Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Перевозский строительный колледж»











Методические указания

по выполнению внеаудиторной

самостоятельной работы

по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики


Для специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы








Составитель: Панькова Наталья Викторовна












г. Перевоз

2014

Составитель: Панькова Н.В.





Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики. Для студентов специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы / Перевоз, 2014. – 38 с.


Данные методические указания составлены в помощь преподавателям и обучающимся.

В методических указаниях представлены задания для внеаудиторной самостоятельной работы.

Предназначены для студентов второго курса, специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы, изучающих дисциплину ЕН.01 Элементы высшей математики.








Рецензент: Кузьмина Т.А. – зав. кафедрой информационных технологий ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж».







© Перевозский строительный

колледж, 2014








Рассмотрено на заседании кафедры

____информационных технологий________

Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.

Заведующий кафедрой

_________________ Кузьмина Т.А.

Утверждено на заседании

Методического совета

Протокол № ____ «____» _______ 20____ г.


Оглавление








Введение


Данные методические указания по организации внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики имеют своей целью:

  • систематизацию и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

  • углубление и расширение теоретических знаний;

  • формирование умения использовать справочную и дополнительную литературу;

  • формирование самостоятельности мышления, способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Данный курс составлен в соответствии с требованиями ППССЗ по дисциплине математического и общего естественнонаучного учебного цикла ЕН.01 Элементы высшей математики по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы.


Цель и задачи освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики


В результате изучения данной дисциплины Вы должны

уметь:

  • выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

  • применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

  • решать дифференциальные уравнения.

знать:

  • основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

  • основы дифференциального и интегрального исчисления.


Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики


Процесс изучения дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики направлен на формирование следующих компетенций в соответствии с программой ФГОС СПО по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.2. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.

ПК 1.4. Проводить измерения параметров проектируемых устройств и определять показатели надежности.

ПК 2.2. Производить тестирование, определение параметров и отладку микропроцессорных систем.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.1 Матрицы и определители


Цель работы: отработка навыков по выполнению операций над матрицами, вычислению определителей, вычислению обратной матрицы.


Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

hello_html_m6c55c1d0.gif

Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

hello_html_m1da4aa69.gif.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Транспонирование матрицы – замена строк матрицы её столбцами (или наоборот).

Задания:

1. Даны матрицы А и В. Найти 2А+В2-5Е.

hello_html_65c62ffb.gifhello_html_3eeb9c7.gif

2. Даны матрицы А и В. Найти А∙В и В∙А и сравнить.

hello_html_3a0779f0.gifhello_html_m816fd21.gif


Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом l12image091.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

l12image099.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Вообще говоря, определитель может вычисляться разложением по любой строке или столбцу матрицы.

Минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы aij называется его минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы,т.е. hello_html_202c1ba.gif.

Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. hello_html_m51d2cf60.gif

Другой способ вычисления определителя называется правилом треугольника.

тематический объект записываемый в виде прямоугольной таблиц…

Таким образом, определитель равен:

C:\Users\admin\YandexDisk\Скриншоты\2015-03-25 22-09-08 Скриншот экрана.png


Задания:

1. Найти определители матриц А и В.

hello_html_327482af.gif

2. Вычислить определитель матрицы.

hello_html_m2f31fde1.gif

Если для матрицы А существует матрица А-1, такая что выпоняется условие: А-1∙A = A∙ А-1 = E, то матрица А-1 называется обратной к матрице А.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы Δ.

2. Находим транспонированную матрицу АТ

3. Для элементов матрицы АТ находим алгебраические дополнения hello_html_m24636944.gif

4. Элементы обратной матрицы можно вычислить по формуле:

hello_html_m733c1425.gif

Задания:

1. Найти матрицы, обратные к матрицам А и В.

hello_html_327482af.gif

Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 1.2 Системы линейных алгебраических уравнений

Цель занятия: отработка навыков решения систем линейных уравнений.


Пусть дана система уравнений:

hello_html_7741e9bf.gif,

Это система линейных алгебраических уравнений.

Составим матрицы: A = hello_html_7edbb1a0.gif; B = hello_html_m45b734b1.gif; X = hello_html_17862999.gif.

А- матрица системы, состоящая из коэффициентов при неизвестных,

В- матрица-столбец, состоящий из свободных членов,

Х- матрица-столбец неизвестных.


Метод Крамера.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными.

hello_html_3fd0d67.gif

A = hello_html_1bf77fcc.gif; 1= hello_html_m468d5b02.gif; 2= hello_html_m30e014fc.gif; 3= hello_html_1e2a6d1b.gif;

x1 = 1/detA; x2 = 2/detA; x3 = 3/detA;

Метод Гаусса.

Сущность метода заключается в следующем: составляем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приводим её к ступечатому виду. Составляем новую систему и находим решение системы.


Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Матричный метод.

Систему уравнений можно записать в виде произведения матриц А∙Х=В. Тогда Х=А-1∙В, т.е. находим обратную матрицу А-1 и умножаем её на столбец свободных членов.


Задания.

Решить системы уравнений тремя способами:

  1. hello_html_m304e377c.gif

  2. hello_html_2d63a9af.gif

  3. hello_html_m7d1dd22e.gif

Вид контроля: оценка решенных задач

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.

Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами.


Цель занятия: отработка навыков по выполнению основных действий над векторами.


Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

hello_html_16208cdc.gif

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то hello_html_441366b1.gif.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор - hello_html_5f7dcd80.gif

Произведеним вектора hello_html_2de458ac.gif на число α - hello_html_17a47731.gif, при этом hello_html_2de458ac.gif коллинеарен hello_html_1272db4b.gif.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат hello_html_m33cfd04a.gif тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

hello_html_751de0a0.gif

Вектор hello_html_2de458ac.gif сонаправлен с вектором hello_html_1272db4b.gif( hello_html_2de458ac.gifhello_html_1272db4b.gif), если > 0.

Вектор hello_html_2de458ac.gif противоположно направлен с вектором hello_html_1272db4b.gif(hello_html_2de458ac.gifhello_html_1272db4b.gif), если < 0.

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

hello_html_m5ce67668.gif

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Скалярным произведением векторов hello_html_2de458ac.gif и hello_html_1272db4b.gif называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

hello_html_2de458ac.gifhello_html_1272db4b.gif= hello_html_2de458ac.gifhello_html_1272db4b.gifcos

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

hello_html_m57ea93df.gif;

Задания.

  1. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, причём |а| = 5 и |b| = 12. Определить |a + b| и |аb |.

  2. Векторы а и b образуют угол φ = 60°, причём |а| = 5 и |b| = 8. Определить |а + b| и |аb|.

  3. Векторы а и b образуют угол φ=120°, причём |а| = 3 и |b| = 5. Определить |а + b| и |аb|.

  4. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы имели место следующие соотношения: 1) |а + b| = |аb|, 2) |а + b| >|аb|, 3) |а + b| <|аb|.

  5. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы вектор а + b делил пополам угол между векторами а и b.

  6. По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) 3а; 2) —hello_html_m7fd64b0e.gifb; 3) 2а + hello_html_439fa599.gifb; 4) hello_html_m7fd64b0e.gifа — 3b.

  7. Векторы а и b образуют угол hello_html_m2610598e.gif; зная, что |а| = 3, |b| = 4, вычислить: 1) аb; 2) а2; 3) b2; 4) (а + b)2; 5) (3а2b) (а + 2b); 6) (аb)2; 7) (3а + 2b)2.

  8. Векторы а и b взаимно перпендикулярны; вектор с образует с ними углы, равные hello_html_m4ceb00eb.gif, зная, что |а| = 3, |b | = 5, |c| = 8, вычислить: 1) (3а — 2b) (b + 3с); 2) + b + c)2; 3) (а + 2b— 3с)2.

  9. Даны точки hello_html_m6a66e8db.gif. Используя свойства векторного произведения, найти площадь треугольника АВС и внутренний угол при вершине В.

  10. Будут ли его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны

Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 2.2. Прямые на плоскости. Кривые второго порядка.


Цель занятия: закрепление навыков по составлению уравнений прямых на плоскости и уравнений кривых второго порядка.



Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.


Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.


Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

hello_html_m102210ef.gif


Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:hello_html_m2cd1030.gif и обозначить hello_html_9f12ddc.gif, то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.


Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Каждый ненулевой вектор hello_html_m39d406c6.gif(1, 2), компоненты которого удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, то, разделив на –С, получим:hello_html_m19dccb8d.gif или hello_html_m71595b9e.gif, где hello_html_515c442b.gif

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.



Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число hello_html_518569f5.gif, которое называется нормирующем множителем, то получим xcos + ysin - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.


Угол между прямыми на плоскости.

Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

hello_html_m36962149.gif.

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.


Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой.

Прямая, проходящая через точку М11, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением: hello_html_1e2bd18c.gif

Задания.

  1. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

а) M1,(2; —5), М2(3; 2); б) P(— 3; 1), Q(7; 8);

в) A(5; —3), В(— 1; 6).

  1. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A (5; —4), В(—1; 3), С(—3; —2) параллельно противоположным сторонам.

  2. Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2(5; 3) и М3(3;4). Составить уравнения его сторон.

  3. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(—1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку PQ.

  4. Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

  5. Даны вершины треугольника М1(2; 1), M2(—1; —1) и M 3(3; 2). Составить уравнения его высот.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

  1. hello_html_m43ce7f20.gif- уравнение эллипса.

  2. hello_html_m657d071e.gif- уравнение мнимого эллипса.

  3. hello_html_m6aee54c5.gif- уравнение гиперболы.

  4. a2x2c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

  5. y2 = 2px – уравнение параболы.

  6. y2a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

  7. y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

  8. y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

  9. (xa)2 + (yb)2 = R2 – уравнение окружности.


Задания: Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, определпить вид кривой второго порядка и найти основные характеристики.

  1. х2 - у2 - 16=0

  2. 2 - 16у2 - 54х - 64у - 127=0

  3. 2 + 4у2 - 18х - 8у - 23=0

  4. 2 + 9у2 - 18у - 27=0

  5. 2 - 4у2 + 8у - 40=0

  6. х2 + у2 + 2х - 2у - 2=0

  7. 2 + у2 - 8х + 2у + 1=0

  8. х2 + у2 - 4х + 2у + 4=0

  9. х2 - у2 - 25=0

  10. 2 – у - 4=0

  11. х2 - у2 - 4=0

  12. 25х2 – 100 + 4у2=0

  13. х2 + у2 + 10у=0

  14. 2 - у2 - 64=0

  15. х2 + 4у2 + 2х - 3=0

  16. -2х2 - 16х + 2у - 10=0

Вид контроля: оценка решенных задач

Раздел 3. Основы математического анализа.

Тема 3.1 Теория пределов. Непрерывность функций.


Цель занятия: закрепление навыков по вычислению пределов и классификации точек разрыва.


Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)


y f(x)


A +

A

A -




0 a - a a + x




Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a < верно неравенство f(x) - A< .

То же определение может быть записано в другом виде: Если а - < x < a + , x a, то верно неравенство А - < f(x) < A + .

Запись предела функции в точке: hello_html_19dee322.gif

Если f(x) A1 при х а только при x < a, то hello_html_m18ac9368.gif - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то hello_html_m5ab2f1e6.gif называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

у

f(x)


А2


А1





0 a x




Задания: Вычислить пределы функций



Вариант № 1

  1. hello_html_m25791043.gif

  2. hello_html_m40600059.gif;

  3. hello_html_m130b5fdb.gif;

  4. hello_html_m26a24c0f.gif

  5. hello_html_m7d72364a.gif;




Вариант № 2

  1. hello_html_m3a5564ea.gif;

  2. hello_html_3e5ff29a.gif;

  3. hello_html_m16947f29.gif;

  4. hello_html_5c8697df.gif

  5. hello_html_m58595f09.gif;





Вариант № 3

  1. hello_html_1498b258.gif

  2. hello_html_m7eadc80c.gif

  3. hello_html_m5f5ba547.gif

  4. hello_html_m7f8b4a1e.gif

  5. hello_html_317e14e7.gif;




Вариант № 4

  1. hello_html_60e8fb78.gif;

  2. hello_html_m6fb63b79.gif;

  3. hello_html_7c798492.gif;

  4. hello_html_6fe103ff.gif

  5. hello_html_6d457abc.gif


















Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

hello_html_m5ebb826f.gif

Тот же факт можно записать иначе: hello_html_37515488.gif

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

hello_html_mc4a698b.gif

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.


Первый замечательный предел. hello_html_m224cd71c.gif


Второй замечательный предел. hello_html_c3e93f.gif


Задания:

Задана функция и два значения аргумента y=f(x). Установить: является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных аргументов; в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева и определить тип точки разрыва.

http://www.matburo.ru/Examples/ma_nepr/img3-0.gif


hello_html_28336e3c.png

Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 3.2 Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной.


Цель занятия: отработка навыков нахождения производной, дифференциала и алгоритма исследования функции.


Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

hello_html_3cdfda41.gif

Основные правила дифференцирования.

1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3)hello_html_5b4b75a4.gif, если v 0

4) производная сложной функции hello_html_m37790f57.gif


Производные основных элементарных функций.

1)С = 0; 9) hello_html_7e286ea0.gif

2)(xm) = mxm-1; 10) hello_html_11e9b9f2.gif

3) hello_html_m7377744b.gif 11) hello_html_6b18f428.gif

4) hello_html_779c89.gif 12) hello_html_655d29f.gif

5) hello_html_5bf010f1.gif 13) hello_html_285ac3e2.gif

6) hello_html_m2b1a1d2f.gif 14) hello_html_23c3443b.gif

7)hello_html_m67aaf7c5.gif 15) hello_html_m5991e07d.gif

8) hello_html_4378f087.gif 16) hello_html_m2aaa3551.gif


Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f(x)x или dy = f(x)dx. Можно также записать: hello_html_7fb6681d.gif

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

hello_html_2a8e67c7.gif

Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).

hello_html_31baec24.gif

т.е. y = (y) или hello_html_m2f806e40.gif.

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

hello_html_m6a34d0f7.gif

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

hello_html_m23074f94.gif

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

hello_html_4b63d834.gif

Неопределенности вида hello_html_2e88d24e.gif можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида hello_html_25fd4e02.gif, f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).


Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

  1. Область существования функции.Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

  2. Точки разрыва. (Если они имеются).

  3. Интервалы возрастания и убывания.

  4. Точки максимума и минимума.

  5. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

  6. Области выпуклости и вогнутости.

  7. Точки перегиба.(Если они имеются).

  8. Асимптоты.(Если они имеются).

  9. Построение графика.



Задания.

1. Найти производную сложной функции:

hello_html_m3be91f79.gif

hello_html_m52bedbba.gif

hello_html_1a2473c3.gif


hello_html_30403c2a.gif

hello_html_39e67b52.gif

hello_html_4ab14e1c.gif

hello_html_6e141cc9.gif

hello_html_504e1afc.gif


2. Найти вторую производную.

  1. hello_html_m448736bc.gif,

  2. hello_html_m783df0bf.gif,

  3. hello_html_6c7e5c0d.gif,

  4. hello_html_m3cf2a244.gif,

  5. hello_html_2133c57c.gif,

  6. hello_html_m69638fcb.gif,

  7. hello_html_26376054.gif,

  8. hello_html_7b8e4e67.gif,

  9. hello_html_2e5a72a0.gif,

  10. hello_html_ea9b571.gif,

  11. hello_html_54503338.gif,

  12. hello_html_m826024.gif.


3. Найти hello_html_m3fed07a3.gif:

  1. hello_html_49bba887.gif,

  2. hello_html_5d497f9a.gif,


4. Найти hello_html_m42936ad9.gif:

hello_html_m127a3f1a.gif


5. Вычислить предел, используя правило Лопиталя

http://www.math24.ru/images/8lim18.gif.

http://www.math24.ru/images/8lim21.gif


6. Найти асимптоты графика функции

http://pipec8.narod.ru/mat/proizv/9.files/image037.gif

http://pipec8.narod.ru/mat/proizv/9.files/image033.gif.


7. Исследовать на экстремумы функции:

http://itoim.kspu.ru/matematika/zad/62.gif


http://itoim.kspu.ru/matematika/zad/66.gif

http://itoim.kspu.ru/matematika/zad/65.gif

http://itoim.kspu.ru/matematika/zad/61.gif


8. Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики:

hello_html_mb26a2ca.gif

б)

hello_html_65adb014.gif

в)

hello_html_m18bf27ac.gif


Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 3.3 Интегральное исчисление функции одной действительной переменной


Цель занятия: отработка навыков нахождения неопределенных и определенных интегралов.


Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают: hello_html_mdc4839d.gif

Свойства:

1. hello_html_2024c5ce.gif

2. hello_html_526fb412.gif

3. hello_html_482e4736.gif

4. hello_html_7deb225a.gif где u, v, w – некоторые функции от х.

5. hello_html_m2a884b46.gif


Таблица неопределнных интгералов


Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1

hello_html_1541d672.gif

-lncosx+C

9

hello_html_m2411eefb.gif

ex + C

2

hello_html_310c5817.gif

lnsinx+ C

10

hello_html_4b2256b1.gif

sinx + C

3

hello_html_30a7278a.gif

hello_html_m690632a2.gif

11

hello_html_4a0d6293.gif

-cosx + C

4

hello_html_m23e9faba.gif

hello_html_m32842dfc.gif

12

hello_html_5dfd6476.gif

tgx + C

5

hello_html_4b8eee6c.gif

hello_html_9c17a26.gif

13

hello_html_228ca816.gif

-ctgx + C

6

hello_html_3a6c8219.gif

lnhello_html_m157f83b3.gif

14

hello_html_1be80269.gif

arcsinhello_html_m46ef1de7.gif + C

7

hello_html_m1a8cb050.gif

hello_html_285135ca.gif

15

hello_html_m19e9fdde.gif

hello_html_2cfa804e.gif

8

hello_html_m538e9f4f.gif

hello_html_mb36fbd7.gif

16

hello_html_1ef21439.gif

hello_html_50d4aa9c.gif


Методы интегрирования.


1. Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.


2. Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл hello_html_m64177d87.gif, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается: hello_html_398e569a.gif


3. Интегрирование по частям.

Способ основан на формуле hello_html_31f9ac4e.gif;


4. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. hello_html_m409988b1.gif III. hello_html_m65d31ea8.gif

II. hello_html_m3c54ca3.gif IV. hello_html_1609e49c.gif

m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.

Теорема: Если hello_html_m344a10ac.gif - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

hello_html_m55ed1b97.gif

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.


Определенный интеграл.

Обозначение : hello_html_9f7f4c8.gif

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Свойства определенного интеграла.

  1. hello_html_m1249e753.gif

  2. hello_html_48538f29.gif

  3. hello_html_m4c7f1ee3.gif

Вычисление определенного интеграла.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

hello_html_m294ed0fb.gif

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x)hello_html_m78f755bd.gif.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.


Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур.

Вычисление объемов тел.

Объем тел вращения.


Если существует конечный предел hello_html_m34ef9ce2.gif, то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).

Обозначение: hello_html_m34db3226.gif

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.


Задания.

1. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

hello_html_333a4c26.gif

21.

hello_html_7b1f7b74.gif

2.

hello_html_3ee01902.gif

22.

hello_html_m398ff02c.gif

3.

hello_html_215e8eb6.gif

23.

hello_html_eb7c3e3.gif

4.

hello_html_m56b6d8d3.gif

24.

hello_html_307ad979.gif

5.

hello_html_m3b9834d1.gif

25.

hello_html_m4081afdf.gif

6.

hello_html_75bff63.gif

26.

hello_html_m25bbef6f.gif

7.

hello_html_6e0f40de.gif

27.

hello_html_1fc2f9e4.gif

8.

hello_html_m2321eb5c.gif

28.

hello_html_7649c658.gif

9.

hello_html_m1808d5d2.gif

29.

hello_html_m21f5a2e2.gif

10.

hello_html_m51e82da2.gif

30.hello_html_m45d7a1af.gif

hello_html_m5b097b03.gif

11.

hello_html_m7a6c2ef3.gif

31.

hello_html_m6b1e8e09.gif

12.

hello_html_c7b3ae5.gif

32.

hello_html_3abbf3ec.gif

13.

hello_html_m497fbff1.gif

33.

hello_html_25c3585c.gif

14.

hello_html_606d3e10.gif

34.

hello_html_m3d2f0ac6.gif

15.

hello_html_18bd13ab.gif

35.

hello_html_m6ec0991f.gif

16.

hello_html_40aa13b1.gif

36.

hello_html_m75f2b29d.gif

17.

hello_html_m5f5db819.gif

37.

hello_html_m44ce8d73.gif

18.

hello_html_4d23d468.gif

38.

hello_html_m69f20cf0.gif

19.

hello_html_m13d119c4.gif

39.

hello_html_m4e38eb3.gif

20.

hello_html_48a2b28e.gif

40.

hello_html_31455cc8.gif


2. Вычислить интегралы от дробно-рациональных функций

hello_html_m19bb221.gif

hello_html_m225cbab1.gif


3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

  1. hello_html_m505c56cd.gif;

  2. hello_html_m7f6a8ec.gif;

  3. hello_html_m7aaed723.gif;

  4. hello_html_32085e16.gif;

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) hello_html_7f108232.gif; 2) hello_html_22bc3f1.gif; 3) hello_html_m7bf070dc.gif;

4) hello_html_3bb6baae.gif; 5) hello_html_m474bd64d.gif.

5. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1) hello_html_5d4107ff.gif вокруг оси ОХ;

2) hello_html_7401d6fb.gif вокруг оси ОХ;

3) hello_html_m697780d3.gif вокруг оси ОХ;

4) hello_html_m22f26f26.gif вокруг оси ОY;


Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 3.4 Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных


Цель занятия: отработка навыков нахождения области определения, частных производных функции нескольких пременных.


Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М00, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие hello_html_3b300d09.gifтакже верно и условие hello_html_m3c71eec5.gif.

Записывают: hello_html_7aa02d14.gif

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

hello_html_51a6f352.gif.

Тогда hello_html_7a7d018.gif называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение: hello_html_6d9b7476.gif

Аналогично определяется частная производная функции по у.

hello_html_1063f5a6.gif

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).

hello_html_m2ff5a3a6.gif

Для функции произвольного числа переменных:

hello_html_m205b7010.gif

hello_html_47a88efb.gif

hello_html_6b8fc898.gif

Частные производные вида hello_html_m7dcf36e9.gifhello_html_m53d4ecad.gifи т.д. называются смешанными производными.



Задания.

1. Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).

1.1. hello_html_m23e2f0da.gif. 1.2. hello_html_17c3b621.gif.

1.3. hello_html_3168da35.gif. 1.4. hello_html_m2fe7cc71.gif.

1.5. hello_html_m6094774c.gif. 1.6. hello_html_42336de.gif.

1.7. hello_html_m5df6d357.gif. 1.8. hello_html_5db495bf.gif.


2. Найти частные производные hello_html_c3a5741.gif, hello_html_3b347446.gif от функции hello_html_a341c94.gif.

2.1. hello_html_m45a5ae4f.gif. 2.2. hello_html_m474474af.gif.

2.3. hello_html_6d1f3f27.gif. 2.4. hello_html_20ac6822.gif.

2.5. hello_html_1bd10768.gif. 2.6. hello_html_21df8008.gif.

2.7. hello_html_m47442d65.gif. 2.8. hello_html_m2d3f44c2.gif.

2.9. hello_html_4fd4b9ee.gif. 2.10. hello_html_m680e0bb3.gif.

Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 3.5 Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных


Цель занятия: отработка навыков нахождения области определения, частных производных функции нескольких пременных.


Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы hello_html_m583c8ae5.gif имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .

hello_html_64c81f18.gif

С учетом того, что Si = xi yi получаем:

hello_html_4c1bb143.gif

В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

hello_html_7dae1934.gif


Задания.

1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и сделать чертеж области интегрированияhello_html_m34a33590.gif


2. Вычислить двойной интеграл по области Dhello_html_368a5baf.gif

3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных декартовых координат к полярным: hello_html_22244b2.gif

4. Вычислить площадь плоских фигур, ограниченных данными линиямиhello_html_m10b33357.gif

Вид контроля: оценка решенных задач

Тема 3.6 Обыкновенные дифференциальные уравнения


Цель занятия: отработка навыков решения дифференциальных уравнений.


Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения.


Задания.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

  1. hello_html_2e4968f2.gif

  2. hello_html_53abe443.gif

2. Найти решение задачи Коши

  1. hello_html_m41912d34.gif

  2. hello_html_m17782ee3.gif

3. Найти общее решение уравнения hello_html_42b92bd3.gif.

4. Найти общее решение уравнения hello_html_1a83e999.gif

5. Найти общее решение уравнения hello_html_7a68147.gif

6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

hello_html_m7053f5a9.gif

hello_html_mf8b83d1.gif

hello_html_12ffae79.gif

hello_html_m2b7aa151.gif

hello_html_m4eb647ba.gif

hello_html_40f076a3.gif

hello_html_4ea1486b.gif

hello_html_1d2e9e98.gif

hello_html_m5c9ff8cc.gif

hello_html_m179da204.gif

hello_html_m549e9bbc.gif

hello_html_483fc28a.gif

hello_html_m721b744d.gif

hello_html_3cb6a808.gif

hello_html_m4ddf77d6.gif

hello_html_63c4590c.gif

hello_html_me9aea26.gif

hello_html_m5a8854ed.gif

hello_html_7439a397.gif

hello_html_5e79c25e.gif

7. Найти частное решение дифференциального уравнения.

hello_html_17e5bb25.gif

hello_html_m7c0fdea6.gif

hello_html_178e348.gif

hello_html_dd691a4.gif

hello_html_m1cc85ec1.gif

hello_html_2c5bd042.gif

hello_html_m66a42461.gif

8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

hello_html_m174019fa.gif

hello_html_45cf6e0a.gif

hello_html_m341580cb.gif

hello_html_2de5fbda.gif

hello_html_m1f8a1a8c.gif

hello_html_m18f0c5f0.gif

hello_html_m88c81e5.gif

9. Найти частное решение дифференциального уравнения.

hello_html_6d4af362.gif

hello_html_m7c0872ab.gif

hello_html_47b49e21.gif

hello_html_m23439407.gif

hello_html_1d7c154c.gif

hello_html_m5d60aee6.gif

hello_html_96209e1.gif

10. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающее понижение порядка.

hello_html_1170372f.gif

hello_html_m23d12b5a.gif

hello_html_4f2a8a07.gif

hello_html_5dc23079.gif

hello_html_m26f06666.gif



11. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающее понижение порядка, которое удовлетворяет заданным условиям.

hello_html_6fc6d5ce.gif

hello_html_598c474e.gif

hello_html_682acc3a.gif

hello_html_4590b9a5.gif

hello_html_m3d4a3e4f.gif

hello_html_5921b946.gif

hello_html_26f4ff9.gif

Вид контроля: оценка решенных задач

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел


Цель занятия: отработка навыков работы с комплексными числами.


Комплексным числом z называется выражение hello_html_m11f54a25.gif, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

hello_html_313b8a15.gif

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Данная форма представления комплексного числа называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Числа hello_html_m11f54a25.gif и hello_html_m27446f78.gifназываются комплексно – сопряженными.

Следующая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа: hello_html_2baf94ed.gif

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.

hello_html_m72528603.gif.

Из геометрических соображений видно:

hello_html_13589244.gif


Задания.

1. Найдите сумму и произведение комплексных чисел hello_html_3e96ebe.gif и hello_html_5f34e403.gifесли:

hello_html_m7148e2fd.gif

2. Найдите разность и частное комплексных чисел hello_html_69962bc.gif и hello_html_m910cdf3.gif, если:

hello_html_m2c561df9.gif

3. Выполните действия

  1. hello_html_m45d7a1af.gifhello_html_m72a87847.gif

  2. hello_html_3d9b57cd.gif

  3. hello_html_36111f87.gif

  4. hello_html_m6a4d4003.gif

4. Записать комплексное число Z в алгебраической форме:

1) hello_html_m36ce82fe.gif,

2) hello_html_m66a7ecde.gif,

5. Записать число Z в тригонометрической форме:

1) hello_html_m30aa22e4.gif,

2) hello_html_788924cc.gif,

3) hello_html_356436d8.gif,

4) hello_html_42ef2e3d.gif.

Вид контроля: оценка решенных задач

Список рекомендуемых источников


Основная литература


  1. Богомолов Н.В. Математика: Учебник. – М.: Дрофа, 2010. – 395 с.

  2. Григорьев С.Г. Математика: Учебник. – М.: Академия, 2014. – 416 с.

  3. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2011. – 464 с.

  4. Пехлецкий И.Д. . Математика: Учебник. – М.: Академия, 2012. – 304 с.


Интернет-ресурсы


  1. Портал Math.ru: библиотека, медиатека, олимпиады, задачи, научные школы, учительская, история математики

http://www.math.ru

  1. Математика в Открытом колледже

http://www.mathematics.ru

  1. Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов

http://school_collection.edu.ru/collection/matematika/

  1. Образовательный математический сайт Exponenta.ru

http://www.exponenta.ru

  1. Общероссийский математический портал Math_Net.Ru

http://www.mathnet.ru

  1. Портал Allmath.ru – вся математика в одном месте

http://www.allmath.ru

  1. Интернет-библиотека физико-математической литературы

http://ilib.mccme.ru

  1. Математика онлайн: справочная информация в помощь студенту

http://www.mathem.h1.ru


Общая информация

Номер материала: ДВ-523398

Похожие материалы