Методические указания по выполнению практической работы по дисциплине ОУД.01 Математика:алгебра, начала математического анализа, геометрия на тему "Вычисление углов между прямыми и плоскостями"

Практическая работа №11. Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Цель работы: сформировать умение решать геометрические задачи на вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Выполнив данную работу, Вы будете:

знать:

-               приемы построения углов между прямой и плоскостью, между плоскостями;

-               способ измерения двугранного угла;

уметь:

-               изображать на рисунках и конструировать на моделях углы между прямыми и плоскостями;

-               решать задач на вычисление геометрических величин.

Дидактическое оснащение:

-               указания по выполнению практического задания;

-               рабочая тетрадь с конспектами;

-               чертежные инструменты (набор линеек, простые карандаши);

-               учебное пособие к разделу № 3 «Прямые и плоскости в пространстве».

Порядок выполнения практической работы

1.    Прочитайте краткое изложение теории и ознакомьтесь с образцами решения типовых заданий.

2.    Ответьте на контрольные вопросы.

3.    Выполните самостоятельно задания практического занятия.

4.    Сравните полученные результаты с эталонами ответов.

Теоретический материал

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

На рисунке 1 АВ – наклонная, ВС  проекция наклонной, - угол между прямой АВ (наклонной) и плоскостью a.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью, и  в таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным .

Если данная прямая параллельна плоскости, то её проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен .

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

 Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название -  двугранные углы. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

Для того чтобы измерить двугранный угол, необходимо отметить на его ребре какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки провести луч перпендику­лярно  к  ребру.  Образованный  этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. 

На рисунке 2 угол АОВ – линейный угол двугранного угла AСDB с ребром CD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 3).

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Два двугранных угла считаются равными, если они при вложении могут совместиться; в противном случае тот из углов, который составит часть другого угла, считается меньшим.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Для геометрической фигуры «двугранный угол» справедливы следующие теоремы и следствия из них.

Теоремы

1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Обратные теоремы

1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Следствия

1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол и обратно.

2. Все прямые двугранные углы равны.

3. Вертикальные двугранные углы равны.

4. Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково (или противоположно) направленными гранями равны.

Контрольные вопросы

1.        Назовите условия, при которых

а) опущенный из данной точки на данную плоскость перпендикуляр, равен длине проекции наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости;

б) проекция наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, равна половине этой проекции;

в) длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость, в два раза меньше наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости.

2.        Может ли угол между перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, и наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости, быть равным:

а)  90⁰;  б) 120⁰;  в) 82⁰?

3.        Назовите градусную меру двугранного угла, линейный угол которого равен 75⁰.

4.        Дайте название двум смежным двугранным углам, равным между собой.

5.        На рисунке 4 АСВ – прямоугольный треугольник (угол С прямой), . Назовите линейный угол между гранями (АВС) и (FCВ).

6.        Определите градусную меру линейного угла между гранями (АВС) и (FCВ), если известно, что FA = AC = BC (рис. 4).

Нормы оценивания

За каждый правильный ответ Вы получаете 1 балл. Максимальное количество баллов – 10. Если Вы набрали более 3 баллов, то можете переходить к изучению нового материала, в противном случае необходимо повторить материал предыдущих занятий, который Вами не освоен в достаточной мере.

Решение типовых задач

Задача 1. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная. Вычислите угол между наклонной и плоскостью, если длины проекции наклонной и перпендикуляра равны 2 см.

Дано: АС – перпендикуляр, АС = 2см.

АВ – наклонная.

ВС – проекция наклонной АВ, ВС = 2см.

Найти:.

Решение. Рассмотрим ΔАСВ – прямоугольный

(т.к. АС - перпендикуляр, ).

Т.к. по условию задачи ВС = 2см, АС = 2см, то ΔАСВ – равнобедренный и .

Ответ:

Задача 2. Из точки на плоскость проведены перпендикуляр и наклонная. Вычислите угол между наклонной и плоскостью, если длина наклонной равна 8см, а ее проекции 4см.

Дано:

АС – перпендикуляр  

АВ – наклонная, АВ = 8 см

ВС – проекция наклонной АВ, ВС = 4см.

Найти: .

Решение.  Рассмотрим ΔАСВ – прямоугольный

(т.к. АС - перпендикуляр, ).

АВ = 8 см, ВС = 4см.

Т.к. , то ВС лежит против угла в 30⁰, т.е.

Ответ:

Задача 3. Плоскости квадрата АВСD и прямоугольника АВКМ перпендикулярны (рис.5), АВ = 1см, ВК= см. Найдите величину двугранного угла DМКВ.

Дано:

АВСD  - квадрат, АВКМ – прямоугольник,

 АВ = 1см, ВК= см

Найти:

Решение. Т.к. (по свойству сторон прямоугольника), то по теореме о трех перпендикулярах линейный угол двугранного угла DМКВ

1) Рассмотрим ΔСВК – прямоугольный

(т.к. по условию задачи).

ВС = 1 см (по условию задачи АВСD  - квадрат и АВ = 1 см),

ВК =  см (по условию задачи).

Ответ:

Задания практической работы

Уровень А. Из точки О к плоскости α проведены перпендикуляр и наклонная.  Вычислите угол между наклонной и плоскостью, если известно, что длины перпендикуляра и проекции наклонной на плоскость равны 3 см.        

Уровень В. На рисунке 8 треугольник АСВ  прямоугольный (угол С прямой), . Вычислите двугранный угол между гранями (АВС) и (МCВ), если МА = 3 см, АВ =2 см, ВС = 1см. 

Уровень С. Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и АВС равен . Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, АВ = 13 см.

Дополнительные задания

1.    Точка А находится на расстоянии 9 см от плоскости α. Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью углы  и , а угол между проекциями наклонных равен  Найдите расстояние между точками В и С.

2.    Через сторону АД ромба АВСД проведена плоскость АДМ так, что двугранный угол ВАДМ равен . Найдите сторону ромба, если  и расстояние от точки В до плоскости АДМ равно  см.

Эталоны ответов

Ответы на контрольные вопросы

1.        а) угол между перпендикуляром и наклонной должен быть равным  45⁰;

б) угол между перпендикуляром и наклонной должен быть равным 60⁰;

в) угол между наклонной и плоскостью, к которой она проведена, должен быть равным 30⁰.

2.        Может ли угол между перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, и наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости, быть равным: а)  нет;  б) нет;  в) да?

3.        75⁰.

4.        Прямые двугранные углы.

5.       

6.        45⁰

Ответы на задания практической работы

Уровень А.

Уровень В.

Уровень С. см.

Ответы к дополнительным заданиям

1. см

2. см

Краткое описание документа:

Данный документ представляет собой методические указания студентам технологического колледжа, обучающимся по специальности 29.02.04 "Конструирование, моделирование и технология швейных изделий", по выполнению практической работы на тему "Вычисление углов между прямыми и плоскостями". В них содержатся теоретические основы темы, образцы решения типовых задач на вычисление длин перпендикуляра и наклонной к плоскости, контрольные вопросы и задания практической работы разного уровня сложности (А – базовый, В – повышенный, С – высокий). Правильное решение задач уровня А означает усвоение темы на оценку «удовлетворительно», задач уровней В и С – соответственно «хорошо» и «отлично».