Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по специальности СПО 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Методические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по специальности СПО 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Скачать материал

Министерство энергетики, промышленности и связи Ставропольского края

       государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Невинномысский химико-технологический колледж»

 

 

 

 

 

Предметно-цикловая комиссия

общеобразовательных дисциплин

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ

к выполнению практических работ

по дисциплине ОУД.04 «Математика»

для студентов первого курса специальности

08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений,

базовая подготовка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Невинномысск 2019 г.

 

 



                                                      

УДК 51

К-45

Рассмотрено на заседании

ПЦК  ООД протокол №  6  

« 26 » декабря 2019г.  

 

 

Утверждено

Заместитель директора по

учебно-методической работе

И.В. Каширина

«         » декабря 2019г.  

 

 

 

 

 

 

К-45

      

Математика: методические указания к выполнению практических работ для студентов специальности 08.02.01  «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», базовый уровень подготовки / сост. Нелли Анатольевна Кихтенко, преподаватель высшей квалификационной категории -  Невинномысск: ГБПОУ НХТК, – 2019.- 65 с.

 

 

           Методические указания к выполнению практических работ предназначаются для студентов первого курса дисциплины ОУД.04 «Математика» по специальности  08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», базовый уровень подготовки. Пособие содержит тематический план практических работ, варианты практических заданий, указания к их выполнению, краткий теоретический материал, необходимый для выполнения практических работ, примеры типовых расчётов заданий.

 

 

            Методические рекомендации составлены на основании Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования

 

 

 

 

© Кихтенко Н.А., 2019

 

© ГБПОУ НХТК, 2019


Пояснительная записка

 

Дисциплина ОУД.04 «Математика» играет ведущую роль в общей и профессиональной системах образования студентов ГБПОУ НХТК.

Задачи курса математики в подготовке специалистов по профессиональному обучению состоят в том, чтобы дать представление о структуре современной математики, о современных методах высшей математики, об универсальности методов и языка математики, о способах решения прикладных задач математики.

Наряду с обеспечением высокой математической подготовки обучающихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математическими знаниями и навыками, важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки независимо от специальности.

Федеральный государственный образовательный стандарт третьего поколения среднего профессионального образования подразумевает компетентностный  подход в обучении. Основной задачей преподавателя является не передача, "трансляция" знаний, а формирование у обучающихся профессиональных компетенций, методов и способов самостоятельного поиска и получения новых знаний, умения применять теоретические знания при решении практических задач. При изучении дисциплины «Математика» наибольшие трудности у студентов возникают при решении практических задач. Вместе с тем именно решение задач в значительной степени способствует развитию инженерного мышления у студентов. В связи с этим практическая работа студентов играет решающую роль при изучении курса дисциплины ОУД.04 «Математика».  

Методические указания к выполнению практических работ предназначаются для студентов первого курса дисциплины ОУД.04 «Математика» по специальности 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», базовый уровень подготовки. Практические занятия обучающегося составляют 134 часа согласно учебному плану.

Целью данного пособия является помощь студенту в организации его практической работы по дисциплине. В методических указаниях перечислены темы практических работ обучающегося по всем изучаемым в курсе дисциплины ОУД.04 «Математика» темам. Даны указания к выполнению этих практических работ. 

В настоящей методической разработке дан краткий  теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, и подробно рассмотрены решения типовых заданий, а также изложены требования к выполнению и оформлению индивидуальных практических работ, предусмотренных программой курса.

 

В методическом пособии даны варианты индивидуальных практических заданий по каждой практической работе, приведён  список рекомендуемой литературы и Интернет-ресурсов.

Методические указания к практическим работам обеспечивают формирование базовых умений для выполнения исследований в процессе научного и профессионального познания и теоретического обоснования профессиональных задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Пояснительная записка............................................................................................3

 

I. Тематический план практических работ ...........................................................6

 

II. Распределение практических работ  по учебным темам

     дисциплины «Математика» ...............................................................................6

 

III.  Методические указания   к выполнению практической

работы по      индивидуальным заданиям .............................................................7

 

IV. Список рекомендуемой литературы, Интернет-ресурсов..............................9

 

Приложения.............................................................................................................11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Тематический план практических работ

 

1.     Практическая работа № 1: Решение уравнений и неравенств, систем. Выполнение приближенных вычислений.

2.     Практическая работа № 2: Функции и пределы в прикладных задачах. Вычисление пределов.

3.     Практическая работа № 3: Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

4.     Практическая работа № 4: Тригонометрические функции: вычисление значений, упрощение выражений.

5.     Практическая работа № 5: Решение тригонометрических уравнений.

6.     Практическая работа № 6: Решение задач на составление уравнения прямой.

7.     Практическая работа № 7: Прямая и плоскость в пространстве.

8.     Практическая работа № 8:  Дифференцирование функции.

9.     Практическая работа № 9: Вычисление неопределенных и определенных интегралов.

10.  Практическая работа № 10: Вычисление площадей поверхности и объемов  геометрических тел.

 

II. Распределение практических работ

 по учебным темам дисциплины «Математика»

 

Тема 1. Числовые системы и приближенные вычисления.

Уравнения и неравенства

1.     Практическая работа №1. Решение уравнений и неравенств, систем. Выполнение приближенных вычислений.

 

Тема 2. Функции, их свойства и графики.

Начала  математического анализа

2. Практическая работа № 2. Функции и пределы в прикладных задачах. Вычисление пределов.

 

Тема 3. Корни, степени и логарифмы.

Степенная, показательная и логарифмическая функции

3. Практическая работа №3. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

 

Тема 4. Основы тригонометрии. Тригонометрические функции

4. Практическая работа №4. Тригонометрические функции: вычисление значений, упрощение выражений.

5. Практическая работа № 5: Решение тригонометрических уравнений.

 

Тема 5. Векторы и координаты на плоскости и в пространстве

6. Практическая работа №6. Решение задач на составление уравнения прямой.

 

Тема 6. Геометрия. Прямые и плоскости в пространстве

7. Практическая работа №7. Прямая и плоскость в пространстве.

 

Тема 7. Начала математического анализа. Производная функции

8. Практическая работа №8. Дифференцирование функций.

Тема 8. Начала математического анализа.

Интеграл и его простейшие приложения

9. Практическая работа №9. Вычисление неопределенных и определенных интегралов.

 

Тема 9. Геометрические тела, площади поверхности и объемы  тел.

Многогранники. Тела и поверхности вращения

10. Практическая работа №10. Вычисление площадей поверхности и объемов  геометрических тел.

 

III. Методические указания к выполнению практической работы по     индивидуальным заданиям

 

·       Внимательно изучите теоретический материал учебника по теме задания. Для улучшения его усвоения необходимо вести конспектирование и после изучения темы ответить на контрольные вопросы "Повторение теоретических основ" (Приложение 2).

·       Ознакомьтесь с общими требованиями к оформлению пояснительной записки:
1. Пояснительная записка - документ, содержащий описание применённого метода исследования, обоснование выполненных расчётов  и  решений, схемы, таблицы, поясняющие расчеты и принятые решения.

 2. Пояснительная записка практической работы должна содержать: 
-  Титульный лист (Приложение 1);
-  Задание на практическую работу (Приложение 3);
-  Введение;
-  Содержание;

-  Вывод.

·       Оформите титульный лист практической работы с указанием названия дисциплины, темы работы, номера варианта, названия специальности и учебной группы, фамилии, имени и отчества студента, фамилии, имени и отчества проверившего работу преподавателя, учебного года.

·       Проработайте приведённый в методических указаниях пример типового расчёта по теме практической работы (Приложение 4).

·       Составьте расчетно-пояснительную записку. Расчетно-пояснительная записка должна быть достаточно краткой, без лишних подробных пояснений и теоретических выводов, имеющихся в учебниках и других учебных пособиях, но не чересчур краткой, содержащей одни только формулы и вычисления. В расчетно-пояснительной записке от начала до конца должна четко прослеживаться логическая связь выполняемых операций, а также должны быть отмечены основания для выполнения этих операций.

·       Приведенные в настоящей методической разработке примеры решения отдельных задач могут послужить основой для составления записок. Формулы, приводимые в записке, должны быть, как правило, записаны сначала в общем виде, а затем уже должна быть произведена подстановка исходных данных и выполнены необходимые вычисления. При подстановке исходных данных нужно внимательно следить за соблюдением одинаковой размерности. После получения значения искомой (промежуточной или окончательной) величины обязательно проставляется её размерность.

·       Если у автора практической работы неразборчивый почерк, то записку он должен выполнять чертежным шрифтом. Или текст записки должен быть набран в текстовом редакторе Microsoft Word. Шрифт пояснительной записки - Times New Roman, размер шрифта 14 с полуторным межстрочным интервалом. Выравнивание - по ширине. Ориентация страницы -книжная.

·       Правила оформления формул:

1. Нумеруют только те формулы, на которые имеются ссылки по тексту. Номер формулы заключается в круглые скобки с выравниванием по правому краю.
2. Расчетные формулы записывают сначала в символьном виде, затем в них подставляют цифровые значения физических величин и, наконец, приводят окончательный ответ с обязательным указанием размерности, например,
V=25 м/с.

·       В возвращенной практической работе студент должен исправить все отмеченные ошибки и выполнить все данные ему указания. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

 

Критерии оценивания практической работы по     индивидуальным заданиям

          Оценка, выставляемая за практическую работу, учитывает правильность и качество оформления пояснительной записки, полноту и обоснованность решения заданий и выполненных построений.

          Контроль за выполнением требований к уровню подготовки обучающихся состоит из двух этапов: обязательном и повышенном. Оценка «3» ставится за выполнение заданий обязательного уровня. Оценка «4» или «5» - за более высокий уровень обученности. Таким образом, если выполнено 45-70% работы – «3»; 75-90% работы – «4»; 90-100% - «5».

          Отметка «5» ставится, если:

1) работа выполнена полностью; 2) в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; 3) в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

         Отметка «4» ставится, если:

1) работа выполнена полностью, но обоснования решения шагов  недостаточны;

2) допущена одна ошибка или два-три недочета в решении, рисунках, чертежах или графиках.

          Отметка «3» ставится, если выполнено не менее 50% работы и обучающийся владеет обязательными умениями по данной теме.

          Отметка «2» ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

 

IV. Список рекомендуемой литературы, Интернет-ресурсов

 

Основные источники:

1.     Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО.-М.:Профобразование, 2017.

2.     Башмаков М. И. Математика: учебник.-М.: Академия, 2015.

3.     Башмаков М. И. Математика: учебник.-М.: Академия, 2018.

4.     Григорьев В. П. Математика: учебник.-М.: Академия, 2016.

5.     Григорьев С. Г. Математика: учебник.-М.: Академия, 2015.

 

Дополнительные источники:

1. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. - М.: Издательский центр "Академия", 2011. -304 с.- Серия: "Среднее профессиональное образование".

2. Башмаков М. И. Математика: учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования. — М.: Академия, 2014.

3. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования. — М.: Академия, 2014.

4. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учебное пособие для студентов учреждений среднего профессионального образования. — М.: Академия, 2014.

5. Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для студентов учреждений среднего профессионального образова­ния. — М.: Академия, 2014.

6. Дадаян А.А. Математика: Учебник.- М.: ФОРУМ-ИНФРА, 2005.-552 с.- Серия: "Среднее профессиональное образование".

7. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика.- М.: Дрофа, 2006.

8. Богомолов Н.В.  Практические занятия по математике. - М.: Наука, 1990. 

 

Интернет-ресурсы:

1.                     Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов - http://school-collection.edu.ru /;

2.                     Лекции ведущих лекторов России  в свободном доступе - www.lektorium.tv;

3.                     Лекции преподавателей МГУ им. М. Ломоносова - www.youtube.com/user/msu /;

4.                     Oбъединение учащихся и преподавателей всего мира в одной всемирной аудитории - www.youtube.com/education /;

5.                     Информационные, тренировочные и контрольные материалы - http:// www.fipi.ru/ - Сайт Федерального государственного научного учреждения "Федерального института педагогических измерений"- / Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант /;

6.                     Официальный портал ЕГЭ - http:// www.ege.edu.ru /;

7.                     Сайт Московского института открытого образования (МИОО) - http:// mathege.ru /.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

 

ГБПОУ НХТК

 

 

 

 

 

 

Практическая работа №1

по дисциплине ОУД.04 «Математика»

специальности

08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»,

базовый уровень подготовки

 

ТЕМА: Решение уравнений и неравенств, систем.

Выполнение приближенных вычислений

ВАРИАНТ №

 

 

 

 

                                                  Выполнил студент группы С-19-1

                                                  Иванов Александр Сергеевич;

                                                  проверила преподаватель

                                                  Кихтенко Нелли Анатольевна

 

 

 

 

 

 

 

 

                            Невинномысск

                       2019-2020 учебный год   

 

 

Приложение 2

 

Практическая работа № 1

ТЕМА: Решение уравнений и неравенств, систем.

 Выполнение приближенных вычислений

 

Цель работы: закрепление навыков решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: решать уравнения различных видов; решать линейные неравенства и системы линейных неравенств; решать системы линейных и нелинейных уравнений; вычислять определители II и III порядка и применять теорему Крамера.

Наглядные пособия, оборудование: микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Дробно-рациональное уравнение и метод его решения.

2.     Биквадратные уравнения и метод их решения.

3.     Иррациональные уравнения и метод их решения.

4.     Линейные неравенства и системы линейных неравенств, их решение.

5.     Метод интервалов при решении дробно-рациональных неравенств.

6.     Решение квадратных неравенств двумя методами.

7.     Определитель II порядка и правило его вычисления.

8.     Определитель III порядка и правило его вычисления.

9.     Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера с помощью определителей.

10.  Решение систем нелинейных уравнений:

       а) методом подстановки;

       б) методом введения новой переменной.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3:   дидактические карточки – задания (8 вариантов)

 

Практическая работа № 2

ТЕМА: Функции и пределы в прикладных задачах.

Вычисление пределов

 

Цель работы: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.

 Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: применять  теоремы о пределах  функции  в точке и  на бесконечности,  правила раскрытия неопределенностей типа применять замечательные пределы.

Наглядные пособия, оборудование: плакат с теоремами о пределах функции в точке, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Предел функции в точке (определение).

2.     Бесконечно малая функция в точке  (на бесконечности).

3.     Бесконечно большая функция в точке (на бесконечности).

4.     Теорема о связи между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке.

5.     Теоремы о пределах функции в точке (о сумме; произведении; частном двух функции; о постоянном множители).

6.     Правило раскрытия неопределенности типа .

7.     Правило раскрытия неопределенности типа .

8.     Замечательные пределы.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным                      дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3: дидактические карточки с вариантами заданий (6 вариантов)

 

Практическая работа № 3

ТЕМА: Решение показательных и логарифмических уравнений

 и неравенств, систем уравнений

 

Цель работы: закрепить навыки решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств, систем уравнений.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: решать различными методами показательные и логарифмические уравнения и неравенства, решать системы уравнений, применять свойства логарифмов, свойства показательной и логарифмической функций.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами по теме «логарифм числа», плакаты с графиками показательной и логарифмической функций; микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Показательная функция, её график и свойства при  0<a<1 и при a>1.

2.     Показательные уравнения и методы их решения:

          а) приведение уравнения к виду ;

          б) метод логарифмирования;

          в) метод подстановки.

3.     Показательные неравенства и методы их решения:

а) применение свойства показательной функции в неравенствах вида              

;

б) метод подстановки.

4.     Логарифмическая функция, её график и свойства  при  0<a<1 и  a>1.

5.     Логарифмические уравнения и методы их решения:

а) приведение уравнения к виду

б) метод  потенцирования;

в) метод подстановки.

6.        Логарифмические неравенства и методы их решения:

а) применение свойств логарифмической функции  в неравенствах , приведенных к виду .

б) метод подстановки.

7.     Методы решения систем логарифмических и показательных уравнений.

 

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3:   дидактические карточки – задания (6 вариантов).

 

Практическая работа № 4

ТЕМА: Тригонометрические функции: вычисление значений,

упрощение выражений

 

Цель работы: закрепление навыков применения формул по теме «Тригонометрические функции», свойств  тригонометрических функций.

 Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: вычислять тригонометрические выражения, доказывать тригонометрические тождества; применить правило приведения тригонометрических функций к функциям острого угла; применять свойства тригонометрических функций.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами по теме «Тригонометрические функции»; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Определение тригонометрических функций числового аргумента (sin, cos, tg, ctg ).

2.     Знаки тригонометрических функций по четвертям.

3.     Значения тригонометрических функций в некоторых углах.

4.     Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента (тригонометрические тождества).

5.     Теоремы  сложения.

6.     Формулы двойного аргумента.

7.     Формулы понижения степени.

8.     Правило приведения тригонометрических функций к функциям острого угла.

9.     Дополнительные углы и их свойства.

10.  Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических   функций в произведение.

11.  Четность, нечетность тригонометрических функций.

12.  Периодичность тригонометрических функций.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным

                     дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3: дидактические карточки с вариантами заданий ( 8 вариантов)

 

Практическая работа № 5

ТЕМА: Решение тригонометрических уравнений и неравенств

 

Цель работы: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений и умение решать различные виды тригонометрических уравнений.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: решать простейшие тригонометрические уравнения; применять метод замены переменной; применять метод разложения левой части уравнения на множители; решать однородные тригонометрические уравнения.

Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами по теме «Тригонометрические функции»; плакат с таблицей решений простейших тригонометрических уравнений; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Простейшие тригонометрические уравнения.

2.     Общие формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

3.     Применение тригонометрического круга для решения уравнений вида  при .

4.     Метод замены переменной и приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому уравнению.

5.     Однородные тригонометрические уравнения. Метод решения однородных тригонометрических уравнений.

6.     Метод решения тригонометрических уравнений разложением левой части уравнения на множители.

7.     Методы разложения левой части уравнения на множители.

8.     Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение.

9.     Решение тригонометрических уравнений вида . Введение вспомогательного угла.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3:   дидактические карточки – задания (8 вариантов)

 

Практическая работа № 6

ТЕМА: Решение задач на составление уравнения прямой

 

Цель работы: закрепить навыки применения различных видов уравнения прямой на плоскости при решении задач.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: применять уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение прямой с заданным нормальным вектором, находить середину отрезка, находить углы треугольника.

Наглядные пособия, оборудование: плакат с формулами по теме «Векторы»; плакат «Уравнение прямой на плоскости»; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Деление отрезка в данном отношении. Деление отрезка пополам.

2.     Расстояние между двумя точками на плоскости. Длина вектора.

3.     Скалярное произведение векторов.

4.     Угол между двумя векторами. Формула .

5.     Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направляющим вектором.

6.     Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

7.     Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.

8.     Условие параллельности прямых.

9.     Условие перпендикулярности прямых.

10.  Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями  и .

11.  Общее уравнение прямой на плоскости.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по дидактическим карточкам с заданиями.

Приложение 3:   дидактические карточки с заданиями (6 вариантов)

 

Практическая работа № 7

ТЕМА: Прямая и плоскость в пространстве

 

Цель работы: закрепить навыки применения полученных теоретических знаний по теме «Прямые и плоскости в пространстве» при решении задач.

Умение и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: находить расстояние от точки до плоскости и до прямой; находить угол между прямой и плоскостью; применять теорему о трех перпендикулярах; находить длину наклонной и её проекции на плоскость.

Наглядные пособия, оборудование: геометрические модели к задачам, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Определение параллельности прямой и плоскости.

2.     Теорема о признаке параллельности прямой и плоскости.

3.     Теорема о трех перпендикулярах.

4.     Наклонная и перпендикуляр к плоскости.

5.     Угол между наклонной и плоскостью.

6.     Расстояние от точки до плоскости.

7.     Расстояние от точки до прямой.

8.     Определение параллельных прямых.

9.     Определение параллельных плоскостей.

10.  Теорема о признаке параллельности двух плоскостей.

11.  Теорема о транзитивности параллельности прямых и плоскостей.

Практика: студенты самостоятельно выполняют задания по дидактическим карточкам.

Приложение 3: дидактические карточки с заданиями

 

Практическая работа № 8

ТЕМА: Дифференцирование функций

 

Цель работы: закрепить навыки нахождения производной функции, умение дифференцировать сложную функцию.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: дифференцировать различные функции, применять правила и формулы дифференцирования, дифференцировать сложную функцию.

Наглядные пособия, оборудования: таблицы с формулами дифференцирования, микрокалькулятор, дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Производная функции (определение).

2.     Механический смысл производной.

3.     Общее правило нахождения производной.

4.     Правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций: ; ; ; .

5.     Таблица производных основных элементарных функций.

6.     Сложная функция  (определение).

7.     Правило дифференцирования сложной функции.

8.     Примечания к правилу дифференцирования функций.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным                      дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3: дидактические карточки с вариантами заданий (8 вариантов)

 

Практическая работа № 9

Тема: Вычисление неопределенных и определенных интегралов

 

Цель работы: закрепить навыки непосредственного интегрирования, применения метода подстановки при нахождении неопределенного интеграла, вычисления определенного интеграла.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: находить неопределенный интеграл различными методами, применять формулу Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла; находить путь, пройденный телом при неравномерном движении с помощью определенного интеграла.

Наглядные пособия, оборудование: плакат с формулами интегрирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями,  «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

1.     Неопределенный интеграл (определение).

2.     Свойства неопределенного интеграла.

3.     Приёмы непосредственного интегрирования.

4.     Метод подстановки при вычислении неопределенного интеграла.

5.     Определенный интеграл (определение).

6.     Свойства определенного интеграла.

7.     Формула Ньютона-Лейбница.

8.     Правило вычисления определенного интеграла.

9.     Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении с помощью определенного интеграла.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям.

Приложение 3:   дидактические карточки – задания (8 вариантов)

 

Практическая работа № 10

ТЕМА: Вычисление площадей поверхности и объемов

 геометрических тел

Цель работы: закрепление навыков вычисления объемов и площадей поверхности различных геометрических тел.

Умения и навыки, которые должны приобрести обучающиеся: находить объем и площадь поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра, шара.

Наглядные пособия, оборудование: модели геометрических тел; плакаты с изображениями фигур; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями, «Методические указания к выполнению практических работ».

Повторение теоретических основ:

  1. Призма; правильная призма.
  2. Теорема о площади боковой поверхности призмы.
  3. Площадь полной поверхности призмы:

a)     правильной треугольной;

б) правильной четырехугольной.

  1. Объем призмы. Объем прямой призмы.
  2. Параллелепипед. Виды параллелепипедов:

                а) прямой параллелепипед;

                б) прямоугольный параллелепипед;

                в) куб.

  1. Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
  2.  Объем куба. Площадь полной поверхности куба.

8. Диагональное сечение призмы, параллелепипеда, прямоугольного

    параллелепипеда, куба.

  1. Пирамида. Виды пирамид.
  2. Правильная пирамида. Апофема.
  3.  Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды.
  4.  Правильная треугольная пирамида:

                 а) площадь основания;

                 б) площадь полной поверхности.

  1.  Правильная четырехугольная пирамида:

                 а) площадь основания;

                 б) площадь полной поверхности.

13.        Объем пирамиды.

  1.   Конус; элементы конуса  (образующая, высота, радиус основания).
  2.   Площадь основания конуса; площадь боковой поверхности конуса;

       площадь полной поверхности конуса.

  1.   Объем конуса.
  2.   Цилиндр; элементы цилиндра.
  3.   Площадь боковой поверхности цилиндра; площадь основания

       цилиндра; площадь полной поверхности цилиндра.

  1.  Объем цилиндра.
  2.   Шар; осевое сечение шара. Площадь осевого сечения шара.
  3.   Площадь поверхности шара.
  4.   Площадь сечения шара плоскостью, проведенной на расстоянии d от       центра шара радиуса R.
  5.  Объем шара.

Практика:  студенты самостоятельно выполняют  расчеты по выданным дидакти-ческим карточкам – заданиям.

Приложение 3:   дидактические карточки – задания (6 вариантов)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №1 по теме

 «Решение уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств»

 

I. Определение. Биквадратным уравнением называется уравнение четвертой степени, содержащее только четные степени неизвестного.

     Метод решения: введение новой переменной

Тогда относительно переменной t получаем квадратное или неполное квадратное уравнение. Решаем его, а затем возвращаемся к исходной переменной х и находим её.

Теория по математикеТеория по математике

Задание: Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме записи:   а)         б)  в) .

Решение:

а)

б)

в) .

Ответ: а)  б)  в) .

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 2 по теме

 «Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности»

 

Теория

Теоремы о пределах функции в точке и на бесконечности:

1)    О пределе суммы функций:
;

2)    О пределе разности функций:

3)    О пределе произведения функции:
;

4)    О пределе деления частного двух функций:
;

5)    Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
.

Правило №1.Чтобы раскрыть понятие неопределённости вида , нужно и числитель и знаменатель разложить на простейшие множители и сократить дробь, тогда неопределённость исчезнет и можно применять теоремы о пределах.

 Правило №2. Чтобы избавиться от неопределённости вида , нужно одновременно и числитель и знаменатель дроби разделить на  в наивысшей степени, тогда неопределённость исчезнет и можно применять теоремы о пределах.

Пример 1. Вычислить предел функции:

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 3 по теме

 «Решение показательных и   логарифмических уравнений и неравенств»

 

При решении уравнений и неравенств используют основные свойства логарифмов:

Теория по математике

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 4 по теме

 «Тригонометрические функции: вычисление значений функции, преобразование выражений, доказательство тождеств»

 

Теория

Основные соотношения между функциями одного и того же угла:

;        ;    

;     ;     ;   .

         Формулы   двойного угла:   Теория по математике                   

Знаки тригонометрических функций по четвертям:

 

Теория по математике

Задание 1

Дано:  .

Найти: 

 

Решение:

     тогда          отсюда находим

                

       

     ;
    тогда  

              

   тогда

Ответ:

 

Задание 2

 

Дано: 

Найти:  

Решение:

 тогда        

        .

Так как, α- угол 4-й четверти, то  

 или    вычисляем с точностью до сотых

 

  тогда    подставляем числовые значения

    вычисляем с точностью до сотых

 

    вычисляем   


 

Задание 3

 

I. Привести угол к табличному и вычислить  значения     тригонометрической  функции:

1)

2)

3)

4)

 

II.   Не изменяя название тригонометрической функции привести к функции острого угла:

 

1)  

2)

3)

III.   Используя свойства нечетности, четности, периодичности тригономет-рических функций вычислить:

 

1) Вычислить: 

 

2) 

 

3) Вычислить значение тригонометрического выражения, учитывая чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций:

4)  Вычислить:

 

 

 

 

 

6)      Вычислить:  

7)       

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 5 по теме

 «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

 

Теория

 

             Определение. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида ,      или   .

 

            При 1   для решения уравнений удобно пользоваться тригонометрическим кругом.

 

            В остальных случаях будем применять общую формулу корней тригонометрического уравнения, которая приведена в таблице решений простейших тригонометрических уравнений.

 

 

 

 

 

Таблица решений простейших тригонометрических уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 вида

Общая формула корней уравнения

Промежуток главного угла

,

                                                   

 

 

 

 

 

Примеры типовых расчётов

 

1) Решить уравнение:     .

             

Решение: 

Аргумент равен 3х:

                                                   Ответ: 

 

Найти 3 корня этого уравнения:

 Ответ: .

 

Вывод:  убедились, что в общей формуле корней тригонометрического уравнения содержится бесчисленное множество решений.

 

2) Решит уравнение: 

Решение:

Аргумент равен 25 –х:

 

 

Эту общую формулу корней можно разбить на две группы:

;

     - I группа  и    -II группа корней

Ответ:      

Назвать 5 корней уравнения:

 

                

            

     

   

Ответ:

 

 

3) Решит уравнение: 

 

 

 

 

Решение:

Аргумент равен 4х + 3, тогда

                                                 .

Указать два корня уравнения:

 
,

 

Ответ:.

 

4) Решить уравнение:       

 

Решение:


 

Метод подстановни при решении тригонометрических

уравнений (приведение уравнения к квадратному)

                 В некоторых случаях удается сделать замену переменной:

Cos x=t   или sin x=t, или tg x=t, или ctg x =t.

              Тогда получается, как правило квадратное уравнение. Решим его и возвращаемся к исходной переменной. И в результате получаем простейшее тригонометрическое уровнение:

                      Помни:              sin2x+cos2x=1

 

   

                        sin2x=1-cos2x                             cos2x=1-sin2x

 

1)     Решить уравнение:   .   

Решение:

,   , тогда получим

,

,  

Возвращаемся к исходной переменной:

sin x =1                                      или                            

                                                                       

2) Решить уравнение: 

Решение:

  

 

 
, тогда получим

,  

.

                                                       



Однородные тригонометрические уравнения

 

        Определение: Однородным тригонометрическим уровнением называется уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одинаковую степень относительно функций sin𝛼 и cos𝛼.

         Метод решения однородного тригонометрического уровнения:

Разделить обе части уравнения на cosn x  или sinnx,  где n-степень (порядок) этого уравнения.

Тогда это уравнение сведется к уравнению относительно tg x или ctg x, и можно применить метод замены переменной.

 

1) Решить уравнение:

Решение:

Это однородное тригонометрическое уравнение I степени, разделим обе части уравнения на :

  отсюда          

получили простейшее тригонометрическое уравнение

 

2) Решить уравнение:

Решение:

Однородное тригонометрическое уравнение II степени, разделить обе части уравнения на cos2x:

,    

   ,

                  

Метод разложения на множители левой части уравнения

 

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

Примечание:  часто разложить на множители удается, если применить формулы преобразования суммы или разности одноименных тригонометрических функций в произведение:

 

1. Решить уравнение:   

Решение:

Применим формулу:  

,

  получим  ,отсюда



2. Решить уравнение:           

Решение:

 Применим формулу:   ,

,  тогда

, то есть корни  содержатся среди корней .

 
          Заметим, что

 

 

 


 


Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 6

по теме «Решение задач на составление уравнения прямой»

 

Теория

1)  Длина стороны треугольника и длина медианы могут быть найдены по формуле расстояние между двумя точками:

Где А и В   - координаты двух заданных точек.

2)                                                                                                                                      Координаты вектора  

= (

3)                                                                                                                                      Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

 , где .

4)  Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.

Тогда из формул «деление отрезка в данном отношении»:

                 , где   

 

                                       

                             

 

При  = 2 получим формулы для определения координат точки пересечения медиан треугольника:

         

5)     Площадь  треугольника находится по формуле:  

Косинус угла   при вершине треугольника можно найти исходя из определения скалярного  произведения двух векторов:

, откуда 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат:

        ,    где     ,        -  координаты векторов.

Из основного тригонометрического тождества

       следует, что   

6)  Для составления уравнений сторон и медиан треугольника нужно применить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки      и  :

  ,    а затем, преобразовав  это уравнение,

получить общее уравнение прямой

Координаты середины отрезка находят по формулам  (при

 

7)  Для составления высоты  нужно применить уравнение прямой, проходящей через заданную точку     с заданным нормальным вектором    : 

                                         

 

                                                                                                                                

                                                                               

 

8)  Для нахождения длины высоты   можно применить формулу:  расстояние от точки до прямой:

                       , где    - координаты точки;

                       - общее уравнение прямой.

 

Пример 1: Дан  c вершинами     ,    ,  .

Найти:  1) Длины сторон треугольника;    2) Длины его медиан; 3) Координаты центра тяжести; 4) Площадь треугольника;  5) Угол при вершине   ; 6)  Составить уравнения сторон треугольника;  7) составить уравнения медиан треугольника;  8) составить уравнение высоты    , опущенной из  вершины треугольника; 9) найти длину высоты   . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем длины сторон  по формуле  :

 = 3 (ед.дл.);

 =   8,25 (ед.дл.);

 =  =  7,69 (ед.дл.).

2)Найдем координаты середин сторон треугольника по формуле M

          ;

           ;

           , .

Тогда длины медиан:

              

 

3) Координаты центра тяжести, т.е.координаты точки пересечения медиан треугольника, найти по формулам:           ,  где =2:1=2, тогда                                    

; .

Возьмём медиану  , , тогда

 ;         ; значит, координаты  центра тяжести треугольника:

  

4)Площадь  найдем по формуле:.
Здесь  =3,  =   

Найти  .

Координаты векторов найдем по формуле  = ( :

= = (0;-3);

= = (-8;-2).

Скалярное произведение векторов находим по формуле:    .

Тогда,       = 0 (-8)+ (-3) (-2)= 6

Значит,   . Отсюда ,

  

Следовательно, (кв. ед. дл).

5) Найдем угол при вершине . Он заключен между векторами 

,     ,

Тогда         arccos 0,242.

6)  Составим уравнение сторон ∆.  Применим уравнение прямой ,  проходящей через две заданные точки:        .

Сторона :   (6;6),   (6;3), тогда

;      x-6=0,      x=6 –общее уравнение стороны

Сторона   ,  

     отсюда           -1(x+2)=8(y-4),    -x-2=8y-32,     

  -x-2-8y+32=0,       -x-8y+30=0,      умножить  обе части уравнения на (-1):

 общее уравнение стороны  

   

 ,    отсюда– общее уравнение стороны.

7)  Составим уравнение медиан ∆:

 Медиана  : подставим координаты точки ), в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:     =

=                    ,

 ,умножим обе части ур. на (-2):

 общее уравнение медианы  .

Медиана :       ,     

= отсюда       - общее уравнение медианы

Медиана :     ,    

 ,    отсюда- общее уравнение медианы

8)  Для высоты  опущенной из вершины  треугольника, нормальным вектором является вектор  Найдем его координаты:

 =   =(-2-6; 4-3)=(-8;1)

Подставим координаты нормального вектора =(-8;1) и координаты точки  в уравнении прямой с заданным нормальным вектором

А(x-)+B(y-)=0:

-8(x-6)+1(y-6)=0,  отсюда  -8x+y+42=0 ,      умножим части уравнения на (-1):

    - общее уравнение высоты .

9)  Длина высоты  равна расстоянию от точки  прямой , общее уравнение которой имеет вид      x+8y-30=0.  Подставим эти данные в формулу нахождения расстояния от точки (;)   до прямой Ax+By+С=0:

d=, имеем    d==(ед.дл.)

Длину высоты N можно найти и другим способом. Найдем координаты   точки , которая является точкой пересечения прямых N  и  .

Для этого решим систему двух линейных уравнений:

 , , =64+1=65 ,

 = =336+30=366,

y==240-42=198; по формулам  Крамера:  x=

y=

Итак N (5,63;3,05).

Длину высоты N     найдем по формуле "расстояние между двумя точками": |AB|= ,     тогда получим:

d=|N|=

 

Ответ:  1) ;

               2)  ;  ;

               3) ;

              4) ;

              5) ;

              6)    уравнение стороны ;

                      уравнение стороны ;

                      уравнение стороны ;

              7)   уравнение медианы  ;

                    уравнение медианы ;

                    уравнение медианы ;

              8)    уравнение высоты ;

              9) d.

 

Пример 2.  Дано:      АВС, А(6;5), В(1;-3), С(-4;2).

Составить:1)уравнение стороны ВС;  2)уравнение медианы AF; 3) Уравнение высоты СЕ.  Найти: 4) угол между медианой AF и высотой СЕ.

Сделать чертеж.

 

Решение:

1)    Составим уравнение стороны ВС, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где В(1;-3),  С(-4;2). Тогда

  

5(x-1)=-5(y+3),

5x-5=-5y+15,

5x-5+5y+15=0 :/5,

x+y+2=0 – общее уравнение стороны ВС.

2)Найдем координаты точки F- середины отрезка ВС по формуле середина отрезка:

  где В(1;-3), С(-4;2).

F(-1,5;-0,5).

Составим уравнение медианы AF, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

,  где A(6;5),  F(-1,5;-0,5). Тогда

,

,

-5,5(x-6)=-7,5(y-5),

-5,5x+33=-7,5y+37,5,

-5,5x+33+7,5y-37,5=0,

-5,5x+7,5y-4,5=0/-2

11x-15y+9=0-общее уравнение медианы AF

3)  Составим уравнение высоты СЕ треугольника, применим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальном вектором:

А(x-x0)+B(y-y0)=0, где заданной точкой является точка С(-4;2).

Нормальным вектором для высоты СЕ является вектор  .

Найдем его координаты:

= =

= =(1-6;-3-5)

= (-5;-8), значит A= -5; В= -8. Тогда получим

-5(x-(-4))+(-8)(y-2)=0,

-5(х+4)-8(у-2)=0,

-5x -20-8y+16=0,

-5x-8y-4=0/-1

5x+8y+4=0 – общее уравнение высоты СЕ.

4)  Чтобы найти угол между медианой AF и СЕ, нужно сначала перевести их уравнения из общего уравнения прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

AF: 11x – 15y + 9 =0, отсюда:

-15y=-11x-9 :/-15

у =,

у =k1 =  - угловой коэффициент медианы AF.

Для СЕ:

5x +8y+4=0, отсюда

8y=-5x-4 :/8

y= ,  k2= - угловой коэффициент высоты CE.

Находим угол по формуле:

k1=  ,  k2=  

   

Ответ:   1)  х+у+2=0;    2) 11х-15у+9=0;       3)  5х+8у+4=0;     4)  .

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 7 по теме

«Прямая и плоскость в пространстве»

 

Задача №1.  Из точки M проведена к плоскости α наклонная MF длинной 14 см. Угол между наклонной и плоскостью равен 60°, найти расстояние от  точки M до плоскости α.

РЕШЕНИЕ:

Дано: М∉α,  MF- наклонная,  MF = 14 см;

MNαFN- проекция наклонной;

,

Найти:

 

 

1) По определенным перпендикулярности прямой и плоскости: 

2) По определению перпендикулярности прямой и плоскости: ,

так как   и .  Значит, треугольник MNF - прямоугольный.

3) Решим прямоугольный   ,

.

Ответ: .

 

Задача №2. Из вершины А прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр  AN к плоскости прямоугольника. Найти расстояние от точки N до плоскости прямоугольника, если известны расстояния от этой точки до трёх вершин прямоугольника: .

            

Дано: ABCD- прямоугольник,

AN- перпендикуляр к плоскости (ABC),

, ,

Найти:

 

Решение:

1) По определению расстояния от точки до плоскости: , тогда

.

2) По теореме о трёх перпендикулярах:   ,  так как

NB- наклонная к плоскости  (ABC),  AB- её проекция на плоскость (ABC),

  и   (так как ABCD- прямоугольник).

3) По теореме Пифагора в треугольнике NBC:

, тогда  , отсюда находим

,   .

4) По определению перпендикулярности прямой и плоскости: 

 Значит, треугольник

NAD -прямоугольный, по теореме Пифагора: ,

,

     .

Ответ:  .

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 8 по теме

 «Дифференцирование функций»

 

Теория

Формулы дифференцирования:

1) производная постоянной:

2) производная аргумента:

3) производная суммы функций:

4) производная произведения двух функций:

5) производная частного двух функций:

Определение: Сложной функцией называется функция, аргументом которой является другая функция.

Сложная функция  это функция от функции.

Правило дифференцирования сложной функции:

Разбить функцию на простые функции, найти производные от всех простых функций и эти производные перемножить.

Пример 1. Найти производную функции  

Решение:

.

Пример 2. Найти производную функции  

Решение:

Пример 3. Найти производную функции   .

Решение:

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №1 9по теме

 «Вычисление неопределённых и определённых интегралов»

 

Теория

Определение. Первообразной функцией для функции  называется такая      функция, производная от которой равна : F'(x) = f(x).

Определение. Неопределённый интеграл  это совокупность всех первообразных функций для дифференциала :

+c

Основные свойства неопределенного интеграла:

 

1.  Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:  dint f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределённый  интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции, сложенной с произвольной постоянной: intdF(x) = F(x)+C.

3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

int(x)+ (x))dx = int(x)dx+int (x)dx.

 4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла (как множитель):  intkf(x)dx = kint f(x)dx, где k-постоянный множитель.

 

Таблица  основных формул интегрирования

1.     ;                           2.  n      9.          

3.     ,                   4. ,             10. 

5. ,                  6.    ,

7.   ,   8.   ,

Метод непосредственного интегрирования

          Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Метод подстановки в неопределенном интеграле

          Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Если после замены переменной интеграл стал проще, то цель подстановки достигнута. В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

full_image098

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1.     Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2.     Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3.     Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4.     Производят замену под интегралом.

5.     Находят полученный интеграл.

6.     В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

7.      Результат полезно проверять дифференцированием.

Задание:  Найти  неопределённые интегралы

1.            .

Проверка:

, что совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

 

2.           

 

3.           

 

4.            Предварительно преобразуем подынтегральную функцию в сложную степенную функцию, а затем применим метод подстановки в неопределённом интеграле:

 

 

5.

 

6.

          Наибольшую трудность при практическом применении метода подстановки вызывает правильность определения, к какому табличному интегралу удастся привести заданный интеграл.

           Рассмотрим типовые варианты.  В Таблице 1 приведены варианты правильных подстановок в различных типах неопределенных интегралов и те интегралы, к которым удаётся прийти в результате подстановки.

Таблица 1

п/п

Интеграл

Табличный интеграл, к которому будет приведен данный интеграл

Замена переменной

1.

t = 7x-8

2.

t = 2x2-7x+5

3.

t = 8x-4

4.

t = 5-x

5.

t = 4x4+7

6

t = x2-5

7.

t = 2x

8.

  t = 2x7-1

 

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы № 10

по теме «Вычисление площадей поверхности и объемов  геометрических тел»

 

Теория

Определение: Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Виды параллелепипедов:

1)      Прямой это такой параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям основания. (У него все боковые грани являются прямоугольниками, а основания  параллелограммами).

2)      Прямоугольный параллелепипед это прямой параллелепипед, но в основании которого лежит прямоугольник. (У него все грани являются прямоугольниками).

3)      Куб это прямоугольный параллелепипед у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны. (У куба все грани    равные квадраты).

Определение: Диагональное сечение призмы это пересечение призмы с диагональной плоскостью. У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение  это прямоугольник, одна из сторон которого равна диагонали прямоугольника, лежащего в основании, а вторая сторона является боковым ребром параллелепипеда.

 

Определение: Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Виды пирамид:

1) Треугольная, четырёхугольная, пятиугольная,...-в зависимости от многоугольника. лежащего в основании пирамиды;

2)  Правильная и неправильная пирамида.

       Определение: Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

        Определение:  Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из её вершины (

Основные формулы

Куб:    -диагональ куба, ребро которого равно ;

     -диагональ квадрата со стороной ;  

      -объём куба.            

                         Призма:

 ,

               где  длина бокового ребра- периметр перпендикулярного сечения;

                    Sполн. призм. = Sбок + 2  Sоснов; 

                     -площадь основания правильной треугольной      призмы;

                    Vпризмы = Sоснов ·H, где Н- высота призмы, если призма прямая, то её высотой является боковое ребро ;

 

                     

 

 

Пирамида:

- площадь основания правильной треугольной      пирамиды;

- периметр основания правильной треугольной      пирамиды;

 - площадь боковой поверхности правильной пирамиды;

                                                                                                 

 

Усечённая пирамида:

 ;    , где  и b- стороны оснований;

;   - площади оснований правильной треугольной усечённой пирамиды;

;

 где апофема усечённой пирамиды;

.

 

Тела вращения

Цилиндр:

;  

площадь полной поверхности цилиндра;

- объём цилиндра;

-площадь осевого сечения цилиндра;

-площадь перпендикулярного сечения цилиндра.

 

Конус:

-площадь перпендикулярного сечения конуса, r-радиус круга в сечении;

- площадь основания конуса;

- площадь боковой поверхности конуса;

- площадь полной поверхности конуса;

- объём конуса,  H- высота конуса.

                              

 

Шар:

- площадь поверхности шара; R- радиус шара;

- объём шара;

-площадь сечения шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние d;    - радиус круга в сечении;

 площадь осевого сечения шара.

Вписанные и описанные многогранники и тела вращения:

 

         

                       Рис.1                                   Рис.2                             Рис.3

 

Рис.1 - Правильная четырёхугольная призма, описанная вокруг цилиндра;

Рис.2- Конус, описанный вокруг правильной четырёхугольной пирамиды, в которую вписан второй конус;

Рис.3- Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы;                                                                  

         

                 

                          Рис.4                             Рис.5                        Рис.6

 

Рис.4- Куб, вписанный в шар;

Рис.5- Цилиндр, описанный вокруг шара

Рис.6-Конус, вписанный в цилиндр.

 

Задание 1. Найдите площадь многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

             Поверхность многогранника состоит из двух квадратов со стороной 2, площадь каждого из которых равна 4, четырёх прямоугольников со сторонами 1 и 2, площадь каждого из которых равна 2, и двух невыпуклых шестиугольников ,  площадь каждого из которых равна

. Значит, площадь поверхности многогранника равна сумме площадей указанных многоугольников:

Ответ: 22

 

Задание 2. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

 

Решение

             Данный многогранник представляет из себя четырёхугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной 6, из которой вырезана пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 3, а вершина совпадает с вершиной первой пирамиды. Высотой обеих пирамид является боковое ребро первой пирамиды, по условию, перпендикулярное плоскости основания пирамиды и равное 3. Объём пирамиды находится по формуле

,           тогда получаем:

.          

       Ответ: 27

Задание 3.  Радиусы двух шаров равны 6 и 8 см. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров.

Решение

Площадь поверхности данных шаров равна

 ,

Радиус шара, площадь которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров:   , отсюда находим

                      R==10 (см).

 

Ответ: 10 см

 

Задание 4. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба и его объём (Рис.1)

                                                 

 

           Рис.1                                                                        Рис.2

 

Решение:

 

            Обозначим ребро куба х (Рис.2). Шесть равных граней куба являются квадратами, поэтому площадь поверхности куба . Если ребро куба увеличить на 1, то оно станет равно , а площадь поверхности- . Учитывая, что площадь поверхности  куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение:

, решая его находим х=2.

Ответ: 2

 

Задание 5. В цилиндрический сосуд. в котором находится 6  воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза.

Чему равен объём детали?

 

                                                          

 

Решение:

 

           Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объём увеличился в 1,5 раза  (), т.е. стал равен   Следовательно, объём детали равен  

Ответ:

 

Задание 6.  Найти объем фигуры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

             Данный многогранник представляет из себя параллелепипед с объемом V1, из которого удален меньший параллелепипед с объемом V2.

,  

;

, ,  

 тогда вычисляем

 

Ответ:

 

Задание 7.  В прямоугольный параллелепипед вписан цилиндр, радиус основания и высота которого равны 5,5 см. Найти объем параллелепипеда и объем цилиндра.

 

                                                 Решение:

           Так как в прямоугольный параллелепипед вписан цилиндр, то основанием параллелепипеда является квадрат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


1.       ,    

2.      Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра:

 

3.       Объем прямоугольного параллелепипеда: , отсюда

.

4.      Объем цилиндра:  ,   где  ,

, тогда вычисляем 

  

 

 

Задание 8.  Из параллелепипеда (см. условие предыдущей задачи) был удален цилиндр, найти объем получившейся фигуры и площадь её полной поверхности.

 

Решение:

 ,

 .

         Площадь полной поверхности этой фигуры:

 ,

 

 

 

 

  

Ответ:=  

 

Задание 9.  Найти объем и площадь полной поверхности фигуры, изображенной на рисунке :

 

 
      

                                             Решение:

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 
              Объём многогранника равен сумме объёмов двух прямоугольных параллелепипедов: :                                            

    

 ,   

              Тогда вычисляем:     

              Площадь поверхности фигуры равна сумме площадей поверхности большого параллелепипеда и площади боковой поверхности маленького параллелепипеда:

Ответ:,   438 

Задание №10. Найти площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной призмы, высота которой равна 4 см., а длина стороны основания равна 10 см.

 

Дано: 

  

 Найти:  

 

Решение:

 

1) Призма правильная, поэтому она прямая, то есть её боковое ребро является высотой: 

и в основании призмы лежит квадрат  диагональ которого:

 

2) Диагональным сечением призмы является прямоугольник  площади диагонального сечения.

,     

Ответ:

Задача № 11. Прямоугольный треугольник АВС вращается вокруг гипотенузы АВ. Найти объём тела вращения и площадь поверхности тела вращения, если известно угол , а противолежащий катет

 

Дано: , , , - катет треугольника;

Найти:  1) V т.вр.;   2) S т.вр.

Решение:

1) Фигурой вращения является тело, состоящее из двух конусов с общим основанием.

Образующие конусов:   L1 = AC = b;    L2 = BC = a = 14 см.

Высоты конусов:    Н1 = АО;  Н2 = ВО

Радиус основания конусов:   R = CO,   где COAB.

 

2) Решим прямоугольный треугольник АВС:   ;

;  

   . Итак, 

4) Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов:

,

учли, что -гипотенуза треугольника АВС.

5) Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковой поверхности двух конусов:

 

Ответ:     

 

Пирамида

Определение: Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Определение: Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды:

H = SO

Определение: Диагональная плоскость, это плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение: Диагональное сечение пирамиды- это сечение, которое получается при пересечении пирамиды диагональной плоскостью. (В любой пирамиде, кроме треугольной, диагональное сечение, это треугольник).

Виды пирамид:

 

I. Треугольная, 4-х, 5-и, 6-и угольная и так далее, в зависимости от многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

II. Правильная и неправильная пирамида.

Определение: Пирамида называется правильной, если 1) в основании её лежит правильный многоугольник, 2) вершина пирамиды проектируется в центре основания.

Определение: Апофема- это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины на сторону основания пирамиды.

 

Правильная треугольная пирамида:

 

Точка О делит каждую медиану в отношении 2:1,  откуда следует

     .

           В любой правильной пирамиде, все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. (В частности, иногда равносторонними).

Поэтому апофема является не только высотой, но и медианой боковой грани.

 

Правильная четырёхугольная пирамида:

 

Теорема  о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра её основания на  апофему пирамиды:

.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковой поверхности и площади основания:

 

Объём пирамиды:

Объём пирамиды равен  произведения высоты пирамиды на площадь основания

Задача.

Дано:  ;

Найти:

1)

2)

3)

Решение:

1) Так как пирамида правильная, то - ABCD квадрат, его центр точка О - точка пересечения диагоналей и вершина S проектируется в точку О.

2) Между апофемой и плоскостью основания это угол между апофемой и его проекцией на плоскость основания.

3) Решим прямоугольный треугольник SOF:

  

4)

5) Сторона основания:

6)


;


Ответ:=  

 

Теорема о свойстве параллельных сечений в пирамиде:

Если пирамиду пересечь плоскостью параллельной основанию, то:

1) Боковые рёбра и высота разделяются на пропорциональные части;

2) В сечении пирамиды получается многоугольник, подобный основанию пирамиды;

3) Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

 

Задача .     

 

Дано:  SABCD- пирамида,   SO'=15 см,  H=SO=60 см,  S осн.= 600см2

Найти: S сеч. - ?

Решение:

По теме о свойстве параллельных сечений пирамиды:

,      ,    , отсюда находим

Усечённая пирамида:

Определение: Усечённой пирамидой называется геометрическая фигура, которая получается из пирамиды, если её пересечь плоскостью параллельно основанию и отбросить верхнюю часть.

Виды усечённых пирамид:

1) 3-х, 4-х, 5-и, 6-и и так далее, в зависимости  от многоугольников, лежащих в её основании.

2) Правильная и неправильная усечённые пирамиды.

Теорема о площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:

Площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна половине произведения суммы периметров её оснований на апофему усечённой пирамиды.

Р осн.1=3а1;        -   периметр и площадь верхнего основания;

Р осн.=3а ;             -периметр и площадь нижнего основания.

 

Объём усечённой пирамиды:

,

где  Н = О- высота усечённой пирамиды,    

 

 

Дано: ABCD A1B1D1C1- правильная усечённая пирамида,

a1 = 5 см,  a = 8 см- стороны оснований,

Н = 001= 100 см - высота усечённой пирамиды.

Найти: V

Решение:

Ответ:  V= 4300      

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине ОУД.04 «Математика» по специальности СПО 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Старший рекрутер

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Методические указания к выполнению практических работ предназначаются для студентов первого курса СПО дисциплины ОУД.04 «Математика» по специальности 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», базовый уровень подготовки.

Пособие содержит тематический план практических работ, варианты практических заданий, указания к их выполнению, краткий теоретический материал, необходимый для выполнения практических работ, примеры типовых расчётов заданий, список рекомендуемой литературы, правила оформления работ и отчётов.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 682 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Презентация по математике на тему "Действия с десятичными дробями. Решение задач с помощью уравнений.
  • Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
  • Тема: § 34. Умножение десятичных дробей
  • 21.05.2020
  • 1357
  • 98
«Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 21.05.2020 1312
    • DOCX 47.4 мбайт
    • 47 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кихтенко Нелли Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кихтенко Нелли Анатольевна
    Кихтенко Нелли Анатольевна
    • На сайте: 6 лет и 9 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 42528
    • Всего материалов: 40

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1218 человек из 84 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс повышения квалификации

Психолого-педагогические аспекты развития мотивации учебной деятельности на уроках математики у младших школьников в рамках реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Финансовый риск-менеджмент

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Искусство переговоров: стратегии и тактики в различных сферах жизни

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 23 человека из 12 регионов

Мини-курс

Эффективная корпоративная коммуникация

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе