Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации для реализации программы дисциплины «Математика»

Методические рекомендации для реализации программы дисциплины «Математика»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


ОГБОУ СПО «Смоленский техникум железнодорожного транспорта, связи и сервиса»










МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


для реализации программы дисциплины


«Математика»


Задание на контрольную работу №1




по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог».























Смоленск, 2013


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями.

Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.


Дисциплина «Математика» изучается на 1 курсе по заочной форме обучения. По учебному материалу выполняется одна контрольная работа.

Контрольная работа выполняется в соответствии с заданным вариантом в сроки, обусловленные учебным планом. Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами шифра студента по таблице вариантов, которые помещены перед каждым заданием на контрольную работу.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку черной или синей пастой. На контрольную работу наклеивается титульный лист с номером работы; наименованием предмета; фамилией, именем и отчеством студента и преподавателя; полным шифром студента и основой обучения. На первом листе контрольной работы записывается вариант студента и перечисляются соответствующие ему задания контрольной работы. Каждое задание выполняется с нового листа через клетку. В конце контрольной работы приводится список используемой литературы, а также дата выполнения и подпись студента.

После проверки работы преподавателем, студент должен выполнить работу над ошибками (если они имеются в работе). Работа над ошибками выполняется в той же тетради после рецензии преподавателя и сдается на повторную проверку.


ТАБЛИЦА ВАРИНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1


Задание на контрольную работу №1 составлено в 50 вариантах. Каждый вариант состоит из 9-и примеров.

В соответствии с таблицей 1 необходимо по двум последним цифрам шифра выбрать номера контрольных вопросов, на которые необходимо дать ответы.


Таблица 1


Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

1

2

3

4

5

6

01 или 51

1

4,58,66,91,122,

155,182,212,243

26 или 76

26

29,38,87,116,147,156,209,241,267

02 или 52

2

5,53,67,92,130,

161,189,216,250

27 или 77

27

28,31,73,117,150,

160,211,217,268

03 или 53

3

6,49,75,93,127,

157,183,220,244

28 или 78

28

26,37,79,118,148,157,207,227,269

04 или 54

4

7,57,68,94,132,

162, 190,215,252

29 или 79

29

22,43,84,119,151,

153,210,218,270

05 или 55

5

11,48,77,95,126,

154,184,222,254

30 или 80

30

19,53,80,120,149,161,208,230,271

06 или 56

6

17,59,69,96,133,

160,191,225,245

31 или 81

31

25,52,74,91,122,

158,211,224,270

07 или 57

7

2,56,76,97,131,

163,185,221,255

32 или 82

32

20,51,81,92,132,

154,208,219,242

08 или 58

8

3,52,70,98,128,

156,192,214,251

33 или 83

33

26,44,75,93,123,159,206,228,243

09 или 59

9

9,47,78,99,124,

159,186,223,246

34 или 84

34

10,37,76,94,133,

155,210,220,272

10 или 60

10

12,55,71,100134,

153,193,217,253

35 или 85

35

28,36,77,95,124,

180,205,229,271

11 или 61

11

18,51,72,101,129,

164,187,224,247

36 или 86

36

16,54,83,96,134,

152,209,240,270

12 или 62

12

10,54,74,102,125,

158,194,218,249

37 или 87

37

15,36,82,97,125,

181,204,223,266

13 или 63

13

8,50,79,103,135,

165,195,219,248

38 или 88

38

11,55,78,98,135,

176,207,239,267

14 или 64

14

1,60,73,104,123,

152,188,213,242

39 или 89

39

24,35,66,99,126,

178,197,228,268

15 или 65

15

13,42,64,105,138,164,196,234,256

40 или 90

40

29,45,68,100,136,173,196,237,269

16 или 66

16

14,39,61,106,143,

169,199,212,257

41 или 91

41

22,56,67,101,127,

175,203,221,265

17 или 67

17

16,47,63,107,145,

165,201,233,258

42 или 92

42

17,34,72,102,137,

177,195,229,264






Продолжение таблицы 1

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

Две последние цифры шифра

Вариант

Номера примеров

1

2

3

4

5

6

18 или 68

18

21,38,62,108,139,

170,204,214,259

43 или 93

43

21,33,69,103,128,

174,202,238,263

19 или 69

19

24,41,65,109,142,166,197,213,260

44 или 94

44

30,60,63,104,138,170,194,227,262

20 или 70

20

25,32,90,110,137,

163,205,225,261

45 или 95

45

14,32,70,105,129,

171,201,230,261

21 или 71

21

15,40,86,111,144,

171,202,232,262

46 или 96

46

12,59,64,106,139,

167,193,236,260

22 или 72

22

30,48,88,112,141,167,198,215,263

47 или 97

47

13,58,71,107,130,

172,200,222,259

23 или 73

23

20,39,89,113,146,

162,203,226,264

48 или 98

48

23,57,65,108,140,168,192,231,258

24 или 74

24

23,49,85,114,140,172,200,216,265

49 или 99

49

18,46,62,109,131,

169,199,235,257

25 или 75

25

27,50,90,115,136,

168,206,231,266

50 или 100

50

27,32,61,110,141,

166,190,226,256


ПРИМЕРЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1


Системы уравнений 1-30

Пользуясь формулами Крамера, решить систему уравнений.

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

hello_html_m3544cdd1.gif1. x+y-z=36 №2. 2x-4y+9z=28 №3. x+y+z=36 №4. 3x+5y+3z=16

x+z-y=13 7x+3y-6z=-1 2x -3z=-17 x+2y+z=8

y+z-x=7 7x+9y-9z=5 6x -5z=7 x-7y-2z=5

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

5. 4x+y-3z=-1 №6. 4x-3y+z=43 №7. 3x+y+2z=11 №8. 2x+3y+4z=15

8x+3y-6z=-1 x+y-z=3 2x+2y-3z=9 x+y+5z=16

x+y-z=-1 2x+y =13 x-5y-8z=23 3x-2y+z=1


hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

9. 5x-19y-z=26 №10. 6x+3y-5z=0 №11. x+2y+z=4 №12. 2x+y=5

2x-5y-z=6 9x+4y-7z=3 3x-5y+3z=1 x+3z=16

8x-31y-4z=35 14x+6y-11z=6 2x+7y-z=8 5y-z=10

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

13. 7x+2y+3z=15 №14. 2x-y+5z=27 №15. x-4y-2z=0 №16. 3x+y-2z=6

5x-3y+2z=15 5x+2y+13z=70 3x-5y-6z=-21 5x-3y+2z=-4

10x-11y+5z=36 3x-z=-2 3x+y+z=-4 4x-2y-3z=-2

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

17. 5x+6y-2z=12 №18. 12x-13y-4z=-10 №19. 8x-y+3z=22 №20 . 7x-2y=-24

2x+5y-3z=9 7x-9y-11z=0 4x+y+6z=-1 6x-4y-5z=-37

4x-3y+2z=-15 12x-17y-15z=-7 13x+y+16z=5 4x+3y+6z=13

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

hello_html_m3544cdd1.gif21. 3x+2y-4z=8 №22. 2x-5y+3z=4 №23. 3x-3y+2z=2 №24. 3x+2y-4z=8

2x+4y-5z=11 4x+3y-5z=2 4x-5y+2z=1 2x+4y-5z=11

4x-3y+2z=1 5x+4y-2z=18 5x-6y+4z=3 4x-3y+2z=1




hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif25. 4x-2y-z=3 №26. x+y+z=4 №27. 2x+y-2z=1 №28. x-y+3z=-4

2x+y=8 x+2y+3z=7 x-y+3z=4 2x+y-2z=5

1,5x=4,5 x+y+5z=8 3x+y+z=4 3x+3y+z=6


hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif

29. 4x-y+2z=8 №30. 2x+y-2z=4

3x-2y+5z=14 3x-y-5z=12

5x+3y-3z=2 4x+3y+2z=3


Функции. Последовательности. 31-121

Пределы. Найти пределы.


31. lim (x+3)2 -9

x→0 x


32. lim x2+3x

x→0 x2+x


33. lim x2+x-6

x→2 x-2


34. lim x2-25

x→5 x+5


35. lim x2-121

x→11 x-11


36. lim x2+3x-10

x→-5 x+5


37. lim x2-1

x→1 2x2-x-1


38. lim x2+3x+2

x→-1 x+1


39. lim 49-x2

x→-7 x+7


40. lim x2-x-6

x→3 x-3


41. lim x2+x-12

x→3 x-3


42. lim x2-64

x→8 8-x


43. lim x3+27

x→-3 2x2-3x-27

44. lim 2x2+3x-35

x→-5 3x2+16x+5


45. lim x2-5x+6

x→2 x2-12x+20


46. lim x2+5x+6

x→-2 x2+x-2


47. lim x2-4

x→2 x2-2x


48. lim 2x2+7x+6

x→-2 x+2


49. lim x2-6x+9

x→3 x2-3x


50. lim x2-5x+6

x→2 x-2


51. lim x2-4x

x→0 x2+x


52. lim x2-5x+6

x→3 x-3


53. lim (x+4)2-16

x→0 x


54. lim x2-x-6

x→-2 x+2


55. lim x2+3x+2

x→-2 x+2


56. lim x2+2x

x→0 x2+x


57. lim (x+2)2-4

x→0 x


58. lim x2-4x+4

x→2 x-2


59. lim 36-x2

x→-6 x+6


60. lim x2-5x+25

x→5 x2-5x


61. lim 10-3x2

x→∞ 2x2+7


62. lim x+x3

x→∞ x3+2x2


63. lim 2x2-x+1

x→∞ x+4x2 -3x


64. lim 6x2+x3

x→∞ 4x3-7


65. lim 5x2-7x+3

x→∞ 4x2+3x-1


66. lim x2-1

x→∞ 2+x2

67. lim 9x2+3x-1

x→∞ x2


68. lim 3x2-2x3-4

x→∞ 7x3+x2-5x


69. lim 3x2-4

x→∞ 5x3+x2


70. lim 8x3-16x

x→∞ 2x+2x3

71. lim 5x2-3x+6

x→∞ 3-10x2


72. lim 8x3+16x4-3

x→∞ 2+x-8x4


73. lim 10x+8x2-4x

x→∞ 2x2-5x+3


74. lim 6x2+3

x→∞ 2x2-2


75. lim 8x3-4x2+1

x→∞ 4x3-3


76. lim 3x2+4x-1

x→∞ 3+6x2-3x


77. lim x2+1

x→∞ x2


78. lim 2x

x→∞ x-1


79. lim x4+x5

x→∞ 3x2-2x5


80. lim 1-x2

x→∞ 1+2x2


81. lim x3-3

x→∞ x3


82. lim 2-x2

x→∞ 3+3x2

83. lim 8-x+x2

x→∞ 3+2x2


84. lim 3-x+x3

x→∞ 16+4x3


85. lim 5+x

x→∞ x2-1


86. lim x2-1

x→∞ x2+1


87. lim 3x2+2x3

x→∞ 2x3-5


88. lim x+x2

x→∞ 3x+2x2


89. lim x2+x-3

x→∞ 2x2-1


90. lim -3x2+4x3

x→∞ 2x3+5


91. lim 3

x-2 x+2


92. lim 5

x→4 2x-8


93. lim 2

x→1 x-1


94. lim 8

x→3 2x-6


95. lim 5

x→∞ x-2


96. lim 4

x→∞ x2+x


97. lim 8

x→∞ x-1


98. lim 2

x→4 8-2x

99. lim 3

x→∞ 2x+1


100. lim 5

x→∞ x+1


101. lim 3

x→∞ x-1


102. lim 2

x→∞ 2x+3


103. lim 3

x→5 10-2x


104. lim 2

x→5 2x-10


105. lim 5

x→∞ 6x+1


106. lim 2

x→3 6-2x


107. lim 8

x→1 x-1


108. lim 5

x→3 21-7x


109. lim 3

x→4 12-3x


110. lim 3

x→∞ 2x-4


111. lim 5

x→∞ 6x-8


112. lim 8

x→1 1-x


113. lim 4

x→∞ 2x+1


114. lim 2

x→3 9-3x

115. lim 3

x→∞ 3x+1



116. lim 5

x→∞ 2x-4


117. lim 8

x→∞ 3x+1


118. lim 3

x→∞ 4x-1


119. lim 5

x→4 8-2x


121. lim -3x2+4x3

x→∞ 2x3+5


120. lim 2

x→6 12-2x


Производная функция. 122-151

Найти производную функцию.



122. a) y=5x4+3sin xcos x+9

б) f (x)=(x3-2x+7) 4f ′ (2)-?


123. а) y=x3*4x-3* 3x-2

б) f (x)=3sin2x f ′ ( П/6)-?


124. а) 3x2-8/3x2+8

б) f (x)=arcos 2x f ′ (1/4)-?


125. а) y=(5x3-3)*(6x2+1) y′(2)-?

б) f (x)=cos(3x2-1)


126. а) y=4√x3*x2*√x-1* 5√x-2

б) f (x)=sin23x f ′ (П/18)-?


127. а) y=x3*√x2/4√x3*√x

б) y=sin25x y′(П/20)-?


128. а) y=(x3+4)*(x2+x-1) y′(2)-?

б) f (x)=cos(x3-2)


129. а) y=x4-3/x4+3

б) f(x)=cos3x*(sin3x+1) f ′ (П/24)-?


130. а) y=x4-3cos x+3sin x-ln x+29

б) f (x)=sin x*tg x f ′ (П/4)-?


131. а) y=3√x+2/3*3√x2-3/3√x+25

б) y=ctg x-sin3x y′(П/6)-?


132. а) y=4ln x+x3 y′(2)-?

б) y=5sin3x


133. а) y=x5+2ln x y′(-2)-?

б) f (x)=3sin(2x2-1)


134. а) y=(2+sin x)/sin x y′(П/4)-?

б) y=(x2+3)*√(x2-3)


135. а) y=arcos x+arcsin x y′(1/√2)-?

б) y=ln(4x3+x)5


136. а) y=2arcsin x+3arccos x y′(1/2)-?

б) f (x)=ln (x2+3)/(x2-3)


137. а) y=(ln x+2)/(2-ln x)

б) y=52x-1


138. а) y=(ex-1)/(ex+1)

б) y=tg24x


139. а) y=(2-sin x)/(2+sin x) y′(П/3)-?

б) y=ln(3x2-2)6


140. а) y=cos x-sin x y′(П/4)-?

б) y=ln((x3-3)/(x3+3))


141. а) y=cos x*(2+sin x)

б) f (x)=3*5√(3x2-1)3 f ′(0)-?


142. а) y=5x4-3sin x+6cos x-ln x+11

б) f (x)=(x3+1)* 3√(x2-1)2 f ′(1)-?


143. а) y=(3+sin x)*(3-sin x) y′(П/4)-?

б) y=ln(x3+5)4


144. а) f (x)=(e x+2)/(ex-2)

б) y=sin x*cos x


145. а) f (x)=2sin x*(1-cos x) f ′(П/3)-?

б) y=ln(x2-4)/(x2+4)

146. а) f (x)=(x2-3x+1)/(x2+1) f ′(-1)-?

б) y=(sin x+2)*cos x


147. а) y=10x4-e2x+√2

б) y=(x3-1)/(x3+1) y′(0,5)-?


148. а) y=x2*ex*x+3xy′(0)-?

б) f (x)=ln 7x3/(x-1)


149. а) y=5√(4x2-3)

б) y=5sin2x y′(0)-?


150. а) y=sin3 (8x2-1)

б) y=(3x2-1)/(2x+1) y′(0)-?


151. а) y=(8x2-1)*(4x-3) y′(1)-?

б) y=ln (3-x2)/(3+x2)


Дифференциал функции. 152-181

Найти приближенное значение функции.


152. y=3x2-x+2 при x=2, x=0,01

153. y=2x2+3x-2 при x=3, x=0,002

154. y=3x2+2x+10 при x=5, x=0,001

155. y=3x2+4x при x=10, x=0,001

156. y=4x2-5x при x=5, x=0,001

157. y=2x3-x+10 при x=2, x=0,001

158. y=5x2-3x+5 при x=5, x=0,02

159. y=4x3-2x при x=5, x=0,001

160. y=6x2+2x-1 при x=10, x=0,001

161. y=6x3-2x при x=10, x=0,01

162. y=4x2+2x при x=2, x=0,001

163. y=5x3-2x при x=2, x=0,002

164. y=4x2-3x при x=3, x=0,001

165. y=5x3-2x при x=2, x=0,002

166. y=7x3-x при x=2, x=0,002

167. y=3x2+5x+1 при x=3, x=0,001

168. y=x3+2x при x=2, x=0,1

169. y=x2-2x при x=1, x=0,01

170. y=2x3+5 при x=2, x=0,001

171. y=x3 при x=10, x=0,03

172. y=2x2-3x при x=5, x=0,01

173. y=3x2-2x+4 при x=4, x=0,02

174. y=2x2+2x-1 при x=3, x=0,02

175. y=3x2+2x-3 при x=2, x=0,01

176. y=3x3-2x при x=2, x=0,01

177. y=2x2-x+3 при x=1, x=0,1

178. y=3x2+2x-2 при x=3, x=0,02

179. y=5x3+2x при x=2, x=0,001

180. y=3x2+2x-1 при x=5, x=0,02

181. y=2x2+3x-4 при x=3, x=0,01


Дифференциал функции. 182-211

Найти дифференциал функции.


182. y=7x4-cos(x3+2)+ln x №205. y=e 3x*x-1+sin 4x

183. y=√(5x3-x+1) +sin(1-10x) №206. y=3x*sin 5x

184. y=ln(x6-3)+tg x2 №207. y=e cos2x-tg 3x

185. y=arccos 7x-3ln sin x №208. y=√(3x2-1)+cos 6x

186. y=e cos x+√(3x2-1) №209. y=√3*x3+sin 3x2

187. y=cos43x №210. y=e sin x+cos(8x2-1)

188. y=x4*ctg 2x №211. y=3x4+cos 7x3

189. y=e sin 3x-ln sin x

190. y=0,5 arcsin 4x+cos7x

191. y=√(9x3-x)+4e √x

192. y=√2*x4+cos 4x2

193. y= 5x2+sin 8x2

194. y=√(3x2-1)+cos 8x

195. y=arctg 2x+5sin x

196. y=arcsin 3x+3x2-ln x

197. y=x3*tg 3x

198. y=sin56x

199. y=ln(x5+2)+sin 2x

200. y=3x*x-1+ln cos x

201. y=3√x+sin 6x

202. y=tg(3x-1)+ln 2x

203. y=3sin x+sin 6x2

204. y=ctg 3x-2tg x


Неопределенный интеграл. 212-241

Найти неопределенный интеграл.


212. a) ∫(1-6√x +9 5x4)dx; б) ∫x*dx/√(1-4x2); в) ∫cos 2x*dx/(5+sin 2x).

213. a) ∫e x*dx/3√(1+e x); б) ∫x*sin(x2+1)dx; в) ∫x*e xdx.

214. a) ∫e xdx/(e x-2); б) ∫x3*3√(1-3x4)dx; в) ∫cos(3-7x)dx.

215. a) ∫(x3-1/√x)dx; б) ∫dx/sin23x; в) ∫x*sin x dx.

216. a) ∫(5/cos2(5x+2))dx; б) ∫(3x2-4x3+3)dx; в) ∫ln x dx.

217. a) ∫(x/√(1+3x2))dx; б) ∫(sin x+3x2-2)dx; в) ∫(sin x*cos3x)dx.

218. a) ∫(2x+1)2dx; б) ∫cos x*e sin xdx; в) ∫cos2x*sin x dx.

219. a) ∫sin5x*cos x dx; б) ∫x*cos x dx; в) ∫(x+√x-2x)dx.

220. a) ∫√(3x-1)dx; б) ∫x*ln x dx; в) ∫(7x6-1/x+e x)dx.

221. a) ∫(5x4-3√x2+1)dx; б) ∫(sin 3x/(cos3x-2))dx; в) ∫6x(x2-1)4dx.

222. a) ∫(5x3-8/x-sin x)dx; б) ∫sin 6x dx; в) ∫sin3x*cos x dx.

223. a) ∫(2sin x+3cos x)dx; б) ∫x3*sin 3x4 dx; в) ∫(e x/1+e x) dx.

224. a) ∫((x2+x+5)/2x)dx; б) ∫x2*3√(7+x3) dx; в) ∫sin 2x/(4-cos 2x)dx.

225. a) ∫(3x+1)2/x dx; б) ∫sin4x/(1+cos 4x)3dx; в) ∫(2x3-2)5*x2 dx.

226. a) ∫((2+x)/x)2 dx; б) ∫ e x+2dx; в) ∫x*ln x dx.

227. a) ∫x2*cos x3 dx; б) ∫(x3+2x)/x dx; в) ∫(3x3-2)5*x2dx.

228. a) ∫(3√x-3/4 3√x2)dx; б) ∫x2*cos(3-x3)dx; в) ∫(2x+1)/(x2+x+1)dx.

229. a) ∫(x3+2x+3sin x)dx; б) ∫x3*sin3x4dx; в) ∫(ln x)/x2dx.

230. a) ∫(e x+3x-2√x)dx; б) ∫x/(5-x2) dx; в) ∫(ln x)/x4 dx.

231. a) ∫(4x-3*3√x2) dx; б) ∫e cos x*sin x dx; в) ∫(ln x)/x3dx.

232. a) ∫(3x2+4√x3-2)dx; б) ∫x3/(1+x4)dx; в) ∫sin4x*cos x dx.

233. a) ∫2/√(1-x2)dx; б) ∫cos x/(7-3sin x)dx; в) ∫x9*3√(x10-5)dx.

234. a) ∫(4x4-2x3+x2)/x2dx; б) ∫sin x/(2-5cos x)dx; в) ∫(3x4-5)6*x3dx.

235. a) ∫x3*(1+7x)dx; б) ∫(x2+1)/(x3+3x)dx; в) ∫(sin √x)/√x dx.

236. a) ∫(arctg3x)/(1+x2)dx; б) ∫x5/(1+x6)dx; в) ∫(e x+4x+4sin x)dx.

237. a) ∫(arcsin2x)/√(1-x2)dx; б) ∫(4x3+3x2+x)/x dx; в) ∫(6x-1)/(3x2-x)dx.

238. a) ∫x3/(x4+2)dx; б) ∫x4(5x5+5)3dx; в) ∫(3√x+2x-sin x) dx.

239. a) ∫(cos2x+3)/cos2x dx; б) ∫sin3x*cos x dx; в) ∫(1+x5)7*x4dx.

240. a) ∫(5x-1/x5+3/cos2x)dx; б) ∫sin x*cos5x dx; в) ∫tg x dx.

241. a) ∫(2*sin3x+3)/sin2x dx; б) ∫x2/√(x3-1)3 dx; в) ∫ctg x dx.


Определенный интеграл. 242-271

Вычислить определенные интегралы.


0 0

242. a) ∫(3x2+1)dx; б) ∫sin2x*cos x dx.

-1 -П/2

1 3Π/2

243. a) ∫(1/2x+4x2)dx; б) ∫ cos x/3 dx.

-1 0


1 1

244. a) ∫(2x+1)dx; б) ∫x2*e x*x*xdx.

0 0


0 1

245. a) ∫(√x+1/√x)dx; б) ∫√(1-x) dx.

1 0


1 0

246. a) ∫(3x2-3√x)dx; б) ∫sin x * e cos x dx.

-1 -П/2


4 П /4

247. a) ∫(3x2-2x+4)dx; б) ∫sin 8x dx. 1 -П/8



2 2

248. a) ∫2dx/5x; б) ∫e x/(e x-1) dx.

1 0


8 2

249. a) ∫(2+x)/x2dx; б) ∫ x4 dx/(1+x5).

2 0


2 П/4

250. a) ∫(2x2+1)/x dx; б) ∫sin x*cos5 x dx.

1 -П/2


1 0

251. a) ∫(1-3√x2) dx; б) ∫sin(4x+ П/4) dx.

-1 -П/4


4 2

252. a) ∫x+1/√x dx; б) ∫(x5-x)/(1-3x2+x6)dx.

1 0


2

253. a) ∫dx/ 3√x2; б) ∫sin x/(cos x+1) dx.

1 3/2П


4 П/4

254. a) ∫(0,5x3-3√x) dx; б) ∫ dx/sin22x.

1 П/8


3 П/3

255. a) ∫(x2-3x) dx; б) ∫cos(3x-П/3) dx.

0 0


2 2

256. a) ∫2x(1+x2) dx; б) ∫е 2x-1dx.

1 0,5


8 2

257. a) ∫(x-3√x)/x dx; б) ∫x √(5x2+1) dx.

1 1


2 П/4

258. a) ∫(x-1)2/x2 dx; б) ∫е sin xcos x dx.

1 0

П/2 3

259. a) ∫(3cos x+2sin x) dx; б) ∫е 2x /(10-е 2x) dx.

0 0

0,5 П/3

260. a) ∫2 dx/√(1-x2); б) ∫cos4x*sin x dx.

0 0


П √П

261. a) ∫(x*cos x+1)/x dx; б) ∫x*sin x2 dx.

П/2 0


П/3 П/2

262. a) ∫(2/cos2x +sin x) dx; б) ∫sin(П -4x) dx.

0 0


П 0

263. a) ∫(е x-cos x) dx; б) ∫3x3/4√(1+x4) dx.

0 -1

1 0

264. a) ∫3 dx/(1+x2); б) ∫x2*еx*x*x-1 dx.

√3/3 1


√3/2 1

265. a) ∫ dx/2√(1-x2); б) ∫x3/(1+x4) dx.

√2/2 -3

4 2

266. a) ∫[(x-3)2-4] dx; б) ∫5 dx/√(5x-1).

1 1

1 1

267. a) ∫(2x+4x2-5) dx; б) ∫(2x3+1)4*x2 dx.

-1 0

2 П/2

268. a) ∫(3x3-2x+8) dx; б) ∫sin x*cos2x dx.

0 0

1 П/2

269. a) ∫(2- √x3) dx; б) ∫cos x dx/(2-sin x).

0 0

9 П/6

270. a) ∫(1-x)/√x dx; б) ∫е sin x*cos x dx.

1 0

4 П/3

271. a) ∫(2x+3x2-5) dx; б) ∫sin x dx/(3-cos x).

0 0



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОРАБОТЫ №1


Системы линейных уравнений

Определителем третьего порядка hello_html_2b0c8974.gifназывается число, которое может быть найдено следующими способами:

1. hello_html_m3a4e8364.gif.

2. hello_html_2bf1272.gifhello_html_7a08a0da.gif.

Решение системы уравнений

hello_html_1717791e.gif





методом Крамера осуществляется по формулам:

hello_html_m42d41ab3.gifгде

. hello_html_m7c730350.gif

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера hello_html_m61c5eeaa.gif

Решение. hello_html_m7cf01a64.gif, hello_html_m1279be4a.gif, hello_html_m22ba82ec.gif, hello_html_5800d6b1.gif.

hello_html_4879c841.gif

Ответ. hello_html_4684b7fc.gif


Вычисление пределов функций


Число hello_html_m33bbcc6d.gif называется пределом последовательности x12,…,xn , если для всякого сколь угодно малого положительного числа hello_html_m4ff18eb4.gif найдется такое положительное число N, что hello_html_m6854d7fd.gif при hello_html_342f7a3.gif. В этом случае пишут: hello_html_670fce6.gif.


Число hello_html_m1b41f8b9.gif называется пределом функции hello_html_123b1429.gif при hello_html_m6e3db1fc.gif, если для любого сколь угодно малого hello_html_5bcfce2f.gif найдется такое hello_html_53cdf37.gif, что hello_html_m2ae742aa.gif при hello_html_2e61a9ee.gif. Это записывают так: hello_html_m79e3b9fb.gif

Аналогично hello_html_69f2dce8.gif, если hello_html_m2a6ea328.gif при hello_html_352690a3.gif.

Условно записывают hello_html_m3c3d1ca1.gif, если hello_html_m2e01fc6.gif при hello_html_m519ce1f5.gif, где М - произвольное положительное число. В этом случае функция hello_html_123b1429.gif называется бесконечно большой при hello_html_m6e3db1fc.gif. Если hello_html_4f097a49.gif, то функция hello_html_5d348cd3.gif называется бесконечно малой при hello_html_m6e3db1fc.gif.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Если существуют hello_html_m151add0a.gif и hello_html_53f6d2f7.gif, то

  1. hello_html_m4ad46fa3.gif

  2. hello_html_acb96f5.gif;

  3. hello_html_32678b21.gif;

  4. hello_html_m709a3308.gif

  5. hello_html_523035f0.gif(при hello_html_m350bd402.gif).

Путем элементарных рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно получить следующие наиболее часто встречающиеся пределы (постоянная hello_html_m548ea4db.gif):

1) hello_html_m5ae74bf.gif

2) hello_html_m73f05a2e.gif

3) hello_html_36f3557b.gif


4) hello_html_m18b9151a.gif

5) hello_html_m43d11221.gif

6) hello_html_m61fd787d.gif

hello_html_4bed5187.gif(первый замечательный предел);

hello_html_4d23d82d.gif(второй замечательный предел) hello_html_27d75749.gif,

Функция hello_html_m3858f6d2.gif называется непрерывной в точке если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности и точки hello_html_27d75749.gif;

2) существует предел hello_html_4904ecdb.gif;

3) этот предел равен значению функции в точке hello_html_27d75749.gif, т.е. hello_html_m63213c7a.gif.

При нахождении пределов часто используется тот факт, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях hello_html_m35a51ac2.gif, для которых они определены.

Пример 1. Вычислить hello_html_4e9cb426.gif.

Решение. hello_html_m18e665b.gif

Пример 2. Вычислить hello_html_m13eaf565.gif.

Решение. Здесь hello_html_45f39b1c.gif и hello_html_5a310613.gif. Так как hello_html_3dc2f896.gif, то

hello_html_35fd9dcc.gif.

Пример 3. Вычислить предел hello_html_2fa6acaa.gif.

Решение. Здесь hello_html_m352da0ad.gif и hello_html_md8444e3.gif. Так как hello_html_547a9c12.gif, то

hello_html_1481e25.gif

Неопределенность hello_html_meb79f38.gif.

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: hello_html_m9dbd892.gif, если hello_html_m28ddcb36.gif

При этом возможны частные случаи:

  1. Числитель hello_html_1a104b29.gif и знаменатель hello_html_735f14bd.gif дроби многочлены.

Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 4. Вычислить предел hello_html_1e95eb1.gif.

Решение. Здесь hello_html_m3c13023c.gif и hello_html_m4c50d4c6.gif. Имеем неопределенность hello_html_m5b7f566b.gif. Разложим числитель и знаменатель на множители. hello_html_6d3e9c67.gif

Пример 5. Найти hello_html_5f02a67a.gif

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1eec48ec.gifhello_html_39df77e9.gifhello_html_763e2bc0.gif

2. Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 6. Вычислить hello_html_m36d4e6d6.gif

Решение. При hello_html_m5825183b.gifчислитель и знаменатель стремятся к нулю. Так как hello_html_294a4785.gifто теорему о пределе частного применять нельзя. Для раскрытия неопределенности hello_html_m3c1fb193.gif умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

hello_html_m30660e93.gifПример 7. Найти hello_html_m344b8a20.gif

Решение. При hello_html_m5825183b.gifчислитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности hello_html_6270cb0.gif умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда получим:

hello_html_1249806f.gifhello_html_m53d4ecad.gif=hello_html_79952555.gifhello_html_m151dba10.gifhello_html_m9940a71.gif

3. Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.

Пример 8. Найти hello_html_m73e8ee45.gif

Решение. Подстановкой предельного значения hello_html_549eef4b.gif убедимся, что имеем неопределенность hello_html_m668895e.gif. Применяем тригонометрическую формулу hello_html_m7e55cbfb.gif, преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.

hello_html_m2ba08e9c.gifhello_html_4a85c2e.gif

Неопределенность вида hello_html_1e86246e.gif

1. Числитель и знаменатель дроби при hello_html_m746fc208.gif- полиномы.

hello_html_m53d4ecad.gifДля раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

Пример 9. Найти hello_html_m4a0c3fd4.gif

Решение. hello_html_m625e6b4a.gifhello_html_7da489d0.gifhello_html_m544a0991.gifhello_html_m27ef12bb.gif

Пример 10. Найти hello_html_6b085ef7.gif

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень hello_html_3551d7f4.gif (выбираем из двух вариантов hello_html_466f2c21.gifи hello_html_m1338d430.gif), т.е на hello_html_m29adc80e.gif

Тогда hello_html_627f725c.gifhello_html_572f71fd.gif

Неопределенность вида hello_html_m26cbb622.gif

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида: hello_html_718fd37.gif, где hello_html_2ae7e293.gif, hello_html_m2c8581a2.gif или hello_html_402effc3.gif, где hello_html_41390bf6.gif, hello_html_m2c8581a2.gif.

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

Пример 11. Найти hello_html_5f0615d1.gif.

Решение. hello_html_988a2cd.gifhello_html_m26cbb622.gifhello_html_6bfb8d23.gifhello_html_3e006d74.gifhello_html_m62ddc7db.gifhello_html_4ed99a88.gif

hello_html_m6a5eb897.gifhello_html_m2f6e1c3c.gif







Дифференциальные исчисления функций одной переменной


Функция hello_html_3dfee9f4.gif описывает зависимость между двумя переменными ве­личинами hello_html_m15b6c687.gif и hello_html_m56243a43.gif. Если независимая переменная hello_html_549eef4b.gif в точкеhello_html_4adff1e5.gif получила прираще­ние hello_html_m1c9a1f48.gif(т.е. hello_html_bc03cde.gif), то переменная hello_html_m56243a43.gif получит приращение hello_html_553a3a99.gif.

Предел отношения hello_html_m5f3fadce.gif, если hello_html_m1c9a1f48.gif стремится к нулю, называется производной функции hello_html_a46959.gif в точке hello_html_725c04ad.gif и обозначается hello_html_3ff0a329.gif или hello_html_2d8756a9.gif. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m213d8b7a.gif

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.


Производная сложной функции


Пусть hello_html_29073a2e.gif, где hello_html_42cb76d3.gif является не независимой переменной, а функцией независимой переменной hello_html_549eef4b.gif, т.е. hello_html_m10e81287.gif. Таким образом, hello_html_4ef1a686.gif. В этом случае функция hello_html_m56243a43.gif называется сложной функцией hello_html_549eef4b.gif, а переменная hello_html_42cb76d3.gif промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если hello_html_29073a2e.gif и hello_html_m10e81287.gif дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции hello_html_4ef1a686.gif существует и равна произведению производной функции hello_html_m56243a43.gif по промежуточному аргументу hello_html_42cb76d3.gif на производную промежуточного аргумента hello_html_42cb76d3.gif по независимой переменной hello_html_549eef4b.gif. hello_html_m3dc40c9b.gif

Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Формулы дифференцирования

С – постоянная, hello_html_179cfd51.gif и hello_html_252690f2.gif функции аргумента hello_html_m5547f17b.gif

1. hello_html_m39b5be76.gif

4. hello_html_m13dedeb0.gif

7. hello_html_696a31b0.gif

2. hello_html_35f0bfe.gif

5. hello_html_m5004ab6b.gif

3. hello_html_3c572a69.gif

6. hello_html_2b1c27a.gif






Основные элементарные функции

Сложные функции


hello_html_5423b248.gif

hello_html_m5cb5afd5.gif


hello_html_1a318406.gif

hello_html_m60f72.gif


hello_html_431206ff.gif

10а

hello_html_m65e9d968.gif


hello_html_138fd47e.gif

11а

hello_html_61c5cc4c.gif


hello_html_m39b0f1a3.gif

12а

hello_html_e6f3d0d.gif


hello_html_m5bfa3f3f.gif

13а

hello_html_m100a9970.gif


hello_html_12d5ace1.gif

14а

hello_html_m40fc06.gif


hello_html_m32883d14.gif

15а

hello_html_7225cc5a.gif


hello_html_ma64a862.gif

16а

hello_html_43c22cc8.gif


hello_html_137c8a5c.gif

17а

hello_html_2545d5c9.gif


hello_html_mb68c15f.gif

18а

hello_html_39b36abe.gif


hello_html_m5c21f876.gif

19а

hello_html_236750ba.gif


hello_html_539b632.gif

20а

hello_html_m7ac2eebf.gif



Пример 1. Найти производную функции hello_html_296f4b01.gif.

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8: hello_html_m2c916195.gif

Пример 2. Найти производную функции hello_html_m4c648640.gif.

Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем

hello_html_m24c4655.gifhello_html_m7c22fcc3.gif.

Пример 3. Найти производную функции hello_html_cc2c257.gif.

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

hello_html_911a103.gif

Пример 4. Найти производную функции hello_html_443a3696.gif и вычислить ее значение при hello_html_m1d4a72db.gif

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом hello_html_6b24a34a.gif. Используя формулы 8а и hello_html_m18464b18.gif13, имеем: hello_html_7ee6e414.gif.

Вычислим значение производной при hello_html_m7411b61b.gif.

hello_html_26404ef3.gif.

Пример 5. Найти производную функции hello_html_m18464b18.gif.

Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим

hello_html_m77471513.gif.

Пример 6. Найти производную функции hello_html_2b2f961f.gif.

Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим

hello_html_6f56549b.gif

Пример 7. Найти производную функции hello_html_m68d189a6.gif.

Решение: полагая hello_html_41b4c24f.gif, получим hello_html_78753d3.gif.

hello_html_4b325fd3.gif

Пример 8. Найти производную функции.

Решение. hello_html_m91d967f.gif

hello_html_7a577e2c.gif


Производные высших порядков


Производная функции hello_html_3dfee9f4.gif в общем случае является функцией от hello_html_549eef4b.gif. Если от этой функции вычислять производную, то получим производную вто­рого порядка или вторую производную функции hello_html_3dfee9f4.gif.

Второй производной функции hello_html_3dfee9f4.gif называется производная от ее пер­вой производной hello_html_6f1e0b71.gif.

Вторая производная функции обозначается одним из символов: hello_html_731f28c5.gif, hello_html_48e53383.gif, hello_html_68483fab.gif.

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: hello_html_39d538e5.gif, hello_html_m6ae2f335.gif, hello_html_2d6816c1.gif.

Пhello_html_m1b899c14.jpgример 10. Найти вторую производную функции hello_html_m681dee98.gif.

Решение. Сначала найдем первую производную:

hello_html_36c03ebb.jpg

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:



Пример 11. Найти вторую производную функции hello_html_m3c1e55e4.gif

Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции:

hello_html_m20743575.jpg



Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

hello_html_34e818ee.jpg




Неопределенный интеграл.


Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке hello_html_m696d988e.gif, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

hello_html_5feb8d12.gif.

Определение: совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом hello_html_4bbe05dd.gif. Таким образом, hello_html_m30dd026d.gif.

Здесь f(x)- подынтегральная функция, hello_html_m4d0862af.gif- подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла.

  1. Если функцияhello_html_m1f29e9c8.gif имеет первообразную, то hello_html_c6eb495.gif, hello_html_m4be76de3.gif.

  2. Если hello_html_m1f29e9c8.gif- дифференцируемая функция, то hello_html_m1a18813e.gif, hello_html_42ae6e88.gif.

  3. Если функцияhello_html_m1f29e9c8.gif имеет первообразную, то при hello_html_m66f68eb7.gif верно равенство hello_html_m57733ecd.gif.

  4. Если функцияhello_html_m1f29e9c8.gif и hello_html_m2a4a6a99.gif имеют первообразные, то hello_html_m760ae1cd.gif.

Таблица неопределенных интегралов.

1. hello_html_m18c22d49.gif;

8. hello_html_5ea60692.gif;

2. hello_html_m4fc8b999.gif

9. hello_html_1107b553.gif;

3. hello_html_m38272ddd.gif;

10. hello_html_m470c7fe.gif

4. hello_html_100e71a4.gif;

11. hello_html_60dc5891.gif

5. hello_html_m7e67536.gif;

12. hello_html_mf685c38.gif

6. hello_html_41be0be9.gif;

13. hello_html_7409e444.gif

7. hello_html_4e2714f3.gif;


Пример 1. Для функции hello_html_m64c93cc7.gif, найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (2;2).

Решение: так как при всех hello_html_ma507710.gifверно равенство hello_html_m5680e5e3.gif то hello_html_m26e0d5d7.gif- одна из первообразных функции hello_html_49dcad67.gif. Следовательно, hello_html_m7cc2170a.gif С – некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F(2)=2, то есть hello_html_7ee6d4ed.gifоткуда hello_html_2b0819bb.gif.

Значит, hello_html_m4528d46d.gif.

Пример 2. Найти интеграл hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3ada7409.gif.

Решение: hello_html_60bd7e25.gif.

Пример 3. Найти интеграл hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m45fdddeb.gif.

Решение: hello_html_m730985c5.gif

Пример 4. Найти интеграл hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1bb54fdf.gif.

Решение: так как hello_html_m7e23eec2.gif, то hello_html_5455784c.gif.

Пример 5. Найти интеграл.

Решение: так как hello_html_1e6b94a3.gif, тhello_html_m4ba5a82a.gifо hello_html_9f87b57.gif.

Пример 6. Найти интеграл hello_html_72bc6d57.gif.

Решение: так как hello_html_1715e922.gif, то hello_html_m125f175.gif.

Пример 7. Найти интеграл hello_html_1b9e963e.gif.

Решение:hello_html_m4a1db912.gif


Определенный интеграл.


Пусть функция hello_html_123b1429.gif определена на отрезке hello_html_4fee392d.gif. Разобьем этот отрезок на n частей точками hello_html_305ba45f.gif, выберем на каждом элементарном отрезке hello_html_m168d796c.gifпроизвольную точку hello_html_d3aa5cb.gifи обозначим через hello_html_728dff64.gif длину каждого такого отрезка.

Определение. Интегральной суммой для функции hello_html_123b1429.gif на отрезке hello_html_4fee392d.gif называется сумма вида hello_html_m3bcc06c8.gif.

Определение. Определенным интегралом от функции hello_html_123b1429.gif на отрезке hello_html_4fee392d.gif называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: hello_html_50b50750.gif.

Для любой функции hello_html_123b1429.gif, непрерывной на отрезке hello_html_4fee392d.gif, всегда существует определенный интеграл hello_html_m1de5da41.gif.

Для вычисления определенного интеграла от функции hello_html_123b1429.gif в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл hello_html_m4af59fce.gif, служит формула Ньютона – Лейбница: hello_html_m7dd45bf.gif, то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл hello_html_m1de5da41.gif преобразуется с помощью подстановки hello_html_12520909.gif в определенный интеграл относительно новой переменной hello_html_42cb76d3.gif. При этом старые пределы интегрирования hello_html_m125235d2.gif и hello_html_m2cdac7f.gif, которые находятся из исходной подстановки: hello_html_361b4e97.gif, hello_html_m378a6edf.gif. Таким образом, имеем hello_html_m273dbef4.gif.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл: hello_html_720b5603.gif.

Решение:

hello_html_mce8a5bd.gif.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл: hello_html_44a82a4a.gif.

Решение: hello_html_47ff3dc9.gif.

Пример 3. Вычислить определенный интеграл: hello_html_m32975c65.gifhello_html_m45be7b88.gif.

hello_html_m7c3f9f7b.gif.

Пример 4. Вычислить определенный интеграл: hello_html_54b6c8ae.gif.

Решение: hello_html_5df033df.gif.

Пример 5. Вычислить определенный интеграл: hello_html_m141e462d.gif.

Решение: положим hello_html_408950d4.gif, тогда hello_html_f516798.gif, hello_html_m57137ff3.gif. Вычисляем новые пределы интегрирования: hello_html_47d657c9.gif, hello_html_m32e047c9.gif.

Поэтому

hello_html_4dbb5d02.gif.

Пример 6. Вычислить определенный интеграл: hello_html_2de24995.gif.

Решение: преобразуем подкоренное выражение: hello_html_m57bc92e5.gif. Положим hello_html_m7cae36c7.gif, откуда hello_html_6d511488.gif. Найдем новые пределы интегрирования: hello_html_m52ae1cb5.gif, hello_html_3075bbf5.gif. Следовательно,

hello_html_276172df.gif.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

  1. Определение функции. Способы задания функции. Основные элементарные
    функции.

  2. Определение предела функции. Основные теоремы о пределах.

  3. Определение непрерывности функции. Точки разрыва.

  4. Производная функции. Определение. Геометрический смысл производной.

  5. Уравнение касательной и нормали к кривой.

  6. Производная функции. Физический смысл производной.

  7. Производные высших порядков.

  8. Производная второго порядка и её механический смысл.

  9. Производная. Правила дифференцирования.

  10. Формулы дифференцирования.

  11. Сложная функция. Правило дифференцирования сложных функций.

  12. Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл дифферен­циала.

  13. Приложение дифференциала к приближённым вычислениям.

  14. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

  15. Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума.

  16. Экстремумы функции. Достаточные условия существования экстремума.

  17. Выпуклость и вогнутость кривой.

  18. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки
    перегиба.

  19. Схема исследования функций и построения графиков.

  20. Первообразная. Неопределённый интеграл. Геометрическая интерпретация.

  21. Основные свойства неопределённого интеграла.

  22. Таблица основных интегралов.

  23. Непосредственное интегрирование.

  24. Методом замены переменных.

  25. Метод интегрирования по частям.

  26. Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.

  27. Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньюто­на - Лейбница.

  28. Вычисление определённого интеграла методом замены переменной.

  29. Вычисление площадей плоских фигур.








СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика», М., «Высшая школа», 1991 г.

  2. Зайцев И.Л. «Элементы высшей математики для техникумов»,

  3. М., «Высшая школа», 1974 г.

  4. Мордкович А.Г. «Математический анализ», М., «Высшая школа», 1990 г.

  5. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. «Элементы дискретной математики», М., «Инфра-М», 2002 г.

  6. Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа для техникумов», ч. 2, М., «Высшая школа».

  7. Цыпкин А.Г. «Справочник по математике», М., «Высшая школа», 1983г.

  8. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», М., «Роскнига», 2001 г.


Краткое описание документа:

Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями.

Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.

 Дисциплина «Математика» изучается на 1 курсе по заочной форме обучения. По учебному материалу выполняется одна контрольная работа.

Общая информация

Номер материала: 160872

Похожие материалы