Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации по организации самостоятельной работы для студентов I курса по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации по организации самостоятельной работы для студентов I курса по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

библиотека
материалов


Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ростовской области

«Донецкий сельскохозяйственный техникум»












Методические рекомендации по организации самостоятельной работы для студентов I курса

по дисциплине «МАТЕМАТИКА»









Составил:

преподаватель математики

Бондаренко Г.И.














г. Миллерово

Предисловие

Самостоятельная работа студентов является одним из видов учебных занятий.  Самостоятельная работа определяется как индивидуальная или коллективная учебная деятельность, осуществляемая без непосредственного руководства педагога, но по его заданиям и под его контролем.

Самостоятельная работа студентов  является одной из основных форм  внеаудиторной работы при реализации учебных планов и программ.   По дисциплине «Математика»  практикуются  следующие виды и формы самостоятельной работы студентов:

- отработка изучаемого материала по печатным и электронным источникам, конспектам лекций;

- изучение лекционного материала по конспекту с использованием рекомендованной литературы;

- написание конспекта-первоисточника;

- завершение практических работ и оформление отчётов;

- подготовка информационных сообщений, докладов с компьютерной презентацией, рефератов;

- решение задач.

Самостоятельная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

-углубления и расширения теоретических знаний;

- формирования умений использовать справочную и дополнительную литературу;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

- развития исследовательских умений.

Студент в процессе обучения должен не только освоить учебную программу, но и приобрести навыки самостоятельной работы. Студенту предоставляется возможность работать во время учебы более самостоятельно, чем учащимся в средней школе. Студент должен уметь планировать и выполнять свою работу.

Исходя из объемов максимальной и обязательной учебной нагрузки, на самостоятельную работу по дисциплине « Математика» отводится 145 часов. Самостоятельная внеаудиторная работа выполняется студентами по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. Руководством для выполнения заданий служат учебные пособия, интернет-ресурсы.

Для организации самостоятельной работы необходимы следующие условия:
-готовность студентов к самостоятельному труду;
- наличие и доступность необходимого учебно-методического и справочного материала; 
- консультационная помощь.

Формы самостоятельной работы студентов определяются  при разработке рабочих программ учебных дисциплин содержанием учебной дисциплины, учитывая степень подготовленности студентов. 

Виды самостоятельных работ

В учебном процессе выделяют два вида  самостоятельной работы:

- аудиторная;

- внеаудиторная.

Аудиторная самостоятельная работа по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по   заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.

Содержание внеаудиторной самостоятельной определяется в соответствии с рекомендуемыми видами заданий согласно примерной и рабочей программ учебной дисциплины.

Согласно Положения об организации внеаудиторной самостоятельной работы студентов на основании компетентностного подхода к реализации профессиональных образовательных программ, видами заданий для внеаудиторной самостоятельной работы являются:

-   для овладения знаниями: чтение текста (учебника, первоисточника,  дополнительной литературы), составление плана текста,  графическое изображение структуры текста, конспектирование текста, выписки из текста, работа со словарями и справочниками, ознакомление с нормативными документами, учебно-исследовательская работа, использование аудио-  и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета и др.

-       для закрепления и систематизации знаний: работа с конспектом лекции,  обработка текста, повторная работа над учебным материалом (учебника, первоисточника, дополнительной  литературы, аудио и видеозаписей, составление плана, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответ на контрольные вопросы, заполнение рабочей тетради, аналитическая обработка текста (аннотирование, рецензирование, реферирование, конспект-анализ и  др), завершение аудиторных практических работ и оформление отчётов по ним, подготовка мультимедиа сообщений/докладов к выступлению  на семинаре (конференции), материалов-презентаций, подготовка реферата, составление библиографии, тематических кроссвордов, тестирование и др.

-       для формирования умений:   решение задач и упражнений по образцурешение вариативных задач, выполнение чертежей, схем, выполнение расчетов (графических работ), решение ситуационных (профессиональных) задач, подготовка к деловым играм, проектирование и моделирование  разных  видов и  компонентов  профессиональной  деятельности, опытно экспериментальная работа,  рефлексивный анализ профессиональных умений с использованием аудио- и видеотехники и др.

Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами студентов в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня умений студентов.

Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы студентов может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия по дисциплине и внеаудиторную самостоятельную работу студентов по дисциплине, может проходить в письменной, устной или смешанной форме.

ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

специальность

190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»,

1 курс

модуля

Наименование

модуля

Кол-во часов

Виды занятий

внеаудиторной работы студента

Литература

1

2

3

4

5

1.

Развитие понятия о числе.

8

Работа над учебным материалом.

Работа с вычислительными средствами.

Решение задач и упражнений.

Ответы на контрольные вопросы.

Подготовка докладов на тему «Из истории комплексных чисел».


Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.3-10.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 5–19.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 8-38.

2.

Корни, степени и логарифмы.

11

Работа над учебным материалом.

Подготовка рефератов по теме: «Логарифмы».

Работа с таблицами.

Решение задач.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр. 17-35, 88-98.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 10-34.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 24–38.

3.

Основы тригонометрии.

17

Работа над учебным материалом.

Работа с таблицей Брадиса.

Составление таблиц.

Изготовление «тригонометра».

Ответы на контрольные вопросы.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.126-192.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 171-218.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 91–119.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 129-192.


4.

Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

13

Работа с конспектом лекций и над материалом дополнительной литературы.

Решение упражнений по образцу.

Повторная работа над материалом учебника. Построение и преобразование графиков.

Решение вариантных задач и упражнений.

Ответы на контрольные вопросы.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.39-114, 197-224.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 219-270.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.45-80.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 38-44, 107-112, 120-140.


5.

Элементы комбинаторики.

7

Работа над материалом.

Решение комбинаторных задач.

Подготовка презентаций.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 97-133.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 64–76.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 371-373.


6.

Координаты и векторы.

11

Повторная работа над материалом учебника и дополнительной литературы.

Работа со словарями.

Домашняя самостоятельная работа: «Использование координат и векторов при решении прикладных задач».

Ответы на контрольные вопросы.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 77-111.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 133-170.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 77–90.


7.

Начала математического анализа.

18

Работа над учебным материалом.

Работа с вычислительными средствами, справочниками, математическими таблицами. Составление таблиц.

Решение задач и упражнений по образцу. Ответы на контрольные вопросы.

Подготовка презентаций по использованию производной и интеграла.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.225-312.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.81-184.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 157–216.


8.

Прямые и плоскости в пространстве.

12

Повторная работа над учебным материалом, дополнительной литературой.

Подготовка презентации.

Решение задач и упражнений по образцу.

Ответы на контрольные вопросы.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр.3-56.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 35-96.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 50–63.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 320-334.


9.

Уравнения и неравенства.

15

Работа над учебным материалом.

Решение задач и упражнений по образцу.

Ответы на контрольные вопросы.

Работы со справочниками по нахождению способов решений уравнений.


Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.52-69, 75-87,103-114,165-196.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.239-285.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 228–246.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 39-98, 119-126, 186-192

10.

Многогранники.

14

Работа над учебным материалом.

Изготовление моделей геометрических тел. Решение задач и упражнений по образцу. Выполнение практической работы по теме: «Сечения многогранников».

Подготовка к тестовому контролю.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 57-76.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.15-22.

  1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 141–148, 152-156.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр.334-344.


11.

Тела и поверхности вращения.

5

Работа над учебным материалом.

Работа со словарями и таблицами. Изготовление моделей геометрических тел. Решение задач и упражнений по образцу. Подготовка презентаций.

Ответы на контрольные вопросы.


Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 119-139.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 22-26.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 149-151.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 344-356.


12.

Измерения в геометрии.

7

Работа над учебным материалом.

Работа со словарями и таблицами. Практическая работа на решение прикладных задач.

Решение задач и упражнений по образцу. Ответы на контрольные вопросы.

Подготовка презентаций.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 140-168.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 185-208.

2012, стр. 228–246.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 39-98, 119-126, 356-370.


13.

Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.

7

Работа над учебным материалом.

Решение задач и упражнений по образцу.

Подготовка докладов на тему «Из истории развития теории вероятностей», «Задачи математической статистики».

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 209-238.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 217-227.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 374-391.


ИТОГО

145





ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

специальность

110810 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства»,

1 курс

модуля

Наименование

модуля

Кол-во часов

Виды занятий

внеаудиторной работы студента

Литература

1

2

3

4

5

1.

Развитие понятия о числе.

8

Работа над учебным материалом.

Работа с вычислительными средствами.

Решение задач и упражнений.

Ответы на контрольные вопросы.

Подготовка докладов на тему «Из истории комплексных чисел».


Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.3-10.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 5–19.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 8-38.

2.

Корни, степени и логарифмы.

11

Работа над учебным материалом.

Подготовка рефератов по теме: «Логарифмы».

Работа с таблицами.

Решение задач.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр. 17-35, 88-98.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 10-34.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 24–38.

3.

Основы тригонометрии.

17

Работа над учебным материалом.

Работа с таблицей Брадиса.

Составление таблиц.

Изготовление «тригонометра».

Ответы на контрольные вопросы.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.126-192.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 171-218.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 91–119.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 129-192.


4.

Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

13

Работа с конспектом лекций и над материалом дополнительной литературы.

Решение упражнений по образцу.

Повторная работа над материалом учебника. Построение и преобразование графиков.

Решение вариантных задач и упражнений.

Ответы на контрольные вопросы.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.39-114, 197-224.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 219-270.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.45-80.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 38-44, 107-112, 120-140.


5.

Координаты и векторы.

11

Повторная работа над материалом учебника и дополнительной литературы.

Работа со словарями.

Домашняя самостоятельная работа: «Использование координат и векторов при решении прикладных задач».

Ответы на контрольные вопросы.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 77-111.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 133-170.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 77–90.


6.

Начала математического анализа.

18

Работа над учебным материалом.

Работа с вычислительными средствами, справочниками, математическими таблицами. Составление таблиц.

Решение задач и упражнений по образцу. Ответы на контрольные вопросы.

Подготовка презентаций по использованию производной и интеграла.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.225-312.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.81-184.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 157–216.


7.

Прямые и плоскости в пространстве.

12

Повторная работа над учебным материалом, дополнительной литературой.

Подготовка презентации.

Решение задач и упражнений по образцу.

Ответы на контрольные вопросы.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр.3-56.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 35-96.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 50–63.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 320-334.


8.

Уравнения и неравенства.

15

Работа над учебным материалом.

Решение задач и упражнений по образцу.

Ответы на контрольные вопросы.

Работы со справочниками по нахождению способов решений уравнений.


Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.52-69, 75-87,103-114,165-196.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.239-285.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 228–246.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 39-98, 119-126, 186-192.


9.

Многогранники.

14

Работа над учебным материалом.

Изготовление моделей геометрических тел. Решение задач и упражнений по образцу. Выполнение практической работы по теме: «Сечения многогранников».

Подготовка к тестовому контролю.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 57-76.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.15-22.

  1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 141–148, 152-156.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр.334-344.


10.

Тела и поверхности вращения.

5

Работа над учебным материалом.

Работа со словарями и таблицами. Изготовление моделей геометрических тел. Решение задач и упражнений по образцу. Подготовка презентаций.

Ответы на контрольные вопросы.


Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 119-139.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 22-26.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 149-151.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 344-356.


11.

Измерения в геометрии.

7

Работа над учебным материалом.

Работа со словарями и таблицами. Практическая работа на решение прикладных задач.

Решение задач и упражнений по образцу. Ответы на контрольные вопросы.

Подготовка презентаций.

Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 140-168.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 185-208.

2012, стр. 228–246.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 39-98, 119-126, 356-370.


12.

Элементы комбинаторики.

7

Работа над материалом.

Решение комбинаторных задач.

Подготовка презентаций.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 97-133.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 64–76.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 371-373.


13.

Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.

7

Работа над учебным материалом.

Решение задач и упражнений по образцу.

Подготовка докладов на тему «Из истории развития теории вероятностей», «Задачи математической статистики».

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 209-238.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 217-227.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 374-391.


ИТОГО

145




РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о роли и месте математики в современном мире, общности её понятий

и представлений.

Знать:

- определение действительных и комплексных чисел;

- определение абсолютной и относительной погрешности;

- формулы разложения квадратного трехчлена на множители;

- геометрическую интерпретацию комплексного числа;

- правила действий над комплексными числами в алгебраической и

тригонометрической формах;

- формулы сокращенного умножения;

- бином Ньютона;

- способы решения систем линейных уравнений.

Уметь:

- выполнять арифметические действия над числами, сочетания устные

и письменные приемы;

- находить приближенные значения величин и погрешности

вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые

выражения;

- применять понятия, связанные с делимостью целых чисел при

решении математических задач;

- находить корни многочленов с одной переменной. раскладывать

многочлены на множители;

- выполнять действия с комплексными числами. Пользоваться

геометрической интерпретацией комплексных чисел;

- находить комплексные числа уравнений с действительными

коэффициентами;

- использовать при необходимости вычислительные устройства;

- пользоваться оценкой и прикладной при практических расчетах


Виды самостоятельной работы студентов.


  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, конспектирование текста.

- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.3-10.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 5–19.

- Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 8-38.

- Приложение 1 (Теория сравнений, теория многочленов, комплексные числа)

  1. Ответы на контрольные вопросы.

  1. Какие числа образуют множество действительных чисел?

  2. Какие числа называются рациональными?

  3. Какие числа называются иррациональными?

  4. Сформулируйте правило округления чисел.

  5. Что называется модулем действительного числа?

  6. Что называется абсолютной погрешностью числа?

  7. Что называется относительной погрешностью числа?

  8. Когда говорят, что число a делится на число b?

  9. Что называется частным отделения числа a на b?

  10. Что можно сказать о числах a и b, если они делят друг на друга?

  11. Какие числа называются равноостаточными при делении на целое число m?

  12. Каково необходимое и достаточное условие сравнимости чисел по данному модулю?

  13. По какому модулю сравнимы все целые числа?

  14. Как определить, сравнимы ли числа по данному модулю?

  15. Приведите примеры целых чисел, сравнимых по модулю 8?

  16. Какие числа называются комплексными?

  17. Что называется модулем комплексного числа?

  18. Какие комплексные числа называются сопряженными?

  19. Тригонометрическая форма комплексного числа.

  20. Показательная форма комплексного числа?

  21. Сформулируйте правила действий над комплексными числами?

  22. Что называется многочленом от одной переменной?

  23. Что называется корнем многочлена?

  24. Какие многочлены называются равными?

  25. Как найти остаток от деления многочлена на многочлен?

  26. Как найти корни многочлена?

  1. Решение задач и упражнений.

    1. Выполнить действия:

    2. hello_html_6cf2376e.gif

    3. Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

    4. hello_html_44bc2d3a.gif

    5. Округлите число 27,0915 до сотых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

    6. По известной относительной погрешности приближенного числа найти его абсолютную погрешность и границы, в которых заключено само число: х = 100; ω = 0,5%

    7. При измерении длины одного отрезка с точностью до 0,004 м, было найдено значение 4,36 м , а при измерении длины другого отрезка с точностью до 0,05 см получено 10,5 см. Какое измерение по своему качеству лучше?

    8. Все ли числа из данной последовательности являются сравнимыми по модулю 6:

-27; -9; 0; 9; 69; 669; 430. Почему?

9. Как записать условие hello_html_m183b2800.gif в виде равенства с параметром?

10. Выполнить действия

  1. hello_html_3876d4fd.gif5. hello_html_76a24ee0.gif

  2. hello_html_5f176193.gif6. hello_html_4821ddd2.gif

  3. hello_html_m6e7160d0.gif7. hello_html_6004455d.gif

  4. hello_html_68a3b09e.gif8. hello_html_m3468d2bc.gif

11. Представить в алгебраической форме комплексное число.

hello_html_481682bd.gif

hello_html_2b26a8c5.gif

12. Представить в тригонометрической форме комплексное число.

-hello_html_m980c3de.gif+ i

-1 – i

13. Найти частное двух чисел Z1= cos hello_html_11ace6ca.gif + i·sin hello_html_11ace6ca.gif, Z2 = cos hello_html_262a1c70.gif + i·sinhello_html_262a1c70.gif.

14. Найти произведение чисел Z1= 2·(coshello_html_m667a0225.gif+ i·sinhello_html_m667a0225.gif), Z2 = coshello_html_m12edfb30.gif+ i·sinhello_html_m12edfb30.gif.

15.

hello_html_m57987226.png

hello_html_m52db00f2.png

hello_html_4f79b6f.png

  1. Работа с вычислительными средствами.

  1. Подготовить доклад на тему «Из истории комплексных чисел».


КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о показателе степени;

- о равносильности уравнений и неравенств;

- о десятичных и натуральных логарифмах;

- об основных методах решения показательных уравнений и неравенств;

- о способах решения логарифмических уравнений и неравенств.

Знать:

- определение степени с действительным показатели и её свойства;

- определение логарифма числа, свойства логарифмов, основного логарифмического тождества;

- формулу перехода к другому основанию логарифма;

- способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений, показательных и логарифмических неравенств.

Уметь:

- выполнять действия со степенями;

- находить значение корня натуральной степени;

- находить степень с рациональным показателем;

- логарифмы;

- преобразовывать показательные и логарифмические выражения с помощью основных тождеств;

- вычислять значения показательных и логарифмических выражений;

- решать несложные уравнения, приводимые к видам:

hello_html_167af03a.gifhello_html_42bb6a23.gifhello_html_m2b366220.gifhello_html_66b988f3.gifhello_html_m53d4ecad.gif

- решать несложные неравенства, приводимые к видам:

hello_html_553974c5.gif>hello_html_1b9aeafa.gifhello_html_553974c5.gif<hello_html_m2082031d.gifhello_html_1a4d1c2f.gif<hello_html_mbe97ed7.gif


Виды самостоятельной работы студентов.

  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр. 17-35, 88-98.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 10-34.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 24–38.


  1. Подготовка реферата по теме: «Логарифмы в жизни», «История логарифмов».

  2. Работа с таблицами – привести примеры использования логарифмических таблиц при решении задач.

  3. Решение задач.

1. Вычислить

а) hello_html_m171e6d80.gif б) hello_html_11866b1c.gif

2. Упростить выражение.

а) hello_html_mb4ce249.gif б) hello_html_m50050a53.gif

в) hello_html_2b4a0ac6.gifг) hello_html_m2e866a78.gif

3. Выполнить указанные действия.

а) hello_html_f457447.gif б)hello_html_6570cfeb.gif

в) hello_html_39333e23.gif г) hello_html_m370eaa1f.gif

4. Найти hello_html_2b8a2485.gif, если известно, что

а) hello_html_2ea08c03.gif

б) hello_html_1389397c.gif

5. Вычислить: а)hello_html_m1d6775e8.gif; б)hello_html_m487792d0.gif.

6. Упростить выражение.

а) hello_html_m47c85349.gif б) hello_html_m52a0df5c.gif


ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о радианном измерении углов;

- об обратных тригонометрических функциях;

- о решении тригонометрических неравенств;

знать:

- определение радиана и градуса;

- определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;

- основные формулы тригонометрии, перечисленные в содержании материала;

- значения тригонометрических функций (табличных) аргументов;

- формулы соотношений между тригонометрическими функциями одного аргумента;

- формулы суммы и разности двух аргументов;

- формулы теорем сложения;

- формулы приведения, двойного и половинного аргумента;

- формулы преобразования суммы и разности одноимённых тригонометрических функций в произведение и обратно;

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь:

- вычислять значения тригонометрических функций по заданному аргументу;

- находить по заданной тригонометрической функции остальные тригонометрические функции;

- преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;

- применять формулы приведения, формулы двойного и половинного аргумента, формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение при выполнении преобразований тригонометрических выражений и доказательстве тождеств;

- решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, водящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.


Виды самостоятельной работы студентов.

  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.126-192.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 171-218.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 91–119.

- Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 126-192.


  1. Работа с таблицей Брадиса – вычисление значений углов.

Решить задачи.

    1. Высота Останкинской телевизионной башни – 540 м. Найдите угол в градусах, под которым видна башня с расстояния 2000 м. В ответе укажите целое число градусов.

    2. Строение высотой 30 м бросает тень длиной 45 м. Найдите угол наклона солнечных лучей. В ответе укажите целое число градусов.

    3. Человек, пройдя вверх по склону холма 1000м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

    4. Маятник длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние, равное 12 см. Найдите угол, который образует новое положение маятника с положением равновесия. В ответе укажите целое число градусов.

  1. Изготовить «тригонометр».

  2. Ответить на контрольные вопросы.

    1. Какой угол называется углом в один радиан?

    2. Сформулируйте формулы перехода от градусного измерения углов к радианному и наоборот?

    3. Чему равна градусная мера дуги в один радиан?

    4. Дайте определение единичной окружности?

    5. Дайте определение тригонометрическим функциям через единичную окружность?

    6. Какой координате точки соответствует значение синуса угла?

    7. Какой координате точки соответствует значение синуса угла?

    8. Какой координате точки соответствует значение косинуса угла?

    9. Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

    10. Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?

    11. Какие тригонометрические выражения называются тождественно равными?

    12. Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.

    13. Какие числа являются периодами функции синуса и косинуса?

    14. Какие числа являются периодами функции тангенса и котангенса?

    15. При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?

    16. Сформулируйте правило записи формул приведения.

    17. Как выполняется понижение степени тригонометрических функций?

    18. При каких вычислениях необходимо знание формул сложения?

    19. При каких вычислениях необходимо знание формул двойного и половинного аргумента?

    20. Какие уравнения называются тригонометрическими?

    21. Перечислите простейшие тригонометрические уравнения.

    22. Перечислите основные способы решения тригонометрических уравнений.

    23. Как выполняются преобразования с помощью вспомогательного аргумента?



ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ. СТЕПЕННЫЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о различных способах задания функции;

- о сдвиге и деформации графика функции;

- о бесконечно малой и бесконечно большой величине и их связи.

Знать:

- определение функции, сложной и обратной функции;

- свойства функции (монотонность, ограниченности, чёткость, нечёткость, периодичность, непрерывность);

- определение предела функции в точке и свойства пределов;

- свойства степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

Уметь:

- находить область определения функции;

- находить значение функции, заданной аналитически или графически, по значению аргумента и наоборот;

- вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

- строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

- использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

- определять непрерывность функции в точке;

- производить простейшие преобразования графиков функций;

- решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя

свойства и графики функций.


Виды самостоятельной работы студентов.

  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.39-114, 197-224.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 219-270.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.45-80.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 38-44, 107-112, 120-140.

- Приложение 2


  1. Решение упражнений по образцу.

Образец выполнения задания

Построить графики функцииhello_html_mba98a01.gif и провести исследование по следующей схеме:

    1. Найти область определения функции.

    2. Найти множество значений функции.

    3. Свойства функции: непрерывность, четность (нечетность), возрастание (убывание), интервалы знакопостоянства.

    4. Нули функции.

    5. Точки пересечения с осями координат.

    6. Периодичность функции.

hello_html_46dd3bcf.gif

x

0

1

-1

128

-128

y

0

1

1

16

16


hello_html_59231cba.png

    1. Область определения множество R всех действительных чисел: hello_html_m3742561f.gif.

    2. Множество значений функции: hello_html_2c468636.gif.

    3. Функция hello_html_mba98a01.gif непрерывна в области определения.

hello_html_m459437ea.png

    1. Функция

    1. Функция возрастает на промежутке hello_html_m17760b2.gif, убывает - hello_html_731a7643.gif.

    2. Функция положительна на всей области определения.

    3. Нули функции: y = 0 при х = 0.

    4. Точка пересечения с осями координат – (0;0).

    5. Функция непериодическая.


Выполнить задания:

Построить графики функции и провести исследование по следующей схеме:

    1. Найти область определения функции.

    2. Найти множество значений функции.

    3. Свойства функции: непрерывность, четность (нечетность), возрастание (убывание), интервалы знакопостоянства.

    4. Нули функции.

    5. Точки пересечения с осями координат.

    6. Периодичность функции.


hello_html_330b3782.png

hello_html_m375cf71f.png


  1. Повторная работа над материалом учебника. Построение и преобразование графиков.

Ответить на вопросы:

    1. Сформулируйте определение функции.

    2. Что называется областью определения функции?

    3. Что называется областью значения функции?

    4. Какими способами может быть задана функция?

    5. Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

    6. Какие функции называются нечетными и как они исследуются на нечетность?

    7. Приведите примеры четных и нечетных функций.

    8. Какие функции называются возрастающими и убывающими?

    9. Какие функции называются обратными?

    10. Перечислите основные элементарные функции?

    11. Как связаны между собой графики логарифмической и показательной функций?

    12. Как связаны между собой графики функций синуса и арксинуса?

    13. Как связаны между собой графики функций косинуса и арккосинуса?

    14. Как связаны между собой графики функций тангенса и арктангенса?


Выполнить задания:

Построить графики функций.

hello_html_m3e5f1d71.gifhello_html_m2a8409c9.gif

hello_html_6a14a07c.gif

hello_html_m16f5df11.gif

hello_html_m4cf62d49.gif

hello_html_m19956774.gifhello_html_4261a768.gif



hello_html_m5d7382e1.gif

hello_html_m540353e1.gif


  1. Решение вариантных задач и упражнений.


Выполнить задания:

    1. Построить графики функций и провести исследование схеме.

hello_html_25e8877b.gif

    1. Найдите функцию, обратную данной , укажите область определения и область значений обратной функции, Постройте графики данной и обратной функции в одной системе координат.

а) hello_html_m32ca4087.gif,

б) hello_html_m70fa8b90.gif, hello_html_m74868ce8.gif,

в)hello_html_5baead84.gif

    1. Найдите область определения каждой из функций:

а) hello_html_486c8dc7.gif б) hello_html_3599262c.gif в) hello_html_1907770c.gif

г) hello_html_m8ce9b29.gif д) hello_html_m11030a42.gif

    1. Построить графики функций:

а) hello_html_13c61da7.gif б) hello_html_116a0c09.gif в) hello_html_2ec01dcf.gif г) hello_html_m3929bac0.gif

д) hello_html_52d054b4.gif е) hello_html_m6b0f911c.gif ж) hello_html_m2b6c51a0.gif з) hello_html_65fa4ca8.gif

4. Какие из указанных ниже функций являются четными: какие нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:

а) hello_html_f7c3f0b.gif; б) hello_html_m498c6d00.gif; в) hello_html_m5d06073c.gif.

5. Запишите все решения уравнения hello_html_m1bdf5c71.gif, принадлежащие промежутку hello_html_54b1fde7.gif.

6. Запишите все решения неравенства hello_html_m21e73e.gif, принадлежащие промежутку hello_html_m6ca52407.gif.

  1. Ответы на контрольные вопросы.

Вопросы п.3


ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о табличном и графическом представлении данных;

- о правилах комбинаторики;

- о формуле бинома Ньютона;

- о методе перебора и конструировании вариантов при решении комбинаторных задач.

Знать:

- формулы числа перестановок, сочетаний, размещений;

- формулу бинома Ньютона и свойства биноминальных коэффициентов.

Уметь:

- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул треугольника Паскаля;

- вычислять коэффициента бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля.


Виды самостоятельной работы студентов.

  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


    • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 97-133.

    • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 64–76.

    • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 371-373.


    Решение комбинаторных задач.


  1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

  2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

  3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

  4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

  5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

  6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

  7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

  8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

  9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

  10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

  11. Найти номер члена разложения бинома hello_html_5a59efc6.gif, не содержащего х.

  12. Найти пятый член разложения бинома hello_html_49605162.gif.

  13. Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома hello_html_m21900a92.gif, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.

  14. Найти седьмой член разложения бинома hello_html_m1fd84da4.gif, если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.

  15. Сколько членов разложения бинома hello_html_246428cc.gif являются целыми числами?

  16. Вычислить сумму hello_html_m3ba5f8f9.gif.

  17. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома hello_html_m6230e966.gif.

  18. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения hello_html_7a5a8c5a.gif равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.

  19. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения hello_html_m8ff8a14.gif больше двух соседних с ним слагаемых?

  20. При каком значении х четвертое слагаемое разложения hello_html_bf9c8b9.gif в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?

  21. В какую наибольшую степень следует возвести бином hello_html_2bf7d4e5.gif чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно hello_html_23fc7fa0.gif?


  1. Подготовка презентаций.

    1. Предмет комбинаторики. История развития комбинаторики.

    2. Предмет комбинаторики. Основные понятия комбинаторики.

    3. Предмет комбинаторики. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.


КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о компланарных векторах, базисе, разложении вектора по заданному

базису на плоскости и в пространстве;

- о системах координат – полярной, декартовой, о радиус-векторе точки, о координатах радиуса вектора, о векторе на плоскости и в пространстве;

- о задачах линейного программирования.

Знать:

- определение вектора, действия над векторами;

- свойства действий над векторами;

- понятие прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве;

- правила действий над векторами с заданными координатами;

- формулы для вычисления длины вектора, угла между векторами, расстояния между двумя точками;

- формулы уравнения прямой, сферы и плоскости.

Уметь:

- выполнять действия над векторами;

- разлагать векторы на составляющие на плоскости и в пространстве;

- вычислять угол между векторами, длину векторами;

- применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов.


Виды самостоятельной работы студентов.

      1. Повторная работа над материалом учебника и дополнительной литературы.


  • Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 77-111.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 133-170.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 77–90.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика», М: Дрофа, 2005 г., гл. 10, § 69-74.


  1. Домашняя самостоятельная работа: «Использование координат и векторов при решении прикладных задач».

Вариант 1

1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

1) ненулевые векторы hello_html_m54824248.gif и hello_html_m4380af38.gifназываются сонаправленными, если …..

2) hello_html_m54824248.gif = hello_html_m4380af38.gif, если….

3) векторы hello_html_m54824248.gif и hello_html_76b22bfe.gif противоположно направлены, если ….

4) Если АВСD – параллелограмм, то hello_html_b6c7e78.gif

2. Установите истинность утверждений:

1) разностью векторов hello_html_m54824248.gif и hello_html_m4380af38.gifназывается такой вектор hello_html_m59d654b0.gif, что hello_html_m59d654b0.gif+ hello_html_m54824248.gif=hello_html_m4380af38.gif;

2) средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;

3) ненулевые векторы называются равными, если они равны по длине.

3. АВСD – квадрат. АВ = 5. hello_html_2c5e84a5.gifравно

hello_html_m30ffcdc.png1) 10; 2) hello_html_m1802f9ae.gif; 3)hello_html_7056ef2f.gif

4.

hello_html_m116e9bf6.png

5.МК – средняя линия трапеции АВСD hello_html_m75dad1eb.png

6. Вектор hello_html_m47f255cd.gifравен.

hello_html_a97c610.png

7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы hello_html_52e75f49.gif и hello_html_m44cdbb79.gif векторhello_html_m3c0c404a.gif.

hello_html_7bcbee8a.png

8. На стороне ВС ромба АВСD лежит точка К так, что ВК=КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите hello_html_6fabe9a.gif через векторы hello_html_52e75f49.gif и hello_html_m44cdbb79.gif.

9. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

10. Начертите два неколлинеарных вектора hello_html_21e365ae.gif и hello_html_537ff498.gif. Постройте векторы: hello_html_536ff97f.gif; hello_html_4c843863.gif

11. Какие из данных точек Y( 7; 3; 0), D (2; 0; 0), A(0; 0; -7), L(-1; 0; -32), O( 0; -0,1; 0), S(10; 1; 0); M(0; 2,5; -1),

N(4; 2; 1), K(-9;0;0) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

12. а) Запишите координаты векторов: hello_html_me4c2937.gif = -0,4hello_html_67c2ed89.gif + hello_html_m8b9daf0.gif - hello_html_m55e1c696.gif; hello_html_e0b3ba.gif = 9hello_html_67c2ed89.gif - 5hello_html_4cea9580.gif; hello_html_a6a575f.gif = -8hello_html_m55e1c696.gif

б) Запишите разложения векторов hello_html_me4c2937.gifи hello_html_e0b3ba.gif по координатным векторам hello_html_67c2ed89.gif, hello_html_m8b9daf0.gif, hello_html_m55e1c696.gifи найдите их скалярное произведение: hello_html_m712e935c.gif; hello_html_718ab717.gif

13. Даны векторы hello_html_3a3078c3.gif; hello_html_m2921a828.gif; hello_html_a6a575f.gifhello_html_6eefb9b6.gif. Найдите координаты вектора hello_html_m499af006.gif = (2hello_html_m55e1c696.gif-hello_html_e0b3ba.gif)+ (2hello_html_a6a575f.gifhello_html_m2cf8281c.gifhello_html_me4c2937.gif)

14. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами hello_html_74325615.gifи hello_html_2897b09.gif. Найдите длины этих векторов.


Вариант 2

1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

1) ненулевые векторы hello_html_396c8793.gif и hello_html_m4380af38.gifназываются коллинеарными, если ….

2) hello_html_m54824248.gif = - hello_html_m4380af38.gif, если….

3) векторы hello_html_m54824248.gif и hello_html_m5255cd09.gif сонаправлены, если ….

4) Если АВСD – ромб, то hello_html_m4d8198b8.gif

2. Установите истинность утверждений:

1) произведением ненулевого вектора hello_html_m54824248.gif на число k называется такой вектор hello_html_2fdecc19.gif, что hello_html_m38cd144d.gif;

2) средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее противоположных сторон;

3) от любой точки А можно отложить вектор, равный вектору hello_html_m54824248.gif, и притом только один.

3. АВСD – квадрат. АВ = 4. hello_html_166674d3.gifравно

hello_html_m877f85d.png1) 8; 2) hello_html_md662bbf.gif; 3)hello_html_m217e9413.gif

4. EF – средняя линия трапеции АВСD

hello_html_m4c566060.pnghello_html_m47b2af3e.png

5. Вектор hello_html_m7850e623.gif равен

hello_html_67a09f72.png

6.

hello_html_m51cae2fe.png

7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы hello_html_52e75f49.gif и hello_html_m44cdbb79.gif векторhello_html_m3d9fd2cc.gif.

hello_html_75d63023.png

8. На стороне DС квадрата АВСD лежит точка Р так, что СР=РD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите hello_html_70435748.gif через векторы hello_html_m2116d304.gif и hello_html_m5e8db622.gif.

9. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60о, боковая сторона равна 8 см, а меньшее высота основание 7см. Найдите среднюю линию трапеции.

10. Начертите два неколлинеарных вектора hello_html_21e365ae.gif и hello_html_537ff498.gif. Постройте векторы: hello_html_15786bee.gif; hello_html_559f59ff.gif

11. Какие из данных точек A( 0; 3; 0), B (2; 0; 8), C(0; 5; -7), D(-1; 5; -3), E( 5; -3,5; 0), F(10; 0; 0); G(0; 8; -1),

N(4; 2; 1), K(0;0;6) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

12. а) Запишите координаты векторов: hello_html_me4c2937.gif = 4hello_html_67c2ed89.gif - 7hello_html_m8b9daf0.gif; hello_html_e0b3ba.gif = 12hello_html_67c2ed89.gif + 5hello_html_4cea9580.gif- 2,8hello_html_m55e1c696.gif; hello_html_a6a575f.gif = -0,8hello_html_67c2ed89.gif

б) Запишите разложения векторов hello_html_me4c2937.gifи hello_html_e0b3ba.gif по координатным векторам hello_html_67c2ed89.gif, hello_html_m8b9daf0.gif, hello_html_m55e1c696.gifи найдите их скалярное произведение: hello_html_2f7ec5b6.gif; hello_html_m11d9efff.gif

13. Даны векторы hello_html_3a3078c3.gif; hello_html_m2921a828.gif; hello_html_a6a575f.gifhello_html_6eefb9b6.gif. Найдите координаты вектора hello_html_m499af006.gif = (-hello_html_m55e1c696.gif+ 2hello_html_e0b3ba.gif)+ (hello_html_m2cf8281c.gifhello_html_a6a575f.gif + 3hello_html_me4c2937.gif)

14. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами hello_html_m2d0afaf5.gifи hello_html_m5a6f3f71.gif. Найдите длины этих векторов.


  1. Ответы на контрольные вопросы.


  1. Дайте определение вектора.

  2. Какие векторы называются коллинеарными?

  3. Какие векторы называются равными?

  4. Как производится сложение и вычитание векторов?

  5. Дайте определение угла между векторами.

  6. Какой вектор называется единичным?

  7. Как находится проекция вектора на ось?

  8. Как записываются координаты радиус-вектора?

  9. Перечислите правила действий над векторами, заданными своими координатами.

  10. Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов.

  11. Как вычисляется длина вектора?

  12. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

  13. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

  14. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

  15. Как найти угол между векторами (формула)?

  16. Как вычисляется расстояние между двумя точками?

  17. Как найти координаты середины отрезка?

  18. Как найти точку, делящую отрезок в данном отношении?


НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения, о

скорости изменения функции;

- о производных высших порядков;

- о дифференциале функции, о применении дифференциала к приближённым вычислениям;

- о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке, о применении экстремумов к решению прикладных задач;

- о пределе последовательности.

Знать:

- определение производной, её геометрический и физический смысл;

- алгоритм нахождения производной в общем виде;

- правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в содержании учебного материала;

- формулу для нахождения производной сложной функции;

- уравнение касательной, углового коэффициента касательной;

- определение дифференциала функции;

- определение второй производной, её физический смысл;

- правила нахождения интервалов монотонности, экстремумов функции, промежутков выпуклости и вогнутости графиков функций;

- общую схему построения графиков функций с помощью производной;

- правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функций на промежутке;

- определение первообразной функции, неопределённого интеграла, свойства неопределённого интеграла;

- таблицу основных формул интегрирования;

- определение определённого интеграла, его свойства, геометрический смысл определённого интеграла;

- формулу Ньютона-Лейбница.

Уметь:

- находить сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии;

- вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

- применять производную для проведения приближенных вычислений;

- решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения, на нахождения скорости и ускорения;

- вычислять определённый интеграл с помощью основных свойств и по формуле Ньютона-Лейбница;

- решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла;

- вычислять в простейших случаях площади и объёмы с использованием определенного интеграла.


Виды самостоятельной работы студентов.


  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


  • Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2002 г., стр. 225-305.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика», М: Дрофа, 2005 г., гл. 5, § 45-61; гл. 8 § 63-68.

  • Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2009 г., стр. 44-150.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 81-184.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 157–216.

  1. Составление таблиц.


- Сделать карточку с таблицей производных основных элементарных функций, основными правилами дифференцирования.

- Составить таблицу, включающую в себя основные этапы исследования функции с помощью производной и действия, которые необходимо выполнить на этих этапах.

- Составить таблицу интегралов основных элементарных функций.


  1. Решение задач и упражнений по образцу.


Образец выполнения задания.

Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график

hello_html_m77aa1bac.png.


hello_html_m75fbd9c8.png


hello_html_m533e9c90.png

y

hello_html_26cf775b.gifhello_html_m663592f2.gifhello_html_6f4a91e9.gif

hello_html_22fb5787.png

Выполнить задания:


Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график.

hello_html_m1601b110.png

hello_html_53c291aa.png

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Образец выполнения здания.

    1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0.

Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2). Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

hello_html_m6dfc46db.gif

Дhello_html_58a21089.gifля вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т.е. f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

hello_html_m7499f3ef.gifОтвет. S = 13, 5 кв. ед.

    1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры ограниченной осью Ox и полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ xπ).

Рhello_html_7ae15c8d.gifешение. Выполним построение. По формуле hello_html_77dfb934.gif, получим

hello_html_35a6d66e.gif

Ответ: V = hello_html_m18bebc62.gif (куб. ед.)

Выполнить задания:

В задачах 1 – 4 найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) xy + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2.

2) xy + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0.

3) y = x2, y = 0, x = 0, x = 3.

4) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2.

В задачах 5 – 8 найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями:

5) y2 – 4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0.

6) y2x + 1 = 0, x – 2 = 0, y = 0.

7) y = - x2 + 2x, y = 0.

8) y2 = 2x, x – 2 = 0.


  1. Ответы на контрольные вопросы.


      1. Что называется мгновенной скоростью изменения функции?

      2. Дайте определение производной функции.

      3. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.

      4. Объясните геометрический смысл производной.

      5. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

      6. Чему равна производная постоянной?

      7. Какую функцию называют сложной? Приведите примеры.

      8. Как вычисляется производная сложной функции?

      9. Как найти угловой коэффициент касательной к графику данной функции?

      10. Какие физические задачи решаются с применением производной?

      11. Что называется производной второго порядка?

      12. В чем заключается физический смысл второй производной?

      13. Объясните, как применяется производная для исследования функции на возрастание и убывание?

      14. Дайте определение максимума и минимума функции.

      15. Укажите необходимое и достаточное условие максимума и минимума.

      16. Изложите правило исследования функции на максимум и минимум.

      17. Как определяется с помощью производной выпуклость функции вверх и вниз?

      18. Какое действие называется интегрированием?

      19. Что называется первообразной функции?

      20. Дайте определение неопределенного интеграла.

      21. Как проверить результат интегрирования?

      22. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

      23. Напишите формулу Ньютона-Лейбница и объясните ее смысл.

      24. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

      25. Объясните геометрический смысл определенного интеграла.


  1. Подготовка презентаций по использованию производной и интеграла.


  • «Физический смысл производной. Решение физических задач с применением производной»

  • «Исследование функций с помощью производной»

  • «Применение производной при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений»

  • «Использование интеграла для вычисления площадей фигур»

  • «Использование интеграла для нахождения объемов тел вращения»



ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о логической структуре геометрии, аксиомах, теоремах и системе

аксиом планиметрии;

- о скрещивающихся, параллельных и пересекающихся прямых;

- о параллельной проекции точки, прямой, фигуры;

- об угле наклона прямой к плоскости;

- о двугранном угле, линейном угле двугранного угла и его величине;

- об ортогональном и параллельном проектированиях;

- о расстоянии токи до плоскости, от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми и между фигурами;

- о многогранном угле и свойствах его плоских углов.

Знать:

- основные понятия стереометрии;

- аксиомы стереометрии и следствия из них;

- взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве;

- основные теоремы о параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей;

- понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями;

- основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;

- формулу расстояния от точки до плоскости.

Уметь:

- устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы параллельности;

- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве;

- вычислять углы между плоскостями;

- находить расстояние между скрещивающимися прямыми, от прямой


Виды самостоятельной работы студентов.


  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


  • Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр.3-56.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 35-96.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 50–63.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 320-334.

  • Яковлев Г.Н. «Геометрия». М: Наука, 1982 г., § 45-54.


  1. Подготовка презентаций на тему:


  • «Взаимное расположение прямых в пространстве»

  • «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

  • «Взаимное расположение плоскостей в пространстве»

  • «Параллельное проектирование»

  • «Ортогональное проектирование»


  1. Решение задач и упражнений по образцу.


Образец выполнения заданий.

Зhello_html_66af201d.gifадача 1. Найти угол между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Решение.

Найдем, например, угол между диагоналями A1C1 и AD1 куба ABCDA1B1C1D1. Проведем диагональ AC грани ABCD. A1C1||AC, поскольку AA1C1C – прямоугольник (AA1||CC1, AA1 = CC1, AA1ABC). Тогда углы между прямыми A1C1 и AD1, и A1C и AD1 будут равны.

Рассмотрим треугольник AD1C . Все его стороны равны, как диагонали равных квадратов, поэтому все его углы равны 600 , т. е. угол между прямыми A1C и AD1 равен 600 . Следовательно, искомый угол между прямыми A1C1 и AD1 также равен 600.

Зhello_html_m73c20d8.gifадача 2. В правильном тетраэдре найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Решение.

Найдем, например, угол между ребром AS и плоскостью ABC.

Поскольку AO − проекция AS на плоскость основания и cos(AO,AS) = hello_html_1b9e5cff.gif, то (AO, AS) = arccoshello_html_1b9e5cff.gif. Следовательно, ∠(AS, ABC) = arccoshello_html_1b9e5cff.gif.

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S – вершина), сторона основания которой равна a, а боковое ребро l, найти расстояние между прямой AB и плоскостью SCD.

Рhello_html_m65b1b927.gifешение. Прямая AB параллельна плоскости SCD (AB||CD). Проведем плоскость через вершину S и середины К и М ребер AB и CD. Эта плоскость перпендикулярна плоскости SCD. Перпендикуляр KN к прямой SM является перпендикуляром и к плоскости SCD. Его длина равна искомому расстоянию. Высоты боковых граней пирамиды равны: hello_html_14a017bf.gif, высота hello_html_243e54a3.gif. Выражая площадь равнобедренного треугольника SKN двумя способами hello_html_543dd7bd.gif, из последнего равенства получаем hello_html_m3fe55fa2.gif

Задача 4. В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1hello_html_m1eadeeea.gif) Проведем АН перпендикулярно DC, тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC).

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD),
тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН2 = ЕА2 + АН2;

ЕА2 = 16 – 12 = 4;

ЕА = 2.

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

SEAH = (EA · AH)/2 или SEAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК2 = 3.


Выполнить задания.

        1. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1, А2, С2 соответственно. Найти ВС1, если А1В : А1А1 = 1 : 3, ВС2 = 12.hello_html_1125213d.jpg

        2. В треугольнике АВС угол В – прямой, ВС = 2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВDC, АD = √2, угол между плоскостями АВC и ВСD равен 45°. Найти угол (в градусах) между прямой АС и плоскостью (ВDC).

        3. В правильном тетраэдре найти угол между боковым ребром и не пересекающей его медианой основания.

  1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой MT, где точки M и T– середины ребер CD и A1B1 соответственно.

  2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB = hello_html_6f15cd64.gif, SC = 10. Точка N – середина ребра BC. Найдите тангенс угла, образованного плоскостью основания и прямой AT, где T– середина отрезка SN.

  3. В кубе A..D1найдите углы между плоскостями BC1D и BA1D.

  4. Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.

  5. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HE и BD перпендикулярны.


  1. Ответы на контрольные вопросы.


    1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

    2. Что такое аксиома?

    3. Сформулируйте основные аксиомы стереометрии.

    4. Назовите возможные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

    5. Перечислите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

    6. Приведите возможные варианты взаимного расположения двух плоскостей в пространстве.

    7. Назовите признак параллельности прямой и плоскости.

    8. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

    9. Какие плоскости называются параллельными?

    10. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

    11. Дайте определение прямой перпендикулярной у плоскости.

    12. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

    13. Какая прямая называется наклонной к плоскости?

    14. Что называется проекцией наклонной на плоскость?

    15. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

    16. Как определить угол между прямой и плоскостью?

    17. Что называется двугранным углом?

    18. Назовите элементы двугранного угла.

    19. Как найти градусную меру двугранного угла?

    20. Какие плоскости называются перпендикулярными?

    21. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.



УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнениях;

- об изображении на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными.

Знать:

- алгоритм решения иррациональных уравнений и неравенств;

- способы решения рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств;

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь:

- решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

- доказывать несложные неравенства;

- решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учётом ограничений условия задачи;

- изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

- находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.


Виды самостоятельной работы студентов.

  1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

  • Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2006 г., стр.52-69, 75-87,103-114,165-196.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.239-285.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 228–246.


  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 39-98, 119-126, 186-192


  1. Решение задач.


Выполнить задания.

  1. Решите уравнение hello_html_m38793c75.gif .

  2. Решите уравнение hello_html_m675ace44.gif.

  3. Решите уравнение hello_html_42636b5d.gif.

  4. Решите уравнение hello_html_m686d0462.gif.

  5. Решите уравнение hello_html_m30205859.gif.

  6. Решите уравнение hello_html_m64f3be98.gif.

  7. Решите уравнение hello_html_64955026.gif.

  8. Решите уравнение hello_html_7c9c23b5.gif.

  9. Решите уравнение hello_html_m5114bc03.gif.

  10. Решите уравнение hello_html_2d75deeb.gif.

  11. Решите уравнение hello_html_5ff754c0.gif.

  12. Решите уравнение hello_html_m5f110f52.gif.

  13. Найдите наибольший корень уравнения hello_html_m276d5d25.gif.

  14. Решите уравнение hello_html_120f25ff.gif.

  15. Решите уравнение hello_html_31d56236.gif.

  16. Найдите положительный корень уравнения hello_html_m644e2871.gif.

  17. Найдите наибольший корень уравнения hello_html_m64835fd5.gif.

  18. Решите уравнение hello_html_m5e254c9b.gif

  19. Решите уравнение hello_html_28c592e.gif

  20. Найдите число корней уравнения hello_html_m317531a6.gifна промежутке hello_html_m159d5db9.gif.

  21. Решите уравнение 3х-5 = 8. В ответе укажите ближайшее целое число.

  22. Найдите наименьший корень уравнения hello_html_26d5c70b.gif

  23. Решите уравнение hello_html_b69a5b1.gif . В ответе укажите число корней этого уравнения на отрезке hello_html_m8d6c806.gif.

  24. Решите уравнение hello_html_4124bdf2.gif.

  25. Решите уравнение hello_html_m53247fd.gif.

  26. Решите уравнение hello_html_61b0951d.gif.

  27. Найдите количество корней уравнения hello_html_m52106ba3.gifна отрезке hello_html_m6d79319e.gif.

  28. Найдите количество корней уравнения hello_html_6ac6d009.gif

  29. Пусть hello_html_m62c02e7f.gif - решение системы. Найдите значение выражения hello_html_3f0258dd.gif. hello_html_m739d3e5b.gif

  30. Пусть hello_html_m62c02e7f.gif - решение системы. Найдите значение выражения hello_html_19828e50.gif. hello_html_m64d95d96.gif

  31. Пусть hello_html_m62c02e7f.gif - решение системы. Найдите hello_html_m5962a653.gif. hello_html_m3f164998.gif

  32. Пусть hello_html_m62c02e7f.gif - решение системы. Найдите hello_html_m5b42aa5e.gif. hello_html_m74fd81f0.gif

  33. Пусть hello_html_m62c02e7f.gif - решение системы. Найдите значение выражения hello_html_m2f2ee3b4.gif. hello_html_33f40e54.gif

  34. Пусть hello_html_m16c82ae7.gif - решение системы. Найдите наибольшую сумму hello_html_m4c5d74df.gif. hello_html_m158292c8.gif

  35. Укажите наибольшее целое решение неравенства hello_html_m5c8a07c4.gif.

  36. Укажите наибольшее целое решение неравенства hello_html_67899647.gif.

  37. Укажите наибольшее целое решение неравенства hello_html_m376801fc.gif.

  38. Найдите сумму всех целых решений неравенства hello_html_m15f89c85.gif.

  39. Найдите количество всех целых решений неравенства hello_html_5bf86932.gif.

  40. Найдите количество всех целых решений неравенства hello_html_d023ea.gif.

  1. Ответы на контрольные вопросы.

        1. Дайте определение уравнения с одной переменной.

        2. Какие уравнения называются равносильными?

        3. Что называется корнем уравнения?

        4. Какие уравнения называются рациональными?

        5. Назовите виды рациональных уравнений.

        6. Что называется системой двух уравнений?

        7. Что называется совокупностью двух уравнений?

        8. В чем различие между совокупностью и системой двух уравнений?

        9. Что называется неравенством?

        10. Что называют решением неравенства?

        11. Перечислите основные свойства неравенств.

        12. Какие уравнения называются иррациональными?

        13. В каком случае появляются посторонние корни иррационального уравнения?

        14. Каким способом может быть устранено наличие посторонних корней иррационального уравнения?

        15. Какие уравнения называются показательными?

        16. Назовите основные методы решения показательных уравнений.

        17. Как решается простейшее показательное неравенство?

        18. Какое свойство показательной функции используется при решении неравенств?

        19. Какие уравнения называются логарифмическими?

        20. Назовите основные методы решения логарифмических уравнений.

        21. Как решается простейшее логарифмическое неравенство?

        22. Какое свойство логарифмической функции используется при решении неравенств?

        23. Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?

        24. Перечислите основные методы решения тригонометрических уравнений.

        25. Как решить тригонометрическое неравенство с помощью единичной окружности (графика функции)?


  1. Работы со справочниками по нахождению способов решений уравнений


МНОГОГРАННИКИ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о геометрическом теле и его поверхности;

- о многогранной поверхности;

- о выпуклых и вогнутых многогранниках;

- о правильных многогранниках;

- о площади поверхности тела

Знать:

- понятие многогранника, правильного многогранника, правильной пирамиды и их поверхностей;

- определение призмы, параллелепипеда, пирамиды, а также свойства перечисленных геометрических тел;

- формулы площади поверхности: призмы, пирамиды и из разновидностей;

- свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними.

Уметь:

- изображать на чертежах призму, параллелепипед, пирамиду (всех видов);

- строить простейшие сечения многогранников плоскостью;

- вычислять и изображать основные элементы призмы, параллелепипеда, пирамиды;

- вычислять боковую и полную поверхность призмы, параллелепипеда, пирамиды и их простейших комбинаций;

- соотносить плоские геометрические фигуры и трёхмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями, различать и анализировать взаимное расположение фигур;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

- проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса.


Виды самостоятельной работы студентов.


      1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


  • Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 57-76.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.15-22.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 141–148, 152-156.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр.334-344.


      1. Изготовление моделей геометрических тел.


 По технологической карте, изготовления  моделей  Платоновых тел с помощью разверток, выполните модели многогранников, используя цветной картон, клей, карандаш, линейку, циркуль и ножницы.      

Технологическая карта изготовления моделей многогранников

с помощью разверток

При склеивании развертки сделайте необходимые припуски для склеивания.

Тетраэдр

 

Грани: 4 треугольника

Вершин: 4

Ребер:  6

 

hello_html_18ac75ac.png

Гексаэдр (куб)

Грани: 6 квадратов

Вершин: 8

Ребер: 12

 

 

hello_html_7d13e94e.png

Октаэдр

 

Грани: 8 треугольников

Вершин: 6

Ребер: 12

 

hello_html_42a63a77.png

Додекаэдр

 

Грани: 12 пятиугольников

Вершин: 20

Ребер: 30

 

hello_html_m2606a714.png

Икосаэдр

 

Грани: 20   треугольников

Вершин: 12

Ребер: 30

 

hello_html_m5cfb8a7b.png











      1. Решение задач и упражнений.


Решите следующие задачи.

1. Основания прямой призмы – ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности - 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

2. Основание прямого параллелепипеда – ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений P и Q.

3. Основания прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

4. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота hello_html_7d52cb0c.gif см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

6. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом hello_html_m263a2549.gif см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота hello_html_7d52cb0c.gif см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

8. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом 30°. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.


      1. Выполнение практической работы по теме: «Сечения многогранников»


Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

hello_html_727bcb87.png

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

hello_html_m4b6fd7aa.png

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

hello_html_1e256309.png

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

hello_html_4cf4ede3.png

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

hello_html_4e62f1eb.png

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

hello_html_mee82f1.png

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

hello_html_m16606c84.png

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

hello_html_md554e97.png

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

hello_html_727bcb87.png.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

hello_html_m4b6fd7aa.png.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

hello_html_mc1f53a6.png.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

hello_html_m7522b9ac.png.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

hello_html_m71fc8365.png.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

hello_html_37a0b614.png.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

hello_html_m221f852b.png.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

hello_html_m4261e8e7.png.

MKNTPL - искомое сечение.

Выполнить задания.

          1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А1, М D1C1 и N DD1.

          2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M A1B1, N B1C1 и K CC1.

          3. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки M SB, N SC, K AD.

          4. Постройте сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки M A1B1; N BB1 и K AC.

  1. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки M SA; N SC; K BC.

5.Подготовка к тестовому контролю.


Ответьте на вопросы.

  1. Как называется фигура, состоящая из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов?

  2. Как называются стороны граней многогранника?

  3. Как называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани?

  4. У какой призмы боковые ребра перпендикулярны к основаниям?

  5. Что выражается этой формулой hello_html_52189a2f.png?

  6. Как называется высота боковой грани правильной пирамиды?

  7. Что выражается этой формулой hello_html_m2c075f96.png?

  8. Какой многоугольник лежит в основании правильной призмы?

  9. Что вычисляется по этой формуле hello_html_cedd084.png?

  10. Какая фигура является боковой гранью призмы?

  11. Как называется фигура, состоящая из многоугольников и n треугольников?

  12. Как называются концы ребер?

  13. Какой многогранник лежит в основании правильной пирамиды?

  14. Что у прямой призмы может являться высотой?

  15. Что вычисляется по этой формуле hello_html_m7a643673.png?

  16. Как называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

  17. По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

  18. Какая фигура является боковой гранью усеченной пирамиды, усеченной правильной пирамиды?

  19. Какая фигура является боковой гранью пирамиды, правильной пирамиды?

  20. Приведите примеры предметов из окружающего мира, которые имеют вид призм и пирамид.

Тест по теме Призма. Пирамида.

1. Площадь диагонального сечения куба равна hello_html_m732bf633.gif см2. Найдите площадь поверхности куба.

а) hello_html_4a3a18d6.gifсм2; б) hello_html_5e4a247.gif см2; в) hello_html_mcca6d12.gif см2; г) hello_html_3b6dd28a.gif см2.

2. Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны hello_html_m1965edd.gifсм, hello_html_m5617dd05.gifсм и hello_html_752124d7.gifсм. Найдите диагональ параллелепипеда.

а) hello_html_m26a88e89.gifсм; б) hello_html_m43d584cc.gif см; в) hello_html_5b778c37.gif см; г) hello_html_m7ccefcdf.gif см.

3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 см и 3 см, а синус угла между ними равен hello_html_5560048.gif. Найдите угол, который образует большая диагональ параллелепипеда с основанием, если боковое ребро параллелепипеда равно hello_html_162d7440.gifсм.

а) hello_html_m6c61d249.gif; б) hello_html_cd54113.gif; в) hello_html_7144d813.gif; г) hello_html_m24cc5bb7.gif.

4. Площади двух диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 48 см2 и 30 см2, а боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь основания параллелепипеда, если оно является ромбом.

а) hello_html_24718354.gifсм2; б) hello_html_7a7b1ef4.gif см2; в) hello_html_m60899d7.gif см2; г) hello_html_m79949a90.gif см2.

5. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а большая диагональ призмы образует с основанием угол, равный 600. Найдите площадь полной поверхности призмы.

а) hello_html_18e6da71.gifсм2; б) hello_html_m7c543f1b.gif см2; в) hello_html_m6e877337.gif см2; г) hello_html_m2fb7cbb.gif см2.

6. АВСА1В1C1 – наклонная треугольная призма. Двугранный угол при ребре АА1 равен 900. Расстояния от ребра АА1 до ребер ВВ1 и СС1 равны соответственно 4 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна hello_html_m7746d744.gif см и боковое ребро образует с основанием угол 600.

а) hello_html_m3d2cbc32.gifсм2; б) hello_html_m14a03f1d.gif см2; в) hello_html_me7f5b02.gif см2; г) hello_html_m56c99d36.gif см2.

7. АВСА1В1C1 – правильная треугольная призма. Через ребро А1В1 и точку М – середину АС - проведено сечение, площадь которого равна hello_html_m243e9251.gifсм2. Найдите высоту призмы, если сторона её основания равна 2 см.

а) hello_html_m323b49ff.gifсм; б) hello_html_m32bdbb68.gif см; в) hello_html_m608c0d05.gif см; г) hello_html_m789c5e7.gif см.

8. АВСDА1В1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Причем АВ = hello_html_3747ef70.gif см, ВС = hello_html_1da195fb.gif см, ВВ1 = hello_html_6518d199.gif см. Через точки А, В1 и С проведена плоскость. Найдите тангенс угла между плоскостями АВ1С и АВС.

а) hello_html_4f1ffb78.gif; б) hello_html_m47211fbc.gif; в) hello_html_m23d59826.gif; г) hello_html_m31baa9b6.gif.

9. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

а) hello_html_27a07a8b.gif; б) hello_html_m520d504.gif; в) hello_html_m3eb1f794.gif; г) hello_html_m577fb555.gif.

10. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по hello_html_m726b3256.gifсм, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см.

а) hello_html_3addbd6e.gifсм; б) hello_html_m789c5e7.gif см; в) hello_html_m577fb555.gif см; г) hello_html_m32bdbb68.gif см.

11. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды – прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см2.

а) hello_html_4f1c40a5.gifсм2; б) hello_html_m65a5d7c.gif см2; в) hello_html_m56c99d36.gif см2; г) hello_html_m3d2cbc32.gif см2.

12. Основание пирамиды – ромб, каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 600. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды 9 см, а один из углов ромба 450.

а) hello_html_m53c931cb.gifсм2; б) hello_html_m14111683.gif см2; в) hello_html_m213fb1f1.gif см2; г) hello_html_m5404e8ba.gif см2.

13. Основание пирамиды МАВСDEF – правильный шестиугольник АВСDEF со стороной 8 см. Ребро АМ перпендикулярно основанию и равно 8 см. Найдите двугранный угол между гранью МЕD и плоскостью основания.


а) hello_html_m6a615cc8.gif; б) hello_html_m24cc5bb7.gif; в) hello_html_cd54113.gif; г) hello_html_592ad6e9.gif.

14. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 450.

а) hello_html_4a411970.gif см2; б) hello_html_7d6dbae9.gif см2; в) hello_html_m440a890c.gif см2; г) hello_html_1e931888.gif см2.

15. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 6 см и 12 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 300. Найдите площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды.

а) hello_html_m77c12bb3.gifсм2; б) hello_html_mcca6d12.gif см2; в) hello_html_4c7d21ae.gif см2; г) hello_html_32f6fc65.gif см2.

16. КАВСD – правильная четырехугольная пирамида. Точки М и N – середины ребер КВ и КС. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью, параллельной грани АКD и проходящей через точки М и N, если сторона основания пирамиды 16 см, а высота пирамиды 4 см.

а) hello_html_m79949a90.gifсм; б) hello_html_mcca6d12.gif см; в) hello_html_m3ebe6e30.gif см; г) hello_html_b57d50e.gif см.



ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о телах вращения и их поверхности.

Знать:

- понятие: тело вращения, поверхности вращения;

- определения цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара, сферы;

- элементы тел вращения;

- понятия осевых сечений и сечений параллельных основанию;

- понятие касательной к плоскости сфере.

Уметь:

- изображать на чертеже круглые тела;

- строить простейшие сечения круглых тел плоскостью;

- вычислять и изображать основные элементы цилиндра, конуса, шара;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства тел вращения.


Виды самостоятельной работы студентов.

    1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


  • Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 119-139.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 22-26.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 149-151.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 344-356.


    1. Изготовление моделей геометрических тел.


Изготовить макеты цилиндра и конуса, усеченного конуса.

      1. Развертка цилиндра состоит из двух оснований в форме кругов (верхнего и  нижнего) и боковой поверхности в форме правильного прямоугольника. Высота боковой поверхности равна высоте цилиндра, а ширина - длине окружности основания. Можно рассчитать все параметры цилиндра.

Придать прямоугольнику криволинейную поверхность возможно двумя путями:

- Прокатать через вал (карандаш, ручку)

- Вертикально надрезать поверхность на 1\3 толщины развертки с наружной стороны через 3-5 мм

Второй способ позволяет получить поверхность лучшего качества.

Основания в развертке необходимо снабдить нить монтажными элементами. Для этого на кругах основания требуется построить отвороты в виде треугольников, надрезать их с наружной стороны и загнуть.

Получив все элементы развертки цилиндра, можно приступать к его склеиванию.

hello_html_mfc8e4e6.jpg

      1. Конус также является простым телом вращения. В основании конуса лежит круг. Боковая поверхность конуса на развертке представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей. Для построения развертки конуса графическим способом разделим плоскость основания на 12 (16, 24 и т.д.) частей и отложим измерителем 12 таких частей на длине окружности, проведенной радиусом, равным длине образующей. Точность построения боковой развертки конуса увеличивается с увеличением количества частей, на которые разбит круг. После этого следует надрезать боковую поверхность конуса через 3-5 мм снаружи, вдоль образующей. Для изготовления макета конуса, как и для цилиндра, необходимо у оснований сделать монтажные отвороты. С их помощью можно будет склеить основания с боковой поверхностью. Качество макета будет зависеть от точности построения развертку.

hello_html_m5c38df9.jpg

    1. Часто используют усеченные формы конуса. Если плоскости основания параллельны секущей плоскости, то в сечении получается круг.

hello_html_m493fe3b1.png


    1. Рhello_html_56b46237.pngешение задач и упражнений по образцу.


Задача 1. Высота конуса равна 57, а диаметр основания — 152. Найдите образующую конуса.

Решение.

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:

 hello_html_48cb5b7b.gif

Ответ: 95

Задача 2. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

Решение

hello_html_m7f89acfe.jpg 

      Соединив эти точки между собой и центром шара О, легко заметить, что задача свелась к нахождению высоты (OD) треугольной пирамиды OABC. Основание высоты (D) должно совпадать с центром окружности, описанной около треугольника АВС. Стороны АВ, АС и ВС, равные прямолинейным расстояниям между точками А, В, С, удовлетворяют теореме Пифагора hello_html_2799e247.jpg, т.е. треугольник АВС – прямоугольный, и точка D является серединой гипотенузы АВ. Тогда из прямоугольного треугольника BOD находим OD  
hello_html_m37b3aec0.png,OD = 12 (см).

 hello_html_572cf8c1.png     Ответ: 12 см.

Задача 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания — 9. Найдите высоту цилиндра.

Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: 

hello_html_m3a447df2.png

Значит,

 hello_html_6946ff4b.png

Ответ: 8

Зhello_html_10f62909.pngадача 4. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

Решение.

Из усло­вия hello_html_m246fdda3.gifнай­дем, что ра­ди­ус та­ко­го шара.

hello_html_m45ccd13b.gif.

Ответ: 10


Выполнить задания.

  1. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

  2. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

  3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

  4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота — 1. Найдите диаметр основания.

  5. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 32 и 60. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

  6. Вычислите площадь сферы, если площадь большого круга 144П см2.

  7. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°.

  8. Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около шара, если площадь поверхности шара равна
    330 см².

  9. Найдите площадь полной поверхности тела вращения, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника с катетами 6/√π и 8/√π вокруг меньшего катета.

  10. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в hello_html_5335ced5.pngраза боль­ше пер­во­го?


    1. Выполнение практической работы по теме «Тела вращения».


Практическая часть:

В детском саду дети готовятся к новогоднему представлению. Все костюмы готовы за исключением головных уборов для следующих персонажей: петрушка, кот в сапогах, солдат-пехотинец и знайка. Шефами этого садика являются студенты из расположенного рядом техникума. Студенты вызываются помочь своим подшефным в решении этой проблемы. Перед ними встает вопрос: какое количество материала будет затрачено для каждого из головных уборов, если в наличии имеется шелк шириной 1,5 м (для петрушки и знайки), сатин шириной 2 м (для солдата) и бархат шириной 0,9 м (для кота в сапогах).

Учащиеся разбиваются на группы для того чтобы произвести соответствующие расчеты (размеры для головных уборов представлены в практической части). Перед участниками каждой группы стоят следующие задачи:

  • изучить информацию;

  • выбрать необходимое тело вращения для изготовления головного убора;

  • выяснить какие данные для формулы вычисления площади поверхности данного тела вращения можно извлечь из представленных размеров;

  • нhello_html_m6467a152.pngайти площадь поверхности тела вращения;

  • высчитать необходимое количество материала.

  1. Костюм «Петрушка»: окружность головы 60 см, высота колпака 70 см.

  2. Шляпа «Знайки»: окружность головы 58 см, сторона квадрата 50см, высота шляпы 55 см.

hello_html_m621a75c2.pnghello_html_mcdca43c.png

3. Костюм «Кот в сапогах»: окружность головы 52 см, длина окружности полей 100 см, высота верхней части 42см.

4. Каска солдата-пехотинца: окружность головы 64см.

hello_html_50092ebf.pnghello_html_13f6c5c6.png


  1. Подготовка презентацию на тему: «Тела вращения вокруг нас»


  1. Ответы на контрольные вопросы.


1.Определение цилиндра. Чертеж (сделать чертеж с буквенными обозначениями)

2.По чертежу показать и назвать основные элементы цилиндра

3.Как получить цилиндр вращением? Сделать чертеж

4.Назвать и показать сечения цилиндра плоскостями.

5.Чему равна площадь полной поверхности цилиндра? Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?

6.Определение конуса. Чертеж (сделать чертеж с буквенными обозначениями). По чертежу показать и назвать основные элементы конуса

7. Как получить конус вращением? Сделать чертеж

8.Назвать и показать сечение конуса разными плоскостями

9.Как можно получить усеченный конус? Что называется основанием усеченного конуса? Что называется высотой усеченного конуса?

10.Чему равна площадь полной поверхности конуса? Чему равна площадь боковой поверхности конуса?

11.Определение шара, сферы. Чертеж (сделать чертеж с буквенными обозначениями) По чертежу показать и назвать основные элементы шара

12.Когда в сечении сферы плоскостью получается окружность?

13.Когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку? А когда не имеют общих точек?

14.Чему равна площадь сферы радиуса R ?

15.Уравнение сферы в прямоугольной системе координат



ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ


Требования к знаниям и умениям

Студент дожжен:

иметь представление:

- об объёме фигур вращения;

- о вписанных и описанных многогранниках;

- о вписанных и описанных круглых телах;

- о подобных телах.

Знать:

- формулы для вычисления объёма параллелепипеда, куба, прямой и наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара;

- формулы для вычисления объёма тел вращения;

- формулы площади поверхности цилиндра, конуса, усечённого конуса и их вывод;

- формулу площади сферы.

Уметь:

- находить объём прямой и наклонной призмы, пирамиды, круглых тел при решении несложных задач;

- вычислять боковую и полную поверхность цилиндра, конуса, шара;

- решать несложные задачи с практическим содержанием;

- находить отношения площадей поверхностей и объёмов подобных тел.


Виды самостоятельной работы студентов.


    1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.


  • Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г., стр. 140-168.

  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 185-208.

  • 2012, стр. 228–246.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г.,стр. 39-98, 119-126, 356-370.


    1. Решение задач и упражнений по образцу.


Задача 1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите объём конуса.

hello_html_d8609c4.gifhello_html_m733cbf9e.gifhello_html_m46f3f416.gifhello_html_6ebfea69.gif

hello_html_m32d699c6.gif

hello_html_m49499c93.gif

hello_html_m13095295.gifhello_html_693b9855.gifhello_html_m213db0a5.gif




Решение.

hello_html_m260b1ad7.gif

cosАВО=hello_html_6133dea2.gif ВО=R=АВ*cos300=hello_html_4a56290e.gif

треугольник АВО –прямоугольный, напротив угла в 300 лежит катет, равный половине гипотенузы, отсюда следует, что Н= 2 см

4. hello_html_m7f83bff9.gif см3

Ответ: V=8 см3

Зhello_html_m7641c260.gifhello_html_21ed0a99.gifадача 2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 450 .

В1 С1

А1 Д1





В С

hello_html_47f03563.gif

А Д

Решение.

  1. V=abc=S*H

  2. рассмотрим треугольник В1ВД;

а) треугольник В1ВД – прямоугольный, так как ВВ1АВСД,

б) В1ДВ=450, отсюда следует ДВ1В=450, треугольник В1ВД - равнобедренный ВВ1=ВД=4 см

  1. треугольник АВД – прямоугольный , так как в основании АВСД – квадрат и АВ=АД

пусть АВ = АД = а, по теореме Пифагора

а22=42

2=16

а2=8

а1=hello_html_32aec3a2.gif иа2= - hello_html_32aec3a2.gif ( посторонний корень)

  1. hello_html_m26f950fe.gifсм3

Ответ: объём параллелепипеда равен 32 см3

Задача 3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой hello_html_765f4e27.gif см вокруг своего катета.

hello_html_m407d8be0.gifВ





А О С

Решение.

hello_html_23808abe.gif

1)


2hello_html_m53d4ecad.gif
hello_html_m53d4ecad.gif
) Δ АОВ - прямоугольный , равнобедренный hello_html_1b730b13.gif АО=ВО, по т. Пифагора найдем

R=ОА

Пусть АО = а, тогда

а2 + а2 = hello_html_4779e6e0.gif

2=18

а2 =9

а1=3 - радиус и высота

а2 = - 3 п. к.

3) hello_html_33a9c3b.gif

Ответ: hello_html_m5df49ffe.gif

Задача 4. Объём шара hello_html_1df5115e.gif см3. Вычислите площадь поверхности шара.

hello_html_23df4a20.gif

Решение.

1)hello_html_m71d9fe7e.gif

2) hello_html_m20a2901.gif

3)

hello_html_8bfb42d.gif

4) hello_html_13fd8965.gif

Ответ: hello_html_201cda46.gif

Задача 5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.

hello_html_282e358a.png

Решение.

  1. hello_html_m603f02e9.gif, где S- площадь верхнего основания, S1 - площадь нижнего основания, hello_html_m74220a51.gif

  2. x=R1 – R=11-6=5 (см)

  3. найдём h по теореме Пифагора hello_html_m621b4d6e.gif (см)

  4. hello_html_m3fda5c8a.gif(см3)

ответ: V= 892 см3

Задача 6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см.

hello_html_m54ea8854.gif

Решение.

  1. hello_html_194b2983.gif

  2. hello_html_91f0e91.gif

  3. треугольник АВС – прямоугольный, АС=hello_html_m229c3c4c.gif смАО=ОС=hello_html_32aec3a2.gif

  4. Н, высоту найдём из прямоугольного треугольника АОS, hello_html_m900768c.gif см

  5. V=hello_html_1a49e578.gif см3

Ответ: объём усечённого конуса равен hello_html_781befcb.gif см3

Задача 7. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.

hello_html_78435b1c.gif

Решение.

  1. hello_html_m34714c87.gif

  2. hello_html_m4615d009.gifдм3

Ответ: V=2800 дм3



Задача 8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра hello_html_3482da1f.gif

Решение.

  1. V=Sосн*Н=hello_html_47c0f753.gif

  2. Треугольник АСД – прямоугольный, по теореме Пифагора

hello_html_362e7da4.gif

  1. АД=2R R=6 см

  2. hello_html_9f4b9b9.gifсмі

Ответ: объём цилиндра равен hello_html_5593a331.gif см3

Задача 9. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.

hello_html_m456d0567.png

Решение.

  1. Vпар-да=авс

Vкуба3 Vпар-да=Vкуб (по условию)

  1. Vпар-да=15*36*50=27000 см3

  2. а=hello_html_m9c14744.gif

Ответ: а куба= 30 см.


Выполнить задания.

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 450. Найти боковое ребро параллелепипеда.

2. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB=AC=13см, BC=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Основание пирамиды hello_html_m4603d81b.gif- равнобедренный треугольник ABC, в котором hello_html_m73b581d4.gif. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найти тангенс двугранного угла при ребре AC.

4. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5см. Найти площадь боковой поверхности призмы.


5. Высота цилиндра равна 12см, а радиус основания – 10см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

6. Высота конуса равна 12см. Найти площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 600, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол в 300 .

7. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16см.

8. Сфера касается граней двугранного угла в 1200. Найти радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.


    1. Практическая работа на решение прикладных задач.


Выполнить задания.

      1. При взрыве заряда взрывчатого вещества воронка действия имеет вид конуса, где hello_html_347d141d.png- линия наименьшего сопротивления, а r-радиус воронки. Определить объем взорванной породы в пределах конуса разрыхления, если hello_html_347d141d.png=hello_html_m486534b1.png=1,5м.

hello_html_6d2bee23.png

      1. Сколько железнодорожных платформ грузоподъемностью 25 т каждая нужно для перевозки кучи угля, имеющего форму конуса с высотой Н=7,5 м, если плотность угля hello_html_m62c2f1ce.png=1300 кг/см3, а уголь естественного откоса hello_html_m4200101c.png=500?

hello_html_5a34ab3b.png

      1. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площади размером 2,5х 1,75 м, служащей для него. Найдите высоту резервуара.

      2. Кирпич размером 25х12х6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.

      3. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя (сторона) ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна hello_html_m6fb12f5e.png)?


    1. Подготовка презентаций на тему:

  • «Комбинации многогранников и тел вращения»

  • «Многогранники и тела вращения вокруг нас»


    1. Ответы на контрольные вопросы.


Ответьте на вопросы по теме: «Объёмы геометрических тел»


1. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса,hello_html_m53d4ecad.gif на плоскость основания называется:

А) образующей Б) высотой В) диагональю Г) диаметром

2. Гранью куба является: А) ромб Б) прямоугольник В) квадрат Г) параллелограмм

3.Сечение конуса, параллельной плоскости основания будет

А) круг Б) прямоугольный треугольник В) равнобедренный треугольник

4. Прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм называется:

А) куб Б) квадрат В) параллелепипедом Г) ромбом

5. Тело, состоящее из двух кругов, совмещенных параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов называется

А)цилиндром Б) конусом В) шаром Г) сферой

6. Объём усеченной призмы равен :

А) hello_html_7e26ba20.gif Б) hello_html_6723bc8.gif В) V=abc Г) hello_html_103d3b45.gif

7. Объём наклонной призмы равен:

А) V=abc Б) нет верного ответа В)V=SH Г) V=a3

8. Объём шара выражается формулой:

А) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7450cb77.gif Б) hello_html_m31ed3d1b.gif В) hello_html_m67183bb8.gif Г) hello_html_m3e9e247f.gif

9. Объём конуса можно вычислить по формуле:

А)hello_html_10ec237d.gif Б) hello_html_62bd2049.gif В) hello_html_28c6b288.gif Г) hello_html_43d4fb4c.gif

10. Объём цилиндра вычисляется с помощью формулы:

А) V=abc Б) hello_html_103d3b45.gif В) hello_html_m26d3366c.gif Г) hello_html_m2856f91d.gif

11. Прямая призма, в основании которой правильный многоугольник называется :

А) многогранником Б) параллелепипедом В) правильной Г) додекаэдром

12. Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от данной точки, называется:

А) сфера Б) шар В) окружность Г) эллипс

13. Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания, называется:

А) касательной Б) диаметром В) высотой Г) образующей

14. Границей шара является : А) сфера Б) круг В) радиус Г) овал

15. Тело, состоящее из круга и точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга, называется:

А) цилиндром Б) усечённым конусом В) конусом Г) шаром

16. Объём усечённого конуса выражается формулой:

А) hello_html_5ad638a3.gif Б) hello_html_m284bc753.gif В) hello_html_62bd2049.gif Г) V=abc

17. Объём параллелепипеда можно найти по формуле:

А) V=ab Б) V=ac В) V=bc Г) V=abc

18. Объём прямой призмы равен:

А) hello_html_m284bc753.gif Б) hello_html_4c8bb733.gif В) hello_html_103d3b45.gif Г) hello_html_m26d3366c.gif



ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ


Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о событиях и их видах;

- о вероятности события;

- об анализе информации статистического характера;

- о реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм и графиков;

- о задачах математической статистики.

Знать:

- определение вероятности события;

- теоремы сложения и умножения вероятностей;

- законы распределения случайной величины;

- формулу Бернулли;

- элементы математической статистики;

- понятие о законе больших чисел.

Уметь:

- находить вероятность события, сложение и умножение вероятностей;

- находить числовые характеристики дискретной случайной величины;

- представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

- решать практические задачи с применением вероятностных методов.

Виды самостоятельной работы студентов.

      1. Работа над учебным материалом.


  • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 209-238.

  • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 217-227.

  • Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа, 2005 г., стр. 374-391.


      1. Решение задач и упражнений по образцу

Задача 1. На входной двери имеется замок c 10 цифрами на кнопках. Для того, чтобы открыть замок, необходимо нажать три кнопки так, чтобы цифры на них составили определенное число. Найти вероятность того, что замок откроют с первой попытки.

Решение. Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности: hello_html_m11f5a88c.png, где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов.
hello_html_m49cfcc2.png- число различных кодовых комбинаций (первая цифра любая от 0 до 9, вторая цифра любая от 0 до 9 и третья цифра любая от 0 до 9).
hello_html_1d24cee3.png- только одна комбинация (число) верная.
Тогда вероятность открыть замок равна: hello_html_5e4fb889.png.

Задача 2. В урне 10 пронумерованных бочонков с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого бочонка не превосходит 2?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого бочонка не превосходит 2). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу бочонков с номерами не более 2 (то есть 1 и 2), поэтому m=2. Общее число исходов n=10. Следовательно, hello_html_6a599817.png.

Задача 3. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика.

Решение

Событие A - будут дежурить 2 мальчика.
В классе всего 21 чел. , выбрать двоих можно

hello_html_m428c8c0f.pngспособами.
Мальчиков 7, двоих из них можно выбрать

hello_html_438c6d19.pngспособами.
Тогда вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика равна

hello_html_m60aef4b3.png

Задача 4. После измерения массы тела 100 женщин тридцати лет получили следующие данные:

интервал

Середина интервала

m

60-65

62,5

14

65-70

67,5

33

70-75

72,5

29

75-80

77,5

14

80-85

82,5

7

85-90

87,5

3

hello_html_3758d75a.gif

Графическим изображением интервального вариационного ряда является гистограмма частот. Для ее построения на оси х откладывают интервалы шириной h, на каждом интервале строят прямоугольник высотой m.

Вычисление среднего значения массы тела женщин 30 лет. Х=(62,5•14+67,5•33+72,5•29+77,5•14+82,5•7+87,5•3)/ 100=71,3.


Задача 5. На рисунке приведен полигон частот некоторого ряда данных. Составьте таблицу частот и найдите объем, размах, среднее арифметическое, моду и медиану.

.hello_html_m6af0afcc.gif

Решение. На полигоне частот отмечены точки с координатами: (1;22), (2;26), (3;16), (4;25), (5;20). Все возможные варианты располагаются по оси ОХ, а их частоты по оси ОУ, поэтому таблица частот будет выглядеть так:

Варианта

1

2

3

4

5

Частота

22

26

16

25

20

Объем выборки равен количеству вариант выборки, т. е. 22+26+16+25+20=109. Размах выборки равен разности наибольшей и наименьшей варианты, т. е. 26 – 16=10. Среднее арифметическое находится как частное суммы всех вариант выборки и объема выборки, т. е.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_48d661ef.gif

Мода – это наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Поэтому мода равна 2.

Медиана – это серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины. Так как объем выборки не четное число, то медиана равна значению центрального члена упорядоченного ряда.

hello_html_m5611c08b.gif, т. е. значению 55 члена ряда. Значит медиана равна 3.

Задача 6. Для учеников 8-го класса составили распорядок дня и получили такую таблицу:


Занятие

сон

учебное время

отдых

домашнее задание

дорога в школу

Время в часах

8

6,5

4

2

0,5

Постройте круговую и столбчатую диаграмму по данным таблицы.

Решение.

Находим центральные углы, соответствующие данным таблицы. Полный оборот радиуса вокруг центра круга равен 360º - это соответствует 24 часам. Тогда 8 часам будет соответствовать угол 360º·8/24=120º. Таким же способом находим другие углы:

3hello_html_41dcaf9c.gif60º·6,5/24=97,5º

360º·2/24=30º

360º·4/24=60º

360º·0,5/24=7,5º.

Затем строим эти углы в круге и получили круговую диаграмму, отражающую расход времени учеников 8 класса.

Изобразим столбчатую диаграмму для этой задачи

Количество часов потраченных на какое-либо занятие – это частота, она определяет высоту столбцов диаграммы.


hello_html_m17e54b88.gif


Выполнить задания.

1.В ящике находятся 3 белых, 5 черных и 6 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: а) белый и черный; б) желтый; в) не белый?

2. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что на одной кости выпало 3 очка, а на другой – четное число очков?

3. В урне 6 белых шаров, 11 – черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

4hello_html_77edf6e2.gif.На рисунке приведена столбчатая

диаграмма распределения количества учеников разных классов участвовавших в зарнице с помощью столбчатой диаграммы ответьте на вопросы:

а) Сколько учеников 11 класса участвовало в зарнице?

б) Сколько учеников 7 класса участвовало в зарнице?

в) Каковы размах, мода и объем данного ряда?

г) Составьте таблицу частот упорядоченного ряда.

5.По данному упорядоченному ряду 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5 составьте таблицу частот, круговую диаграмму, столбчатую диаграмму и полигон. Найдите для каждого упорядоченного ряда объем, размах, среднее арифметическое, моду и медиану.

6. Учитель подсчитал, сколько раз за четверть ученики класса пропускали уроки математики, и у него получилась следующая таблица:

Аникеев

6

Макаров

7

Барышникова

8

Романов

3

Волкова

5

Тютин

10

Вьюгин

2



Гусев

12

Дремина

4


Ермолаев

11


Какое из графических представлений данных целесообразно использовать для сравнительного анализа результатов и почему?


      1. Подготовка докладов на тему:

  • «Из истории развития теории вероятностей»

  • «Задачи математической статистики».


Критерии оценки внеаудиторной самостоятельной работы студентов


Качество выполнения внеаудиторной самостоятельной работы студентов оценивается посредством текущего контроля самостоятельной работы студентов. Текущий контроль СРС – это форма планомерного контроля качества и объема приобретаемых студентом компетенций в процессе изучения дисциплины, про­водится на практических занятиях и во время консультаций преподавателя.

Максимальное количество баллов «отлично» студент получает, если:

  • обстоятельно с достаточной полнотой излагает соответ­ствующую тему, оформляет решение задачи;

  • дает правильные формулировки, точные определения, понятия терминов;

  • может обосновать свой ответ, привести необходимые примеры;

  • правильно отвечает на дополнительные вопросы, имеющие целью выяснить степень понимания студентом данного материала.

Оценку «хорошо» студент получает, если:

  • неполно, но правильно изложено задание;

  • при изложении были допущены 1-2 несущественные ошибки, которые он исправляет после замечания преподавателя;

  • дает правильные формулировки, точные определения, понятия терминов;

  • может обосновать свой ответ, привести необходимые примеры;

  • правильно отвечает на дополнительные вопросы, имеющие целью выяснить степень понимания студентом данного материала.

Оценку «удовлетворительно» студент по­лучает, если:

  • неполно, но правильно изложено задание;

  • при изложении была допущена 1 существенная ошибка;

  • знает и понимает основные положения данной темы, но
    допускает неточности в формулировке понятий и решении заданий;

  • излагает выполнение задания недостаточно логично и последовательно;

  • затрудняется при ответах на вопросы.

Оценка «неудовлетворительно» студент получает, если:

  • неполно изложено задание;

  • при изложении были допущены существенные ошибки, т.е. если оно не удовлетворяет требованиям, установленным преподавателем к данному виду работы.


Заключение


Самостоятельная работа всегда завершается какими-либо результатами. Это выполненные задания, упражнения, решенные задачи, написанные сочинения, заполненные таблицы, построенные графики, подготовленные ответы на вопросы.

Таким образом, широкое использование методов самостоятельной работы, побуждающих к  мыслительной и практической деятельности, развивает столь важные интеллектуальные качества человека, обеспечивающие в дальнейшем его стремление к постоянному овладению знаниями и применению их на практике.



Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основная литература по всем разделам:


  1. Баврин И.И. Математический анализ: учебник.– М.: Высш.шк., 2006

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2008.

  3. Богомолов, Н. В. Математика : учеб. Для ссузов. - М. : Дрофа, 2008.

  4. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник. - М.: Высш.шк., 2007.

  5. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. Сред. Проф. учреждений. – М.: Издательский центр «Академия», 2005.

  6. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы.- М.: Форум, 2005.



Дополнительные источники:


  1. Богомолов, Н. В. Сборник задач по математике . - М. : Дрофа, 2007

  2. Выгодский М.Я Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 2007

  3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа. – 1980

  4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа. – 1980

  5. Омельченко, В. П. Математика. - Ростов на Дону : Феникс, 2008.

  6. Филимонова Е.В. Математика: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – Ростов н/Д: Феникс, 2005.

  7. Щипачев В.С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2007

  8. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2007



Интернет-ресурсы:
  1. http://siblec.ru – Справочник по высшей математике.

  2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, курсовые. примеры решения задач, интегралы и производные. дифференцирование, производная и первообразная, электронные учебники.

  3. www.newlibrary.ru – Новая электронная библиотека.

  4. www.mathnet.ru – Общероссийский математический портал.

  5. www.edu/ru - Федеральный портал российского образования.

www. matburo.ru – Матбюро: решение задач по высшей математике.

Приложение 1


Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности, произведения и частного


Везде далее будем рассматривать только целые числа.

Определение Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а = bc. При этом число c называется частным от деления а на b.

Обозначения: hello_html_64d7ffbb.gif - а делится на b или bab делит a

Рассмотрим простейшие свойства делимости.

Для любых целых чисел a, b, c справедливы:

Теорема 1. Если hello_html_64d7ffbb.gif и с – частное от деления, то с – единственное.

Теорема 2. hello_html_m4c37822.gif

Теорема 3. Если hello_html_64d7ffbb.gif и hello_html_32950e4e.gif, то hello_html_meb7b1d3.gif.

Теорема 4. Если hello_html_64d7ffbb.gif и hello_html_m21bc04ed.gif, то или a=b, или a= -b.

Теорема 5. Если hello_html_64d7ffbb.gif и hello_html_m8024d84.gif, то а=0.

Теорема 6. Если hello_html_64d7ffbb.gif и а0, то hello_html_m114d014.gif.

Теорема 7. Для того чтобы hello_html_64d7ffbb.gif необходимо и достаточно чтобыhello_html_4ced61e2.gif.

Замечание. На основании теоремы 1.8. в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.

Теорема 8. Если hello_html_36caa867.gif, то hello_html_m7fecb2fe.gif.

Теорема 9. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на некоторое число с, то и к-ое слагаемое делится на с.


Деление с остатком

Пусть a, b hello_html_m45d82c2a.gif, число b не равно нулю, говорят что hello_html_64d7ffbb.gifс остатком, если существуют такие числа q и r, что выполняются следующие условия:

      1. a = bq + r

      2. hello_html_5deaed3f.gif

Пример. hello_html_mc4f7f49.gif2), q = 1, r = 2, т.к. 6 = 4∙1+2, hello_html_333bc555.gif

Теорема 10. (о делении с остатком).

Для любых a, b hello_html_m45d82c2a.gif таких что b не равно нулю существует единственная пара чисел q и r, такая что a = bq + r, hello_html_5deaed3f.gif.


Сравнения по данному модулю


Определение. Целые числа hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gifназываются равно остаточным

и при делении на целое число hello_html_17aa43f7.gif, если остаток от деления hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif на hello_html_17aa43f7.gif равны.

Пример. 1) 5 и 56 равноостаточные при делении на 7.

2)–17; 3; 15 равноостаточные при делении на 4.

Теорема 11. Для того чтобы числа hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif были равно остаточными при делении на целое число hello_html_17aa43f7.gif, необходимо и достаточно, чтобы hello_html_8d96243.gif.

Следствие. Если числа hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif равноостаточны при делении на hello_html_17aa43f7.gif и hello_html_427dc190.gif , то hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif равноостаточны при делении на hello_html_m3eb4d443.gif .

Замечание Равноостаточные при делении на hello_html_17aa43f7.gif числа hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif называются также сравнимыми по модулю hello_html_17aa43f7.gif. Это обозначается так:

hello_html_m714bbab4.gif.

Эта форма записи называется еще сравнением.

Замечание Теоремы 6.2. и 6.3. можно сформулировать на языке сравнений, а именно:

Теорема 12. hello_html_m714bbab4.gifтогда и только тогда, когда hello_html_8d96243.gif.

Следствие Если hello_html_m714bbab4.gif и hello_html_427dc190.gif, то hello_html_mb13a846.gif.

Рассмотрим основные свойства сравнений.

6.1. hello_html_m3e151293.gif (рефлексивность).

6.2. Если hello_html_m714bbab4.gif, то hello_html_m37db99a.gif(симметричность).

6.3. Если hello_html_m714bbab4.gif, hello_html_72975227.gif, то hello_html_m22944541.gif(транзитивность)

6.4. Если hello_html_m714bbab4.gif и hello_html_m14f26ece.gif,то hello_html_5177df77.gif.

6.5. Если hello_html_m3f9e152b.gif и hello_html_m14f26ece.gif, то hello_html_m38dcf9e9.gif.

6.6. Если hello_html_m714bbab4.gif, то при любом натуральном hello_html_m601acf03.gifhello_html_1b58d0b2.gif.

6.7. Если hello_html_m280d1cca.gif и hello_html_114b2a73.gif, то hello_html_m714bbab4.gif.

6.8. Если hello_html_m5dc17f16.gif, то hello_html_m714bbab4.gif.

В теории сравнений играет важную роль теорема Ферма.

Теорема 13. (Эйлера) Пусть наибольший общий делитель чисел a и m равен 1hello_html_ma8158e.gif, где m hello_html_m4d873f45.gif, a hello_html_m45d82c2a.gif, тогда hello_html_6ab2efdc.gif (mod m).

Теорема 14. (Ферма) Если целое число а не делится на простое число hello_html_2489d00d.gif , то hello_html_47c98b42.gif.

Комплексные числа


Определение 1.

Комплексными числами называют выражения вида A+B·i, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+B·i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2+3·i равна 2, а мнимая равна 3.

Итак:

  1. Если А = 0, В ≠ 0, то A+B·i = B·i – чисто мнимое число.

  2. Если А ≠ 0, В = 0, то A+B·i = А – комплексное число является действительным.

  3. Если А = 0, В = 0, то A+B·i = 0 – единственное число, которое является и действительным и мнимым.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+B·i и C+D·i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.


Модуль комплексного числа


Если Z=A+B·i, то - Z= - AB·i – число противоположное Z.

Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. Сопряженным с Z называется комплексное число AB·i, которое обозначаетсяhello_html_15e79cb6.gif, т.е.

hello_html_15e79cb6.gif=hello_html_4d3fe3e3.gif=AB·i.

Отметим, чтоhello_html_m68965dbe.gif= A+B·i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство hello_html_m1061a742.gif=Z.

Определение 2.

Модулем комплексного числа Z=A+B·i называется число hello_html_m2e702148.gif и обозначается hello_html_27447f20.gif, т.е.

hello_html_27447f20.gif=hello_html_65b59b71.gif=hello_html_m2e702148.gif (1)

Из формулы (1) следует, что hello_html_m4c664412.gif для любого комплексного числа Z, причем hello_html_m18bafedf.gif=0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

hello_html_m770a626.gif


Сложение и умножение комплексных чисел


  1. Суммой двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (A+C) + (B+D)·i, т.е. (A+B·i) + (C+D·i)=(A+C) + (B+D)·i

Пример.

hello_html_6862b0ac.gif

  1. Произведением двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (A·CB·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.

(A + B·i)·(C + D·i)=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i


Вычитание и деление комплексных чисел


  1. Разностью двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (AC) + (BD)·i, т.е. (A+B·i) - (C+D·i)=(AC) + (BD)·i

  2. Частным двух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число, которое находится по формуле

hello_html_504a95b5.gif

Т.е.

hello_html_m17346149.gif


Тригонометрическая форма комплексных чисел


Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль hello_html_33818cff.gif= r и аргумент следующим образом:

A= r·cos ; B= r·sin.

Число Z можно записать так:

Z= r·cos+ i·hello_html_33818cff.gif·sin = r·(cos + i·sin)

Z = r·(cos + i·sin) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r =hello_html_33818cff.gif– модуль комплексного числа.

Число называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Zhello_html_64a13c2c.gif0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Как уже говорилось выше hello_html_33818cff.gif= r =hello_html_23107414.gif, равенство (2) можно записать в виде

A+B·i=hello_html_23107414.gif·cos + i·hello_html_23107414.gif·sin, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cos =hello_html_3cb979cd.gif, sin =hello_html_4b4e601c.gif

Произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z1Z2= r1·r2[cos(1 + 2) + i·sin(1 + 2)]

Вообще для любого комплексного числа Z= r·( cos + i·sin)hello_html_64a13c2c.gif0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Zn =[ r·(cos + i·sin)]n= rn·( cosn+ i·sinn),

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

hello_html_4761fbf7.gif

Число Z называется корнем степени n из числа ( обозначается hello_html_m75705ae0.gif), если Zn=.

все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK=hello_html_m3de78299.gif[cos(hello_html_m1f96b4b.gif) + i·sin(hello_html_m1f96b4b.gif)], k

Формулу называют второй формулой Муавра.


1) Основные понятия теории многочленов. Действия с многочленами.

Определение 1. Одночленом называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных, и их произведения и не содержит никаких других действий над числами.

Например, выражения 5х30,4у, -3ab2 2/3xy5, -1,7х3у5а являются одночленами, а выражения 3с – а, 2ху/с одночленами не являются.

Введем понятие многочлена через алгебраическую сумму.

Определение 2. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.

Например, 3х2 +4х - 7, 5ma + 2x3 + 18 являются многочленами, тогда как выражения х у , a + b многочленами не являются.

х2 + 3у4 – 8 3(x + y)

Введём следующие определения.

Определение 3. Подобными членами многочленов называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Если в многочлене все одночлены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то полученный многочлен называется многочленом стандартного вида.

А теперь дадим более широкое определение многочлена.

Определение 4. Многочлен с одной переменной х – это выражение вида

a0xn + a1xn-1+… an-1x+ an , где n – любое натуральное число или 0, коэффициенты a0, a1, … an-1 , an – любые действительные числа. Выражения a0xn, a1xn-1, an-1x , an называют членами многочлена. Число n называется степенью многочлена. Коэффициент при наибольшем показателе степени х многочлена называется старшим коэффициентом многочлена f(x), а слагаемое, не содержащее х, называется свободным членом.

Определение 5. Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая степень одночлена, входящего в состав данного многочлена.


2) Значения и корни многочленов. Схема Горнера

Пусть у нас дан многочлен a0xn + a1xn-1+ … + an-1x+ an.

Определение. Число с называется корнем многочлена f(х), если значение многочлена при х = с равно нулю.

Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени. Для любого натурального числа п можно указать многочлены степени n, имеющие ровно n корней.

Например, многочлен f(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)…(x – n) имеет n корней, которыми будут являться числа 1, 2, 3, ... , n.

В тоже время существуют многочлены, число корней которых меньше их степени. Так многочлен (х2 +1), степень которого равна 2, вообще не имеет корней из множества действительных чисел.

Обсудим теперь понятие равенства многочленов. Если мы смотрим на многочлен как на формальное выражение с переменной х, то естественно считать, что два многочлена равны, если они имеют одинаковую степень и соответствующие их коэффициенты равны. Такое равенство многочленов называется равенством в алгебраическом смысле, то есть если:

f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + an-1x+ an

и

g(x) = a0xm + a1xm-1+ … + am-1x + am , и многочлены f(x) и g(x) равны, то m = n и a0 = b0, …, an = bn.

Однако на многочлен

f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + an-1x+ an

можно смотреть, как на функцию. Но тогда можно говорить о равенстве двух многочленов как о равенстве двух функций. Известно, что две функции называются равными, если они имеют одну и ту же область определения и каждому числу из этой области определения обе функции ставят в соответствие одно и то же число. Равенство многочленов, понимаемое в этом смысле, будем называть равенством в функциональном смысле. Если многочлены f(x) и g(x) равны, то для любого c R имеем f(с) = g(с).

Итак, мы располагаем двумя понятиями о равенстве на множестве многочленов. Эти определения понятия равенства многочленов эквивалентны. Иначе говоря, если два многочлена равны в алгебраическом смысле, то они равны и в функциональном смысле, и обратно.

Для решения задач важно запомнить:

  • Значение f (0) равно свободному члену многочлена;

  • f (1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемой схемой Горнера – по имени английского математика 16 века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена f = 2x4 – 9x3 – 32x2 – 57 при х = 7, строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент «дублируется» во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой нужно заполнить.



2

- 9

- 32

0

- 57

7

2





Это делается по единому правилу: стоящее слева от заполняемой клетки число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над ней. Поэтому в первой пустой клетке получится 2 ∙ 7 + (-9) = 5, во второй - 5 ∙ 7 + (-32) = 3, в третьей 3 ∙ 7 + 0 = 21 и в последней - 21 ∙ 7 + (-57) = 90. Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:



2

- 9

- 32

0

- 57

7

2

5

3

21

90

Такие вычисления приводят к ответу: f (7) = 90 – это последнее число второй строки.

hello_html_324b4e21.gif

hello_html_78c70c4c.gif

hello_html_m443e86d8.gif

hello_html_f20b055.gif

hello_html_m422e6de.gif


Приложение 2


Преобразование графиков функций

hello_html_5bc43d5c.gif

hello_html_13abba0c.gif

hello_html_m430a97ce.gif

hello_html_m2f328a7.gif

hello_html_m44daf42.gif

hello_html_m42b00dc3.gif

hello_html_mcdec1c6.gif

hello_html_24febdb2.gif


Краткое описание документа:

Студент в процессе обучения должен не только освоить учебную программу, но и приобрести навыки самостоятельной работы. Студенту предоставляется возможность работать во время учебы более самостоятельно, чем учащимся в средней школе. Студент должен уметь планировать и выполнять свою работу.

      Исходя из объемов максимальной и обязательной учебной нагрузки, на самостоятельную работу по дисциплине « Математика» отводится 145 часов. Самостоятельная внеаудиторная работа выполняется студентами по заданию преподавателя, но  без его непосредственного участия. Руководством для выполнения заданий служат учебные пособия, интернет-ресурсы.

Для организации самостоятельной работы необходимы следующие условия:
-готовность студентов к самостоятельному труду;
- наличие и доступность необходимого учебно-методического и справочного материала; 
- консультационная помощь.

Формы самостоятельной работы студентов определяются  при разработке рабочих программ учебных дисциплин содержанием учебной дисциплины, учитывая степень подготовленности студентов. 

Автор
Дата добавления 19.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров716
Номер материала 135812
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх