Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Методические рекомендации для выполнения практических работ по тема "Производная функция"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Методические рекомендации для выполнения практических работ по тема "Производная функция"

библиотека
материалов

Методические рекомендации

для выполнения практических работ

по теме Производная функции и её приложения.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом видах, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

1. Приращение аргумента и приращение функции

Пусть дана функция hello_html_m308e1c7f.gif. Зафиксируем некоторое значение hello_html_630118dd.gif. Дадим переменной hello_html_630118dd.gif произвольное приращение hello_html_m13adcb71.gif. В точке hello_html_m48b2579d.gif функция будет иметь значение hello_html_39d3a4ab.gif. Разность между новым значением функции hello_html_39d3a4ab.gifи ее старым значением hello_html_m308e1c7f.gif называется приращением функции и обозначается hello_html_m113c2d19.gif. Таким образом, приращением функции называется величина

hello_html_137109e7.gif.

Пример

Пусть hello_html_m66b85bee.gif, тогда hello_html_m746e27ad.gif. Найдем hello_html_7fdcb782.gif:

hello_html_m7165f346.gif= hello_html_m59162941.gif.


2. Понятие производной.

Пусть hello_html_2667bb02.gif — произвольная функция пере­менной х. Зафиксируем некоторое значение аргумента х и вычислим соответствующее значение функции hello_html_m308e1c7f.gif. Придадим аргументу приращение hello_html_m3364249.gif, получим новое значе­ние hello_html_753359b0.gifи вычислим соответствующее приращение функции hello_html_45655e03.gif. Составим отношение


hello_html_2416384e.gifи рассмотрим предел hello_html_m3e93c932.gif.

Этот предел называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается у', у'x , f'(x) или hello_html_6f0d4d4c.gif. Таким образом, производной называется предел отношения прираще­ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргу­мента стремится к нулю.

hello_html_6aa255c1.gif

Операция нахождения производной функции на­зывается дифференцированием этой функции.

3. Геометрический смысл производной

Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке x0. Тогда к графику функции в точке М0(x0, y0) можно провести касательную, уравнение которой имеет вид

hello_html_48cfb19d.gif,

В этом уравнении hello_html_m41a447b3.gif= tg – где – угол наклона касательной к оси Ох.

hello_html_4bdc239.png

Рис.2.1

Таким образом, геометрически производная есть угловой коэффициент касатель­ной к кривой в рассматриваемой точке.

4. Физический смысл производной

Пусть точка движется по прямой так, что hello_html_m1d09c206.gif – путь, пройденный точкой к моменту времени t. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени t от момента t до момента t+t, равен S = f(t+t)–f(t). В этом случае

hello_html_1990fb9a.gif

есть средняя скорость точки за промежуток времени от t до t+t.

Скоростью hello_html_2f5b53fe.gif точки в данный момент называется предел ее средней скорости за промежуток времени t, т.е.

hello_html_m43095.gif

Из (1.2) и определения производной (1.1) следует, что hello_html_m2ec1e686.gif, т.е. производная от пути по времени при прямолинейном движении есть скорость.



5. Правила вычисление производных

Справедливы следующие формулы, выражаю­щие правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, а также вычисления производной от постоянной величины hello_html_macf428d.gif.

1) Производная постоянной величины hello_html_macf428d.gif равна нулю:


hello_html_71cbfbfb.gif

2) Производная суммы равна сумме производных:

hello_html_56f3f47f.gif.


Пример 1

hello_html_455d8a80.gif.

3) Производная произведения:

hello_html_m6d30c93d.gif.


Пример 2

hello_html_m10b7ee10.gif.

4) Постоянную можно выносить за знак производной:

hello_html_1a0bf9c9.gif.

Это правило является следствием правила 1) и правила 3).


Пример 3

hello_html_3e0887d.gif.


5). Производная частного:


hello_html_m47bf6dbd.gif.

Здесь предполагается, что рассматриваемые значения знаменателя не равны нулю.



Пример 4

hello_html_471be005.gif=

=hello_html_m459f1d2c.gif.



6. Производная сложной функции.

Таблица производных

Пусть hello_html_77b7078a.gif где hello_html_4cee4f4.gif, тогда hello_html_13645b00.gif называется сложной функцией от переменной x. Рассмотрим примеры сложных функций.

Пример 5

hello_html_m4ec7694b.gif, hello_html_182fb986.gif, тогда hello_html_4412f78.gif – сложная функция переменной x.



Пример 6

hello_html_m6e86bb32.gif, hello_html_70cf657.gif, тогда hello_html_m5a8c3a1.gif – сложная функция переменной x.

Пример 7

hello_html_1fa60af8.gif, hello_html_5d455e3f.gif, тогда hello_html_m26e613ed.gif – сложная функция переменной x.

Пример 8

hello_html_m686d93c3.gif, hello_html_3c75fbfd.gif, hello_html_76a7f4d8.gif, тогда hello_html_m7a8f435a.gif– сложная функция переменной t.

Пусть hello_html_m4b125684.gifимеет производную по переменной hello_html_48b6e5ea.gif, а hello_html_7f2b660d.gif – по переменной hello_html_630118dd.gif. Рассмотрим вопрос о нахождении производной сложной функции y(u(x)) по x. Используя определение производной, последовательно получаем

hello_html_687a0be6.gifhello_html_m1b64789e.gifhello_html_22b56e5b.gif.

Таким образом, если сложную функцию записать в виде цепочки hello_html_77b7078a.gif, hello_html_4cee4f4.gif, то производная от y по x вычисляется по формуле


hello_html_22b56e5b.gifили hello_html_m48f2856a.gif

(2.1)

Пример 9

Найти производную функции hello_html_4412f78.gif. Положим hello_html_182fb986.gif, тогда hello_html_m4ec7694b.gifи по формуле (2.1) получаем

hello_html_m10cbacfd.gif.

Пример 10


Найти производную функции hello_html_m5a8c3a1.gif.

Решение

hello_html_m39c7d0c2.gif.

В таблице производных 2.1 все формулы приведены при условии, что hello_html_4cee4f4.gif, hello_html_m4419b27d.gif(в формуле 14 табл. 2.1).

Таблица 2.1

1

hello_html_mce1838d.gif

8

hello_html_725f6fa4.gif

2

hello_html_m67bf587c.gif

9

hello_html_1640a856.gif

3

hello_html_3f2397bd.gif

10

hello_html_300b9cd1.gif

4

hello_html_m768eb35f.gif

11

hello_html_m707a4bc6.gif

5

hello_html_m566cd258.gif

12

hello_html_39849f20.gif

6

hello_html_m374e67c6.gif

13

hello_html_m3503cdb1.gif

7

hello_html_m2e4510d4.gif

14

hello_html_m61d6150b.gif






7. Производные высших порядков

Пусть функция hello_html_2667bb02.gif задана на промежутке Х и имеет на нем производнуюhello_html_51141b13.gif. Производная от производной, если она существует, называется производной второго порядка (второй производной) функции hello_html_m308e1c7f.gif и обозначается hello_html_m58bb916.gif, или hello_html_541d3348.gif, hello_html_m2fae5472.gif, hello_html_19a4c9ea.gif.

Итак, по определению hello_html_m610b3b2a.gif.

Аналогично определяется производная 3-го порядка: hello_html_510bf01b.gif Производная от производной (n1)-го порядка называется про­изводной п-го порядка или п-й производной и обозначается hello_html_m5115121f.gif, hello_html_m4374a5f5.gif или hello_html_m13495ac3.gif.

Таким образом, по определению

hello_html_6f0722a6.gifили hello_html_62fffcbb.gif.



Выполнить задания: Найдите производные следующих функций


Задания

Задания

1)

hello_html_33130e36.gif

8)

hello_html_2c5de316.gif

2)

(4x+1)2

9)

hello_html_mddc20ef.gif

3)

hello_html_m77c3ae86.gif

10)

hello_html_2a592243.gif

4)

hello_html_m25625f59.gif

11)

hello_html_m38a12148.gif

5)

hello_html_m775f70d1.gif

12)

(x2–4x+8)ex/2

6)

1–2x3

13)

(x–1)hello_html_m3ef82954.gif

7)

hello_html_4373dd16.gif

14)

x2(2x–1)






Ответы


Ответы

Ответы

1)

hello_html_m585e5690.gif

8)

hello_html_134cb0a7.gif

2)

8(4x+1)

9)

hello_html_m1ecf26c8.gif

3)

hello_html_m6a345c49.gif

10)

hello_html_62fb54a3.gif

4)

hello_html_m6b94f7da.gif

11)

hello_html_m37379033.gif

5)

hello_html_1d916cd3.gif

12)

hello_html_m1740ac45.gif

6)

6x2

13)

hello_html_4e262b56.gif

7)

hello_html_5d698178.gif

14)

6x2–2x



8. Правило Лопиталя

Теорема 2.1. (Теорема Лопиталя). Пусть функции hello_html_m308e1c7f.gif и hello_html_m527ec4e7.gif дифферен­цируемы в некоторой окрестности точки hello_html_ad2e3a8.gif , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x) 0 для всех хU(х0), hello_html_mc0b3f34.gif. Тогда если hello_html_d890ce7.giff(x) = hello_html_d890ce7.gifg(x) = 0 (или hello_html_d890ce7.giff(x) = hello_html_d890ce7.gifg(x) = ) и существует hello_html_365a5e9f.gif, то существует и hello_html_1e1f4e7e.gif, причем hello_html_m47c73db2.gif=hello_html_365a5e9f.gif.

Если отношениеhello_html_m701a7a9d.gif в свою очередь представляет собой неопределенность вида hello_html_377bcb68.gif или hello_html_m60f8da1a.gif, то правило Лопиталя можно приме­нять второй раз и т. д.


Пример 10

hello_html_19c5381e.gif=

= hello_html_5737a1f5.gif.


Пример 11

hello_html_m43869fa7.gif.





Пример 12


Найти hello_html_m64f321ba.gifxlnx.


Решение

hello_html_m5bf52712.gif




Выполнить задания

Найти пределы, используя правило Лопиталя.

Задания

Ответы

1)


hello_html_m50de886e.gif

-8/3

2)


hello_html_m6a433aef.gif

-5

3)

hello_html_m251b0327.gif

2

4)

hello_html_m684fce4f.gif

1/3

5)

hello_html_1d23c4f5.gif

log(4)/3

6)

hello_html_2d5ccc07.gif

3


7




Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 27 сентября. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru

Краткое описание документа:

Методические рекомендации

для выполнения практических работ

по теме Производная функции  и её  приложения.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом видах, находить производные сложных функций, знать геометрический смысл производной, применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

1. Приращение аргумента и приращение функции

     Пусть дана функция . Зафиксируем некоторое значение . Дадим переменной  произвольное приращение . В точке  функция будет иметь значение . Разность между новым значением функции и ее старым значением  называется приращением функции и обозначается . Таким образом, приращением функции называется величина

.

Пример

     Пусть , тогда . Найдем :

 = .

 

2. Понятие производной.

     Пусть  — произвольная функция пере­менной х. Зафиксируем   некоторое значение аргумента х  и   вычислим соответствующее  значение  функции . Придадим аргументу приращение , получим новое значе­ние и вычислим соответствующее приращение функции .  Составим отношение

 

     и рассмотрим предел        .

Этот предел называется производной функции у = f(x)  в точке х и обозначается  у',  у'x , f'(x) или . Таким образом, производной называется предел отношения прираще­ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргу­мента стремится к нулю.

 

Общая информация

Номер материала: 549300

Похожие материалы

2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации. Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии.

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

Конкурс "Законы экологии"