Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические указания к практическому занятию: «Решение тригонометрических уравнений»

Методические указания к практическому занятию: «Решение тригонометрических уравнений»


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования и науки Самарской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования



«Самарский машиностроительный колледж»





_______________________________________________________________________

Цикловая комиссия Математических и естественнонаучных дисциплин







Методические указания

к практическим работам

по дисциплине Математика

наименование дисциплины









Дата введения

«___» ___________ 20 __ г.



Самара 2014



Практическая работа 11

Решение тригонометрических уравнений

  1. Цель работы

    1. Обобщить изученный материал по теме.

    2. Выработать умение решать тригонометрические уравнения.

  1. Разделы и темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы

Разделы 5. Тригонометрические функции числового аргумента.

  1. Краткие теоретические сведения

hello_html_m3df1851d.pngрис.1

Определение 1 Синусом угла hello_html_m3b151d01.gif называется ордината точки hello_html_61fa1ac8.gif угла на тригонометрическом круге, соответствующей числу угла hello_html_m3b151d01.gif. Обозначают hello_html_4277cf6a.gif;

Косинусом угла hello_html_m3b151d01.gif называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу hello_html_m3b151d01.gif. Обозначают hello_html_54f7c421.gif.

Тангенсом угла hello_html_m3b151d01.gif называется отношение ординаты точки hello_html_61fa1ac8.gif к ее абсциссе. Обозначают hello_html_mbbec403.gif.

Котангенсом угла hello_html_m3b151d01.gif называется отношение абсциссы точки hello_html_61fa1ac8.gif к ее ординате. Обозначают hello_html_m42ba198e.gif.

Определение 2 Арксинусом числа m называется такое угол х, для которого sin x = m, hello_html_a8a41a5.gifОбозначают arcsin m.

Арккосинусом числа m называется такое угол х, для которого cos x = m, hello_html_m23bb63c7.gifОбозначают arcсоs m.

Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого hello_html_5d3c8aeb.gif

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого hello_html_1f09360b.gif.


Тригонометрические функции связаны между собой основными тождествами:


  1. hello_html_24cb1cd8.gif.

  2. hello_html_m3b9a19ff.gif

  3. hello_html_7c834ff8.gif

  4. hello_html_1df4ada3.gif.

  5. hello_html_m790774a0.gif.

  6. hello_html_67a7ec48.gif.



Определение 3 Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестная величина входит в него как аргумент тригонометрической функции. Решить тригонометрическое уравнение - это значит найти все его корни.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения sin x = m, cos x = m, hello_html_20d26b2b.gif, hello_html_m1f46f29a.gif, где m – данное число.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

Уравнение

Общее решение (корни)

Формула №

cos x = m

hello_html_m4f07d8e1.gif

hello_html_67a7ffc.gif

(1)

sin x = m

hello_html_2c897116.gif

hello_html_67a7ffc.gif

(2)

tg x = m

hello_html_m26c0c882.gif

(3)

ctg x = m

hello_html_4f0f1a57.gif

(4)

В формулах (1) – (4) n – любое действительное число.

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида:

hello_html_6f367309.gif

Для его решения обе части уравнения делим на hello_html_m6834851.gif. При по членном делении получим уравнение вида:

hello_html_m3fa166aa.gif(*)

Преобразовывая уравнение (*) получаем простейшее уравнение:

hello_html_763f11d3.gif, где hello_html_mc2c4ecc.gif.

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида:

hello_html_c099ba3.gif

Для его решения обе части уравнения делим на hello_html_5f1bd106.gif. При по членном делении получим уравнение:

hello_html_m6ace731e.gif(**)

Уравнение (**) сводится к квадратному с помощью подстановки hello_html_m1580a897.gif.

При решении тригонометрических уравнений используют основные формулы тригонометрии.

  1. Задания

    1. Изучить методические указания к выполнению практической работы.

    2. Выполнить индивидуальное задание.

    3. Оформить отчет по практической работе.

  2. Структура отчета

    1. Номер и наименование практической работы.

    2. Цель работы.

    3. Задание.

    4. Выполнение работы.

  3. Пример выполнения задания

Задача 1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение: hello_html_m6201d470.gif.

Решение: Согласно формуле (1) находим: hello_html_2bdacc50.gif

Задача 2. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:

hello_html_47a5e27f.gif

Решение: Функция синус нечетна. Поэтому hello_html_m655059d7.gif. По формуле (2) hello_html_482be6c9.gif

Так как hello_html_2eb79785.gif, имеем: hello_html_44d46762.gif

hello_html_58c966fa.gif

Задача 3. Решите уравнение: 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Решение:

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k hello_html_m79f24a27.gifZ или х = - arctg 1,5 + πk, k hello_html_m79f24a27.gif Z

Ответ: - arctg 1,5 + πk, k hello_html_m79f24a27.gif Z.

Задача 4. Решите уравнение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

Решение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k hello_html_m79f24a27.gif Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n hello_html_m79f24a27.gif Z.

Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn, n, k hello_html_m79f24a27.gif Z.

Задача 5. Решить уравнение hello_html_59305994.gifsin x + cos x = 1

Решение: hello_html_59305994.gifsin x + cos x = 1

hello_html_78f34763.gif

Ответ: hello_html_m403d2e7f.gif

Задача 6. Решите уравнение: hello_html_m6f647a2.gif

Решение: Группируя первый и последний члены и применяя формулу суммы косинусов, получим

hello_html_m35db820b.gif

Следовательно, hello_html_716ff78.gif Решая уравнение hello_html_67c436b2.gif, находим hello_html_37c4f141.gif

Задача 7. Решите уравнение: sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

Решение: Введем замену sin х = z,hello_html_53f98ce9.gif, решая квадратное уравнение

z2 + 5 z - 6 = 0, находим z1 = 1; z2 = -6 (не удовлетворяет условиюhello_html_53f98ce9.gif)

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, khello_html_m79f24a27.gif Z.

Ответ: π/2 +2 π k, khello_html_m79f24a27.gif Z.






















Приложение 1

Варианты индивидуальных заданий

I вариант

II вариант

1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:

1) hello_html_m659c8739.gif;

2) hello_html_3cd10466.gif;

3) hello_html_m5900b9af.gif;

4) hello_html_m7b995fe5.gif;

5) hello_html_m41537b7.gif;

6) hello_html_m1d5bf925.gif;

7) hello_html_m6da1613.gif;

8) hello_html_524fc8f3.gif;

9) hello_html_m3958ecef.gif;

10) hello_html_m1109cbe0.gif;

11) hello_html_m4626f904.gif;

12) hello_html_1ebf354a.gif;

13) hello_html_m4fdfab69.gif;

14) hello_html_757cd3d.gif.

2. Решить уравнение, сделав подстановку:

1) hello_html_521cf43a.gif;

2) hello_html_39bd600d.gif;

3) hello_html_4fee8ad7.gif;

4) hello_html_29b44a35.gif;

5) hello_html_55c098fc.gif;

6) hello_html_4eb080cb.gif;

7) hello_html_7fb6fd2a.gif;

8) hello_html_bb09451.gif.

3. Решить уравнение методом разложения на множители:

1) hello_html_3b8d83ae.gif;

2) hello_html_m4abce4f6.gif;


3) hello_html_m11d37bec.gif;

4) hello_html_m6d65f61.gif.

4. Решите уравнение, упростив левую часть:

1) hello_html_m679431ff.gif;

2) hello_html_aaed896.gif;

4) hello_html_52f00193.gif;

5) hello_html_7f175926.gif;

5. Решите уравнение, используя однородность:

1) hello_html_m4789a857.gif;

2) hello_html_m62d2ae74.gif;

3) hello_html_1f58d13c.gif;

4) hello_html_734a6b60.gif;

5) hello_html_11996de1.gif;

6) hello_html_179aff55.gif.



























7 Рекомендуемая литература


7.1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. - б-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.

7.2 Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное образование).

7.3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.

7.4 Соловейчик И. Л. Лисичкин В. Т. Сборник задач по математике для техникумов: М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.-464 с.: ил.

7.5 Конспект лекций.

7.6 Настоящие методические указания.








57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Методические указания к практическому занятию по математике: "Решение тригонометрических уравнений" для групп первого курса технических специальностей. Целью работы является обобщение материала по теме, выработка умений и навыка решений тригонометрических уравнений. В работе представлены все необходимые определения и формулы для выполнения практического задания. Представлены и разобраны разнообразные случаи решения тригонометрических уравнений. На выполнение работы отводится 90 минут. Необходимые темы для выполнения работы:  "Тригонометрические функции числового аргумента: Значение тригонометрических функций некоторых углов, Тригонометрические функции суммы и разности аргументов, Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов, Преобразование суммы и разности тригонометрических в произведение".

 

 

Автор
Дата добавления 07.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров533
Номер материала 516167
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх