическая работа по теме: Решение простейших показательных уравнений и неравенств.	15
Практическая работа по теме: Метод интервалов.	16
Практическая работа по теме: Корни и степени	16
Практическая работа по теме: Логарифм. Логарифм числа.	17
Практическая работа по теме: Свойства логарифмов.	17
Практическая работа по теме: Действия с логарифмами.	18
Практическая работа по теме: Преобразование логарифмических выражений.	18
Практическая работа по теме : Аксиомы стереометрии и их следствия.	19
Практическая работа по теме: Параллельность прямой и плоскости.	19
Практическая работа по теме: Параллельность плоскостей	20
Практическая работа по теме: Решение задач на построение сечений тетраэдра, параллелепипеда.	20
Практическая работа по теме: Параллельность прямых и плоскостей.	20
Практическая работа по теме: Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная.	21
Практическая работа по теме:: Двугранный угол	22
Практическая работа по теме: Перпендикулярность плоскостей.	23
Практическая работа по теме: Геометрические преобразования пространства.	23
Практическая работа по теме: Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок.	24
Практическая работа по теме: Решение задач на перебор вариантов.	24
Практическая работа по теме: Перестановки с повторениями	25
Практическая работа по теме: Сочетания с повторениями	25
Практическая работа по теме: Координаты и векторы.	25
Практическая работа по теме: Решение простейших задач в координатах.	26
Практическая работа по теме: Сферы, плоскости и прямой.	26
Практическая работа по теме: Векторы, Модуль вектора. Равенство векторов.	26
Практическая работа по теме:: Умножение вектора на число.	27
Практическая работа по теме: Решение задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями.	27
Практическая работа по теме: Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.	27
Практическая работа по теме: Радианная мера угла. Вращательное движение.	28
Практическая работа по теме: Синус, косинус тангенс, и котангенс числа	28
Практическая работа по теме: Основные тригонометрические тождества.	29
Практическая работа по теме: Синус. Косинус и тангенс углов £ и -£.	29
Практическая работа по теме: Формулы сложения.	30
Практическая работа по теме: Преобразование простейших тригонометрических выражений.	30
Практическая работа по теме: Уравнения cos x = a.	31
Практическая работа по теме: Решение уравнений sin x = a.	31
Практическая работа по теме: Решение уравнений: tg x = а.	32
Практическая работа по теме: Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.	32
Практическая работа по теме: Решение тригонометрических уравнений      а sin x +  b соs x = с.	32
Практическая работа по теме: Решение уравнений, решаемые разложением левой части на множители.	32
Практическая работа по теме: Решение тригонометрических уравнений.	33
Практическая работа по теме: Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.	33
Практическая работа по теме: Построение графиков функций, применение свойств к ним	34
Практическая работа по теме: Свойства функции. Графическая интерпретация.	34
Практическая работа по теме: Построение графиков обратных функций	34
Практическая работа по теме: Степенная функция, ее свойства и график.	35
Практическая работа по теме: Показательная функция, ее свойства и график.	35
Практическая работа по теме: Логарифмическая функция, ее свойства и график.	36
Практическая работа по теме: Прямая призма.	36
Практическая работа по теме: Наклонная призма.	37
Практическая работа по теме:  Правильная призма.	38
Практическая работа по теме: Пирамида. Правильная пирамида.	38
Практическая работа по теме:  Усеченная пирамида.	39
Практическая работа по теме: Сечения куба, призмы и пирамиды.	39
Практическая работа по теме: Площадь поверхности цилиндра.	40
Практическая работа по теме: Сечения конуса.	40
Практическая работа по теме: Усеченный конус.	41
Практическая работа по теме: Сфера и шар. Уравнение сферы.	41
Практическая работа по теме: Касательная плоскость к сфере.	42
Практическая работа по теме: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.	42
Практическая работа по теме: Понятие о производной функции.	42
Практическая работа по теме: Уравнение касательной к графику функции.	43
Практическая работа по теме: Производная суммы, разности, произведения.	43
Практическая работа по теме: Производная частного.	44
Практическая работа по теме:: Производные числовых элементарных функций.	44
Практическая работа по теме: Применение производной и исследование функций и построению графиков.	44
Практическая работа по теме: Примеры исследования производной для нахождения наилучшего решения прикладных задач.	45
Практическая работа по теме: Вторая производная.	45
Практическая работа по теме: Применение второй производной к исследованию функций и построению графиков.	45
Практическая работа по теме: Первообразная и интеграл.	46
Практическая работа по теме: Формула Ньютона Лейбница.	46
Практическая работа Примеры применения интеграла в физике и геометрии.	47
Практическая работа по теме: Объем прямоугольного параллелепипеда.	47
Практическая работа Решение задач по теме: Объем прямой призмы.	47
Практическая работа по теме: Объем цилиндра.	48
Практическая работа по теме: Объем пирамиды.	48
Практическая работа по теме: Объем конуса.	48
Практическая работа по теме: Формулы площади поверхности цилиндра и конуса.	49
Практическая работа по теме: Формулы объема шара и площади сферы.	49
Практическая работа по теме: Сложение и умножение вероятностей.	49
Практическая работа по теме: Представление данных.	50
Практическая работа Решение практических задач с применением вероятности методов.	50
Практическая работа по теме: Рациональные уравнения и системы. Иррациональные уравнения и системы.	51
Практическая работа по теме: Показательные уравнения и системы.	51
Практическая работа по теме: Логарифмические уравнения и системы.	52
Практическая работа по теме: Тригонометрические  уравнения и системы.	52
Практическая работа по теме: Рациональные неравенства. Основные приемы их решения.	52
Практическая работа по теме: Логарифмические и показательные неравенства. Основные приемы их решения.	53
Практическая работа по теме: Решение показательных неравенств.	53
Список рекомендуемой литературы	55

Пояснительная записка

Методические указания предназначены для обучающихся по профессиям среднего профессионального образования  изучающих учебную дисциплину «Математика».

                Целью методических указаний является: развитие познавательных интересов в процессе самостоятельного приобретения математических знаний; применение полученных знаний на практике; формирование самостоятельных навыков при решении математических задач.

                Методические указания содержат задания для самостоятельного выполнения обучающимися на практических занятиях.

В результате выполнения практических  работ обучающийся должен:

1. Уметь выполнять вычисления и преобразования:

1.1.  Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма;

1.2.  Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

1.3.  Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

2. Уметь решать уравнения и неравенства:

2.1.  Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы;

2.2.  Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

2.3.  Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы

3. Уметь выполнять действия с функциями

3.1.  Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций

3.2.  Вычислять производные и первообразные элементарных функций

3.3.  Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции

4. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

4.1.  Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей)

4.2.  Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы

4.3.  Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами

5. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

5.1.  Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

• уметь выполнять вычисления и преобразования;
• уметь решать уравнения и неравенства;
• уметь выполнять действия с функциями;
• уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатамии векторами;

• уметь строить и исследовать математические модели.

Требования к знаниям, умениям и навыкам обучающиеся  соответствуют  требованиям, изложенным в государственной программе  для общеобразовательных школ.

Критерии оценки практических работ

Оценка «5» – работа выполнена в полном объеме и без замечаний.

Оценка «4» – работа выполнена правильно с учетом 2-3 несущественных ошибок исправленных самостоятельно по требованию преподавателя.

Оценка «3» – работа выполнена правильно не менее чем на половину или допущена существенная ошибка.

Оценка «2» – допущены две (и более) существенные ошибки в ходе работы, которые обучающиеся не может исправить даже по требованию преподавателя или работа не выполнена.

Практическаяработа

по теме:Арифметические операции над рациональными числами.

Цель занятия: Формирование умений и навыков при решении задач.

Ход работы:

1. Запишите в виде десятичной дроби:

a.       ;

b.      ;

c.       .

2. Вычислить:

a.       ;

b.     

Практическаяработа

по теме:Линейные уравнения и неравенства.

Цель занятия: Формирование умений и навыков при решении линейных уравнений и неравенств.

Ход работы:

1.       Решить уравнение:

;

2.       Решить уравнение:

3.       Решить иррациональное уравнение:

4.       Решить неравенство:

6х²-х-2<0.

Практическаяработа

по теме:Линейная функция и ее график.

Цель занятия: Отработать навыки в построении графиков линейной функции.

Ход занятия:

1. Построить график линейной функции: a) y=−2x+1, x∈[−3;2]  b) y=−2x+1, x∈(−3;2)
2. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
3. Постройте график уравнения .
4. Постройте график функции у=kx+b, если он перпендикулярен прямой  и проходит через точку М(-1;2).

Практическаяработа

по теме: Квадратные уравнения. Квадратичные уравнения.

Цель занятия: Отработать навыки построения графиков  и решения уравнений.

Ход занятия:

1. Решить квадратные уравнения:

a.       x² − 2x − 3 = 0;

b.      15 − 2x − x² = 0;

c.       x² + 12x + 36 = 0.

2. Решить неполные квадратные уравнения:

a.       x2 − 7x = 0;

b.      5x2 + 30 = 0;

c.       4x2 − 9 = 0.

3. Постройте график квадратичной параболы

Практическаяработа

по теме:  Повторение базисного материала школьного курса математики

Цель занятия: отработать умения и навыки при решении упражнений.

Ход занятия:

1. Решите уравнения:

·        х(х+2)=3;

·        х(х+3)=4.

2. Упростите выражения:

·        ;

·        .

3. Решите систему уравнения:

·       

·       

4. Решите систему неравенств:

·       

·       

5. Вычислите координаты точек пересечения графика функции у=3х²-15х с осью х.
6. Найдите значения выражения  при х=, у=

Практическаяработа

по теме: Десятичные, бесконечные, периодические дроби.

Цель занятия: Отработать навыки в преобразовании в десятичную бесконечную дробь.

Ход занятия:

1. Дать определение:

a.       Десятичные дроби это -….

b.      Бесконечные периодические дроби это -…

c.       Бесконечные непериодические дроби это -…

2. Перевести данные числовые дроби в десятичные:
3. Перевести в бесконечную периодическую дробь: .

Практическаяработа

по теме: Действительные числа

Цель занятия: отработать навыки действия с действительными числами.

Ход занятия:

1. Какое число называется действительным числом….
2. Вычислить:

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)      .

3. Сравнить числовые значения выражений:

a)       и ;

b)       и .

Практическаяработа

по теме:Приближенные вычисления.

Цель занятия: отработать навыки действия с приближенными числами.

Ход занятия:

1. Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.
2. Найти разность чисел: 418,7 - 39,832.
3. Найти значение , если а ≈ 9,31; b ≈ 3,1; с ≈ 2,33.

Практическаяработа

по теме: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Цель занятия: осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков и их применение.

Ход занятия:

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если                .
2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

-25, -5, -1, ……

3. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

§  ;

§  .

4. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти: q, если b₁=20.

Практическаяработа

по теме: Развитие понятия о числе.

Цель занятия: применить знание и умение при решении упражнений.

Ход занятия:

1. Вычислить:

§  .

2. Представить в виде обыкновенной дроби:

§  1,3(1);

§  2,3(2).

3. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если b₂=-81, S₂=162.
4. Упростить выражение .

Практическаяработа

по теме: Корни натуральной степени из числа.

Цель занятия: отработать навыки решения корней натуральной степени из числа.

Ход занятия:

1. Вычислить:

;

;

;

;

;

;

.

;

;

Практическаяработа

по теме: Степени с рациональным показателем и их свойства.

Цель занятия: отработать навыки в применении свойств степеней.

Ход занятия:

1. Запишите свойства степени с рациональным показателем.
2. Вычислить:

Практическаяработа

по теме: Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительными показателями.

Цель занятия: отработать навыки в применении свойств степеней.

Ход занятия:

1. Вычислить:

§  ;

§  ;

§  ;

§  .

2. Выяснить, какое из чисел больше:

или ;	или;
или ;	или .

3. Упростить выражения:

§  ;

§  ;

§  .

4. Сравнить числа:

и ;

и .

Практическаяработа

по теме: Преобразование рациональных и иррациональных степенных выражений.

Цель занятия: закрепить знания по теме преобразование рациональных и иррациональных степенных выражений.

Ход занятия:

1. Пользуясь тождеством а²-b²=(a+b)(a-b), разложить на множители:

§  ;

§  ;

§  ;

§  −y.

2. Сократить дробь:

§  ;

§  .

3. Упростить выражение:

§  ;

§  ;

§  .

Практическаяработа

по теме: Решение простейших показательных уравнений и неравенств.

Цель занятия: закрепить знания по теме показательные уравнения и неравенства.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

1)       ;

2)       ;

3)       ;

4)       .

2. Решить неравенство:

                                I.           ;

                              II.           .

3. Решить уравнения:

1.       ;      3. ;

2.       ;      4. .

Практическаяработа

по теме: Решение показательных неравенств.

Цель занятия: отработать навыки решения показательных неравенств.

Ход занятия:

1. Решить неравенство:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

2. Найти целые решения неравенства на отрезке :

·        .

3. Найти область определения функции:

·        .

Практическаяработа

по теме: Корни и степени

Цель занятия: закрепить знания по теме корни и степени.

Ход занятия:

Вычислите: a)      ; b)      . Найти значение выражений:                                 I.           ;                               II.           . Упростите выражение: a.       ; b.      ; c.       . Найдите значение выражений: ·        ; ·          , при p = 49.

Практическаяработа

по теме: Логарифм. Логарифм числа.

Цель занятия: закрепить знания по теме логарифмы.

Ход занятия:

1. Вычислить:

ü  ;	ü	ü
ü	ü	ü
ü	ü	ü
ü	ü	ü
ü

2. Решить уравнения:

1.       ;

2.       .

Практическаяработа

по теме:Свойства логарифмов.

Цель занятия: закрепить знания по теме свойства логарифма.

Ход занятия:

1. Упростите выражения:

a)       ;

b)       ;

2. Вычислите:

o    , если .

o   .

3. Укажите значение выражения:

.

4. Найдите значение выражения:

o   ;

o   ;

o   .

5. Внесите множитель под знак корня:.
6. Упростите выражение:

o   ;

o   .

7. Вычислите:

ü  ;

ü  ;

ü  .

Практическаяработа

по теме: Действия с логарифмами.

Цель занятия: закрепить знания по теме действия с логарифмами.

Ход занятия:

1. Вычислите:

o   ;

o   ;

o   .

2. Найдите значение выражения:

o   , если ;

o   ;

o   ;

o   ;

3. Вычислите значение выражения:

Практическаяработа

по теме: Преобразование логарифмических выражений.

Цель занятия: закрепить знания по теме преобразование логарифмических выражений.

Ход занятия:

1. Вычислить , если :

ü  ;

ü  .

2. Вычислить:

§  ;

§  .

3. Найти х по данному его логарифму:

§  ;

§  .

Практическаяработа

Решение задач по теме: Аксиомы стереометрии и их следствия.

Цель занятия:закрепить знания по теме аксиомы стереометрии и их следствия.

Ход занятия:

1. Выполнить рисунки к аксиомам и следствия к ним.
2. Решить задачи:

·        Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

·        Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

·        Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Практическиеработа

на тему: Параллельность прямой и плоскости.

Цель занятия: закрепить знания по теме параллельность прямой и плоскости.

Ход занятия:

1. Ответьте на вопросы:

·        Верно ли, что любые три точки лежат в одной плоскости?

·        Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости?

·        Могут ли две плоскости иметь: только две общие точки; только одну общую прямую?

2. Решите задачи:

·        Точки А и В лежат в плоскости , а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямя, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости .

·        Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСД. Докажите, что прямая СД параллельна плоскости АВМ.

·        Точка М не лежит в плоскости трапеции АВСД с основанием АД. Докажите, что прямая АД параллельна плоскости ВМС.

Практическаяработа

Решение задач на тему: Параллельность плоскостей

Цель занятия: закрепить знания по теме параллельность плоскостей.

Ход занятия:

1. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки.
2. Плоскости  и  параллельны, прямая m лежит в плоскости . Докажите, что прямая m параллельна плоскости .
3. Плоскости  и  параллельны, А – точка плоскости . Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости , лежит в плоскости .
4. Параллельные плоскости  и  пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В₁ и В₂. Найдите: а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂=2А₁А=12 см, АВ₁=5 см; б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁=18 см, АА₁=24 см, АА₂=А₁А₂.

Практическаяработа

Решение задач на построение сечений тетраэдра, параллелепипеда.

Цель занятия: формирование умений и навыков в построении сечений тетраэдра и параллелепипеда.

Ход занятия:

1. Решить задачи.

§  Изобразите  тетраэдр АВСД и отметьте точку  М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку  М, параллельно прямым АС и ВД.

§  Изобразите параллелепипед  АВСДА₁В₁С₁Д₁  и отметьте на ребре АВ точку  М.  Постройте  сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку  М, параллельно плоскости АСС₁.

§  Изобразите параллелепипед  АВСДА₁В₁С₁Д₁  и постройте его сечение плоскостью BKL, где точка K – середина ребра АА₁, а точка L – середина ребра СС₁. Докажите, что построенное сечение – параллелограмм.

Практическаяработа

Решение задач на тему: Параллельность прямых и плоскостей.

Цель занятия: формирование умений и навыков при определении параллельности прямых и плоскостей.

Ход занятия:

1. Ответьте на вопросы:

§  Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

§  Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? сколько из этих прямых параллельны прямой а?

§  Прямые а и с параллельны, а прямые а и в пересекаются. Могут ли прямые в и с быть параллельными?

§  Прямая а параллельна плоскости . Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости ; б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости ; в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости ?

§  Прямая а параллельна плоскости . Сколько прямых, лежащих в плоскости , параллельны прямой а? параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости ?

§  Прямая а пересекает плоскость . Лежит ли в плоскости  хоть одна прямая, параллельная а?

§  Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

§  Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

§  Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?

§  Могут ли скрещивающиеся прямые а и в быть параллельными прямой с?

§  Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Параллельны ли плоскость  и плоскость трапеции?

2. Решить задачи:

§  ВершиныА и В трапеции АВСД лежат в плоскости , а вершины С и Д не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая СД относительно плоскости , если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?

§  Плоскость  и прямая а параллельны прямой b. Докажите, что прямая а либо параллельна плоскости , либо лежит в ней.

§  Изобразите тетраэдр ДАВС и отметьте точку К на ребре ДС и точки М и Н граней АВС и АСД. Постройте сечение тетраэдра плоскостью МНК.

Практическаяработа

по теме: Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная.

Цель занятия: формирование умений и навыков при решении задач.

Ход работы:

Ответить на вопросы.

1. Сколько существует прямых перпендикулярных плоскостей?

Сколько из них проходит через данную точку? Изобразить модель.

2. Покажите и изобразите зависимость между прямыми, перпендикулярными одной плоскости.
3. Выберите рисунок, на котором можно указать  наклонные и их проекции. Запишите теорему трех перпендикулярных.

Решить задачи.

1. Конус отрезка АВ не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстоянии 2,4 м. и 7,6 м.. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до этой плоскости.
2. Перекладина длиной 5 м. своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 3 м. и 6 м.. Каково расстояние между основаниями столбов?
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см. и 15 см.. Проекция одной на 4 см. больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

Оформить работу и сдать на проверку.

Практическаяработа

по теме: Двугранный угол.

Цель занятия:отработать навыки в построении двугранных углов.

Ход занятия:

1. Закончите предложение

1.       Двугранный угол называется фигура, образованная… (Сделайте рисунок)

2.       Гранями двугранного угла называется…

3.       Ребром двугранного угла называется…

4.       Двугранный угол называется:

a)       Прямым, если…

b)       Тупым, если…

c)       Острым, если…

Сделайте соответствующие рисунки и обозначьте двугранные углы:

Прямой двугранный угол	Тупой двугранный угол	Острый двугранный угол

2. Ответьте на вопросы

1.       Как измеряется двугранный угол?

2.       Сколько способов построения линейного угла данного двугранного угла вы знаете? Опишите их.

3.       Если двугранный угол равен а) 15^о; б) 70^о; в) 135^о, то чему равен соответствующий ему двугранный угол?

4.       Чему равен угол между плоскостями граней развернутого двугранного угла?

5.       Сколько прямых двугранных углов в кубе?

3. Дан куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.

Сделайте рисунок. Перечислите углы, в гранях которых лежит квадрат А₁Д₁ДА.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Перпендикулярность плоскостей.

Цель занятия: отработать навыки при решение задач по теме перпендикулярность плоскостей.

Ход занятия:

1. Плоскостии  пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям  и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.
2. Плоскости  и  взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. А) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Б) найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ=m, ВМ=n.
3. Общая сторона АВ треугольников АВС и АВД равна 10 см. плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите СД, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Геометрические преобразования пространства.

Цель занятия: отработать навыки в решении задач.

Ход занятия:

1. Ответьте на вопросы:

·        Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка В (1;0;2) переходит в точку С (2;-2;4)?

·        Как расположена плоскость по отношению к осям координат О_х и О_z, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М (2;1;3) переходит в точку М₁ (2;-2;3)?

·        В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? Осевой симметрии? Центральной симметрии?

2. Решите задачи:

·        Найдите координаты точек, которые переходят точки А (0;1;2), В (3;-1;4), С (1;0;-2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

·        Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

·        Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол , отображается на прямую, также образующую с осью угол .

Практическаяработа

Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок.

Цель занятия. Отработать навыки в решении задач на подсчет числа размещений, перестановок.

Ход занятия:

1. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:

·        Последней была цифра 3;

·        Первой была цифра 4;

·        Первой была цифра 5, а второй – цифра 1;

·        Первой была цифра 2, а последней – цифра 4;

·        Первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;

·        Первыми были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

2. Упростить форму записи выражений (полагая, что k – натуральное число, k>4):

6!×7;	10!×11;	15!×14;
12×11!;	k!(k+1);	(k-1)! k;
(k-1)! k (k+1);	(k-2)! (k-1) ×k;	(k-4)!(k2-5k+6);
(k-3)!(k2-3k+2).

3. В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение: 1. Физорга и культорга; 2. Физорга, культорга и казначея?
4. Найдите значение выражения:

;

;

;

.

Практическаяработа

Решение задач на перебор вариантов.

Цель занятия. Отработать навыки в решении задач на перебор вариантов.

Ход занятия:

1. Найти значение:

;

;

;

.

2. Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать:

·        Троих студентов;

·        Четверых студентов?

3. В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться: 1. 15 ламп; 2. 14 ламп?
4. На окружности отмечено: 1. 10 точек; 2. 12 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Практическаяработа

по теме: Перестановки с повторениями

Цель занятия: Закрепить навыки решения комбинированных задач.

Ход занятия:

1. Вычислите: Р(2,5,3); Р(1,2,3,4).
2. Решить задачи:

1.       Сколько различных композиций можно получить, если переставлять буквы слова «Математика»?

2.       У мамы два яблока и три груши. Каждый день в течении 5 дней она дает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Практическаяработа

по теме: Сочетания с повторениями.

Цель занятия: закрепить навыки решения комбинаторных задач.

Ход занятия:

1. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4 см., 5 см., 6 см., 7 см.?
2. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длины ребер которых выражаются натуральными числами от 1до 10?
3. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеется 7 бегунов?
4. Сколькими способами можно выбрать пять делегатов из участников конференции, на которой присутствуют 15 человек?
5. Сколькими способами можно поставить восемь шашек на черные поля доски?

Практическаяработа

по теме: Координаты и векторы.

Цель занятия: закрепить навыки в нахождении координат векторов.

Ход занятия:

1. Даны векторы.

Найдите координаты вектора =2+3-. В ответ запишите сумму координат вектора .

2. Найдите , если А(2;-3;-1), С(3;-1;-3).
3. Даны векторы.

Найдите +.

4. При каком значении векторы  взаимно перпендикулярны?
5. Найдите скалярное произведение векторов  и , если=3, =8, а угол между векторами равен 120⁰.

Практическаяработа

Решение простейших задач в координатах.

Цель занятия: выработка умений и навыков прирешение простейших задач в координатах.

Ход занятия:

1. Даны точки М(-4;7;0) и N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка МN.
2.  

В(-4;3;2)       А(-3;-2;4) Найти .

В(4;-5;0) А(-3;-2;4) D(7;-2;-3)   C(5;0;-4) Равны ли векторы  и ?

В(2;4;7) D(7;-2;-3)              С (5;0;-4) Дано: АВСD – параллелограмм. Найти координаты вершины С.

В(5;1;-2)     А(1;-3;4)     С(-1;3;-3) D(0;1;6) Перпендикулярны ли векторы  и ?

Практическаяработа

Решение задач по теме: сферы, плоскости и прямой.

Цель занятия: выработка умений и навыков прирешение задач по теме: сферы, плоскости и прямой.

Ход занятия:

1. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если:

а) А(-2;2;0), N(5;0;-1); б) А(-2;2;0), N(0;0;0); в) А(0;0;0), N(5;3;1).

2. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

А) х²+y²+z²=49; Б) (х-3)²+ (y+2)²+ z²=2.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Векторы, Модуль вектора. Равенство векторов.

Цель занятия: выработка умений и навыков при решение задач по теме: Векторы, Модуль вектора. Равенство векторов.

Ход занятия:

1. Найдите координаты вектора , если: а) А (-2;6;-2), В(3;-1;0); б) В(1;;), В(;;).
2. Даны точки А(3;-1;5), В(2;3;4), С(7;0;-1) и Д(8;-4;8). Докажите, что векторы  и  равны. Равны ли векторы  и ?
3. Даны векторы . Найдите: а) +; б) ; в) .

Практическаяработа

Решение задач по теме: Умножение вектора на число.

Цель занятия: выработка навыков по теме умножение вектора на число.

Ход занятия:

1. Даны векторы  и . Найдите координаты векторов: а) -3; б) -6; в) -; г) 0,2.
2. Даны векторы . Найдите координаты векторов: -2+ и =3-2+.
3. Даны векторы  и . Найдите координаты векторов: а) 0,1+3+0,7-5; б) (2+3)-(-2)+2(-).

Практическаяработа

Решение задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Цель занятия: выработка навыков при решение задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Ход занятия:

1. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если а) А(3;-2;4), В(4;-1;2), С(6;-3;2), D(7;-3;1); б) А(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;-7;-9); в) А(1;0;2),  В(2;1;0), С(0;-2;-4), D(-2;-4;0).
2. В прямоугольном параллелепипеде АВCDА₁В₁C₁D₁ АВ=1, ВC=2, ВВ₁=3. Вычислите косинус угла между прямыми: а)АС и D₁В₁; б)АВ₁ и ВC₁; в)А₁D₁ и АC₁.
3. В тетраэдре АВCD угол АВD = угол АВC = угол DВC =90⁰, АВ=ВD=2, ВС=1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер АD и ВС, и плоскостью грани: а) АВD; б) DВC; в) АВC.

Практическаяработа

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Цель занятия: выработка навыков при решение задач по теме использование координат и векторов.

Ход занятия:

1. Даны точки М(-4;7;0) и N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка МN.
2. Даны точки А(, В(2;2;-3); С(2;0;-1). Найдите: а) периметр треугольника АВС; б) медианы треугольника АВС.
3. Определите вид треугольника АВС, если: а) А(, В(5;-3;-1); С(4;-3;0); б) А(, В(-4;3;0); С(-4;2;-2).
4. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(1, В(3;-1;1); С(-1;1;3).

Практическаяработа

Решение упражнений по теме: Радианная мера угла. Вращательное движение.

Цель занятия: отработка навыков при решении упражнений по теме: Радианная мера угла. Вращательное движение.

Ход занятия:

1. Заполнить таблицу:

Градусы	0,5	36	159	108
Радианы							2,5	1,8

2. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку Р(1;0), чтобы получить точку с координатами:

·        (1;0);

·        (-1;0);

·        (0;1);

·        (0;-1).

3. Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р(1;0) на угол:

·        1;

·        2,75;

·        3,16;

·        4,95.

Практическаяработа

Решение упражнений по теме: Синус, косинус тангенс, и котангенс числа.

Цель занятия: отработка навыков при решении упражнений по теме: Синус, косинус тангенс, и котангенс числа.

Ход занятия:

1. Определить знак числа , если:

·        ;

·        ;

·        .

2. Определить знак числа , если:

·        ;

·        ;

·        .

3. Определить знак числа , если:

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение упражнений по теме: Основные тригонометрические тождества.

Цель занятия: отработать навыки в применении тождеств.

Ход занятия:

1. Вычислить:

·        , , если .

2. По значению одной из тригонометрических функций(            найти значения остальных трёх:

·        ;

·        ;

·         и .

3. Упростить выражения:

·        ;

·        .

4. Доказать тождество:

·       

Практическаяработа

Решение упражнений по теме: Синус. Косинус и тангенс углов £ и -£.

Цель занятия: отработать навыки при решении упражнений по теме: Синус. Косинус и тангенс углов £ и -£.

Ход занятия:

1. Вычислить:

·        ;

·        .

2. Упростить выражения:

·        ;

·        .

3. Вычислить:

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение упражнений по теме: Формулы сложения.

Цель занятия: отработать навыки при решение упражнений по теме: Формулы сложения.

Ход занятия:

1. Вычислить, не пользуясь таблицей:

·        ;

·        .

2. С помощью формул сложения вычислить:

·        ;

·        .

3. Найти значения выражения:

·        ;

·        .

Практическаяработа.

Решение упражнений по теме: Преобразование простейших тригонометрических выражений.

Цель занятия: отработать навыки преобразования простейших тригонометрических выражений.

Ход занятия:

4. Упростить выражения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение упражнений по теме: Уравнения cosx = a.

Цель занятия: отработать навыки решения уравнения вида cosx = a.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        =0.

Практическаяработа

Решение уравнений sinx = a.

Цель занятия: отработать навыки решения уравнения вида sinx = a.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение уравнений: tgx = а.

Цель занятия: отработать навыки решения уравнения вида tgx = а.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Цель занятия: отработать навыки решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение тригонометрических уравнений  а sinx +  b соsx = с.

Цель занятия: отработать навыки решения тригонометрических уравнений вида а sinx +  b соsx = с.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение уравнений, решаемые разложением левой части на множители.

Цель занятия: отработать навыки решения уравнений, решаемые разложением левой части на множители.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение тригонометрических уравнений.

Цель занятия: совершенствование знаний и умений при решении тригонометрических уравнений.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        −;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

Решение задач по теме: Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Цель занятия. Отработать навыки в исследовании функций.

Ход занятия:

1. Дана функция у=f(х), определенная на .

·        Найдите по графику (рис. прилагается):

А) f(3); f(-1); f(5);

Б) те значения х, при которых значение функции равно 1.

·        Исследуйте функцию. Укажите:

А) множество значений функции;

Б) координаты пересечения графика с осями координат;

В) промежутки знакопостоянства;

Г) промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания);

Д) точки экстремума, вид экстремума, экстремумы;

Е) является ли функция четной или нечетной.

Практическаяработа

Построение графиков функций, применение свойств к ним

Цель занятия. Отработать навыки в исследовании функций.

Ход занятия:

1. Для данной функции у=f(х) найдите:

·        Область определения Д(f).

·        Производную и критические точки.

·        Промежутки монотонности.

·        Точки экстремума и экстремумы.

·        Точку пересечения с осью О_у и несколько точек графика.

·        Постройте график функции и определите:

Множество значений Е(f); корни функции.

·        Найдите число корней уравнения f(х)=3.

Варианты: у=х³-12х; у=6х-2х³; у=2х³-3х²; у=3х²+2х³.

Практическаяработа

по теме: Свойства функции. Графическая интерпретация.

Цель занятия. Отработать навыки в исследовании функций.

Ход занятия:

Дана функция, определенная на [-6;6].

1.       Найдите по графику (стр. 276, рис. 137.)

a)       f(3); f(-1); f(5).

b)       Те значения х, при которых значение функции равно 1.

2.       Исследуйте функцию. Укажите:

a)       Область определения функции;

b)       Множество значений функции;

c)       Нули функции;

d)       Промежутки монотонности (убывания и возрастания);

e)       Точки экстремума.

3.       Для каждого а найдите число корней уравнения f(х)=а.

Оформить работу и сдать на проверку.

Практическая работа

Построение графиков обратных функций

Цель занятия: Отработать навыки в построении графиков обратных функций и применение свойств к ним.

Ход занятия:

1. Найти функцию, обратную к данной:

·        у=-5х+4;

·        у=;

·        у=х³-3.

2. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

·        у=;

·        у=(х-1)³;

·        у=.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Степенная функция, ее свойства и график.

Цель занятия: Отработать навыки в построении графиков функции и применение свойств к ним.

Ход занятия:

1. Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей:

·        ;

·        ;

·        .

2. Сравнить значения выражений:

·        ;

·        .

3. В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:

·        у=х² и у=х^-2;

·        у=х⁵ и у=х^-5.

4. Изобразить схематически график функции и найти ее область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):

·        у=(х+1)⁶;

·        у=(х-1)^-3.

Практическаяработа

Показательная функция, ее свойства и график.

Цель занятия: Отработать навыки в построении показательной функции и применение свойств к ним.

Ход занятия:

1. Найти координаты точки пересечения графиков функций:

·        у=3^х и у=;

·        у=()^х и у=.

2. Решить графически неравенство:

·        ()^х1;

·        ()^х1;

·        5^х5.

3. Построить график функции:

·        у=()^х+3;

·        у=3^х-2.

Практическаяработа

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Цель занятия: Отработать навыки в построении логарифмической функции и применение свойств к ним.

Ход занятия:

1. Найти область определения функции:

·        ;

·        .

2. Сравнить значения выражений:

·         и ;

·         и .

3. Найти область определения функции:

·        ;

·        .

4. Построить график функции, найти ее область определения и множество значений:

·        ;

·        .

Практическаяработа

по теме: Прямая призма.

Цель занятия: учиться распознавать основные элементы призмы, вычислять площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности.

Ход занятия:

1. Ответить на вопросы:

·        Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

·        Призма имеет n граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?

·        Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?

·        В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?

2. Решить задачи:

·        Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

·        В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n=3, a=10 см, h=15 см; б) n=4, a=12дм, h=8 дм; в) n=6, a=23 см, h=5 дм.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Наклонная призма.

Цель занятия: отработать навыки при решение задач по теме: Наклонная призма.

Ход занятия:

1. Ответить на вопросы:

§  В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?

§  Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?

§  Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы является и высотой призмы?

§  Существует ли призма, у которой: а) боковой ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?

2. Решить задачи:

§  Основанием наклонной призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ-13 см, ВС=10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Проекцией вершины А₁ является пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС₁В₁В.

§  Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Практическаяработа

по теме: Правильная призма.

Цель занятия: отработка навыков по теме: Правильная призма.

Ход занятия:

1. Ответить на вопросы:

§  Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

§  Призма имеет n граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?

§  Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?

§  В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?

§  Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?

§  Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы является и высотой призмы?

§  Существует ли призма, у которой: а) боковой ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?

§  Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?

2. Решить задачи:

§  Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30⁰. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

§  В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n=3, a=10 см, h=15 см; б) n=4, a=12дм, h=8 дм; в) n=6, a=23 см, h=5 дм.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Пирамида. Правильная пирамида.

Цель занятия: отработка навыков при решение задач по теме: Пирамида. Правильная пирамида.

Ход занятия:

1. Ответить на вопросы:

§  Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?

§  Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?

§  Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

§  Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

§  Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную мебель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?

2. Решить задачи:

§  Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

§  Основанием ДАВС является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; ребро АД перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

§  В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Усеченная пирамида.

Цель занятия: отработка навыков при решение задач по теме: Усеченная пирамида.

Ход занятия:

1. Решить задачи:

§  Стороны правильной усеченной треугольной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

§  Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Сечения куба, призмы и пирамиды.

Цель занятия: отработка навыков при решение задач по теме: Сечения куба, призмы и пирамиды.

Ход занятия:

1. Решить задачи:

·        Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 см². Найдите ребро куба и его диагональ.

·        В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см.

·        В правильной пирамиде МАВСД точки К, Л и Н лежат соответственно на ребрах ВС, МС и АД,причем КН‖ВА, КЛ‖ВМ. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью КЛН и определите вид сечения; б) Докажите, что плоскость КЛН параллельна плоскости АМВ.

Практическаяработа

по теме: Площадь поверхности цилиндра.

Цель занятия: учиться распознавать учебные элементы цилиндра, применять формулы для вычисления площади поверхности.

Ход занятия:

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
2. Высота цилиндра равна 12 см., а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.
3. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

Практическаяработа

по теме: Сечения конуса.

Цель занятия: отработать навыки и умения при решении задач по теме: Сечения конуса.

Ход занятия:

1. Ответьте на вопросы:

·        Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: 1) плоскостью основания; 2) его осью?

·        Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

2. Решить задачи:

·        Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см..

·        Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. вычислите площадь полной поверхности конуса.

Практическаяработа

по теме: Усеченный конус.

Цель занятия: отработать навыки и умения при решении задач по теме: Усеченный конус.

Ход занятия:

1. Решить задачи:

·         Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения.

·         Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м² требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведер в расчет не принимать).

Практическаяработа

по теме: Сфера и шар. Уравнение сферы.

Цель занятия: отработать навыки и умения при решении задач по теме: Сфера и шар. Уравнение сферы.

Ход занятия:

1. Ответьте на вопросы:

·        Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?

·        Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 см лежать на сфере радиуса  см?

2. Решите задачи:

§  Точка М – середина отрезка АВ, концы которого  лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, еслиR=15 мм, АВ=18 мм; б) АВ, если R=10 дм, ОМ=60 см.

§  Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Касательная плоскость к сфере.

Цель занятия: отработать навыки при решение задач по теме: Касательная плоскость к сфере.

Ход занятия:

1. Ответьте на вопросы:

§  Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 см лежать на сфере радиуса  см?

§  Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

2. Решить задачу:

§  Радиус сферы равен 112 см. точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Практическаяработа

по теме: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Цель занятия: отработать навыки и умения при решении геометрической прогрессии.

Ход занятия:

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если                .
2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

-25, -5, -1, ……

3. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

§  ;

§  .

4. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти: q, если b₁=20.

Практическаяработа

по теме: Понятие о производной функции.

Цель занятия: отработать навыки и умения по теме: Понятие о производной функции.

Ход занятия:

1. Используя определение производной, найти f′(х), если:

§  f(х)=5х+7;

§  f(х)=-3х²+2.

2. С помощью формулы (kх+b)′= k найти производную функции:

§  f(х)= - 5х-7.

3. Найти мгновенную скорость движения точки, если закон её движения s (t) задан формулой:

§  s (t) = 5t².

4. Определить скорость тела, движущегося по закону s (t) = t²+2, в момент времени t=10.

Практическаяработа

по теме: Уравнение касательной к графику функции.

Цель занятия: отработать навыки решения уравнения касательной к графику функции

Ход занятия:

1. Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f(х) равно 0: f(х)=1-5.
2. Найти угол между касательной к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой х₀ и осью О_х:

§   f(х)=, х₀=1;

§   f(х)=, х₀=3.

3. Написать уравнение касательной к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой х₀:

§   f(х)=х-3х², х₀=2;

§   f(х)=, х₀=;

§   f(х)=, х₀=-2.

Практическаяработа

по теме: Производная суммы, разности, произведения.

Цель занятия: отработать навыки при решении уравнений по теме: Производная суммы, разности, произведения.

Ход занятия:

1. найти производную функции:

·        -2х³-18х;

·        2х³-3х²+6х+1;

·        -3х³+2х²-х-5.

2. Найти f′(0) и f′(2), если:

·        f(х)=-х³+х²;

·        f(х)= х²+х+1.

3. Найти f′(3) и f′(1), если:

·        f(х)=.

4. Найти значения х, при которых значение производной функции f(х) равно 0, если:

f(х)=2х³+3х²-12х-3.

5. Найти производную функции (х-1).

Практическаяработа

по теме: Производная частного.

Цель занятия: отработать навыки при решении уравнений по теме: Производная частного.

Ход занятия:

1. Найти f′(1), если:

·        f(х)=.

2. Найти производную функции:

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

по теме: Производные числовых элементарных функций.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Производные числовых элементарных функций.

Ход занятия:

1. Найти производную функции:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Практическаяработа

по теме: Применение производной и исследование функций и построению графиков.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Применение производной и исследование функций и построению графиков.

Ход занятия:

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции у=6х-2х³.
2. Найти точки экстремума функции у=.
3. Построить график функции:

·        ;

·        .

4. Функция у= х+ непрерывна на отрезке . Найти её наибольшее и наименьшее значения.
5. Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?

Практическаяработа

Примеры исследования производной для нахождения наилучшего решения прикладных задач.

Цель занятия: отработать навыки при решении примеров исследования производной для нахождения наилучшего решения прикладных задач.

Ход занятия:

1. Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г?
2. Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.
3. Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.

Практическаяработа

по теме: Вторая производная.

Цель занятия: отработать навыки при решении упражнений по теме: вторая производная.

Ход занятия:

1. Используя график функции у= f(х) (рис. 136 учебник Ш.А. Алимова Алгебра и начала математического анализа), найти:

·        Нули функции;

·        Значения х, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения.

2. Построить эскиз графика функции у= f(х), непрерывной на отрезке , если:

·        =1, =7, f(7)=1, f(х)=х² при , у= f(х) убывает на промежутке (2;7).

Практическаяработа

по теме: Применение второй производной к исследованию функций и построению графиков.

Цель занятия: отработать навыки при решении упражнений по теме: Применение второй производной к исследованию функций и построению графиков.

Ход занятия:

1. Исследовать функцию у=f(х) и построить ее график:

·        f(х)=3х²-2х³;

·        у=х⁴-2х²-3;

·        у=-х⁴+6х²-9.

Практическаяработа

по теме: Первообразная и интеграл.

Цель занятия: систематизировать знания, развивать вычислительные навыки.

Ход занятия:

1.     Показать, что функция  является первообразной для функции f(х)= на всей числовой прямой.

2.     Для функции f(х)=-3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1;-2).

3.     Вычислить:

·      ;

·      ;

·      ;

·      .

4.     Найти площадь фигуры, ограниченной:

·      Параболой у=х²+х-6 и осью О_х;

·      Графиками функций у=х²+1 и у=10.

Практическаяработа

по теме: Формула Ньютона Лейбница.

Цель занятия: систематизировать знания, развивать вычислительные навыки.

Ход занятия:

1. Найдите неопределенный интеграл:

·        ;

·        .

2. Вычислите интегралы:

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

·        ;

·        .

Практическаяработа

Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Цель занятия: отработать навыки при применении интеграла в физике и геометрии.

Ход занятия:

1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

·        Параболой у=-х²+4х-3 и прямой, проходящей через точки (1;0) и (0;-3);

·        Параболой у=-х² и прямой у=-2;

·        Параболами у=1-х² и у=х²-1;

·        Графиком функции у=х³ и прямыми у=1, х=-2.

2. Тело движется прямолинейно со скоростью v (t) (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t= t₁ до t= t₂:

·        v (t)=3 t²+1, t₁=0, t₂=4;

·        v (t)=2 t²+t, t₁=1, t₂=3.

3. Скорость прямолинейно движущегося тела равна v (t)=4 t- t². Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Практическаяработа

по теме: Объем прямоугольного параллелепипеда.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Объем прямоугольного параллелепипеда.

Ход занятия:

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны a и b, а высота равна h, если:

·        a =18, b=5, h=13;

·        a =1, b=, h=0,96.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда АВСДА₁В₁С₁Д₁, если АС₁=13 см, ВД=12 см и ВС₁=11 см.
3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30⁰ с плоскостью боковой грани и угол в 45⁰ с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

Практическаяработа

Решение задач по теме: Объем прямой призмы.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Объем прямой призмы.

Ход занятия:

1. Найдите объем правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно a, если: а) n=3; б) n=4; в) n=6.
2. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30⁰. Найдите объем призмы.

Практическаяработа

по теме: Объем цилиндра.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Объем цилиндра.

Ход занятия:

1. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если r = 2, h=3 см; б) r, если V = 120 см³, h=3,6 см; в) h, если V = 8см³, r = h.

2.       Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см³?

3.       Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения S. Найдите объем цилиндра.

Практическаяработа

по теме: Объем пирамиды.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Объем пирамиды.

Ход занятия:

1. Найдите объем пирамиды с высотой h, если:

·        h = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;

·        h = 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором АВ=20 см, ВС=13,5 см, АВС =30⁰.

2. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
3. Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основания, равен 6 см.

Практическаяработа

по теме: Объем конуса.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Объем конуса.

Ход занятия:

1. Пусть h, r и V соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите:

·        V, если r = 1,5 см, h=3 см;

·        h, если r = 4 см, V=48 см³;

·        r, если h=m, V= p.

2. найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².
3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса.

Практическаяработа

по теме: Формулы площади поверхности цилиндра и конуса.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Формулы площади поверхности цилиндра и конуса.

Ход занятия:

1. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?
2. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?
3. Угол между образующей и осью конуса равен 45⁰, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Практическаяработа

по теме: Формулы объема шара и площади сферы.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Формулы объема шара и площади сферы.

Ход занятия:

1. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. на сколько изменится уровень воды в мензурке?
2. Вода покрывает приблизительно  земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.)
3. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8 % от площади поверхности мяча.)

Практическаяработа

по теме: Сложение и умножение вероятностей.

Цель занятия: отработать навыки сложения и умножения вероятностей.

Ход занятия:

1. Из колоды карты (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта либо туз красной масти, либо карта трефовой масти? Решить задачу двумя способами.
2. В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар либо белый, либо синий? Решить задачу двумя способами.
3. В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи. Решить задачу двумя способами.
4. Выяснить, являются ли события А и В независимыми, если:

·        Р(А)=0,3; Р(В)=0,2; Р(АВ)=0,6.

·        Р(А)=; Р(В)=; Р(АВ)=.

5. Бросаются две игровые кости и рассматриваются события А-на первой кости выпало нечетное число, В-на второй кости выпало число кратное 3. Убедиться с помощью формулы: Р(АВ)=Р(А)*Р(В) в зависимости событий А и В.
6. Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне: а) сработает хотя бы один из датчиков; б) хотя бы один из датчиков не сработает.

Практическаяработа

по теме: Представление данных.

Цель занятия: отработать навыки при решении задач по теме: Представление данных.

Ход занятия:

1. Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины Х – суммы чисел, появившихся при бросании двух игральных тетраэдров, грани которых пронумерованы натуральными числами от 1 до 4.
2. На стол бросают обыкновенный игральный кубик и игральный октаэдр, грани которого пронумерованы числами от 2 до 8. Составить таблицу распределения значений случайной величины Х – суммы выпавших чисел по их вероятностям Р.
3. Составить таблицу распределения по частотам М значений случайной величины Х – цифр, встречающихся в выборке следующих телефонных номеров:

·        3965184, 6542913, 7902914, 2878858;

·        1316573, 4336582, 2983412, 3941009.

Практическаяработа

Решение практических задач с применением вероятности методов.

Цель занятия: отработать навыки решения рациональных и  иррациональных уравнений и системы.

Ход занятия:

1. Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне: а) сработает хотя бы один из датчиков; б) хотя бы один из датчиков не сработает; в) сработают оба датчика; г) оба датчика не сработают.
2. В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что: 1) обе детали оказались нестандартными; 2) обе детали оказались стандартными; 3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной; 4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной.

Практическаяработа

по теме: Рациональные уравнения и системы.

Иррациональные уравнения и системы.

Цель занятия: отработать навыки решения рациональных и  иррациональных уравнений и системы.

Ход занятия:

1. Решить уравнение:

·        ;

·        .

2. Равносильны ли следующие уравнения:

·        ;

·        .

3. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·         ;

·        .

Практическаяработа

по теме: Показательные уравнения и системы.

Цель занятия: отработать навыки решения показательных уравнений и системы.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        .

2. Решить систему уравнений:

·       

·       

Практическаяработа

по теме: Логарифмические уравнения и системы.

Цель занятия: отработать навыки решения логарифмических уравнений и системы.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        .

2. Решить систему уравнений:

·       

·       

Практическаяработа

по теме: Тригонометрические  уравнения и системы.

Цель занятия: осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков, их применение.

Ход занятия:

1. Решить уравнения:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

2. Решить систему уравнений:

·       

Практическаяработа

по теме: Рациональные неравенства. Основные приемы их решения.

Цель занятия: применение знаний, умений и навыков при решении неравенств.

Ход занятия:

1. Равносильны ли следующие неравенства:

·        ;

·        ;

·        ?

2. Решить неравенство:

·        ;

·        .

Практическаяработа

по теме: Логарифмические и показательные неравенства. Основные приемы их решения.

Цель занятия: выработка умений и навыков основных приемов решения неравенств.

Ход занятия:

1. Решить неравенство:

·       

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

2. Найти область определения функции:

·        .

Практическаяработа

по теме: Метод интервалов.

Цель занятия: отработать метод интервалов при решении неравенств.

Ход занятия:

1. При каких значениях х положительна дробь:

·        ;

·        .

2. При каких значениях х отрицательна дробь:

·        .

3. Решить неравенство:

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Список рекомендуемой литературы

1. Алимов И.А., Ю.М. Колягин – Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.
2. Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов – Учебник для общеобразовательных учреждений. – Геометрия. 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2004.
3. Башмаков М.И. - Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. – М.: Просвещение, 1991.
4. Погорелов А.В. – Учебник:  Геометрия. 7-11 классы. – М.: Просвещение, 1990.
5. Математика ЕГЭ 2014: Тестовые задания; «Экзамен» Москва 2015.
6. Математика ЕГЭ 2014: Тестовые задания; «Экзамен» Москва 2014.
7. Математика ЕГЭ 2014: Тестовые задания; «Экзамен» Москва 2013.
8. Сергеев И.Н. 1000 задач с ответами и решениями по математике. М.: издательство «Экзамен»
9. Алтынов П.И. – Тесты: алгебра и начала анализа 10-11 классы; М.: «Дрофа», 2000.
10. Стромова З.С. – Математика для учащихся 11 класса. Способы решения экзаменационных задач. Волгоград «Учитель», 2002.
11. Денищева Л.О. – Учимся решать уравнения и неравенства; М.: «Интеллект – центр», 200.
12. Алтынов П.И. – Тесты: Геометрия 10-11 классы; М.: «Дрофа», 1999.
13. Математика в формулах 5-11 классы. М: «Дрофа», 2013.
14. Роганин А.Н. – Математика. Все темы для подготовки к ЕГЭ. М: «Эксмо», 2011.