Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика» по специальности СПО 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)»

Методические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика» по специальности СПО 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)»

Скачать материал

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Невинномысский химико-технологический колледж»


Утверждаю

Заместитель директора по учебно-методической работе

________________ Каширина И. В.


«___» _____________20__г.


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТЫ

по учебной дисциплине

ЕН.01 Математика

(название дисциплины)


Программы подготовки специалистов среднего звена

по специальности СПО

15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)


(код специальности)

Согласовано

Методист

________________К. А. Жмайлова


«___»_____________ 20__ г.


Разработчик: _____________ Н.А. Кихтенко


Обсуждено на заседании предметно-цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин

«___»_______________20__г.

Протокол №___

Председатель цикловой комиссии

_______________ Е. М. Шек



Невинномысск, 2020



УДК 51

К-45

Рассмотрено на заседании

ПЦК ООД протокол №____

«___»____________2020 г



Утверждено

Заместитель директора по

учебно-методической работе

И.В. Каширина





К-45

Математика: методические указания к выполнению практических работ по дисциплине ЕН.0.1 «Математика» для обучающихся по специальности 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» / сост. Нелли Анатольевна Кихтенко. - Невинномысск: ГБПОУ НХТК, – 2020.- 89 с.



Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.0.1 «Математика» предназначаются для обучающихся по специальности 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)». Пособие содержит тематический план практических работ, разноуровневые варианты практических заданий, указания к их выполнению, краткий теоретический материал, необходимый для выполнения практических работ, примеры расчётов типовых заданий, рекомендуемые учебные пособия и другие источники



Методические рекомендации составлены на основании Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования









© Кихтенко Н.А., 2020


© ГБПОУ НХТК, 2020



Содержание


Пояснительная записка............................................................................................... 4

I. Тематический план практических работ .................................................................5

II. Распределение практических работ по учебным темам

дисциплины ЕН.01 «Математика»..........................................................................5

III. Методические указания к выполнению практической работы

по индивидуальным заданиям .................................................................................6

IV. Список рекомендуемой литературы, Интернет-ресурсов...................................8

Приложения...................................................................................................................9

Приложение 1.Образец оформления пояснительной записки к

практической работе..................................................................9

Приложение 2. Повторение теоретических основ............................................10

Приложение 3.Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практических работ ....................................................15

Приложение 4. Комплект вариантов для практических работ........................75


















Пояснительная записка


Дисциплина ЕН.01 «Математика» играет ведущую роль в системе профессионального образования студентов специальности 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)».

Задачи курса математики в подготовке специалистов по профессиональному обучению состоят в том, чтобы дать представление о структуре современной математики, о современных методах высшей математики, об универсальности методов и языка математики, о способах решения прикладных задач математики и профессиональных. Важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки обучающихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математическими знаниями и навыками.

Федеральный государственный образовательный стандарт третьего поколения среднего профессионального образования подразумевает компетентностный подход в обучении. Основной задачей преподавателя является формирование у обучающихся профессиональных компетенций, методов и способов самостоятельного поиска и получения новых знаний, умения применять теоретические знания при решении практических задач. При изучении дисциплины ЕН.01 «Математика» наибольшие трудности у студентов возникают при решении практических задач. Вместе с тем, именно решение задач в значительной степени способствует развитию инженерного мышления у студентов. В связи с этим практическая работа студентов играет решающую роль при изучении курса дисциплины ЕН.01 «Математика».

Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине ЕН.01 «Математика предназначаются для обучающихся по специальности 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)». Практические занятия обучающегося составляют 38 часов согласно учебному плану.

Целью данного пособия является помощь студенту в выполнении практических работ по дисциплине. В методических указаниях перечислены темы практических работ обучающегося по всему изучаемому курсу дисциплины ЕН.01 «Математика». Даны указания к выполнению этих практических работ.

В настоящей методической разработке дан краткий теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, и подробно рассмотрены решения типовых заданий, а также изложены требования к выполнению и оформлению индивидуальных практических работ, предусмотренных программой курса.

В методическом пособии даны варианты заданий практических работ, приведён список рекомендуемой литературы и Интернет-ресурсов.

Методические указания к практическим работам обеспечивают формирование базовых умений для выполнения исследований в процессе научного познания и теоретического обоснования профессиональных задач.









I. Тематический план практических работ

  1. Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности.

  2. Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме записи.

  3. Дифференцирование функций. (Логарифмическая производная. Дифференцирование функции, заданной неявно и заданной параметрически).

  4. Применение методов дифференциального исчисления в задачах прикладного характера. (Построение графика функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке).

  5. Нахождение неопределенных интегралов.

  6. Решение задач прикладного характера с помощью определённого интеграла.

  7. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

  8. Решение дифференциальных уравнений второго порядка.

  9. Решение типовых комбинаторных задач. Вычисление вероятностей событий.


II. Распределение практических работ

по учебным темам дисциплины ЕН.01 «Математика»


Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа и синтеза

Практическая работа №1. «Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»

Раздел 2. Комплексные числа

Практическая работа № 2. «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме записи»

Раздел 3. Основы математического анализа.

Дифференциальное исчисление

Практическая работа №3. «Дифференцирование функций. (Логарифмическая производная. Дифференцирование функции, заданной неявно и заданной параметрически)»

Практическая работа № 4. «Применение методов дифференциального исчисления в задачах прикладного характера. (Построение графика функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке)»

Раздел 4. Интегральное исчисление

Практическая работа № 5. «Нахождение неопределенных интегралов»

Практическая работа № 6. «Решение задач прикладного характера с помощью определённого интеграла»

Раздел 5. Дифференциальные уравнения

Практическая работа № 7. «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»

Практическая работа № 8. «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

Раздел 7. Элементы дискретной математики

Раздел 8. Элементы теории вероятностей

и математической статистики

Практическая работа № 9. «Решение типовых комбинаторных задач. Вычисление вероятностей событий»


III. Методические указания к выполнению практической работы по индивидуальным заданиям


  • Внимательно изучите теоретический материал учебника по теме задания. Для улучшения его усвоения необходимо вести конспектирование и после изучения темы ответить на контрольные вопросы "Повторение теоретических основ" (Приложение 2).

  • Ознакомьтесь с общими требованиями к оформлению пояснительной записки:
    1. Пояснительная записка - документ, содержащий описание применённого метода исследования, обоснование выполненных расчётов и решений, схемы, таблицы, поясняющие расчеты и принятые решения.
    2. Пояснительная записка практической работы должна содержать:
     
    - Титульный лист (Приложение 1);
    - Задание на практическую работу
    (Приложение 4);
    - Введение;
    - Содержание;

- Вывод.

  • Оформите титульный лист практической работы с указанием названия дисциплины, темы работы, номера варианта, названия специальности и учебной группы, фамилии, имени и отчества студента, фамилии, имени и отчества проверившего работу преподавателя, учебного года.

  • Проработайте приведённый в методических указаниях пример типового расчёта по теме практической работы (Приложение 3).

  • Составьте расчетно-пояснительную записку. Расчетно-пояснительная записка должна быть достаточно краткой, без лишних подробных пояснений и теоретических выводов, имеющихся в учебниках и других учебных пособиях, но не чересчур краткой, содержащей одни только формулы и вычисления. В расчетно-пояснительной записке от начала до конца должна четко прослеживаться логическая связь выполняемых операций, а также должны быть отмечены основания для выполнения этих операций.

  • Приведенные в настоящей методической разработке примеры решения отдельных задач могут послужить основой для составления записок. Формулы, приводимые в записке, должны быть, как правило, записаны сначала в общем виде, а затем уже должна быть произведена подстановка исходных данных и выполнены необходимые вычисления. При подстановке исходных данных нужно внимательно следить за соблюдением одинаковой размерности. После получения значения искомой (промежуточной или окончательной) величины обязательно проставляется её размерность.

  • Если у автора практической работы неразборчивый почерк, то записку он должен выполнять чертежным шрифтом. Или текст записки должен быть набран в текстовом редакторе Microsoft Word. Шрифт пояснительной записки - Times New Roman, размер шрифта 14 с полуторным межстрочным интервалом. Выравнивание - по ширине. Ориентация страницы -книжная.

  • Правила оформления формул:

1. Нумеруют только те формулы, на которые имеются ссылки по тексту. Номер формулы заключается в круглые скобки с выравниванием по правому краю.
2. Расчетные формулы записывают сначала в символьном виде, затем в них подставляют цифровые значения физических величин и, наконец, приводят окончательный ответ с обязательным указанием размерности, например,
V=25 м/с.

  • В возвращенной практической работе студент должен исправить все отмеченные ошибки и выполнить все данные ему указания. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

Критерии оценивания практической работы по

индивидуальным заданиям


Оценка, выставляемая за практическую работу, учитывает правильность и качество оформления пояснительной записки, полноту и обоснованность решения заданий и выполненных построений.

Контроль за выполнением требований к уровню подготовки обучающихся состоит из двух этапов: обязательном и повышенном. Оценка «3» ставится за выполнение заданий обязательного уровня. Оценка «4» или «5» - за более высокий уровень обученности. Таким образом, если выполнено 50-70% работы – «3»; 75-90% работы – «4»; 90-100% - «5».

Отметка «5» ставится, если:

1) работа выполнена полностью; 2) в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; 3) в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

1) работа выполнена полностью, но обоснования решения шагов недостаточны;

2) допущена одна ошибка или два-три недочета в решении, рисунках, чертежах или графиках.

Отметка «3» ставится, если выполнено не менее 50% работы и обучающийся владеет обязательными умениями по данной теме.

Отметка «2» ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

IV. ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ ДЛЯ СТУДЕНТОВ


Основные источники:

  1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М. : Академия, 2018.

  2. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО. - Саратов: Профобразование, 2017.


Дополнительные источники:

  1. Башмаков М. И. Математика: учебник.- М.: Академия, 2015.

  1. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

  2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

  3. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015.

  4. Кихтенко Н.А. Математика: Краткий курс лекций и примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа»: методическое пособие. - Невинномысск: ГБПОУ НХТК, 2015. - 21 с.

  5. Кихтенко Н.А. Математика: Курс лекций по теме «Ряды» и методические указания с примерами типового расчёта практической работы: методическое пособие. - Невинномысск: ГБПОУ НХТК, 2018. - 40 с.

Интернет — ресурсы:


  1. Компания Softlint. Образовательный математический сайт. Материалы для студентов: задачи с решениями, справочник по математике, электронные консультации http://www.exponenta.ru

  2. Математика в открытом колледже http://www.matematiks.ru

  3. Математика и образование http://www.math.ru

  4. Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО) http://www.mccmath.ru

  5. Вся математика в одном месте http://www.allmath.ru

  6. Мир математических уравнений http://egwjrld.ipmnet.ru

  7. Геометрический портал http://www.neive.by.ru

  8. Графики функций http://graphfunk.narod.ru

  9. Задачник для подготовки к олимпиадам по математике http://tasks.ceemat.ru











Приложение 1

Образец оформления пояснительной записки к практической работе


ГБПОУ НХТК







Практическая работа №1

по дисциплине ЕН.01 «Математика»

специальности

15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств

(по отраслям)

ТЕМА: «Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»


ВАРИАНТ №






Выполнил студент группы А-18-1

Иванов Александр Сергеевич;

Проверил преподаватель

Кихтенко Нелли Анатольевна









Невинномысск

2019-2020 учебный год


Приложение 2


Практическая работа №1

ТЕМА: Вычисление предела функции в точке и на бесконечности

Цель работы: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: применять теоремы о пределах функции в точке и на бесконечности, правила раскрытия неопределенностей типа применять замечательные пределы.

Наглядные пособия, оборудование: плакат с теоремами о пределах функции в точке, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Предел функции в точке (определение).

  2. Бесконечно малая функция в точке (на бесконечности).

  3. Бесконечно большая функция в точке (на бесконечности).

  4. Теорема о связи между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке.

  5. Теоремы о пределах функции в точке (о сумме; произведении; частном двух функции; о постоянном множители).

  6. Правило раскрытия неопределенностей типа .

  7. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

  8. Замечательные пределы.

  9. Эквивалентность бесконечно малых величин.

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 4: варианты заданий практической работы

Практическая работа № 2

ТЕМА: Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме записи

Цель работы: закрепить навыки выполнения действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме записи, умение переводить комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: выполнять действия над комплексными числами в разных формах записи, переводить число из алгебраической формы записи в тригонометрическую и в показательную форму, и обратно.

Наглядные пособия, оборудование: плакат «Формы записи комплексного числа»; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

  2. Модуль и аргумент комплексного числа.

  3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

  4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

  5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

  6. Показательная форма записи комплексного числа.

  7. Действия над комплексными числами в показательной форме.

  8. Алгоритм перевода комплексного числа из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную.

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по дидактическим карточкам-заданиям.

Приложение 4: варианты заданий практической работы


Практическая работа № 3

ТЕМА: Дифференцирование функций. (Логарифмическая производная. Дифференцирование функции, заданной неявно и

заданной параметрически)

Цель работы: отработка техники дифференцирования функций; закрепление навыков дифференцирования функции, заданной неявно, заданной параметрическим и логарифмического дифференцирования.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: дифференцировать различного вида функции, в том числе, сложные функции; дифференцировать функции, заданные неявно и заданные параметрически; применять метод логарифмического дифференцирования.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами дифференцирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Определение производной функции.

  2. Формы дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций: (;.

  3. Таблица производных сложной функции.

  4. Сложная функция и правило ее дифференцирования.

  5. Правило дифференцирования функции, заданной неявно.

  6. Формулы дифференцирования функции, заданной параметрически.

  7. Логарифмическая производная.

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам с заданиями.

Приложение 4: варианты заданий практической работы ( 4 варианта).


Практическая работа № 4

Тема: Применение методов дифференциального исчисления в задачах прикладного характера. (Построение графика функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке)

Цель работы: закрепить навыки применение основных теорем дифференциального исчисления при построении графиков функций, исследовании функции на экстремум и нахождении наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: исследовать функцию по первой и второй производной и строить графики функции по результатам исследования; исследовать функцию на экстремум; находить наибольшие и наименьшее значения функции на промежутке.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами дифференцирования, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Теорема о признаке возрастания, убывание функции на промежутке.

  2. Правило исследования функции на монотонность.

  3. Точки экстремума функции: точки максимума и точки минимума.

  4. Необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.

  5. Правило исследования функции на экстремум по первой и по второй производной.

  6. Выпуклость и вогнутость кривой на промежутке.

  7. Теорема о признаке выпуклости и вогнутости кривой на промежутке.

  8. Точка перегиба графика функции.

  9. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

  10. Правило исследования функции на выпуклость вогнутость кривой и нахождения точек перегиба графика функции.

  11. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

  12. Схема исследования функции для построения графика функции.

  13. Физический и геометрический смысл производной.

  14. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке [a;b].

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 4: варианты заданий практической работы

Практическая работа № 5

Тема: Нахождение неопределенных интегралов

Цель работы: закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: находить неопределенный интеграл непосредственным интегрированием; методом подстановки и методом интегрирования по частям.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами неопределенных интегралов, дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Определение неопределенного интеграла.

  2. Свойства неопределенного интеграла.

  3. Таблица основных формул интегрирования.

  4. Непосредственное интегрирование. Приемы непосредственного интегрирования.

  5. Метод подстановки при нахождении неопределенных интегралов.

  6. Формула интегрирования по частям.

7. Примечание к методу интегрирования по частям: два типа неопределенных интегралов, выбор «u» и «dv».

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 4: варианты заданий практической работы


Практическая работа № 6

ТЕМА: Решение задач прикладного характера с помощью

определённого интеграла

Цель работы: закрепить навыки вычисления определенных интегралов, закрепить навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона- Лейбница; решать задачи на вычисление работы переменной силы; пути, пройденного телом при неравномерном движении; находить площади фигур с помощью определенного интеграла.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами интегрирования, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Определение определенного интеграла.

  2. Формула Ньютона-Лейбница.

  3. Свойства определенного интеграла

  4. Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .

  5. Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении за промежуток времени от до , если задан закон движения тела .

  6. Что называется криволинейной трапецией?

  7. Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции.

  8. Вычисление площади фигур, заданных графиками функций у=f(х) и у=.

Практика: студенты выполняют расчеты по выдаваемым дидактическим карточкам с заданиями.

Приложение 4: варианты заданий практической работы

Практическая работа № 7

ТЕМА: Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: находить общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами дифференцирования и интегрирования, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

  1. Что называется дифференциальным уравнениям?

  2. Как определяется порядок дифференциального уравнения?

  3. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

  4. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

  5. Задача Коши; начальные условия задачи Коши.

  6. Геометрический смысл решения задачи Коши.

  7. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

  8. Как разделяют переменные в дифференциальном уравнении?

  9. Как найти частное решение дифференциального уравнения?

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам с заданиями.

Приложение 4 варианты заданий практической работы

Практическая работа № 8

ТЕМА: Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: решать простейшие дифференциальные уравнения второго порядка; линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами дифференцирования и интегрирования, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями.


Повторение теоретических основ:

  1. Дифференциальные уравнения второго порядка.

  2. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка вида и метод их решения.

  3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида и их решение.

  4. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

  5. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

  6. Начальные условия в дифференциальных уравнениях второго порядка.

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам с заданиями.

Приложение 4: варианты заданий практической работы


Практическая работа № 9

ТЕМА: Решение типовых комбинаторных задач.

Вычисление вероятностей событий

Цель работы: закрепить навыки применения основных формул комбинаторики и умение вычислять вероятность событий.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: находить перестановки, размещения и сочетания элементов, решать простейшие комбинаторные задачи, вычислять вероятность событий.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами комбинаторики, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями.

Повторение теоретических основ:

1. Понятие факториала.

2. Перестановки.

3. Размещения.

4. Сочетания.

5. Предмет теории вероятностей.

6. Основные понятия и определения теории вероятностей: испытания, случайное событие, искомое событие, равновозможные события, несовместные и совместные события, достоверное и невозможное событие, полная система событий, противоположные события.

7. Относительная частота события.

8. Классическое определение вероятности события.

9. Теорема сложения вероятностей.

10. Условная вероятность.

11. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.

12.Формула полной вероятности.
13. Последовательные испытания. Формула Бернулли.

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам с заданиями.

Приложение 4: варианты заданий практической работы













Приложение 3

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практических работ

Практическая работа №1

Тема: «Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»

Теория

Теоремы о пределах функции в точке и на бесконечности:

  1. О пределе суммы функций:
    ;

  2. О пределе разности функций:


  3. О пределе произведения функции:
    ;

  4. О пределе деления частного двух функций:
    ;

  5. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
    .



О бесконечно малых и бесконечно больших функциях в точке

Определение: Функция у=f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х = а, если ее предел в этой точке равен нулю:

График бесконечно малой функции в точке х = а





У=f(х)








Определение: Функция у = f(х) называется бесконечно большой функцией в точке х=а, если ее предел в этой точке равен ∞:

График бесконечно большой функции в точке х = а:

у
















Примечание: Нельзя функцию заранее объявить ни бесконечно малой, ни бесконечно большой функцией, если не указано при каком значении аргумента х рассматривается эта функция.

Теорема о связи между бесконечно малой и бесконечно большой функцией в точке

Если функция f(х) является в точке х = а бесконечно малой функцией, то обратная к ней функция в этой точке будет бесконечно большой, и наоборот, если f(x) - бесконечно большая функция, то обратная к ней - бесконечно малой функцией.


Раскрытие неопределённостей

Правило №1. Чтобы раскрыть неопределённость вида , нужно и числитель, и знаменатель дроби разложить на простейшие множители и сократить дробь, тогда неопределённость исчезнет и можно применять теоремы о пределах.

Правило №2. Чтобы избавиться от неопределённости вида , нужно одновременно и числитель, и знаменатель дроби разделить на в наивысшей степени, тогда неопределённость исчезнет и можно применять теоремы о пределах.

Правило №3. Раскрытие неопределенности вида , в случае, когда есть иррациональности: В случае неопределенности , но если есть корни (иррациональности), нужно одновременно и числитель, и знаменатель дроби домножить на скобку, которой не достает до формулы разность квадратов

(а-в)(а+в)=а2 - в2. Затем свернуть полученную разность квадратов , после этого дробь удастся сократить и неопределенность уйдет.

Примечание: При вычислении пределов функции часто приходится применять тригонометрические тождества:

;

;

а так же формулы двойного угла: ;

; .

Типовые расчёты:

Пример 1. Вычислить предел функции:




Пример 2. Вычислить предел функции:



.


Рассмотрим случаи применения замечательных пределов:


Первый замечательный предел:


Второй замечательный предел:


Пример 3. .

Пример 4.


Пример 5. Вычислить предел функции с помощью второго замечательного предела: .

Пример 6. Вычислить предел функции

Задание №1

=

Задание №2


Схема графика этой функции на бесконечности:





У=



х


Это конечный предел функции на бесконечности


Задание №3

Применим правило № 3:


Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 2

Тема: «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме записи»


Теория

Существуют три формы записи комплексного числа:

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами (с последующей заменой ).

Чтобы выполнить деление комплексных чисел, можно числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на число, сопряжённое знаменателю дроби.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Обозначается модуль комплексного числа или r.

Применив теорему Пифагора, определим, что .

Опр.

Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс.

Угол считается положительным, если поворот от оси к совершается против часовой стрелки, и отрицательным, если поворот от оси к совершается по часовой стрелке.

Обозначается аргумент комплексного числа: .

.

Примечание: в отличие от модуля, аргумент комплексного числа определяется не однозначно. Каждое комплексное число имеет бесконечно много аргументов, отличающихся на слагаемое, кратное .

На практике удобнее решать не саму эту систему уравнений, а уравнение, которое следует из неё: .

Действительно, .

Это уравнение не равносильно системе уравнений. Но если корни уравнения найдены, то выбрать из них те, которые удовлетворяют системе, несложно. Для этого нужно определить, в каком квадранте координатной плоскости находится угол , т.е. вектор .

Из соотношений и следует:

.

Если в алгебраическую форму записи комплексного числа подставить вместо a и b эти выражения, то получим:

Переход от алгебраической к тригонометрической форме записи комплексного числа


  1. Найти модуль комплексного числа: .

  2. Для нахождения аргумента  комплексного числа определяют геометрически, в какой четверти находится вектор . Составляют уравнение .

Тогда в зависимости от четверти, в которой находится вектор , угол  принимает значения:


  1. Записывают комплексное число z в тригонометрической форме

.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

  1. При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:


  1. При делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются:


  1. Для возведения комплексного числа в степень n используют формулу Муавра:

.

При возведении в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, модуль числа нужно возвести в степень n, а аргумент умножить на число n:

.

  1. Корнем n-й степени из комплексного числа z (где n – натуральное число) называется такое комплексное число , для которого справедливо равенство n = z. Итак, .

Корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n значений, которые находятся по формуле:


где k может принимать n значений: 0; 1; 2; …; n – 1.


Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера: , где– иррациональное число;

- число Непера.

Любое комплексное число можно представить в виде . Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Действия над комплексными числами в показательной форме записи

Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производятся по правилам действия со степенями:

  1. , где .


Типовой расчёт практической работы

Задание 1. Выполнить действия в алгебраической форме записи:

а) б) в) .

Решение:

а) б)

в) .

Ответ: а) б) в) .


Задание 2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия: а) ; б) ; в) , если

Решение:

Значит, .

.



(т.к. IV четверть); .

Значит, .

а)


б)


в)


Ответ: а) б) ; в) .

Задание 3. Записать комплексные числа в показательной форме и выполнить действия: а) ; б) ; в) ; если ; .

Решение:

Запишем числа в показательной форме:

;

Модуль комплексного числа: ;

;

Аргумент комплексного числа: ;

III четверть: ; .

Значит, в показательной форме число .


Переведём в показательную форму число

Модуль комплексного числа: ;

Аргумент комплексного числа: ;

III четверть: .

Значит, .

Выполним действия над комплексными числами в показательной форме:

а) ;

,

т.к. ;

б) ;

;

в) , , т.к. .

Ответ:

а) ; б) ; в) .

Задание 4. Выполнить действия в показательной форме и ответ записать в алгебраической форме: .

Решение:

, где ;

Переведём эти числа из алгебраической формы в показательную:

1) , действительная часть , мнимая часть ;

- модуль комплексного числа;

; т.к. I четверть, то -аргумент;

Значит, в показательной форме число имеет вид .

2) , действительная часть , мнимая часть


,; т.к. II четверть, то ;

Значит, в показательной форме число имеет вид .

3), действительная часть , мнимая часть


;

; т.к. III четверть, то ;

Значит, в показательной форме число имеет вид .

Тогда


, т.к. .

Чтобы перевести число z в алгебраическую форму, запишем его сначала в тригонометрической форме:

.

Вычислим ; .

Подставим эти значения в тригонометрическую форму комплексного числа, выполним умножение, тогда получим алгебраическую форму записи комплексного числа:

.

Ответ: .

Примечания

Примечание 1. При выполнении практической работы необходимо помнить:

;.

Примечание 2. Для чисто мнимых и чисто действительных комплексных чисел аргумент определяется уже при построении вектора .

Например,

1)




2) , ;







3) , ; 4) , ;









Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 3

Тема: «Дифференцирование функций. (Логарифмическая производная. Дифференцирование функции, заданной неявно и

заданной параметрически)»


Теория

Формулы дифференцирования:

1) производная постоянной:

2) производная аргумента:

3) производная суммы функций:

4) производная произведения двух функций:

5) производная частного двух функций:

Определение: Сложной функцией называется функция, аргументом которой является другая функция.

Сложная функция это функция от функции.

Правило дифференцирования сложной функции: разбить функцию на простые функции, найти производные от всех простых функций и эти производные перемножить.

Пример 1. Найти производную функции

Решение:

.

Пример 2. Найти производную функции

Решение:



Пример 3. Найти производную функции .

Решение:




Пример 4. Продифференцировать сложную функцию:



















Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение F(x; y)=0 определяет y как неявную функцию от x. Будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по x обе части уравнения F(x; y)=0, получим уравнение первой степени относительно производной y'. Из этого уравнения легко находится y' , то есть производная неявной функции.


Примеры типового расчёта

Задание 1. Найти производную функции y, заданной неявно уравнением: и вычислить ее значение в точке (2;1).

Решение:

Функция y(x) задана неявно. Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что у есть функция от х, получим:


здесь )'=, тогда


, отсюда .

Умножив и числитель, и знаменатель дроби на у, получим:

Значение производной при х=2, у=1 равно:


Ответ:

Задание 2. Найти производную функции y, заданной неявно уравнением:


Решение:

При дифференцировании неявно заданной функции учитываем, что "у" есть функция от "х", получим





Ответ:

Логарифмическое дифференцирование

Правило дифференцирования сложной функции позволяет в некоторых случаях значительно упростить задачу нахождения её производной.

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a; b] и f(x) > 0 [a; b]. Тогда прологарифмируем обе части уравнения y = f(x): . Рассматривая как сложную функцию аргумента x , можно вычислить производную аргумента этой функции в фиксированной точке x, принимая y= за промежуточный аргумент. Применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:

тогда получим уравнение

отсюда находим производную, или


Производную от логарифма функции называют логарифмической производной.

Логарифмическое дифференцирование удобно применять, если требуется найти производную большого числа сомножителей. Действительно, пусть

, где каждая из функций дифференцируема и . Логарифмируя функцию , имеем:


Отсюда , или


Умножая левую и правую части последнего равенства на y, имеем


Производная степенно-показательной функции

Пусть y=(u(x))v(x), где u(x) > 0, т.е. основание степени u(x) и её показатель v(x) являются функциями переменной х.

Функции u(x) и v(x) предполагаем дифференцируемыми для рассматриваемых значений х. Логарифмируя степенно-показательную функцию, имеем


Дифференцируем последнее равенство с учётом того, что левая и правая его части являются сложными функциями аргумента х. Получаем



подставляя вместо "y" её значение получим:



Таким образом, производная степенно-показательной функции равна сумме производных это функции, если её рассматривать сначала как показательную, и затем как степенную.

Примеры типового расчёта


Задание 1. Найти y', если y = (sin x)x

Решение:

Применим логарифмическое дифференцирование. Найдем ln y = xln sin x, тогда, дифференцируя обе части равенства, получим

y'/y = ln sin x +(xcos x)/sin x.

Отсюда находим y' = (sin x)x(ln sin x +(xcos x)/sin x).

Ответ: y' = (sin x)x(ln sin x +)

Задание 2. Найти производную y'(x) функции

Решение:

Прологарифмируем обе части : ,

применим свойства логарифмов: ,

продифференцируем обе части:

отсюда выразим производную:

=

Ответ: =

Задание 3. Продифференцировать функцию

Решение:

Найдём логарифмическую производную функции:







, или, подставляя найдём



Задание 4. Найти производную функции

Решение:

Найдём



Продифференцировав обе части равенства, имеем




можно выполнить преобразования:





Ответ:


Дифференцирование функции заданной параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями:

, где t T.

Предположим, что функции

и

Тогда или

Вторая производная функции заданной параметрически находится по формуле:

или

Пример типового расчёта

Задание. Найти первую и вторую производные функции у(х), заданной параметрическими уравнениями

Решение:

Найдём:

.

Тогда первая производная находится по формуле: , тогда


Найдём теперь вторую производную:

, тогда отсюда


Ответ: , =

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 4

Тема: «Применение методов дифференциального исчисления в задачах прикладного характера. (Построение графика функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке)»


Теория

Если в критической точке (в которой производная или не существует) вторая производная функции положительна, то в этой критической точке будет точка минимума (Рис.1), а если в критической точке вторая производная отрицательна, то в этой точке будет точка максимума (Рис.2).


Рис.1 Рис.2


Правило исследования функции на экстремум по второй производной:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, решив уравнение

3. Найти производную .

4. Вычислить в найденных критических точках значение производной.

5. По знаку производной сделать вывод о том, является ли критическая точка точкой максимума или точкой минимума.

6. Вычислить в найденной точке экстремума сам экстремум функции.

Примечание: Если в критической точке вторая производная оказалась равна 0, то это неопределённый случай, и тогда исследовать на экстремум придётся по первой производной.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум по второй производной.

Решение:

1. Найдём первую производную: ;

2. Найдём критические точки функции: , тогда получим уравнение

,

,

,

, - критические точки функции;

3. Найдём вторую производную: ;

4. Определим знак второй производной в найденных критических точках:

, значит, точка - точка max ,

, значит, точка - точка min;

5. Вычислим значение экстремума функции в точках экстремума:

;



Ответ: при ; при .

Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой , в точке с абсциссой .

Решение:

Уравнение касательной:

тогда

или

или

Ответ:


При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи по нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (глобального максимума и глобального минимума).

Схема исследования:

  1. Найти производную ;

  2. Найти критические точки функции (в которых = 0 или не существует);

  3. Найти значение функции в критических точках и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Примеры типового расчёта

Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;5].

Решение:

  1. ;

  2. , т. е. критические точки , .

  3. Значение функции в критических точках ; и на концах отрезка и

Ответ: ,


Задание 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график:

Решение:

1. Область определения функции ;

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:


Критические точки функции:

,

,




Определим знак производной в каждом интервале монотонности:




, точка max, так как производная изменила знак с "+" на "−",

, точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции в этих точках:



3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:


Критические точки: , , ,


Определим знак II производной в интервале кривизны:

, значит, кривая выпуклая на промежутке,

, значит, кривая вогнутая на промежутке;


Вычислим ординату точки перегиба:


4. Найдём дополнительные точки графика:



По результатам исследования строим график функции:


Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: .

Решение:

1. Область определения функции ,

точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:



Значит, точка разрыва рода,

прямая вертикальная асимптота графика функции.

Найдём наклонную асимптоту графика:

где угловой коэффициент прямой найдём по формуле





Так как существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:


Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение .


2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:

, учтем правило дифференцирования





Критические точки функции:

, , , , х=2,

не существует при х=0.

Определим знак производной в интервалах монотонности:



,


точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции:



3. Исследуем функцию на перегиб. Найдём вторую производную:



Критические точки функции, в которых или не существует:

критическая точка.


Определим знак второй производной в каждом интервале кривизны:

, значит, кривая вогнутая;

, значит, кривая вогнутая.

Точек перегиба график функции не имеет.

Найдём дополнительные точки графика:

у=0, тогда -это точка пересечения графика функции с осью Ох;

при х=1: у=точка (1;5); при х=4: у= точка (4;4,25).

По результатам исследования строим график функции:

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 5

Тема: «Нахождение неопределенных интегралов»

Теория

Определение. Первообразной функцией для функции называется такая функция, производная от которой равна : F'(x) = f(x).

Определение. Неопределённый интеграл это совокупность всех первообразных функций для дифференциала :

+c

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: dhello_html_5f5f928c.png f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции, сложенной с произвольной постоянной: hello_html_5f5f928c.pngdF(x) = F(x)+C.

3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

hello_html_5f5f928c.png(x)+ (x))dx = hello_html_5f5f928c.png(x)dx+hello_html_5f5f928c.png (x)dx.

4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла (как множитель): hello_html_5f5f928c.pngkf(x)dx = khello_html_5f5f928c.png f(x)dx, где k-постоянный множитель.


Таблица основных формул интегрирования

  1. ; 2. n 9.

3. , 4. , 10.

5. , 6. ,

7. , 8. ,

Метод непосредственного интегрирования

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.


Задание. Найти неопределённый интеграл:



Метод подстановки в неопределенном интеграле

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

hello_html_me27908c.png

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

  7. Результат полезно проверять дифференцированием.


Задание: Найти неопределённые интегралы

  1. .

Проверка:

, что совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

2.



  1. Предварительно преобразуем подынтегральную функцию в сложную степенную функцию, а затем применим метод подстановки в неопределённом интеграле:

;

5.

6.

Наибольшую трудность при практическом применении метода подстановки вызывает правильность определения, к какому табличному интегралу удастся привести заданный интеграл.

Рассмотрим типовые варианты. В Таблице 1 приведены варианты правильных подстановок в различных типах неопределенных интегралов и те интегралы, к которым удаётся прийти в результате подстановки.

Таблица 1

п/п

Интеграл

Табличный интеграл, к которому будет приведен данный интеграл

Замена переменной

1.



t = 7x-8

2.



t = 2x2-7x+5

3.



t = 8x-4

4.



t = 5-x

5.



t = 4x4+7

6



t = x2-5

7.



t = 2x

8.



t = 2x7-1

Интегрирование по частям


В некоторых случаях метод подстановки не позволяет интеграл свести к табличному, и тогда применяют формулу интегрирования по частям:


- это дифференцируемые функции относительно х.


Суть применения формулы интегрирования по частям состоит в том, что от первого интеграла ( неберущегося никаким методом) удаётся прийти к другому интегралу, который можно взять либо непосредственным интегрированием, либо методом подстановки.


Примечание: можно условно выделить два типа интегралов, в которых за u и dv применяют следующие выражения:


I тип. Это интегралы вида

В этих интегралах за u принимаем многочлен u = P(x), а всё остальное принимаем за dv.


II тип. Это интегралы вида


Здесь за u нужно принимать или ln x, или arctg x, или arcsin x, а всё остальное -за dv. То есть


Пример 1. Найти неопределённый интеграл



Ответ:


Это интеграл :


Ответ:


Решение:

Интеграл I типа, поэтому принимаем линейный многочлен за "u", всё остальное за dv:

=






Ответ:


Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 6

Тема: «Решение задач прикладного характера с помощью

определённого интеграла»

Теория

Вычисление определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница:


Правило вычисления определенного интеграла: сначала найти соответствующий неопределённый интеграл, затем в полученное его выражение подставить вместо "х" сначала верхний , а затем нижний пределы определённого интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй:

Пример 1. Вычислить определенный интеграл:





Пример 2. Вычислить определенный интеграл:






Пример 3. Вычислить определённый интеграл:




Метод подстановки в определенном интеграле

Применение метода подстановки в определённом интеграле аналогично применению этого метода в неопределённом интеграле. Но нужно пересчитать новые пределы интегрирования , зато не нужно возвращаться к исходной переменной x (в отличие от неопределенного интеграла).

Примеры типового расчета

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение:


= переходим

к новой

переменной t





Пример 2. Вычислить определённый интеграл


Решение:



=







Геометрический смысл определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура ограниченная сверху графиком функции , по бокам вертикальными прямыми , снизу осью абсцисс .


Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что с его помощью можно находить площадь криволинейной трапеции по формуле


Чтобы найти площадь криволинейной трапеции нужно проинтегрировать ту функцию под графиком которой лежит искомая площадь в пределах от

Задача 1. Найти площадь фигуры ограниченной кривыми

Решение:

Графиком квадратичной функции является является парабола ветви которой направлены вниз, т.к.

Найдем вершину параболы:



Тогда ордината вершины параболы:


. (1,5; 6,75)

Найдем точки пересечения параболы с осью Оx: для этого уравнение параболы приравняем к О:

X=0 x=3. Строим криволинейную трапецию:


Находим её площадь по формуле:





Задача 2. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Решение:

Графиком квадратичной функции является является парабола ветви которой направлены вверх, т.к.

Найдем вершину параболы:



Тогда ордината вершины:


Найдем точки пересечения параболы с осью Оx:





Строим график квадратичной функции:







Задача 3. Вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке

hello_html_70acf481.jpg

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 7

Тема: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»

Теория

Определение: Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащее производную y(х) или дифференциал dy искомой функции у.

-дифференциал функции.

Решить дифференциальное уравнение - это значит, найти такую неизвестную функцию у, при подстановке которой в это дифференциальное уравнение, оно обращается в тождество.

Определение: Дифференциальными уравнениями первого порядка называются дифференциальные уравнения, содержащие производную либо дифференциалы не выше первого порядка.


- дифференциальное уравнение 1-го порядка,

- дифференциальное уравнение 1-го порядка,

- дифференциальное уравнение 2го порядка.

Задача, приводящая к дифференциальному уравнению:

Составить уравнение кривой у = у(х), если известно, что кривая проходит через точку А(1;3) и угловой коэффициент k касательный к этой кривой, задается уравнением k = 2x.

Решение:

По геометрическому смыслу производной, она равна угловому коэффициенту касательной k: , тогда имеем уравнение

тогда

получили дифференциальное уравнение 1-го порядка, решим его. Проинтегрируем обе части уравнения

получили

общее решение дифференциального уравнения.

Это уравнение задаёт семейство парабол, которые получаются друг из друга с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу.

Чтобы найти произвольную постоянную интегрирования "с", учтём, что кривая должна пройти через точку А(1,3).

Подставим эти значения x=1 и y=3 в общее решение дифференциального уравнения:

отсюда находим , тогда

частное решение дифференциального уравнения.

Ответ:


Определение: Общим решением дифференциального называется множество его решений вида , где с – произвольная постоянная интегрирования.

Определение: Частным решением дифференциального уравнения называется то его решение, которое получается из общего решения при конкретном числовом значении с.

Примечание: Начальные условия дифференциального уравнения у=у0 при х=х0

задаются для того, чтобы из общего решения найти его частное решение.


Задача: Является ли функция у = sin х -1 решением дифференциального уравнения

Решение:

Зная функцию у, найдем её производную y (x) = (sin x-1) ’=cosx.

Подставим y и y в заданное дифференциальное уравнение:

тогда

- тождество, значит, данная функция является решением этого дифференциального уравнения.

Ответ: является


Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение: Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называются дифференциальное уравнение вида


Алгоритм решения этих уравнений:

  1. Разделить переменные:

  2. Проинтегрировать обе части уравнения:

отсюда будет найдено общее решение дифференциального уравнения.

  1. Найти частное решение дифференциального уравнения. Для этого использовать заданные начальные условия дифференциального уравнения.

Пример 1: решить дифференциальное уравнение с разделяющими переменными:

Решение:

1.

,

2. Интегрируем обе части дифференциального уравнения

, отсюда находим

3. Найдем частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях у = 2 при х = 0, подставим их в общее решение:

, отсюда ,

.

Ответ:

Примечание:

  • dy – должен быль слева, а dx – справа от знака равно;

  • dy и dx не должны быть в знаменателе;

  • чтобы разделить переменные в дифференциальном уравнении, можно:

- переносить слагаемое в другую сторону уравнения с противоположным знаком;

- умножать или делить обе части уравнения на одно и то же выражение.


Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения


Решение:

1.

:

, тогда

2. Интегрируем обе части :

.

Возьмем интеграл методом подстановки:

.

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

, , отсюда

3. Найдем частное решение при начальных условиях y = 2, x = 0:

, , отсюда окончательно имеем

дифференциального уравнения.

Ответ: у = 2cos x.

Примечание: иногда при интегрировании дифференциального уравнения приходится применять метод подстановки.


Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 8

Тема: «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

Теория

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Простейшими дифференциальными уравнениями второго порядка называются дифференциальные уравнения вида:


Метод их решения – двукратное интегрирование

Пусть

тогда дифференциальное уравнение второго порядка перейдёт в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р(х):


dp = f(x) dx – переменные разделились.

Интегрируем обе части дифференциального уравнения:

,


снова получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

. Интегрируем обе части дифференциального уравнения:

, отсюда общее решение дифференциального уравнения

.

Примеры типового расчета

Задание 1. Найти частное решение простейшего дифференциального уравнения второго порядка: .

Решение:

Пусть


разделяющимися переменными.

Чтобы разделить переменные в дифференциальном уравнении, умножим обе части уравнения на dx:

dp= (1-2x)dx – переменные разделились, можно интегрировать.

отсюда находим функцию

Возвращаемся к исходной неизвестной функции у(х), получим

снова получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

-общее решение дифференциального уравнения II порядка.

Чтобы найти частное решение, учтём начальные условия:

Получим систему уравнений:

,

.

Подставим найденные с1 и с2 в общее решение дифференциального уравнения, получим:

Ответ:

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения:


Решение:

Пусть заданное уравнение примет вид:

Чтобы разделить переменные в этом дифференциальном уравнении первого порядка, умножим обе части уравнения на dx:

, переменные разделились. Интегрируем:

отсюда получим

Возвращаемся к исходной неизвестной функции y(х):

умножим обе части уравнения на dx :

, переменные разделились, интегрируем:

,

,

- общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, учтем начальные условия: .

Получим систему уравнений:

Подставив в общее решения дифференциального уравнения найденные значения с1 и с2 , получим:

- частное решение дифференциального уравнения.


Ответ:


Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами


Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

hello_html_42dafc5c.gif

где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое

характеристическое уравнение: hello_html_6338caf1.gif


Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

  1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0.

Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны.

В этом случае общее решение описывается функцией

hello_html_62faead1.gif

где C1 и C2 − произвольные действительные числа.

  1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0.

Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует

один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного

дифференциального уравнения имеет вид:

hello_html_53e20064.gif

  1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0.

Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi.

Общее решение записывается в виде

hello_html_m4190b6cc.gif


Рассмотренные три случая представлены в таблице:

hello_html_6c56ee43.jpg

Пример 1.

Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0.
Решение:

Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:

hello_html_40498d79.gif

Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5.

Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:

hello_html_1610843e.gifгде C1 и C2 − произвольные постоянные.

Ответ: y()= C1 C2

Пример 2.


Найти общее решение дифференциального уравнения y'' − 6y' + 9y = 0.

Решение:

Вычислим корни характеристического уравнения:

hello_html_m2c960270.gif

Характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k = 3.

Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой

hello_html_m45fd2171.gifгде , − произвольные действительные числа.

Ответ: y()=

Пример 3.


Решить дифференциальное уравнение y'' − 4y' + 5y = 0.

Решение:

Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и

определим его корни:

hello_html_355d81b7.gif

Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару

комплексно-сопряженных корней: = 2 + i, = 2 − i.

В этом случае общее решение выражается формулой

hello_html_m56d6fdd3.gifгде , − произвольные постоянные.

Ответ: y()

Пример 4.


Решить уравнение y'' + 25y = 0.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид: hello_html_m55cc7cff.gif

Корни этого уравнения являются чисто мнимыми:

hello_html_m33fbc5b1.gif

Тогда ответ записывается в следующем виде:

hello_html_m77af4580.gif, − постоянные интегрирования.


Ответ:


Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы № 9

Тема: «Решение типовых комбинаторных задач.

Вычисление вероятностей событий»

Теория

Элементы теории множеств

Множествосовокупность, набор каких – либо однородных объектов (предметов, чисел, и т.д.)

Понятие «множества» является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые приходится принимать без определения.

Элементы предметы, составляющие множество: a A

Пустое множество не содержит не содержит ни одного элемента:

Бесконечное множество, элементы которого невозможно пересчитать за конечное число шагов:

Конечноемножество, элементы которого содержат конечное число элементов.

M = .

Равные: A = B – множества – это множества, состоящие из одних и тех же элементов.

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то говорят, что А – подмножество В: А В


Пример: A = ; B =

Тогда A B


Операции над множествами: объединение, пересечение, разность

Объединением С двух множеств А и В называется множество, состоящие из двух элементов, принадлежащих множеств А или множеств В: C = A B.











Т.е. в объединение С входят все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А или В.

Пример: А = В =

Объединение множеств: АВ =



Пересечением С двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В одновременно: С = А В (т.е. оно образованно всеми общими элементами данных множеств).











С = А В






F = A B C С


Разностью С двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В:

С = А \ В

Таким образом, из множества А достаточно удалить общие элементы множеств А и В, т.е. все элементы А В, чтобы получить разность А \ В.



а) А \ В


б)


А \ В



с)



А \ В




д) А = ; В = . Найти разность множеств:

А \ В = , В \ А = .


Элементы теории вероятностей
Основные понятия комбинаторики. Понятие факториала. Перестановки. Размещения. Сочетания

§1. Понятие факториала

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1×2×3×…×(n-1)×n.

Пример № 1. Вычислить:
а) 3!=1×2×3=6
б)7!-5!=5!(6×7-1)=1×2×3×4×5×41=120×41=4920
в)
==, т.к 6!=5! ×6

Пример № 2. Упростить:
а)
==

б) = n×(n+1) = n2+n

в)

§2. Перестановки

Пусть даны три буквы А, В, С. Составим все возможные комбинации их этих букв: АВС; АСВ; ВАС; ВСА; САВ; СВА (всего 6 комбинаций). Мы видим, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом , где n- число элементов, входящие в каждую перестановку.

Число перестановки можно вычислить по формуле =n×(n-1) ×(n-2) ×…×3×2×1

или с помощью факториала =n!

Так, число перестановок их трех элементов: P3=3!=3×2×1=6, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера. Действительно, на первое место в комбинации (перестановке) можно поставить три буквы. На второе место уже можно поставить только две буквы из трёх (одна заняла первое место), а на третьем окажется только одна из оставшихся букв. Значит, 3×2×1=6=3!=Р3.

Пример № 1. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов, распределения мест между ними возможно?
Р
4=4!=4×3×2×1=24

Пример № 2. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
Р
5=5×4×3×2×1=120.

Пример № 3. Вычислить:

=17×3×19×5=4845

§3. Размещения

Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим: АВ; АС; AD; ВА; ВС; ВD, СА; СВ; СD, DA; DВ; DC

Мы видим, что полученные комбинации отличаются или буквами или их порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными).

Размещениями называются комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов.

Размещения обозначаются символом , где m- число всех имеющихся элементов; n- число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что nm.

Число размещений можно вычислить по формуле:

=m×(m-1) ×(m-2) ×…×(m-n+1) (n-множителей), т.е число всех возможных размещений из m-элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых больше есть m.

Так, =4×3=12, что совпадает с результатом приведенного примера: поскольку число строк соответствует числу всех имеющихся букв, т.е m=4, а число столбиков равно 3, всего имеется 12 разных комбинаций.

Пример № 1. Вычислить : а)=6×5×4=120

б)

Пример № 2. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5 при условии что ни одна из них не повторится?

Решение: Т.к двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое кол-во равно числу размещений из 5 элементов по 2 :

=5×4=20
Ответ: можно составить 20 различных двузначных чисел.

При нахождении числа размещений мы перемножаем n последовательно убывающих целых чисел, т.е до полного факториала не хватает (m-n) последовательно убывающих целых множителей. Поэтому:


Отсюда, учитывается, что числитель равен m!, а знаменатель равен (m-n)!, запишем эту формулу в факториальной форме:=

Пример № 1. Вычислить в факториальной форме

а))=4×5×6=120

б=8×9×10=720

в)==15

Пример № 2. Сколько существует вариантов распределения трёх призовых мест, если в розыгрыше участвует 7 команд?

Решение:=5×6×7=210

Практическая работа

I. Вычислить: а)=116; б)=4; в)=1

II. Упростить выражения: а) б)

III. Вычислить: а) б)

в)=6×5×4×3=360; г)=25×25=600

Задача № 1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2, …, 8,9?

Решение: =10×9×8×7 - 9×8×7=5040-504=4536

Здесь = 504 – это число комбинаций из 4-х цифр, в которых на первом месте стоит число 0, т.е это трёхзначные числа, а не четырёхзначные.
II способ: На первом месте в четырёхзначном числе может стоять одна из 9-и цифр (кроме нуля), остальные три цифры можно выбрать из оставшихся девяти цифр = 504 способами, значит N=9×504=4536

Задача № 2. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписании на день могут быть выписаны только три из них?

Решение: =8×7×6=336

Задача № 3. Сколько вариантов распределения трёх путёвок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение:=5×4×3=60.

§4. Сочетания

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n – натуральные числа, причем nm )

Например, их четырёх различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации по 2 элемента, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом:
АВ, АС,А
D, ВС, ВD, СD
Значит, число сочетаний из четырёх элементов по два равно
=4

В каждой комбинации сделаем перестановки элементов
АВ, АС,
АD, ВС, ВD, СD
ВА, СА,
DA, СВ, DВ, DС
В результате мы получили размещения их четырёх элементов по два. Значит:
, откуда

В общем случае число сочетаний из m элементов по n элементов равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов.
, т.к

Пример. Вычислить:

а)

б)

Основные свойства числа сочетаний:


Доказательство:

;

Мы видим, что правые части этих равенств равны; следовательно, равны и левые части.

Примечание: Это свойство числа сочетаний позволяет устроить нахождение числа сочетаний их m элементов по n, когда n превосходит m.

Пример № 1. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Пример № 2. Сколькими способами можно составить дозор из трёх солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение: Солдат в дозор можно выбрать =82160 способами, а офицеров =3 способами. Так как с каждой группой солдат может пойти любой из трёх офицеров, то всего возможно =821603=246480 способом составления дозора.

Пример № 3. Найти Х, если известно что =21

Решение: =

по условию, =21,

х2-2х-3х+6=42
х
2-5х-36=0
х
1=9; х2=-4
х
2=-4 не подходит по смыслу значит (т.к m- натуральное число)
Ответ: х=9

Практическая работа

I.Вычислить:
а)

б)

II. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум , если на собрании присутствует 78 человек?

=3003

III.Найти Х, если =153

= =153

Х2-х-306=0

Х1=18 х2=-17(не подходит)

IV. Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет «5 из 36»?

=376992


На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы множеств в определённом порядке и т.д. Например, бригадир распределяет различные виды работ между рабочими, офицер выбирает наряд из взвода солдат, трудорг выбирает двух дежурных, группа выбирает актив.

Поскольку в таких задачах речь идёт о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Различают несколько уровней решения комбинаторных задач. Начальным уровнем является поиск хотя бы одного расположения объектов, обладающего заданными свойствами. Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчёте числа таких решений, об описании всех решений данной задачи. Наконец, часто бывает, что различные решения данной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает проблема отыскания оптимального варианта решения такой задачи.

Правило суммы в комбинаторике: Если объект R можно выбрать n способами, а объект Sm способами, то выбор R или S можно осуществить n +m способами. Например, если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 =11 способами.

Одно и то же множество можно упорядочить различными способами

( например множество студентов группы можно упорядочить по росту, по весу, по возрасту, по алфавиту и т.д.). Если задано множество А состоящее из n элементов, и некоторое число m, такое, что m < n,то можно составить различные упорядоченные m-множества, в которые входят лишь элементы множества А. Например , из элементов множества {a,b,c,d} можно составить 12 упорядоченных пар: {a,b} {a,c} {a,d} {b,а} {b,c} и т.д


Определение. Упорядоченные m – множества, состоящие из элементов n – множества называют размещениями без повторений из n элементов по m, обозначают и находят по формуле .


Задача № 1. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Решение

Любой такой способ является размещением без повторений из 11 элементов по 5. Значит, число способов выбора равно:

= .


Задача № 2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полосок, если имеется материал 5 цветов.

Решение

Т.к от расположения цветов зависит какой это будет флаг, то мы имеем размещения


Задача № 3. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Решение

Так как порядок расположения деталей между токарями имеет значение и все детали разные, то в данном случае число таких способов будет размещением без повторений из 8 элементов (токарей) по три (деталей). Следовательно число таких способов равно:

A(8, 5) = .


Определение. Различные упорядочивания данного n -множества называются перестановками. Они отличаются друг от друга лишь порядком входящих в это множество элементов. Обозначаются Pn, и вычисляются по формуле


Задача № 5. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести цветов и все стулья должны быть разного цвета?

Решение

Пронумеруем стулья числами 1, 2, ... , 6 и обозначим ткань для к-го стула через хк. Тогда (х1 ,... ,х6) - перестановка из цветов материй, причем каждой такой перестановке соответствует один и только один способ размещения. Значит число способов равно P(6) = 6! = 720.


Задача № 6. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 10 команд, если известно, что никакие две команды не набрали поровну очков?

Решение

Так как каждой перестановке соответствует один и только один способ размещения, то число способов будет перестановками без повторений. Следовательно: Р(10) = 10! = 3628800


Определение. Неупорядоченные m – множества, состоящие из элементов n – множества называют сочетаниями без повторений из n элементов по m, обозначают и находят по формуле .


Задача № 7. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции на которой присутствуют 15 человек?

Решение

Так как порядок выбора значения не имеет и делегаты не повторяются, то число способов будет сочетаниями без повторений. Значит

С(15,5) =


Задача № 8. Сколькими способами можно попасть из точки А в точку С, если можно двигаться лишь вправо и вверх по отрезкам сети?

Решение

Каждый путь состоит из 8 горизонтальных и 4 вертикальных единичных отрезков. Если обозначить горизонтальный отрезок буквой а, а вертикальный - буквой х, то получим множество из 8 букв а и 4 букв х. Согласно примеру 2 число таких множеств, а тем самым и искомое путей равно:

С(12,4) = .


ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные определения и термины

Теория вероятностейэто раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.


Испытанием называется всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий.

Например: многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой – либо детали представляет собой испытания.


Случайным событием называется результат этого действия или наблюдения.

Например: появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти.


Искомым событием ( или искомым исходом) называется какое – либо определенное событие из всех возможных событий.


Все рассматриваемые события будем считать равновозможными, т.е. такими, которые имеют равные возможности произойти.

Пример: При бросании кости могут появиться 1 очко, 2, 3, 4, 5 или 6 очков и эти исходы испытания являются равновозможными.

Иными словами, равновозможность означает равноправность, симметрию отдельных исходов испытаний при соблюдении некоторых условий.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д.

Несовместными называются события, если ни какие два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

В противном случае события называются совместными.

Пример: при подбрасывании монеты появлении цифры исключает одновременное появление герба; это – пример несовместных событий.

Пример: Пусть на мишени нарисован круг, ромб, треугольник. Произведен один выстрел. Событие

А – попадание в круг;

В – попадание в ромб;

С – попадание в треугольник

Тогда события А и В, А и С, С и В являются несовместными.

Достоверным называется событие, если оно происходит в данном испытании обязательно.

Пример: выигрыш по билету беспроигрышной лотереи есть событие достоверное.

Достоверные события обозначаются буквой U.

Невозможным называется событие, которое в данном опыте не может произойти.

Пример: при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков.

Невозможное событие обозначается буквой V.

Полной системой событий, , , … , называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Пример: выпадение одного, , , , , очков при бросании игральной кости есть полная система событий, т.к. все эти события несовместны и наступление хотя бы одного из них обязательно.

Если полная система событий состоит из двух событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .


Задача №1 : Имеется один билет лотереи «6 из 45». Событие А состоит в том, что он выигрышный, а В – в том, что он невыигрышный. Являются ли эти события несовместными?

Решение:

Да, события А и В несовместные.

Задача №2: В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

(А) – достали пронумерованный шар;

(В) – достали шар с четным номером;

(С) – достали шар с нечетным номером;

(Д) – достали шар без номера;

Какие из них образуют полную группу?

Решение:

(А)- достоверное событие;

(Д) – невозможное событие;

(В) и (С) – противоположные события

Полная группа событий: (В) и (С) ; (А) и (Д).

Задача №3: Являются ли достоверными или невозможными события, состоящие в том, что при однократном бросании кости выпадает: 5 очков; 7 очков; от 1 до 6 очков. Какие события в этом испытании составляют полную группу?

Решение:

7 очков – невозможное событие;

От 1 до 6 очков – достоверное событие; составляет полную группу событий: выпадет 1 очко, 2 очко, 3 очко, … , 5, 6.

Классическое определение вероятности:


Вероятностью события А называются отношения числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

P(A)=






  1. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Решение: m = 4, n = 12; P(A)= = .

  1. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение: Синих шаров нет  m = 0, n = 15; P(A) = = 0 .

А – невозможное событие.

  1. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

Решение: Т.к. номер любого шара не превышает 10, то число событий, благоприятствуют событию А, равно числу всех возможных случаев: m = n = 10 и P(A) = = 1 . А – достоверное событие.


Возникновение отказов в информационных системах зависит от разных факторов и носит случайный характер. Поэтому для количественной оценки различных характеристик систем используются вероятностные методы.

В теории вероятностей случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, предугадать которое заранее и достоверно невозможно.

Событием в теории вероятностей считается всякий факт, который в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

Для количественного сравнения между собой событий по степени их возможности используется определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события.

В практике о вероятности события судят по частоте его появления. Если в n опытах событие А появилось m раз, то его частота или статистическая вероятность может быть определена соотношением

hello_html_5d0c9c47.png

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет. Вероятность невозможного события равна нулю.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет. Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность произвольного случайного события изменяется от нуля до единицы. Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном опыте это событие не наступит. Очень малая вероятность – это значения, заключенные между 0,01 и 0,05. Это свойство называется принципом практической невозможности маловероятных событий.

При неограниченном увеличении числа опытов статистическая вероятность сходится по вероятности к математической, т.е. частота с вероятностью сколь угодно близкой к единице, приближается к математической вероятности Р(А).

Если исходы (результаты) испытаний единственно возможны и равновозможны, математическая вероятность события А может быть вычислена по формуле: ,

hello_html_1e2700fe.png

где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытаний;

m – число благоприятных исходов, в которых появляется событие А.

При вычислении величин m и n используется теория сочетаний.

Число сочетаний из m элементов по n вычисляется по любой из двух формул: hello_html_134f0ad7.pngилиhello_html_7ef0af61.png


Примеры:

hello_html_m3d4dc44d.png;hello_html_m2409fc1b.png;hello_html_mfb461f9.png

Основные теоремы теории вероятностей

Несколько событий называют несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.


Теорема сложения утверждает, что если события A и B несовместны, то вероятность появления одного из них, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий hello_html_m395c392b.png

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. hello_html_m2b631427.png

Во многих реальных ситуациях событие А может произойти вместе с одним из событий
Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу событий. Эти события называются гипотезами: hello_html_m2f2b0533.png

Безусловная вероятность 
P(A) события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе: hello_html_m2de9d89b.png
Данная формула называется
формулой полной или средней вероятности.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез
Н1, Н2, …, Нn. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно hello_html_m4b9d1572.png,hello_html_7ac5508a.png…, hello_html_64570bae.png. Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события А. Условные вероятности гипотез после опыта определяются по формуле Бейеса:

hello_html_5180f7bc.png, (i = 1, 2, ...,n).

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известен результат испытания, в итоге которого появляется событие А. Если в результате испытания прибор вышел из строя, гипотезы Н1 и Н2 становятся невозможными. Необходимо выяснить и устранить причины отказа прибора.


Типовой расчёт

Задача № 1. Папа, мама, сын и дочка бросили жребий — кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.

Решение

Всего в задаче указано 4 человека, т.е. n = 4. При этом нас устраивает только один вариант — мама, т.е. m= 1. Имеем: p = m/n = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25


Задача № 2. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.

Решение

Поскольку всего заявлено 50 выступлений, то n = 50. Теперь посмотрим, сколько выступлений состоится в каждый из дней конкурса. По условию, на первый день запланировано 26 выступлений. Значит, на другие дни останется 50 − 26 = 24 выступления. Эти выступления распределены поровну между оставшимися 4 днями, т.е. на каждый день приходится по 24 : 4 = 6 выступлений. Получаем следующее распределение по дням:

  1. 26 выступлений;

  2. 6 выступлений;

  3. 6 выступлений;

  4. 6 выступлений;

  5. 6 выступлений.

Нас интересует третий день, на который приходится 6 выступлений. Таким образом, m = 6. Находим вероятность: p = m/n = 6/50 = 0,12.

Ответ: 0,12


Задача № 3. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

Решение

У кубика 6 граней, поэтому всего возможно 6 вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Получаем, что n = 6 — по числу граней. Нас интересуют случаи, когда выпадает менее 4 очков. Другими словами, если выпадет 1, 2 или 3 очка, нас это устраивает. Всего таких вариантов m = 3. Находим вероятность: p = m/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Ответ: 0,5


Задача № 4. На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

Решение

Выясним, сколько всего спортсменов приехало на соревнования: 2 из Великобритании + 2 из Испании + 4 из Швейцарии = 8 спортсменов. Итого:

n = 8.

С другой стороны, нас интересуют лишь спортсмены из Испании, которых было 2 человека. Поэтому m = 2. Находим вероятность: p = m/n = 2/8 = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25


Задача № 5. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?

Решение

Фраза «не менее 4 очков» означает, что нас интересует 4, 5 и 6 очков. Поэтому m = 3. Всего возможно 6 вариантов (по числу граней кубика), поэтому n = 6. Осталось найти вероятность: p = m/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Ответ: 0,5

Задача № 6. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

Решение

Возможные варианты: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Поэтому n = 6. Из указанных чисел являются нечетными лишь 1, 3 и 5 — всего 3 числа (откуда заключаем, что m = 3). Итого, вероятность p = m/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Ответ: 0,5

Приложение 3

Комплект вариантов для практических работ

Практическая работа №1

Тема: «Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»

Вариант I Задание: Вычислить предел функции


Вариант II Задание: Вычислить предел функции


Вариант III Задание: Вычислить предел функции


Вариант IV Задание: Вычислить предел функции


Повышенный уровень заданий: Задание: Вычислить предел функции:

4.

5.

Вариант 3 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4. 5.


Вариант 4 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4. 5.


Вариант 5 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5.


Вариант 6 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4.

5. .

Вариант 7 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5.

Вариант 8 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5.

Вариант 9 (п.у.)


1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5.

Практическая работа № 2

Тема: «Действия над комплексными числами в разных формах записи»

Вариант 1

  1. Выполнить действия в алгебраической форме записи:

а) ; б) ; в)

  1. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия:


а) ; б) ; в)

Вариант 2

  1. Выполнить действия в алгебраической форме записи:

а) ; б) ; в)

  1. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия:


а) ; б) ; в)

Вариант 3

  1. Выполнить действия в алгебраической форме записи:

а) ; б) ; в)

  1. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия:


а) ; б) ; в)

Вариант 4

  1. Выполнить действия в алгебраической форме записи:

а) ; б) ; в)

  1. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия:


а) ; б) ; в)

Практическая работа № 3

Тема: «Дифференцирование функций»

(Логарифмическая производная. Дифференцирование функции, заданной неявно

и заданной параметрически)

Вариант 1

1. Найти производную функции, заданной неявно уравнением:


2. Найти производную y`(x) функции, заданной параметрически:


3. Логарифмическое дифференцирование. Найти производную y`(x):


Вариант 2

1. Найти производную функции, заданной неявно уравнением:


2. Найти производную y`(x) функции, заданной параметрически:


3. Логарифмическое дифференцирование. Найти производную y`(x):

Вариант 3

1. Найти производную функции, заданной неявно уравнением:


2. Найти производную y`(x) функции, заданной параметрически:


3. Логарифмическое дифференцирование. Найти производную y`(x):

Вариант 4

1. Найти производную функции, заданной неявно уравнением:

2. Найти производную y`(x) функции, заданной параметрически:


3. Логарифмическое дифференцирование. Найти производную y`(x):

Практическая работа № 4

Тема: «Применение методов дифференциального исчисления в задачах

прикладного характера»

(Построение графика функции. Задача исследования на экстремум. Нахождение

наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке)

Вариант 1

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением

S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 2

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б)(повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением

S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 3

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени прямолинейном движении задана уравнением

S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 4

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением

S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 5

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением

S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 6

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 7

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 8

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 9

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 10

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 11

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 12

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 13

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Вариант 14

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:


Вариант 15

Задание №1

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить

график функции y = f(x), если:

а) б) (повышенный уровень)

Задание №2

Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением

S = S(t). Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда

она будет достигнута, если (м).

Задание №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Практическая работа № 5

Тема: «Нахождение неопределенных интегралов»

Вариант 1

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.

Вариант 2

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.

Вариант 3

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.

Вариант 4

Найти неопределенный интеграл:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.

Повышенный уровень заданий:


Вариант 1

Найти неопределенный интеграл:

Вариант 2

Найти неопределенный интеграл:

Вариант 3

Найти неопределенный интеграл:

Вариант 4

Найти неопределенный интеграл:

Практическая работа № 6

Тема: «Решение задач прикладного характера с помощью определённого интеграла»

Вариант 1

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н .

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=3t²­2t­1,м/c. Вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями:

а) y=x²­2x+2; x=­1; x=2, y=0 .

б) y = x²­8x+16; y = 6­x.

в) 2x­x²­y=0; y=0.

Вариант 2

1. Вычислить работу, совершенную при растяжении пружины на 6 см, если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=24t­6t²¸ м/с. Вычислить путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

3. Найти площадь фигуры, ограниченный кривыми, заданными уравнениями:

а) y = x²­2x+1; 2x­y­2=0.

б) y = x²­6x+9; 3x­y­9=0.

в) y = x², y = ­3x.

Вариант 3

1. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 6 см, если для растяжения ее на 1 см нужно приложить силу в 10 Н.

2. Скорость точки, движущийся прямолинейно, задана уравнением

v=18t-6t² , cм/с. Вычислить путь , пройденный точкой от начала движения до остановки.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = -x²+6х-5 и y=0;

б) y =0,25x³ и y=2x

в) y = -x²+4 и y=0;

Вариант 4

1. Груз весом 100 Н растянул пружину на 2 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину от длины 20см до длины 30см, если ее длина в спокойном состоянии 15см.

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением

v=6t²-4t-10, см /с. Вычислить путь, пройденный точкой за 4с от начала

движения.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = x² и y = 2х+3;

б) у = x²+4y=0 и x+y=0;

в) y = x²-2x+3 и y = x+3.

Практическая работа № 7

Тема: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»

Вариант 1

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=1 и у=4 2. при х=0 и у=1

3. при у(1)=3 4. при

Вариант 2

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=0 и у=4 2. ; у(3)=0

3. при у=0 и х=0 4. при

Вариант 3

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=0 и у=2 2. у(-2)=3

3. при у=4 и 4. при

Вариант 4

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при и у=2 2. ; y

3. при у(1)=4 4. при

Вариант 5

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=1 и у=1 2. у(0)=3

3. при у=-1 4. при

Вариант 6

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=0 и у=5 2. у(-2)=8

3. при у(2)=0; 4. при

Вариант 7

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=-1и у=1 2. у(0)=5

3. при у=3 и 4. при

Вариант 8

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

1. при х=4 и у=7; 2. при х =0 у=

3. у(0)=0; 4. при y=

Практическая работа № 8

Тема: «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

Вариант 1

Решить дифференциальные уравнения второго порядка:

1. , если , ;

2. ;

3. , если , ;

4. .

Вариант 2

Решить дифференциальные уравнения второго порядка:

1. , если , ;

2. , если , ;

3. ;

4. .

Вариант 3

Решить дифференциальные уравнения второго порядка:

1. , если , ;

2. ;

3. ;

4. , если , .


Вариант 4

Решить дифференциальные уравнения второго порядка:

1. , если ;

2. ;

3. , если ;

4. .


Практическая работа № 9

Тема: «Решение комбинаторных задач. Вычисление вероятностей событий»

Вариант 1

  1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

  2. Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать?

  3. Решить уравнение

Вариант 2

  1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?

  2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал семи различных цветов?

  3. Решить уравнение

Вариант 3

  1. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать?

  2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр?

  3. Решить уравнение

Вариант 4

  1. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3 человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?

  2. На собрании должны выступить 5 человек (A, B, C, D, E). Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих, если A должен выступать первым?

  3. Решить уравнение

Критерии оценивания практической работы по индивидуальным заданиям:

Оценка, выставляемая за практическую работу, учитывает правильность и качество оформления пояснительной записки, полноту и обоснованность решения заданий и выполненных построений.

Контроль за выполнением требований к уровню подготовки обучающихся состоит из двух этапов: обязательном и повышенном. Оценка «3» ставится за выполнение заданий обязательного уровня. Оценка «4» или «5» - за более высокий уровень обученности.

  • оценка «отлично» выставляется студенту, если студент показывает знание и глубокое понимание учебного материала; процент результативности правильных ответов составляет 90-100%;

  • оценка «хорошо» выставляется студенту, если работа, в основном, удовлетворяет установленным требованиям, но при этом содержание и форма решений имеют некоторые неточности, процент результативности правильных ответов составляет 70-89%;

  • оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если материал излагается с ошибками и затруднениями процент результативности правильных ответов составляет 50-69-%;

  • оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, если студент допускает ошибки, искажает смысл, за полное незнание и непонимание учебного материала, процент результативности правильных решений составляет менее 50%.


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Краткое описание документа:

Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине ЕН.0.1 «Математика» предназначаются для обучающихся по специальности 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)».

Пособие содержит тематический план практических работ, разноуровневые варианты практических заданий, указания к их выполнению, краткий теоретический материал, необходимый для выполнения практических работ, примеры расчётов типовых заданий, рекомендуемые учебные пособия и другие источники

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 103 602 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 20.05.2020 225
    • DOCX 1.3 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кихтенко Нелли Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кихтенко Нелли Анатольевна
    Кихтенко Нелли Анатольевна
    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 33479
    • Всего материалов: 40

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой