Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по математике для студентов 1 курса

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по математике для студентов 1 курса

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Предисловие


Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика». Предназначены для обучающихся по профессии: Закройщик.

Цель методических указаний: оказание обучающимся в выполнении самостоятельной работы по дисциплине «Математика».

Настоящие методические указания содержат задания с разбором решения, а также разнообразные задания, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями по всем темам курса.











Тема: «Делимость чисел»

Контрольный тест с выбором ответа:

  1. Остаток от деления числа 13 579 на 8 равен

    а

    б

    в

    г

    1

    3

    5

    7

  2. Остаток от деления числа 13 579 203 на 11 равен

    а

    б

    в

    г

    3

    0

    6

    8

  3. Остаток от деления числа 13 579 214 на 33 равен

    а

    б

    в

    г

    0

    2

    11

    9

  4. Максимальная степень 3, на которую делится 1 701, равна

    а

    б

    в

    г

    4

    5

    6

    7

  5. Максимальная степень 4, на которую делится 6 656, равна

    а

    б

    в

    г

    2

    3

    4

    5

  6. Максимальная степень 6, на которую делится 64 800, равна

а

б

в

г

3

4

5

6



Тема: «Аксиомы стереометрии и их следствия

Выполните упражнения:

  1. Доказать, что на каждом луче есть хотя бы одна точка.

  2. Доказать, что если точка А лежит на прямой а, а точка В не лежит на этой прямой, то все точки луча АВ лежат в одной полуплоскости с границей а.

  3. Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то все точки луча лежат во внутренней области угла.

  4. Доказать, что если прямая пересекает сторону АВ треугольника АВС и не проходит через вершину этого треугольника, то она пересекает либо сторону ВС, либо сторону АС.

  5. Доказать, что если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит через точку внутренней области этого угла, то он делит этот угол на два угла.

  6. Как с помощью двух нитей определить, будет ли стол с четырьмя ножками стоять на полу устойиво?

Тема: «Параллельность прямых и плоскостей»

1. Тест

1. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K – середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK?

а) Определить нельзя; б) скрещиваются; в) параллельны; г) совпадают; д) пересекаются.

2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:

а) прямые b и с пересекаются; б)прямая b лежит в плоскости β; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны; д) прямая а лежит в плоскости β.

3. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

а) Скрещиваются или пересекаются; б) пересекаются или параллельны;

в) скрещиваются или параллельны; г) только скрещиваются;

д) только параллельны.

4. В треугольнике ABC угол С на 40˚ больше суммы углов В и А. Найдите угол между прямыми АС и ВС.

а) 110˚; б) 70˚; в) 55˚; г) 125˚; д) определить нельзя.

5. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?

а) Параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или пересекаются;

в) параллельны или скрещиваются; г) определить нельзя; д) совпадают.

6. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;

б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α;

в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α;

г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α;

д) прямая а лежит в плоскости α.

7. Выберите верное утверждение.

а) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости;

б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость;

в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются;

г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскости

д) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.

8. Прямая а параллельна прямой b и плоскости α. Выберите верное утверждение.

а) Прямая b параллельна плоскости α; б) прямая b лежит в плоскости α;

в) прямая b пересекает плоскость α; г) прямая b лежит в плоскости α или параллельна ей; д) прямая b скрещивается с плоскостью α.


2. Решите сквозную задачу:

В правильной треугольной пирамиде известны сторона основания а и высота Н. Как вычислить площадь сечения, проходящего:

а) параллельно основанию через середину высоты;

б) через боковое ребро и высоту;

в) через сторону основания перпендикулярно потивоположному боковому ребру;

г) через центр основания параллельно боковой грани;

д) через середины боковых ребер.



Тема: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Лабораторная работа «Прямоугольный параллелепипед»

Цель работы: научиться свободно обращаться с соотношениями в прямоугольном параллелепипеде.

Этап 1. Основные величины

Дан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием. Пусть ребро основания равно 1, а боковое ребро равно 2.

Задания

Найдите следующие величины:

  1. диагональ боковой грани параллелепипеда;

  2. диагональ параллелепипеда;

  3. расстояние между параллельными ребрами;

  4. расстояние между параллельными диагоналями граней;

  5. расстояние между боковым ребром и ребром основания, не имеющим с этим ребром общей точки;

  6. угол между диагональю боковой грани и гранью, которую она пересекает;

  7. углы между диагональю и гранями;

  8. углы между плоскостью, проходящей через две диагонали параллельных граней и плоскостями граней;

  9. площадь сечений, проходящих через параллельные ребра;

  10. площадь поверхности;

  11. объем.



Этап 2. Параллелепипед с переменным основанием

Дан прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием. Пусть ребро основания равно х, а боковое ребро равно 1.

Задания

Найдите следующие величины:

  1. диагональ боковой грани параллелепипеда;

  2. диагональ параллелепипеда;

  3. расстояние между параллельными ребрами, не лежащими в одной грани;

  4. угол между диагональю боковой грани и гранью, которую она пересекает;

  5. углы между диагональю и гранями;

  6. углы между плоскостью, проходящей через две диагонали параллельных граней и плоскостями граней;

  7. площади сечений, проходящих через параллельные ребра;

  8. площадь поверхности;

  9. объем.



Тема: «Многогранники»

Сделать презентацию по теме: «Правильные многогранники»

План:

  1. Исторические сведения.

  2. Определение.

  3. Виды правильных многогранников, элементы их симметрий:

  • тетраэдр;

  • куб;

  • октаэдр;

  • додекаэдр;

  • икосаэдр.

  1. Правильные многогранники в окружающем мире.



Тема: «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве. Движения»

Лабораторная работа «Золотая середина»

Цель работы: научиться свободно обращаться с векторами.

В разговорной речи мы часто употребляем слово «средний» (напрмер, средний доход населения в данном регионе, состояние «средней тяжести»). Понятие чего-то среднего содержится и в таком обороте речи, как «деление пополам».

Слово «средний» широко применяется и в научном стиле: «средняя скорость», «средняя температура», «средний радиус» Земли, в частности в математике: «среднее арифметическое», «среднее геометрическое» двух чисел, «средняя линия» треугольника или трапеции, «середина отрезка».

Середина отрезка – это такая его точка, которая равноудалена от его концов. Середину можно задать с помощью векторов.

hello_html_m55c25cf9.gif(1)

hello_html_511d078.gif(2)



А

Т

В







О – любая точка плоскости или пространства.

Задания

  1. Объясните, почему приведенные равенства (1) задают середину отрезка.

  2. Докажите, что если точка Т – середина отрезка АВ, то справедливо равенство (2).

  3. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Выразите вектор АМ через векторы АВ и АС.

  4. В треугольнике АВС проведена медиана ВN. Выразите вектор BN через векторы ВA и BС.

  5. В треугольнике АВС проведена медиана CP. Выразите вектор CP через векторы CA и CB.

  6. Докажите, что сумма векторов АМ, ВN, CP равна нулевому вектору.

  7. Какой геометрический смысл имеет задание 6?

  8. В четырехугольнике ABCD точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Проведены отрезки KM и LN (их называют средними линиями четырехугольника). Докажите, что точка их пересечения делит каждый из них пополам.

Указание. Рассмотрите два случая: а) исходные точки ледат в одной плоскости; б) исходные точки не лежат в одной плоскости (являются вершинами тетраэдра). Сможете ли вы найти решение, не использующее векторы для каждого случая?



Тема: «Цилиндр, конус, шар»

  1. Разберите решение задачи, допишите нужные обоснования, запишите решение задачи по указанному плану

C:\Users\1\Pictures\MP Navigator EX\2014_09_25\IMG.jpg



C:\Users\1\Pictures\MP Navigator EX\2014_09_25\IMG_0001.jpg

C:\Users\1\Pictures\MP Navigator EX\2014_09_25\IMG_0002.jpgC:\Users\1\Pictures\MP Navigator EX\2014_09_25\IMG_0003.jpg

  1. Решение задач по образцу.

Задача 1. Радиус круга, лежащего в основании конуса, равен 3дм, угол между образующей и основанием составляет 300. Найдите:

  1. образующую конуса;

  2. высоту конуса;

  3. площадь боковой поверхности конуса;

  4. площадь полной поверхности конуса;

  5. площадь осевого сечения конуса;

  6. угол между образующими осевого сечения конуса;

  7. площадь сечения, проходящего через середину высоты, параллельно основанию конуса;

  8. площадьсечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми составляет 600;

  9. объем конуса.

Задача 2. Квадрат со стороной 2 см вращается вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите поверхность и объем полученного тела вращения.

Задача 3. Сечение шара плоскосью, удаленной от центра на 12 см, имеет площадь hello_html_480c9b97.gif см2. Найдите площадь поверхности шара.



Тема: «Тригонометрические функции любого угла. Формулы тригонометрии. Тригонометрические функции числового аргумента»

  1. Определите знаки выражения:

  1. hello_html_m759bc2c4.gif

  2. hello_html_m1aabd0dc.gif

  3. hello_html_4f496fd4.gif

  4. hello_html_m1b2d468a.gif

  5. hello_html_m2ac73c42.gif

  6. hello_html_m6dfd141e.gif

  7. hello_html_3dbff59b.gif

  8. hello_html_m2e947b6a.gif

  9. hello_html_m195f8a1d.gif

  10. hello_html_5500b4a7.gif

  11. hello_html_m80056e4.gif

  12. hello_html_m190b7a44.gif

  13. hello_html_m2164215f.gif

  1. Определите знаки если hello_html_79e7c72.gif:

  1. hello_html_m17479c7f.gif

  2. hello_html_69b876be.gif

  3. hello_html_3bbe7508.gif

  4. hello_html_38a1e11b.gif

  5. hello_html_m446f9444.gif

  6. hello_html_m5fd5ce7.gif

  7. hello_html_m59d32f2.gif

  1. Определите знаки произведения:

  1. hello_html_m49b7e678.gif

  2. hello_html_2afef938.gif

  3. hello_html_m623ea4ec.gif

  4. hello_html_6fc2af7a.gif

  5. hello_html_7f9f484e.gif

  6. hello_html_m7af4eb5e.gif

  1. Вычислите:

  1. hello_html_m490ee30.gif

  2. hello_html_m4739c416.gif

  3. hello_html_7ecfde45.gif

  4. hello_html_m408224fc.gif

  5. hello_html_m407d6b9a.gif

  6. hello_html_78d42c25.gif

  7. hello_html_m7b4314d3.gif

  8. hello_html_m52291d84.gif

  9. hello_html_75b6189b.gif

  1. Упростите выражения:

  1. hello_html_479b7db.gif

  2. hello_html_m28e0d7ae.gif

  3. hello_html_m3c23dad7.gif

  4. hello_html_7a59874a.gif

  5. hello_html_m28df6695.gif

  6. hello_html_m6a5d201c.gif

  7. hello_html_528894d1.gif

  8. hello_html_524cbf4e.gif

  9. hello_html_2459bf51.gif

  10. hello_html_m6d3b5d7d.gif

  11. hello_html_m24190030.gif

  12. hello_html_7398b8e.gif

  13. hello_html_m195f3a48.gif

  14. hello_html_5391d716.gif

  1. Докажите тождества:

  1. hello_html_m30acf99e.gif

  2. hello_html_m667c11a6.gif

  3. hello_html_m2007616.gif

  4. hello_html_m1d28eb33.gif

  5. hello_html_321b4479.gif

  1. Вычислите:

  1. hello_html_3cfda35f.gif

  2. hello_html_m22c0b622.gif

  3. hello_html_bed8d5b.gif

  4. hello_html_m33da9a75.gif

  5. hello_html_7ddf608e.gif

  6. hello_html_mbca6899.gif

  7. hello_html_126b5136.gif

  8. hello_html_m59dddd45.gif

  9. hello_html_m2f6b9bb2.gif

  10. hello_html_5e9a2bea.gif

  11. hello_html_m4b35890b.gif

  12. hello_html_m3814688c.gif

  1. Упростите выражение:

  1. hello_html_m22fc302c.gif

  2. hello_html_m59b63637.gif

  3. hello_html_7e5e67d3.gif

  4. hello_html_1ec4af41.gif

  5. hello_html_11836aeb.gif

  6. hello_html_3197d6a.gif

  7. hello_html_48cc1ae1.gif

  8. hello_html_5d6bbe76.gif

  9. hello_html_mc3c9b45.gif

  10. hello_html_m55d77f19.gif

  11. hello_html_m73b7d09c.gif

  12. hello_html_3eafa17b.gif

  13. hello_html_1bc2f6a2.gif

  14. hello_html_m5e05189d.gif

  15. hello_html_6bbb57f5.gif

  16. hello_html_m328bd7f3.gif

  17. hello_html_m77226674.gif

  18. hello_html_1478ee16.gif

  1. Преобразуйте сумму тригонометрических функций в произведение:

  1. hello_html_6d0df272.gif

  2. hello_html_5a8b022e.gif

  3. hello_html_7c2eb2fd.gif

  4. hello_html_1e38ee90.gif

  5. hello_html_10cbbd4c.gif

  6. hello_html_670d2b7c.gif

  7. hello_html_33a8ef1f.gif

  8. hello_html_2035fc9b.gif

  9. hello_html_m18edaac0.gif

  10. hello_html_m635a7f4e.gif

  11. hello_html_1417674b.gif

  12. hello_html_m4767d315.gif

  13. hello_html_m769a3d74.gif

  14. hello_html_m757bad77.gif

  15. hello_html_m41db4779.gif

  16. hello_html_m480bfbb9.gif

  17. hello_html_4da2a613.gif

  18. hello_html_636cbad2.gif

  19. hello_html_4dfd573f.gif

  20. hello_html_m6f385f2.gif

  21. hello_html_m21726b8d.gif

  22. hello_html_67ba90f9.gif

  23. hello_html_m45d852db.gif

  24. hello_html_m140e879c.gif

  25. hello_html_7c7b0e7.gif

  26. hello_html_m643bf498.gif

  1. Преобразуйте произведение тригонометрических функций в сумму:

  1. hello_html_m665138ca.gif

  2. hello_html_ff57ed3.gif

  3. hello_html_m196b5470.gif

  4. hello_html_7701243a.gif

  5. hello_html_mf375a65.gif

  6. hello_html_608e14a1.gif



Тема: «Основные свойства функций»

Творческие задания:

  1. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат:

  1. hello_html_1572a797.gif

  2. hello_html_m3a53df56.gif

  3. hello_html_69b36092.gif

  4. hello_html_4403adcd.gif

  5. hello_html_m56f71881.gif

  1. Используя приведенный график функцииhello_html_m6ebf54ee.gif, постройте графики функций:

  1. hello_html_m43aad6e8.gif

  2. hello_html_e150c12.gif

  3. hello_html_52943d58.gif

  4. hello_html_5da50517.gif

  5. hello_html_m71ba39ba.gif

  6. hello_html_m3eabfe3a.gif

  7. hello_html_696206c3.gif

  8. hello_html_265f60cc.gif



X

Y

-1

2

-2























Тема: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Цель: научиться решать уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции и неравенства методом интервалов.

Пример1.

hello_html_m5b9d7ebd.gif

Решение:

Введем новую неизвестную hello_html_m424bb8aa.gif и получим рациональное уравнение: hello_html_5889b0a1.gif. Корни этого уравнения hello_html_m1664aa56.gif. Оба корня входят в область определения функции арксинуса, т.е. hello_html_m1bd1393e.gif. Вернемся к старой неизвестной и получим уравнения:

hello_html_m1c344def.gifили hello_html_m1c344def.gif

hello_html_m608681e.gif

Итак, уравнение имеет два корня hello_html_m4b0c0918.gif

Пример2.

hello_html_m737993a3.gif

Решение:

hello_html_4e4ecf2.gif

hello_html_m15565330.gif

hello_html_77e7bd54.gif

hello_html_m5c062083.gif

hello_html_m5c062083.gif

hello_html_42c1fd17.gif













На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в ноль числитель hello_html_m69e53b4c.gif (откуда hello_html_516638c3.gif) и знаменатель hello_html_5079a0ae.gif (тогда hello_html_m34d6d28e.gif). Учтем, что корень hello_html_24eaed13.gif – корень второй (четной кратности) и при переходе через него знак дроби не меняется. Определим знак выражения, например, при hello_html_6f34565d.gif и получим hello_html_mc8f8bc4.gif. Построим диаграмму знаком данной дроби. Учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в ноль (они отмечены кружочками). С учетом периодичности функций, входящих в неравенство, запишем его решения: hello_html_m639fb56c.gif .

Задания:

  1. Решите уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции:

  1. hello_html_m3e6683c.gif

  2. hello_html_f6c326c.gif

  3. hello_html_m1132e3bb.gif

  4. hello_html_6c851dc6.gif

  1. Решите неравенства методом интервалов:

  1. hello_html_5092666.gif

  2. hello_html_m668444f3.gif

  3. hello_html_m717c3f3c.gif

  4. hello_html_m27232e1a.gif



Тема: «Обратные функции»

Составьте задачу по теме и решите её.

  1. Выведите формулу, задающую функцию, обратную к данной.

  2. Постройте график функции, обратной к данной.



Тема: «Предел последовательности»

Домашняя самостоятельная работа:

Вариант 1.

  1. Вычислите 5-й член последовательности, заданной формулой hello_html_m7de0cc27.gif.

  2. Задана арифметическая прогрессия: hello_html_201f9c01.gif Найдите hello_html_2304c226.gif.

  3. Задана геометрическая прогрессия: hello_html_m52155b96.gif Найдите hello_html_m4fd797cd.gif.

Вариант 2.

  1. Вычислите 10-й член последовательности, заданной формулой hello_html_39d9ce1c.gif.

  2. Задана арифметическая прогрессия: hello_html_60feaa57.gif Найдите hello_html_1d4cfae8.gif.

  3. Задана геометрическая прогрессия: hello_html_5c3f6162.gif Найдите hello_html_4b0b9a20.gif.



Тема: «Производная»

Тренажеры

  1. Вычислите предел функции.

  1. hello_html_2f6490ea.gif

  2. hello_html_m143f7d94.gif

  3. hello_html_39f96a7e.gif

  4. hello_html_m3f8d73e0.gif

  5. hello_html_m6d2bbf55.gif

  6. hello_html_m614eb186.gif

  1. Вычислите производную данной функции.

  1. hello_html_m3492a81.gif

  2. hello_html_m18656f2e.gif

  3. hello_html_m2cd26d35.gif

  4. hello_html_m474753ae.gif

  5. hello_html_m6f62b127.gif

  6. hello_html_m5d936446.gif

  7. hello_html_mac2ee90.gif

  8. hello_html_4dba4360.gif

  9. hello_html_50dd89b4.gif

  10. hello_html_m66c43610.gif

  11. hello_html_72633162.gif

  12. hello_html_m7a03db81.gif

  13. hello_html_3ca63bc1.gif

  14. hello_html_750a9ae6.gif

  15. hello_html_31131e70.gif

  16. hello_html_m6077d183.gif

  17. hello_html_150b5d1c.gif

  18. hello_html_m15914e47.gif

  19. hello_html_62e5131b.gif

  20. hello_html_m7f0d2b87.gif

  21. hello_html_3eac73e5.gif





Тема: «Применение непрерывности и производной»

  1. Матричныйтест

Сопоставьте функции угловой коэффициент касательной к ее графику в точке х=1

Функция

Угловой коэффициент касательной

0

2

1

hello_html_m551453e1.gif

hello_html_347bf941.gif

1






x+1






x2






hello_html_m22a1186d.gif






hello_html_707ddc82.gif






  1. Приложения к механике

  1. Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью hello_html_50a56fc3.gif с начальной высоты от земли hello_html_9dcaad0.gif, меняется по закону hello_html_m4674617f.gif – ускорение свободного падения.

Используя указанные данные, найдите:

а) зависимость скорости камня от времениhello_html_1053718a.gif;

б) скорость камня через 2 с при hello_html_m4ae0e571.gif;

в) высоту, на которой скорость станет равной нулю.

Покажите, что энергия камня hello_html_27da0215.gif не зависит от времени.

  1. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_1aff08d8.gif. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t=1.

  2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_aa65d22.gif.

Используя указанный закон, найдите:

а) среднюю скорость на отрезках [2; 2,2], [2; 2,02], [3;4], [3;3,3];

б) мгновенную скорость при t=2, t=3.



Тема: «Применение производной к исследованию функции»

Творческие задания.

  1. Найдите значения параметра а, при которых функция hello_html_m691de144.gif возрастает при всех х.

  2. Найдите значения параметра а, при которых функция hello_html_m5a2882.gif убывает и не имеет критических точек на всей числовой прямой.

  3. Найти наибольшее значение функции hello_html_m6d3dae4f.gif.

  4. При каких значениях параметра hello_html_m25646f4b.gif точка х=3 является точкой максимума hello_html_22b22d6c.gif ?

  5. Найдите множество значений функции: hello_html_m4efd6109.gif



Тема: «Первообразная и интеграл»

  1. Лабораторная работа «Применение интеграла»



Цель работы: Познакомится на содержательных примерах с основными приложениями понятия интеграла.



Bx

Ay

By

Ax

A

B

На рисунке изображен график функцииhello_html_m6ebf54ee.gif, где hello_html_49edb149.gif, hello_html_1e590714.gif. Точки А и В – концы графика (соотвествующие абсциссам х=1 и х=5). Точки Ах, Вхyy – проекции точек А и В на оси координат.





















Задания:

  1. Запишите в виде интеграла площадь SxкриволинейнойтрпецииAxABBx.

  2. Запишите в виде интеграла площадь SyкриволинейнойтрпецииAyABBy.

  3. Выразите SyчерезSx.

  4. Выразите черезSx площадь криволинейного треугольника CAB.

  5. Запишите в виде интеграла объем Vxтела, получаемого вращением криволинейной трапеции AxABBx вокруг оси х.

  6. Запишите в виде интеграла объем Vyтела, получаемого вращением криволинейной трапеции AyABBy вокруг оси y.



  1. Темы мини-рефератов:

  1. Метод исчерпывания Архимеда.

  2. Метод исчерпывания Евдокса.

  3. Идея переменной площади.

  4. Скорость роста переменной площади



Тема: «Обобщение понятия степени»

Творческие задания:

  1. Решите уравнения:

  1. hello_html_m5ad629fa.gif

  2. hello_html_1f6a10ab.gif

  3. hello_html_m6b81613f.gif

  4. hello_html_2e3fe875.gif

  5. hello_html_3f5041fe.gif

  6. hello_html_m2fa77656.gif



  1. Решите системы иррациональных уравнений:

  1. hello_html_m6074af4a.gif

  2. hello_html_51720657.gif



  1. Решите неравенства:

  1. hello_html_24a4b840.gif

  2. hello_html_1ff6ab71.gif

  3. hello_html_c539822.gif

  4. hello_html_72ae63b6.gif



Тема: «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства»

Лабораторная работа «Распад радия»



Цель работы: Применение свойств показательных функций к исследованию процесса радиоактивных элементов.



Согласно экспериментальным данным скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству. Если обозначить через x(t) массу вещества в момент времени t, через v(t) – скорость изменения массы, то сформулированный закон можно записать так:

hello_html_m70e95a77.gif(1)

Период полураспада вещества Т – это время, через которое остается половина вещества. Тогда закон изменения количества вещества можно записать в виде:

hello_html_5d7bb012.gif(2)

где х(0) – масса вещества в начальный момент времениt=0.

Задания:

  1. Проверьте по формуле (2), что х(Т) действительно вдвое меньше, чем х(0).

  2. Период полураспада Т одного из изотопов радия hello_html_m59285a80.gif равен 26,7 мин. Какая часть первоначальной массы радия останется через 10 мин?

  3. Связь между формулами (1) и (2) можно получить, используя другое представление для функции х: hello_html_m829726.gif. Найдите связь между k и T.

  4. Используя приведенные формулы решите следующие прикладные задачи:

  1. Сколько радия останется через 300 лет, если его масса в начальный момент времени составляла 300 г?

  2. За 500 лет распалось 10 г радия. Какова его масса в начальный момент времени?

  3. Через сколько времени останется 99% первоначальной массы радия?

Тема: «Логарифмическая функция»

Доклады на тему:

  1. История возникновения и развития логарифмов

  2. Применимы ли логарифмы в жизни?

Выполните тест:

  1. Решите уравнение:hello_html_m2f10dc7c.gif

  2. Решите неравенство:hello_html_7e732df4.gif

  3. Решите уравнение: hello_html_m676d690b.gif

  4. Решите неравенство: hello_html_31e95c08.gif

  5. Найдите сумму корней уравнения: hello_html_m6e214f97.gif

  6. Решите неравенство:hello_html_m5660119b.gif

  7. Решите систему уравнений:hello_html_50bce952.gif



Тема: «Производная логарифмической и показательной функций»

Тренажеры:

  1. Существует ли показательная функция, у которой график функции совпадает с графиком ее производной? Если такая функция существует, то задайте ее с помощью формулы.

  2. Может ли угловой коэффициент касательной к графику функции hello_html_432aa4ae.gif в точке с абсциссой х0=-1 быть равен 4?

  3. Найдите скорость изменения показательной функции hello_html_m649f1d97.gif в точке х0=0.

  4. Найдите производную функций: а)hello_html_617ef5a1.gif б) hello_html_6f16ef43.gif

  5. Укажите промежутки возрастания фунции hello_html_m1dd535e7.gif

  6. Укажите точки максимума функции hello_html_m2a9263d0.gif

  7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) hello_html_2a3685ca.gif

б) hello_html_25baa1a0.gif

в) hello_html_m353836ba.gif



Тема: «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

  1. Составьте кроссворд по теме.

  2. Решите матричный тест:

Четыре шара закатываются в три лузы. Укажите верное количество вариантов при выполнении различных условий.

А

Условие

Количество вариантов

16

18

45

81

Лузы и шары различные





Шары различные, хотя бы одна луза пустая





Шары различные, вторая луза пустая





Шары различные, луза либо пустая, либо в нее попадает ровно два шара





Б

Условие

Количество вариантов

15

36

60

42

Шары и лузы различные, пустых луз нет





Шары и лузы различные, в одной из луз один шар





Шары и лузы различные, одна луза пустая





Шары одинаковые, лузы разные





В

Условие

Количество вариантов

5

9

12

6

Шары одинаковые, лузы различные, первая луза пустая





Шары одинаковые, лузы различные, одна луза пустая





Шары одинаковые, лузы разные, в одной лузе не может быть двух шаров





Шары одинаковые, лузы разные, каждая луза или пустая, или в нее попадает четное число шаров









Тема: «Комплексные числа»

Контрольные вопросы к зачету:

  1. Определение комплексного числа.

  2. Алгебраическая форма комплексного числа. Действительная, мнимая часть.

  3. Правило сложения комплексных чисел.

  4. Правило умножения комплексных чисел.

  5. Правило деления комплексных чисел.

  6. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

  7. Аргумент комплексного числа.

  8. Модуль комплексного числа.

  9. Тригонометрическая форма комплексного числа.

  10. Формула Муавра для возведения в степень комплексного числа.

  11. Формула Муавра для извлечения корня из комплексного числа.





Тема: «Многочлены»

Схема Горнера – способ деления многочлена

Pn(x)=∑i=0naixn-i=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an−1x+an

на бином xa. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома xa:

gorner

После деления многочлена n-ой степени на бином xa, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.



Пример №1

Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.

Решение

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:

gorner

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

gorner

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 15+5=10:

gorner

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 110+1=11:

gorner

Для пятой ячейки получим: 111+0=11:

gorner

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 111+(−11)=0:

gorner

Задача решена, осталось только записать ответ:

gorner

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x3+10x2+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остачу от деления многочлена 5x4+5x3+x2−11 на x−1. В нашем случае остача равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11.





Пример №2

Найти все целочисленные корни многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45, используя схему Горнера.

Решение

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x6) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа 45;15;9;5;3;1 и −45;−15;−9;−5;−3;−1. Проверим, к примеру, число 1:

Табл. №1

gorner

Как видите, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=1 равно 192(последнее число в второй строке), а не 0, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение x=−1. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение 1, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Табл. №2

gorner

Итак, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=−1 равно нулю, т.е. число −1 есть корень этого многочлена. После деления многочленана бином x−(−1)=x+1 получим многочлен x5+x4−22x3+2x2+69x+45, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45)(1)

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена x5+x4−22x3+2x2+69x+45. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа 45. Попробуем ещё раз проверить число −1. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

gorner

Итак, число −1 является корнем многочлена.

Этот результат можно записать так:

x5+x4−22x3+2x2+69x+45=(x+1)(x4−22x3+24x+45)(2)

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45)==(x+1)(x+1)(x4−22x3+24x+45)=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)(3)

Теперь уже нужно искать корни многочлена x4−22x2+24x+45, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа 45). Проверим еще раз число −1:

gorner

Число −1 является корнем многочлена x4−22x2+24x+45. Этот результат можно записать так:

x4−22x2+24x+45=(x+1)(x3x2−21x+45)(4)

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)==(x+1)2(x+1)(x3x2−21x+45)=(x+1)3(x3x2−21x+45)(5)

Теперь ищем корни многочлена x3x2−21x+45. Проверим еще раз число −1:

gorner

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число 3:

gorner

В остаче ноль, посему число 3 – корень рассматриваемого многочлена. Итак, x3x2−21x+45=(x−3)(x2+2x−15). Теперь равенство (5) можно переписать так:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45==(x+1)3(x3x2−21x+45)=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)(6)

Проверим ещё раз число 3:

gorner

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)==(x+1)3(x−3)(x−3)(x+5)=(x+1)3(x−3)2(x+5)(7)

Из последней скобки видно, что число −5 также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение x=−5, но необходимости в этом нет. Итак,

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5)

Числа −1;3;5 – корни данного многочлена. Причем, так как скобка (x+1) в третьей степени, то −1 – корень третьего порядка; так как скобка (x−3) во второй степени, то 3 – корень второго порядка; так как скобка (x+5) в первой степени, то x=−5 – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

gorner

Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5)



Выполните упражнения по образцу:

    1. Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x5-x4-3x3+x-3 на двучлен (x-3).

    2.  Найти целые корни многочлена f(x)=x4-2x3+2x2-x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)



Тема: «Функции»

Направление 1. Матричные тесты

  1. Отметьте промежутки, на которых функцияhello_html_mb93dfec.gif , заданная графиком, обладает указанными свойствами.

C:\Users\1\Desktop\IMG_0004.jpg

Свойство функции

Промежуток

[-3;-2]

[-1;1]

(0;1]

[-0,1;3]

[2,5;3]

Положительная и возрастает






Отрицательная и убывает






Выполняется неравенство hello_html_18454e3c.gif






Принимает наибольшее значение на конце промежутка






Уравнение hello_html_7275d085.gif имеет хотя бы один корень








  1. Какие преобразования графика функции hello_html_1ace66bb.gif нужно выполнить, чтобы получить графики уазанных функций?

Преобразование графика hello_html_1ace66bb.gif

hello_html_58ef8a3d.gif

hello_html_418c3397.gif

hello_html_m60a5df05.gif

hello_html_18b0996e.gif

Сдвиг по оси Ох





Сдвиг по оси Оy





Симметрия относительно оси Ох





Симметрия относительно оси Оy





Растяжение по оси Оy





Направление 2. Построение графика функции по ее описанию

  1. hello_html_7c2f5add.gif(сигнум х). Эта функция определена при всех вещественных х и принимает следующие значения: -1 при х<0, 0 при х=0, 1 при х>0.

  2. hello_html_m7f80a46f.gif(целая часть х, антье от х; [х] – это наибольшее целое число, не превосходящее х, например [3]=3; [3,1]=3; [-2,9]=3).

  3. hello_html_23557d10.gif(дробная часть х; по определению х=[x]+{x}).









Тема: «Уравнения и неравенства»

Направление 1. Построение математической модели и ее исследование (текстовые задачи)

  1. Решите задачи на составление уравнений.

    1. Поезд должен был преодолеть расстояние в 200 км, однако из-за ремонта дороги он был вынужден выбрать другой путь – на 100 км длиннее первого. При этом он увеличил скорость на 30 км/ч, но все же опоздал по сравнению с расписанием на 20 мин. Каково расчетное время движения поезда по расписанию?

    2. Два автомобиля выехали одновременно с перекрестка двух дорог, идущих по взаимноперпендикулярным направлениям. Через два часа растояние между ними было 400 км. Скорость одного из автомобилей была на 40 км/ч больше второго. С какими скоростями двигались автомобили?

    3. Вода вливалась в бассейн через две трубы., которые работали совместно 2 часа, после чего одна из них была закрыта, а вторая работала ещё 1 час 20 мин и наполнила бассейн. Отдельно работая, вторая труба наполняет бассейн за 1 час 10 мин дольше первой. За какое время наполняет бассейн каждая из труб, работая отдельно?

    4. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

    5. Между освещенным предметом и находящимся на расстоянии d от него экраном требуется поместить выпуклую линзу так, чтобы получить на экране четкое изображение этого предмета. Фокусное расстояние линзы равно F. На каком расстоянии от предмета следует поместить линзу?



  1. Старинные задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям. Задачи взяты из школьных задачников XIX века с сохранием их стиля.

      1. Некто имеет несколько телят, которые стоят 112 рублей. Если бы телят было двумя более, то каждый теленок стоил бы 2 рублями 80коп. дешевле. Сколько было телят?

      2. Два каменщика, из которых второй начинает работать 1,5 днями позже первого, могут выложить стену в 7 дней. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому для ее окончания понадобилось бы тремя днями более, чем второму. Во сколько дней каждый из них отдельно выстроит эту стену?

      3. Некто из бочки, содержащей 81 ведро вина, отлил некоторе число ведер, а бочку долил водой; потом от этой смеси он отлил столько же ведер, сколько и в первый раз, и опять бочку долил водой; сделав это 4 раза, в бочке осталось только 16 ведер чистого вина. По сколько ведер он отливал?

Направление 2. Геометрические модели

  1. У двух многоугольников 109 диагоналей. У одного из них на две стороны больше, чем у другого. Сколько сторон у каждого из них?

  2. Куб срезали по углам так, что на каждой грани образовался правильный восьмиугольник. Какая часть объема куба осталась?

  3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, имеющими с этой диагональю общую точку, углы 450 и 600. Какой угол она образует с третьим ребром, имеющим с данной диагональю общую точку?

  4. В равнобедренной трапеции большее основание равно 2, а три другие стороны равны х.

Определите , при каком значении х:

а) периметр трапеции равен 5;

б) средняя линия трапеции равна боковой стороне;

в) высота равна половине боковой сторны;

г) диагональ равна 2;

д) в трапецию можно вписать окружность;

е) вокруг трапеции можно описать окружность.

Направление 3. Тренажеры

Решите уравнения:

  1. hello_html_601b236f.gif

  2. hello_html_m5cda5153.gif

  3. hello_html_mf034425.gif

  4. hello_html_75285aa9.gif

  5. hello_html_50351fbf.gif

  6. hello_html_5027887a.gif

  7. hello_html_m448fff4e.gif

  8. hello_html_m4dbe597a.gif

  9. hello_html_m492df825.gif

  10. hello_html_m21b401ff.gif

Решите неравенства:

  1. hello_html_m6595cc98.gif

  2. hello_html_1ff39543.gif

  3. hello_html_m242ff0d7.gif

  4. hello_html_m7c838ede.gif

  5. hello_html_m70027e56.gif



Тема: «Геометрия на плоскости»

Заполните таблицу

Планиметрия. Многоугольники



Периметр

Площадь

Высота

Радиус вписанной окружности

Радиус описанной окружности

Дополнительные формулы

Треугольники

Произвольный







Правильный







Равнобедренный







Прямоугольный







Четырехугольники

Ромб







Трапеция







Квадрат







Прямоугольник







Параллелограмм








Шестиугольник правильный







Планиметрия. Окружность. Круг

Окружность

Круг

Длина окружности

Площадь круга

Длина дуги окружности

Площадь кругового сектора

Касательная и секущие

Вписанные и центральные углы

Дополнительные формулы




























Рекомендуемая литература:

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: учебник + СД. М.: Просвещение, 2013.

2. Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля. Учебник . М.: Академия, 2013

3. Башмаков М.И. Математика. Учебник. М.: Академия, 2013

4. Башмаков М.И. Математика. Задачник. Учебное пособие. Академия, 2013

5. Башмаков М.И. Математика: Книга для преподавателя, методическое пособие. М.: Изд. центр «Академия», 2013

6. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности. Учебное пособие. М.: Изд. центр «Академия», 2013

7. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11 классы. Учебник. М.: Просвещение, 2013

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

Учебное пособие содержит  указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по математике, являющейся   дисциплиной общеобразовательного цикла. Методические указания составлены  в соответствии с рабочей программой  по математике и предназначены для студентов 1-го курса Государственного бюджетного образовательного учреждения Республики хакасия среднего профессионального образования "Черногорский механико-технологический техникум", обучающихся по  программам подготовки квалифиципрованных рабочих.Выполнение внеаудиторной самостоятельной  работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом  техникума.

Автор
Дата добавления 20.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2634
Номер материала 488845
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх