Методический и дидактический материал "Текстовые задачи на работу"

Текстовые задачи на работу

1. Явный объем работы

Задачи на работу аналогичны задачам на движение. Вся работа играет роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения.

·         В задачах на работу обычно используют три величины: время t , в течение которого производится работа; производительность N – работа, произведенная в единицу времени; работа A , произведенная за время t .

·      Указанные величины связаны формулой: A ∙ N=t . Отсюда N=   и  t= . Все величины (объем работы, производительность, время) считаются положительными.

К задачам на работу относят также задачи на заполнение резервуаров. В качестве произведенной работы рассматривают объем перекаченной жидкости.

·         Время и объем работы (при постоянной производительности) – прямо пропорциональные величины:

·         Производительность и объем работы (при постоянном времени) – прямо пропорциональные величины:

·       Производительность и время (при постоянном объеме работы) – обратно пропорциональные величины:

Пример 1. Одна тракторная бригада должна была вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй бригады, первая всё же закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Решение. Так как 35% = 0,35 , то вторая бригада должна вспахать на 0,35∙ 240 = 84 (га) больше, чем первая, то есть вспахать всего 240 + 84 = 324 (га). Пусть первая бригада вспахивает x гектаров ежедневно.

Составим таблицу.

Вторая бригада на выполнение работы тратит на 2 дня больше, чем первая бригада.

 Составим уравнение:

162x -120(x +3) = x(x + 3) ,     х² - 39x +360 = 0 .

Квадратное уравнение имеет два положительных корня x₁ = 24 и x₂ = 15 .

Если первая бригада ежедневно вспахивала 24 га, то вторая бригада 24  3  27 (га); если первая бригада ежедневно вспахивала 15 га, то вторая бригада 15 + 3 = 8 (га).

Ответ: 24 га; 27 га или 15 га; 18 га.

2. Неявный объем работы

Рассмотрим задачи, в которых объем работы не указывается и не является искомым. Объем всей работы, который должен быть выполнен, принимается за единицу.

Пример 8. Аквариум наполняется водой через две трубки за 3 часа. За сколько часов может наполниться аквариум через первую трубку, если для этого потребуется на 2,5 ч меньше, чем для наполнения аквариума через вторую трубку?

Решение. Примем объем аквариума за1. Пусть аквариум наполняется через одну первую трубку за х часов. Составим  таблицу и найдем производительности (пропускную способность) трубок.

 

Последнее уравнение имеет один положительный корень x = 5 .

Значит, аквариум наполняется через одну первую трубку за 5 часов.

Ответ: 5 часов.

Пример 9. Оператор ЭВМ, работая вместе с учеником, обрабатывает задачу за 2 ч. 24 мин. Если оператор проработает 2 ч, а ученик 1 ч, то будет выполнено    всей работы. Сколько времени потребуется оператору и ученику в отдельности на обработку задачи?

Решение. Обозначим производительность (часть работы, выполненная за 1час) оператора и ученика соответственно через x и y . Весь объем работы примем за единицу, тогда оператору и ученику в отдельности на обработку задачи потребуется соответственно   часов и   часов.

Ответ: 4 ч; 6 ч.

Текстовые задачи  Задачи на работу (явный объем)  В -1 1.1.1. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров  воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды? 1.2.1. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? 1.3.1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше? 1.4.1. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше? 1.5.1. На изготовление 475 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Текстовые задачи  Задачи на работу (явный объем)  В -2 1.1.2. В помощь садовому насосу, перекачивающему 8 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 36 литров воды? 1.2.2. Петя и Митя выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 10 вопросов теста, а Митя — на 16. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Мити на 117 минут. Сколько вопросов содержит тест? 1.3.2. Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше? 1.4.2. Заказ на 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 3 детали больше? 1.5.2. На изготовление 621 детали первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Текстовые задачи  Задачи на работу (явный объем)  В -3 1.1.3. В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 1 минуту, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 2 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 54 литра воды? 1.2.3. Олег и Алексей выполняют одинаковый тест. Олег отвечает за час на10 вопросов теста, а Алексей — на 12.Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Олег закончил свой тест позже Алексея на 29 минут. Сколько вопросов содержит тест? 1.3.3. Заказ на 220 деталей первый рабочий выполняет на 9 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 9 деталей больше? 1.4.3. Заказ на 160 деталей первый рабочий выполняет на 6 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 6 деталей больше? 1.5.3. На изготовление 486 деталей первый рабочий затрачивает на 9 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 621 детали. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

1.6.1. На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? 1.7.1. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? 1.8.1. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба? 1.9.1. труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров? 1.10.1. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

1.6.2. На изготовление 16 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? 1.7.2.Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропуска- ет первая труба, если резервуар объемом192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба? 1.8.2. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 928 литров она заполняет на 3 минуты быстрее, чем первая труба? 1.9.2. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом  460 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 391 литр? 1.10.2. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 425 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 525 литров?

1.6.3. На изготовление 33 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 77 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? 1.7.3. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 238 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба? 1.8.3. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 480 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба? 1.9.3. Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 660 литров она заполняет на 11 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 570 литров? 1.10.3. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 638 литров она заполняет на 7 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 812 литров?

Текстовые задачи  Задачи на работу (неявный объем)  В -1 2.1.1. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? 2.2.1. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно? 2.3.1. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба? 2.4.1. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Текстовые задачи  Задачи на работу (неявный объем)  В -2 2.1.2. Один мастер может выполнить заказ за 15 часов, а другой — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? 2.2.2. Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй — за 54 минуты, а третий — за 1 час 48 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно? 2.3.2. Две трубы наполняют бассейн за 1 час 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 46 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна  вторая труба? 2.4.2. Игорь и Паша красят забор за 24 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 30 часов, а Володя и Игорь — за 40 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Текстовые задачи  Задачи на работу (неявный объем)  В -3 2.1.3. Один мастер может выполнить заказ за 24 часа, а другой — за 8 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? 2.2.3. Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй — за 14 минут, а третий — за 1 час 24 минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно? 2.3.3. Две трубы наполняют бассейн за 2 часа 42 минуты, а одна первая труба наполняет бассейн за 27 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна  вторая труба? 2.4.3. Игорь и Паша красят забор за 16 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь — за 48 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

2.5.1. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? 2.6.1. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? 2.7.1. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? 2.8.1. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

2.5.2. Юля и Уля пропалывают грядку за 6 минут, а одна Уля — за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Юля? 2.6.2. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 16 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? 2.7.2. Первая труба наполняет резервуар на 90 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 24 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? 2.8.2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 5 дней выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

2.5.3. Аня и Таня пропалывают грядку за 5 минут, а одна Таня — за 30 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Аня? 2.6.3. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 13 часов. Через 1 час после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? 2.7.3. Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? 2.8.3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 2 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 1 день выполняет такую же часть работы, какую второй — за 2 дня?

Ответы: Задачи на работу

1. Явный объем работы 1.1.1. 6.     1.1.2. 7.       1.1.3. 4. 1.2.1. 24.   1.2.2. 52.     1.2.3. 29. 1.3.1. 10.   1.3.2. 12.     1.3.3. 11. 1.4.1. 13.   1.4.2. 13.     1.4.3. 16. 1.5.1. 25.   1.5.2. 27.     1.5.3. 27. 1.6.1. 10.   1.6.2. 5.       1.6.3. 7. 1.7.1. 10.   1.7.2. 12.     1.7.3. 14. 1.8.1. 11.   1.8.2. 32.     1.8.3. 24. 1.9.1. 10.   1.9.2. 20.     1.9.3. 22. 1.10.1. 25. 1.10.2. 25.   1.10.3. 29.

2. Неявный объем работы 2.1.1. 4.       2.1.2. 6.       2.1.3. 6. 2.2.1. 10.     2.2.2. 9.       2.2.3. 6. 2.3.1. 9.       2.3.2. 2.       2.3.3. 3. 2.4.1. 8.       2.4.2. 20.     2.4.3. 15. 2.5.1. 30.     2.5.2. 7.       2.5.3. 6. 2.6.1. 9.       2.6.2. 9.       2.6.3. 7. 2.7.1. 6.       2.7.2. 30.     2.7.3. 27. 2.8.1. 20.     2.8.2. 24.     2.8.3. 3.

Краткое описание документа:

Данный материал представляет примеры решения задач на работу с явным и неявным объемом работы. Включает большой набор заданий на указанные типы задач, как для самостоятельной тренировки, так и для контроля. Есть ответы для всех задач. Можно использовать на уроках математики 8-11 класса, для подготовки к олимпиадам и ГИА.