Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические рекомендации к практическим работам по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО 260807 Технология продукции общественного питания

Методические рекомендации к практическим работам по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО 260807 Технология продукции общественного питания

Скачать материал

 

 

 

Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ульяновский техникум питания и торговли

Наименование документа методические рекомендации к практическим работам по дисциплине «Математика» 2060807

Условное обозначение ЕН..01

Соответствует  ГОСТ Р ИСО 9001-2008, ГОСТ Р 52614.2-2006 

(п.п.  4.1, 4.2.3, 4.2.4, 5.5.3, 5.6.2, 8.4, 8.5)

Редакция № 1

Изменение № 0

Лист 1 из

59

Экз. № 1

УТВЕРЖДАЮ 
________ А.А.Красников 
 «___»._________.20___ г.

 

 

 

 

методические рекомендации

к практическим работам 

по учебной дисциплине

ЕН.01  МАТЕМАТИКА

основной профессиональной образовательной программы (ОПОП)

по специальности СПО

260807 Технология продукции общественного питания

базовой подготовки

 

 

 

 

 

 

Ульяновск, 2014

 

 

 

 


РЕКОМЕНДОВАНА

на заседании цикловой методической комиссии (МК) _______________________________ дисциплин

Председатель МК

________________

 

Протокол заседания МК

№ ______ от ____________20___ г.

 

         СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по учебной работе

___________Е.А. Осипова

 

_____________ 20___ г.

 

 

 

Авторы – разработчики:


Дедушкина Татьяна Петровна - преподаватель высшей категории ОГБОУ СПО УТПиТ

 

Чекулаева Мария  Евгеньевна - преподаватель высшей категории ОГБОУ СПО УТПиТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………………….

Раздел 1. Методы математического анализа………………………….

Тема 1.1. Бесконечная числовая последовательность. Предел числовой последовательности…………………………………………

Практическая работа 1.Бесконечная числовая последовательности……………………

Практическая работа 2. Вычисление предела последовательности……………………..

Практическая работа 3.Предел функции….

Практическая работа 4.Предел функции………….

Практическая работа 5.Решение прикладных задач…………….

Практическая работа 6. Производная функции

Практическая работа № 7.Исследование функции с помощью производной.

Практическая работа № 8.Вычисление интегралов

Практическая работа № 9. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Практическая работа № 10. Частные производные

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Практическая работа № 11. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Практическая работа № 12. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка различными способами

Тема 1.3. Ряды

Практическая работа № 13. Числовые ряды. Разложение функции в ряд Маклорена

Раздел 2. Основы дискретной математики

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений.

Практическая работа № 14. Операции над множествами

Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 3.1. Вероятность.

Практическая работа 15.Сложение и умножение вероятностей

Практическая работа № 16. Случайная величина, её функция распределения

 Практическая работа № 17. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Раздел 4. Линейна алгебра

Тема 4.1.Основные понятия теории матриц

Практическая работа №18. Операции над матрицами

Практическая работа № 19. Вычисление определителя матриц

Практическая работа №20. Численное интегрирование

Практическая работа №21. Численное дифференцирование

Практическая работа №22. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Практическая работа №23. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Практическая работа № 24.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Литература

Приложение

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Учебное пособие разработано для старших курсов (второго и третьего) на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников специальности 100801 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров. Основная задача курса – обеспечение студентов математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин, разработки курсовых и дипломных проектов, для профессиональной деятельности.

В результате изучения предмета студенты должны усвоить математические понятия, производить анализ задач, применять свои знания на практике, решать прикладные математические задачи профессионального содержания.

 В результате изучения курса дисциплины «Математика» у студента должны быть сформированы следующие общие и профессиональные компетенции:

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с помощью информационно-коммуникационных технологий.

ОК7

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности

ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности; знать значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы; основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики; основные методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности; основы интегрального и дифференциального исчисления.

.В пособии представлено содержание всех практических работ, которые должен выполнить студент. Каждая работа включает краткую теорию и задания. В конце каждой темы приведены задания для самостоятельного решения. Итоговая отметка выставляется на основе отметок, полученных по всем работам. Если какая-либо работа студентом не выполнена и отметка за нее не выставлена, то она оценивается как «2» - неудовлетворительно. Результаты выполнения практических работ заносятся в таблицу 1. Отчет по практической работе оформляется в рабочей тетради по образцу (Приложение 1).

 

 

Раздел 1. Методы математического анализа

Тема 1.1.Бесконечная числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

Практическая работа 1. Бесконечная числовая последовательность

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

2) Знать определение последовательности, виды последовательностей.

3) Уметь определять вид последовательности.

 

Краткая теория

 

Всякий занумерованный бесконечный набор чисел X1, X2, X3,…называется числовой последовательностью.

Пример: розничный товарооборот (тыс. руб.) 1220, 13200, 14400, 16200, 17800.

Числовая последовательность Xnn = 1, 2, .. называется ограниченной, если найдется число M>0 такое, что для всех номеров n = 1, 2,…выполнено неравенство |Xn|<M, или, что то же, двустороннее неравенство –M<Xn<M. Геометрически это означает, что все точки Xn, n=1, 2,… расположены на некотором отрезке [-M, M] и, следовательно, образуют ограниченное множество.

Пример: заработная плата зависит от числа рабочих часов в день: 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400.  Эта последовательность ограничена сверху, так как Xn<M=25000 и ограничена снизу 200<X1

Пример ограниченной последовательности: Xn= , n=1, 2, …так как  для всех n= 1, 2, …|Xn|=≤1

В качестве числа М>0, ограничивающего последовательность, можно взять число М≥1.

Пример:  цена и число продаж взаимосвязаны  

Последовательность Xn, n=1, 2,…называется неограниченной, если какое бы большое число М >0 ни взять, всегда найдется номер nтакой, что |Xn|>M.

Числовая последовательность называется бесконечно малой, если она удовлетворяет следующему условию: каково бы ни было сколь угодно малое число ε>0, всегда найдется номер N такой, что для всех номеров n>N справедливо неравенство |αn|<ε.

Числоа называется пределом числовой последовательности Xn, n= 1, 2,…, если разность αn= Xnявляется бесконечно малой последовательностью.

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися

Число а называется пределом числовой последовательности Xn, если для любого ε>0 найдется номер N такой, что для всех номеров n>Nсправедливо неравенство |Xn-a| <ε.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение числовой последовательности.

2.Какая последовательность называется ограниченной?

3.Какая последовательность называется неограниченной?

4.Какая последовательность называется бесконечно малой?

5.Какие последовательности называются сходящимися?

6.Дайте определение предела числовой последовательности?

Задания

1.Определите является ли последовательность ограниченной или неограниченной.

А) Xn=, n = 1, 2, 3,…    ;              б) Xn = n, 1, 2,…  ;  Какая из этих последовательностей является бесконечно большой или бесконечно малой?

2.Докажите, что последовательность:

|при n четном

|

X=    |     при nнечетном ,        ограничена снизу, но не ограничена сверху.

 

3.Найти предел последовательности

1)        2)       3) 4)

4.Найти сумму членов последовательности

(1/2), (1/2)2, (1/2)3, (1/2)4,…   n=4

5.Общую полезность (У) в зависимости от дохода (Х) можно представить в виде последовательности:   Найти предел этой последовательности при условии: Х→∞

 

Оценочный лист

 

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

1.Владеет терминологией по теме.

 

2.Владеет символикой по теме работы.

 

3.Владеет навыками построения последовательностей на профессиональную информацию (товарооборот, спрос, …)

 

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

4. Планирует устный ответ на поставленный вопрос

 

5. Дает четкие и точные определения математических понятий

 

6. Приводит примеры последовательностей профессионального характера

 

7. Обосновывает свои действия

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -12-14 баллов;  «4» - 9-11 баллов; «3» - 5-8 баллов; «2»- 0-4 балла.

 

Практическая работа 2

Вычисление предела последовательности

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.

 

2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов.

3) Уметь определять предел последовательности, использовать свойства пределов, решать прикладные задачи на определение предела последовательности.

 

Краткая теория

 

Постоянное числоA  пределом функции y= f(x)в точкеx=a, если для всех x, сколь угодно мало отличающихся ота, т.е.  (|x-a|)<δ),значение функцииy сколь угодно мало отличается от числа A, т.е. (|y-A|<ε), т.е. если при xa, yA, то.

Правила предельного перехода:

1.Предел суммы или разности равен сумме или разности пределов lim(x+y)=limx+limy;

lim(x-y)=limx- limy.

2.Предел произведения равен произведению пределов lim(xy)=limxlimy

3.Предел отношения равен отношению пределов lim{x/y)=limx/limy

Свойства пределов:

1.limA=A, если А=constпредел постоянной равен этой постоянной

2. lim (Cy)=Climy, еслиС = const  постоянную можно вынести за знак предела.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение предела функции.

2.Сформулируйте правила предельного перехода.

3.Каковы свойства пределов.

Задания

1)Доходная эластичность  определяется по формуле: е=.

Относительное изменение спроса зависит от времени  tпо формуле: относительное изменение спроса =    t2-5t+6  Относительное изменение дохода = t2-6t+8

Вычислить предел эластичности при t→2

2)Вычислить предел функции: ; ;  ;

 

 ; 

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

 

1.Владеет терминологией по теме.

 

2. Дает четкие и точные определения математических понятий

 

3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров предприятия общественного питания

 

 

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

4. Использует правила определения пределов

 

 

5. Предлагает свои методы решения задач.

 

 

6. Правильно применяет свойства пределов

 

 

7. Предлагает свои способы определения пределов параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

8.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела последовательности

 

1.               9.Самостоятельно решает проблему поиска предела последовательности, составленной из параметров деятельности предприятия общественного питания

 

10.Понимает значимость своей работы.

 

11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности.

 

12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме

 

ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.

 

13.Использует приемы определения предела последовательности к определению оптимизации товарооборота

 

14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности

ИТОГО:

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -24-28 баллов;  «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.

 

 

Практическая работа 3

Предел функции

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.

2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, правилами раскнытия неопределенности  .

3) уметь решать прикладные задачи на раскрытие неопределенности  .

Краткая теория

Для раскрытия неопределенности вида  необходимо предварительно дробь сократить, разложив на множители, а затем найти предел.

Пример 1

=

Здесь использовалась формула: a2-b2=(a-b)(a+b)

Пример 2

 =  =  = 3

В этом примере используется разложение квадратного трехчлена на множители (x-x1)(x-x2)

Пример 3

 =  =

Применяли: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Контрольные вопросы

1.Какой существует прием для раскрытия неопределенности  ?

2. Как разложить на множители квадратный трехчлен?

 

 

Задания

1) 2)

 

3) 4)

5)       6)

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

 

1.Владеет терминологией по теме.

 

2. Дает четкие и точные определения математических понятий

 

3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров торгового предприятия, где раскрывается неопределенность 0/0

 

 

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

4. Использует правила раскрытия неопределенности 0/0

 

 

5. Предлагает свои методы решения задач.

 

 

6. Правильно применяет приемы раскрытия неопределенности 0/0

 

 

7. Предлагает свои способы определения пределов на раскрытие неопределенности 0/0 для последовательности параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

8.Самостоятельно решает проблему нахождение предела при раскрытии неопределенности 0/0

 

 

 

9.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции

 

10.Понимает значимость своей работы.

 

11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности.

 

12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме

 

ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.

 

13.Использует приемы раскрытия неопределенности 0/0 для последовательности к определению оптимизации товарооборота

 

14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности

ИТОГО:

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -24-28 баллов;  «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.

 

Практическая работа 4

Предел функции

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.

2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, правилами раскрытия неопределенности ∞ /∞

3) уметь решать прикладные задачи на раскрытие неопределенности ∞/∞.

Краткая теория

Для раскрытия неопределенности вида  необходимо числитель и знаменатель разделить на x с наибольшим показателем степени.

Пример 1.

= ==∞

Контрольные вопросы

1. Какой существует прием для раскрытия неопределенности  ?

2. Чему равен предел отношения 1/∞ ?1/0?

Задания

1)             2)

 

3)Минимальный средний уровень торговой надбавки=

Фактический уровень издержек = x3+2x2+4   расчетная ставка налога на добавленную стоимость = 4x3-3x2+5рассчитать предел при x→∞

.

;   

 

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

 

1.Владеет терминологией по теме.

 

2. Дает четкие и точные определения математических понятий

 

3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров торгового предприятия, где раскрывается неопределенность ∞/∞

 

 

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

4. Использует правила раскрытия неопределенности ∞/∞

 

 

5. Предлагает свои методы решения задач.

 

 

6. Правильно применяет приемы раскрытия неопределенности ∞/∞

 

7. Предлагает свои способы определения пределов на раскрытие неопределенности ∞/∞ для последовательности параметров деятельности  предприятия общественного питания

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

8.Самостоятельно решает проблему нахождение предела при раскрытии неопределенности ∞/∞

 

9.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции

 

10.Понимает значимость своей работы.

 

11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности.

 

12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме

 

ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.

 

13.Использует приемы раскрытия неопределенности 0/0 для последовательности к определению оптимизации товарооборота предприятия общественного питания

 

14.Использованть данные по ассортименту блюд  для определения предела последовательности

ИТОГО:

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -24-28 баллов;  «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.

 

Практическая работа 5

Решение прикладных задач

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.

2) Знать определение предела последовательности, свойства пределов, приемы использования замечательных пределов.

3) уметь решать прикладные комбинированные задачи на применение замечательных пределов.

Краткая теория

Первый замечательный предел: =1

Второй замечательный предел:  = e;

=e

Пример 1

 =  = * 1=

Пример 2

 = )=e

Контрольные вопросы

1. Чему равен предел отношения при x→0 ?

2.Чему равен предел функции вида (1+x)1/xпри x→0?

3.Чему равен предел функции вида при x→∞?

Задания

Найти предел функции:

1)   ;   2)

3)    ;  4)

5)     6) x/2

 

6)Lim [(x2-9)2/(x2-6x+9)]

     x→3

7) ;  

 

   8) lim [(x2-5x+6)/(x2-12x+20)]

      x→2

   9) lim [(tg4x)/x]

       x→0

   10) lim [(tgx)/(sin2x)]

       x→0

   11) lim [x/(x+1)]x

       x→∞

   12) lim [(tg5x)/(sin2x)]

       x→0

   13) lim [(2x3-4x+1)/(x3+8)]

       x→∞

15) lim [(x-9)/x]x

x→∞

16) lim [(x2+5x+6)/(x2+6x+8)]

x→-2

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

 

1.Владеет терминологией по теме.

 

2. Дает четкие и точные определения математических понятий

 

3. Владеет навыками определения предела последовательности параметров  деятельности торгового предприятия с использованием замечательных пределов.

 

 

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

4. Использует правила применения замечательных пределов

 

5. Предлагает свои методы решения задач.

 

 

6. Правильно применяет замечательные пределы для поиска предела функции, описывающей деятельность торгового предприятия

 

7. Предлагает свои способы нахождения предела для последовательности параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

8.Самостоятельно решает прикладную задачу нахождения предела функции

 

9.Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции

 

10.Понимает значимость своей работы.

 

11. Оценивает результаты своей познавательной деятельности.

 

12. Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме

 

ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.

 

13.Применяет приемы нахождения предела функции к  оптимизации товарооборота

 

14.Использованть данные по потребности в товарах для определения предела последовательности

ИТОГО:

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -24-28 баллов;  «4» - 18-23 балла; «3» - 10-17 баллов; «2»- 0-9 баллов.

 

Практическая работа 6

Производная функции

.

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ПК. 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

 

2) Знать определение производной функции, производные основных функций, правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной.

3) Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.

 

Краткая теория

Производной функции y=f(x) по переменной xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю, т.е. yx′=  = .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Дифференциалом функции y=f(x) называется главное слагаемое приращения функции, линейное относительно Δx.y′=

Формулы дифференцирования:

1) С=сonst,  (C)′=0;                  2) (Cf(x))′=Cf′(x);  

3) (f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x);      4) (f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g′(x);

5) = ;   6) (xn)′=n∙xn-1

7) (sinx)′=cosx;    8) (cosx)′=-sinx.

Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′((g(x))∙g′(x).

8) y=, dy=3∙cosx+(-sinx).

Контрольные вопросы

1.Дайте определение производной.

2.Что называют дифференцированием?

3.Каков геометрический смысл производной?

4.Чему равна производная сложной функции?

5.Дайте определение дифференциала функции.

Задания

Найти производную функции:

1) y= ; 2) y= ;

3) y=sin2x;                                4) y=2   + -  -  + 1;

 

5) y=cos(x/3);                           6) y=

7) Найти дифференциал функции: y=3

 

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

1.Использует правила нахождения производной функции

 

2.Предлагает свои методы решения задач.

 

 

3.Правильно применяет правила дифференцирования описания функции, описывающей деятельность торгового предприятия

 

4.Предлагает свои способы нахождения производной функции, описывающей динамику параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

5. Самостоятельно решает прикладную задачу нахождения предела функции

 

6. Самостоятельно решает проблему поиска нахождения предела сложной функции

 

7..Понимает значимость своей работы

 

8.Оценивает результаты своей познавательной деятельности.

 

9.Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме

 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

 

10.Владеет терминологией по теме.

 

11.Владеет навыками  нахождения производных основных функций, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия

 

12.Владеет методом нахождения производной сложной функции

 

14.Знает геометрический смысл производной, и приводит примеры из профессиональной деятельности, где используется графическое представление параметров предприятия.

 

ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

15. Интерпретировать  математические зависимости параметров деятельности торгового предприятия с помощью производных.

 

16. Составлять математическую модель деятельности торгового предприятия на данных по одной их характеристик, используя при этом понятие производной.

 

16.Составлять примерный план некоторой характеристики торгового предприятия.

 

Итого

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -27-32 баллов;  «4» - 19-26 балла; «3» - 10-18 баллов; «2»- 0-9 баллов.

 

Практическая работа № 7

Исследование функции с помощью производной

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ПК. 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

2) Знать алгоритм исследования функции с помощью производной

3) Уметь решать прикладные задачи на исследование функции с помощью производной..

 

 

.

Теория.

Функция y=f(x) монотонно возрастает, если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции f(x) и производная >0. Функция монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функциии производная <0.

В точке экстремума производная функции равна нулю.

Признаки максимума: производная в точке максимума равна нулю, и в этой точке меняет знак с «плюса» на «минус»

Признаки минимума: производная в точке минимума равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»

Пример 1. Исследовать функцию y=2x2-3x

А) Определим точки, в которых производная равна нулю. y′=4x– 3

4x-3=0;    xо=3/4; точка экстремума xо=3/4.

Б) Определим знак производной при x<xo. y′(1/2)=4∙1/2-3= -1<0; y′(x<xo)<0.

В) Определим знак производной при x>xo. y′(1)=4∙1-3-1>0;

y′(x>xo)>0.

Г) Точка экстремума x=3/4  в этой точке производная меняет знак с «-» на «+», значит в точке x=3/4 минимум. На участке (-∞; 3/4) функция убывает; на участке (3/4; ∞) функция возрастает.

Контрольные вопросы

1.Каков геометрический смысл производной функции?

2.Каков признак возрастания функции?

3.Каков признак убывания функции?

4.Каков признак минимума функции?

5.Каков признак максимума функции?

6.Чему равна производная функции в точке минимума или максимума?

 

Задания

.Найти экстремумы и точки минимума и максимума, участки возрастания и убывания функции:

1) y =x2 – 1;         2) y = (1/3)x3-(3/2)x2-4x+6;

3) y=4x2 – 12;       4) y=x5

5)y=3x3 6)y=x2 – 6x + 3

7)y=-2x2 + 8x – 5

 

Самостоятельная работа

Найдите дифференциал функций:

1)y=x3cosx;    2) y=;   3) y=

Исследуйте функции и постройте их графики:

1)      Y=(1/3)x3-9x

2)      Y=3x3-x

3)      Y=2x3-5x2-12x+2

4)      Y=x4-4x3-8x2-1

5)      Y=x4+x2/2-1

6)      Y=x3+3x2-4

7)      Y=x4+4x3-8x2-5

8)      Y=3x4-4x3

9)      Y= -(1/4)x4+2x2

10)  Y = -3x5+5x3

 

 

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

1.Использует правила нахождения производной функции и ее исследование для решения профессиональных задач

 

2.Предлагает свои методы решения задач.

 

 

3.Правильно применяет правила исследования функции, описывающей деятельность торгового предприятия

 

4.Предлагает свои способы исследования функции, описывающей динамику параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

5. Самостоятельно решает прикладную задачу исследования функции, иллюстрирующей деятельность торгового предприятия

 

6. Самостоятельно решает проблему исследования сложной функции, иллюстрирующей деятельность торгового предприятия

 

7..Понимает значимость своей работы

 

8.Оценивает результаты своей учебной работы

 

9.Использует разные источники информации для составления прикладных задач по теме

 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

 

10.Владеет терминологией по теме.

 

11.Владеет навыками  нахождения производных основных функций, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия

 

12.Владеет методом исследования функций, иллюстрирующих деятельность торгового предприятия

 

14.Знает геометрический смысл производной, и владеет умением строить график функции параметров деятельности торгового предприятия

 

ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

15. Интерпретировать  математические зависимости параметров деятельности торгового предприятия с помощью производных.

 

16.Исследовать математическую модель деятельности торгового предприятия, используя при этом понятие производной.

 

16.Составлять примерный план некоторой характеристики торгового предприятия и изображать динамику параметров в виде графика

 

Итого

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -27-32 баллов;  «4» - 19-26 балла; «3» - 10-18 баллов; «2»- 0-9 баллов

 

Практическая работа № 8.

Вычисление интегралов

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 5. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 8. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.

 

2) Знать  определение первообразной, правила вычисления интеграла, таблицу интегралов элементарных функций

3) Уметь выполнять интегрирование элементарных функций, заменой переменных, по частям.

 

Краткая теория

Первообразной функцией для выражения f(x)dxназывается функция F(x), дифференциал которой  равен f(x)dx. Однако дифференциалу функции соответствует  не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается . Таким образом , где f(x)dxназывается подынтегральным выражением, а С – произвольная постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла:

1) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d;

2)неопределенный интеграл  от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

;

3) постоянную величину можно вынести за знак интеграла:

4) интеграл суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов: .

Формулы интегрирования:

1)= +C. где n≠-1;   2)

3);                 4)

5) .

Пример 1.

dx = dx=+ =  + ln|x|+C.

Интегрирование способом подстановки

Пример 2

. Положим 1+x = z; продифференцируем это равенство:

.d(1+x)= dz; dx=dz;  заменим в интеграле:

 =  =  +C.

Интегрирование по частям

=fg -

Пример 3

 =?

Положимf = x ;dg = sinxdx; df = dxg =-cosx.

получим = x∙(-cosx)- = -xcosx+sinx+C

Контрольные вопросы

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Что называют подынтегральным выражением?

4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

5. Допишите формулы интегрирования:

=?;  =?; =?; =?; .

Задания

1) 2)  ;  3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  ;

7)  ;  8)  9) .

10)

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий.

1.Владеет приемами поиска прикладной информации по теме с использованием Интернета

 

2.Выполнять систематизацию прикладного материала по применению интегрального исчисления для анализа деятельности торгового предприятия.

 

3.Владеет приемами вычисления интеграла, иллюстрирующего расчеты параметров деятельности торгового предприятия

 

4.Владеет разными методами нахождения интегралов: заменой переменных и по частям.

 

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

5.Самостоятельно определяет область профессиональной деятельности для составления и решения задач на интегрирование.

 

6.Владеет приемами исследовательской деятельности при решении и составлении прикладных задач профессиональной направленности.

7.Знает таблицу интегралов и умеет применять ее для расчета интегралов функций, описывающих деятельность торгового предприятия

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах

8.На основе анализа зависимости графика зависимости спроса на товар определять интегрированные параметры деятельности торгового предприятия

 

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

9.Владеет приемами определения  комплексных характеристик деятельности торгового предприятия используя при этом интегральное исчисление

 

10.Владеет приемами планирования показателей деятельности организации, используя при этом интегральное исчисление.

Итого

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -18-20 баллов;  «4» - 14-17 балла; «3»  8-13 баллов; «2»- 0-7 баллов

 

Практическая работа № 9

Вычисление площади криволинейной трапеции

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 5. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 8. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах.

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.

 

2) Знать  геометрический смысл определенного интеграла, алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции.

3) Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции

 

Краткая теория

Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от x=a до  x=b называется определенным интегралом и обозначается: .

 = F(b)=F(a), где a- нижний предел интеграла, b- верхний предел интеграла.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата вычесть второй.

= F(x)|ba=F(b) – F(a).

Пример 1

=sinx|π/3= sin  -sin0=0,5.

Свойства определенного интеграла:

1) = C, где С-постоянная величина.

 

2)  =+

 

3)  = -

 

Площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) , где f(x)>0, осьюOx и двумя прямымиx=a и x=b, выражается определенным интегралом.

Пример 2

Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой y=x2, осью Ох и прямыми х = 0, х = 3.

S =  = |30  = -  = 9

Контрольные вопросы

1.Дайте определение определенного интеграла.

2.Как вычислить определенный интеграл?

3.Каков геометрический смысл определенного интеграла?

Задания

Найти определенный интеграл:

1)  ;      2) ;    3) ;

4)  ;   5)

Вычислить площадь криволинейной трапеции, полученной между графиком функции y=x3и прямымиy=0, x=2, x=4.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, полученной между графиком функции y=2cosx, прямымиy=0, x = 0, x = .

Самостоятельная работа

Вычислите интеграл:

1)∫(2-3x)6dx;  2)∫sin(3x+5)dx;    3) ∫cos(5-x)dx

4)∫dx;  5)∫dx;  6)dx

7)∫(3x-1)cosxdx ; 8)∫(3-2x)sinxdx; 9) ∫(lnx/x)dx;

10) ∫()dx

11) Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной линиями:

А)y=; y = 0; x = 2; x = 4.

Б) y = x3+3х; у=0; х=1; х=5.

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

1.Владеет приемами вычисления площади криволинейной трапеции

 

2.Владеет приемами поиска информации в сети Интернет для решения прикладных задач по определению площади криволинейной трапеции

 

3.Владеет приемами поиска информации для составления прикладных задач профессионального характера на расчет площади криволинейной трапеции

 

4.Знает область применения приема вычисления площади криволинейной трапеции для решения профессионально-ориентированных задач

 

 

ОК 5. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

5. Знает правила вычисления определенного интеграла

 

6. Владеет умением применять правила вычисления определенного интеграла к расчету площади криволинейной трапеции в графическом представлении параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 8. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

 

7. .Самостоятельно определяет область профессиональной деятельности для составления и решения задач на интегрирование.

 

1.               8.Владеет приемами исследовательской деятельности при решении и составлении прикладных задач профессиональной направленности

 

2.               9.Знает таблицу интегралов и умеет применять ее для расчета площади криволинейной трапеции графика, описывающих деятельность торгового предприятия

 

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах

10.На основе анализа зависимости графика зависимости спроса на товар определять интегрированные параметры деятельности торгового предприятия

 

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

9.Владеет приемами определения  комплексных характеристик деятельности торгового предприятия используя при этом интегральное исчисление

 

10.Владеет приемами планирования показателей деятельности организации, используя при этом интегральное исчисление

ИТОГО

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -18-20 баллов;  «4» - 14-17 балла; «3»  8-13 баллов; «2»- 0-7 баллов

 

Практическая работа № 10

Частные производные

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности

ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.

2) Знать определение частных производных, правила их нахождения.

3) Уметь решать прикладные задачи на нахождение частных производных.

 

Краткая теория

Частной производной функции z = f(x, y) по переменной х в точке M(x, y) называется предел отношения частного приращения функции по переменной х к приращению Δх, при стремлении Δх к нулю.

 .

Пример 1

.f(x,y)=.

 = 2xy;     = .

Дифференциалом функцииu=f(x,y) в точке (х,у) называется выражение:du = Δx+Δy; где ΔxиΔy – произвольные приращения аргументов.

Пример 1

Найти дифференциал функции:

U = ln()  в точке x = 1; y = 2; при приращении Δx = 0,1;

Δy = 0,5.

Решение

 =  ∙2x;  = ∙2y;

 

Δu=  ∙2xΔx+ ∙2yΔy.

Задания

Найти дифференциал функции с несколькими переменными:

1) u = z2∙x∙cos(x+2y+ex)

2) Фирма производит два типа бритв Ч и Б. Себестоимость С производства х единиц модели Ч и н единиц модели Б дается формулой:

С = 0,05х2+ 0,02ху+80х+90у+104

Найти предельные себестоимости ; ; при х = 80; у = 50.

3)Предприятие общественного питания выпускает два вида супов А и Б. Себестоимость производства х единиц супа вида А и y единиц супа вида Б дается формулой C = 0,04x2+0,01xy+50x+60y+100.

Найти предельные себестоимости.          

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

1. Самостоятельно решает проблему поиска решения нахождения частных производных

 

 2. Оценивает результаты своего труда.

 

3.Решает прикладные нестандартные задачи на нахождение частных производных функции

4. Владеет методом поиска решения задач на нахождение частных производных

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

 

5.Владеет терминологией по теме.

 

6.Знает алгоритм нахождения частных производных сложной функции

 

7.Владеет навыками нахождения частных производных функции, иллюстрирующей деятельность торгового предприятия.

 

8.Владеем приемами поиска информации для составления и решения профессионально-ориентированных задач на нахождение частных производных.

 

9. Владеем приемами поиска информации в сети Интернет

 

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

 

10. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач

 

11. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования

 

12.Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии.

 

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности

 

13. Решает нестандартные задачи на нахождение частных производных

 

14. Знает и может применить разнообразные методы решения задач на нахождение частных производных

 

15. Ориентируется в разных способах предъявления задач и выделяет главное.

 

ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

16. Владеет приемами решения задач на нахождение частных производных уравнений, иллюстрирующих движение снаряда.

 

16. Знает алгоритм нахождения частных производных при решении задач, на определение некоторых характеристик военной техники

 

ПК 1.1. . Выявлять потребность в товарах.

 

17. Владеет приемами нахождения частных производных при исследовании потребности в товарах.

 

Итого

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -28-34 балла;  «4» - 20-27 баллов; «3»  12-19 баллов; «2»- 0-11 баллов

 

Практическая работа № 11

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

 

Цель работы:

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности

ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

2) Знать определение дифференциальных уравнений, алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

3) Уметь решать прикладные задачи дифференциальные уравнения.

 

 

 

Краткая теория

 

Пример 1. Найти уравнение кривой, обладающей свойством, что угловой коэффициент касательной в ее любой точке равен удвоенной абсциссе.

.tgα = 2x. Как известно, коэффициент прямой равен производной функции.  = 2x; dy = 2xdx. Найдем уравнение этой кривой. Для этого выполним интегрирование.  = ; y = 2∙ +C

y = +C.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию уи ее производные или дифференциалы. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит только от одного независимого переменного.Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y,y′,″y‴,…y(n) ) = 0.Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком дифференциального уравнения.

Решением  дифференциального уравнения называется такая функция, которое обращает это уравнение в тождество.Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:  = f(x)∙g(y). Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные  = f(x)dx; а затем проинтегрировать обе части полученного равенства: =

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение сosx-y′ = 0.

Запишем его в виде: y′ = cosx;     = cosx; dy=cosxdx;

=; y = sinx+C.

Пример 3

Решить уравнение= ;решение:y2dy=xdx;

=.  = +C.

Задания

Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) (1-x2) + xy = 0;   2)  dy=dx; 3) (1+y)dx-∙dy = 0;

4) = =0; 5)= ; 6) y2dx = x3dy

 

 

Оценочная ведомость

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

.1. Понимает значимость выполняемой работы

 

2. Оформляет задачи, согласно требованиям.

3. Самостоятельно решает стандартные дифференциальные уравнения

4. Владеем приемами  поиска решения нестандартных дифференциальных уравнений

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

5. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач

 

6. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования

 

7. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии

 

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности

 

8. Решает нестандартные дифференциальные уравнения

 

9. Знает и может применить разнообразные методы решения к решению дифференциальных уравнений

10. Ориентируется в разных способах предъявления задач и выделяет главное.

ОК 10. Исполнять воинскую повинность. В том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

11.Владеет приемами расчета некоторых характеристик военной техники с помощью решения дифференциальных уравнений

 

ИТОГО

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -18-22 балла;  «4» - 13-17 баллов; «3»  - 8-12 баллов; «2»- 0-7 баллов

 

 

Практическая работа 12

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка различными способами

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

 

2) Знать определение однородного дифференциального уравнения, алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка

3) Уметь решать однородные дифференциальные уравнения

 

Краткая теория

Дифференциальные уравнения позволяют решить многие прикладные задачи.

Пример 1

При планировании товарных запасов в днях целесообразно использовать уравнение ydy=( b+)dx, где y- однодневный оборот квартала; x – запасы в днях;a иb –параметры уравнения; а=20; b=40. Найти решение данного уравнения.

Решение. = ) dx;

= 40x+20∙ln|x|+C

Многие дифференциальные уравнения, не являясь уравнениями с разделяющимися переменными,  приводятся к ним с помощью замены переменных. К таким уравнениям относятся  однородные уравнения, общий вид которых= f().    (*)

При решении таких уравнений делается замена переменной y по формулеy=u(x), где u– новая переменная. Тогда

 = x +u, а u = . Подставляя эти выражения в уравнение (*) получимx+u = f(u), т.е. уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные получаем = . Интегрирование дает Ф(u) – ln|x| = C, где  Ф(u) – одна из первообразных  функций функции . заменяяu= получаем

Ф()-ln|x| = C. Множество решений, даваемых этой формулой. Должно быть дополнено решениями вида u = uo, если f(uo)-uo = 0, или

y = uox.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение  =

Решение

Разделим и числитель и знаменатель на х2:

 =  = u, получим x + u = или

x+u=  , илиx =  – u; x=

Ln|| - ln|x|=lnC; y = (y2-x2)C

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида  =f(x)y + q(x), где функции f(x)иq(x) непрерывны на интервале  (a,b). Если q(x)=0, то = f(x)y. Решение последнего уравнения может быть в виде:y = , гдеF(x) – первообразная функция по отношению кf(x). Это же уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2

Найти общее решение уравнения  -  = (x+1)2

Решение

Это линейное уравнение: здесь f(x) = -q(x) = -(x+1)2

Положим y = uz и продифференцируем это равенство по x:

 = u + z; подставим теперь выражения для у и в данное уравнение, получим  u + z – = (x+1)2

Или u + z( -  ) = (x+1)2  (*)

так как одну из вспомогательных функций uили z можно выбрать произвольно, то в качестве  возьмем одно из частных решений уравнения  -  = 0. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем  -  = 0;   =  ;ln|u| = 2 ln|x+1|;

u = (x+1)Подставим теперь выражение для u в уравнение (*); тогда получим уравнение  =  = x+1

отсюда находим  =

 

z =  +C

Получаем общее решение

.y = uz =

Y =  + C

Задания

Найти общее решение дифференциальных уравнений 

1)  +  =  ;  2)  -  = ;   3)  +  =

4) (y-xy)dx + (x+xy)dy = 0; 5)(xy-y)dx-(x-xy)dy = 0

6)(y+ – (x

 

 

 

 

 

Оценочная ведомость

 

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

 

1.Организовывает собственную деятельность при выполнении практических заданий по решению дифференциальных уравнений

 

2.Выбирает типовые методы и способы решения дифференциальных уравнений при расчете показателей деятельности торгового предприятия

 

3.Правильно применяет правила решения дифференциальных уравнений, описывающей деятельность торгового предприятия

 

4.Предлагает свои способы расчета параметров деятельности торгового предприятия используя правила решения дифференциальных уравнений

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

 

5. Самостоятельно решает стандартные дифференциальные уравнения

 

6. Оформляет задачи, согласно требованиям.

 

7.Владеем приемами  поиска решения нестандартных дифференциальных уравнений

 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

 

8. Владеет терминологией по теме.

 

9.  Владеет методам решения однородных дифференциальных уравнений различными способами

10. Владеет вычислительными навыками

10. Знает область применения однородных дифференциальных уравнений при расчете параметров деятельности торгового предприятия

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

11. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач

 

12. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования

13. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии

14.Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению способов решения дифференциальных уравнений

ИТОГО

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -22-28 баллов;  «4» - 16-21 балл; «3»  - 10-15 баллов; «2»- 0-9 баллов

 

Практическая работа 13

Числовые ряды. Разложение функции в ряд Маклорена

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением изученных профессиональных знаний

ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

2) Знать определение числового ряда, признаки сходимости ряда, приемы разложения функции в числовой ряд.

3) Уметь решать прикладные задачи на определение сходимости ряда, выполнять разложение функции в ряд Маклорена

 

Краткая теория

Бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения u1+u2+…un называется числовым рядом. Выражение un = f(n), где f(n) функция натурального аргумента, называется общим членом ряда. Запись ряда: n  . (*)

Частныесуммыряда: S1=U1; S2=U1+U2; S3=U1+U2+U3;…

Sn=U1+U2+U3+…Un

Получилась последовательность: S1, S2, S3,…Sn

Если предел n= Sсуществует, то ряд называется сходящимся, а его сумма равна S.

Если n , бесконечен или  вовсе не существует, то ряд  (*) называется расходящимся.

Пример 1

Исследовать ряд на сходимость

 +  +  +…++…

Решение

Надо узнать существует предел суммы членов или нет.

Представим каждый член ряда в виде  =  +

Тогда сумму можно представить:

Sn = (1- )+ ( - ) + ( -  )+…+(-  ) + ( -  ) = 1 -

n= ) = 1

Следовательно ряд имеет предел и поэтому является сходящимся.

Необходимым условием сходимости ряда является n =0.

Достаточные признаки сходимости ряда

Признак Даламбера

Lim[(Un+1)/Un]= ρ; еслиρ>1 – ряд расходится:ρ<1- ряд сходится n→∞

ρ=1неопределен.

-Признак Коши

Lim (Un)1/n=ρ; еслиρ>1 – ряд расходится: ρ<1- ряд сходится

n→∞

ρ=1неопределен.

-Признак сравнения: Если для рядов U1+U2+U3+…Un+…  V1+V2+V3+…Vn+… существует конечный предел

Lim (Un/Vn)=K, где К>0 тогда оба ряда одновременно сходятся или

n→∞

расходятся. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого ряда; заведомо сходящегося. Исследуемый ряд расходится, если члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

Пример 2

Исследовать ряд на сходимость

 =  +  + +…++…

Решение

(Un+1)/(Un).= = <1, ряд сходится.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Решение

 = = 1 ≠ 0 Ряд расходится

Числовой ряд U1+U2+U3+…Un+… (*) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Если члены знакочередующегося ряда (*) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член Un стремится к нулю при n→∞, то ряд (*) сходится.

Знакопеременный ряд (*) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд |U1|+|U2|+U3|+…|Un|+…(**), составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Степенным рядом называется ряд вида

anxn=ao+ a1x1+a2x2+a3x3+anxn+… (***), где числаao,a1, a2, a3, anназываются коэффициентами ряда, а член anxnназывается общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х, при которых данный ряд сходится. Число Rназывается радиусом сходимости  ряда (***), если при |x|<Rряд сходится и притом абсолютно, а при |x|>Rряд расходится. Радиус сходимости равен пределу an/an+1|

Рядом Тейлора функции f(x) называется  степенной ряд вида

.f(x) =f(a)+f′(a)(x-a)+ +  (x-a)3+…

+  (x-a)n+…

Если =0, то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена.

Пример 3

Разложить функцию f(x)=cosx  в ряд Маклорена

/f(0)=cos0=1; f ′(x) = - sinx; f ′(0)=-sin0=0; f″(x) = -cosx;

f″(0) = -cos0=-1; f‴(x) = sinx; f‴(0) = sin0=0;…

f(x)=1+ x +  +  +…

f(x) = 1--- -…

Контрольные вопросы

1.Дайте определение числового ряда.

2.Каков необходимый признак сходимости числового ряда? Дайте его определение.

3.Сформулируйте достаточные признаки сходимости ряда.

4.Какой ряд называется знакопеременным? Знакочередующимся?

5.Каковы признаки сходимости знакочередующегося ряда?

6.Дайте определение степенного ряда.

7.Что называют областью сходимости степенного ряда?

8. При каком условии степенной ряд сходится?

9.Запишите общий вид ряда Тейлора и ряда Маклорена.

Задания

Исследуйте ряд на сходимость

1)     2)  3)

 

Разложите функцию в степенной ряд Маклорена

1) f(x) = sinx    2)f(x)=2x5+3x4+4x3+8x2+6x+3

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

1.Организовывает собственную деятельность при выполнении практических заданий по исследованию сходимости ряда, состоящего из показателей деятельности торгового предприятия

 

 

2.Выбирает типовые методы и способы определения сходимости ряда  при расчете показателей деятельности торгового предприятия

 

3.Правильно применяет правила определения сходимости ряда, состоящего из показателей деятельности торгового

 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

4. Владеет терминологией по теме.

 

 

5.Владеет методам решения однородных дифференциальных уравнений различными способами

 

6. Знает область применения однородных дифференциальных уравнений при расчете параметров деятельности торгового предприятия

 

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

7. Владеет приемами решения профессионально-ориентированных задач

 

8. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования

 

9. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии

 

10. Самостоятельно определяет направление профессионального совершенствования

 

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность в том числе с применением изученных профессиональных знаний

11. Знает область применения числового ряда для расчета некоторых характеристик  военной техники

 

12. Умеет использовать свойства числового ряда для калькуляционных расчетов меню солдата

 

ПК 3.1.Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

13. Умеет представлять характеристики деятельности торгового предприятия в виде числового ряда

 

ИТОГО

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -20-26 баллов;  «4» - 14-19 балл; «3»  - 19-13 баллов; «2»- 0-8 баллов

 

 

Раздел 2. Основы дискретной математики

2.1. Множества

Практическая работа 14

Операции над множествами

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

 

2) Знать определение множества, действия над множествами

3) Уметь решать прикладные задачи на применение теории множеств.

 

 

Краткая теория

Любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами, называется множеством. Или, множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п Множества обозначаются прописными буквами, а элементы – строчными. Запись аϵА обозначает, что а элемент множестваA.  Если b не принадлежит множеству А, то записывается: bА

Если каждый элемент множества А является и элементов множества В, то говорят, что множество А является подмножеством В  (А В )

Если при этом в множестве В есть элементы, не принадлежащие множеству А, то пишут А В. Сумма двух множеств А В является множеством, каждый элемент которого принадлежит либо к А либо к В. Пересечением двух множеств А ∩В является множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Множество, состоящее из некоторого натурального числа элементов, называется конечным множеством. Если не существует такого числа, определяющего количество элементов в множестве, то такое множество называется бесконечным.

N –множество натуральных чисел; Zмножество целых чисел; R- множество действительных чисел; Q- множество рациональных чисел.  важные операции, которые можно производить с двумя множествами А и В – объединение двух множеств и построение их пересечения.

Объединение двух множеств – новое множество, состоящее из элементов как множества А, так и множества В. Это множество обозначается А В

Пересечением двух множеств называется  множество, в которое входят только те элементы, которые одновременно принадлежат обоим  множествам А и В. Обозначается это множество через А ∩ В

Операции объединения и пересечения можно производить с любым конечным числом  множеств, а также  - и с бесконечным числом.

.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x  Х ( — принадлежит).

Если множество А является частью множества В, то записывают А  В ( — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А  В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А  B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2}  {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A  B = B  A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A  B)  C = A  (B  C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия множества.

2.Что такое подмножество?

3.Дайте определение суммы множеств.

4.Что называют пересечением множеств?

5.Какое множество называется конечным? Бесконечным?

Задания

1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х} В={х, у}

б) А={х: -3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1}, B={n+1} nєN

2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}

б) А={х: 0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)}, B={n+5} nєN

3) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий язык?

г) знают английский и немецкий, но не знают французский?

4) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два языка?

б) только французский язык?

в) знают немецкий и французский, но не знают английский?

г) не знают испанский язык?

компетенции

признаки

Наличие

компетенции

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

1.Владеет терминологией по теме.

 

2. Умеет определять признаки множества параметров деятельности торгового предприятия.

 

3. Применяет алгоритм действий на множествами, определяющими деятельность торгового предприятия

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

 

4. Решает нестандартные задачи на выполнений операций над множествами

 

5. Выполняет все правила оформления задания

 

6. Владеет основными понятиями данной темы и применяет их к решению производственных задач

 

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

7. Владеет умением поиска профессионально-ориентированной информации по теме

 

8. Проявляет стремление к хорошим отметкам и исследовательской работе

 

ИТОГО

 

 

 

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -14-16 баллов;  «4» - 10-13 балл; «3»  - 6-9- баллов; «2»- 0-5 баллов

 

Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

3.1. Вероятность

Практическая работа 15. Сложение и умножение вероятностей

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ПК 1.1. выявлять потребность в товарах

 

2) Знать определение вероятности, правила сложения и умножения вероятностей.

3) Уметь решать прикладные задачи на сложение и умножение вероятностей, уметь рассчитывать вероятность событий

.

Краткая теория

Изучение явлений связано с выполнением некоторых условий, или испытаний. Всякий результата или исход испытания называется событием. События А, В называются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного события. События А и В называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает  появление другого при том же испытании. Событие называется случайным, если исход испытания приводит либо к появлению, либо к не появлению этого события. М – число появления некоторого события; N- число испытаний.

– частость.Вероятность – мера объективной возможности появления события. За появление события принимается величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости.

Под вероятностью Р(А) наступления события принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу исходов испытания. Вероятность – устойчивая частость. P(A)=100%

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания какого именно, равно сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.

Пример 1. В ящике 20 шаров, среди которых 8 белых. Какова вероятность появления белого шара Р(А)?

 . m=8; n=20.      P(A)=100%=100%=40%

Пример 2. Поездка пассажиров с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживаются маршрутами №3 и №11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев 8 – маршрута №3, 10 – маршрута №11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту.

.m1=8  m2=10  n=40   P(№3, №11)=100%=100%=8%

Пример 3. В одной урне 10 шаров, из которых 5 белых, в другой – 12 шаров, из которых 8 белых.  Найти вероятность того, что при одном испытании будут выбраны одновременно из первой и второй урны два шара одновременно.

.m1=5  n1=10 m2=8  n2=12    P(AB)=P(A)*P(B) =**100%

P(AB)=**100%=*100%≈33%

Контрольные вопросы

1.Что называют испытанием? Событием?

2.Какое событие называется случайным?

3.Дайте определение вероятности.

4.Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

5.Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Задания

1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?

2. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом?

3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 6 стандартных.

4. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет не менее двух очков?

5. Из 50 электролампочек имеется 4 бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампочки окажутся бракованными?

6. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 200 руб. каждая, 3 книги  -  по 400 рублей и 7 книг – по 100 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 300 рублей.

7.В магазин поступала партия товара в количестве 100 штук, которая содержит 10 штук бракованного товара. Какова вероятность того, что покупатель выберет две штуки товара и обе бракованные?

8. В магазин поступило несколько 20 партий товара. Из них две – товары фирмы А, 3- фирмы Б, остальные товары фирмы С. Какова вероятность того, что первые две продажи выпадет на товары фирмы С?

                                                              

 

 

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

1.Правильно определяет значение случайных величин.

 

.2.Правильно вычисляет вероятность появления случайной величины на примерах спроса на товары

 

3.Формулирует вывод по задаче и оценивает результаты расчета вероятности спроса на товары

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

4.Самостоятельно формулирует проблему по выявлению потребности в товарах на основе применения теории вероятности.

 

5. Решает нестандартную задачу на определение вероятности количества продаж при заданных условиях

 

6.Решает задачу в логически завершенной последовательности

 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

7. Владеет терминологией по теме

 

8.Владеет навыками вычисления вероятности, появления случайной величины

 

9.Владеет навыками определения значений случайной величины - количества продаж за заданный период времени.                   

 

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития

10.При решении профессионально-ориентированных задач использует различные источники информации.

 

11.Самостоятельно определяет направления профессионального развития,

 

9. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии

 

ПК 1.1. Выявлять потребность в товарах

10. Рассчитывает вероятность продаж товара

 

11. Рассчитывает примерное количество продаж используя теорию вероятности

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -18-22 баллов;  «4» - 12-17 балл; «3»  - 7-11 баллов; «2»- 0-6 баллов

 

 

Практическая работа № 16

Случайная величина, её функция распределения

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации.

2) Знать определение функции распределения случайной величины, математического ожидания и дисперсии случайной величины.

3) уметь решать прикладные задачи на использование функции распределения случайной величины.

 

Краткая теория

Качественный результат случайного эксперимента – случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений – случайная величина. Случайной величиной называется действительная числовая функция ξ =ξ(ω), ω Œ Ω, такая, что при любом действительном х {ω$ ξ(ω)} Œ Z.

Пример случайной величины – число очков, выпавших при бросании игральной кости – дискретная случайная величина. Скорость молекул газа – непрерывная случайная величина.

Если ξ – случайная величина, то f(x)=fξ(x)=P(ξ<x) называется функцией распределения случайной величины.P(ξ<x)  вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение меньше Х.

Функция распределения обладает свойствами:

1)      f(x) – определена на всей числовой прямой R

2)      f(x) не убывает, т.е. если х1<x2, то f(x1)<f(x2)

3)   f(-∞)=0; f(+∞)=1, т.е. ;

4)   f(x) непрерывна справа, т.е.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид: x1<x2<x3<…

I   0 при x<x1

                     I  P1при x<x2

            F(x)= I  P1+Pпри x<x3

                     I

I 1 при x>xn

Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: fξ(x)=ξ(t)dt; Pξ(x)=dfξ(x)/dx

Отсюда

Контрольные вопросы

1.Приведите пример случайной величины.

2.Что называют функцией распределения случайной величины?

3.Дайте определение математического ожидания случайной величины.

4.Дайте определение дисперсии случайной величины.

Задания

1.Построить график функции распределения случайной дискретной величины – выбор из урны, в которой находятся разноцветные шары

2.Изобразить, в общем виде, график распределения плотности вероятности непрерывной случайной величины.

3.Изобразить приблизительной график распределения скорости молекул идеального газа.

4.Изобразить приблизительно график распределения количества продаж от производителя товара. Для какого производителя вероятность максимальных продаж наибольшая?

 

Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

1.Правильно определяет вид функции распределения случайной величины

 

.2.Правильно вычисляет вероятность появления случайной величины, используя функцию распределения.

 

3.Формулирует вывод по задаче и оценивает результаты расчета вероятности спроса на товары

 

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

4.Самостоятельно формулирует проблему по выявлению потребности в товарах на основе применения теории вероятности.

 

5. Решает нестандартную задачу на определение функции распределения количества продаж при заданных условиях

 

6.Решает задачу в логически завершенной последовательности

 

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

7. Владеет терминологией по теме

 

8.Владеет навыками вычисления вероятности, появления случайной величины

 

9.Владеет навыками определения значений случайной величины - количества продаж за заданный период времени.                   

 

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития

10.При решении профессионально-ориентированных задач использует различные источники информации.

 

11.Самостоятельно определяет направления профессионального развития,

 

9. Самостоятельно планирует познавательную деятельность по освоению профессии

 

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

10. На основе анализа количества продаж за определенный период, строит график функции распределения количества продаж от заданных параметров.

 

11. Используя функцию распределения продаж товара, составить план продаж на следующий период.

Шкала оценки:

0 баллов        -  признак отсутствует

1 балл            - признак присутствует частично

2 балла          - признак присутствует в полном объеме

Оценка: «5» -18-22 баллов;  «4» - 12-17 балл; «3»  - 7-11 баллов; «2»- 0-6 баллов

 

Практическая работа 17

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

 

Цель:1) Формирование общих  компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ПК 3.1. Участвовать в планировании основных показателей деятельности организации

2) Знать определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

3) Уметь решать прикладные  задачи на расчет математического ожидания и дисперсии случайной величины

 

Краткая теория

Основной характеристикой положения или расположения случайной величины является математическое ожидание М(х), определяемое по формулам: M(x)=XiPi(*) для дискретной случайной величины;

M(x) =(**)для непрерывной случайной величины.xiвозможные  значения случайной величины, Pi- соответствующие им вероятности, f(x) – плотность распределения случайной величины. Предполагается, что (*) и(**) абсолютно сходятся.

Дисперсия случайной величины D[x] –математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания D[x] = M[x-M(x)]2

Пример 1

В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 100 руб. и одна по 300 руб. определить математическое ожидание чистого выигрыша для студента, если он приобрел один билет стоимостью 100 рублей, а всего билетов 50.

Решение

Х – случайная величина, характеризующая сумму чистого выигрыша  для студента. Х может принимать значения: = - 1, если студент ничего не выиграл; х = 9, если выигрыш 100 рублей; х = 29, при выигрыше 300 рублей.

Вычисляем вероятность каждого выигрыша. Р(-1)=47/50 = 0,94; Р(9)=2/50=0,04; Р(29)=1/50=0,02

Определяем математическое ожидание:

M = -1∙0,94+9∙0,04+29∙0,02 = 0

Вычисляем дисперсию D(x)= (x1-M)2+(x2-M)2+(x3-M)2

D(x) = (-1-0)2+(9-0)2+(29-0)2=1+81+841=923

Задания

1.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины x. Закон распределения задан таблицей.

x

-0.1

-0.01

0

0.01

0.1

p

0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

 

 

 

 

 

 

2. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi

1

2

5

рi

0,3

0,5

0,2

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

хi

2

3

5

рi

0,1

0,6

0,3

4. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появления события в этих испытаниях.

 

            Оценочный лист

Компетенции

Признаки компетенции

Наличие компетенций

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

1.Правильно рассчитывает математическое ожидание и дисперсию случайной величины

 

.2.Правильно выполняет алгоритм нахождения математического ожидания и дисперсии количества продаж

 

3.Формулирует вывод по задаче и оценивает результаты расчета математического ожидания и дисперсии спроса на товары