ОГБОУ СПО «Смоленский техникум железнодорожного транспорта, связи и сервиса»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

для реализации программы  дисциплины

 

«Математика»

 

Задание на контрольную работу №1

 

 

 

по специальности 190623 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смоленск, 2013

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

После изучения материала каждого раздела студент должен выполнить домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условие задачи переписывается полностью. Решение примеров сопровождается краткими и чёткими пояснениями.

Для подготовки к зачёту необходимо ответить на вопросы, которые указаны в конце методических рекомендаций.

 

Дисциплина «Математика» изучается на 1 курсе по заочной форме обучения. По учебному материалу выполняется одна контрольная работа.

 

Контрольная работа выполняется в соответствии с заданным вариантом в сроки, обусловленные учебным планом. Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами шифра студента по таблице вариантов, которые помещены перед каждым заданием на контрольную работу.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку черной или синей пастой. На контрольную работу наклеивается титульный лист с номером работы; наименованием предмета; фамилией, именем и отчеством студента и преподавателя; полным шифром студента и основой обучения. На первом листе контрольной работы записывается вариант студента и перечисляются соответствующие ему задания контрольной работы. Каждое задание выполняется с нового листа через клетку. В конце контрольной работы приводится список используемой литературы, а также дата выполнения и подпись студента.

После проверки работы преподавателем, студент должен выполнить работу над ошибками (если они имеются в работе). Работа над ошибками выполняется в той же тетради после рецензии преподавателя и сдается на повторную проверку.

 

ТАБЛИЦА ВАРИНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

 

Задание на контрольную работу №1 составлено в 50 вариантах. Каждый вариант состоит из 9-и примеров.

В соответствии с таблицей 1 необходимо по двум последним цифрам шифра выбрать номера контрольных вопросов, на которые необходимо дать ответы.

 

Таблица 1

 

Две последние цифры шифра	Вариант	Номера примеров	Две последние цифры шифра	Вариант	Номера примеров
1	2	3	4	5	6
01 или 51	1	4,58,66,91,122, 155,182,212,243	26 или 76	26	29,38,87,116,147,156,209,241,267
02 или 52	2	5,53,67,92,130, 161,189,216,250	27 или 77	27	28,31,73,117,150, 160,211,217,268
03 или 53	3	6,49,75,93,127, 157,183,220,244	28 или 78	28	26,37,79,118,148,157,207,227,269
04 или 54	4	7,57,68,94,132, 162, 190,215,252	29 или 79	29	22,43,84,119,151, 153,210,218,270
05 или 55	5	11,48,77,95,126, 154,184,222,254	30 или 80	30	19,53,80,120,149,161,208,230,271
06 или 56	6	17,59,69,96,133, 160,191,225,245	31 или 81	31	25,52,74,91,122, 158,211,224,270
07 или 57	7	2,56,76,97,131, 163,185,221,255	32 или 82	32	20,51,81,92,132, 154,208,219,242
08 или 58	8	3,52,70,98,128, 156,192,214,251	33 или 83	33	26,44,75,93,123,159,206,228,243
09 или 59	9	9,47,78,99,124, 159,186,223,246	34 или 84	34	10,37,76,94,133, 155,210,220,272
10 или 60	10	12,55,71,100134, 153,193,217,253	35 или 85	35	28,36,77,95,124, 180,205,229,271
11 или 61	11	18,51,72,101,129, 164,187,224,247	36 или 86	36	16,54,83,96,134, 152,209,240,270
12 или 62	12	10,54,74,102,125, 158,194,218,249	37 или 87	37	15,36,82,97,125, 181,204,223,266
13 или 63	13	8,50,79,103,135, 165,195,219,248	38 или 88	38	11,55,78,98,135, 176,207,239,267
14 или 64	14	1,60,73,104,123, 152,188,213,242	39 или 89	39	24,35,66,99,126, 178,197,228,268
15 или 65	15	13,42,64,105,138,164,196,234,256	40 или 90	40	29,45,68,100,136,173,196,237,269
16 или 66	16	14,39,61,106,143, 169,199,212,257	41 или 91	41	22,56,67,101,127, 175,203,221,265
17 или 67	17	16,47,63,107,145, 165,201,233,258	42 или 92	42	17,34,72,102,137, 177,195,229,264

 

 

 

 

 

Продолжение таблицы 1

Две последние цифры шифра	Вариант	Номера примеров	Две последние цифры шифра	Вариант	Номера примеров
1	2	3	4	5	6
18 или 68	18	21,38,62,108,139, 170,204,214,259	43 или 93	43	21,33,69,103,128, 174,202,238,263
19 или 69	19	24,41,65,109,142,166,197,213,260	44 или 94	44	30,60,63,104,138,170,194,227,262
20 или 70	20	25,32,90,110,137, 163,205,225,261	45 или 95	45	14,32,70,105,129, 171,201,230,261
21 или 71	21	15,40,86,111,144, 171,202,232,262	46 или 96	46	12,59,64,106,139, 167,193,236,260
22 или 72	22	30,48,88,112,141,167,198,215,263	47 или 97	47	13,58,71,107,130, 172,200,222,259
23 или 73	23	20,39,89,113,146, 162,203,226,264	48 или 98	48	23,57,65,108,140,168,192,231,258
24 или 74	24	23,49,85,114,140,172,200,216,265	49 или 99	49	18,46,62,109,131, 169,199,235,257
25 или 75	25	27,50,90,115,136, 168,206,231,266	50 или 100	50	27,32,61,110,141, 166,190,226,256

 

ПРИМЕРЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1

 

Системы уравнений 1-30

Пользуясь формулами Крамера, решить систему уравнений.

 

№1.  x+y-z=36           №2.  2x-4y+9z=28    №3.  x+y+z=36          №4.  3x+5y+3z=16 

 x+z-y=13                   7x+3y-6z=-1              2x -3z=-17                  x+2y+z=8

 y+z-x=7                     7x+9y-9z=5                   6x -5z=7                 x-7y-2z=5

      

№5.  4x+y-3z=-1        №6.  4x-3y+z=43               №7.  3x+y+2z=11         №8.  2x+3y+4z=15

         8x+3y-6z=-1                  x+y-z=3                             2x+2y-3z=9                 x+y+5z=16

         x+y-z=-1                      2x+y =13                              x-5y-8z=23                  3x-2y+z=1

 

                                                                    

№9.  5x-19y-z=26  №10.  6x+3y-5z=0        №11.  x+2y+z=4   №12.  2x+y=5

         2x-5y-z=6                  9x+4y-7z=3                  3x-5y+3z=1           x+3z=16

         8x-31y-4z=35            14x+6y-11z=6              2x+7y-z=8             5y-z=10

 

№13.  7x+2y+3z=15   №14. 2x-y+5z=27    №15.   x-4y-2z=0   №16.  3x+y-2z=6

           5x-3y+2z=15              5x+2y+13z=70           3x-5y-6z=-21         5x-3y+2z=-4

           10x-11y+5z=36          3x-z=-2                       3x+y+z=-4             4x-2y-3z=-2

 

№17.  5x+6y-2z=12 №18. 12x-13y-4z=-10 №19. 8x-y+3z=22  №20 . 7x-2y=-24

           2x+5y-3z=9              7x-9y-11z=0                4x+y+6z=-1             6x-4y-5z=-37

           4x-3y+2z=-15           12x-17y-15z=-7          13x+y+16z=5          4x+3y+6z=13

 

№21.  3x+2y-4z=8  №22.  2x-5y+3z=4    №23. 3x-3y+2z=2  №24.  3x+2y-4z=8

           2x+4y-5z=11            4x+3y-5z=2              4x-5y+2z=1             2x+4y-5z=11

           4x-3y+2z=1              5x+4y-2z=18            5x-6y+4z=3            4x-3y+2z=1

 

 

 

№25.  4x-2y-z=3    №26.  x+y+z=4       №27.  2x+y-2z=1   №28.  x-y+3z=-4

           2x+y=8                    x+2y+3z=7               x-y+3z=4               2x+y-2z=5

           1,5x=4,5                  x+y+5z=8                 3x+y+z=4               3x+3y+z=6

 

 

№29.  4x-y+2z=8       №30.  2x+y-2z=4       

           3x-2y+5z=14               3x-y-5z=12               

           5x+3y-3z=2                4x+3y+2z=3 

                        

 

Функции. Последовательности. 31-121

Пределы. Найти пределы.

 

№31.        lim     (x+3)² -9       

            x→0        x

 

№32.        lim    x²+3x

                 x→0   x²+x

 

№33.        lim     x²+x-6

                 x→2     x-2

 

№34.        lim     x²-25

                  x→5    x+5

 

№35.        lim     x²-121

                 x→11   x-11

 

№36.        lim       x²+3x-10

                 x→-5       x+5

 

№37.        lim      x²-1

            x→1   2x²-x-1

 

№38.        lim     x²+3x+2

                 x→-1     x+1

 

№39.        lim      49-x²

                 x→-7    x+7

 

№40.        lim     x²-x-6

                 x→3     x-3

 

№41.        lim      x²+x-12

                 x→3      x-3

 

№42.        lim     x²-64

                 x→8    8-x

 

№43.        lim           x³+27

                 x→-3      2x²-3x-27

 

№44.        lim       2x²+3x-35

                  x→-5     3x²+16x+5

 

№45.        lim       x²-5x+6

                  x→2     x²-12x+20

 

№46.        lim      x²+5x+6

                 x→-2    x²+x-2

 

№47.        lim     x²-4

                 x→2    x²-2x

 

№48.        lim      2x²+7x+6

x→-2       x+2

 

№49.        lim      x²-6x+9

                 x→3      x²-3x

 

№50.        lim      x²-5x+6

                 x→2       x-2

 

№51.        lim     x²-4x

                 x→0    x²+x

 

№52.        lim      x²-5x+6

                  x→3      x-3

 

№53.        lim     (x+4)²-16

                 x→0        x

 

№54.        lim     x²-x-6

                 x→-2    x+2

 

№55.         lim     x²+3x+2

                 x→-2     x+2

 

№56.        lim     x²+2x

                 x→0    x²+x

 

№57.         lim     (x+2)²-4

                 x→0       x

 

№58.        lim     x²-4x+4

                 x→2      x-2

 

№59.        lim      36-x²

                 x→-6     x+6

 

№60.        lim     x²-5x+25

                 x→5     x²-5x

 

№61.        lim      10-3x²

                  x→∞   2x²+7

 

№62.        lim        x+x³

                 x→∞   x³+2x²

 

№63.         lim      2x²-x+1 

                 x→∞   x+4x² -3x

 

№64.        lim        6x²+x³

                  x→∞      4x³-7

 

№65.        lim       5x²-7x+3

                 x→∞    4x²+3x-1

 

№66.        lim        x²-1

                 x→∞      2+x²

№67.        lim        9x²+3x-1

                 x→∞         x²

 

№68.        lim        3x²-2x³-4

                 x→∞      7x³+x²-5x

 

№69.        lim        3x²-4

                 x→∞      5x³+x²

 

№70.        lim        8x³-16x

                  x→∞      2x+2x³

 

№71.        lim        5x²-3x+6

                  x→∞       3-10x²

 

№72.        lim        8x³+16x⁴-3

                  x→∞      2+x-8x⁴

 

№73.        lim        10x+8x²-4x

                  x→∞       2x²-5x+3

 

№74.        lim       6x²+3

                   x→∞     2x²-2

 

№75.        lim        8x³-4x²+1

                  x→∞       4x³-3

 

№76.        lim        3x²+4x-1

                   x→∞     3+6x²-3x

 

№77.        lim        x²+1

                 x→∞       x²

 

№78.        lim       2x  

                 x→∞     x-1

 

№79.         lim        x⁴+x⁵

                 x→∞      3x^2-2x⁵

 

№80.        lim        1-x²

                 x→∞     1+2x²

 

№81.        lim        x³-3

                 x→∞       x³

 

№82.        lim        2-x²

                 x→∞      3+3x²

№83.        lim        8-x+x²

                 x→∞      3+2x²

 

№84.         lim        3-x+x³

                 x→∞      16+4x³

 

№85.        lim        5+x

                  x→∞      x²-1

 

№86.        lim        x²-1

                 x→∞      x²+1

 

№87.        lim        3x²+2x³

                 x→∞      2x³-5

 

№88.        lim        x+x²

                 x→∞      3x+2x²

 

№89.        lim        x²+x-3

                 x→∞      2x²-1

 

№90.        lim        -3x²+4x³

                 x→∞       2x³+5

 

№91.        lim        3

                 x-2      x+2

 

№92.        lim        5

                 x→4    2x-8

 

№93.        lim        2

                 x→1      x-1

 

№94.        lim        8

                 x→3     2x-6

 

№95.        lim        5

                  x→∞     x-2

 

№96.        lim        4

                 x→∞    x²+x

 

№97.        lim        8

                 x→∞     x-1

 

№98.        lim        2

                 x→4    8-2x

№99.        lim         3

                 x→∞     2x+1

 

№100.      lim        5

                  x→∞     x+1

 

№101.      lim        3

                 x→∞    x-1

 

№102.   lim       2

                 x→∞   2x+3

 

№103.  lim       3

                 x→5   10-2x

 

№104.      lim       2

                 x→5   2x-10

 

№105.  lim       5

                 x→∞   6x+1

 

№106.      lim       2

                 x→3    6-2x

 

№107.      lim       8

                 x→1    x-1

 

№108.       lim       5

                 x→3   21-7x

 

№109.      lim       3

                 x→4   12-3x

 

№110.      lim       3

                 x→∞   2x-4

 

№111.      lim       5

                 x→∞    6x-8

 

№112.      lim       8

                 x→1     1-x

 

№113.      lim       4

                 x→∞   2x+1

 

№114.      lim       2

                 x→3    9-3x

№115.      lim       3

                  x→∞   3x+1

 

 

№116.      lim       5

                 x→∞    2x-4

 

№117.      lim       8

                 x→∞   3x+1

 

№118.   lim       3

x→∞    4x-1

 

№119.      lim       5

                 x→4    8-2x

 

№121.  lim        -3x²+4x³

            x→∞       2x³+5

 

№120.   lim       2

            x→6   12-2x

                

 

Производная функция. 122-151

Найти производную функцию.

 

 

№122.      a) y=5x⁴+3sin x –cos x+9

                 б) f (x)=(x³-2x+7) ⁴    f ′ (2)-?

 

№123.      а) y=x³_*⁴√x^-3_* ³√x^-2

                 б) f (x)=3sin²x         f ′ ( П/6)-?

 

№124.      а) 3x²-8/3x²+8

                 б) f (x)=arcos 2x      f ′ (1/4)-?

 

№125.      а) y=(5x³-3)_*(6x²+1)   y′(2)-?

                 б) f (x)=cos(3x²-1)

 

№126.      а) y=⁴√x³_*x²_*√x^-1_* ⁵√x^-2

                 б) f (x)=sin²3x         f ′ (П/18)-?

 

№127.      а) y=x³_*√x²/⁴√x³_*√x

                 б) y=sin²5x            y′(П/20)-?

 

№128.      а) y=(x³+4)_*(x²+x-1)   y′(2)-?

                 б) f (x)=cos(x³-2)

 

№129.      а) y=x⁴-3/x⁴+3

                 б) f(x)=cos3x_*(sin3x+1)  f ′ (П/24)-?

 

№130.      а) y=x⁴-3cos x+3sin x-ln x+29

                 б) f (x)=sin x_*tg x      f ′ (П/4)-?

 

№131.      а) y=3√x+2/3_*³√x²-3/³√x+25

                 б) y=ctg x-sin3x         y′(П/6)-?

 

№132.      а) y=4ln x+x³            y′(2)-?

                 б) y=5sin³x

 

№133.      а) y=x⁵+2ln x            y′(-2)-?

                 б) f (x)=3sin(2x²-1)

 

№134.      а) y=(2+sin x)/sin x     y′(П/4)-?

                 б) y=(x²+3)_*√(x²-3)

 

№135.      а) y=arcos x+arcsin x   y′(1/√2)-?

                 б) y=ln(4x³+x)⁵

 

№136.      а) y=2arcsin x+3arccos x  y′(1/2)-?

                 б) f (x)=ln (x²+3)/(x²-3)

 

№137.      а) y=(ln x+2)/(2-ln x)

                 б) y=5^2x-1

 

№138.      а) y=(e^x-1)/(e^x+1)

                 б) y=tg²4x

 

№139.      а) y=(2-sin x)/(2+sin x)  y′(П/3)-?

                 б) y=ln(3x²-2)⁶

 

№140.      а) y=cos x-sin x         y′(П/4)-?

                 б) y=ln((x³-3)/(x³+3))

 

№141.      а) y=cos x_*(2+sin x)

                 б) f (x)=3_*⁵√(3x²-1)³         f ′(0)-?

 

№142.      а) y=5x⁴-3sin x+6cos x-ln x+11

                 б) f (x)=(x³+1)_* ³√(x²-1)²    f ′(1)-?

 

№143.  а) y=(3+sin x)_*(3-sin x)    y′(П/4)-?

             б) y=ln(x³+5)⁴

 

№144.      а) f (x)=(e ^x+2)/(e^x-2)                                    

                 б) y=sin x_*cos x

 

№145.      а) f (x)=2sin x_*(1-cos x)   f ′(П/3)-?

                 б) y=ln(x²-4)/(x²+4)

                

№146.      а) f (x)=(x²-3x+1)/(x²+1)   f ′(-1)-?          

                 б) y=(sin x+2)_*cos x

 

№147.      а) y=10x⁴-e^2x+√2

                 б) y=(x³-1)/(x³+1)          y′(0,5)-?

 

№148.      а) y=x²_*e^x*x+3x             y′(0)-?

                   б) f (x)=ln ⁷√x³/(x-1)

 

 №149.     а) y=⁵√(4x²-3)

                 б) y=5^sin2x                 y′(0)-?

 

№150.      а) y=sin³ (8x²-1)

                 б) y=(3x²-1)/(2x+1)        y′(0)-?

 

№151.      а) y=(8x²-1)_*(4x-3)       y′(1)-?

                 б) y=ln (3-x²)/(3+x²)

 

Дифференциал функции. 152-181

Найти приближенное значение функции.

 

№152. y=3x²-x+2              при x=2, Dx=0,01

№153. y=2x²+3x-2                  при x=3, Dx=0,002

№154. y=3x²+2x+10          при x=5, Dx=0,001

№155. y=3x²+4x          при x=10, Dx=0,001

№156. y=4x²-5x                 при x=5, Dx=0,001

№157. y=2x³-x+10             при x=2, Dx=0,001

№158. y=5x²-3x+5             при x=5, Dx=0,02

№159. y=4x³-2x                 при x=5, Dx=0,001

№160. y=6x²+2x-1             при x=10, Dx=0,001

№161. y=6x³-2x                 при x=10, Dx=0,01

№162. y=4x²+2x                при x=2, Dx=0,001

№163. y=5x³-2x                 при x=2, Dx=0,002

№164. y=4x²-3x                 при x=3, Dx=0,001

№165. y=5x³-2x                 при x=2, Dx=0,002

№166. y=7x³-x                   при x=2, Dx=0,002

№167. y=3x²+5x+1            при x=3, Dx=0,001

№168. y=x³+2x                  при x=2, Dx=0,1

№169. y=x²-2x                   при x=1, Dx=0,01

№170. y=2x³+5                  при x=2, Dx=0,001

№171. y=x³                        при x=10, Dx=0,03

№172. y=2x²-3x                 при x=5, Dx=0,01

№173. y=3x²-2x+4             при x=4, Dx=0,02

№174. y=2x²+2x-1             при x=3, Dx=0,02

№175. y=3x²+2x-3             при x=2, Dx=0,01

№176. y=3x³-2x                 при x=2, Dx=0,01

№177. y=2x²-x+3               при x=1, Dx=0,1

№178. y=3x²+2x-2             при x=3, Dx=0,02

№179. y=5x³+2x                при x=2, Dx=0,001

№180. y=3x²+2x-1             при x=5, Dx=0,02

№181. y=2x²+3x-4             при x=3, Dx=0,01

 

Дифференциал функции. 182-211

Найти дифференциал функции.

 

№182.  y=7x⁴-cos(x³+2)+ln x                           №205.  y=e ^3x*x-1+sin 4x

№183.  y=√(5x³-x+1) +sin(1-10x)                     №206.  y=3x_*sin 5x

№184.  y=ln(x⁶-3)+tg x²                                               №207.  y=e ^cos2x-tg 3x

№185.  y=arccos 7x-3ln sin x                           №208.  y=√(3x²-1)+cos 6x

№186.  y=e ^{cos x}+√(3x²-1)                                              №209.  y=√3_*x³+sin 3x²

№187.  y=cos⁴3x                                                №210.  y=e ^{sin x}+cos(8x²-1)

№188.  y=x⁴_*ctg 2x                                                        №211.  y=3x⁴+cos 7x³

№189.  y=e ^{sin 3x}-ln sin x

№190.  y=0,5 arcsin 4x+cos7x

№191.  y=√(9x³-x)+4e ^√x

№192.  y=√2_*x⁴+cos 4x²

№193.  y= 5x²+sin 8x²

№194.  y=√(3x²-1)+cos 8x

№195.  y=arctg 2x+5^{sin x}

№196.  y=arcsin 3x+3x²-ln x

№197.  y=x³_*tg 3x

№198.  y=sin⁵6x

№199.  y=ln(x⁵+2)+sin 2x

№200.  y=3^x*x-1+ln cos x

№201.  y=3^√x+sin 6x

№202.  y=tg(3x-1)+ln 2x

№203.  y=3^{sin x}+sin 6x²

№204.  y=ctg 3x-2^{tg x}

 

Неопределенный интеграл. 212-241

Найти неопределенный интеграл.

 

№212.  a) ∫(1-6√x +9 ⁵√x⁴)dx;               б) ∫x_*dx/√(1-4x²);      в) ∫cos 2x_*dx/(5+sin 2x).

№213.  a) ∫e ^x_*dx/³√(1+e ^x);      б) ∫x_*sin(x²+1)dx;                  в) ∫x_*e ^xdx.

№214.  a) ∫e ^xdx/(e ^x-2);             б) ∫x³_*³√(1-3x⁴)dx;                 в) ∫cos(3-7x)dx.

№215.  a) ∫(x³-1/√x)dx;             б) ∫dx/sin²3x;             в) ∫x_*sin x dx.

№216.  a) ∫(5/cos²(5x+2))dx;                б) ∫(3x²-4x³+3)dx;                 в) ∫ln x dx.

№217.  a) ∫(x/√(1+3x²))dx;       б) ∫(sin x+3x²-2)dx;               в) ∫(sin x_*cos³x)dx.

№218.  a) ∫(2x+1)²dx;                б) ∫cos x_*e ^{sin x}dx;                   в) ∫cos²x_*sin x dx.

№219.  a) ∫sin⁵x_*cos x dx;         б) ∫x_*cos x dx;           в) ∫(x+√x-2^x)dx.

№220.  a) ∫√(3x-1)dx;                б) ∫x_*ln x dx;             в) ∫(7x⁶-1/x+e ^x)dx.

№221.  a) ∫(5x⁴-³√x²+1)dx;       б) ∫(sin 3x/(cos3x-2))dx; в) ∫6x(x²-1)⁴dx.

№222.  a) ∫(5x³-8/x-sin x)dx;   б) ∫sin 6x dx;               в) ∫sin³x_*cos x dx.

№223.  a) ∫(2sin x+3cos x)dx;               б) ∫x³_*sin 3x⁴ dx;                   в) ∫(e ^x/1+e ^x) dx.

№224.  a) ∫((x²+x+5)/2x)dx;     б) ∫x²_*³√(7+x³) dx;                 в) ∫sin 2x/(4-cos 2x)dx.

№225.  a) ∫(3x+1)²/x dx;            б) ∫sin4x/(1+cos 4x)³dx; в) ∫(2x³-2)⁵_*x² dx.

№226.  a) ∫((2+x)/x)² dx;           б) ∫ e ^x+2dx;                 в) ∫x_*ln x dx.

№227.  a) ∫x²_*cos x³ dx;             б) ∫(x³+2x)/x dx;                    в) ∫(3x³-2)⁵_*x²dx.

№228.  a) ∫(3√x-3/4 ³√x²)dx;     б) ∫x²_*cos(3-x³)dx;                 в) ∫(2x+1)/(x²+x+1)dx.

№229.  a) ∫(x³+2^x+3sin x)dx;                б) ∫x³_*sin3x⁴dx;                     в) ∫(ln x)/x²dx.

№230.  a) ∫(e ^x+3^x-2√x)dx;        б) ∫x/(5-x²) dx;                       в) ∫(ln x)/x⁴ dx.

№231.  a) ∫(4^x-3_*³√x²) dx;          б) ∫e ^{cos x}_*sin x dx;                  в) ∫(ln x)/x³dx.

№232.  a) ∫(3x²+⁴√x³-2)dx;        б) ∫x³/(1+x⁴)dx;                      в) ∫sin⁴x_*cos x dx.

№233.  a) ∫2/√(1-x²)dx;             б) ∫cos x/(7-3sin x)dx;           в) ∫x⁹_*³√(x¹⁰-5)dx.

№234.  a) ∫(4x⁴-2x³+x²)/x²dx;   б) ∫sin x/(2-5cos x)dx;           в) ∫(3x⁴-5)⁶_*x³dx.

№235.  a) ∫x³_*(1+7x)dx;            б) ∫(x²+1)/(x³+3x)dx;      в) ∫(sin √x)/√x dx.

№236.  a) ∫(arctg³x)/(1+x²)dx;              б) ∫x⁵/(1+x⁶)dx;                      в) ∫(e ^x+4^x+4sin x)dx.

№237.  a) ∫(arcsin²x)/√(1-x²)dx;           б) ∫(4x³+3x²+x)/x dx;            в) ∫(6x-1)/(3x²-x)dx.

№238.  a) ∫x³/(x⁴+2)dx;             б) ∫x⁴(5x⁵+5)³dx;                   в) ∫(³√x+2^x-sin x) dx.

№239.  a) ∫(cos²x+3)/cos²x dx;             б) ∫sin³x_*cos x dx;                 в) ∫(1+x⁵)⁷_*x⁴dx.

№240.  a) ∫(5^x-1/x⁵+3/cos²x)dx;            б) ∫sin x_*cos⁵x dx;                 в) ∫tg x dx.

№241.  a) ∫(2_*sin³x+3)/sin²x dx;           б) ∫x²/√(x³-1)³ dx;                  в) ∫ctg x dx.

 

Определенный интеграл. 242-271

Вычислить определенные интегралы.

 

                 0                                                   0   

№242. a) ∫(3x²+1)dx;                              б) ∫sin²x_*cos x dx.

                -1                                                -П/2

               

            1                                                   3Π/2         

№243. a) ∫(1/2x+4x²)dx;                         б) ∫ cos x/3 dx.

          -1                                                     0

 

            1                                                   1  

№244. a) ∫(2x+1)dx;                                б) ∫x²_*e ^x*x*xdx.

 0                                                  0                                                                              

 

 0                                                  1                          

№245. a) ∫(√x+1/√x)dx;                          б) ∫√(1-x) dx.

                   1                                                 0

 

                   1                                                 0  

№246. a) ∫(3x²-³√x)dx;                           б) ∫sin x _* e ^{cos x} dx.

               -1                                                  -П/2

 

                4                                                 П /4

№247. a) ∫(3x²-2x+4)dx;                         б) ∫sin 8x dx.                                                                                                                              1                                                 -П/8

 

 

                 2                                                   2  

№248. a) ∫2dx/5x;                                   б) ∫e ^x/(e ^x-1) dx.

     1                                                  0

 

                  8                                                  2   

№249. a) ∫(2+x)/x²dx;                            б) ∫ x⁴ dx/(1+x⁵).

     2                                                  0

 

                 2                                                П/4 

№250. a) ∫(2x²+1)/x dx;                        б) ∫sin x_*cos⁵ x dx.

  1                                              -П/2

 

                   1                                                0

№251. a) ∫(1-³√x²) dx;                           б) ∫sin(4x+ П/4) dx.

                  -1                                             -П/4

 

                  4                                                             2

№252. a) ∫x+1/√x dx;                             б) ∫(x⁵-x)/(1-3x²+x⁶)dx.

  1                                                            0

 

                   2                                              2П

№253. a) ∫dx/ ³√x²;                                 б) ∫sin x/(cos x+1) dx.

  1                                               3/2П

 

                   4                                               П/4

№254. a) ∫(0,5x³-3√x) dx;                     б) ∫ dx/sin²2x.

                   1                                               П/8

 

                  3                                              П/3

№255. a) ∫(x²-3x) dx;                             б) ∫cos(3x-П/3) dx.

                  0                                               0

 

                   2                                               2

№256. a) ∫2x(1+x²) dx;                          б) ∫е ^2x-1dx.

                1                                                 0,5

 

                   8                                               2

№257. a) ∫(x-³√x)/x dx;                        б) ∫x √(5x²+1) dx.

 1                                                1     

 

                   2                                            П/4

№258. a) ∫(x-1)²/x² dx;                         б) ∫е ^{sin x}´cos x dx.

  1                                               0

                 П/2                                                3

№259. a) ∫(3cos x+2sin x) dx;                  б) ∫е ^2x /(10-е ^2x) dx.

  0                                                  0 

              0,5                                                 П/3

№260. a) ∫2 dx/√(1-x²);                         б) ∫cos⁴x_*sin x dx.

  0                                               0                

 

                  П                                              √П

№261. a) ∫(x_*cos x+1)/x dx;                   б) ∫x_*sin x² dx.

                 П/2                                             0

 

                 П/3                                           П/2

№262. a) ∫(2/cos²x +sin x) dx;               б) ∫sin(П -4x) dx.

  0                                               0

 

П                                             0

№263. a) ∫(е ^x-cos x) dx;                        б) ∫3x³/⁴√(1+x⁴) dx.

  0                                              -1

                   1                                            0

№264. a) ∫3 dx/(1+x²);                         б) ∫x²_*е^x*x*x-1 dx.

                 √3/3                                         1

 

                 √3/2                                          1

№265. a) ∫ dx/2√(1-x²);                         б) ∫x³/(1+x⁴) dx.

                 √2/2                                          -3

                   4                                              2

№266. a) ∫[(x-3)²-4] dx;                         б) ∫5 dx/√(5x-1).

  1                                              1     

                   1                                            1

№267. a) ∫(2x+4x²-5) dx;                        б) ∫(2x³+1)⁴_*x² dx.

                  -1                                               0

                   2                                            П/2

№268. a) ∫(3x³-2x+8) dx;                        б) ∫sin x_*cos²x dx.

 0                                                 0

                   1                                            П/2

№269. a) ∫(2- √x³) dx;                           б) ∫cos x dx/(2-sin x).

                   0                                             0

                   9                                            П/6

№270. a) ∫(1-x)/√x dx;                           б) ∫е ^{sin x}_*cos x dx.

                   1                                              0

                   4                                                П/3

№271. a) ∫(2x+3x²-5) dx;                         б) ∫sin x dx/(3-cos x).

                   0                                                 0

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОРАБОТЫ №1

 

Системы линейных уравнений

Определителем третьего порядка называется число, которое может быть найдено следующими способами:

1.  .

2. .

Решение системы уравнений

 

 

 

 

 

методом Крамера осуществляется по формулам:

    где

.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Решение. , , , .

Ответ.

 

Вычисление пределов функций

 

Число  называется пределом последовательности x₁,х₂,…,x_n ,  если для всякого сколь угодно малого положительного числа  найдется такое положительное число N, что  при . В этом случае пишут: .

 

Число  называется пределом функции  при , если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что  при . Это записывают так:

Аналогично , если  при .

Условно записывают , если  при , где М - произвольное положительное число. В этом случае функция  называется бесконечно большой при . Если , то функция  называется бесконечно малой при .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Если существуют  и , то

              1.      

                    2.          ;

                    3.          ;

              4.      

                    5.           (при ).

Путем элементарных рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно получить следующие наиболее часто встречающиеся пределы (постоянная ):

1)

2)

3)        

 

4)

5)

6)

 (первый замечательный предел);

 (второй замечательный предел) ,

         Функция  называется непрерывной в точке если:

1)      эта функция определена в некоторой окрестности и точки ;

2)      существует предел ;

3)      этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

При нахождении пределов часто используется тот факт, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.

Пример 1. Вычислить .

Решение.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Здесь  и . Так как , то

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. Здесь  и . Так как , то

Неопределенность .

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если

При этом возможны частные случаи:

1.                 Числитель  и знаменатель  дроби - многочлены.

Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Здесь  и . Имеем неопределенность . Разложим числитель и знаменатель на множители.

Пример 5. Найти

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

2. Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 6. Вычислить

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Так как то теорему о пределе частного применять нельзя. Для раскрытия неопределенности  умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

          Пример 7. Найти

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности  умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда получим:

=

3. Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.

Пример 8. Найти

Решение. Подстановкой предельного значения  убедимся, что имеем неопределенность . Применяем тригонометрическую формулу , преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.

Неопределенность вида

1. Числитель и знаменатель дроби при - полиномы.

Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

Пример 9. Найти

Решение.

Пример 10. Найти

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень  (выбираем из двух вариантов и ), т.е на

Тогда  

Неопределенность вида

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида: , где ,  или , где , .

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

Пример 11. Найти .

Решение.

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные исчисления функций одной переменной

 

Функция  описывает зависимость между двумя переменными ве­личинами  и . Если независимая переменная  в точке получила прираще­ние (т.е. ), то переменная  получит приращение .

Предел отношения , если  стремится к нулю, называется производной функции  в точке  и обозначается  или .                                   

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

 

Производная сложной функции

 

Пусть , где  является не независимой переменной, а функцией независимой переменной , т.е. . Таким образом, . В этом случае функция  называется сложной функцией , а переменная  - промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если  и  – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции  существует и равна произведению производной функции  по промежуточному аргументу  на производную промежуточного аргумента  по независимой переменной .

Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Формулы дифференцирования

С – постоянная,  и  функции аргумента

1.		4.			7.
2.		5.
3.		6.
Основные элементарные функции			Сложные функции
8.			8а
9.			9а
10.			10а
11.			11а
12.			12а
13.			13а
14.			14а
15.			15а
16.			16а
17.			17а
18.			18а
19.			19а
20.			20а

 

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем

.

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:

Пример 4. Найти производную функции  и вычислить ее значение при

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 8а и 13, имеем: .

Вычислим значение производной при .

.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим

.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим

Пример 7. Найти производную функции .

Решение: полагая , получим .

Пример 8. Найти производную функции.

Решение.

 

Производные высших порядков

 

Производная функции  в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислять производную, то получим производную вто­рого порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции  называется производная от ее пер­вой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов: , , .  

Аналогично  определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: , , .  

Пример 10. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем первую производную:  

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

 

 

Пример 11. Найти вторую производную функции

Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции:

 

 

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

 

 

 

Неопределенный интеграл.

 

Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

.

Определение: совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом  и обозначается символом . Таким образом, .

Здесь f(x)- подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1.      Если функция имеет первообразную, то , .

2.      Если - дифференцируемая функция, то , .

3.      Если функция имеет первообразную, то при   верно равенство .

4.      Если функция и  имеют первообразные, то .

Таблица неопределенных интегралов.

1. ;	8. ;
2.	9. ;
3. ;	10.
4. ;	11.
5.  ;	12.
6. ;	13.
7. ;

Пример 1. Для функции , найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (2;2).

Решение:  так как при всех верно равенство  то - одна из первообразных функции . Следовательно,  С – некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F(2)=2, то есть откуда .

Значит, .

Пример 2. Найти интеграл .

Решение: .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение:

Пример 4. Найти интеграл .

Решение: так как , то  .

Пример 5. Найти интеграл.

Решение: так как , то .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение: так как ,  то .

Пример 7. Найти интеграл .

Решение:

 

Определенный интеграл.

 

Пусть функция  определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через   длину каждого такого отрезка.

Определение. Интегральной суммой для функции   на отрезке  называется  сумма вида  .

Определение. Определенным интегралом от функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: .

Для любой функции , непрерывной на отрезке  , всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла от функции  в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: , то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл  преобразуется с помощью подстановки  в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования  и , которые находятся из исходной подстановки: , . Таким образом, имеем .

Пример 1. Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: .

Пример 3. Вычислить определенный интеграл:  .

.

Пример 4. Вычислить определенный интеграл: .

 Решение: .

Пример 5. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: положим , тогда , . Вычисляем новые пределы интегрирования: , .

 Поэтому

.

Пример 6. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: преобразуем подкоренное выражение: . Положим , откуда . Найдем новые пределы интегрирования: , . Следовательно,

.