Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по выполнению самостоятельных работ на тему: "Эмпирическая формула"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методические указания по выполнению самостоятельных работ на тему: "Эмпирическая формула"

библиотека
материалов













МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ


для студентов технологического отделения специальностей

260807 и 100114

по дисциплине «Математика»





















Чебоксары 2013

ГАПОУ СПО «Чебоксарский техникум технологии питания и коммерции»

Минобразования Чувашии











МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ


для студентов технологического отделения специальностей

260807 и 100114

по дисциплине «Математика»



Составитель: Николаева Л.Н.



Рекомендованы к печати методическим

советом ЧТТПиК

Протокол № от «___» _______ 20__ года


Электронная копия находится

у руководителя ИМЦ







Чебоксары, 2015



Содержание

Введение ………………………………………………………………….4

Эмпирическая формула. ..……………………………………………………….5

Задания для самостоятельного выполнения……………………………………10

Использованная литература……………………………………………………..13















































Введение.

Методическое указание предназначено для студентов, изучающих предмет «Математика». Данное самостоятельная работа по математике предполагает выполнение задания, позволяющего освоить один из методов нахождения эмпирической формулы, на основе опытных данных полученных при выполнении работ из сферы профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа – это одна из форм учебной работы, которая ориентирована на изучение и закрепление учебного материала, его более глубокое усвоение и формирование умения применять теоретические знания в практических, прикладных целях.

Предложенная задача, требующая от студентов навыков самостоятельного изучения понятия эмпирическая формула и метода наименьших квадратов и закрепления полученных знаний на примере составления эмпирической формулы при решении прикладной задачи из сферы профессиональной деятельности.

Практическая работа предполагает самостоятельное, внеаудиторное выполнение.

Для выполнения самостоятельной работы рекомендуется изучение нового материала и двух примеров решения задач с помощью метода наименьших квадратов.





































Эмпирическая формула.


Формула, полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической. Построение эмпирической формулы по экспериментальным данными состоит из двух этапов: 1) подбор вида эмпирической формулы, зависящей от параметров; 2) нахождение этих параметров по некоторому критерию.

Во многих случаях характер зависимости между переменными не сразу определяется. Практически вид эмпирической формулы (приближающей функции)можно определить визуально: по таблице наблюдений (опыта) строится точечный график функциональной зависимости, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По расположению точек выбирается функция.

Обычно в экономических исследованиях рассматриваются следующие функциональные зависимости:

y= ax+b;

y= ax2+bx+c;

y= a*Lgx+b;

y= a/x+b;

y= axb;

y= abx


Метод наименьших квадратов.


Метод наименьших квадратов (МНК) – один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяют также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто МНК оказывается полезным при обработке наблюдений.

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений, и в результате получается таблица значений (Рис.1):


X

x1

x2

xi

xn

Y

y1

y2

yi

yn

Рис.1. Таблица значений x и y



Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов (наблюдений), в которых xi (независимая величина) задается экспериментатором, а yi получается в результате опыта (наблюдений). Поэтому значения yi называются опытными или эмпирическими значениями. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но её аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача – найти эмпирическую формулу:

hello_html_m4623f3fa.gif (1)


(где hello_html_534b8081.gif- параметры), значения которой при hello_html_m57e9dc6d.gifвозможно мало отличались бы от опытных значений hello_html_m34c4413a.gif

Обычно указывается класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т. п.), из которого выбирается функция hello_html_278687bc.gif, и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные hello_html_7a9f0571.gif, то получим теоретические значения hello_html_290e743e.gif, где hello_html_7e92d06d.gif

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами hello_html_m7771f577.gif считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_378fea90.gif (2)

будет минимальной.


Геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел hello_html_m14270f9d.gifиз исходной таблицы определяет точку hello_html_1fe6d6a6.gifна плоскости XOY. Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов hello_html_m7771f577.gif можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов hello_html_m7771f577.gif таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек hello_html_4c3b3ae9.gifдо графика функции (1) была наименьшей (рис. 2).

hello_html_m450d3ea2.gifhello_html_5fedd418.gifhello_html_950147e.gifhello_html_m1f0e68b9.gifhello_html_m35dca966.gify hello_html_2d7a2ec2.gif

hello_html_69f931f8.gifhello_html_69f931f8.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_f2ab4da.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_950147e.gifhello_html_m2bddf96.gifhello_html_7ab8410f.gifhello_html_662e6e58.gifhello_html_m4c88f316.gifhello_html_m778f42ce.gifhello_html_5b970866.gifhello_html_m206703a7.gifhello_html_m51dd0be5.gifyn hello_html_m2b10f9bb.gifМn

yi Мi

di

y1 М1 M3

М4 Мi+1

y2 М2

x1 x2 xi xn x

Рис.2. Геометрический смысл метода наименьших квадратов.



Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида формулы и определение её наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые, он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых иди специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т. д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов hello_html_m7771f577.gif, входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов hello_html_m7771f577.gif, которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов hello_html_4fbdca9d.gif

hello_html_31cd5f48.gif (3)

Значит, нахождение коэффициентов hello_html_m108ccc50.gif сводится к решению системы (3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров hello_html_m108ccc50.gif, тогда система (3) будет линейной. Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул находится зависимость (1).

В случае линейной зависимости у=ах+bсистема примет вид:

hello_html_4839b71a.png(4)

Эта линейная система может быть решена любым известным способом (методом подстановки, методом уравнивания коэффициентов, методом Крамера)

Пример 1.

Нахождение параметров линейной зависимости у=ax+b. Пусть на основании опыта получена следующие пары чисел (хi;yi), которые изображены на координатной плоскости. hello_html_m1ff810d2.png







Решение:Для расчёта коэффициентов а и b составим следующую таблицу:

i

yi

xi

x2i

yixi

1

-8

-2

4

16

2

7

-1

1

-7

3

7

0

0

0

4

5

2

4

10

5

5

3,5

12,25

17,5

6

3,5

4

16

14

7

3

5

25

15

8

2,5

6

36

15

9

2

7

49

14

10

1,5

7

49

10,5

Σ 

28,5

31,5

196,25

105

  hello_html_790d765c.png(4)

Подставляя из таблицы в систему уравнений (4), полученные данные, имеем:

  hello_html_7f5e0ef.png

Для решения системы линейных уравнений и определения параметров, воспользуемся методом Крамера.

  hello_html_m6de8ee89.png

  hello_html_m7f392ce3.png

  hello_html_1c3e0990.png

Уравнение прямой принимает следующий вид:  y=0.1569X+2.3557

Всего один выброс (экстремальная точка с координатами -2; -8 на диаграмме рассеяния) может полностью изменить наклон регрессионной линии и, следовательно, вид зависимости между переменными. Такие выбросы могут исказить оценки модели, сдвигая линию регрессии в определенном направлении и, тем самым, вызывая смещение коэффициентов регрессии На случай появления выбросов, должны быть предусмотрены корректировки, основанные на использовании “принципов статистического контроля”, т. е. значения, выходящие за определенный диапазон, который определяется в терминахкратных сигма, т.е. стандартных отклонений, могут быть преобразованы или вовсе пропущены, и только после этого должны вычисляться окончательные оценки параметров модели (уравнения) регрессии. 

Пример 2. Нахождение параметров линейной зависимости у=ax+b.

Приводятся данные о росте производительности труда и снижении себестоимости работ за 5 лет некоторого предприятия по отношению к базисным данным , принимаемым за единицу:

Год

2007

2008

2009

2010

2011

Производительность труда, хi

1.05

1.09

1.13

1.18

1.24

Себестоимость продукции, yi

0.98

0.95

0.93

0.90

0.88

Предполагая, что зависимость себестоимости продукции от производительности труда является линейной: y=f(x)=ax + b, найдите параметры a и b , применяя метод наименьших квадратов.

Решение: Для расчёта коэффициентов a и b составим следующую таблицу:

i

xi

yi

xi2

xi yi

1

1.05

0.98

1.1025

1.0290

2

1.09

0.95

1.1881

1.0355

3

1.13

0.93

1.2769

1.0509

4

1.18

0.90

1.3624

1.0620

5

1.24

0.88

1.5376

1.0912



5.69


4.64


6.4975


5.2686

С учётом данных таблицы составим систему уравнений:

6,4975a+5.69b=5,2686

5,69а+5b=4,64

Решим систему методом подстановки, выразим переменную а из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение:

a=(5.2686 - 5.69b) / 6,4975

5,69[(5.2686 - 5.69b) / 6,4975] +5b=4.64

Решением второго уравнения будет b1,53. После подстановки находим а≈ -0,52.Получаем, решение этой системы: а≈ -0,52, b1,53.Таким образом, функция, приближённо выражающая зависимость себестоимости продукции у от производительности труда х в течение рассматриваемого пятилетия, имеет вид: у=-0,52х +1,53.

Вывод: Так как -0,52 0, то функция у=-0,52х +1,53 является убывающей, и поэтому чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость продукции на предприятии. Ответ: -0,52; 1,53

Задания для самостоятельного выполнения.

Производительность труда на предприятии по годам приведена в таблице. Найдите:

  1. линейную зависимость производительности труда по годам у= aх+b;

  2. предполагаемую производительность на 10 –ый год работы.

1.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

63

95

139

161

202

241

268

288


2.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

14,7

16,5

16,5

18,1

21,5

22,3

23,5

24,1


3.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

100

156

170

184

194

205

220

229


4.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

120

140

230

370

445

570

655

770


5.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

69,1

167,4

265,2

362

460,6

556,2

675,5

755


6.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

66,5

168,4

270,1

372

474,8

576,6

678,6

735,5


7.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

6,2

9,6

13,9

16,2

20,3

24,1

26,6

27,9


8.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

100,2

155,5

170,2

183,7

194,5

204,6

220,1

229,5


9.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

623,5

675,4

746,2

828,8

890,5

959,3

1028,2

1105,8


10.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

2

4,9

7,9

11,1

14,1

17

21,1

23,9


11.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

2,9

6,1

9,2

11,8

16

18,8

21,9

23,5


12.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

20

50

70

100

130

150

180

210

13.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

39

55

67

82

94

110

123

138


14.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

40

250

470

650

990

1080

1300

1450


15.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

64

96

140

162

203

242

269

290


16.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

66

99

139

162

205

243

271

289


17.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

147

165

165

181

215

223

235

241


18.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

10

15,6

17

18,4

19,4

20,5

22

22,9


19.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

12

14

23

37

44,5

57

65,5

77


20.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

69

167

265

362

460

556

675

755


21.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

66

168

270

372

474

576

678

735


22.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

62

96

139

162

203

241

266

279


23.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

100

155

170

183

194

204

220

229


24.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

623

675

746

828

890

959

1028

1105


25.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

20

49

79

111

141

170

211

239


26.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

29

61

92

118

160

188

219

235


27.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

21

51

71

101

131

151

181

211


28.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

3,9

5,5

6,7

8,2

9,4

11

12,3

13,8


29.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

4

25

47

65

99

108

130

145


30.

х i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

yi, тыс.шт. в год

6,4

9,6

14

16,2

20,3

24,2

26,9

29

































Использованная литература:

  1. Сборник задач по высшей математике для экономистов.: под редакцией проф. В.И. Ермакова , Москва, Инфра – М: 2003, 315с

  2. Справочник по высшей математике.: М.Я. Выгодский.: Москва. 2011, 523с

  3. Математика. Задачи с экономическим содержанием.: пособие/ С.Л. Гуринович. _ Минск: Новое знание, 2008. – 264с

  4. Интернет.



Общая информация

Номер материала: ДВ-091641

Похожие материалы

Комментарии:

29 дней назад
Нужная методичка. Помогает осваивать математику.