1234325
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами»

Методические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами»

IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Идёт приём заявок Для дошкольников и учеников 1-11 классов 16 предметов ОРГВЗНОС 25 Р. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Методические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами».


Мы остановимся на особенностях решения геометрических задач векторным и координатным методами.

Сущность векторного и координатного методов решения геометрических задач практически одна: геометрическая задача полностью переводится на язык алгебры и дальнейшее ее решения сводится к решению уравнений, неравенств или их систем.

Главное при решении геометрических задач координатным методом – удачный выбор системы координат – выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задачи. Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.


Задача. В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. На радиусе ОВ взята точка К так, что ОК=ОВ, ОМ=hello_html_m1b704854.gifОD. Доказать, что точка пересечения прямых СК и АМ расположена на данной окружности.

hello_html_m565b929d.png

Решение.

Решается координатным методом.

1) За оси координат выбираем прямые AB и CD. Пусть R=1; тогда К(hello_html_m5f640c3e.gif;0); М(0;-hello_html_m1b704854.gif); С(0;1); А(-1;0) и т.д.

2) Составим уравнение прямой СК и АМ

y = 1-3x ; y = - hello_html_m1b704854.gif-hello_html_m7af5b2e5.gif

3) hello_html_478a14f8.gifhello_html_6f6195ac.gif

CKAM=Phello_html_743bb207.gif

hello_html_mca787ba.gif, найденная точка лежит на окружности.


Задача: на стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ=2СМ. Точки K и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что АК=2СК, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок АМ?

hello_html_34c9d6e8.png

Решение.

Векторным методом

АЕ:ЕМ=?

hello_html_13fb95e.gif ; hello_html_m5781957e.gif (для краткости)

Пусть hello_html_m756fcabf.gif ; hello_html_149b9c9.gif

Имеем:hello_html_143f77b9.gif

hello_html_m3255f7ae.gif, а с другой стороны,

hello_html_m6941397c.gif

Ввиду единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, получим систему уравнений:

hello_html_6a0a4372.gif х = hello_html_171d2c54.gif, значит АЕ:ЕМ = 3:7



Смешанное решение задачи (координатным и векторным методом).


Задача: Дана окружность с центром в начале координат и точки А (2;0) ;

В(-2; 0) ; С(1;3). Прямые АС и ВС пересекают окружность вторично в точках R и S соответственно. Запишите уравнения окружности, проходящей через точки C, R, S,


  1. Алгоритм решения задачи координатным методом:

а) Составить уравнения прямых АС и ВС по двум его точкам;

б) вычислить координаты точек R и S как точек пересечения прямых АС и ВС с окружностью х2+y2=4 путем решения двух систем уравнений;

в) записать уравнения серединных перпендикуляров к отрезкам CR и CS;

г) найти координаты их точки пересечения – цента М искомой окружности.

д) вычислить радиус r = МС;

е) записать уравнение окружности (М; r)

II. Смешанное решение.

Так как отрезок АВ – диаметр данной окружности, то отрезки AS и ВК являются высотами ∆АВС и пересекаются в точке H.

Окружность (М; r) проходящая через точки C, R, S, пройдет так же через H. Значит, М – середина НС.

Прямые, содержащие высот треугольника, пересекаются в одной точке, т.е. Н = ASCC1, где CC1АВ.

CC1 имеет уравнение х=1

Прямая AS проходит через точку А (2; 0) перпендикулярно ВС =(3; 3) и имеет уравнение х + у – 2 = 0

Значит, Н (1; 1), а М – середина отрезка НС, М (1; 2).

Уравнение окружности имеет вид:

(х – 1)2 = (у – 2)2 = 1

Это решение не только упростило вычисления, но и позволило применить изученные ранее теоремы из других разделов.


Задача: Дано hello_html_66048315.gif. Определите вид треугольника АВС.

hello_html_m629c626d.png

Решение.

Рассмотрим 3 способа решения векторным методом

I способ.

Представив hello_html_m50e9af9a.gif, получим:

hello_html_m2dcb917d.gif,

hello_html_m1a408510.gif,

hello_html_51b391d7.gif, следовательно hello_html_m71d4988f.gifhello_html_m6f8548e1.gif, т.е.


II способ

Из определения скалярного произведения векторов и данного равенства следует, что hello_html_m69a85b88.gif , или hello_html_7d53ac22.gif (1)

Проведем ВС1АС, тогда hello_html_30fc2770.gif (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), видим, что hello_html_m79e09dba.gif, т.е ÐС=ÐС1= 90, следовательно, ∆АВС – прямоугольный


Решение задач различными способами повышает интерес к изучению математики в целом. Не обязательно всегда записывать все способы решения, но намечать различные подходы важно и в воспитательном и в общеобразовательном отношениях.

Итог: рассмотрели два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, - чертеж плюс метод.



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Мы остановимся на особенностях решения геометрических задач векторным и координатным методами.

Сущность векторного и координатного методов решения геометрических задач практически одна: геометрическая задача полностью переводится на язык алгебры и дальнейшее ее решения сводится к решению уравнений, неравенств или их систем.

 

Главное при решении геометрических задач координатным методом – удачный выбор системы координат – выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задачи. Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.

ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку
IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Для дошкольников и учеников 1-11 классов Рекордно низкий оргвзнос 25 Р. 16 предметов ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.