ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

 

 

 

 

 

 

 

 

М.Д. Евдокимова

 

 

 

методические указания

для  практических занятий

по  дисциплине «Элементы высшей математики»

для студентов 2 курса

(специальность 230115 Программирование в компьютерных системах)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Семилуки

2014

 Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебное пособие содержит  указания для практических занятий по «Элементы высшей математики», являющейся естественно-научной дисциплиной. Методические указания составлены  в соответствии с рабочей программой  по дисциплине «Элементы высшей математики» и предназначены для студентов 2-го курса, обучающихся по специальности  230115 Программирование в компьютерных системах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© Евдокимова М.Д., 2014

©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

 

Введение

 

Методические указания для практических занятий по дисциплине «Элементы высшей математики» предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на лекциях, а также для овладения студентами умений и навыков применять эти знания при самостоятельной работе.

Перечень практических занятий соответствует рабочей программе по дисциплине «Элементы высшей математики»

 

Выполнение студентами практических занятий по дисциплине проводится с целью:

- закрепления полученных теоретических знаний по дисциплине;

- углубления теоретических знаний в соответствии с заданной темой;

- формирования умений решать практические задачи;

- развития самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования активных умственных действий студентов, связанных с поисками рациональных способов выполнения заданий;

- подготовки к экзамену.

 

Содержание заданий практической занятий ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах и овладению  профессиональными компетенциями:

 

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 1.7.в  Осуществлять разработку кода программного продукта для решения различных практических задач математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

В процессе освоения дисциплины у студентов должны формироваться общие компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОКЗ. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

 

-   выполнять операции над матрицами;

-   решать системы линейных уравнений;

-   решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;

-   применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

-   решать дифференциальные уравнения;

-   пользоваться понятиями теории комплексных чисел;

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

 

-   основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

-   основы дифференциального и интегрального исчисления;

-   основы теории комплексных чисел.

 

Вариативная часть

 

На изучение дисциплины отводятся 30 часов из вариативной части, необходимые для углубленного освоения «уметь», «знать» ФГОС:

 

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

 

-   применять методы дифференциального и интегрального исчисления функции двух переменных;

-   применять дифференциальные уравнения в науке и технике.

 

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания практической работы и сами задания.

Организация выполнения и контроля практических занятий по дисциплине «Математика» является подготовительным этапом к сдаче экзамена по данной дисциплине.

 

 

Нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся по математике

 

Оценка практических работ обучающихся по математике

 

Ответ оценивается отметкой «5», если:

-                       работа выполнена полностью;

-                       в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

-                       в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

 Отметка «4» ставится в следующих случаях:

-               работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

-               допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

-   допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

-   допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

-   работа показала полное отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий

Общая классификация ошибок

 

При оценке знаний, умений и навыков учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

-   незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

-   незнание наименований единиц измерения;

-   неумение выделить в ответе главное;

-   неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

-   неумение делать выводы и обобщения;

-   неумение читать и строить графики;

-   неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

-   потеря корня или сохранение постороннего корня;

-   отбрасывание без объяснений одного из них;

-   равнозначные им ошибки;

-   вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

-   логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести:

-   неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

-   неточность графика;

-   нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

-   нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

-   неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

-   нерациональные приемы вычислений и преобразований;

-   небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

 

Практическое занятие   №1

«Выполнение операций над матрицами»

 

Цели занятия:

1.                          Закрепить и проконтролировать умения выполнять операции над матрицами, находить значение матричного многочлена.

 

Содержание  дисциплины ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

 

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Операции над матрицами

 

1.Сложение и вычитание матриц определены только для матриц одинакового размера.

Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.  c_ij = a_ij ± b_ij.

2. Умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

3. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

Пример:

4. Транспонирование матрицы (обозначение: A^T) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Пример: Даны матрицы А = , В = , С =  и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

Решение: A^T = ;      A^TB = × =  = ;

aC = ;                                    А^ТВ+aС = + = .

Пример: Даны матрицы А =  и В = . Найти произведение матриц АВ и ВА.

Решение: АВ = × = .

ВА = × = (2×1 + 4×4 + 1×3) = (2 + 16 + 3) = (21).

 

Вариант 1

 

1.                       Вычислите матрицу D=(A-B)^т*С, где

    ;    ;     .

2.                       Найти значение матричного многочлена  f(A): 

3.                       Вычислите матрицу D=AB-2E, где

    ;   ;     Е – единичная матрица.

4.                       Найти произведение матриц:

Вариант 2

 

1.                          Вычислите матрицу D=A*(B+С), где

    ;    ;    

2.                          Найти значение матричного многочлена  f(A): 

3.                          Вычислите матрицу D=AB+4E, где

    ;    ;     Е – единичная матрица.

4.                          Найти произведение матриц:

 

 

Вариант 3

 

1. Вычислите матрицу D=A*(B-С)^Т, где

,,

2. Найти значение матричного многочлена f(A):

3. Вычислите матрицу D=AB+3E, где

    ;    ;     Е – единичная матрица.

4.Найти произведение матриц:

Вариант 4

 

1.  Вычислите матрицу D= ВА+В-А^Т:

,

2. Найти значение матричного многочлена f(A):

3. Вычислите матрицу D=AB-5E, где

    ;    ;     Е – единичная матрица.

4.Найти произведение матриц:

Практическое занятие №2

 «Вычисление определителей»

 

Цель занятия:

-            закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-            закрепить умения вычислять определители матриц различных порядков.

 

 

Теоретические сведения и методические указания к выполнению заданий

 

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Пример:

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Правило треугольников:

Пример:

Теорема Лапласа: Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число

.

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Пример: Вычислить данный определитель  четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:   

                                           

  Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем

  Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе  нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В  единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать  по второй строке:

Таким образом окончательно получим:        

 

Свойства определителей

 

1.                                                                                        При транспонировании матрицы определитель не меняется.

2.                                                                                        При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3.                                                                                        При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число. 

4.                                                                                        Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то      .

5.                                                                                        Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если:

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

- две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

 

 

Вариант 1

 

5.                          Решите уравнения:            а)          б)

2.   Вычислить определители:  а)  ;    б) .

3.    Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:

   а)   ; б) .

 

 

Вариант 2

 

5.                          Решите уравнение:        а)            б) 

2.    Вычислить определители:  а)  ;    б)  .

3.                           Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:

а) ;    б) .

 

 

Вариант 3

 

1.                          Решите уравнение:        а)               б)

2.  Вычислить определители:  а)  ;    б)   .

3.                          Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:

а) ;     б)

 

Вариант 4

 

1.                          Решите уравнение:       а)           б)

2.  Вычислить определители:  а)  ;    б)   

3.                          Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:

  а) ;     б)    .

    

Практическое занятие №3

 «Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы»

 

Цель работы:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения находить обратную матрицу;

-                              закрепить умения вычислять ранг матрицы.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

 

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал

 

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица  называется обратной к квадратной матрице  того же порядка, если , где - единичная матрица.

 

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1.  Вычислить определитель.

2.  Транспонировать матрицу.

3.  Вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы.

4.  Выписываем обратную матрицу по формуле

)

 

Пример: Найти матрицу обратную к , если .

Решение.  Прежде всего, вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для   существует обратная матрица.

Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем  . 

Вычислим последовательно элементы :

,  , ,  , , ,

,  ,  .

С учётом полученного, обратная к  матрица имеет вид

.

 

Ранг матрицы

Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора (наивысший порядок, отличных от нуля миноров).

Утверждение. Ранг матрицы не меняется 

      - при транспонировании матрицы.

      - при перестановке её строк и столбцов.

- при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.

      - при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).

      - при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей. 

      - при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

 

Пример. Найти ранг матрицы: .

Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

 

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

 .

Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

.

В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,

минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: . 

 

Вариант 1

1.Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:

2. Найти ранги матриц:

а)   б) 

3. Дана матрица А . Найти: а)АА^-1; б) А^-1А.

.

Вариант 2

1.Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:

2.Найти ранги матриц:

а)   б) 

3. Дана матрица А . Найти: а)АА^-1; б) А^-1А.

.

Вариант 3

1. Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:

2. Найти ранги матриц:

а)   б) 

3.  Дана матрица А . Найти: а)АА^-1; б) А^-1А.

.

Вариант 4

1. Определить имеет ли матрица: обратную, и если имеет ,то найти ее:

2. Найти ранги матриц:

а)    б)

3. Дана матрица А . Найти: а)АА^-1; б) А^-1А.

.

 

Практическое занятие №4

«Решение систем линейных уравнений различными методами»

 

Цель занятия:

-      закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-      закрепить умения решать системы линейных уравнений различными методами;

-      закрепить умения решать матричные уравнения;

-      закрепить умения находить общее решение системы линейных уравнений.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретические сведения и методические указания к выполнению заданий

Метод Крамера

Теорема. Пусть ∆ -  определитель матрицы системы А, а ∆_j  - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов В. Тогда система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

.

Пример: Решить систему уравнений методом Крамера:  

                      

Решение:  Запишем данную систему уравнений на языке матриц.

.

Вычислим главный определитель матрицы системы:

.

Вычислим вспомогательные определители  (самостоятельно, у доски):

По формулам Крамера, получаем:  .

Ответ: (0;2;1).

 

Метод обратной матрицы

Пусть имеется система линейных уравнений AХ=B и ее определитель не равен нулю.

 - решение системы.

Пример:  Решить систему уравнений методом обратной матрицы:   

Решение: Система как и прошлом примере, но теперь ее решим методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу А^-1:

.

Транспонируем матрицу 

Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы:

Выписываем обратную матрицу:

.

Тогда

 

Метод Гаусса

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений  неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.

Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение переменных – обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение: Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем:  x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

 

 

Вариант 1

1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы  (матричным методом); в) методом Гаусса.

2. Решить матричное уравнение:

                               

3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений

 

Вариант 2

1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы  (матричным методом); в) методом Гаусса.

2. Решить матричное уравнение:

                  

3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений

 

Вариант 3

1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы  (матричным методом); в) методом Гаусса.

2. Решить матричное уравнение:

                

3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений

 

Вариант 4

1.Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы  (матричным методом); в) методом Гаусса.

2. Решить матричное уравнение:

                

3.Найти общее решение для каждой из заданных систем алгебраических уравнений

 

Практическое занятие №5

«Составление уравнений прямых, их построение. Решение задач, используя уравнения прямых на плоскости»

Цели занятия:

-      закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-      закрепить умения находить уравнения прямых и кривых второго порядка, строить их.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку A(x₀; y₀) под заданным углом j:

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Условие параллельности двух прямых  и  имеет вид:

Условие перпендикулярности двух прямых  и  имеет вид:

Расстояние  от точки  до прямой  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

Тангенс угла  между прямыми  и  определяется формулой

Пример:

 

Вариант 1

 

Даны координаты вершин треугольника АВС: A (1;-1),        B (4; 3),       C (5; 1).

Найти:

1.                          уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;

2.                          величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;

3.                          уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;

4.                          длину медианы АМ треугольника;

5.                          уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС

6.                          Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:

 

Вариант 2

 

Даны координаты вершин треугольника АВС: A (0;-1),        B (3; 3),       C (4; 1).

 

Найти:

1.                          уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;

2.                          величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;

3.                          уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;

4.                          длину медианы АМ треугольника;

5.                          уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС

6.                          Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:

 

Вариант 3

 

Даны координаты вершин треугольника АВС: A (1; -2),       B (4; 2),       C (5; 0).

 

Найти:

1.                          уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;

2.                          величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;

3.                          уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;

4.                          длину медианы АМ треугольника;

5.                          уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС

6.                          Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:

 

Вариант 4

Даны координаты вершин треугольника АВС: A (2; -2),       B (5; 2),       C (6; 0).

 

Найти:

1.                          уравнения сторон треугольника и их угловые коэффициенты;

2.                          величину угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а также величины внутренних углов треугольника;

3.                          уравнения высот треугольника и координаты точки Р из пересечения;

4.                          длину медианы АМ треугольника;

5.                          уравнение прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС

6.                          Построить заданный треугольник и все линии в системе координат:

 

Практическое занятие №6

 «Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости: составление уравнений окружности, эллипса, их построение»

 

Цели занятия:  

-                              Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              Закрепить умения находить канонические уравнения окружности и эллипса, строить их.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.

, где

 А, В, С, D, Е, F – действительные числа.

Уравнения окружности

Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:

 

Каноническое уравнение эллипса

а- большая полуосью эллипса

b - малая полуосью  эллипса

- полуфокусное расстояние

- эксцентриситет эллипса

- директрисы эллипса

Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:

 

Пример Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию:  х² + у² + 4x + 2у +1 = 0,

Решение: Уравнение х² + у ² + 4х + 2у +1 =0 определяет окружность, так как А=С= 1. Для получения канонического уравнения окружности выделим полные квадраты по переменным х и у:

,

.

Итак, получено каноническое уравнение окружности с центром в точке (-2,-1) и радиусом R=2

Пример: Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию:

Решение: Уравнение определяет эллипс, так как А  С = 5 9 > 0. Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, выделим полные квадраты по переменным х и у и поделим по­лученное уравнение на свободный член:

,

,

.

Итак, получено канониче­ское уравнение эллипса с центром в   точке    (3,-1)    и   полуосями а =3  (большая) и (малая).

 

Вариант 1

 

1.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

2.                          Составить уравнение окружности с центром в точке С(1;4) и радиусом R=3. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;5), А(1;7), В(2;3).

 

3.                          Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

e.                                                 

f.                                                  

 

 

Вариант 2

 

1.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

2.                          Составить уравнение окружности с центром в точке С(-1;2) и радиусом R=4. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;5), А(-1;6), В(2;3).

 

3.                          Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

e.                                                 

f.                                                  

 

 

Вариант 3

 

1.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

2.                          Составить уравнение окружности с центром в точке С(0;5) и радиусом R=1. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;6), А(-1;6), В(2;3).

 

3.                          Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

e.                                                 

f.                                                  

 

Вариант 4

 

1.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

2.                          Составить уравнение окружности с центром в точке С(4;0) и радиусом R=2. Проверить, лежат ли на этой окружности точки D(0;6), А(-1;6), В(6;0).

 

3.                          Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и выписать основные элементы:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

e.                                                 

f.                                                  

 

Практическое занятие №7

«Составление уравнений гиперболы и параболы и их построение»

 

Цели  занятия:

-                              Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              Закрепить и проконтролировать умения находить канонические уравнения гиперболы и параболы, строить их.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Каноническое уравнение гиперболы

 - каноническое уравнение гиперболы, где а – действительная полуось; b-мнимая полуось.

 - нормальное уравнение гиперболы,

 - уравнение асимптот гиперболы.

Пример: Построить линию:

Каноническое уравнение параболы

- каноническое уравнение параболы.

Парабола асимптот не имеет.

 - директриса параболы.    – фокус параболы.

- нормальное уравнение параболы (уравнение параболы со смещенной вершиной)

Пример :Построить линию:

Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5х² -4у² +16у-36 = 0

Решение: Для получения канонического уравнения выделим полный квадрат по переменной у и поделим полученное уравнение на свободный член:

              ,          

Итак, получено каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (0,2), а = 2 и  .

Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка .

Решение. Уравнение кривой преобразуется следующим образом:

 или . Отсюда   ,    ,

имеем параболу, у которой вершина находится в точке , параметр , а ветви параболы направлены в отрицательную сторону оси ОХ.

 

Вариант 1

 

4.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

5.                          Кривая второго порядка задана уравнением:

1)

2)

a.  приведите уравнение к каноническому виду,

b.  найдите все характеристики данной кривой,

 

6.                          Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; e  - эксцентриситет; y = ± kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

а) а = 13,                   б)

Вариант 2

 

4.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

g.                                                 

h.                                                 

i.                                                   

j.                                                   

5.                          Кривая второго порядка задана уравнением:

1)

2)

a.  приведите уравнение к каноническому виду,

b.  найдите все характеристики данной кривой,

 

6.                          Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; e  - эксцентриситет; y = ± kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

а) а = 7,      б)

 

Вариант 3

 

4.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

5.                          Кривая второго порядка задана уравнением:

1)

2)

a.  приведите уравнение к каноническому виду,

b.  найдите все характеристики данной кривой,

 

6.                          Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; e  - эксцентриситет; y = ± kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

а) b = 3, F (7,0);                 б)

 

Вариант 4

 

1.                          Определить тип линии по уравнениям и построить в прямоугольной системе координат:

a.                                                 

b.                                                 

c.                                                 

d.                                                 

2.                          Кривая второго порядка задана уравнением:

1)

2)

a.  приведите уравнение к каноническому виду,

b.  найдите все характеристики данной кривой,

 

3.                          Составить канонические уравнения: а) гиперболы; б) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; e  - эксцентриситет; y = ± kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

а)  F (-11,0);            б)

 

Практическое занятие №8

«Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости»

 

Цели занятия:

-                             Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений.

-                             Закрепить умения решать задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

В системе координат ХОY
Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R:	Гипербола с центром в точке O1(α;β):
Эллипс с центром в точке O1(α;β):	Параболы с вершиной в точке O1(α;β) или    .

 

Пример:   Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки    и прямой  . Сделать чертеж.

Решение   Пусть  М (x, y) – любая точка искомой линии, - основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую y. Тогда точка  имеет координаты . Расстояние от точки М до прямой   есть расстояние между точками  М и  N:

.

Теперь определим расстояние между точками  М и  :

.

По условию задачи  .  Следовательно, для любой точки  справедливо равенство:

     или     .

Окончательно,     .

Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке .

Пример:   Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки  и до прямой  равно числу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть  – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр  на прямую  (рис. 2). Тогда . По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

          .

Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где .

          Определим фокусы эллипса  и . Для эллипса справедливо равенство , откуда  и . То есть  и  – фокусы эллипса (точки  и А совпадают).

Вариант 1

 

1.                        Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки  вдвое меньше расстояния до точки . Сделать чертеж.

2.                        Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек  и  равен 4. Сделать чертеж.

3.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х₁; у₁) и до прямой  равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(–8; 0), а = –2, .

4.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х₁; у₁) равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(–2; –2), b = –4.

5.                        Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу  k.  Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

А(3,0)       х=4/3;      k=1,5

 

Вариант 2

 

1.                        Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки  и от оси . Сделать чертеж.

2.                        Написать уравнение кривой, каждая точка которой отстоит от точки  вдвое дальше, чем от прямой . Сделать чертеж.

3.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х₁; у₁) и до прямой  равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(4; 0), а = 1, .

1.                          Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х₁; у₁) равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(2; –1), b = 2.

2.                          Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу  k.  Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

А(10,0)     х=2,5;      k=2

 

Вариант 3

 

1.                        Написать уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние от точки  вдвое меньше расстояния  от прямой . Сделать чертеж.

2.                        Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек  и равна 2. Сделать чертеж.

3.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х₁; у₁) и до прямой  равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(9; 0), а = 4, .

4.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х₁; у₁) равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(2; –1), b = 1.

5.                        Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу  k.  Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

А(2,0)       х=4,5;      k=2/3.

 

Вариант 4

 

1.                        Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек  и  равна 27. Сделать чертеж.

2.                        Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки  относятся как 3:2. Сделать чертеж.

3.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х₁; у₁) и до прямой  равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(–1; 0), а = –4, .

4.                        Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х₁; у₁) равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

А(4; –1), b = 1.

5.                        Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу  k.  Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

A(3,0)       х=12;       k=0,5.

 

Практическое занятие №9

«Решение квадратных уравнений»

Цель работы:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

 

Комплексным числом  называется выражение вида

,                                             (1)

где  и  - действительные числа,  - мнимая единица.

Комплексное число  называется сопряженным для .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действиительной осью, а ось ординат – мнимой осью (рис.1).

Число  называется модулем комплексного числа  и обозначается , т. е. .  Угол , образованный вектором  с положительным направлением оси Ox, называется аргументом числа  и обозначается , т. е. .

Корни квадратного уравнения  с действительными коэффициентами, у которого , находятся по формулам

.

Если ,  - корни квадратного трехчлена , то

.

Пример . Найти корни квадратного трехчлена  и разложить его на множители.

Решение. По формуле корней квадратного уравнения

.

Тогда   .

 

Вариант 1

1.                          Решить уравнения:

а) 3х²+8=0;

б) х²-2х+2=0;

в) х⁴-10х²+169=0.

г) х²+7=0;

д) х²-3х+5=0;

е) х⁴-10х²+144=0.

2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д)  на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.

3. Решить системы уравнений:

 

Вариант 2

1.                          Решить уравнения:

а) 4х²+5=0;

б) х²-6х+16=0;

в) х⁴-30х²+289=0.

г) 5х²+8=0;

д) х²-4х+7=0;

е) х⁴+5х²+10=0.

2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д)  на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.

3. Решить системы уравнений:

Вариант 3

1.                          Решить уравнения:

а)2х²+7=0;

б) х²+10х+28=0;

в) х⁴+6х²+25=0.

г)2х²+9=0;

д) х²+х+8=0;

е) х⁴+2х²+1=0.

2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д)  на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.

3. Решить системы уравнений:

 

Вариант 4

1.                          Решить уравнения:

а) х²+5=0;

б) х²-2х+3=0;

в) х⁴-х²+1=0.

г) 3х²+7=0;

д) х²-х+1=0;

е) х⁴-5х²+16=0.

2. Разложить квадратные трехчлены из задания1 а) б) д)  на множители; изобразить их корни на комплексной плоскости.

3. Решить системы уравнений:

 

Практическое занятие №10

«Использование понятий теории комплексных чисел: действия над комплексными числами в алгебраической форме»

 

Цели занятия:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения выполнять арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

 

Пусть даны два комплексных числа  и .

 

1) Сложение (вычитание):

.

Пример. , .

.

 

2) Умножение:

.

В частности,

,     .

Пример. , .

 

3) Деление:

  .

Пример. , .

Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами  и , при этом  заменяется на .

 

Пример. Вычислить .

Решение. .

 

Пример Вычислить: i²,  i³,  i⁴,  i⁵,  i⁶,  i^-1 , i^-2.

 

Вариант 1

 

2.                          Даны два комплексных числа: z₁=8+3i,  z₂=8+6i.

     Найти а) z₁+z₂;  б) z₁-z₂; в) z₁z₂; г)  z₁/z₂.

3.                          Выполнить действия в алгебраической форме:

а)      б)     в)   г)

4.                          Вычислить: i²¹,  i^-5.

5.                          Вычислить    .

6.                          . Найти решение уравнений (x, y Î R):

а) (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i;

б) 2x + (1 + i)(x + y)=7 +i;

в) (3 – y + x)(1 + i) + (x – y)(2 + i) = 6 – 3i.

 

Вариант 2

 

1.                          Даны два комплексных числа: z₁=2-5i,  z₂=6-8i.

     Найти а) z₁+z₂;  б) z₁-z₂; в) z₁z₂; г)  z₁/z₂.

2.                          Выполнить действия в алгебраической форме:

а) ;  б) ;          в) ; г)

3.                          Вычислить: i¹²,  i^-3.

4.                          Вычислить    

5.                          . Найти решение уравнений (x, y Î R):

а) (1 + i)x + (5 + i)y = 4 + 3i;

б) 3x + (5 + i)(x + y)=12 +2i;

в) (2 – y + x)(3 + i) + (x – y)(2 + i) = 8 – 3i.

 

Вариант 3

 

2.                          Даны два комплексных числа: z₁=3+7i,  z₂= -8+6i.

     Найти а) z₁+z₂;  б) z₁-z₂; в) z₁z₂; г)  z₁/z₂.

3.                          Выполнить действия в алгебраической форме:

а)      б) (3 – 2i) (5 + 3i);     в) (1 + 2i) – (3 –5i).  г) 

4.                          Вычислить: i¹⁷,  i^-4.

5.                          Вычислить    

6.                          . Найти решение уравнений (x, y Î R):

а) (1 + i)x + (4 + i)y = 8 + 2i;

б) 3x + (2 + i)(x + y)=14 +3i;

в) (4 – y + x)(3 + i) + (x – y)(2 +3 i) = 5 – 4i.

 

Вариант 4

 

2.                          Даны два комплексных числа: z₁=5-4i,  z₂=2+3i.

     Найти а) z₁+z₂;  б) z₁-z₂; в) z₁z₂; г)  z₁/z₂.

3.                          Выполнить действия в алгебраической форме:

а) ;  б) (1 + 3i)(–7 + 4i);    в) (3 – 7i) + (5 + 3i);  г)

4.                          Вычислить: i¹⁹,  i^-2.

5.                          Вычислить    

6.                          . Найти решение уравнений (x, y Î R):

а) (5 + i)x + (1 + i)y = 5 + 2i;

б) 6x + (4 + i)(x + y)=10 +3i;

в) (3 – y + x)(5 + i) + (x – y)(4 + i) = 9 – 2i.

 

 

Практическое занятие №11

«Использование понятий теории комплексных чисел: действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах»

 

Цели занятия:

 

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения выполнять арифметические действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

-                              закрепить умения переводить комплексные числа из одной формы в другую.

 

Теоретический материал  и методические указания к выполнению заданий

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

,

где ,

 - решение системы                или  

Пример. Комплексные числа  ,  ,   представить в тригонометрической форме.

Решение.    Сначала следует найти модуль и аргумент данного комплексного числа, а после этого воспользоваться формулой (1):

,  , следовательно ,      ;

, , следовательно ,

 ;

, , следовательно ,          .

 

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

 

Пусть даны два комплексных числа  

,       .

1) Умножение: .

2) Деление:   .

3) Возведение в степень. Формула Муавра:

 ,   где  - целое число.

4) Извлечение корня n-й степени :

,  где .

Пример. Вычислить , если .

Решение.    Комплексное число   представим в тригонометрической форме:

.

По формуле Муавра находим 

.

Вычисляя косинус и синус, окончательно получим.

 

Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера:

 

Действия над комплексными числами в показательной  форме

 

Пусть даны два комплексных числа   и ,

1)Умножение: ,

2) Деление:

3) Возведение в степень:

4) Извлечение корня:  , где к=0,1,2,3,4,5...,n-1.

Пример .

Написать в показательной форме комплексные числа:

а)     б) ;    в) ;    г)     д)  

Решение

а)  

б)          

 

Вариант 1

 

1.                          Комплексные числа z₁= -Ö3+i, z₂=1-i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z₁z₂; z₁/z₂;  z₁¹⁰;  z₁^1/3.

2.                          Представить в показательной форме число z=2i.

3.                          Записать числа в  показательной форме и выполнить их произведение:

а) 3(cos(П/8)+i sin(П/8)) (cos (5П/24)+i sin (5П/24));

б) 2(cos(П/2)+i sin(П/2)) (cos (П/4)-i sin (П/4)).

 

Вариант 2

 

1.                          Комплексные числа z₁= Ö3-i, z₂=1+i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z₁z₂; z₁/z₂;  z₂¹⁰;  z₂^1/3.

2.                          Представить в показательной форме число z= -1+i.

3.                          Записать числа в  показательной форме и выполнить их произведение:

а) 2(cos(П/3)+i sin(П/3)) 5(cos (-П/4)+i sin (-П/4)).

б) 4(cos(П/5)-i sin(П/5)) (cos (-П/10)+i sin (-П/10)).

 

Вариант 3

 

1.                          Комплексные числа z₁= Ö3+i , z₂=-1+i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z₁z₂; z₁/z₂;  z₁¹⁰;  z₁^1/3.

2.                          Представить в показательной форме число z=1+i.

3.                          Записать числа в  показательной форме и выполнить их произведение:

а) (cos(2П/3)+i sin(2П/3)) (cos (-П/2)+i sin (-П/2)).

б) 5(cos(П/6)-i sin(П/6)) (cos (7П/12)-i sin (7П/12)).

 

Вариант 4

 

1.                          Комплексные числа z₁= -Ö2+i , z₂=-2-2i представить в тригонометрической и показательной формах. В обоих видах найти z₁z₂; z₁/z₂;  z₁¹⁰;  z₁^1/3.

2.                          Представить в показательной форме число z=2.

3.                          Записать числа в  показательной форме и выполнить их произведение:

а)  2(cos(П/6)-i sin(П/6)) (cos (5П/12)+i sin (5П/12)).

б)  (cos(П/3)-i sin(П/3)) (cos (П/2)-i sin (П/2)).

 

Практическое занятие №12

«Применение методов дифференциального исчисления: вычисление производных сложных функций»

 

Цель работы:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения находить производные функции первого порядка.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1.              ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

 

          Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Все эти правила применяются к таблице производных

Таблица производных сложных функций

1.    ()                                 2.

3.                                                     4.

5.                                             6.

7.                                             8.     ()

9.          ()          10.

11.                         12.()

13.                                                       14.

15.                 

Пример1: Найти производные функций:

а) ;        б) ;   в) .

Решение. а) Функция  – это произведение двух функций  и , поэтому по третьему правилу дифференцирования:

                                  .

Из таблицы производных находим, что , и так как , то ; .

          Значит, .

б)

в)

Пример 2. Найти производные функций:

а) ; б) ;

Решение. а) Функция  – это сложная функция , . Тогда по формуле 1 таблицы производных , а по формуле 5 .Таким образом, .

б) Используем правило дифференцирования 3а: . Функция  – сложная , . Поэтому

                                  .

Пример 3. Найти производную функции   

Решение. Применим формулу производной сложной функции.   Если бы нужно было вычислить значение    при   х = х₀,  то сначала  вычисляли  бы   5х₀,    затем   , затем полученный результат возвели бы в квадрат. То есть      является суперпозицией трех функций, поэтому и производная будет равна произведению трех производных

Пример 4. Найти производную функции   

 

Вариант 1

 

1.  Найти производные функций, используя правила дифференцирования:

a.  ;

b. 

c. 

d. 

2. Найти производные функций:

а) у = ;                                    е) у = ;

                 б) у = 3х × sin 5x + 8;                                    ж) у =х× (cos ln x + sin ln x );

                 в) у = (3 + sin x) ² × x;                                    з) у = ;

                 г) у = ;                                      и) у = 0,92;

                 д) у = ;                                         к) у = .

 

Вариант 2

 

1.  Найти производные функций, используя правила дифференцирования:

a.  ;

b. 

c. 

d. 

2. Найти производные функций:

а) у = ;                                             е) у = arctg;

б) у = ;                                                             ж) у = ;

в) у = (х + 5) ⁷ × sin3x;                                                   з) у = (х +1) × arccos (x ² +1);

г) у = ;                                                 и) у = ;

д) у = 52 ^{ctg x} ;                                                                 к) у = (tg x)^х.

 

Вариант 3

 

1.  Найти производные функций, используя правила дифференцирования:

a.  ;

b. 

c.  ;

d. 

2. Найти производные функций:

a) y = ;                                                  е) у = сos ² x –2ln cos x;

б) у = arctg ;                                                         ж) у = ;

в) у = ;                                                       з) у = ;

г) у = х² × ctg2 x ;                                                            и) у = ;

д) у = cos ² 5x + 7x;                                                        к) у = (cos x ) ^{sin x}.

 

Вариант 4

 

1.  Найти производные функций, используя правила дифференцирования:

a.  ;

b. 

c.  ;

d. 

2. Найти производные функций:

а) у = 3x⁵ –  + ;                                        е) y = ;

б) y = arcsin (3x³ + 4);                                                   ж) y = ln cos(5x ³ + 4);

в) y = ( x+ 8) × arctg 4x³ ;                                              з) y = ( ctg 3x + 1 )⁵;

г) y = ;                                                         и) y = 5;

д) y = 4x × ( 1 – 3ln x);                                                   к) y = (cos x ).

 

 

Практическое занятие №13

«Производные и дифференциалы высших порядков»

 

Цель работы:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения находить производные функции различных порядков;

-                              закрепить умения применять производные для решения дифференциальных уравнений.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Производные высших порядков

 

          Если производная  функции  определена в некоторой окрестности точки  и имеет в этой точке производную, то эта производная от  называется второй производной (или производной второго порядка) функции  в точке  и обозначается одним из следующих символов:

,       ,       ,          ,        ,            .

          Третья производная определяется как производная от второй производной и т. д. Если уже введено понятие -й производной и если -я производная имеет производную в точке , то указанная производная называется -й производной (или производной -го порядка) и обозначается

                                  ,  или , .

Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле:

                                                         .

Функция, имеющая -ю производную в точке , называется  раз дифференцируемой в этой точке.

Пример. Найти  функции .

Решение.

 

Вариант 1

 

1.                          Найти производные функций указанных порядков:

 

2.                          Найти производную функции второго порядка в точке х₀:      ,  х₀=0.

 

3.                          Показать, что функция у=3tg(2x-1) удовлетворяет уравнению  y’’=2yy’.

 

Вариант 2

 

1.                          Найти производные функций указанных порядков:

 

2.                          Найти производную функции второго порядка в точке х₀:    y=x+sin2x,  х₀=0.

 

3.                          Показать, что функция у=2e^3x-e^-3x удовлетворяет уравнению  yy’’’=y’y’’.

 

Вариант 3

 

1.                          Найти производные функций указанных порядков:

 

2.                          Найти производную функции второго порядка в точке х₀:             y=xln3x,  х₀=1.

 

3.                          Показать, что функция y=ln²x удовлетворяет уравнению  .

 

Вариант 4

 

1.                          Найти производные функций указанных порядков:

 

2.                          Найти производную функции второго порядка в точке х₀:           y=x²e^-x,  х₀=0.

 

3.                          Показать, что функция у=3^-2x+3^2x    удовлетворяет уравнению  y’’=4ln²3 y.

 

Практическое занятие №14

«Применение методов дифференциального исчисления: правило Лопиталя»

 

Цель работы:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения находить производные функции различных порядков;

-                              закрепить умения применять производные для вычисления пределов.

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

 

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

Правило Лопиталя

 

При раскрытии неопределенностей , кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:

      Eсли  или  и существует предел отношения их производных , то .

Это правило справедливо и в случае .

 

Теоремы о пределах

 

Теорема Если , где с – константа, то

Теорема Пусть  и  тогда а)

б)

в) , если ;

г)

 

Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

             а) ;        б) ;       в) .

Решение. Убедившись, что имеет место случай  или , применяем правило Лопиталя.

а) ,

  б) .

 

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

в) .

 

При раскрытии неопределенностей  для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям  или  путем алгебраических преобразований.

 

Пример 2. Найти пределы:

                  а) ;           б) .

Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:

.

       б) Имеем неопределенность  . Преобразуем к неопределенности  , после чего применим правило Лопиталя:

.

 

Вариант 1

 

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:

 

Вариант 2

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:

 

Вариант 3

 

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:

 

Вариант 4

 

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:

 

 

 

Практическое занятие №15

 

«Применение методов дифференциального исчисления: полное исследование функции. Построение графиков»

 

Цель работы:

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения исследовать функции методами дифференциального исчисления, строить их графики.

 

Содержание  дисциплины ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

 

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

 

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1.                                Найти область определения функции.

2.                                Исследовать функцию на четность-нечетность.

3.                                Найти вертикальные асимптоты.

4.                                Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5.                                Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.                                Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.                                Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

 

Исследовать функцию и построить ее график:

.

РЕШЕНИЕ:

1.             Область определения

2.             Функция четная, т.к. f(-x)=f(x),  и ее график симметричен относительно оси ординат.

3.             Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках –1, 1 . , то прямая х=1 есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика f(x) х=-1 также вертикальная асимптота.

4.             Поведение функции в бесконечности. Вычислим . В силу четности также имеем , т.е. прямая у=-1 – горизонтальная асимптота.

5.             Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем

 

 

 

 

       у’=0 при х=0   и    у’ не существует при х=1, х=-1.

      Однако критической является только точка х=0.

       х=0 – точка минимума и f_min =f(0)=1 –     минимум     функции.

 

6.             Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем

 

 

 

 

 

Точек перегиба нет.

7.             Точки пересечения с осями. f(0)=1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0,1). Уравнение f(x)=0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

Построим график функции.

 

 

 

 

Вариант 1

 Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

 

а                                                   

б                                                   

в                                                   

 

 

Вариант 2

 

 Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

а                                                   

б                                                   

в                                                   

 

Вариант 3

 

 Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

 

а                                     

б                                     

в                                     

 

 

Вариант 4

 

 Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

 

а                                     

б                                     

в                                     

 

Практическое занятие №16

 

«Применение методов дифференциального исчисления: вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных»

 

Цель работы:

 

-                              закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-                              закрепить умения находить частные производные функции первого и второго порядков;

-                              закрепить умения применять частные производные для решения дифференциальных уравнений.

 

Теоретический материал

 

Частные производные

 

При вычислении частных производных необходимо помнить следующее:

1) Все правила вычисления производных и все табличные производные функций одной переменной сохраняют силу.

2) При нахождении частной производной функции  по  переменную  считают постоянной. Это приводит к тому, что перед нами возникает функция одной переменной , от которой надо взять обычную производную. Поэтому, в частности, любые выражения, зависящие только от , будут тоже постоянными и производная по  от них равна : .

В произведении любой множитель, зависящий только от , выполняет роль множителя-константы: .

3) Аналогичным образом находят частную производную функции  по .

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,  ,

,  .

Частные производные  и  называются смешанными. Если они непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования (они равны).

 

 

Вариант 1

1.                          Найти dz:

 

2.                          Найти частные производные второго порядка:

3.                          Найти d²z:

4.                          Проверьте, является ли функция u=xy решением дифференциального уравнения в частных производных  u''_xx  +u''_xy=1.

5.                          Найти

 

Вариант 2

 

1.                          Найти dz:

 

2.                          Найти частные производные второго порядка:

 

3.                          Найти d²z:

 

4.                          Проверьте, является ли функция u=2x²-2y²  решением дифференциального уравнения в частных производных  u''_xx  +u''_yy=0.

 

5.                          Найти

 

Вариант 3

 

1.                          Найти dz:

2.                          Найти частные производные второго порядка:

3.                          Найти d²z:

4.                          Проверьте, является ли функция u=x² y² решением дифференциального уравнения в частных производных  u''_xx  -2y²=0.

5.                          Найти

 

Вариант 4

 

1.                          Найти dz:

2.                          Найти частные производные второго порядка:

 

3.                          Найти d²z:

4.                          Проверьте, является ли функция u=3x² y  решением дифференциального уравнения в частных производных  u''_xx  +u''_yy=6y.

 

5.                          Найти

 

Практическое занятие №17

«Применение методов интегрального исчисления: интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле»

Цель работы:

 

-   закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

-   закрепить умения вычислять неопределенные интегралы по таблице интегралов и использую методы интегрирования

 

Содержание  практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115  Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

 

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и  тестовых сценариев.

 

Теоретический материал

 

Первообразная и неопределенный интеграл

 

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие F`(x)=f(x).

 

Основные правила интегрирования

 

1.             Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

2.             Интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме интегралов.

3.             При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .

Таблица основных интегралов