Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по ОУД. 03 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Областное государственное  автономное

профессиональное образовательное учреждение «Ютановский агромеханический техникум имени Евграфа Петровича Ковалевского» 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

по общеобразовательной учебной дисциплине

ОУД.03 Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

для профессии: 19.01.07. Повар, кондитер

Выполнила

преподаватель математики

высшей категории

Тарановская В.П.

с. Ютановка, 2016г.

Самостоятельная работа № 1 по теме «Введение».

Цель:Повторить некоторые основные формулы и правила, изученные в 5- 9классах а и уметь применять их к решению задач.

Теоретический материал

Рациональные числа: числа, представляемые в виде дроби , где – целое число, а – натуральное.

Основное

свойство дроби

Сложение и вычитание дробей

Умножение дробей

Деление

дробей

Линейные функция

Линейная функция – это функция, заданная формулой , где – действительные числа. График линейной функции – прямая. Число – угловой коэффициент прямой; , где – угол наклона прямой к положительному направлению осиОх. При линейная функция возрастает на всей числовой прямой, при – убывает.

Прямые, заданные формулами параллельны, если . Прямые пересекаются в одной точке, если . Функция называется прямая пропорциональность. Её график всегда проходит через начало координат.

Функция – постоянная, её графиком является прямая, параллельная осиОх.

График линейной функции при различных значениях :

Квадратная функция

Квадратная функция – это функция заданная формулой , где – действительные числа. Её график – парабола, ветви которой направлены вверх при и вниз при . Координаты вершины параболы: . Осью симметрии является прямая. Дискриминант квадратного трохчлена : .

Квадратные уравнения

Решение полных квадратных уравнений, т.е. уравнений вида , где , через дискриминант :

1. При два корня: , , парабола пересекает ось Ох в двух точках;

2. При один корень: , парабола касается оси Ох, т.е. имеет с ней одну общую точку;

3. При уравнение не имеет корней, парабола не пересекает ось Ох.

Решение неполных квадратных уравнений:

1. Уравнение вида при всегда имеет два корня:

2. Уравнение вида при не имеет корней, если знаки совпадают; уравнение имеет два корня, если знаки не совпадают:

3. Уравнение вида при всегда имеет один корня:

Теорема Виета:

Если и – корни квадратного уравнения , где , то верны равенства:

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

где и – корни соответствующего квадратного уравнения (

если соответствующее квадратное уравнение имеет только один корень .

Формулы сокращенного умножения

Выполните задание

1. Решите уравнение: (x-3)² - 4 ( x-2)² = 8 (1-х)

2. Упростите выражения: а) ( -

3. Найдите значения выражения: а) ( б)

4. Постройте график функции y = 4x+8 и найдите y(1).

5. Зная, что S = , найдите b , если S = 65 h= 5 a = 12

6. В треугольнике АВС АС=30, < С = 90⁰, sinВ = . Найдите АВ

Самостоятельная работа № 2по теме «Развитие понятия о числе».

Цель:Обобщить теоретические знания по теме «Развитие понятия о числе», развивать умения применять теоритические знания при выполнении практических заданий по изучаемой теме; формировать общие компетенции ОК.2,ОК.3, ОК.4, ОК.05, ОК.6, ОК.7, ОК.8.

Теоретический материал

Рациональные числа: числа, представляемые в виде дроби , где – целое число, а – натуральное.

Основное

свойство дроби

Сложение и вычитание дробей

Умножение дробей

Деление

дробей

Формулы сокращенного умножения

Округления чисел.

Округление чисел - это математическое действие, которое позволяет уменьшить количество цифр в числе, заменяя его приближенным значением. Округление чисел применяют для удобства при расчетах. Ведь не хочется путаться и забивать себе голову числами, которые имеют после запятой пять цифр, а то и больше. Существует несколько правил округления чисел:

Если первая цифра, которую вы хотите отбросить, больше или равна 5, то последняя цифра, которая остается - увеличивается на единицу. Пример: возьмем число 25,274 и округлим его до десятых. Первая отбрасываемая цифра - 7, больше 5, значит, последняя сохраняемая цифра - 2 увеличивается на единицу. Т.е., получается округленное число - 25,3.

2 Если первая цифра, которую вы собираетесь отбросить, меньше 5, то увеличение последней сохраняемой цифры не происходит. Пример: 38,436 округлим до десятых. Первая цифра, которую мы хотим отбросить - 3, меньше 5, значит, последняя сохраняемая цифра - 4 не увеличивается. Остается округленное число - 38,4.

Если цифра, которую хотим отбросить, равна 5, но за ней нет значащих цифр, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, а если нечетная, то увеличивается на единицу. Пример 1: есть число 42,85, округлим его до десятых. Отбрасываем цифру 5, а, т.к. за ней нет значащих цифр, и последняя сохраняемая цифра 8 - четная, то она остается неизменной. Т.е., получаем число 42,8. Пример 2: число 42,35 округлим до десятых. Отбрасываемая цифра 5, не имеет за собой значащих цифр, но последняя сохраняемая цифра 3 - нечетная, то она, соответственно, увеличивается на единицу и становится четной. Получаем 42,4.

Комплексным числом Z называется пара (x, y) действительных чисел xи y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i= (0,1).Тогда , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число zможно записатьв

Видеz= (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x+ iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z= (x, y) = x+iy.

По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a₁ +b₁i ) + (a₂ + b₂i ) +...+ (a_n + b_ni ) = (a₁ + a₂ + ...+ a_n ) + (b₁+ b₂+...+ b_n ) i = a + bi

Операция введена, так как получили элемент того же множества.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность

(a₁ +b₁i) – (a₂ + b₂i) = (a₁ – a₂ ) + (b₁– b₂) i.

Умножениекомплексныхчисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

.

Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в

алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

Если z= а + bi – комплексное число, то число

называется сопряжённым с числом z . Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно,.

Деление комплексных чисел

Если делимое и делитель даны валгебраической форме, то правило деления таково:для

того, чтобы разделить комплексное число (a₁ + b₁i)на другое комплексное число(a₂ + b₂i), тоестьнайти , нужно и числитель, изнаменательумножитьна число, сопряжённоезнаменателю.

.

Пример 1. Решить уравнения а) x² + 25 = 0, б) x³ + 27 =0.

Решение. а) , то есть первое уравнение имеет два мнимых корня: x₁ = 5i, x₂ =-5i;

б) воспользуемся формулой x³ + a³ = (x+a) (x² - ax+ a²), x³ + 27 = (x+3) (x² - 3x+ 9). Приравнивая нулю каждый из множителей, получаем один корень действительный и два комплексных:

x₂ и x₃ – сопряжённые комплексные числа.

Пропорция – это верное равенство вида: . Её основное свойство: .

Процент (1%) числа – это его сотая часть. Само число соответствует 100%. Для решения задачи на проценты необходимо перевести процент в дробь: и придерживаться правил:

нахождение от числа

если от числа есть , то само это число:

число составляет от числа

процентов

Выполните задание

1. Сократите: а) б)

2. Найдите значение выражения:

_{а) б)}

3. Представьте данные числа х в виде десятичных дробей с указанной точностью:

А) х= 0,52008 h=1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001

Б) х= 4,07638 h= 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001

4. Запишите число х в стандартном виде, округлив его мантиссу до 0,01

А) х= 234 567 Б) 0,036759

5. Если яблоки из большой коробки разложить в пакеты по 0,25 кг, то получится 40 пакетов. Сколько пакетов по 0,5 кг можно заполнить этимияблоками?

6. Участок земли площадью 4 га поделен на части в пропорции 2:3. Укажите площади участков.

7. Токарь изготавливает партию деталей за 5 часов, его ученик эту же партию деталей — за время, превосходящее время токаря на 40%. Сколько часов необходимо ученику токаря для изготовления партии деталей?

8. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

(4 + 2i) + (5 – i). 2. (8 + 4i) - (5 + 3i).

3. (– 3 + 4i) + (6 – 2i). 4. (5 – 4i) - (6 + 2i).

9. Произведите умножение комплексных чисел:

(2 + 3i)(2 – 7i). 2. (8 + 4i)(5 + i).

(4 – 2i)(7 – i). 4. (– 2 + 5i)(3 + 2i).

10. Произведите деление комплексных чисел:

2. 3. 4.

11. Решите уравнения:

1) 5x² + 25x + 31 =0.2) 2x² + 3x + 4 = 0.

12. Выполните тест

1. Какое из уравнений является квадратным:

1) ; 3)

2) 4)

2. В квадратном уравнении укажите его коэффициенты:

1) 3)

2) 4)

3. Определите, какое из приведённых уравнений является равносильным уравнению

1) 3)

2) 4)

4. Найдите корни уравнения

1) 0, 3; 2) –3, 3; 3) не имеет корней; 4)3.

5. Какие из чисел - 4, - 2, - 1, 0, 2 являются корнями квадратного уравнения

1) – 2, 0; 2) 0, 2; 3) – 4, - 1; 4) – 4, 0?

6. Решите уравнение

1) – 2, 0; 2) – 2, 2; 3) 2; 4) 0.

Самостоятельная работа № 3по теме «Корни, степени и логарифмы».

Цель:Обобщить теоретические знания по теме «Корни, степени и логарифмы», развивать умения применять теоритические знания при выполнении практических заданий по изучаемой теме; формировать общие компетенции ОК.2,ОК.3, ОК.4, ОК.05, ОК.6, ОК.7, ОК.8.

Теоретический материал

Корень n – степени: , n - показатель корня, а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а

Если n – четное число, то выражение имеет смысл при

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

Правило извлечения корня из произведения:

Правило извлечения корня из дроби:

Правило извлечения корня из корня:

Правило вынесения множителя из под знака корня:

Внесение множителя под знак корня:

,

Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

Правило возведения корня в степень.

Свойства:

По определению:

Пусть r рациональное число , тогда

при r>0 > при r<0

.Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует

> при a>1 при

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a - b) (a+b)(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Определение иррационального уравнения

Уравнение, содержащее переменные (неизвестные) под знаком корня или дробной степени, принято называть иррациональным.

Уравнение с одной переменной  называют иррациональным, если хотя бы одна из функций  или  содержит переменную под знаком радикала.

Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень

Пример .

Решение.

Решив квадратное уравнение получим

Ответ: 

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида . При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Решение уравнений с использованием замены переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1. , .

Решение.

Пусть , , тогда исходное уравнение примет вид:

Решим уравнение

Ответ: ; 

Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 1.

Решение. Ответ. , 

Определениелогарифма:log_ab=x a^x=b, a>0, a 1,b>0.

Основное логарифмическое тождество: a^log_a^b=b.

Десятичный логарифм (по основанию 10):lgb:10^lgb=b.

Натуральный логарифм (по основанию¹e⁷): lnb:e^lnb=b .

Свойствалогарифмов:

log_a1=0;log_aa=1;log_a(x∙y)=log_ax+log_ay;

log_a=;log_ax-log_ay;log_ax^p=p∙log_ax;– переход к новому основанию;

.

Пример Вычислить.

Решение:

.

Ответ: 1.

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

                                                             b
Пример: Найдем логарифм x = a² · — .
                                                             c

Решение.

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
                      b
lg x = lg (a² · —) = lg a² + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
                      c

Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе

степени.

Показательные уравнения приводят к виду где левая и правя части уравнения есть степени с одинаковым основанием.

Так как показательная функция y=a^xпри а>1 монотонно возрастает на

всей области определения (при 0<а<1 монотонно убывает), то каждое

свое значение она принимает только один раз при одном значении аргумента.

Выделяют три основных метода решения показательных уравнений:

1. Функционально-графический метод. Основан на использовании графических иллюстраций и свойств функций.

2. Метод уравнивания показателей. Основан на теореме 1.

3. Метод введения новой переменной.

Показательными неравенствами называют неравенства вида ,и неравенства, сводящиеся к этому виду.

 Пример . Решите уравнение:

  

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

    

С учетом того, что

  

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

  

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

     

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Выполните задание

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем: , ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

8. Сократите дробь:

9. Выполните действие

10. . Выполните действие:

11. Вычислить:

а) ;б) ;в) ;г) .д)

12. Найдите x, если .

13. Известно, что , найдите .

14. Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

15. Прологарифмируйте по основанию 4 (c>0, b>0)

16. Решить иррациональные уравнения:

а) б) в)

17. Решить показательные уравнения:

18. Решите логарифмические уравнения:

б)

19. Решите неравества:

д) < 8-х е) <

20. Выполните тест:

1. Вычислите .1) 2) 3) 4)

2. Вычислите .1) 2) 3) 4)

3. Решите неравенство .

1) 2) 3) 4)

4. Вычислите . 1) 2) 3) 4)

5. Решите уравнение .1) 2) 3) 4)

6. Решите неравенство .1) 2) 3) 4)

7. Решите уравнение .1) 2) 3) 4)

8. Укажите график функции .

Самостоятельная работа № 3по теме «Прямые и плоскости в пространстве».

Цель:Обобщить теоретические знания по теме «Прямые и плоскости в пространстве», развивать умения применять теоритические знания при решении геометрических задач; формировать общие компетенции ОК.2,ОК.3, ОК.4, ОК.05, ОК.6, ОК.7, ОК.8.

Теоретический материал

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка, прямая и

плоскость.

Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Плоскость делит (разбивает) пространство на два полупространства.

Две плоскости в пространстве либо параллельны (т. е. не имеют общих точек), либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости (т. е. не имеет с ней рбщих точек), либо пересекает ее в одной точке, либо целиком лежит в плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Две прямые в пространстве либо пересекаются (имеют одну общую точку), либо скрещиваются, либо параллельны

(на рис. прямые а и bпересекаются, прямые а, с и dпараллельны, прямые bи d

скрещиваются).

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну; то же справедливо и для параллельных прямых.

Через две скрещивающиеся прямые невозможно провести плоскость.

Признак параллельности прямых.

Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной (ортогональной, или нормальной) этой плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости (рис.).

Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.

Пусть прямая пересекает плоскость в точкеАи перпендикулярна плоскости; отрезок АВ этой прямой (рис.) называется перпендикуляром, проведенным (или опущенным) к этой плоскости из точки В.

Длина перпендикуляра АВ называется расстоянием от точкиВдоплоскости. Из произвольной точки вне плоскости можно опустить на плоскость один перпендикуляр и множество наклонных(рис.).

Если АВ — перпендикуляр, ВС — наклонная, то АС — проекция наклонной на плоскость, точкаС— основание наклонной, точка А — основание перпендикуляра.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, если она перпендикулярна проекции этой наклонной (рис.). Верно и обратное утверждение.

Рассмотрим подробное решение стереометрической задачи.

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А₁, С₁, А₂, С₂ соответственно.

Найти ВС₁, если А₁В : А₁А₁ = 1 : 3, ВС₂ = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1. 1) Так как А₁В :А₁А₂ = 1 :3, то А₁В = х, А₁А₂ =3х.

2. Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А₁С₁, а плоскость β – по прямой А₂С₂. Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А₁С₁ иА₂С₂.

2. Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется: ВА₁/ВА₂ =ВС₁/ВС₂.

Кроме того, ВА₂= ВА₁ + А₁А₂, а значит, учитывая пункт 1 ВА₂ = ВА₁ + А₁А₂ = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС₁/12, то есть ВС₁= 3. Ответ: 3.

Выполните задание

1. Закончить предложения или ответить на вопросы в третьей колонке и сделайте чертёж в четвертой колонке

1

Аксиомы стереометрии

1.

2.

3.

чертёж

2

Существует три случая расположения прямых в пространстве

3

Две прямые в пространстве параллельны, если…

4

Две прямые в пространстве пересекаются, если…

5

Две прямые в пространстве скрещиваются, если…

6

Признак скрещивающихся прямых

7

Существует три случая расположения прямой и плоскости

8

Прямая и плоскость параллельны, если…

9

Прямая и плоскость пересекаются, если

10

Прямая лежит в плоскости, если

11

Признак параллельности прямой и плоскости

12

Существует два случая расположения двух плоскостей

13

Плоскости пересекаются, если…

14

Плоскости параллельны, если...

15

Признак параллельности двух плоскостей

16

Свойства параллельных плоскостей

1.

2.

17

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если..

18

Прямая и плоскость перпендикулярны, если…

20

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

21

Две плоскости перпендикулярны, если

22

Сформулируйте понятия:

1. Перпендикуляр

2. Наклонная

3. Проекция

23

Теорема о трех перпендикулярах

24

Угол между прямой и плоскостью - это…

25

Двугранный угол – это…

2. Решить задачи

а) ВО – перпендикуляр к плоскости а, ВА и ВС – наклонные, ОА и ОС – их проекции на плоскость а, причем сумма их длин равна 24 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если АВ= 4 √ 6 см. и ВС= 12 √2 см.

а) 8см; б) 6 √ 2 см; в ) 6 √ 3см; г) 4 √ 2см.

б) В треугольнике МКС СМ ┴ КМ, точка Е не принадлежит плоскости треугольника МКС и ЕМ ┴ МК. Какие высказывания верны?

ЕМ ┴(МКС); 3 ) КМ ┴ СЕ;КМ ┴(МЕС); 4) ЕМ ┴СК.

а) 1;4; б) 2;3; в) 3; г) 1.

в) Треугольник АВС – прямоугольный, ⁄ А = 60 º ,< С = 90 º. СН – высота треугольника АВС, причем СН = 8 см. Отрезок ВК перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Найдите отрезок ВК, если расстояние от точки К до стороны АС равно 20см.

а)12см; в) 8 √ 3 см;б) 15см; г) 10 √ 2см.

г) Треугольник АСD – равнобедренный. Точка Š удалена от вершин треугольника АСД на 6 см, а от плоскости треугольника АСD на 3 см. Найдите сторону треугольникаАСD.

А) 6 √ 2см; б) 9 см; в) 4 √ 2см; г) 4 √ 3 см.

Самостоятельная работа № 6по теме «Координаты и векторы»

Цель:Обобщить теоретические знания по теме «Координаты и векторы», развивать умения применять теоритические знания при решении геометрических задач; формировать общие компетенции ОК.2,ОК.3, ОК.4, ОК.05, ОК.6, ОК.7, ОК.8.

Теоретический материал

Вектором в пространстве называется направленный отрезок. Координатами вектора с началом в точке A1(x1; y1; z1) и концом в точке A2(x2; y2; z2) называются числа x2-x1, y2-y1, z2-z1. Вектор обозначается в пространстве так:

Так же как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, умножение на число и скалярное произведение.

Суммой векторов называется вектор c(a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃).

Так же как и на плоскости, доказывается векторное равенство

Произведением вектора на число называется вектор .

Скалярным произведением векторов называется число аb=а₁b₁+а₂b₂+ а₃b_3.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти вектора перпендикулярны;

скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Косинус угла между векторами находится по формуле:

Пример решения задачи: В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Решение: Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называют равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны. Векторы называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны.

Выполните задание

1. Выполните задания с подсказкой:

п/п

Название операции

Формулы

1

Найти сумму векторов

2

Найти разность векторов

3

Найти произведение вектора на число

,

4

Вычислить координаты середины отрезка

Точка A. Точка B (-3;4;-1 .Точка С- середина отрезка АВ. С(;.

5

Найти координаты вектора

Точка A Точка B (-1;4;-7.Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора

6

Найти длину вектора

7

Вычислить скалярное произведение векторов

8

Найти косинус угла между векторами

9

При каких значениях и векторы коллинеарны?

10

Проверьте перпендикулярность векторов

- условие перпендикулярности векторов