Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания "Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические указания "Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям"

библиотека
материалов















ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ







Методические указания.
























ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение……………………………………………………………………

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными…………………………..

2.Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка……………………………………………………………….

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

3.Дифференциальные уравнения второго порядка………….…

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

Ответы…………………………………………………………………………

Литература……………………………………………………………………


















ВВЕДЕНИЕ



Математическое описание самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные этой функции. Такого рода уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями. (В дальнейшем будем называть их дифференциальными уравнениями). Если в дифференциальное уравнение входит только независимая переменная, функция и её первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем виде его можно записать так: hello_html_m12deaf03.gif

если оно решается относительно производной, то его можно записать так: hello_html_47b3fba1.gif

Если дифференциальное уравнение содержит ещё и производную второго порядка от искомой функции, то оно на- зывается дифференциальным уравнением второго порядка:

hello_html_m79a0dd5e.gif

Основную трудность при решении задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующего закона физики, химии, зоологии, биологии и умение переводить эти задачи на математический язык.

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.













1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.


Задача 1. Найти закон движения свободно падающего в пусто-

те тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой hello_html_532aa7b9.gif.


Решение.

Скорость переменного движения есть производная по времени. Поэтому hello_html_24985a4a.gif =gt (1.1)

Из этого уравнения следует, что функция s есть первообразная функции gt. Следовательно, hello_html_m29615ebd.gif или hello_html_43d282aa.gif (1.2)

Для определения произвольной постоянной С используем то условие, что начало отсчёта пути совпадает с началом отсчёта времени, то есть при t = 0 s = 0. Подставляя эти значения в равенство (1.2), находим 0 = 0+С, то есть С = 0, и следовательно, окончательно получаем hello_html_m1bda6737.gif.



Задача 2. (Об охлаждении тела). Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 200С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100 до 600С. Определить закон изменения температуры hello_html_a27208.gif тела в зависимости от времени t.


Решение.

Согласно условию задачи имеем hello_html_52ef71.gif или

hello_html_m6112a2cf.gif(1.3)

где k>0 – коэффициент пропорциональности и x = hello_html_a27208.gif - 20.

Разделяя в уравнении (1.3) переменные и затем, интегрируя, получаем hello_html_m7b973e05.gif

hello_html_m37fb5f7c.gif,

что после потенцирования даёт hello_html_m5de83009.gif.

Для определения С используем начальное условие x = 80 при

t =0:

hello_html_mca9db59.gif

Следовательно, hello_html_7dca8142.gif илиhello_html_m69a9c298.gif откуда hello_html_7fb7abbf.gif

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополни - тельного условия: при t = 20, hello_html_a27208.gif = 60. Отсюда 60=20+80hello_html_m2bc227e5.gif или

hello_html_m2bc227e5.gif=hello_html_m3907a0ac.gif и, следовательно, hello_html_m4c4b3668.gif.

Итак, искомая функция hello_html_m28ba4cb6.gif.



Задача 3. (О движении моторной лодки). Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью hello_html_m444a462e.gif. На полном ходу её мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до hello_html_m738bffbc.gif Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Определить скорость движения лодки через 2 мин. после остановки мотора.


Решение.

На движущуюся лодку действует сила сопротивления воды

hello_html_1597e6e0.gif,

где hello_html_41714df5.gif>0 – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны по второму закону Ньютона hello_html_29fd5289.gif

и, значит, hello_html_2beae1a3.gif или hello_html_3299403a.gif.

Решим это дифференциальное уравнение, разделяя переменные и интегрируя, получим:

hello_html_m5436bcfb.gif

После потенцирования получаем:

hello_html_m4c3636d.gif

Найдём С, используя начальное условие hello_html_m444a462e.gif при t = 0:

hello_html_491e6530.gif

Поэтому hello_html_4858fbef.gif.

Теперь, используя дополнительное условие – при t = 40c = hello_html_m235cc0a1.gifhello_html_656f476f.gif - получаем hello_html_m5b57aaf3.gif или hello_html_m4e58589c.gif

Следовательно, hello_html_mede7685.gif.

Отсюда искомая скорость равна:

hello_html_m58ab7aba.gif


Задача 4. (О потере заряда проводником). Изолированному проводнику сообщим заряд hello_html_5bec2466.gif Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент времени пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении времени t = 10 мин., если за первую минуту потеряно 100 Кл?


Решение.

Пусть в момент времени t заряд проводника равен hello_html_m1d5b97d8.gif. Тогда скорость потери заряда в этот момент времени равна - hello_html_m7b017ebf.gif. По условию задачи hello_html_m735a6bb6.gif или hello_html_23f4093a.gif,

где hello_html_41714df5.gif>0 – коэффициент пропорциональности.

Решим последнее уравнение – это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

hello_html_24a750f1.gif

Потенцируя, последнее уравнение получим:

hello_html_m5cea087f.gif

Используя начальное условие hello_html_m66ecc753.gif при t = 0, найдём С:

hello_html_m59336b8d.gif

Следовательно, hello_html_e6c4b2a.gif

Далее, используя дополнительное условие – при t = 1 мин. hello_html_m6f0715c0.gif, имеем hello_html_m5324de25.gif, hello_html_629777cb.gif

Поэтому hello_html_m645e2250.gif

Следовательно, через 10 минут на проводнике останется заряд

hello_html_76540433.gif


Задача 5. (Заряд конденсатора). Конденсатор ёмкостью С включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R. Определить заряд конденсатора в момент времени t после включения.



Решение.


Сила I электрического тока представляет собой производную от количества электричества q, прошедшего через проводник, по времени t hello_html_370652f5.gif В момент t заряд конденсатора q и сила тока hello_html_m34d954f.gif в цепи действует электродвижущая сила Е, равная разности между напряжением цепи U и напряжением конденсатора hello_html_56a6715f.gif то есть hello_html_mf85de31.gif

Согласно закону Ома hello_html_m8d1657a.gif

Поэтому hello_html_m33f90b6e.gif

Отсюда hello_html_352385dd.gif

или hello_html_m23805c40.gifhello_html_5c2ecd95.gif,

то есть, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Решим его:

hello_html_5b1dc73.gif

hello_html_7e7d8320.gif

hello_html_64090a8b.gif

используя начальное условие x = СU при t=0, получим: hello_html_264b06a6.gif или hello_html_m423cf0d7.gif

Откуда hello_html_263c051f.gif



Задача 6. (Падение с парашютом). Составить закон движения парашютиста, масса тела которого равна m.


Решение.

При падении тел в безвоздушном пространстве их скорость равномерно увеличивается. Иначе обстоит дело, если падение происходит в воздухе. Будем для простоты считать, что сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости падения. Сила F, действующая на тело массы m, равна hello_html_m6548e959.gif(знак минус перед hello_html_41714df5.gifпоставлен потому, что сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную направлению падения). Далее, так как по второму закону Ньютона hello_html_29fd5289.gif, где hello_html_7a222543.gif - ускорение, получаем уравнение:

hello_html_360adb8e.gif

или

hello_html_515f789d.gif

с начальным условием hello_html_m71d461a.gif при t = 0. Отсюда, вводя обозначе- ние hello_html_m504ee88.gif, получаем hello_html_5bac431d.gif с начальным условием hello_html_5584d0c.gif при t = 0, то есть имеем уравнение с разделяющимися переменными и начальным условием hello_html_5584d0c.gif при t = 0.

Значит hello_html_6304685e.gif или hello_html_m56ab306b.gif откуда hello_html_568f2026.gif

По прошествии некоторого времени hello_html_m67481677.gif станет очень малым числом и скорость падения будет почти в точности равна hello_html_m35c35e43.gif, то есть падение станет равномерным.

Теперь найдём закон движения парашютиста s = s(t). Для этого перепишем найденное выражение для скорости hello_html_m4f3bf8.gif в виде

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4428ee3b.gif,

откуда

hello_html_3561e27d.gif

что после интегрирования hello_html_m31950354.gif

где С – производная постоянная. Для отыскания С заметим, что при t = 0 пройденный путь равен нулю, то есть при t = 0 имеем

S = 0.

Подставляя эти значения в последнее равенство, получаем

hello_html_74dedade.gif, т.е. hello_html_m4661016e.gif. Итак, закон движения парашютиста имеет вид hello_html_m4d4be9b5.gif


Задача №7 (О прожекторе). Определить форму зеркала, обладающего тем свойством, чтобы все лучи, исходящие из источника света, помещённого в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси.


Решение.

Для решения задачи будем рассматривать плоское сечение зеркала, проходящее через ось вращения. Поместим источник света в начале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью Ох (см. рис. 1). Обозначим через hello_html_7e387e14.gif угол, образованный осью Ох и касательной AS в произвольной точке сечения М (х; у).

hello_html_m2c6c1280.gif

x


Наша цель найти форму сечения, то есть зависимость координаты у от координаты х: у=у(х). Ломанная ОМТ изображает путь луча, исходящего из источника света в точке О и отражающегося в точке М от поверхности зеркала параллельно оси Ох. Проведём нормаль МN и опустим из точки М на ось Ох перпендикуляр МР. Так как hello_html_35eb73b3.gif(угол падения равен углу отражения), имеем hello_html_7707454f.gifhello_html_7c7130cc.gif.

Следовательно, hello_html_e2260ac.gifNOM – равнобедренный и поэтому ОМ = ОN. Кроме этого, по построению hello_html_4b0a290e.gif. Можно переходить к составлению дифференциального уравнения:

ОN = РN – PO, PN= ytghello_html_7e387e14.gif, PO = -x, ON=OM=hello_html_5b975a1.gif,

ON = ytghello_html_7e387e14.gif + x =hello_html_m592258fc.gif.

Учитывая геометрический смысл производной: hello_html_m5920b95.gif, получаем для определения зависимости у от х дифференциальное уравнение первого порядка

hello_html_57071b16.gif.

Для нахождения решения уравнения преобразуем его следующим образом. Умножаем обе части равенства на 2dx:

hello_html_m1832e867.gifили hello_html_m154b3aa1.gif

Подстановкой hello_html_m6ca6f3f7.gif приводим уравнение к уравнению с разделяющимися переменными hello_html_me519a59.gif.

которое преобразуется к виду hello_html_mce5c268.gif

Отсюда находим hello_html_68130502.gif.

Заменяя переменную z её выражением через х и у, получаем

hello_html_m140dc34d.gif

Упрощая полученное уравнение возведением в квадрат обеих его частей, получаем hello_html_1ad174ac.gif

Таким образом, искомая кривая – парабола с параметром р = С и вершиной, лежащей на расстоянии hello_html_m1acda68b.gif влево от начала координат (см. рис. 2). Следовательно, искомая отражательная поверхность – параболоид вращения.





2. Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка.



Задача №1.

Скорость v, путь s и время t связаны уравнением hello_html_m302512b6.gif. Найти закон движения, если при t = 0 s = 2.


Решение:

Так как hello_html_m7cd3f961.gifhello_html_17eca120.gif,hello_html_m53d4ecad.gifто подставляя это значение v в данное hello_html_m53d4ecad.gifуравнение, получаем дифференциальное уравнение движения:

hello_html_42896015.gif

или hello_html_781f92f3.gif - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его методом Бернулли, применив подстановку hello_html_m4b54df22.gif, где hello_html_m3e70d7e0.gif, hello_html_m56ea36c7.gif; hello_html_5dfedab3.gif, получаем hello_html_m31299b9.gif

Сгруппировав члены, содержащие u и вынеся за скобки общий множитель, получим

hello_html_78ff937d.gif

Выражение в скобках приравняем к нулю:

hello_html_m4f5c6473.gifhello_html_394de20f.gif

Для отыскания u имеем уравнение:

hello_html_m1d854acf.gif

hello_html_56b9b64f.gif

По условию при t=0 s=2 и поэтому С=2. Таким образом, искомый закон движения hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2e1293aa.gif.


Задача2.

В помещении для крупного рогатого скота работают 2 вентилятора, каждый из которых в минуту доставляет по 60м3 чистого воздуха, содержащего 0,01% углекислоты. Полагая, что в коровнике объёмом 1600м3 с начальным содержанием углекислоты в 0,2% находится 120 коров, каждая из которых выдыхает в минуту 0,1м3 воздуха с 5% углекислоты, определить наличие углекислоты в 1м3 воздуха после двухчасового содержания животных в помещении.


Решение.

Пусть содержание углекислоты в 1м3 воздуха в момент времени t есть y(t) (в дальнейшем y). Скорость изменения концентрации равна приращению углекислоты hello_html_2e85d6ba.gifу, делённому на соответствующий промежуток времени hello_html_2e85d6ba.gift; hello_html_2e85d6ba.gifу определяется углекислотой:

  1. выделяемой при дыхании 120 животных,

hello_html_m64c0958d.gif

  1. вводимой вентилятором на каждый кубометр,

hello_html_m4d911d58.gif

  1. удаляемой за счёт работы вентиляторов

hello_html_m3489d26b.gif


Следовательно,

hello_html_m752759b2.gif

Как видим, скорость изменения содержания углекислоты пропорциональна у. Перейдя к пределу при hello_html_m717eba36.gif, имеем:

hello_html_3db0ea4.gif. Получено линейное дифференциальное уравнение. Находим его решение. Имеем: hello_html_m4209496d.gif

Обозначим hello_html_m60bd8173.gif тогда hello_html_31151198.gif Примем следующее обозначение: hello_html_336a949d.gifhello_html_m24eb331d.gif и подставим в последнее уравнение. В результате получим:

hello_html_m4bd1e3cb.gif

Положим hello_html_5de37c52.gif Тогда, учитывая, что hello_html_b75c014.gif, имеем

hello_html_448fb08f.gif

hello_html_5fecceeb.gif

Определим произвольную постоянную С. При t = 0 согласно условию задачи у = 0,002. hello_html_m33d770ec.gif

Окончательно имеем:

hello_html_9a4cdce.gif

Если t = 120, то уhello_html_m3132e3c.gif0,00517, так как второй член очень мал

hello_html_m4dfda54f.gif

Таким образом, количество углекислоты в 1м3 (концентрация) увеличится в hello_html_4f2c8466.gif раза и в дальнейшем увеличиваться уже не будет благодаря работе вентиляторов.













Задачи для самостоятельного решения.


  1. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением hello_html_457a64b2.gif

Найти путь, пройденный им за 6с от начала движения.


  1. Скорость прямолинейного движения тела hello_html_m43fd18ee.gif. Определить путь его за третью секунду.

  2. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые 10с тело проходит 100м, за 15с – 200м. Какой путь пройдёт тело за время t?

  3. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 200С, и тело в течение 20 мин. Охлаждается от 100 до 60hello_html_6538c4a.gifС, то через сколько времени его температура понизится до 300С?

  4. Для сохранения спермы самцов – производителей, её на длительное время замораживают и держат при температуре -40С. За сколько времени сперма охладится до 00С, если её начальная температура 300С и известно, что за 20мин. в термостате она охлаждалась до 200С? Скорость охлаждения прямо пропорциональна разности между температурой тела и температурой в термостате.

  5. Найти закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря.

  6. Опытным путём установлено, что при брожении кормов скорость изменения массы (прироста) действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Найти закон изменения массы фермента в зависимости от времени.

  7. Скорость сокращения мышцы описывается уравнением hello_html_m7b1223d6.gif

где х0 – полное сокращение мышцы;

hello_html_m154a5599.gif- постоянная величина, зависящая от нагрузки;
х – сокращение мышцы в данный момент.

Найти закон сокращения мышцы, если х = 0 при t = 0.






3.Дифференциальные уравнения второго порядка.


Задача 1.

Тело движется прямолинейно с ускорением hello_html_m11467672.gif

Найти закон движения тела, если в начальный момент движения, пройденный путь и скорость равны нулю.


Решение.


Решая данное уравнение, как уравнение типа hello_html_3eab9467.gif, получаем hello_html_m2a4d8c25.gif

Теперь, используя начальные условия s(0) = 0, hello_html_45aeed9c.gif, находим: С2 = 0, С1 = 0.

Следовательно, hello_html_m61dabf85.gif


Задача 2.

Материальная точка массой m движется по прямой линии к центру О, притягивающему её силой hello_html_m2028b02e.gif, где r – расстояние от точки до центра. Движение начинается с состояния покоя при r=a. Найти время, за которое точка достигает центра.

hello_html_6cb3c558.png


Решение.

По условию задачи в любой момент времени t на точку действует сила hello_html_m1e5d8afe.gif. (Иначе сила = масса hello_html_m3c62c67f.gif ускорение). Ускорение равно hello_html_m67c2122a.gif. Получаем дифференциальное уравнение: hello_html_m3ae8e8f7.gif или hello_html_5c1a5a3c.gif - дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной и производной первого порядка искомой функции.

Обозначим hello_html_m7d192e58.gif. Тогда hello_html_m1e58ee4f.gif и последнее уравнение перепишем в виде hello_html_m5b7942a7.gifдифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя будем иметь:

hello_html_m5e0b1edf.gif

Откуда hello_html_70400d31.gif(перед радикалом ставится знак минус, так как по смыслу задачи функция r убывает и hello_html_m603b1092.gif).

Или hello_html_ce96b7a.gif

Разделяя переменные в последнем уравнении и затем интегрируя, получаем:

hello_html_m3caeabe9.gifили hello_html_m56db5292.gifhello_html_m63fcdb2c.gif

Используя начальные условия, имеем: при t = 0, r = a, hello_html_6ec139c5.gif.

Получим: hello_html_m4c39ba9.gifhello_html_m3b926cf9.gif

Откуда: hello_html_m50e00b4c.gifhello_html_5dfcabb4.gif.

Поэтому: hello_html_7e2de771.gif.

Когда точка достигнет центра О, расстояние r = 0 и искомое время hello_html_6b162bff.gif.












Задачи для самостоятельного решения.


  1. Тело движется с ускорением hello_html_m6251b298.gif. Найти закон движения тела, если в начальный момент движения, пройденный путь и скорость равны нулю.


10. Ускорение прямолинейного движения пропорционально времени. Найти зависимость между пройдённым расстоянием и временем, если при t = 0, hello_html_7a89d403.gif = 0 и s = 0, а также при t = 1, s = hello_html_m19e8bb17.gif.

11. Ускорение прямолинейного движения пропорционально квадрату времени. Найти зависимость между s и t, если t = 0, hello_html_7a89d403.gif = 0 s = 1, и при t = 1 s = 2.


12. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72км/ч. Во сколько времени и, на каком расстоянии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса?


























Ответы:


  1. 162см.

  2. 9см.

  3. hello_html_m4effb01f.gif

  4. через 60мин.

  5. 126мин.

  6. hello_html_c3a4d5.gif, где hello_html_37a11c37.gif - атмосферное давление над уровнем моря: hello_html_cc1127f.gif – высота; hello_html_m5faf1d98.gif>0.

  7. hello_html_d850f96.gif, где hello_html_4011414b.gif - масса фермента, образованного к моменту времени t.

  8. hello_html_6c527340.gif

  9. hello_html_4419fe36.gif

10. hello_html_3a1e0813.gif

  1. hello_html_62472e15.gif.

  2. hello_html_m270dd0b.gif;hello_html_42d63dcb.gif

























Литература:




  1. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1985.

  2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2002.

  3. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Academa 2002.

  4. Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998

  5. Шипачев В.С. Краткий курс высшей математики. М.: Проспект, 2002.

  6. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления. М.: Наука, 1976.

  7. Данко П.В., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая матема- тика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 2002, ч.2.

























Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 10.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров689
Номер материала ДВ-324129
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх