Методические указания по выполнению практической работы по дисциплине ОУД.01 Математика:алгебра, начала математического анализа, геометрия на тему "Вычисление длин перпендикуляра и наклонной к плоскости"

Практическая работа №9. Вычисление длин перпендикуляра и наклонной к плоскости

Цель работы: сформировать умение вычислять длины перпендикуляра и наклонной к плоскости.

Выполнив данную работу, Вы будете:

знать:

-определение понятия «перпендикуляр», «наклонная к плоскости»;

-алгоритм решения простейших стереометрических задач на вычисление длин отрезков;

уметь:

-изображать на рисунках и конструировать на моделях перпендикуляры и наклонные к плоскости;

-решать задач на вычисление геометрических величин.

Дидактическое оснащение:

-указания по выполнению практического задания;

-рабочая тетрадь с конспектами;

-чертежные инструменты (набор линеек, простые карандаши);

-учебное пособие к разделу № 3 «Прямые и плоскости в пространстве».

Прежде чем приступить к выполнению заданий практической работы ответьте на вопросы входного контроля.

Входной контроль

Вариант 1

1.       Соотнесите случай взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве с его  геометрическим изображением.

Случай взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве	Геометрическое изображение случая взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве
1)       Перпендикулярные прямые 2)       Скрещивающиеся прямые 3)       Параллельные прямые
	А                           Б                      В

2.       Укажите правильно сформулированное определение параллельных прямых в пространстве.

А) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Б) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости.

3.       Укажите правильно сформулированное определение перпендикулярных прямых в пространстве.

А) Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если они пересекаются и лежат в одной плоскости.

Б) Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если они пересекаются.

В) Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом и лежат в одной плоскости.

4.       Выберите среди формулировок признак перпендикулярности прямой и плоскости.

А) Если одна из двух параллельных прямых перпендику­лярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Б) Прямая называется перпендикулярной к плоскости,  если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

В) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

5.       Укажите длину меньшего катета прямоугольного треугольника, если известно, что его больший катет равны 4 см, а гипотенуза 5см.

А) 3 см                    Б) 1см                        В) 9см.

Вариант 2

1.       Соотнесите случай взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве с его  геометрическим изображением.

Случай взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве	Геометрическое изображение случая взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве
1)       Прямая перпендикулярна плоскости 2)       Скрещивающиеся прямые 3)       Прямая параллельна плоскости
	А                              Б                                  В

2.       Выберите правильный ответ и продолжите фразу «Прямая и плоскость называются параллельными, если они …».

А) …не имеют общих точек;

Б) …они имеют одну общую точку;

В) ...они имеют бесконечно много общим точек.

3.       Выберите правильный ответ и продолжите фразу «Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они …»

А) пересекают эту плоскость;

Б) параллельны;

В) скрещивающиеся.

4.       Укажите правильно сформулированное определение скрещивающихся прямых в пространстве.

А) Прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Б) Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

В) Прямые, которые пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

5.       Укажите длину гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 6 см и 8 см.

А) 100 см                    Б) 10см                        В) см.

Нормы оценивания

За каждый правильный ответ Вы получаете 1 балл. Максимальное количество баллов – 5. Если Вы набрали более 3 баллов, то можете переходить к изучению нового материала, в противном случае необходимо повторить материал предыдущих занятий, который Вами не освоен в достаточной мере.

Порядок выполнения практической работы

1.    Прочитайте краткое изложение теории и ознакомьтесь с образцами решения типовых заданий.

2.    Ответьте на контрольные вопросы.

3.    Выполните самостоятельно задания практического занятия.

4.    Сравните полученные результаты с эталонами ответов.

Теоретические основы

	АС – перпендикуляр (расстояние от точки А до плоскости β) АВ – наклонная. ВС – проекция наклонной  AB.  - угол между наклонной АВ и ее проекцией на плоскость (угол между наклонной и плоскостью).  - угол между наклонной АВ и перпендикуляром АС.
Рис. 1

Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Определение. Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Определение. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки к данной плоскости, называется проекцией наклонной.

Запомни, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.                                                         

Решение прямоугольных треугольников[1]

1.      Теорема Пифагора:

, т.к. АВ>0, то

, т.к. АС>0, то

, т.к. ВС>0, то

2. Если один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен 30⁰, то катет, лежащий против него, будет равен половине гипотенузы, а гипотенуза равна двум таким катетам. Например, если , то  и .
3. Если один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен  45⁰, то второй острый угол тоже будет равен 45⁰, следовательно, треугольник АСВ – равнобедренный, т.е. ВС=АС.
4. Тригонометрические отношения:

-           если известна величина угла В:	-        если известна величина угла А:

Решения типовых задач

Каждое действие решения геометрической задачи выполняется в несколько этапов:

1)      рассматривается простейшая геометрическая фигура (определяется ее);

2)      выбирается способ (формула) вычисления неизвестной величины;

3)      производятся вычисления (подстановки);

4)      записывается ответ.

В случае если неизвестное не удалось найти за эти 4 этапа, действия нумеруются и выполняются до конечного ответа.

Задача 1. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная длиной 10 см. Найдите длину перпендикуляра, если длина проекции наклонной равна 6см.

Дано:

АС – перпендикуляр,   АВ – наклонная,

ВС – проекция наклонной АВ.

ВС = 6см, АВ = 10см.

Найти: АС.

Решение.

Рассмотрим ΔАСВ – прямоугольный, т.к.

АС - перпендикуляр, .

По теореме Пифагора

Ответ: 8см.

Задача 2. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная. Найдите длину наклонной, если длины ее проекции и перпендикуляра равны по 3см.

Дано:

АС – перпендикуляр, АВ – наклонная,

ВС – проекция наклонной АВ, ВС = 3см, АС = 3см.

Найти: АВ.

Решение.

Рассмотрим ΔАСВ – прямоугольный, т.к.

АС- перпендикуляр, .

По теореме Пифагора

Ответ:  см.

Задача 3. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная. Найдите длину проекции наклонной, если известно, что угол между наклонной и перпендикуляром составляет 30⁰, а длина наклонной равна 8см.

Дано:

АС – перпендикуляр,   АВ – наклонная,

ВС – проекция наклонной  АВ,    АВ = 8см,

Найти: ВС.

Решение.

Рассмотрим ΔАСВ – прямоугольный, т.к.

АС - перпендикуляр, .

Так как против угла  лежит катет ВС, то

Ответ: 4 см.

Задача 4. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины проекций которой которых равны 9см и 5см. Найдите длины наклонных, если разность их длин равна 2 см.

Дано:

АД – перпендикуляр,  

АВ  и АС – наклонные,

ВД – проекция наклонной  АВ,  ВД = 9см

СД – проекция наклонной  АС, СД = 5 см.

Так как ВД > СД, то АВ > АС АВ – АС = 2см.

Найти: АВ и АС.

Решение.

Рассмотрим ΔАДВ и  ΔАДС – прямоугольные, т.к.

АД – перпендикуляр,

АД – общая сторона ΔАДВ и  ΔАДС.

По теореме Пифагора:

Из ΔАДВ:

Из ΔАДС:

Т.к. левые части уравнений равны, то должны равняться и правые части, поэтому справедливо следующее равенство:

.

По условию задачи: ВД = 9см, СД = 5 см, АВ – АС = 2см АВ = 2 + АС.

Пусть АС= х, тогда АВ = 2 + х.

Получаем:

Ответ: 14см, 16см.

Задача 5. Из точки А к плоскости проведены две наклонные АВ и АС  и перпендикуляр  АД. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскость, если АД = 4см, ے АВД = 45⁰,

ے ДАС = 30⁰.

Дано: АД – перпендикуляр, АД = 4 см.

АВ  и АС – наклонные, , .

ВД – проекция наклонной АВ.

СД – проекция наклонной АС.

Найти: ВД и ДС.

Решение.

1) Рассмотрим ΔАДВ – прямоугольный, т.к. АД - перпендикуляр, .

Так как , то   и ΔАДВ – равнобедренный,  АД = ВД = 4см.

2) Рассмотрим ΔАДС – прямоугольный, т.к.  АД - перпендикуляр, .

По условию задачи ے ДАС = 30⁰, АД = 4 см.

см.

Ответ: 4 см,  см.

Контрольные вопросы

Продолжите фразу

1.         Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий … … с … … и лежащий на прямой, … плоскости.

2.         Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется … отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся … к плоскости.

3.         Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки к данной плоскости, называется … … .

4.         Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, ...  любой наклонной,   проведенной из той же точки к этой плоскости.

5.         Назовите количество перпендикуляров и наклонных, которое можно провести из данной точки к данной плоскости.

Нормы оценивания   

За каждый правильный ответ Вы получаете 1 балл. Максимальное количество баллов 5. Если Вы набрали более 3 баллов, то можете переходить к самостоятельному решению следующих задач, в противном случае необходимо повторить материал темы, который Вами не освоен в достаточной мере.

Задания практической работы

Уровень А

1.         Длина наклонной равна 5 см, длина проекции наклонной равна 3 см. Вычислите длину перпендикуляра.         (1балл)

2.         Угол между наклонной и перпендикуляром равен 45⁰. Длина перпендикуляра равна 1 см. Вычислите длину проекции наклонной. (1балл)

3.         Угол между наклонной и перпендикуляром равен 30⁰. Вычислите длину наклонной, если ее проекция равна 6см.     (1 балл)

Уровень В

1.         Угол между наклонной и ее проекцией равен 30⁰. Вычислите длины наклонной и ее проекции, если длина перпендикуляра равна 4 см.  (1 балл)

2.         Угол между наклонной и перпендикуляром равен 45⁰. Длина проекции наклонной равна 3 см. Вычислите длины перпендикуляра и наклонной. (2 балла)

3.         Из точки А к плоскости проведены две наклонные АВ и АД, длины которых равны 16 см и 20 см. соответственно. Вычислите длину проекции наклонной АД, если длина проекции наклонной АВ равна 5 см.    (2 балл)

Уровень С

1.         Угол между наклонной и ее проекцией равен 60⁰. Вычислите длины наклонной и ее проекции, если длина перпендикуляра равна см. (2 балла)

2.         Угол между наклонной и перпендикуляром равен 45⁰. Длина наклонной равна  см. Вычислите длины перпендикуляра и проекции наклонной. (2 балла)

3.          Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найдите проекции наклонных. (3 балла)

Дополнительные задания

(Дополнительное задание выполняется по желанию студента и оценивается отдельно от основного блока заданий, представленного выше, по тем же нормам оценивания)

1.         Из точки М к плоскости проведены две наклонные МК и МF  и перпендикуляр  MO. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскость, если МК = 8см, , ОМF = 45⁰.  (2 балла)

2.         Из точки Р к плоскости проведены две наклонные РК и РF  и перпендикуляр РO. Вычислите длину наклонной РF, если РК = см, КРО = 30⁰, ОFР = 60⁰.  (2 балла)

3.         Из точки Т к плоскости проведены две наклонные ТА и ТВ  и перпендикуляр ТO, ТА = 17см, ОА = 15см, АВ = 3см, АОВ = 60⁰.  Найти длину наклонной ТВ. (3 балла)

Нормы оценивания
5 (отлично)	7- 8 баллов
4 (хорошо)	5 - 6 баллов
3 (удовлетворительно)	3 - 4 балла
2 (неудовлетворительно)	менее 3 баллов

Эталоны ответов

Ответы на вопросы входного контроля

1 вариант	2 вариант
1.       1)-Б,  2)-В,  3)-А 2.       Б 3.       В 4.       В 5.       А	1.     1)-Б, 2)-В, 3)-А 2.      А 3.      Б 4.      Б 5.      Б

Ответы на контрольные вопросы

1.         Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

2.         Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

3.         Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки к данной плоскости, называется проекцией наклонной.

4.         Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной,   проведенной из той же точки к этой плоскости.

5.         Из данной точки к данной плоскости можно провести единственный перпендикуляр и бесконечное множество наклонных.

Ответы на задания практической работы

Уровень А

1.         4 см.

2.         1 см

3.         12 см

Уровень В

1.         8см,  см.

2.         3 см, см.

3.         13 см.

Уровень С

1.         2см, 4 см.

2.         6 см, 6см.

3.         6 см, 15см.

Ответы на Дополнительные задания

1.         4 см,  см.

2.          см.

3.         10см или см.

---

[1] Формулы записаны для данных треугольника, изображенного на рисунке 1.

Краткое описание документа:

Данный документ представляет собой методические указания студентам технологического колледжа, обучающимся по специальности 29.02.04 "Конструирование, моделирование и технология швейных изделий", по выполнению практической работы на тему "Вычисление длин перпендикуляра и наклонной к плоскости". В них содержатся вопросы входного контроля по теме, теоретические основы, образцы решения типовых задач на вычисление длин перпендикуляра и наклонной к плоскости, контрольные вопросы и задания практической работы разного уровня сложности (А – базовый, В – повышенный, С – высокий). Правильное решение задач уровня А означает усвоение темы на оценку «удовлетворительно», задач уровней В и С – соответственно «хорошо» и «отлично».