Министерство
образования и науки Самарской области
государственное
бюджетное образовательное учреждение
среднего
профессионального образования
«Самарский
машиностроительный колледж»
_______________________________________________________________________
Цикловая
комиссия Математических
и естественнонаучных дисциплин
Методические
указания
к
практическим работам
по
дисциплине Математика
наименование
дисциплины
Дата введения
«___» ___________ 20 __ г.
Самара
2014
Практическая работа 11
Решение тригонометрических уравнений
1
Цель работы
1.1
Обобщить изученный материал по теме.
1.2
Выработать умение решать
тригонометрические уравнения.
2
Разделы и темы рабочей программы, которые
необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы
Разделы 5. Тригонометрические функции
числового аргумента.
3
Краткие теоретические сведения
рис.1
Определение 1
Синусом угла называется ордината
точки угла
на тригонометрическом круге, соответствующей числу угла
. Обозначают
;
Косинусом угла называется абсцисса
точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу . Обозначают .
Тангенсом
угла
называется отношение
ординаты точки к ее абсциссе. Обозначают
.
Котангенсом
угла называется отношение
абсциссы точки к ее ординате. Обозначают
.
Определение 2
Арксинусом числа m называется такое угол х, для которого sin x
= m,
Обозначают arcsin m.
Арккосинусом
числа m
называется такое угол х, для которого cos x
= m,
Обозначают arcсоs m.
Арктангенсом числа
m
называется такой угол x, для которого
Арккотангенсом числа
m
называется такой угол x, для которого .
Тригонометрические функции связаны между
собой основными тождествами:
Определение 3
Уравнение называется тригонометрическим, если
неизвестная величина входит в него как аргумент тригонометрической функции. Решить
тригонометрическое уравнение - это значит найти все его корни.
Простейшими
тригонометрическими уравнениями называются уравнения sin
x
= m,
cos x
= m,
, , где m
– данное число.
Формулы корней простейших
тригонометрических уравнений:
Уравнение
|
Общее решение (корни)
|
Формула №
|
cos x = m
|
|
(1)
|
sin x
= m
|
|
(2)
|
tg x = m
|
|
(3)
|
ctg x = m
|
|
(4)
|
В формулах (1) – (4) n
– любое действительное число.
Однородным тригонометрическим уравнением
первой степени называется уравнение вида:
Для его решения обе части уравнения делим
на . При по членном делении
получим уравнение вида:
(*)
Преобразовывая уравнение (*) получаем
простейшее уравнение:
, где .
Однородным тригонометрическим уравнением
второй степени называется уравнение вида:
Для его решения обе части уравнения делим
на . При по членном делении
получим уравнение:
(**)
Уравнение (**) сводится к квадратному с
помощью подстановки .
При решении тригонометрических уравнений
используют основные формулы тригонометрии.
4
Задания
4.1
Изучить методические указания к выполнению
практической работы.
4.2
Выполнить индивидуальное задание.
4.3
Оформить отчет по практической работе.
5
Структура отчета
5.1
Номер и наименование практической работы.
5.2
Цель работы.
5.3
Задание.
5.4
Выполнение работы.
6
Пример выполнения задания
Задача 1. Решите простейшие
тригонометрическое уравнение: .
Решение:
Согласно формуле (1) находим:
Задача 2. Решите
простейшие тригонометрическое уравнение:
Решение: Функция синус нечетна. Поэтому . По формуле (2)
Так как , имеем:
Задача 3. Решите уравнение: 2 sin x+
3 cos x
= 0.
Решение:
2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0
2 tg x + 3 =0
tg x = -1,5
х= arctg (-1,5) + πk, k Z или
х
= - arctg 1,5 + πk, k Z
Ответ:
- arctg 1,5 + πk, k Z.
Задача
4. Решите уравнение: 2 sin2
х - 3 sinх
cos х - 5 cos2х
=0
Решение:
2 sin2
х - 3 sinх
cos х - 5 cos2х
=0
2 sin2
х - 3 sinх
cos х - 5 cos2х
=0 | : cos2х
≠ 0
2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0
замена tg x
= t
2 t2
– 3 t
– 5 =0
t1
= -1; t2
= 2,5
Решением уравнения tg
х = -1 являются числа вида х = -π/2
+ πk
, k Z.
Решением уравнение tg
х = 2,5 являются числа вида х = arctg
2,5+ πn,
n Z.
Ответ: -π/2
+ πk
, arctg
2,5+ πn,
n,
k Z.
Задача 5. Решить уравнение sin x
+ cos x
= 1
Решение: sin x
+ cos x
= 1
Ответ:
Задача 6. Решите уравнение:
Решение: Группируя первый и последний
члены и применяя формулу суммы косинусов, получим
Следовательно, Решая уравнение , находим
Задача 7. Решите уравнение: sin2
х + 5 sin
х - 6 =0.
Решение: Введем замену sin
х = z,, решая квадратное уравнение
z2
+ 5 z
- 6 = 0, находим z1
= 1; z2
= -6 (не удовлетворяет условию)
Решением уравнения sin
х = 1 являются числа вида х = π/2
+2 π k,
k Z.
Ответ: π/2
+2 π k,
k Z.
Приложение 1
Варианты индивидуальных заданий
I
вариант
|
II
вариант
|
1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:
|
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
|
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
.
|
2. Решить уравнение, сделав подстановку:
|
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
|
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
|
3. Решить уравнение методом разложения на множители:
|
1)
;
2)
;
|
3)
;
4) .
|
4. Решите уравнение, упростив левую часть:
|
1)
;
2)
;
|
4)
;
5)
;
|
5. Решите уравнение, используя однородность:
|
1)
;
2)
;
3)
;
|
4)
;
5)
;
6)
.
|
7
Рекомендуемая литература
|
7.1 Богомолов Н.В.
Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб.
заведений / Н.В. Богомолов. - б-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.
7.2 Дадаян А.А. Математика:
Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное
образование).
7.3
Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф.
образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.:
Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.
7.4
Соловейчик И. Л. Лисичкин В. Т. Сборник задач по математике для техникумов:
М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и
Образование», 2003.-464 с.: ил.
7.5
Конспект лекций.
7.6
Настоящие методические указания.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.