Департамент образования, науки и молодежной политики

Воронежской области

 

 

                  ГОБУ СПО ВО «Борисоглебский индустриальный техникум»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементы высшей математики

 

Методические указания для студентов-заочников

ГОБУ СПО ВО «Борисоглебский индустриальный техникум»

по специальности  230113 «Компьютерные системы и комплексы»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013 г.

Методические указания по дисциплине «Элементы высшей математики» разработаны на основе рабочей программы дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности «Компьютерные системы и комплексы».

 

 

 

 

 

Разработчик:

 

Соседова О.С., преподаватель ГОБУ СПО ВО «Борисоглебский индустриальный техникум»

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрена цикловой комиссией информационных технологий

 

Протокол от «___» _____________ 201_г.  № ____

 

Председатель ц/к _______________   Г.В. Торгашин

                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методист                                                     Зам.директора по УР

 

______________О.А. Сергеева                 _____________С.С. Прохорова

 

 

 

Введение

В современном обществе важным для жизни является формирование математического стиля мышления. Математические умозаключения вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

Задача предмета  состоит в том, чтобы перед изучением общетехнических и специальных дисциплин учащиеся получили достаточную теоретическую базу, на основе которой должна проходить дальнейшая подготовка будущего специалиста. При изучении дисциплины большое внимание уделяется  ее прикладному характеру.

Программа разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 230113 «Компьютерные системы и комплексы»

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая его изучение по рекомендованным учебникам, решение задач с помощью учебных пособий, самопроверка. Завершающим этапом изучения дисциплины является экзамен.

Программа предусматривает изучение 12 разделов:

Раздел  1.Матрицы и определители.

Раздел  2. Системы линейных уравнений.

Раздел 3. Основы алгебры векторов.

Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.

Раздел 5. Теория пределов.

Раздел 6. Дифференциальное исчисление.

Раздел 7. Интегральное исчисление.

Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.

Раздел 9. Функции нескольких  переменных.

Раздел 10. Дифференциальные уравнения

Раздел 11. Основы теории комплексных чисел.

Раздел 12. Численные методы.

 

 Примерная программа учебной дисциплины:

 

Наименование разделов  и тем	Содержание учебного материала	Объем часов
Раздел 1. Матрицы и определители                                     Раздел 2. Методы решения систем линейных уравнений.	Определение матрицы. Виды матриц. Порядок квадратной матрицы. Главная и побочная диагональ матрицы. Единичная и нулевая матрица. Матрица-строка и матрица-столбец. Равенство матриц. Транспонированная матрица. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства операции сложения и умножения матриц. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Основные свойства определителей. Правило треугольников вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Способы  вычисления определителей. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Правило нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Простейшие матричные уравнения.   Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Примеры. Решение систем линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.	2
Раздел 3. Основы алгебры векторов                                         Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.	Векторные и скалярные величины. Длина и направление вектора. Сумма векторов. Правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов. Свойства операции сложения векторов. Противоположные векторы. Вычитание векторов. Умножение вектора на число и его свойства. Действия над векторами, заданными своими координатами.  Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарности двух векторов. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинерным векторам. Компланарные векторы. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Проекция вектора на ось. Скалярное  произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Вычисление угла между  двумя векторами. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.       Параметрические и каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, походящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящую через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Общее и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы. Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Каноническое  уравнение параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат.	2
Раздел 5. Теория пределов.	Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Формула общего члена последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и связь между ними. Теоремы о пределах последовательностей. Понятие предела функции в точке. Основные свойства пределов. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы. Пределы некоторых элементарных функций. Приращение аргумента и приращение функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в промежутке. Свойства непрерывных функций. Примеры исследования функций на непрерывность.	2
Раздел 6. Дифференциальное исчисление.	Понятие производной. Вычисление производной на основе определения. Геометрический смысл производной. Кинематический смысл производной. Основные правила дифференциального исчисления. Производные некоторых элементарных функций. Таблица производных. Формулы дифференцирования для сложной функции. Вычисление производных сложных функций. Производные обратных функций. Производные обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков, их вычисление. Механическое значение второй производной. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциалы различных порядков. Возрастание и убывание функции, экстремум функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Набольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план  исследования функций и  построение  графиков	2
Раздел 7. Интегральное исчисление	Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов и табличное интегрирование. Методы вычисления неопределенного интеграла: способ подстановки, интегрирование по частям. Примеры «неберущихся» интегралов. Интегрирование рациональных дробей. Криволинейная трапеция и ее площадь. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Длина дуги кривой. Задача о вычислении пути. Задача о силе давления жидкости. Работа переменной силы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Понятие несобственных интегралов от неограниченных функций.	2
Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.             Раздел 9. Функции нескольких  переменных.	Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов. Признаки сравнения положительных рядов. Признак Даламбера. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд.   Понятие функциональной зависимости между несколькими переменными. Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Полное приращение и полный дифференциал. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.	2
Раздел 10. Дифференциальные уравнения	Примеры дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными: определения и примеры, правило нахождения общего решения.  Частное решение дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Частное решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Линейные дифференциальные уравнения  второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.	2
Раздел 11. Основы теории комплексных чисел.             Раздел 12. Численные методы.	Необходимость расширения множества действительных чисел.  Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Операции  над комплексными числами. Решение квадратных уравнений.     Абсолютная и относительная погрешности приближения. Округление чисел. Погрешность округления.  Погрешности вычислений с приближенными данными. Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод итераций. Определение интервала изоляции действительного корня уравнения. Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Постановка  задачи численного дифференцирования. Постановка задачи численного интегрирования.  Формулы численного интегрирования. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.	2
		Всего: 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание предмета.

Раздел 1.  Матрицы и определители.

 

Требования к знаниям: определение матрицы, виды матриц, какие матрицы называются равными, основные свойства операции сложения матриц, основные свойства операции умножения матрицы на число, основные свойства операции произведения матриц, что такое определитель, основные свойства определителя; как вычисляются определители второго и третьего порядка, что такое минор, алгебраическое дополнение, теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца что такое обратная матрица, вырожденная и невырожденная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы, свойства обратной матрицы, что такое матричное уравнение.

 

Требования к умениям: определять порядок матрицы, находить транспонированную матрицу, складывать матрицы,  умножать матрицу на число, вычислять произведение двух матриц, вычислять определители второго и третьего порядка, находить миноры и алгебраические дополнения, применять теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца на практике; находить обратную матрицу, решать простейшие матричные уравнения.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Определение матрицы. Виды матриц. Порядок квадратной матрицы. Главная и побочная диагональ матрицы. Единичная и нулевая матрица. Матрица-строка и матрица-столбец. Равенство матриц. Транспонированная матрица. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства операции сложения и умножения матриц. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Основные свойства определителей.

Правило треугольников вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Способы  вычисления определителей. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Правила нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Простейшие матричные уравнения.

 

 

Методические указания

Матрицей размера m´n («m на n») называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов и имеющая вид:

.  В сокращенной записи: .

Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент. Например, элемент  (читается «a три пять») расположен в третьей строке и пятом столбце.

Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов соответственно равны и равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.

Нулевой (обозначается O) называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно : .

Элементы , , …,  квадратной матрицы образуют ее главную диагональ, а элементы , , …,  - побочную диагональ.

Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Единичной (обозначается E) называется диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице. Например,

, ,

соответственно квадратная, диагональная и единичная матрицы третьего порядка.

Суммой матриц A и B одинаковых размеров (обозначается ) называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B. Например,

, , .

Аналогично определяется разность матриц A и B, обозначаемая .

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Например,

, .

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

При этом произведением матрицы A размера m´k на матрицу B размера k´n называется матрица C размера m´n (), каждый элемент  которой (стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С) вычисляется как сумма произведений элементов i-той строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:

; , .

Пример. Найти произведения матриц AB и BA (если они существуют):

, .

Решение

Матрица A имеет размер , матрица B – . Произведение AB существует, т. к. число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Найдем размер матрицы-произведения: .

Вычислим элементы матрицы-произведения C, умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы B следующим образом:

.

Произведение BA не существует, т. к. число столбцов матрицы B не равно числу строк матрицы A.

Транспонированной к матрице A называется матрица , полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Например,

, .

Определителем квадратной матрицы n-го порядка  (или просто определителем n-го порядка) называется число, обозначаемое  (или ) и определяемое по следующим формулам:

1) при n = 1 ;

2) при n = 2 ;

3) при n = 3

                                                                                                                                                      

Последнюю формулу легко запомнить, пользуясь правилом треугольников:

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение

.

Минором  элемента  квадратной матрицы  n-го порядка называется определитель матрицы (n–1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (т. е. строки и столбца, содержащих элемент ).

Алгебраическим дополнением  элемента  называется его минор, взятый со знаком :

.

Например, в матрице   , .

Определитель квадратной матрицы n-го порядка (n ³ 2) равен сумме произведений элементов любой ее строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, то есть:

,                    (1.1)

.                    (1.2)

Формулы (1.1) и (1.2) называются соответственно разложением определителя по i-й строке (i = 1, 2, ..., n) и разложением определителя по j-му столбцу (j = 1, 2, ..., n).

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение

Разложим определитель по первой строке:

.

.

Свойства определителей:

1) .

2) Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

3) При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

4) Определитель матрицы равен нулю, если она содержит:

    а) строку (столбец), состоящую из нулей;

    б) две одинаковые строки (столбца);

    в) две пропорциональные строки (столбца).

5) Определитель не изменится, если  к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие  элементы другой строки  (столбца), умноженные на одно и то же число.

Вычисление определителя можно упростить, если, используя свойство 5, преобразовать матрицу так, чтобы получить в ней строку (или столбец), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю, а затем разложить определитель по этой строке (столбцу).

Матрица A^–1 называется обратной для квадратной матрицы A, если .

Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы . Такая матрица имеет единственную обратную:

,                             (1.3)

где  – алгебраическое дополнение элемента  данной матрицы .

Пример. Для матрицы  найти обратную.

Решение

1) Вычисляем :

,

, значит A^–1 существует.

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

,   ,   ,

,     ,   ,

,  ,  .

3) Вычисляем обратную матрицу по формуле (1.3):

.

Элементами первой, второй и третьей строк матрицы в правой части формулы являются алгебраические дополнения элементов первого, второго и третьего столбцов матрицы A соответственно!

.

4) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам: :

.

 

Задания для самоконтроля:

1. Даны матрицы A, B, C и число a. Вычислите: а) ; б) ; в) 

, , , .

2. Вычислите определитель:

а)       б)

 

 

Раздел 2.  Системы линейных уравнений.

 

Требования к знаниям: какая система называется однородной и неоднородной, совместной и несовместной, определенной, какие преобразования называются эквивалентными, какая система называется линейной системой канонического вида,  что такое расширенная матрица системы, матрица канонического вида, Требования к знаниям суть метода Гаусса, формулы Крамера.

 

Требования к умениям: составлять расширенную матрицу для  системы линейных уравнений, приводить расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований к матрице канонического вида; решать системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью формул Крамера.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Решение систем линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.

 

 

Методические указания

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

          (1)

где  – неизвестные (j = 1, 2, ..., n),  – коэффициенты при неизвестных (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n),  – свободные члены (i = 1, 2, ..., m).

Решением системы (1) называется совокупность n чисел , при подстановке которых вместо неизвестных в уравнения все уравнения системы обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Рассмотрим систему, у которой число неизвестных совпадает с числом уравнений:

          (2)

В матричной форме система (2) имеет вид

,

где

,  ,  

называются соответственно (основной) матрицей системы, матрицей-столбцом неизвестных, матрицей-столбцом свободных членов.

Если , то система (1.5) имеет единственное решение, которое может быть найдено:

1) матричным способом, то есть по формуле

;

2) по формулам Крамера

,

где ,  – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

а) матричным способом; б) по формулам Крамера.

Решение

а) Записываем систему в матричной форме:

пусть , , , тогда .

Вычисляем определитель :

.

, следовательно, система имеет единственное решение.

Находим обратную матрицу :

, , ,

, , ,

, , ,

.

Находим решение системы по формуле:

Таким образом, .  

От такой записи решения можно перейти к более привычной форме записи: , , .

б) Вычисляем определитель  (см. пункт а)):

.

, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляем определители ,  и  матриц, полученных из матрицы A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

,  , .

По формулам Крамера (1.7) находим решение данной системы:

,  ,  .

Любую систему уравнений вида (1.4) можно решать методом Гаусса.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что посредством элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида (прямой ход), из которой последовательно определяются значения неизвестных, начиная с последнего (по номеру) неизвестного (обратный ход).

Элементарными преобразованиями системы являются:

1) перестановка уравнений;

2) умножение уравнения на число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

 

 

 

Задания для самоконтроля:

1. Решите систему линейных уравнений двумя способами: а) матричным способом; б) по формулам Крамера

 

Раздел 3. Основы алгебры векторов.

 

Требования к знаниям: какие величины называются векторными и скалярными,  что такое вектор, равные вектора, нулевой вектор, длина вектора, направление вектора, сумма векторов, противоположные векторы, разность векторов, произведение вектора на число, свойства операции сложения векторов и операции умножения вектора на число, правило треугольника для сложения и вычитания векторов, правило параллелограмма и многоугольника для сложения двух и более векторов; какие векторы называются коллинеарными и компланарными, теорему о разложении вектора на плоскости и в пространстве, что такое базис пространства, координаты вектора в данном базисе; что такое ортогональная проекция вектора на ось, правила нахождения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, как вычисляется угол между двумя векторами.

 

Требования к умениям: производить алгебраические операции над векторами, складывать вектора по правилу треугольника и параллелограмма, находить длину вектора и вычислять угол между векторами, вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Векторные и скалярные величины. Длина и направление вектора. Сумма векторов. Правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов. Свойства операции сложения векторов. Противоположные векторы. Вычитание векторов. Умножение вектора на число и его свойства. Действия над векторами, заданными своими координатами.  Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарности двух векторов. Угол  между векторами. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинерным векторам. Компланарные векторы. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. Базис пространства. Проекция вектора на ось. Скалярное  произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Вычисление угла между  двумя векторами. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.

 

 

 

Методические указания

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке A, а конец – в точке B, то вектор обозначается  или  (рис. 1).

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается .

Длиной (модулем, абсолютной величиной)  вектора  называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора равна нулю.

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице: .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначаются .

Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях (или в одной плоскости).

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны:
  , .

Суммой двух векторов  и  называется третий вектор , который находится по правилу треугольника или параллелограмма (рис. 2.).

Разностью векторов  и  называется вектор , для которого .

Произведением  вектора  на число a называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при  и противоположно направлены при :

 1) ; 2)  и .

Базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а базисом в пространстве – любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Если  – базис в пространстве, то любой вектор  пространства можно разложить единственным образом по базисным векторам, т. е. представить в виде

.

Числа  называются координатами вектора  в базисе .

Проекцией вектора  на ось l (ось – направленная прямая) называется число, обозначаемое  и равное , где j – угол, образованный вектором  с осью l,  (рис. 3).

, если ,

, если .

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Орты (единичные векторы)  соответствующих координатных осей Ox, Oy, Oz образуют ортонормированный базис (базис, векторы которого единичны и взаимно перпендикулярны).

Любой вектор  пространства можно разложить по базису :

,

где , , , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Для вектора  с координатами , ,  часто используют обозначение .

Длина вектора  вычисляется по формуле

.

Пусть , , тогда

1) .

2) .

3) .

4) .

Направление вектора  в пространстве определяется углами a, b, g, которые он образует с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора :

, , .                          (2.3)

Чтобы найти координаты вектора  по известным координатам точки , которая является началом вектора, и точки , являющейся концом вектора, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала, т.е.

.                             (2.4)

Пример .Даны точки  и . Найти координаты вектора , длину отрезка , направляющие косинусы вектора .

Решение

Найдем координаты вектора по формулам:

 или .

Длину вектора  найдем по формуле :

.

Направляющие косинусы вектора  найдем по формулам :

, , .

Скалярным произведением векторов  и  называется число, обозначаемое  и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Если известны координаты векторов: , , то

.

В формуле (2.5) произведение  есть проекция вектора  на вектор . Учитывая этот факт, можно записать: .

Откуда следует:

.

Для двух ненулевых векторов ,  условие перпендикулярности имеет вид:

   или .

С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между векторами  и :

.

Пример. Даны вершины треугольника: , , . Найдите .

Решение

Угол  равен углу между векторами  и . Согласно формуле .

Поскольку по формуле (2.4) , ,  по формуле , по формуле , , то , .

 

Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) , где ;

2) , ;

3) вектор  направлен так, что из конца вектора  кратчайший поворот от вектора  (первого множителя) к вектору  (второму множителю) виден в направлении против часовой стрелки, т. е. векторы , ,  образуют правую тройку векторов. Начала векторов предполагаются совмещенными (рис.4).

Если известны координаты векторов: , , то координаты их векторного произведения вычисляются по формуле:

.

Условие коллинеарности двух ненулевых векторов  и  имеет вид:

.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , вычисляется по формуле

,

а площадь треугольника –

.

Пример. Вершины треугольника расположены в точках , , . Найдите площадь треугольника.

Решение

Площадь треугольника  можно находить, подставляя в формулу  координаты любых двух векторов, исходящих из одной вершины, например,  и .

Согласно формуле .

Находим координаты векторов  и :

,  .

Вычисляем векторное произведение  по формуле:

, т. е. .

Тогда

 (кв. ед.).

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов , ,  называется число, обозначаемое  и равное скалярному произведению векторов  и , т. е. .

Если известны координаты векторов: , , , то

.

Условие компланарности трех ненулевых векторов , ,  имеет вид:

, ,  компланарны  Û   или .

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , вычисляется по формуле: , а объем пирамиды – .

Задания для самоконтроля:

1. Вычислить скалярное произведение векторов ,
2. Вычислить векторное произведение вектров ,
3. Вычислить смешанное произведение векторов , ,

 

 

 

 

Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.

 

Требования к знаниям: какой вектор называется направляющим и нормальным вектором данной прямой; как записываются параметрические и каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, походящей через 2 точки; уравнение прямой в отрезках;  уравнение прямой, проходящую через данную точку, параллельно данному вектору;  общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; нормированное  уравнение прямой; что называется угловым коэффициентом прямой; как располагается прямая относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С общего уравнения. Общее уравнение окружности и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы и фокальное расстояние эллипса. Уравнение эллипса в выбранной системе координат. Каноническое уравнение эллипса. Исследование эллипса по его каноническому уравнению. Эксцентриситет эллипса. Фокусы и фокальное расстояние гиперболы. Уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Каноническое уравнение гиперболы. (Действительное и мнимая полуоси гиперболы. Асимптоты гиперболы). Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат. Каноническое  уравнение параболы. Исследование гиперболы и параболы по их каноническим уравнениям.формулу вычисления угла между прямыми, заданными общими  уравнениями; заданными уравнениями с угловыми коэффициентами; заданными каноническими уравнениями; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями; заданных уравнениями с угловыми коэффициентами; заданных каноническими уравнениями; что называется окружностью и эллипсом, что такое центр и радиус окружности, фокус и фокальное расстояние эллипса, эксцентриситет эллипса, как записывается общее и каноническое уравнение окружности, уравнение эллипса в выбранной системе координат и каноническое уравнение эллипса; что называется гиперболой и параболой, равнобочной гиперболой, что такое фокус и фокальное расстояние гиперболы, действительная и мнимая полуоси гиперболы, асимптоты и эксцентриситет гиперболы, фокус и фокальный параметр параболы, директриса параболы, как записывается уравнение гиперболы в  выбранной системе координат  и каноническое уравнение гиперболы, уравнение параболы в выбранной системе координат и каноническое уравнение параболы.

 

Требования к умениям: записывать уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору; уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору; уравнение  прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой в отрезках; находить угловой коэффициент прямой;  вычислять угол между прямыми; проверять пары прямых на параллельность и перпендикулярность; записать уравнение окружности с заданным радиусом и центром; записать каноническое уравнение эллипса,  если известна его малая полуось и фокусное расстояние или, если известны его полуоси; определять по заданному каноническому уравнению эллипса его полуоси, фокусное расстояние, координаты вершин и фокусов, эксцентриситет; записывать каноническое уравнение гиперболы, если известны ее полуоси или, если известны мнимая ось и фокусное расстояние; определять по заданному каноническому уравнению гиперболы его полуоси, фокусное расстояние, координаты вершин и фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот;записывать каноническое уравнение параболы, если известны координаты фокуса и уравнение директрисы; если известно ее расположение относительно системы  координат, координаты вершины и фокальный параметр.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Параметрические и каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, походящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящую через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Общее и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы. Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Каноническое  уравнение параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат.

 

Методические указания

Прямая на плоскости

Расстояние между двумя точками  и  можно найти по формуле

.

Координаты точки , делящей отрезок AB в данном отношении , определяются по формулам

, .

Если точка C  делит отрезок  пополам, то

, .

Прямую на плоскости можно задать разными способами. В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнений.

1) Уравнение прямой, которая образует с положительным направлением оси Ox угол a и пересекает ось Oy в точке (0, b) (рис. 3.1), имеет вид:

и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (  – угловой коэффициент прямой).

Величина k характеризует направление прямой. Если , то прямая параллельна оси Оx. Если , то угол наклона прямой к оси Оx будет острым, при  – тупым. Прямая, перпендикулярная к оси Оx, не имеет углового коэффициента.

2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку  в данном направлении, которое определяется угловым коэффициентом k, имеет вид:

.

Если k – произвольное число, то уравнение (3.5) определяет пучок прямых, проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.

3) Уравнение прямой, проходящей через данную точку  перпендикулярно данному вектору , имеет вид:

.

где вектор  называется нормальным вектором прямой.

Если в уравнении (3.6) раскрыть скобки и ввести обозначение , то получится общее уравнение прямой:

  .

4) Прямая, проходящая через данную точку  параллельно данному вектору  (вектор  называется направляющим вектором прямой), может быть задана каноническим уравнением:

.

или параметрическими уравнениями:

  .

5) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки  и , имеет вид:

.

Угловой коэффициент этой прямой определяется формулой

 .

6) Уравнение прямой, которая пересекает ось Ox в точке , ось Oy – в точке , имеет вид:

и называется уравнением прямой в отрезках (на осях Ox и Oy прямая отсекает отрезки a и b соответственно).

Пусть две прямые  и  заданы уравнениями  и  или  и .

Острый угол j  между прямыми  и  находится по формуле:

 или .

Условие параллельности прямых  и :

 или .

Условие перпендикулярности прямых  и :

  или .

Точка пересечения прямых  и  находится из решения системы:

  или 

Расстояние d от точки  до прямой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

.                                   

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением второй степени вида

,

где A, B, C, D, E, F – заданные действительные числа . В частности, такими линиями являются эллипс (если А и С одинакового знака, т.е. ), окружность (если ), гипербола (если А и С разного знака, т.е. ) и парабола (если  или ).

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек  и , называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают ), причем эта величина больше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают ).

Если за ось Ox принять прямую , а за ось Oy – перпендикуляр к оси Ox, проходящий через середину отрезка  (то уравнение эллипса примет вид:

  .                           

Это уравнение эллипса называется каноническим.

Величины a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса , точки , , ,  – вершинами эллипса. Координаты фокусов: , . Число   называется эксцентриситетом эллипса, он является «мерой сжатия» эллипса к оси Ox.

Начало координат является центром симметрии эллипса (называется центром эллипса).

При  уравнение (2) также задает эллипс, но у такого эллипса фокусы расположены на оси Oy, параметр b задает большую полуось, а a – малую полуось.

При  эллипс представляет собой окружность радиуса a с центром в начале координат. Уравнение этой окружности

.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек  и , называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают ), причем эта величина меньше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают ). Вид кривой показан на рис. 3.4.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

  .

Величины a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, точки  и  – вершинами гиперболы. Координаты фокусов: , .  – центр гиперболы. Число   называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые , к которым гипербола неограниченно приближается на бесконечности, являются асимптотами гиперболы.

Уравнение

 или

также определяет гиперболу, но у нее фокусы расположены на оси Oy, параметр b есть действительная полуось, а a – мнимая.

Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если за ось Ox выбрать прямую, проходящую через фокусперпендикулярно директрисе, а за ось Oy – прямую, проходящую через середину перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису (рис. 3.5), то уравнение параболы примет вид:

,

где p – расстояние от фокуса до директрисы .

Это уравнение параболы называется каноническим, точка  – вершиной параболы. Координаты фокуса: , уравнение директрисы: . Ось Ox – ось симметрии параболы. Парабола не имеет асимптот.

Уравнение  задает параболу, симметричную относительно оси Oy.

Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением (3.15), то видно, что в них . Если в уравнении (3.15)  или , то центр эллипса или гиперболы, или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в точке . Строить кривую в этом случае удобно, перенеся начало координат в эту точку, т. е. сделав замену , . Тогда в новой системе координат с началом в точке O₁ и с осями O₁X и O₁Y уравнение кривой будет иметь канонический вид.

Уравнение эллипса с центром в точке :

.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке  (рис. 3.6) имеет вид:

.

Уравнение гиперболы с центром в точке :

.

Уравнение параболы с вершиной в точке :

 

Задания для самоконтроля:

1. Дан треугольник с вершинами A, В, С. Найдите:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение медианы AM;

в) угол ;

 

2. Составить уравнение гиперболы, если ее действительная ось равна 16, а мнимая ось равна 8.

3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х = - 4.

4. Дано уравнение гиперболы . Найдите координаты ее вершин и фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет.

5. Написать уравнение окружности радиуса R = 7  с центром в начале координат.

6. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а большая ось равна 10. 

7. Дан эллипс 36х²+100у²=3600. Найдите координаты вершин и фокусов эллипса, длины его полуосей и фокальное расстояние, эксцентриситет эллипса.

 

Раздел 5. Теория пределов.

 

Требования к знаниям: что такое числовая последовательность, предел последовательности,  какие последовательности называются ограниченными, неограниченными, монотонными, сходящимися и расходящимися, способы задания числовых последовательностей, какие последовательности называются бесконечно малыми и бесконечно большими, теоремы о пределах последовательностей; что такое предел функции в точке, односторонние пределы, бесконечный предел  функции, основные свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, приемы вычисления пределов; что называется приращением аргумента и приращением функции; какая функция называется непрерывной в точке, на промежутке; свойства непрерывных функций.

 

Требования к умениям: находить числовую последовательность по формуле члена а_n; Требования к знаниям основные свойства пределов; вычислять предел функции в точке х_о, вычислять предел функции при х®¥; Требования к знаниям формулы первого и второго замечательных пределов; исследовать функцию на непрерывность.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Числовые последовательности: ограниченные и неограниченные, монотонные. Способы задания числовых последовательностей. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Формула общего члена последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и связь между ними. Теоремы о пределах последовательностей. Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечный предел функции. Основные свойства пределов. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы. Приращение аргумента и приращение функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в промежутке. Свойства непрерывных функций. Примеры исследования функций на непрерывность.

 

 

 

 

Методические указания

Предел функции

Проколотой d-окрестностью  точки x₀ называется множество .

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки .

Число a называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (или при x, стремящемся к ), если для любого числа  можно указать такое число , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Обозначается:  или  при .

Если  (т. е. число  есть предел функции  при x, стремящемся к  так, что x принимает только значения, меньшие ), то пишут  и число  называют пределом функции  в точке  слева (или левым пределом).

Если , то пишут  и число  называют пределом функции  в точке  справа (или правым пределом).

Пределы функции  в точке  слева и справа называются ее односторонними пределами.

Число a называется пределом функции  при , если для любого числа  существует такое число , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство . Обозначается .

Говорят, что функция  имеет в точке  предел, равный , если для любого числа  существует такое число , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство . Обозначается: .

Если  , то функция  называется бесконечно малой при  .

Свойства бесконечно малых. Если  и  бесконечно малые функции при  , то будут бесконечно малыми следующие функции: ; , где C – постоянная; , где  – ограниченная функция; ;  .

Если , то функция  называется бесконечно большой при .

Если  – бесконечно малая функция при  , причем , то функция  – бесконечно большая при  . И обратно, если  – бесконечно большая функция при  , то функция  – бесконечно малая при  .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Основные теоремы о пределах:

1) , где C – постоянная.

2) Если существуют конечные пределы  и , то верны следующие равенства:

;

;

в частности, ;

  .

3) Если , , то .

Теоремы (1) – (3) выполняются и при .

Основные теоремы о пределах облегчают нахождение пределов.

Пример . Вычислить предел .

Решение

Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы и произведения, получим

.

В простейших случаях (чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции) оказывается достаточным подставить в функцию вместо аргумента его предельное значение.

Если при подстановке предельного значения  в функцию получается неопределенное выражение вида , , , , то нахождение предела для таких случаев называют раскрытием неопределенности.

Раскрытие неопределенности вида

Пусть .

1) Если f(x) – рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители и сокращают дробь.

Пример Вычислить предел .

Решение

Числитель и знаменатель дроби  при  обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формуле разложения квадратного трехчлена на множители. После сокращения дроби подставим предельное значение x:

.

2) Если f(x) – дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида  достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.

Пример  Вычислить предел .

Решение

Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в числителе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение . Получим:

.

Полученное выражение преобразуем: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

.

Теперь в последнем выражении неопределенность не возникает:

Итак, .

3) В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида  используют первый замечательный предел (и его следствия), следствия второго замечательного предела или эквивалентные бесконечно малые функции.

Первый замечательный предел:

            .                                           (1.1)

Из существования первого замечательного предела вытекает ряд следствий:

,  ,  .

Второй замечательный предел:

                                                      (1.2)

(его значение есть иррациональное число ).

            Второй замечательный предел можно также записать в виде

.                                          (1.3)

Из существования второго замечательного предела следует существование пределов:

,   ,  .

Пример  Вычислить предел .

Решение

Имеем неопределенность вида . Преобразуем это выражение так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом (1.1):

.

Раскрытие неопределенности вида

Неопределенное выражение вида  преобразуется к неопределенности вида  или .

Раскрытие неопределенности вида

Неопределенное выражение вида  сводится к неопределенности вида  или  следующим образом:

,

.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Функция  называется непрерывной в точке , если: 1) она определена в точке  и некоторой ее окрестности; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в точке :

.

Условие (1.4) эквивалентно условию

.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Если функции  и  непрерывны в точке , то функции ,  и  (при ) также непрерывны в точке .

2) Если функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке , то сложная функция  непрерывна в точке .

Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Точка  называется точкой разрыва функции , если функция  не является непрерывной в этой точке (нарушается хотя бы одно из условий непрерывности).

 

 

При вычислении пределов степенно-показательных функций  могут получиться неопределенности вида [1^∞], [0⁰], [¥⁰].

Неопределенность вида [1^∞] удобно раскрывать, используя второй замечательный предел

 

Задания для самоконтроля

1.Найдите пределы:

а)

б)

в)

 

Раздел 6. Дифференциальное исчисление.

 

Требования к знаниям: определение производной; какая линия называется касательной к данной кривой; в чем заключается геометрический смысл производной; в чем заключается кинетический смысл производной; основные теоремы дифференциального исчисления; производные некоторых элементарных функций; что такое сложная функция и формулу дифференцирования для сложной функции, что такое обратная функция и как находятся производные обратных функций, производные обратных тригонометрических функций; определение второй производной и производных высшего порядка, в чем заключается механический смысл второй производной; определение дифференциала функции и его геометрический смысл; правила и формулы дифференцирования; определение дифференциала высшего порядка; определение возрастающей и убывающей функции, монотонной функции, максимума и минимума функции, экстремума функции; необходимое и достаточное условия существования экстремума функции; схему исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной; набольшее и наименьшее значения функции; определение выпуклой и вогнутой кривой, точек перегиба; алгоритм нахождения точек перегиба; определение асимптоты графика функции, виды асимптот; общий план  исследования функций и  построение  графиков; знать правила и формулы дифференцирования, формулы дифференцирования сложной и обратной функций.

 

Требования к умениям: вычислять производную функции, пользуясь непосредственно определением производной; определять тангенс угла наклона касательной к кривой в заданной точке; вычислять производные функций; вычислять вторую производную функции; находить дифференциал функции.

исследовать функцию на возрастание и убывание; исследовать функцию на экстремум с помощью первой и второй производной; находить наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке; находить точки перегиба; исследовать функции и  строить их графики.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Понятие производной. Вычисление производной на основе определения. Геометрический смысл производной. Кинематический смысл производной. Теоремы дифференциального исчисления. Производные некоторых элементарных функций. Формулы дифференцирования для сложной функции. Вычисление производных сложных функций. Производные обратных функций. Производные обратных тригонометрических функций. Вычисление производных обратных тригонометрических функций. Определение производной второго порядка. Вычисление производных второго порядка. Производные высших порядков, их вычисления. Механическое значение второй производной. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциалы различных порядков. Возрастание и убывание функции, экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Набольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Алгоритм нахождения точек перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план  исследования функций и  построение  графиков.

 

Методические указания

Производная и дифференциал

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке  к приращению аргумента  при , если этот предел существует:

.

Другие обозначения производной: , , .

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой.

Если  и  - дифференцируемые функции, а  - постоянная, то имеют место следующие правила дифференцирования:

1) ;

2) ;

3) , в частности, ;

4) , .

Если  - сложная функция от , т. е. , где  и  - дифференцируемые функции, то

  или .

Дифференцирование функций, т. е. вычисление их производных, выполняется с использованием правил дифференцирования и таблицы производных основных элементарных функций:

1)   , ; в частности,

      ; ; ;

2)   , , ; в частности, ;

3)   , , ; в частности, ;

4)   ;

5)   ;

6)   ;

7)   ;

8)   ;

9)   ;

10) ;

11) .

При нахождении производной от степенно-показательной функции , а также от громоздких выражений, поддающихся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), удобно предварительно прологарифмировать обе части равенства, а затем результат продифференцировать, учитывая, что

.

Пример . Найти производные следующих функций:

а) ;   б) ;   в) ;

г) ;   д) ;   е) .

Решение.

а) Используя правила дифференцирования (1), (2) и (3) и формулу (1) таблицы производных, получим:

.

В таблице производных отсутствует производная иррационального выражения вида  или , поскольку эти выражения легко сводятся к степенным функциям  или .

Выражение  формально можно дифференцировать как дробь, однако более рационально свести это выражение к степенной функции с числовым коэффициентом: .

б) Используя правило дифференцирования (3) и формулы (5) и (3) таблицы производных, получим:

.

в) Данная функция является сложной функцией: , где . В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции (формула 2.1)

.

При вычислении производной сложной функции можно обойтись без введения переменных для обозначения промежуточных аргументов:

.

Дифференцирование начинается с внешней функции, при этом внутренняя функция , сколь громоздко она бы не выглядела, играет роль простого аргумента. Производная внутренней функции находится по обычным правилам.

г) Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу (6) таблицы производных, получим:

.

Функция , в свою очередь, является сложной, поэтому для нахождения ее производной еще раз применяют правило дифференцирования сложной функции:

.

Отсюда окончательно

.

д) Используя правило дифференцирования (4), формулы (2), (4) и (1) таблицы производных и правило (2.1), получим:

 

.

е) Логарифмируем по основанию :

,  .

, ,

откуда

,  .

Если функция  задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной y, то говорят, что функция задана неявно. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как функцию от x, затем из полученного уравнения найти .

Пример . Найти производную функции .

Решение

Это уравнение не разрешимо относительно y, следовательно, функция y(x) задана неявно. Продифференцируем обе части уравнения по x, рассматривая y как функцию от x:

,

,

из полученного уравнения найдем искомую производную :

,

.

Производная  функции  называется производной первого порядка. В свою очередь производная функции  называется производной второго порядка функции  (или второй производной) и обозначается , , .

В общем случае производной n-го порядка (обозначается , , ) называется производная от производной (n - 1)-го порядка: . Для обозначения производных порядка выше третьего используются арабские цифры в скобках.

Если функция  имеет конечную производную  в точке , то полное приращение функции  можно записать в виде

,

где  - бесконечно малая функция при .

Главная, линейная относительно , часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается :

.

Если , то , поэтому дифференциал обычно записывают в виде

.

При достаточно малых  полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т. е. , откуда

.

 

Исследование функций и построение графиков

Условие монотонности функции. Если производная функции  положительна (отрицательна) во всех точках интервала , то функция  возрастает (убывает) на этом интервале.

Точка  называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности имеет место неравенство  (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. В точке экстремума функции ее производная  либо равна нулю, либо не существует.

Функция может иметь экстремум только в тех точках области ее определения, в которых  или  не существует. Такие точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Пусть  - критическая точка функции . Если при переходе через точку  слева направо производная  меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то  - точка максимума (точка минимума). Если при переходе через точку  производная  не меняет знак, то в точке  экстремума нет.

График функции  называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная  функции  положительна (отрицательна) во всех точках интервала , то график функции  является вогнутым (выпуклым) на этом интервале.

Точка  графика функции , в которой выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба этого графика.

Необходимое условие точки перегиба. Если  - абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная  равна нулю или не существует. Точки области определения функции , в которых  или  не существует, называются критическими точками II рода.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть  - критическая точка II рода функции . Если при переходе через эту точку вторая производная  меняет знак, то  - точка перегиба. Если же при переходе через точку  производная  не меняет знак, то  точкой перегиба не является.

Асимптоты. Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки  до этой прямой стремится к нулю  при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции  в точке  равен бесконечности:

.

Прямая  может быть вертикальной асимптотой в том случае, если  - точка разрыва или граничная точка области определения.

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции  при  (), если .

Наклонные асимптоты находятся по следующим формулам:

,  .

Если , то асимптоту называют горизонтальной.

Для полного исследования функции и построения ее графика  рекомендуется следующая схема:

1) Найти область определения функции, промежутки непрерывности, определить характер точек разрыва (если они имеются), найти вертикальные асимптоты.

2) Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность и сделать вывод о наличии симметрии: если , то функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy; если , то функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат; а если  - функция общего вида.

3) Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции: границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых  равна нулю или не существует и границами области определения. В интервалах, где , график функции расположен над осью Ox, а где  - под осью Ox.

4) Исследовать функцию с помощью первой производной: интервалы монотонности, точки экстремума, экстремумы функции.

5) Исследовать функцию с помощью второй производной: интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6) Найти наклонные (горизонтальные) асимптоты  ()

7) Найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график.

Пример . Провести полное исследование функции  и построить ее график.

Решение.

1) Функция не определена лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль, т. е.  при . Следовательно, .

Находим вертикальные асимптоты. Поскольку

,

,

то прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции.

2) , т. е. функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

3)  Для нахождения  точек пересечения графика функции с координатными осями необходимо решить системы уравнений:

            

Обе системы имеют одно и то же решение: . Значит, график функции пересекает координатные оси в начале координат.

Находим промежутки знакопостоянства функции. Знаки функции показаны на схеме:

4) Вычисляем производную:

.

Первая производная обращается в нуль, когда , откуда , , . Строим схему для определения знаков производной и интервалов монотонности функции:

Так как  при , , то функция возрастает в промежутках , . Функция убывает в промежутках , ,  так как на этих промежутках .  является точкой максимума,  − точкой минимума,  не является точкой экстремума, так как при переходе через нее знак первой производной не меняется.

Вычисляем значения экстремумов:

, .

5) Находим вторую производную:

.

Вторая производная равна нулю при  и меняет знак при переходе через эту точку:

Следовательно, точка (0; 0) является точкой перегиба. График функции является вогнутым в интервалах ,  и выпуклым в интервалах , .

6) Ищем невертикальные асимптоты по формулам (1.6):

, т. е. k = 1;

, т. е. b = 0,

следовательно, прямая   является наклонной асимптотой.

7) Находим координаты двух дополнительных точек:

, .

На основании полученных результатов строим график функции (рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самоконтроля

1. Найдите производные функций.

а)

б)

в)

2. Методами дифференциального исчисления исследуйте з функцию и постройте ее график.

 

 

Раздел 7. Интегральное исчисление.

 

Требования к знаниям: понятие первообразной, определение неопределенного интеграла и его свойства; таблицу интегралов; способы вычисления  неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки, интегрирование по частям; интегрирование рациональных дробей.

что такое криволинейная трапеция; определенный интеграл и его свойства; определенный интеграл с переменным верхним пределом; формулу Ньютона-Лейбница вычисления определенных интегралов; методы вычисления определенных интегралов: метод подстановки и метод интегрирования по частям.

формулу вычисления площади плоской фигуры, длины дуги кривой, вычисления пути, пройденного телом, вычисления силы давления жидкости, вычисление работы переменной силы.

что такое интеграл с переменным верхним пределом, с бесконечными пределами, интеграл от разрывной функции.

 

Требования к умениям: вычислять неопределенный интеграл; вычислять неопределенный интеграл методом замены переменной; вычислять неопределенный интеграл способом интегрирования по частям; вычислять интеграл от рациональных дробей.

вычислять определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница; вычислять определенный интеграл способом замены переменной; вычислять определенный интеграл по формуле интегрирования по частям; вычислять площадь плоской фигуры;  вычислять длину дуги кривой; вычислять путь, пройденной точкой; вычислять работу переменной силы.

вычислять интеграл с переменным верхним пределом и с бесконечными пределами, вычислять интеграл от разрывной функции.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Первообразная. Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов и табличное интегрирование. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки, интегрирование по частям. Примеры «неберущихся» интегралов. Интегрирование рациональных дробей. Криволинейная трапеция и ее площадь. Определение определенного интеграла, его свойства. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Длина дуги кривой. Задача о вычислении пути. Задача о силе давления жидкости. Работа переменной силы. Интеграл с бесконечными пределами. Интеграл от разрывной функции.

 

Методические указания

 

Первообразная. Неопределённый интеграл

Основная задача дифференциального исчисления: по заданной функции ƒ(х) найти её производную ƒ^/(x) или дифференциал ƒ^/(x)dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию ƒ(х).

С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F^/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx

Простейшие примеры:

так как

так как

Если для ƒ(х) существует первообразная F(x), то существует и бесчисленное множество первообразных. Например, для ƒ(х) = х² первообразными будут функции:

  и т.д.

Теорема 1: Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число.

Теорема 2: Если две функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для ƒ(х) на (a,b), то их разность постоянна на этом интервале: Ф(х) – F(x) = C 

Из данных теорем следует, что если F(x) есть первообразная для ƒ(х) на (a, b), то любая другая первообразная Ф(х) для ƒ(х) на (a, b) имеет  вид     (1)

Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Множество всех возможных первообразных функции ƒ(х) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом функции ƒ(х) и обозначается символом

                                       

Знак  называется интегралом, ƒ(х) – подынтегральная функция, ƒ(х)dx – подынтегральное выражение. Таким образом, если F(x) – одна из первообразных для ƒ(х), то; по определению:

             

Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразная) называют интегрированием функции ƒ(х). В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать.

Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.

Теорема: Если функция ƒ(х) непрерывна на (a, b) то для неё существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема.

 

Основные свойства неопределённого интеграла

 

Эти свойства вытекают непосредственно из определения.

1.                       Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции (применяется для проверки):

       так как,

2.                        Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:        

Tаким образом, символы ƒ и d, следующие за друг за другом в любой последовательности, взаимно уничтожаются (с точностью до С).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

   .

5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от слагаемых:

(верно для любого конечного числа слагаемых).

 

Таблица неопределённых интегралов

 

Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то всякую формулу для производной конкретных функций можно обратить:

Поэтому таблицу основных интегралов получаем из таблицы производных, записав, её справа налево:

 

Все эти формулы проверяются дифференцированием правой части.

Пример:  Вычислить неопределенные интегралы.

 

Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными и их надо твёрдо запомнить, т.к. вычисление интеграла сводится к последовательным операциям, результатом которых являются приведения заданного интеграла к табличному (если это возможно).

 

Интегрирование с помощью замены переменной

 

Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл

F(x)dx.                                              (2)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

              x = φ(t) и dx = φ′(t)dt .                                       (3)

Для преобразования неопределённого интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

                                                (4)

В формуле (4) предполагается, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х = φ(t) мы должны получить тождество.

Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:

 ; .                                                        (5)

Замечание 2: Так как

   ,

то,   если          ,

 из (4) следует:

Таким образом, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.

Примеры:

Вообще:

Если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.

 

Правило интегрирования по частям

 

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

Интегрируем обе части равенства по х:

 .                                                            (7)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интегралаudv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться проще исходного. При этом за u(x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.

Пример :  Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

  

Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида:           ,   

 

Разложение правильной дробно – рациональной функции на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей.

 

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:      

(m>n) и знаменатель её разложен на действительные множители:

Тогда дробь (13) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

 

   Здесь   

и т.д – некоторые коэффициенты.

Без доказательства.

Практически числа A, B, и т.д. находят по методу неопределённых коэффициентов.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.

Пример : Вычислить интеграл.

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

    

Подставим найденные коэффициенты в разложение

 

Окончательно получим:

 

Всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях, причём в результате получаются многочлены, дробно – рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задачи, приводящие к понятию

 определенного интеграла

1.Площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла является одним из основных понятий математики. Между определённым и неопределённым интегралами существует тесная связь, которая и лежит в основе практического использования определённого интеграла.

К понятию определённого интеграла приводят многие задачи геометрии, механики и физики. Рассмотрим такую задачу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причём f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямыми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – её основанием 

Найдём площадь этой фигуры. Разобьём отрезок [a,b] на n частей произвольным образом. Через точки деления х₁, х₂,…х_n-1 проведем прямые, параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим длины элементарных отрезков через Δх_k:

В каждом из элементарных промежутков возьмём произвольную точку:

.

Вычислим значения функции f(x) в этих точках:

Каждую элементарную полоску с основанием заменим прямоугольником с тем же самым основанием  и высотой f() (k = 0, 1, 2,…n-1). Площадь каждого такого прямоугольника равна f() Δх_k.

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

             или    

Ясно, что площадь S_n ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближённым значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичны интервалов (и больше n)

Если измельчать разбиение отрезка , то число промежутков возрастает и полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой .

За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться S_n, когда разбиение отрезка  делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):     или

                                 (1)

Здесь  - наибольшая длина элементарного отрезка.

Данное определение соответствует интуитивным представлениям о площади плоской фигуры и оно полностью оправдывается практикой.

  Понятие определённого интеграла

Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на некоторых отрезках. Формулы (1) и (2) аналогичны друг другу в том смысле, что имеют одинаковую структуру и получены в результате выполнения однотипных действий.

Операция, приведшая к формулам (1) и (2) называется интегрированием функции на отрезке, а её результат число – называется определённым интегралом.

Пусть произвольная функция y=f(x) непрерывна на отрезке .

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        Рис. 10.

Разобьём  на n  (рис. 10) частей произвольным образом точками       а=x₀, x₁, x₂,…x_k, x_k+1,…x_n-1, x_n=b.

 Обозначим .

 В каждом из элементарных промежутков выберем произвольную точку :

 (k=0,1,…n-1) и

вычислим значение функции f(x) в этих точках:  (k=0,1,…n-1). Составим сумму:

                                                                         (3)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) при данном разбиении отрезка  на частичные и данном выборе промежуточных точек .

Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они

зависят от способа разбиения отрезка  и выбора точек. Пусть разбиение отрезков делается сколь угодно мелким, т.е. . При этом очевидно число n элементарных отрезков в разбиении стремиться к бесконечности, и интегральная сумма будет каким-то образом изменяться.

Если существует предел интегральной суммы (3), когда разбиение отрезка  делается сколь угодно мелким, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке  и обозначается:

                    .

Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Таким образом, по определению:

 

              .                           (4)

 

Из определения следует, что определённый интеграл – это число, зависящее от вида функции f(x) и от чисел a и b, но не зависящее от х₀. Теперь в рассмотренных примерах можно записать:

                                                               (5)

    и

Из формулы (5) следует геометрический смысл определённого интеграла при : определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующе криволинейной трапеции.

Из определения непосредственно вытекает, что

              .

Определение (4) интеграла сделано для случая a<b. Если a>b, то примем по определению:

, а если a=b, то .

Функция, для которой существует определённый интеграл на отрезке , называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема: Функция f(x) непрерывная на отрезке , интегрируема на этом отрезке.

Эта теорема даёт достаточное условие интегрируемости. Среди разрывных функций может быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке  функции, имеющей на нём конечное число точек разрыва, существует определённый интеграл.

Свойства определенного интеграла

 

I. Свойства, выражаемые равенствами.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

 .

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на , то определённый интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

.

Замечание: Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Следствие:

 

 (свойство линейности операции интегрирования).

3. Если отрезок  разбит точкой С на части, то интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).

 

  (свойство аддитивности).

II. Свойства, выражаемые неравенствами

1. Если функция  интегрируема на отрезке  (a<b),  то     .

2. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке  (a<b) и удовлетворяют на нём равенству , то

  (неравенства можно интегрировать, когда a<b).

Неравенство обращается в равенство, если  на .

3. Если f(x) интегрируема на отрезке  и a<b, то

                                                        (6)

4. Если функция f(x) интегрируема на  (a<b) и существуют числа m и М такие, что во всех точках отрезка  выполняется неравенство , то

.

 

 

 

 

 

 

                                      

         Геометрический смысл:

 

5. Теорема о среднем для определённого интеграла.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с  такая, что имеет место равенство:

 

                                                       (7)

 

 

              

 

Геометрический смысл. Если обе части равенства рассматривать как площади фигур, то криволинейная трапеция aABa равновелика прямоугольнику с длиной основания (b-a) и высотой f(c).

                                      (8)

Число f(c), получаемое по формуле (8), называется средним значением функции на отрезке .

 

Определённый интеграл с переменными верхним

 пределом. Связь между определённым и неопределённым интегралом

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке . Тогда  есть число, не зависящее от переменной интегрирования. Поэтому в определённом интеграле переменную интегрирования можно обозначить любой буквой:

 (если ).

Рассмотрим отрезок , где . Раз функция интегрируема на , то она интегрируема на , но на этом отрезке верхний предел интегрирования будет переменным:

.

 

 

 

 

 

 

 

                                 Рис. 15.

При этом каждому значению  соответствует единственное значение определённого интеграла. Таким образом интеграл с переменным верхним пределом есть функция верхнего предела:

                      .                                (9)

(При  можно рассматривать как площадь заштрихованной криволинейной трапеции).

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция   дифференцируема на , причём

         .

Т.е.  есть первообразная для f(x) на . Производная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой аргумент t заменяется на х: .

                                               (11)

 

Формула (11) устанавливает связь между неопределённым и определенным интегралами.

 

Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление

определённого интеграла

Установленная связь между определённым и неопределённым интегралами (11) позволяет получить очень важную формулу для вычисления определённого интеграла.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке  и F(x) есть какая-то из первообразных для f(x) на , то имеет место формула:

 

     - формула Ньютона-Лейбница.(12)

Будем обозначать  - двойная подстановка.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл (рис. 16).

 

 

 

 

 

 

 

              Рис. 16 .                                   Рис. 17.   

 

         .

 

Интегрирование по частям в определённом интеграле

 

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в . Тогда, дифференцируя произведение получим

.

Проинтегрируем это тождество по х в промежутке. 

              .

Эту формулу надо понимать так:

.

Формула такая же, что и для неопределённого интеграла, но в результат  надо подставить пределы интегрирования.

Пример.

 

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть надо вычислить , где f(x) – некоторая непрерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную . При этом пользуются следующим правилом:

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1.       Функция f(x) непрерывна на отрезке .

2.       Функции  и  непрерывны в промежутке  и  при  и .

3.       Сложная функция  непрерывна на . Тогда

                                                    (13)

Пример.      

                          

Приложения определенного интеграла.

 

Площадь плоской фигуры в декартовых  координатах

 

Если  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции вычисляют по формуле (1). Если  на , то  и

   S= -    

Если f(x) принимает на  значения разных знаков, то

Вычисление длин дуг

Пусть дана функция f(x) имеющая непрерывную производную на отрезке . Геометрически это означает, что на кривой АВ нет ни угловых точек, ни точек возврата. Такие линии называются гладкими.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это дифференциал длины дуги параметрически заданной кривой                                                                            

Если гладкая кривая задана в декартовых координатах: y=f(x)

                                                             

Если кривая задана параметрически, то из (I0):

                                                    

 

Задания для самоконтроля

1.      Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной

2.      Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям

3.      Вычислить интеграл

4.      Вычислить определенный интеграл

5.      Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

6.      Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

7.      Вычислить площадь плоской фигуры

8.      Вычислить длину дуги кривой

 

Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.

 

Требования к знаниям: что такое числовой и функциональный ряд, члены ряда, общий член ряда, частичные суммы ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда; что такое степенной ряд, радиус и область сходимости степенного ряда, сумма степенного ряда;

что такое абсолютно и условно сходящиеся ряды, необходимое условие сходимости ряда; признак сравнения и признак Даламбера для исследования числовых и функциональных рядов на сходимость.

формулу Тейлора, что такое ряд Тейлора, как раскладывается функция в ряд Тейлора.

 

Требования к умениям: исследовать числовые и функциональные ряды на сходимость, находить сумму ряда, раскладывать функции в ряд Тейлора.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Определение числового и функционального ряда. Ряды с неотрицательными членами. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Степенной ряд. Радиус и область сходимости степенного ряда. Сумма степенного ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признак сравнения и признак Даламбера для исследования числовых и функциональных рядов на сходимость. Формула Тейлора. Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. Ряды Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

 

 

 

 

 

Методические указания

Пусть задана бесконечная последовательность чисел а₁….а_n  тогда выражение вида   (1)  называется числовым рядом.  Числа а₁, а₂,…а_n называется членами ряда. a_n – общий член ряда.

  Сумма n  первых членов ряда называется n- ой частной суммой и обозначается S_n=a₁+a₂+…+a_n. 

  Рассмотрим последовательность частичных сумм S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S_n= a₁+a_2+…+a_n  последовательность S₁,S₂,..,S_n                                                   (2)

  Ряд (1)  называется сходящимся,  если последовательность его частичных сумм  (2)  сходится к какому-либо конечному числу, т.е.   -  сумма ряда (1)  = lim S  S=

Если не существует или S_n®¥  n®¥   то ряд (1)  называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами.

Теорема 1

  Если сходится ряд a₁+a_2+…+a_n (4), то сходится и ряд a_к+1+a_к+2+…+a_к+n=  (5)  и обратно  если сходится ряд (5)  то сходится и ряд (4)

  Иными словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.

Теорема 2

  Если ряд (4)  сходится и его сумма равна S  то и рад   (6)  где с=const   тоже сходится, причем его сумма =с S.

Теорема 3

  Пусть даны два ряда  и   пусть они сходятся и их суммы соответственно равны S и s тогда ряд   тоже сходится и его сумма равна  S+s  .

  Таким образом сходящиеся ряды можно умножать на число,  складывать или вычитать.

 

Необходимое условие сходимости ряда.

 

При исследовании рядов на сходимость возникают две задачи исследовать ряд на сходимость, зная что ряд сходится  найти его сумму.

  Теорема (необходимое условие сходимости ряда).

Если ряд   сходится то его  общий член стремится к 0 то есть             (7)

Замечание: условие (7) является необходимым но не является достаточным условием сходимости ряда.

  Таким образом, если общий член ряда стремится к 0 то еще нельзя сделать вывод о сходимость ряда, необходимо дополнительное исследование с помощью других признаков сходимости ряда.

Замечание:       Если для некоторого ряда а_n не стремится к 0 то ряд расходится. 

 

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.

  Пусть даны два ряда с положительными членами (9) и   (10). 

Теорема (Признак сравнения)

  Если все члены ряда (9)  не больше  соответствующих членов ряда (10)  a_n£b_n (11)   то из сходимости (10)  следует сходимость (9)  , а из расходимости (10)  следует расходимость (9).

Замечание (1):  Теорема остается в силе и для того случая, если некоторые члены рядов (9)  или (10)  равны 0.  Однако перестает быть верной, если среди членов ряда есть отрицательные числа.

Замечание 2:    Теорема справедлива и в том случае если (11)  выполняется не для всех n начиная с первого а с N£n.

  Существуют признаки сходимости рядов позволяющее непосредственно судить о сходимости или расходимости ряда не сравнивая их с другими рядами, о которых известно сходятся они или нет.

 

Признак Даламбера.

Теорема

  Пусть ряд  с положительными членами и существует  , тогда при r£1 ряд сходится r³1 ряд расходится.

Замечание:       При r=1 вопрос о сходимости остается.  Требуется делать дополнительные исследования.

Пример. Используя признак Даламбера исследуйте на сходимость следующие ряды:  

а)                      б)

Решение. Используя признак Даламбера, получаем:

а)  , а   Þ  ряд сходится                

б)  а следовательно ряд сходится                

 

Знакопеременые  ряды. Абсолютная и условная сходимость.

 

  Рассмотрим ряд с членами произвольных знаков u₁+u₂+…+u_n=(1)  .  Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные при чем их расположение произвольно.

  Рассмотрим одновременно ряд составленный из абсолютных величин ½u₁½+½u₂½+…+½u_n½=- (2).

  Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся если сходится ряд (2) если же знакопеременный ряд (1)  сходится а ряд два расходится то данный ряд (1)  называется условно сходящимся.

Функциональные  ряды. Область  сходимости.

            Ряд  U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…=    (1)   называется  функциональным , если  все  его  члены  являются  функциями  от  x. При  различных  x  мы  получаем  различные  числовые  ряды, которые  могут  быть  как  сходящимися, так  и  расходящимися. Совокупность  их  значений  x , при  которых  (1)  сходится,  называется  областью  сходимости  этого  функционального  ряда. Сумма (1)  S_n(x)  является  функцией  от  x  в  области сходимости  ряда. Пусть S_n(x)  которая  частичная  сумма  S_n(x)=U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x) , тогда  если  ряд 

сходится, то  f(x)=S_n(x)+R_n(x), где  R_n(x)=U_n+1(x)+U_n+2(x)-R_n  -  остаток  ряда  (1)  после  n-го  числа  к  ее  области  сходимости  ряда  для  каждого  x  ,поэтому

R_n(x)=S(x)-S_n(x) , то =-=0  остаток  степенного  ряда  R_n при  n стремится  к  нулю.

  Разложение функции в ряд Тейлора

Если функция  в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Дання формула носит название формулы Тейлора.

Очень часто приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, корда а=0:

Это разложение в ряд называют рядом Маклорена.

 

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию .

 

Реш ение. Положим , тогда . Имеем

При  находим искомое разложение

которое справедливо, очевидно, для всех значений х.

 

Задания для самоконтроля:

1.      Найти сумму ряда

2.      Исследовать ряд на сходимость

3.      Разложить функцию у = cos х в ряд Тейлора до 5 порядка

4.       

Раздел 9. Функции нескольких переменных.

 

Требования к знаниям: что такое функция нескольких переменных; область определения и область значений функции нескольких переменных;  геометрическое изображение функции двух переменных; что такое предел и непрерывность функции двух независимых переменных.

что такое частные производные функции нескольких переменных; геометрическую интерпретацию частных производных функции двух переменных; что такое полное приращение и полный дифференциал; максимум и минимум функции нескольких переменных.

что такое двойной интеграл и его свойства; как вычисляется двойной интеграл; приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.

 

Требования к умениям: вычислять предел функции двух независимых переменных; исследовать функцию двух независимых переменных на непрерывность; находить частные производные.

вычислять двойные интегралы; вычислять: площадь поверхности, массу неоднородной плоской фигуры, координаты центра тяжести неоднородной плоской фигуры.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Полное приращение и полный дифференциал. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.

 

Методические указания

 

Понятие функции двух переменных.

Область определения.

Если каждой паре значений независимых переменных  (х,у), взятых из некоторой области изменения, по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение третьей переменной z, то  z  называется функцией двух переменных х и у: z = f (x,y)

  Например: z =ln (.

Переменные х и  у называются аргументами функции z. Область D – область определения функции z. Область определения функции двух переменных – некоторая область плоскости  Оху .

 

 

 

                     

 

 

 

                                    

                            Рис.1.                                                                        Рис. 2.

 

Определение.  d- окрестностью точки M₀ (х₀,у₀) называется внутренняя часть круга радиуса d. с центром в точке M_0, d (M₀Р) < d.    или   < d..

Точка М₁  называется внутренней точкой множества D, если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества.

Точка М₂  называется граничной точкой множества D, если  любая окрестность  этой точки содержит как точки принадлежащие множеству  D, так и точки ему не принадлежащие (рис.2). Сама граничная точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей.

Множество  D называется замкнутым (), если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется  открытым , если все его точки являются внутренними.

 Множество D точек плоскости                    Оху называется областью, если:                                                                                                                                                            1. D – открытое множество т.е. состоит только из внутренних точек.

2.Всякие две точки М₁ и М₂ÎD можно

соединить непрерывной     линией, все

точки которой     также принадлежат D (свойство связанности).                                                                 

                                                                                                              

                                                                                                               Рис. 3.

                                     

            Открытая область является аналогом интервала (а,b) на прямой. Замкнутая область   - аналог отрезка [a,b] Найдем области определения функций.

Пример. ;    .

Замкнутый круг (рис.4, а)  - аналог отрезка [a,b].

Пример.    ;   

Открытый  круг (рис.4, б)  - аналог интервала  (a,b).

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

Пример.   ;

Кольцо   (рис. 4, в) -  аналог полуинтервала  (a,b].

            Для функции   y= f (x)  графиком является  кривая на плоскости  Оху. Функция двух переменных также допускает непосредственное геометрическое истолкование.

 

Предел и непрерывность функции нескольких

переменных.

 

Определение предела функции нескольких переменных такое же, что и для функции одной переменной. Для простоты формулировки рассмотрим определение для  n=2.

Определение.  Число  А называется пределом функции двух переменных f (х, у)  при х® х_0, у® у₀  ( или при М ® М₀), если" e >0 $ d _e > 0 такое, что для всех точек d-окрестности точки М­₀  ( х_{0 ,}  у₀) выполняется неравенство

     ,                                                            (1)

     если  (х, у)ÎU_d (M₀)                                                       (2)

В этом случае пишут:

,     или.

                 Условие (2) означает, что точка   М  ( х _,  у) принадлежит            d - окрестности точки  М­₀  (х_{0 ,}  у₀) и не совпадает с точкой М_0. Согласно определению, предел А  не зависит от способа приближения точки М  к точке М₀: чтобы существовал предел   f (М)  при М® М₀, все пределы по бесконечному множеству различных путей должны существовать и быть равными

В этом отношении для функции одной переменной дело обстоит проще; т.к. здесь   х® х₀  только по двум направлениям: слева и справа  (рис. 7, б). Для существования   

необходимо и достаточно, чтобы    ;       .

Так как определение предела для функции f (х, у) логически совпадает с определением предела для функции одной переменной, то остаются в силе все теоремы о пределе функции и правила их вычисления.

Иногда при вычислении предела функции двух переменных можно поступать следующим образом: вычисляют предел функции f (х, у)  по всем возможным прямым, проходящим через точку М₀ ( при М ®М₀), если все эти пределы равны числу А, то  .

Функция  f (х,у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если точка М₀ принадлежит области определения функции и если

                                          (3)  

            или

                                             (4).

           Функция f (х, у) называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

            Для выполнения условия непрерывности (3) необходимо, чтобы:

1) функция f (х, у) была определена в точке М₀(х₀,у₀);

2) существовал предел  ;

3) f (М₀) = А.

Точка  М₁(х₁,у₁)  называется точкой разрыва функции      f (х, у), если функция определена в окрестности этой точки, но в самой точке М₁ не выполнено хотя бы одно из указанных условий непрерывности.

Непрерывность функции f (х, у) по совокупности аргументов не сводится к непрерывности по каждому аргументу в отдельности.

Определение непрерывности функции нескольких переменных f (М)  (4) совершенно аналогично определению непрерывности функции одной переменной. Поэтому все свойства, установленные для непрерывных функций одной переменной, остаются в силе для непрерывных функций нескольких переменных:

1.Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в области определения.

            2. Если функция f (М)  непрерывна в замкнутой области, то она ограничена в ней ( достигает наибольшего и наименьшего значения ).

3. Непрерывная в  функция, непрерывно переходя от одного своего значения к другому, необходимо проходит через каждое промежуточное значение.

 

  Частные производные и частные  

дифференциалы первого порядка

 

Пусть функция z =f (х, у) определена и непрерывна в точке М₀ (х₀, у₀) и ее некоторой окрестности. Фиксируем значение

 

 

 

 

М2

М1

М0

у0+Dу

у0

М2

М101

М0

у0+Dу

у0

ух

ух

 у = у₀, а изменять будем  х. Получим функцию одной переменной z =f (х, у₀). Пусть  М₁( х +Dх, у₀). Рассмотрим разность

D_х z = f (М₁) - f ( М₀)= f ( х +Dх, у₀) - f (х₀,у₀).

0

0

Эта разность называется частным приращением функции z

х0

х0+Dх

х0

х

х0+Dх

х

                                                      по переменной х : D_х z.

 

                     Рис. 5.  .      

Если существует предел отношения   при  Dх®0 , то этот предел называется частной производной функции z по переменной  х в точке М₀ (х₀, у₀).

            Обозначается   , ,    ,  .

Таким образом, по определению  = или =

В определении частной производной не все координаты равноправны: у – фиксирован, а  х изменяется. Точно так же при перемещении из точки М₀(х₀, у₀)  в точку  М₂( х₀, у₀ +Dу) получим частное приращение функции z по переменной у (фиксировано   х = х₀,  а  у изменяется:  z= f(х₀, у) ). 

              D_y z = f (М₂) - f ( М₀)= f ( х₀ ,y₀+D у) - f (х₀,у₀)

Предел отношения   при  Dу®0 , если он существует,  называется частной производной функции z по переменной  у.

            Обозначается  , ,    ,  .

По определению    =  или         =.

Отношение    дает среднюю скорость изменения функции  z по аргументу  х на отрезке М₀ М₁, а отношение    дает среднюю скорость изменения функции  z   по аргументу  у на отрезке М₀ М₂.

            Частные производные   и  характеризуют  скорость изменения функции  z в точке  М₀ (х₀, у₀) в направлении координатных осей  Ох и Оу.

            Из определения частных производных следует и правило их вычисления: например, частная производная функции          z =f (х, у)  по переменной х находится так же, как и обыкновенная производная, считая  у =const . Наоборот, частная производная функции z =f (х, у)  по переменной у находится так же, как и обыкновенная производная, считая  х =const.

            Поэтому при вычислении частных производных сохраняют силу правила и формулы дифференцирования, доказанные для функции одной переменной.

Пример . .

        = ,   =  

 

Точно также определяются частные производные для функций большего числа переменных. Например, для  n=3:

u= f(x,y,z)  и

=;

=  ; =.

По аналогии с функциями одной переменной можно для частных приращений функции f(x,y) ввести понятие частного дифференциала :

D_х z = ;      d_х z =    и 

D_y z = ;      d_y z = .

d_х z   и  d_y z – главная часть соответствующих частных приращений функции f(x,y) .

Полное приращение функции и полный   

дифференциал

 

Для дифференцируемой функции одной переменной:

            Dу = f¢ (x₀)Dx +aDx,

        где   a®0  при  Dx ®0.

        dу = f¢ (x₀)d x и

          Dу»  f¢ (x₀) D x,

т.е.  f (x₀+ D x) » f (x₀) + f¢ (x₀) D .                                                 Рис. 6.

  

         При этом дуга кривой    заменяется отрезком касательной   на отрезке [x₀, x₀+ D x]. Это значит, что нелинейная функциональная зависимость на малом промежутке заменяется более простой – линейной.

Рассмотрим функцию двух переменных f (x,у). Пусть она определена и непрерывна в точке М₀(х₀ ,у₀) и некоторой ее окрестности.

 Перемещению из точки   М₀(х₀ ,у₀) в точку  М(х ,у)

                              х =  x₀+ D x, у = у₀+ Dу

соответствует полное приращение функции:

D z = f (М) - f (М₀) =

у0+Dу

=f (x₀+ D x, у₀+ D у) - f (x₀, у₀);

т.к. здесь, вообще говоря, все переменные получают

приращения отличные от нуля .                              

                                                                                      

Так как   z  = f (x, у)   непрерывна в точке М_0,:

;  то = 0  или   = 0. Если функция  z  = f (x, у)  линейна, то ее  полное приращение имеет очень простой вид: оно линейно относительно приращений аргументов. Действительно:

z = a x +b у + c; D z = [a( x +Dx) + b( у + Dy) +c] – [a x +b у + c ];  

D z =aDx + b Dy.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Точка М₀(x₀,y₀) называется точкой максимума  функции z = f(М) , если всюду в некоторой окрестности  точки М₀ (0<d(M₀M) < d) выполняется неравенство

                    f(М) <f(М₀)    или      D z = f(М) - f(М₀) <0

 Точка М₀(x₀,y₀)   называется точкой минимума  функции   z = f(М)  (рис.14), если всюду в некоторой окрестности  точки М₀ (0<d(M₀M) < d) выполняется неравенство

  f(М) >f(М₀)        или        D z = f(М) - f(М₀) > 0.

Точки максимума и точки   минимума – точки экстремума. Понятие экстремума носит локальный характер: в определении рассматриваются лишь точки М₁ достаточно                                     близкие к точке М_0.

Теорема. (Необходимое условие). Если функция z= f(x,y)  дифференцируема в точке М₀(x₀,y₀) и  имеет в этой  точке экстремум, то

;  .

                                        

Следствие. В тех точках, в которых существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Значит экстремум следует искать только в тех точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.

Такие точки называются критическими (стационарными). В критической точке экстремум может быть, а может  и не быть. В общем случае о наличии  или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточных признаков экстремума. 

 

Достаточный признак экстремума

 

Теорема 2. Пусть функция z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀ (х₀ ,у₀),  а в самой точке М_0.

;    (т.е. точка М₀ является критической). Обозначим:

,   , . 

Тогда  :

1. Если число  D =>0, то точке М₀ (х₀ ,у₀) функция  f(х,у)  имеет экстремум, а именно максимум, если  А < 0 и минимум, если А > 0.

2. Если число  D =<0, то точке М₀ (х₀ ,у₀) экстремума нет.

3. Если число  D ==0, то признак не применим.

Пример.  Найти экстремум функции                         

          .

Найдем частные производные и приравняем их нулю.

.

            Решая систему уравнений, получим критические точки

х₁=0;  у₁ =0;  х₂= 3;  у₂= 3;   М₁(0,0);  М­₂(3,3).

Найдем вторые производные:

 = 6х,   =-9,  = 6у.

            В точке М₁: А=0,  В= - 9,   С =0. < 0.  Экстремума нет .

В точке  М₁: А=18,  В = - 9,   С = 18. >0. Следовательно, в точке М₂ функция имеем минимум, так как  А>0.

Двойной интеграл

Двойным интегралом от f(x;y) по области D называется предел сумм:

D – множество точек (x;y) – область, по которой интегрируют

Площадь i-части

  Геометрический смысл двойного интеграла: V=

D – область интегрирования, V – объём. Аналогично определяется тройной интеграл:

T – трёхмерная область интегрирования (объёмная фигура)

dV - элемент объёма, который получился после разбиения Т на элементарные кусочки. Анало-гично определяются все оставшиеся n-мерные интегралы.

Свойства кратных интегралов  аналогичны свойствам определённого интеграла. Рас- смотрим на примере двойного интеграла:

 1)

 2)     (f(x;y))

 3) , если

 4) Если , то

 5) Если , то

 6)      области T

 7) Если на D  , то т.

 8) Теорема о среднем: Если f непрерывна в D, то существует хотя бы одна точка , для кото- рой

  Достаточное условие интегрируемости: Кратный интеграл от f по множеству D(T) су- ществует, если f непрерывна на этом множестве.

  Вычисление кратных интегралов:

,

где ;

- пределы изменения x и y.

  Чтобы вычислить двойной интеграл, надо сначала вычислить внутренний интеграл по y, считая x-const, получим функцию, зависящую только от x, которую интегрируем по .

  Замечание: если область интегрирования – прямоугольник, то ,

где a, b, c, d – числа.

Двойной интеграл применяется для вычисления расстояния, объёма и т. д.:

;                  

Задания для самоконтроля:

 

1.      Найдите полное и частные приращения функции

2.      Исследовать на непрерывность функцию

3.      Найти предел функции

4.      Найти частные производные функции

5.      Найти экстремум функции

6.      Вычислить

 

Раздел 10. Дифференциальные уравнения.

 

Требования к знаниям: основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка; некоторые дифференциальные уравнения первого порядка.

что такое уравнения с разделяющимися переменными; правило нахождения общего решения; что такое линейные дифференциальные уравнения первого порядка; общее решение линейного уравнения первого порядка; однородные дифференциальные уравнения.

какие уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями  второго порядка с постоянными коэффициентами, линейными однородными уравнениями с постоянными коэффициентами.

какие уравнения называются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры решения.

 

Требования к умениям: решать  дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменным, находить общее решение; линейные дифференциальные уравнения первого порядка, находить общее решение; однородные дифференциальные уравнения

решать дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

решать неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

 

 

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала:  Примеры дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными: определения и примеры, правило нахождения общего решения.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: общее решение линейного уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Линейные дифференциальные уравнения  второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Примеры решения.

 

 

Методические указания

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f(x) и её произведение у’,y’’,…y⁽ⁿ⁾

Например: 100ху² – у' +5=0

Если искомая функция у=f(x) – функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например: так уравнение 100ху² –у' +5=0 – уравнение первого порядка

уравнение у''+ку'-bу-sinx=0 – уравнение второго порядка.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется всякая функция у=f(x), которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

 

Решить дифференциальное уравнение – это значит:

1.           найти его общее решение (если начальные условия не заданы) или

2.      найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

 

 

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

 

1.                       Уравнения с разделяющимися переменными.

 Уравнения вида у'=f₁(х) ·f₂(у)^(*), где f₁(х) и f₂(у) – непрерывные функции называются уравнением с разделяющимися переменными.

Решение такого уравнения: предположим, что f₂(y)0 и перепишем в виде: =f₁(x)dx   (1)

Считая у – известной функцией от х рассматриваем (1) как равенство двух дифференциалов.

Интегрируем левую часть по у, а правую – по х и получим:

= - это общее решение уравнения (*)

a)                       Уравнение вида М(х)dx+М(у)dу=0 – называется уравнением с разделёнными переменными, его решение имеет вид:

     (2)

b)                      Уравнение вида М₁(х)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 – называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно приводится к виду (2) делением обеих частей на N₁(y)M₂(x):

 

2.                       Однородные уравнения первого порядка

Функция f(x;y) – называется однородной функцией первого измерения относительно переменных х и у, если   верно  f()=ⁿf(x;y)

Уравнение первого порядка =f(x;y)  называется однородным относительно х и у, если f(x;y) – однородная функция нулевого измерения относительно х и у,                т.е. f()=f(x;y)

Решают однородные уравнения при помощи замены u= или y=ux.

Тогда уравнение имеет вид: =u+ ·x,

откуда =f(1;) или u+^··x=f(1;u) – это уравнение с разделяющимися переменными: =

К однородным приводятся уравнения вида:

 Замена z=ax+by 

и получим уравнение:       с разделяющимися переменными 

                           

 

3.                       Линейные уравнения.

Уравнения вида у'+p(x)y=f(x), где p(x)  и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если f(x)0, то получаем линейное однородное уравнение.

Если f(x)0, то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.

Решение линейного уравнения ищут в виде  у=u(x)·v(x)

В качестве v(x) берём  v(x)= e^-

                                       u(x)=

Тогда  y=v(x)

Дифференциальные уравнения второго порядка

 

Уравнение вида F(x,y,y’,y’’)=0 называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Обычно их записывают в виде: у’’=f(x;y;y’) (1)

Начальные уравнения для уравнения второго порядка имеют вид: если х=х₀, то у=у₀, у'=у'₀ (2)

Функция у= (x,C₁,C₂) называется общим решением уравнения (1), если она является решением уравнения (1) при любых значениях С₁ и С₂ и при любых значениях начальных условий (2) существуют единственные значения С₁   и С₂  такие, что функция у= (х,С₁,С₂ ) удовлетворяет данным начальным условиям.

Любая функция у= (х,С₁,С₂ ), получающаяся из общего решения у= (х,С₁,С₂) уравнения (1) при определённых значениях С₁ и С₂ называется частным решением.

 

 

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Это  уравнение вида: у''+ру'+qy=0.             

Для его решения составляют характеристическое уравнение, заменяя у’’ на к²; у’ на к; у на 1

 к²+рк+q=0

Находят корни этого уравнения

 к₁ и к₂

Этим  соответствуют частные линейно независимые решения (т.е. ) у₁=е^{к х} и у₂=е^{к х}

Общее решение будет иметь вид: у=С₁е^{к х}+С₂е^{к х}.

Замечание: если к₁= к₂, то у₁=е^{к х}, у₂=хе^{к х}, если к₁, к₂ – компл., то у₁=e^RekcosImk₂x

 

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Это уравнение вида у''+ру'+qу=f(x) (2), где f(x) – непрерывная функция.

Общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Для нахождения частного решения пользуются методом неопределённых коэффициентов.

Если f(x)=P_n(x) – многочлен n-ой степени, то частное решение =Q_n(x)·x^r, где Q_n(x) – многочлен с неопределёнными коэффициентами n-ой степени, r – количество корней характеристического уравнения,     равных 0.

Коэффициенты определяем путём подстановки , , в исходное уравнение.

Системы дифференциальных уравнений

Совокупность уравнений вида

                                           

называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.          

Пример. Найти общее решение уравнения

 

Решение. Разделив переменные, получим

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований в качестве такой постоянной приняли

Потенцируя по­следнее равенство, получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

 

Пример. Найти частное решение уравнения                      

 

Решение. Разделив все члены данного уравнения на cos х, придем к уравнению

которое является линейным . Положим y=uz; тогда

 

Подставив выражение для

или

Для отыскания u получаем уравнение

из которого следует

Подставляя выражение для и в уравнение (**), приходим к

т.е

Следовательно, общее решение исходного уравнения:

Используя начальные условия, получаем

Откуда С=0. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

 

Задания для самоконтроля:

 

1.      Найти общеерешение уравнения y²dx + (x - 2)dy = 0

2.      Найти частоное решение уравнения       y=4  при х=0

 

Раздел 11. Основы теории комплексных чисел.

 

Требования к знаниям: что такое комплексное число; как  геометрически изображается комплексное число; что такое модуль и аргументы комплексного числа.

какие существуют формы записи комплексного числа; как переходить из одной формы записи к другой.

как на множестве комплексных чисел вводятся операции сложения, умножения, деления и равенства комплексных чисел; свойства операций над комплексными числами; алгебраические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме; как комплексное число возводится в степень, и извлекается корень из комплексного числа; как решаются  квадратные уравнения на множестве комплексных чисел.

 

Требования к умениям: переходить от одной формы записи комплексного числа к другой; выполнять действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической форме.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Необходимость расширения множества действительных чисел.  Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Свойства операций над комплексными числами. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа. Решение квадратных уравнений. Комплексная степень числа е.

 

Методические указания

Комплексным числом называется выражение z =x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей: i²= -1.

Корни приведенного уравнения можно записать в виде

z₁ = (2+3i ),   z₂ = (2-3i ).

Числа х и y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами:

x = Re z ,   y = Im z

Если y = 0, z = x + i0 считается совпадающим с действительным числом x. Если x = 0, то z = 0 + iy обозначается просто iy и называется чисто мнимым числом.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и будем рассматривать упорядоченную пару чисел (x,y) как координаты точек этой плоскости.

Тогда каждому числу z = x + iy будет отвечать определённая точка z (x,y) плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости будет отвечать определённое число z = x + iy.

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости Оху существует взаимно однозначное соответствие.

              Плоскость Оху называется                                            плоскостью комплексных чисел (z). Действительные числа изображаются при этом точками оси Oх. Ось Oх  называется действительной осью.

 

                                                                                                                                                                                                                                                                    Рис.1.

Чисто мнимые числа z = iy изображаются точками на оси Oу, которая называется мнимой осью.

 

Три формы записи комплексного числа

 

1.       Алгебраическая форма:

 

 z = x + iy.                                        (1)

 

Два комплексных числа z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ равны друг другу (z₁ = z₂) тогда и только тогда, когда

x₁ =  x ₂, и y₁ = y₂

Если x₂ = x₁, а y₂ = -y₁, то комплексные числа z₁ = z₂ называются взаимно сопряжёнными:

z = x + iy,  = x – i y.

Точки z(x,y) и z(x,-y) симметричны относительно действительной оси Oх.

2. Тригонометрическая форма.

 

Введём в рассмотрение радиус-вектор  точки z  и угол φ, образованный им с положительным направлением оси Oх. (рис.1).

Величины r и φ называются, соответственно, модулем и аргументом комплексного числа z  и обозначаются символами:

r = | z |; φ = Arg z .

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой (из треугольника, рис 1);

r = | r |

Все значения аргумента φ удовлетворяют соотношению

Угол φ называется аргументом комплексного числа z:

Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2π. Если z =0, то аргумент произволен.

Наименьшее по модулю значение аргумента Arg z  называется его главным значением:

 или

Главное значение аргумента определяется однозначно. Очевидно:

        

Из треугольника: x = cosφ и y = sinφ . Поэтому любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

или (=r)

                                                      (2)

Два комплексных числа z₁ и z₂ равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2кπ:

;   

Для перехода от алгебраической формы (1) к тригонометрической (2) пользуются равенствами:

;    ..

 

Пример. Записать комплексные числа в тригонометри-

  ческом виде

    

                                                                                   Рис.2.

 

 3. Показательная форма.

Рассмотрим показательную функцию с мнимым показателем . Положим по определению:

= cosφ - i   - (формула Эйлера)                     (3)

Вывод этой формулы содержится в теории рядов. С её помощью от тригонометрической формы (2) записи комплексного числа можно перейти к показательной:

                                                                            (4)

Пример. Записать комплексные числа в показательной форме.

Правая часть формулы (3) есть комплексное число с модулем, равным 1:

                                       (5)       

i

у

х

1

Значит, равенство (5) на плоскости (z) определяет окружность единичного радиуса с центром в начале координат.                                    

                                                

.                            Рис. 3.                            

При φ=0 z==1; при φ=π/2 z==I и т.д. Таким образом, при изменении φ от 0 до 2π точки z  = опишет окружность единичного радиуса против часовой стрелки.

В отличии от функции , функция  периодическая с периодом T = 2π.

  

Действия над комплексными числами

 

На множестве комплексных чисел определены те же действия, что и на множестве действительных чисел. Пусть

 и

а) Сумма и разность двух комплексных чисел определяется следующим образом:

т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются, а при вычитании вычитаются.

б) Произведение двух комплексных чисел получается по правилу умножения многочленов, учитывая, что i² = -1:

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

    (6)

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

В показательной форме:

в) Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению:

В алгебраической форме:

Пример:   Вычислить:

Пусть числа z₁ и z₂ заданы в тригонометрической форме (6). Найдём модуль и аргумент частного. По определению:

   и   .

 Отсюда:     и   .

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

 или

г) Возведение комплексных чисел в натуральную степень.

Целая положительная степень комплексного числа определяется так же, как и действительного: .

Например:

и т.д.  В общем случае:

 .

Пусть число z задано в тригонометрической форме:

                  

                                      Тогда  .      

                                               Отсюда:    

                                           .

 

            Рис. 4.              

В показательной форме:                          

                           

        

Пример. Вычислить . Запишем число  z=1+i в тригонометрическом виде. Здесь  = ,

tg=1;   ;   z =(рис. 4).

д) Извлечение корня.

 

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число w (w=), что   wⁿ=z.

Пусть числа z и w представлены в тригонометрической форме:

 и

Найдём ρ иq. Так как 

Поэтому: ρ=- арифметическое значение корня из положительного числа r, а q= (k=). Т.о.

 или

Значение q_к, дающие существенно различные значения корня n-ой степени из z соответствуют только n значениям k (0,1,2,…n-1). Остальным целым k соответствуют значения q_k, отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2π.

Проверить, например, что w_n=w₀ !

Таким образом, комплексное число z0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из этих формул. Из формул вытекает, что все значения корня лежат на окружности радиуса ρ=и делят окружность на n равных частей.

Пример.  Вычислить  . Запишем число в тригонометрической форме:

                                          

            Рис.5.

  Пример 2:  Вычислить  . Запишем число в показательной форме:

    

 

 

 

            

 

 

 

 

 

 

                                         Рис. 6.

 

 

Задания для самоконтроля:

1.      Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа

2.      Выполните действия

3.      Для данного комплексного числа запишите сопряженное и противоположное числа: 1 - 5i  

4.      Выполните действия

5.      Представьте в тригонометрической форме число

6.      Представьте в алгебраической форме число

7.      Решите уравнение х² - 2х + 5 = 0                      

 

Раздел 12. Численные методы.

 

Требования к знаниям: что такое приближенное значение величины; абсолютная и относительная погрешности приближения; как проводится округление чисел; каковы погрешности вычислений с приближенными данными.

суть метода половинного деления, метода простой итерации, метода секущих и метода парабол.

суть метода исключения Гаусса, метода простой итерации, метода итераций Зейделя, метода Ньютона  решения систем уравнений.

что такое интерполяция, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона, погрешность и сходимость интерполяции, экстраполяция.

суть дифференцирования интерполяционного многочлена Ньютона, как применяется ряд Тейлора для численного дифференцирования.

суть численного интегрирования, формулы численного интегрирования, суть метода Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения  порядков точности.

суть метода конечных разностей, метода Эйлера и метода Рунге-Кутты.

 

Требования к умениям: решать уравнения методом половинного деления,  методом простой итерации, методом секущих, методом парабол; решать системы уравнений методом исключения Гаусса, методом простой итерации, методом итераций Зейделя, методом Ньютона

исследовать интерполяционные математические модели; проводить оценку точности интерполяции; дифференцировать интерполяционный многочлен Ньютона, применять ряд Тейлора для численного дифференцирования; применять формулы численного интегрирования, применять  метод Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точности.

применять методы  конечных разностей, Эйлера, Рунге-Кутты для  численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

Формируемые компетенции

OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

 

Содержание учебного материала: Абсолютная и относительная погрешности приближения. Округление чисел. Погрешность округления.  Погрешности вычислений с приближенными данными. Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод итераций. Определение интервала изоляции действительного корня уравнения. Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Постановка  задачи численного дифференцирования. Постановка задачи численного интегрирования.  Формулы численного интегрирования. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.

 

Методические указания

 

Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух типов:

·  одни в точности дают истинную величину и называются точными;

·  другие – только приблизительно, не точно; такие называются приближенными.

Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, т. к. последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры

1.                      В книге 420 страниц; число 420 – точное.

2.                      В шестиугольнике 9 диагоналей; число 9 – точное.

3.                      Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла; число 50 – приближенное, т. к. весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.

4.                      Расстояние от станции Москва до станции Санкт-Петербург по железной дороге составляет 651 км; число 651 – приближенное, т. к. наши измерительные инструменты не точны и, кроме того, сами станции имеют некоторое протяжение.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число.

Теория приближенных вычислений позволяет:

·  зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;

·  брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но при этом по возможности избавить вычислителя от излишних бесполезных расчетов;

·  рационализировать сам процесс вычислений, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

В приближенных вычислениях часто приходиться округлять числа (как приближенные, так и точные), т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. Чтобы обеспечить наибольшую близость округленного числа к округляемому, соблюдаются следующие правила:

Правило №1

Если первая из отбрасываемых цифр больше или равняется 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т. е. увеличивается на единицу.

Пример. Дано число 45,769, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра – 6 ≥ 5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) усиливается, т. е. увеличивается на единицу. И, таким образом, округленное число будет 45,8.

Правило №2

Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то усиление не делается.

Пример

Дано число 45,749, которое нужно округлить до десятых. Первая отбрасываемая цифра – 4<5. Следовательно, последняя из сохраняемых цифр (7) не усиливается, т. е. округленное число будет – 45,7.

Правило №3

Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число. Т. е. последняя цифра остается неизменной, если она четная и усиливается, если – нечетная.

Примеры

1.                      Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем – 0,046. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (6) – четная.

2.                      Округляя число 0,0415 до третьего десятичного знака, пишем – 0,042. Усиления не делаем, т. к. последняя сохраняемая цифра (1) – нечетная.

 

Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.

Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее).

Пример

При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.

Пример

При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – "дельта". А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ ("дельта малая"). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.

Погрешность действий над приближенными числами

1.                      Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример. Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.

Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.

Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.

Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.

Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.

Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.

2.                      Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

 

Алгебраические и трансцендентные уравнения

Уравнение называется алгебраическим, если каждая из его частей есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам.

Т. е. алгебраическое уравнение – это уравнение вида P_n = 0, где P_n – многочлен n-ой степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение сводящееся к уравнению вида: a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n = 0, где n – неотрицательное целое число, степень уравнения; a₀, a₁, …, a_n – коэффициенты уравнения.

Корнем уравнения называют значения неизвестного.

 Если уравнение содержит только одно неизвестное, то степенью уравнения называют наибольший из показателей при неизвестном.

Трансцендентное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком трансцендентной функции.

К трансцендентным функциям относятся – показательная (y = a^x, a > a ≠ 1), логарифмическая (y = log_ax), тригонометрическая (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x) или обратно-тригонометрическая (y = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x) функция.

Однако точное решение уравнения не является безусловно необходимым. Задача отыскания корней уравнения может считаться практически решенной, если удалось определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.

К методам приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений относятся: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод интерполяции.

Студенту также необходимо изучить следующие вопросы:

§  Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

§  Постановка  задачи численного дифференцирования.

§  Постановка задачи численного интегрирования. 

§  Формулы численного интегрирования.

§  Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.

 

Задания для самоконтроля:

1.      Определить графически интервалы изоляции действительных корней уравнения:

2.      Методом дихотомии решить уравнение с точностью до 0,01:

3.      Методом хорд решить уравнение  с точность до 0,01:

4.      Методом касательных решить уравнение  с точность до 0,01:

5.      Методом итераций решить уравнение  с точность до 0,01:

6.      Вычислить по формуле прямоугольников интеграл:

, разбив интервал  интегрирования на 10 частей.  Оценить погрешность. Проверить методом Ньютона-Лейбница.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для экзамена:

1.      Понятие и виды матриц. Транспонированная матрица.

2.      Операции над матрицами и их свойства.

3.      Обратная матрица и ее свойства.

4.       Определитель матрицы и его свойства.

5.      Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

6.      Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

7.      Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

8.      Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.

9.      Векторы. Операции над векторами и их свойства.

10.  Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

11.  Векторное произведение двух векторов и его свойства.

12.  Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

13.  Уравнение прямой на плоскости: способы задания.

14.  Кривые второго порядка: окружность.

15.  Кривые второго порядка: эллипс.

16.  Кривые второго порядка: гипербола.

17.  Кривые второго порядка: парабола.

18.  Числовые последовательности и способы их задания.

19.  Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей.

20.  Предел функции. Непрерывность функции.

21.  Производная. Геометрический и кинематический смысл.

22.  Теоремы дифференциального исчисления.

23.  Производная сложной и обратной функции.

24.  Дифференциал функции и его геометрический смысл.

25.  Исследование функций с помощью производной.

26.  Первообразная функция и неопределенный интеграл.

27.  Методы вычисления неопределенных интегралов.

28.  Определенный интеграл и его геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница.

29.  Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой, площадь плоской фигуры, вычисление пути, пройденного точкой, вычисление работы силы.

30.  Определение числового и функционального ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда. Примеры.

31.  Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость.

32.   Разложение функций в ряд Тейлора. Привести пример.

33.  Понятие функциональной зависимости  между несколькими переменными.

34.  Предел и непрерывность функции  двух независимых переменных.

35.  Частные производные функции нескольких переменных.

36.  Экстремумы функции двух независимых переменных.

37.  Несобственный интеграл.

38.  Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия.

39.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры.

40.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры.

41.  Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

42.  Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.

43.  Различные формы записи комплексных чисел.

44.  Операции над комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической форме.

45.  Погрешности приближенных значений чисел. Действия над приближенными значениями.

46.  Приближенное решение уравнений: метод дихотомии.

47.  Приближенное решение уравнений: метод хорд.

48.  Приближенное решение уравнений: метод касательных.

49.  Приближенное решение уравнений: метод итераций.

50.  Интерполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

 

Литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

           

 

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

7)      Лапчик М.П. Элементы численных методов. - ОИЦ «Академия», 2008