Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Тесты / Методические рекомендации по выполнению ВСР по дисциплине математика

Методические рекомендации по выполнению ВСР по дисциплине математика



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Предисловие


Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика». Предназначены для обучающихся по специальностям: 19.02.10 Технология продукции общественного питания, 35.02.07 Механизация сельского хозяйства (профильный уровень).

Цель методических указаний: оказание обучающимся в выполнении самостоятельной работы по дисциплине «Математика».

Настоящие методические указания содержат задания с разбором решения, а также задания для контроля с ответами, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями по всем темам курса.





Раздел 1

Вычисление определителей 4-го порядка

Вычислить определитель 4-го порядка

http://matica.org.ua/images/stories/Laiag/image183.gif.

Указание:

Преобразуйте определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю.


Решение:

Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством 6. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный +1. Выберем в качестве такого элемента А13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:

А) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;

Б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;

В) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки

(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда

http://matica.org.ua/images/stories/Laiag/image184.gif

Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:

http://matica.org.ua/images/stories/Laiag/image185.gif

Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:

http://matica.org.ua/images/stories/Laiag/image186.gif

И разложим этот определитель по 1-й строке:

http://matica.org.ua/images/stories/Laiag/image187.gif

Ответ: Δ = -9.





Задания.

  1. http://www.webmath.ru/poleznoe/images/matrix/formules_831.png

  2. http://www.webmath.ru/poleznoe/images/matrix/formules_837.png

  3. http://www.mathprofi.ru/i/svoistva_opredelitelya_ponizhenie_poryadka_opredelitelya_clip_image018.gif

  4. http://www.krugosvet.ru/images/1001531_image034.gif

  5. http://matica.org.ua/images/stories/Laiag/image188.gif









Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица http://pers.narod.ru/study/methods/2.files/image011.gif. Тогда решение СЛАУ записывается в виде: http://pers.narod.ru/study/methods/2.files/image012.gif. Следовательно, решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей.Таким образом, задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы.

Пример:

hello_html_1eda7ca8.gif


Решение:


A=

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

2

-1

-1

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

3

4

-2


3

-2

4




B=

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

4

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

1


1




X=

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

x

1

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

x

2


x

3



A · X = B

значит

X = A-1 · B

Найдем детерминант матрици
А

det
A = 60

Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы
А

M1,1 = (-1)1+1

4

-2

-2

4


=

12


M1,2 = (-1)1+2

3

-2

3

4


=

-18


M1,3 = (-1)1+3

3

4

3

-2


=

-18


M2,1 = (-1)2+1

-1

-1

-2

4


=

6


M2,2 = (-1)2+2

2

-1

3

4


=

11


M2,3 = (-1)2+3

2

-1

3

-2


=

1


M3,1 = (-1)3+1

-1

-1

4

-2


=

6


M3,2 = (-1)3+2

2

-1

3

-2


=

1


M3,3 = (-1)3+3

2

-1

3

4


=

11



C* =

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

12

-18

-18

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

6

11

1


6

1

11




C*T =

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

12

6

6

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

-18

11

1


-18

1

11




Найдем обратную матрицу

A-1 =

C*T

=

det A


http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

1/5

1/10

1/10

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

-3/10

11/60

1/60


-3/10

1/60

11/60




Найдем решение

X = A-1 · B =

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

1/5

1/10

1/10

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

-3/10

11/60

1/60


-3/10

1/60

11/60



·

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

4

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

1


1



=

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/LS.GIF

1

http://ru.onlinemschool.com/pictures/matrix/RS.GIF

-1


-1




Ответ:

x1 =

1

,

x2 =

-1

,

x3 =

-1

.



Задания.

  1. hello_html_3764f863.gif

  2. hello_html_m1e332721.gif

  3. hello_html_m49627af6.gif

  4. hello_html_47b330a6.gif





Раздел 2

Вычисление пределов функций методом раскрытия неопределенностей.

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(\infty-\infty)

\left (\frac{\infty}{\infty} \right )

\left (\frac{0}{0} \right )

\left (~0^0 \right )

\left (1^\infty \right )

\left (\infty^0 \right )

(0\cdot\infty)

(Здесь ~0— бесконечно малая величина, а \infty— бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

а) при раскрытии неопределенности вида hello_html_6cc58827.gif числитель и знаменатель раскладываются на множители.

hello_html_m6c133859.gif

б) неопределенность вида hello_html_m206f0033.gif (числитель и знаменатель делится на x в старшей степени)

hello_html_m3def1a55.gif

в) неопределенность вида hello_html_49b22489.gif (эту неопределенность преобразуем к виду hello_html_38cc8e7c.gif)

hello_html_1f79d9d4.gifгде hello_html_m312c2ede.gif , тогда если hello_html_50254cd5.gif, то hello_html_m578727b.gif

г) неопределенность вида hello_html_2f4f146b.gif (раскрывается по второму замечательному пределу)

hello_html_7137740.gif

д) неопределенность вида hello_html_eb01824.gif (преобразуется к hello_html_m77e06bf7.gif)

Задания.

  1. hello_html_m7982ebd4.gifответ: 0

  2. hello_html_m3918b2ee.gifответ: 2

  3. hello_html_24c86aa0.gifответ:hello_html_m70550115.gif

  4. hello_html_2b01d6eb.gifответ:hello_html_75e229ed.gif

  5. hello_html_m58612797.gifответ: hello_html_m11fa625d.gif







Исследование на непрерывность показательных функций

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию : hello_html_c2deec3.gif

Решение: В точке hello_html_m1c7b9ae5.gif функция не определена, значит первое условие непрерывности нарушено – функция разрывна. Установим тип разрыва:

hello_html_m21c85da4.gif, т.к. hello_html_m7ce9ced8.gif

hello_html_6d69a3c8.gif, т.к. hello_html_m52daa8b0.gif

В точке hello_html_m1c7b9ae5.gif разрыв 2-го рода.

Задания.

Исследовать на непрерывность следующие функции:

  1. hello_html_m7add9d0d.gif

  2. hello_html_47e6e2d6.gif

  3. hello_html_14e17282.gif

Ответы: 1) х=0 – точка непрерывности; х=3 – точка разрыва 2-го рода.

2) х=0 – точка разрыва 2-го рода; х=2 – точка непрерывности.

3) х=-5 – точка разрыва 2-го рода; х=-3 – точка непрерывности.

Раздел 3

Нахождение дифференциала функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0 hello_html_2c7cb3dd.gif [a; b] определяется равенством

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture06/l06image066.gif.

Следовательно, по свойству предела

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture06/l06image068.gif

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f '(x0Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy и обозначают

dy = f '(x)·Δx

(1)

Пример:

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dxx. Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

dy = f '(x)dx

Задания.

Найдите дифференциалы функций:

  1. hello_html_65fd8497.gif

  2. hello_html_ab61be8.gif

  3. hello_html_263cc95a.gif

  4. hello_html_67f4f221.gif

  5. hello_html_6a8a3e88.gif

  6. hello_html_1b874903.gif

  7. hello_html_76148d2d.gif

  8. hello_html_m27586f47.gif

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям xx и yy на кривой y = f(x) будет соответствовать точкаhttp://www.toehelp.ru/theory/math/lecture06/l06image084.gif

M1(xx; yy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.


Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δydy или Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)f'(x0)·Δx.

Откуда



f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Пример:

y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Решение:

Имеем Δydy=f'(x)·Δx.

f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.

Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

Задания.

  1. Вычислить приближенно значение функции hello_html_m3baebb70.gif в точке hello_html_57ee6392.gif. Ответ: 2,031

  2. Вычислить ln 0,99. Ответ: -0,01

  3. Вычислить приближенно hello_html_m53627bd6.gif . Ответ: 0,515

  4. Вычилить приближенно hello_html_31131e70.gif в точке hello_html_m575a3ca2.gif



Раздел 4

Вычисление интегралов методом подстановки

Рассмотрим интеграл hello_html_m1efd0c22.gif . Пусть hello_html_m23ea1c46.gif, где hello_html_m3f32d1d0.gif – дифференцируемая функция. Тогда hello_html_m26b516f4.gif и hello_html_680017ed.gif.

Данный метод основан на удачно выбранной замене, после которой интеграл либо сразу, либо после нескольких действий сводится к табличному.

Примеры:

  1. hello_html_m2f922a5c.gif

hello_html_a09fe19.gif

  1. hello_html_m1ef6db04.gif

hello_html_m3bba90dd.gif

  1. hello_html_mf33a765.gif

hello_html_290f2fc3.gif

  1. hello_html_m4ea5b100.gif

hello_html_11b6ae7d.gif

  1. hello_html_m632e8ea3.gif

hello_html_5934cd0.gif

  1. hello_html_m3c9ebee0.gif

hello_html_m3d56f150.gif

Задания.

  1. hello_html_17a617e2.gifОтвет: hello_html_10b3fce1.gif

  2. hello_html_m47dc0fe9.gifОтвет: hello_html_2da92112.gif

  3. hello_html_m637b8be4.gifОтвет: hello_html_m38409f33.gif

  4. hello_html_m760bd381.gifОтвет: hello_html_52a0b8d2.gif

  5. hello_html_m2ba68989.gifОтвет: hello_html_24f87060.gif

  6. hello_html_63e37a05.gifОтвет: hello_html_m5dda000.gif

Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой hello_html_1afe8db4.gif

вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

hello_html_m20f95626.gif

Пример:

Вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями hello_html_m4398c718.gif .http://botaniks.ru/imgprimerizadach/vicheslinie_obema_tela_vrajeniya/2.jpg
Графики hello_html_m4398c718.gif пересекаются в точках x1=1 и x2=5.
http://botaniks.ru/imgprimerizadach/vicheslinie_obema_tela_vrajeniya/3.jpg

Задания.

Найдите объем тела вращения, образованного вращением:

  1. окружности hello_html_25df5a51.gif вокруг оси Ox. Ответ: hello_html_mf084b00.gif

  2. вокруг прямой hello_html_m38808435.gif фигуры, ограниченной линиями hello_html_m315ff8ca.gif Ответ: hello_html_1bcd2cb9.gif

  3. вокруг оси Ox линий hello_html_m4e5b1c.gif и hello_html_52b79347.gif между их точками пересечения Ответ: hello_html_m70b71713.gif

  4. вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями hello_html_m172febdf.gif и hello_html_6f34565d.gif

Ответ: hello_html_5b66baa0.gif

  1. вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями hello_html_md7d14d2.gif Ответ: hello_html_m2a11edd2.gif

  2. вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями hello_html_7be217ce.gif Ответ: hello_html_631dd881.gif



Раздел 5

Однородные ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду hello_html_3b6da2ff.gif.

С помощью подстановки hello_html_40286b98.gif однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример:

hello_html_111a884c.gif

Приведем данное уравнение к виду
hello_html_757dad62.gif

Полагая
hello_html_m1d0956e2.gif.

Подставив в исходное уравнение с разделяющимися переменными

hello_html_m13569729.gif

Подставив вместо hello_html_55a9d941.gif , окончательно получим общее решение hello_html_m454c30ef.gif

Задания.

  1. hello_html_m6e6bb261.gifОтвет: hello_html_m6523b5ea.gif

  2. hello_html_154cd24.gifОтвет: hello_html_2b82f380.gif

  3. hello_html_m67dbca59.gifОтвет: hello_html_ec9cb9e.gif

  4. hello_html_4223e563.gifОтвет: hello_html_m18e5fff0.gif



Уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид hello_html_m5207a844.gif.

Его можно свести к линейному подстановкой hello_html_3cd72e43.gif, и поэтому его можно решать как линейное ДУ первого порядка.

Пример:

Найти частное решение уравнения: hello_html_2199b6ea.gif, удовлетворяющее заданному начальному условию hello_html_m64e4924b.gif

Решение:

Данное уравнение есть уравнение Бернулли (n=-1). Пусть hello_html_mbdc15f1.gif. Подставив в исходное уравнение и сгруппировав, получим hello_html_m5dd6b655.gif

Полагая hello_html_m4bfc0ae.gif

Подставив в наше уравнение, имеем hello_html_m3b318a5b.gif или hello_html_1fb87dd3.gif

hello_html_m63a093d4.gif

Тогда общее решение исходного уравнения Бернулли имеет вид hello_html_m368c6571.gif

Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. при x=1 значение y=2. Подставив в общее решение, получим hello_html_32ca16ad.gif

Следовательно, искомое частное решение hello_html_215a9265.gif

Задания.

Решите задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений:

  1. hello_html_m7431be47.gifОтвет: hello_html_m747edf8b.gif

  2. hello_html_m41e6b4d3.gifОтвет: hello_html_m23dd0dd7.gif

  3. hello_html_m2ef4539c.gifОтвет: hello_html_2ed7bb41.gif

  4. hello_html_78ac6e6a.gifОтвет: hello_html_14e2ed68.gif

  5. hello_html_762e58ca.gifОтвет: hello_html_2327c01a.gif или hello_html_m43bccf44.gif

  6. hello_html_m68148d41.gifОтвет: hello_html_75e1971f.gif



Раздел 6.



Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.

Теорема. Пусть hello_html_7e6a603d.gif , z – комплексная переменная. Тогда квадратное уравнение hello_html_m15a1c344.gif имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле:

hello_html_m2178fd30.gif

Пример.

Решить уравнение http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image303.gif.

Решение:

Вычисляем дискриминант http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image304.gif

http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image305.gif. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа:

http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image306.gif

http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image307.gif.

Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image308.gifили http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image309.gif; http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image310.gif

Ответ: http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image311.gif

Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действительными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решить уравнение http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image312.gif.

Решение.

Вычислим дискриминант. http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image313.gif. Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем следствие из предыдущего п.6, смотри там же пример. Получаем:

http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image314.gif. Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения: http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image315.gif.

Ответ: http://fxdx.ru/site/fxdx_ru/uploads/ag2/image316.gif

Задания.

  1. hello_html_m29c7e67e.gif

  2. hello_html_m667e873e.gif




Раздел 7.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Пример:

В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимается наугад один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

Решение:

Пусть событие А – вынутый шар не белый.

Первый способ. hello_html_m29ca5bfc.gif

Второй способ. hello_html_32741ce6.gif, где событие K – вынутый шар красный; С – вынутый шар синий. hello_html_m5e934124.gif

Третий способ. hello_html_m54506ab.gif, где hello_html_258dabb7.gif – вынутый шар белый; hello_html_m492375c9.gif.

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых nодинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых событияА появляется с вероятностью р, вероятность появления событияА хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n

Пример:

Монету подбросили два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб.

Решение:

Рассмотрим события: А – первый раз выпадет герб, hello_html_3fd7eb8b.gif и B – второй раз выпадет герб, hello_html_m26bb4b54.gif.

События A и B независимы. Тогда hello_html_44c3b7c.gif.

Задания.

  1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку – с вероятностью 0,2, в восьмерку – с вероятностью 0,5. Сделан один выстрел. Какова вероятность следующих событий:

а) выбито не менее 8 очков; Ответ: 0,75

б) выбито менее 8 очков; Ответ: 0,25

в) выбито более 8 очков; Ответ: 0,25

г) выбито не более 8 очков. Ответ: 0,75

  1. То вар завозится в магазин с трех баз. Вероятности того, что нужный товар находится на первой, второй и третьей базах, равны соответственно: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что нужный товар есть:

а) только на одной базе; Ответ: 0,188

б) не менее чем на двух базах; Ответ: 0,788

в) хотя бы на одной базе. Ответ: 0,976

  1. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, перемешал буквы и разложил их вновь в производном порядке. Найдите вероятность того, что снова получится слово «ананас». Ответ: 0,0167

  2. В лифт семиэтажного дома вошло три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже. Ответ: 0,0046

  3. Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектом, берут на удачу 3 детали. Найдите вероятность того, что по крайней мере одна деталь без дефекта. Ответ: 0,9985

  4. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий – 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен ,если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса. Ответ: 0,954



Формула Бернулли

Предположим, что несколько одинаковых машин в одних и тех же условиях перевозят груз. Любая машина может выйти из строя при этих перевозках. Пусть вероятность выхода из строя одной машины не зависит от выхода из строя других машин. Это значит, что рассматриваются независимые события (испытания). Вероятности выхода из строя каждой из этих машин примем одинаковыми (http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=p).

Пусть, в общем случае, производится http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=nнезависимых испытаний. Ставится задача определения вероятности того, что ровно в http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=mиспытаниях наступит событие http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=A, если вероятность наступления этого события в каждом испытании равна http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=p. В случае с машинами это могут быть вероятности выхода из строя ровно одной машины, ровно двух машин и т.д.

Определим вначале вероятность того, что в первых http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=mиспытаниях событие http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=Aнаступит, а в остальных http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=n-mиспытаниях — не наступит. Вероятность такого события может быть получена на основании формулы вероятности произведения независимых событий

http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=P%20=%20p%5em*q%5e%7bn-m%7d,

где http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=q%20=%201%20-%20p.

Так как рассматривалась только одна из возможных комбинаций, когда событие http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=Aпроизошло только в первых http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=mиспытаниях, то для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число будет равно числу сочетаний из http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=nэлементов по http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=m, т.е. http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=C_n%5em.

Таким образом, вероятность того, что событие http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=Aнаступит ровно в http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=mиспытаниях определяется по формуле

http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=P_n(m)%20=%20C_n%5em%20p%5em%20q%5e%7bn-m%7d, (3.3)

где http://www.grandars.ru/images/1/review/id/594/14c761039a.jpg.

Формула (3.3) носит название формулы Бернулли.

Пример.

В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?

Решение.

По формуле Бернулли находим

http://www.grandars.ru/images/1/review/id/594/3e6be2cdb7.jpg

Задания.

  1. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найдите вероятность того ,что среди десяти автомобилей имеют некомплектность:

а) три автомобиля; Ответ: 0,2013

б) менее трех автомобилей Ответ: 0,6778

  1. В квартире имеется четыре электрические лампочки. Для каждой лампочки вероятность не перегореть в течение года равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее трех лампочек? Ответ: 0,016

  2. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,9. Считая опоздание поездов независимыми событиями, найдите вероятность того, что из пяти поездов опоздает не более одного.

  3. База заказала на некоторый день четыре автомобиля, имея шесть потребителей, каждый из которых делает по одному заказу в день, не зависимо друг от друга, с вероятностью 0,4. Определите вероятность того, что автомобилей не хватит для удовлетворения всех заказов. Ответ: 0,041

  4. Певец получит главный приз, если он победит по крайней мере в трех конкурсах. Найдите вероятность получения им приза, если было проведено пять конкурсов и вероятность победы певца в каждом конкурсе равна 0,7. Ответ: 0,837

  5. Вероятность того, что балка выдержит критическую нагрузку, равна 0,8. Испытывают 5 балок. Найдите вероятность того, что:

а) все выдержат нагрузку Ответ: 0,32768

б) три выдержат нагрузку Ответ: 0,2048

в) не менее двух выдержат нагрузку. Ответ: 0,99328



Рекомендуемая литература:



  1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.

  2. Математика: Задачник: учеб. пособие для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.

  3. Математика: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.

  4. http://math.semestr.ru/gauss/gauss.php

  5. http://matematikam.ru/calculate-online/predel-limit.php

  6. http://www.mathprofi.ru/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi.html

  7. http://math.semestr.ru/math/int.php

  8. http://www.cleverstudents.ru/differential_equations/differential_equations.html

  9. http://fxdx.ru/page/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-v-pole-kompleksnyh-chisel

  10. http://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par14






























44




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика». Предназначены для обучающихся по специальностям: 19.02.10 Технология продукции общественного питания, 35.02.07 Механизация сельского хозяйства (профильный уровень).

Цель методических указаний: оказание обучающимся в выполнении самостоятельной работы по дисциплине «Математика».

Настоящие методические указания содержат задания с разбором решения, а также задания для контроля с ответами, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями по всем темам курса.

 

 

 

 

Раздел 1

Вычисление определителей 4-го порядка

Вычислить определитель 4-го порядка

.

Указание:

Преобразуйте определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю.

 

Решение:

Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством 6. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный +1. Выберем в качестве такого элемента А13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:

А) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;

Б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;

В) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки

(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда

 

Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:

 

Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:

 

И разложим этот определитель по 1-й строке:

 

Ответ: Δ = -9.

 

 

Задания.

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

 

 

 

 

 

Автор
Дата добавления 24.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров323
Номер материала 574568
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх