Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания Расчет характеристик треугольника на плоскости в среде MAPLE

Методические указания Расчет характеристик треугольника на плоскости в среде MAPLE

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

9. Расчет характеристик треугольника на плоскости

Треугольник ABC задан координатами его вершин на плоскости. Найти:

а) длины всех его сторон;

б) уравнения всех его сторон;

в) уравнения его высот AH1, BH2, CH3;

г) координаты точки пересечения его высот K;

д) уравнение медианы AM;

е) уравнение биссектрисы AN;

ж) площадь треугольника ABC;

з) длину высоты CH3.

Сделать чертеж.

Исходные данные:

> restart:

> with(linalg):

> A:=[-3,5]; B:=[-8,-1]; C:=[6,5];

hello_html_7a71db25.gif

hello_html_6f43bdca.gif

hello_html_m22995d0c.gif

Решение примера производим по правилам и формулам, известным из курса аналитической геометрии.

Находим векторы.

> AB:=B-A; AC:=C-A; BC:=C-B;

hello_html_3e8cec7c.gif

hello_html_m66613f9f.gif

hello_html_460caad5.gif

Находим длины векторов.

> ab:=sqrt(AB[1]^2+AB[2]^2); evalf(ab,5);

hello_html_m62ba3e6.gif

hello_html_54227f43.gif

> ac:=sqrt(AC[1]^2+AC[2]^2); evalf(ac,5);

hello_html_33cdc8c.gif

hello_html_1321c4ec.gif

> bc:=sqrt(BC[1]^2+BC[2]^2); evalf(bc,5);

hello_html_m7535f320.gif

hello_html_34b73613.gif

Составляем уравнения сторон. Насколько это возможно, в каждом уравнении алгебраически выражаем y через x, а если это невозможно – то x через y; здесь требуется смотреть по контексту (при затруднениях см. ниже уравнение одной из высот).

> EQAB:=matrix([[x,y,1],[A[1],A[2],1],[B[1],B[2],1]]);

hello_html_m6de596fc.gif

> eqab:=det(EQAB)=0;

hello_html_m48cd5932.gif

> eqab1:=y=solve(eqab,y);

hello_html_5d429845.gif

> EQAC:=matrix([[x,y,1],[A[1],A[2],1],[C[1],C[2],1]]);

hello_html_224ad7c0.gif

> eqac:=det(EQAC)=0;

hello_html_m1c93cc27.gif

> eqac1:=y=solve(eqac,y);

hello_html_2e15be8a.gif

> EQBC:=matrix([[x,y,1],[B[1],B[2],1],[C[1],C[2],1]]);

hello_html_29e598b6.gif

> eqbc:=det(EQBC)=0;

hello_html_m72971373.gif

> eqbc1:=y=solve(eqbc,y);

hello_html_62789270.gif

Составляем уравнения высот. Насколько это возможно, в каждом уравнении алгебраически выражаем y через x, а если это невозможно – то x через y; здесь требуется смотреть по контексту (например, в данном случае по уравнению высоты из точки B нем находим явное значение x).

> bcx:=coeff(lhs(eqbc),x); bcy:=coeff(lhs(eqbc),y);

hello_html_39f86eab.gif

hello_html_m5d7d7791.gif

> eqah:=bcx*(y-A[2])-bcy*(x-A[1])=0;

hello_html_m5691631.gif

> eqah1:=y=solve(eqah,y);

hello_html_6240ebf5.gif

> acx:=coeff(lhs(eqac),x); acy:=coeff(lhs(eqac),y);

hello_html_m40e985e.gif

hello_html_m60b82ccd.gif

> eqbh:=acx*(y-B[2])-acy*(x-B[1])=0;

hello_html_3e60781d.gif

> eqbh2:=x=solve(eqbh,x);

hello_html_524eafbb.gif

> abx:=coeff(lhs(eqab),x); aby:=coeff(lhs(eqab),y);

hello_html_1a111c36.gif

hello_html_m33a1c2db.gif

> eqch:=abx*(y-C[2])-aby*(x-C[1])=0;

hello_html_2fcabf47.gif

> eqch3:=y=solve(eqch,y);

hello_html_m15e2b984.gif

Находим координаты точки пересечения высот. Для этого решаем систему из каких-нибудь двух уравнений высот.

> sys:={eqah,eqbh};

hello_html_m5450c92a.gif

> tpv:=solve(sys,{x,y});

hello_html_m4f6748d6.gif

К сожалению, при каждом пересчете документа порядок следования переменных в решении системы произвольный, поэтому и нужна приведенная ниже конструкция.

> tpv1:=op(1,tpv); tpv2:=op(2,tpv);

hello_html_312c0b32.gif

hello_html_426ef0f.gif

> if lhs(tpv1)=y then K[1]:=rhs(tpv2); K[2]:=rhs(tpv1); else K[1]:=rhs(tpv1); K[2]:=rhs(tpv2); fi;

hello_html_590a3580.gif

hello_html_785e52f.gif

Делаем проверку: подставляем найденные координаты точки пересечения высот в уравнение третьей высоты.

> subs(x=K[1],y=K[2],eqch); evalb(%);

hello_html_6ec4d82a.gif

hello_html_30b8eca5.gif

Находим координаты точки M и уравнение медианы AM.

> M[1]:=(B[1]+C[1])/2; M[2]:=(B[2]+C[2])/2;

hello_html_m470066f4.gif

hello_html_4bb003b2.gif

> EQAM:=matrix([[x,y,1],[A[1],A[2],1],[M[1],M[2],1]]);

hello_html_4a26b53b.gif

> eqam:=det(EQAM)=0;

hello_html_70bbe8b9.gif

> eqam1:=y=solve(eqam,y);

hello_html_93b82cd.gif

Находим координаты точки N и уравнение биссектрисы AN.

> N[1]:=(ab*C[1]+ac*B[1])/(ab+ac); evalf(N[1],5);

hello_html_m554aab00.gif

hello_html_m5304af0c.gif

> N[2]:=(ab*C[2]+ac*B[2])/(ab+ac); evalf(N[2],5);

hello_html_m5a548e33.gif

hello_html_m7d1c91ec.gif

> EQAN:=matrix([[x,y,1],[A[1],A[2],1],[N[1],N[2],1]]);

hello_html_191d4bf2.gif

> eqan:=det(EQAN)=0;

hello_html_2809dc4a.gif

Уравнение биссектрисы представляем в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом в виде двух слагаемых – первое содержит x.

> reqan1:=collect(solve(eqan,y),x): y=reqan1;

hello_html_m18494e6e.gif

> kan1:=coeff(reqan1,x); evalf(kan1,5);

hello_html_m78d2c0d0.gif

hello_html_m3c4a9834.gif

Функция op возвращает не только элемент множества, но и слагаемое с указанным порядковым номером в указанном алгебраическом выражении.

> ban1:=op(2,reqan1); evalf(ban1,5);

hello_html_1ff09b66.gif

hello_html_md269832.gif

Находим площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах AC и BC, затем длину высоты, проведенной из точки C.

> Spar:=abs(BC[1]*AC[2]-AC[1]*BC[2]); Str:=Spar/2;

hello_html_69c97592.gif

hello_html_m6713e8e6.gif

> ch1:=Spar/ab; evalf(ch1,5);

hello_html_m2e7cc2d5.gif

hello_html_2a9996b6.gif

Строим чертеж треугольника, показанный ниже на рис. 9.1, для чего предварительно определяем массив координат точек A, B, C и A (чтобы линия имела вид замкнутого многоугольника).

> pts:=[A,B,C,A];

hello_html_mdd476e9.gif

> plot(pts,axes=normal,style=line,color=black);

hello_html_471abde6.gif

Рис. 9.1

Результаты расчётов сводятся в таблицу командой Insert Spreadsheet. Такая таблица заполняется, как показано на рис. 9.2.

hello_html_1a5b0352.jpg

Рис. 9.2

Как показано на рис. 9.2, в ряд ячеек записывается поясняющий текст в кавычках – при выводе он так в кавычках и останется. Для отображения результатов расчётов в ряд ячеек вставляются формулы. Завершает ввод формулы клавиша Enter.

B2: B

C2: C

A4: ab

B4: ac

C4: bc

A6: eqab1

B6: eqac1

C6: eqbc1

A8: eqah1

B8: eqbh2

C8: eqch3

B9: convert(K,list)



B10: convert(M,list)



B11: eqam1



B12: convert(N,list)



B13: y=reqan1



B14: Str



B15: ch1




Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 29.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров43
Номер материала ДБ-059019
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх