Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методический кейс "Применение производной и интеграла"

Методический кейс "Применение производной и интеграла"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Городской методический центр










Методический кейс

Применение производной и интеграла



Из опыта работы

учителей математики-

членов городской

динамической группы

руководитель группы

Кирилюк Н.А.

учитель математики высшей категории,

Старший учитель”,

УВК “ОШ І-ІІ ст. №1-лицей “Спектр”




Торез

2011

Применение производной и интеграла

Составители:

Кирилюк Н.А.- учитель математики высшей категории,

Старший учитель”;

Беляева Л.С. – учитель математики высшей категории,

Учитель-методист”;

Захарова З.Т.- учитель математики высшей категории;

Шамдам Н.А. – учитель математики высшей категории,

Старший учитель”;

Беляева Н.А.- учитель математики І категории;

Руденко Е.Г.- учитель математики І категории.







Методический кейс является дидактическим материалом

для 11 профильных классов общеобразовательных учебных заведений. Материал пособия отвечает действующей программе по алгебре и началам анализа. Поможет учителям и учащимся повысить уровень учебных достижений до желаемого результата.







Пояснительная записка

Настоящий кейс является учебно-методическим пособием для профильного обеспечения учащихся 11 классов по развитию навыков применение производной и интеграла к решению, как физических задач, так и математических: исследование функции и построение графиков, вычислению площадей, решению уравнений.

Опираясь на материал школьных учебников, в пособии обсуждаются алгоритмы исследования функции на монотонность, нахождение точек экстремума, наибольшего и наименьшего значения функции, построение графиков функции, вычисление площадей фигур. Приведены образцы решения задач на применение производной и интеграла.

Система практической части по каждой теме представлена для трех уровней: профильного, академического, стандартного. С целью закрепления и контроля предлагается система тестовых заданий.
















Содержание


1.Методические рекомендации

1.1.Приложение производной 5

1.2.Интеграл и его приложения 6

  1. Практическая часть

2.1. Профильный уровень 11

2.2. Академический уровень 23

2.3. Стандартный уровень 35

3. Тест для самоконтроля 46



















1.1. Приложение производной

При построении графиков функций очень важно уметь находить промежутки возрастания, убывания и постоянства функции (то есть промежутки монотонности), а также ее точки экстремума.


1.Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции рекомендуется:

  1. Найти область определения функции, если она не указана.

  2. Найти производную и критические точки функции , т.е. точки из области определения функции , к которых её производная равна нулю или не существует. Критическими точками область определения разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак.

  3. Установить знак производной на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале производная функции положительна (отрицательна), то на этом интервале функция возрастает (убывает)


2. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x) ,если для всех х из некоторой окрестности этой точки, кроме х = x0,если выполняется неравенство f(x)<f(x0) (f(x) > f(x0)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Для нахождения точек экстремума функции надо:

  1. Найти производную и критические точки функции.

  2. Исследовать поведение знака производной в некоторой окрестности каждой критической точки. Если функция непрерывна в критической точка x0 , то x0 - точка экстремума функции. При этом, x0 - точка максимума, если знак меняется с плюса на минус, и минимума, если знак меняется с минуса на плюс. Если же знак производной сохраняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция не имеет экстремума в этой точке.

3. Решение многих практических задач сводится к определению условий, при которых исследуемая величина принимает своё наибольшее или наименьшее значения. Подобные задачи решаются с помощью производной. Вспомним, прежде всего, понятие наибольшего и наименьшего значений функции.

Значение функции y=f(x) в некоторой точке x0 множества Х называется наибольшим (наименьшим) значением функции на этом множестве, если для каждого х их Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0 ) (f(x) ≥ f(x0 )).


Обратите внимание на то, что даже ограниченная функция может не иметь на заданном промежутке наибольшего или на наименьшего значения. Так, функция

hello_html_m5bb3f641.pngне имеет на отрезке [0;1] наибольшего значения.

Ее наименьшее значение на этом промежутке равно 0. (рис.1)

hello_html_735c34da.png

рис.1

Известно, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Что бы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, имеющий на заданном отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Иногда при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции полезно использовать следующий факт.

Если на некотором промежутке непрерывная функция y=f(x) имеет единственную критическую точку x0 и x0 – точка максимума (минимума), то f(x0 ) будет наибольшим (наименьшим) значением функции на этом промежутке.

4. Производная помогает при решении уравнений, неравенств, доказательстве тожеств. При этом мы будем опираться на следующие свойства функций.

  1. Если непрерывная функция f возрастает или убывает на некотором промежутку, то на этом промежутке уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня.

  2. Если f(x)=0 на некотором промежутке, то f(x)=const на этом промежутке.















1.2.Интеграл и его приложения

Часто приходится решать задачи, обратные тем, которые рассматривались при изучении производной: по известной скорости тела восстанавливать закон его движения, по ускорению - скорость, по угловому коэффициенту касательной к кривой- уравнение самой кривой и т.д. Решение каждой из сформулированных задач сводится к нахождению функций по заданной её производной. Восстановление функции по её производной называется интегрированием. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.

1. Допустим, нужно найти функцию F(x) по её производной f(x), т.е. найти такую функцию F(x), что F'(x)=f(x). В этом случае функцию F(x)называют первообразной функции f(x). Таким образом, операция интегрирования состоит в отыскании первообразной данной функции.

В отличие от дифференцирования, операция интегрирования приводит не к одной конкретной функции ,а к целому семейству функций.

Если y=F(x) – первообразная функции y=f(x) на некотором промежутке то функция y=f(x) имеет на этом промежутке бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x) + С , где С – произвольная постоянная.

Это свойство первообразных функций имеет простой геометрический смысл:

Графии любых двух первообразных функций можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат.

Чтобы из множества первообразных выделить одну, нужно задать дополнительные условия, например, значение первообразной в некоторой точке. Геометрически это означает что выделение кривой, проходящей через заданную точку.

2. С понятием первообразной тесно связано другое понятие математики – понятие интеграла. С помощью интеграла можно найти перемещение прямолинейно движущегося тела, площади фигур ,объемы тел, работу переменной силы и многие другие величины.

Интеграл hello_html_m3a7b5bcb.gif есть перемещение прямолинейно движущейся со скоростью V(t) материальной точки за промежуток времени hello_html_m1097c900.gif.

Если hello_html_6e5123d1.gif , то этот интеграл можно трактовать как путь, пройденный точкой за промежуток времени hello_html_m1097c900.gif.

В этом заключается физический смысл интеграла.

Рассмотрим теперь фигуру, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции hello_html_m65279706.png, прямыми hello_html_m161607b7.png hello_html_41cdb6fe.png и осью х (рис.2). Эта фигура называется криволинейной трапецией и её площадь равна

  hello_html_674d9f00.gif

В этом заключается геометрический смысл интеграла.

Для вычисления интеграла обычно используют формулу Ньютона-Лейбница: hello_html_1524c680.gif

Где hello_html_5d6d7beb.gif – одна из первообразных функцииhello_html_m60b634f2.gif на отрезке hello_html_m59cc08db.gif.

hello_html_m1357a3e8.png

рис.2

Таким образом, интеграл равен приращению первообразной подынтегральной функции на рассматриваемом отрезке.

3. С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и более сложных фигур. В этих случаях обычно используют следующие свойства площадей:

  1. Если фигуру разбить на конечное число непересекающихся частей, то её площадь равна сумме площадей этих частей.

  2. Площадь фигуры сохраняется при движении, в частности, при параллельном переносе и при преобразовании симметрии.

Так, площадь фигуры AabB, легко найти, если заметить, что эта фигура получена симметричным отображением криволинейной трапеции hello_html_m3b842c1e.gif относительно оси  х. Таким образом, имеем

hello_html_m7a4bbe96.gif















Профильный уровень

Применение производной и интеграла


Задача 1

Из прямоугольного листа жести размером 5 на 8 надо изготовить открытую коробку наибольшего объема, вырезая уголки, как показано на рисунке.

hello_html_m4fc25077.png

Решение

Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Тогда длины сторон прямоугольника уменьшатся на и объем коробки будет равен:

hello_html_77b68781.gif.

При этом х может меняться в следующих пределах: hello_html_m1375b662.gif. Заметим сразу, что в крайних точках 0 и 2,5 объем равен 0. Находим критические точки функции:

hello_html_2a886e0f.gif

Отметим, что х2 не принадлежит области определения. При х=1 объем максимален: hello_html_4e3d0bc8.gif.

Ответ: 18.


Задача 2

В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.

Решение

Обозначим через R радиус шара, а через r и h соответственно радиус основания и высоту вписанного цилиндра.

hello_html_m65dfc4c0.png

Используя теорему Пифагора, получим равенство : hello_html_m14bbb88b.gif

Будем считать h переменной. Тогда hello_html_m7e3608aa.gif

Заметим, что h изменяется в пределах от 0 до 2 R, причем, на концах отрезка цилиндр вырождается, объем его равен 0.

Находим критические точки:

hello_html_a177f51.gif

При этом значении h объем будет максимальным:

hello_html_m32d1ece1.gif

Ответ: hello_html_5f3aa66c.gif


Задача 3

Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Решение

Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке.

hello_html_ma5a0c98.gif

Иными словами, hello_html_616fa0d3.gif

Где Е – освещенность на краю стола, hello_html_16147cc2.gif h – расстояние от лампы до стола.

Вместо функции hello_html_m7b34649.gif можно рассмотреть функцию hello_html_508f3cf7.gif При этом вместо h можно взять переменную z = h2 и найти критические точки Т как функцию от z:

hello_html_6f20b4d1.gif

Итак, освещенность максимальна, если hello_html_m4494ea8e.gif

Ответ: hello_html_4fea90c3.gif


Задача 4

Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32м3, чтобы на облицовку его стен и дна было израсходовано наименьшее количество материала.

Решение

Обозначим длину стороны основания бассейна через х, а высоту – через у.

Тогда V(x,y) = x2y= 32.

Площадь боковой поверхности бассейна вместе с площадью его дна равна: S=x2+4xy. Найдем у из равенства x2y= 32, и подставив его значение в последнее равенство, получим такую функцию от х: hello_html_d73c829.gif

Найдем производную этой функции: hello_html_1051911f.gif Решим уравнение hello_html_m42f71804.gif находим критическую точку х=4.

Так как существует только одна критическая точка, то она и является точкой минимума функции S(x). Следовательно, наименьшие размеры бассейна с данным объемом V=32м2 таковы: х=4м, у=2м.

Ответ: х=4м; у=2м.


Задача 5

Сосуд с вертикальной стенкой и высотой h стоит на горизонтальной плоскости. На какой глубине нужно разместить отверстие, чтобы дальность струи из отверстия была наибольшей (скорость вытекающей жидкости, по закону Торричелли, равна hello_html_4c799fbe.gifгде х – глубина отверстия, g – ускорение свободного падения)

Решение.

hello_html_m7aeffee.gif

Обозначим через Н расстояние в сосуде от горизонтальной плоскости, а через L -- расстояние точки А от стенки сосуда. Тогда L=vt, где t – время вытекания воды из отверстия на плоскость (в точку А).

Из курса физики известно, что hello_html_295726e9.gif

Тогда hello_html_m27dbf84e.gif

Найдем производную hello_html_m7946fddd.gif Решим уравнение :hello_html_m6541b9d1.gif

hello_html_m563d390b.gif-- критическая точка. Так это единственная критическая точка, то она и есть искомой.

Ответ: hello_html_106e2ba9.gif


Задача 6

Предположим, что в точку О помещен единичный электрически заряд. Он создает электрическое поле. Известно, что на другой единичный заряд, помещенный в точку х, действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, т.е. hello_html_m6e7afd54.gif Найти работу электрического поля по перемещению единичного заряда из точки х1 в точку х2.

Решение

Применяя формулу для работы hello_html_7749fd59.gif, получим hello_html_mc9a371f.gif

Для функции hello_html_m28d4343c.gif, первообразная U(x)=hello_html_m738d1201.gif. Получим:

hello_html_m22cc1f98.gifhello_html_4729d395.gif= hello_html_5f04048c.gif

Ответ: hello_html_m22cc1f98.gifhello_html_4729d395.gif= hello_html_5f04048c.gif


Задача 7

Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 232м. Она построена из камня, плотность которого 2,5г/см3. Найти работу против силы тяжести, затраченную при постройке.


Решение.

Проведем вертикально вверх ось х с началом у основания пирамиды. По этой оси будем измерять высоту подъема камней. Пусть высота пирамиды равна Н, сторона основания а, а плотность камня hello_html_282a8168.gif. Обозначим через А(х) работу, которую надо совершить для постройки пирамиды от основания до высоты х. Найдем сначала сторону у квадрата, получающегося в горизонтальном сечении пирамиды на высоте х. из подобия треугольников получаем hello_html_m91782ea.gifhello_html_3fb79879.gif

Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный на расстоянии х от основания. Пусть толщина слоя равна dx. Слой можно приблизительно считать параллелепипедом. Масса его dm равна: hello_html_2c85626c.gif.

При подъеме этого слоя на высоту х была проделана работа dA, равная (gdm)x, где g- ускорение силы тяжести, т.е. hello_html_4f7db997.gif

Отсюда hello_html_1b2af8b0.gifhello_html_218d2e75.gif =

hello_html_5cf7cb95.gif

Подставляя числовые данные а=232м, Н=147м, hello_html_23079c96.gif,

получаем А=2,37*1012 Дж=2,4*105тонно-километров.

Ответ: 2,4*105 тонно-километров


Задача 8

Квадратная пластинка со стороной а погружена в воду перпендикулярно ее поверхности, причем верхнее основание пластины находится на поверхности. Найти давление воды на пластину.

Решение

На маленькую площадку площадью dS, расположенную на глубине х от поверхности, давит столб воды в виде цилиндра с основанием dS и высотой х. Давление dp будет при этом равно hello_html_m1ea58b04.gif, где hello_html_6ad3f616.gifплотность воды,

hello_html_m7989a3fd.gifмасса цилиндра. Возьмем полоску пластины шириной dx, находящуюся на глубине х. Её площадь dS равна adx. Отсюда dp=hello_html_2a93ab12.gif. Получаем hello_html_2fefa46.gif.

Ответ: hello_html_1c98c14e.gif


Задача 9

Экспериментально установлено, что продуктивность труда работника приближенно выражается формулой: f(t)= -0,0033t2 -0,089t +20,96, где t -- рабочее время в часах. Вычислите объем выпуска продукции за квартал, считая рабочий день восьмичасовым, а количество рабочих дней в квартале – 62.

Решение.

Объем выпуска продукции в течение смены является первообразной для функции, выражающей продуктивность труда. Поэтому hello_html_1c5b814a.gif.

В течение квартала объем выпуска продукции составит:

hello_html_3bdbbc8d.gif

hello_html_m6dc0b6ac.gif

Ответ: 10185 ед.



Задача 10.

Экспериментально установлено, что зависимость расхода бензина автомобиля от скорости на 100км пути выражается по формуле: Q=18 – 0,3v+0,003v2, где hello_html_me2891c1.gif Определить средний расход бензина, если скорость движения 50-60км/час.

Решение

Средний расход бензина составляет :

hello_html_mb602b58.gif

hello_html_1f85d2c4.gif

hello_html_m21567787.gif

Ответ: 10,6л

Задание 11

Из трёх одинаковых досок шириной а нужно сделать жёлоб наибольшей пропускной способностью, поперечное сечение которого имело бы форму равнобокой трапеции.

Решение

Очевидно, что пропускная способность жёлоба будет наибольшей, если наибольшей будет площадь его поперечного сечения ,где AB > a).Обозначим угол при большем основании трапеции через х. Выразим площадь S трапеции как функцию от х.

hello_html_4fb1696f.gif

hello_html_d9de958.gifhello_html_48b6ab16.gif.

Итак, hello_html_166a1da3.gif. Найдем производную этой функции: hello_html_m48d9ad0f.gif. На интервале hello_html_m34abe383.gifhello_html_m1e8fe3e5.gifуравнение hello_html_m16e5a290.gif имеет единственное решение hello_html_4bb9a6c6.gif. Следовательно, на этом интервале функция имеет единственную критическую точку hello_html_4bb9a6c6.gif. Так как hello_html_m364a10e2.gif,то производная переходя через точку hello_html_4bb9a6c6.gif,меняет знак с плюса на минус, то есть hello_html_4bb9a6c6.gif-точка максимума функции, и, следовательно, hello_html_m1085d365.gif-наибольшее значение функции на промежутке hello_html_m34abe383.gif.Итак, доски надо соединить друг с другом под углом 120°.

Задание 12

Доказать неравенство hello_html_3b15e8ff.gif.

Решение

Перепишем данное неравенство в виде hello_html_2f685623.gif или hello_html_13eb0cd4.gif. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=hello_html_134d3748.gif на промежутке hello_html_m293ed9df.gif. Так как эта функция нечётная и f(x) >0 при x >0,то достаточно найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале hello_html_m5e57ac5b.gif.

Найдем производную функции: f(x)=hello_html_447d1e58.gif. На интервале hello_html_m5e57ac5b.gif

Содержится единственная критическая точка х=1 функции f(x), которая является точкой максимума этой функции. На основании правил нахождения наибольшего и наименьшего значений f(1)=hello_html_b72dc5b.gifявляется наибольшим значением функции f(x)=hello_html_134d3748.gif. Тогда f(-1)= hello_html_5bac0465.gif являются её наименьшим значением на интервале hello_html_m293ed9df.gif.Отсюда заключаем, что hello_html_m6c5a2f88.gif, что и требовалось доказать.

Задание 13

Доказать неравенство hello_html_717f988.gif.

Рассмотрим функцию f(x)=hello_html_6003bc85.gif. Она определена на всей числовой оси.

Исследуем её на монотонность. Найдем производную функции:

f(x)=hello_html_43171a99.gif . Так как hello_html_m5ef01fe9.gif при x=0, hello_html_67fe6b40.gif при x>0, то функция f(x) возрастает на промежутке hello_html_m6f1aa166.gif и убывает на промежутке hello_html_mcb8eb72.gif. Следовательно, f(0)=2 – наибольшее значение функции на интервале hello_html_m293ed9df.gif. Поэтому hello_html_7f9d7a40.gif. Так как hello_html_m3cd82aca.gif, то последнее неравенство имеет вид hello_html_2d826fde.gif или hello_html_717f988.gif, что и требовалось доказать.

Задание 14

Доказать, что при  hello_html_610ad8af.gif имеют место неравенства: hello_html_m79cd1811.gif; hello_html_44996914.gif ;hello_html_m65739268.gif.

Решение

При  hello_html_610ad8af.gif имеем очевидное неравенство hello_html_m67298d2f.gif.Применим свойство монотонности интеграла, положив hello_html_44db5f.gif и hello_html_5f475af0.gif. Функции f и g удовлетворяют всем условиям используемого утверждения на промежутке hello_html_mcb8eb72.gif. Поэтому для произвольного x ≥0 hello_html_71846945.gif, т. е. hello_html_m79cd1811.gif.

Применяя тот же метод к полученному неравенству можно записать: hello_html_m39572a49.gif ,или hello_html_44996914.gif.

Ещё раз использую то же утверждение к полученному неравенству, будем иметь hello_html_m64d86c0f.gif или hello_html_m65739268.gif.

Задание 15

Два корабля плывут с постоянными скоростями hello_html_29a295db.gif20 км/ч и hello_html_m493a1e08.gif30 км/ч по прямым, угол между которыми 60°, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени расстояние кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.

Пусть через t часов от начального момента первый корабль окажется в точке А,

второй – в точке В, R(t) км- расстояние АВ.

По условию ВС=20 – 30t, AC=10-20t. Тогда по теореме косинусов имеем hello_html_5f00135.gifили

hello_html_m6854505c.gif.

Следовательно, hello_html_42e878a8.gif.

Требуется найти наименьшее значение этой функции на промежутке hello_html_7951496d.gif. Функция R(t) определена и дифференцируема на всей числовой оси, причем hello_html_1570c10a.gif . Следовательно, hello_html_m246ef7ae.gif- единственная на hello_html_7951496d.gifкритическая точка, которая является точкой минимума, так как hello_html_253a69a.gif, а hello_html_m7369acd6.gif. Значит, hello_html_m45102714.gif- минимальное расстояние между кораблями, hello_html_4d30044a.gif.

Ответ: hello_html_38de0861.gifкм.




















Академический уровень


Задание 1

Найти промежутки убывания и возрастания функции

hello_html_1e88ff0c.png

Решение:

hello_html_m6e257a9b.png

hello_html_m433f265e.png

Ответ: при х є(0;1) функція убывает, при х є(1; ∞ ) функція возрастает


Задание 2

Исследовать функцію f(x)=х3-3х2+4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

hello_html_98192e5.png

hello_html_m1a56b479.png

4) х=0—точка максимума, х=2—точка минимума.

5) f(0)=4, f(2)=4

Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=х3-3х2+4

hello_html_5e3384cb.png

Задание 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m5c6c0f6a.png на отрезке hello_html_4eda9f2b.png

Решение:

hello_html_3749634.png

Ответ: hello_html_10b99c03.png


Задание 4

Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20 см.,имеющего наименьшую диагональ.

hello_html_m2d78222e.png

Решение:

Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d – его диагональ. Тогда а+в=10. По теореме Пифагора d222. По условию задачи а > 0, в > 0,значит 0 < а < 10.d22+(10-а)2=2а2-20а+100, 0 < а < 10.

Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения а, при котором функция d(а)=2а2-20а+100 принимает наименьшее значение на интервале(0;10).

Найдем призводную d’(а)=4а-20.

Критическая точка а=5 є(0;10).

hello_html_30ade80.png

а=5 – точка минимумСледовательно, наименьшее значение функція d(а) на интервале (0;10).принимает в точке а=5.При этом в=5.

Ответ:5см.,5см.


Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:

1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0

. Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -, то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ≠ 0, то вточке x0 функция f(x0) имеет максимум, если f ''(x0 ) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.

Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Задание 5

Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:

π(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10

Решение:

π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4

При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: hello_html_m6c66e601.png, x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и hello_html_m2c7171bf.png

при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

hello_html_m3e915ab4.png

Ответ: √3654≈60,45


Ответ: 35Дж.


Задача 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

х-2у+4=0 и х+у-5+0 и у=0.

Решение:

hello_html_6ddbee06.png

hello_html_23fe360d.pnghello_html_maa1b706.png

Тогда площадь фигуры равна 9+4,5=13,5

Ответ: 13,5

Пример 2. Скорость движения точки hello_html_dc36de3.pngм/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение:

Согласно условию, hello_html_65824c05.png. Следовательно, hello_html_21f844b1.png

Ответ: 83м.


Задание 7

Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью hello_html_m7ae6071a.pngм/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

hello_html_m16eaadf1.png

Ответ: 200м.

Задание 8

Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v = (39,2—9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

hello_html_129eae47.png

Ответ: 78,4 м.


Задание 9

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

hello_html_m396fccd3.png

Ответ: 35Дж.

Задание 10

Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр , наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение 1. Обозначим длину одной стороны прямоугольника через х. hello_html_2949ea27.gif. hello_html_5ac13cba.gif максимум, то он будет и наибольшим значением функции в этом интервале. Другая сторона hello_html_m7e932a3b.gif т.е. прямоугольник-квадрат.

hello_html_m28834606.gif

Ответ: hello_html_m5c201f0e.gif

Решение 2. Имеет: hello_html_m6d8cc54.gif.На основание теоремы о средних hello_html_m6b3dcf83.gif при х=р-х; 2х=р; hello_html_2949ea27.gifи т.д. как решении 1.

Ответ: hello_html_m5c201f0e.gif

Задание 11

Основание треугольника равно а, его периметр . Определить его две других стороны так, чтобы его площадь была наибольшей.

Решение 1. Пусть вторая сторона b=x ,третья c=2p-a-x.По формуле Герона имеем: hello_html_m534ef2c5.gif,тогда hello_html_m70bba4bc.gif; hello_html_e6341f1.gif; hello_html_m6d38e1c.gif. Функция S достигает наибольшего значения, когда ее подкоренное выражение будет наибольшим. В нем первые два множителя постоянны, поэтому их можно не учитывать и определить наибольшее значение hello_html_m29c3f500.gif,тогда hello_html_5d8ee695.gif.Решая уравнение hello_html_1459e95c.gif,находим hello_html_2f716139.gif.Поскольку b=с, то рассматриваемый треугольник - равнобедренный. Так как hello_html_3afd4200.gif,то при hello_html_5499655d.gif функции S максимальна, а так как в интервале hello_html_1e454b98.gifэтот максимум единственный, то он совпадает с наибольшим значением.

Ответ: hello_html_2e22b8ae.gif

Решение 2. Имеем:hello_html_m3e61cdbe.gif,откуда hello_html_5499655d.gifи т.д. как в решении 1.

Ответ: hello_html_2e22b8ae.gif

Задание 12

Найти хотя бы одну из первообразных для функции hello_html_35be4b12.gif.

Решение 1.

Если F есть первообразная для f, а G- первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Поэтому, так как hello_html_m3ab4a8d4.gifесть первообразная для hello_html_aa1b015.gif hello_html_m7926be3c.gif - первообразная для hello_html_m3ab4a8d4.gif, то hello_html_m69a52a3c.gif есть первообразная для hello_html_m51997551.gif.

Ответ: hello_html_77048efb.gif

Решение 2. Если F есть первообразная для f, а kпостоянная, то функция kF первообразная для kF.Поэтому, так как hello_html_1b3c9777.gif, есть первообразная для hello_html_5afabe74.gif, то функция hello_html_m14544c16.gif,- первообразная для hello_html_m51997551.gif.

Ответ: hello_html_77048efb.gif

Решение 3. Если F есть первообразная для f, а k и b- постоянные hello_html_m2bcc2c0a.gif,то hello_html_m662fb5d9.gifесть первообразная для hello_html_m213294ed.gif,поэтому, так как hello_html_1b3c9777.gif есть первообразная для hello_html_5afabe74.gif,то и функция hello_html_3e6d1aea.gif,кроме функции hello_html_m69a52a3c.gif,найденной в решении 1 и 2,также является первообразной для hello_html_5afabe74.gif.

Ответ:hello_html_77048efb.gif

Задача 13

Мощность Р, отдаваемая электрическим элементом, определяется по формуле hello_html_352f65eb.gif,

где Е – постоянная электродвижущая сила элемента;

r – постоянное внутреннее сопротивление;

R – внешнее сопротивление.

Каким должно быть внешнее сопротивление R,чтобы мощность Р была наибольшей?

Решение 1. Приравняем нулю производную : hello_html_m27963926.gif;

hello_html_607d23b9.gif,откуда, hello_html_m4f57cba4.gif, но hello_html_m2b6dac50.gif, значит, hello_html_m64fc1a7.gif откуда hello_html_f01a0ed.gif.

Ответ: hello_html_f01a0ed.gif.

Решение 2.

Преобразуем формулу мощности следующим образом hello_html_55971548.gif. Поскольку hello_html_5a604397.gif ,то P(R) достигает максимума, если hello_html_m671b24c6.gif достигает минимума. hello_html_m63a7ee8b.gif, значит hello_html_59340bfa.gif, откуда hello_html_f01a0ed.gif.

Ответ: hello_html_f01a0ed.gif.

Задача 14

Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32hello_html_6d29d392.gif так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Решение 1. Пусть сторона основание х, а высота у, у >0. Объем бассейна hello_html_m13ac8aa7.gif,(1). Облицовываемая поверхность, hello_html_17e68d9c.gif,(2). Из (1) имеем hello_html_6f8fc298.gif,(3). Поставим (3) в (2). hello_html_492358e6.gif. Приравняем нулю производную hello_html_e403587.gif.Имеем: hello_html_1f8c39b5.gif.

hello_html_24a68ba2.gif.

Ответ: 2 м; 4 м.

Решение 2.Так как hello_html_77e251d1.gif,то hello_html_773f34d8.gif,тогда hello_html_m69b7edc3.gif. hello_html_7925ef6e.gif. hello_html_m6e4f4221.gif. Часто соображение физического или геометрического характера от исследования функции на экстремум.

Ответ: 2 м; 4 м.

Задание 15

Вращая четверть круга, радиуса R вокруг оси х, получим половину шара.

hello_html_357087.gif

Поэтому, hello_html_4c88592b.gif. Откуда, hello_html_m1602f238.gif.

Ответ: hello_html_m1602f238.gif.

Решение 2. Вращая четверть круга, радиус R вокруг оси у, получим половину шара. Поэтому, hello_html_4c88592b.gif. Откуда, hello_html_m1602f238.gif.

Ответ: hello_html_m1602f238.gif.

Решение 3. Применим формулу hello_html_m26a34ae7.gif, тогда hello_html_m7b126f45.gif.

hello_html_5494d33b.gifи т.д. как в решении 1.

Ответ: hello_html_m1602f238.gif.



















Стандартный уровень

Завдання 1

Для функції у=(2х+3)4 знайти первісну, графік якої проходить через точку А(-1; 1).

Розвязування:

Загальний вигляд первісних F(х)=hello_html_m562906bd.gif+hello_html_2cbac9bb.gif=hello_html_3d85ea9e.gif+hello_html_2cbac9bb.gif. Графік первісної проходить через точку А(-1; 1), тому F(-1)=1. Знайдемо значення С за вказаної умови. F(-1)=hello_html_1b287e28.gif=1, hello_html_2cbac9bb.gif=hello_html_m4633b61d.gif.

Отже, F(х)= hello_html_3d85ea9e.gif+hello_html_m4633b61d.gif.

Відповідь: F(х)= hello_html_3d85ea9e.gif+hello_html_m4633b61d.gif.


Завдання 2

Швидкість прямолінейно рухаючейся точки задана формулою v(t)=t2+2t-1. Записати формулу залежності її координати х від моменту часу t, якщо відомо, що у початковий момент (t=0) точка знаходилася у початку відліку.

Розвязування:

х(t) – це первісна швидкості v(t), тому х(t)=hello_html_m1ca7771.gift3+2hello_html_m610744c5.gif- t + C=hello_html_m1ca7771.gift3 + t2- t + C. За умовою завдання х(0)=0, тому х(0)=0+С=0, маємо С=0.

Отже, х(t) =hello_html_m1ca7771.gift3 + t2- t.

Відповідь: х(t) =hello_html_m1ca7771.gift3 + t2- t.


Завдання 3

Матеріальна точка масою 3кг рухається вздовж вісі Ох під дією сили, яка направлена вздовж цієї вісі. В момент часу t сила дорівнює F(t). Знайти формулу залежності х(t) від часу t, якщо х(1)=-5, v(1)=4, F(t) =6 - 9t

Розв’язування:

Згідно другому закону Ньютона F=ma, де a – прискорення. Маємо

a(t) = hello_html_m1d1bdcd0.gif. v(t)первісна прискорення a(t). Тому v(t)=2t-hello_html_673d2832.gif+C1. За умовою v(1)=4, маємо v(1)=2-hello_html_147fa1b6.gif1=0,5+ С1, тому С1=3,5, отже

v(t)=2t-hello_html_673d2832.gif+3,5.

Аналогічно х(t)=t2 - hello_html_m349920cc.gif+3,5t+C2= - hello_html_m59b3cf0f.gif+ t2+3,5t+C2. За умовою х(1)=-5, тому х(1)=- hello_html_m8464e99.gif+1+3,5+С2=4+С2=-5, тому С2=-9.

Отже, залежність між координатою та часом задається формулою

х( t)= - hello_html_m59b3cf0f.gif+ t2+3,5t-9.

Відповідь: х( t)= - hello_html_m59b3cf0f.gif+ t2+3,5t-9.


Завдання 4

Знайти об’єм тіла, що буде отримано при обертанні навколо віссі абсцис криволінійної трапеції, яка обмежена лініями у=1-х2, у=0.

Розвязування:

Об’єм тіла обчислюється за формулою V=hello_html_80d04fc.gif(x)dx. Знайдемо проміжок інтегрування 1-х2=0, маємо х1=1 та х2=-1. Тому V=hello_html_m44310134.gifhello_html_m51dd42d6.gif+hello_html_m1a703811.gifhello_html_m2cd9cd81.gif+hello_html_78b0b93b.gifhello_html_678e5c7e.gif=hello_html_m476d5d2d.gif куб.од.

Відповідь: V=hello_html_m151d8bbf.gifкуб.од.

Завдання 5

Знайти площу фігури, що обмежена лініями :

а) у=х2-4х+5, у=0, х=0, х=4,

б) у=х2-4х+4, у=4-х2.

Розвязування:

а) Виконаємо малюнок. у=х2-4х+5 – квадратична функція, тому її графіком є квадратна парабола. Знадемо координати вершини параболи:

х0=hello_html_m3be5b7f2.gif, у0=4-8+5=1, Тому (2; 1)- координати вершини параболи. Точок перетину графіку даної квадратичної функції із віссю Ох немає, тому що дискримінант є від’ємним числом. Знайдемо декілька додаткових точок:

у(0)=4, у(1)=2, у(3)=2, у(4)=4.

hello_html_m27de9497.png

S=hello_html_m250fa95a.gifhello_html_56024e24.gifкв.од.

б) Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій.

х2-4х+4=4-х2,

2-4х=0,

hello_html_m2a2d6202.gif(х-2)=0, отже, х1=0, х2=2.

hello_html_mff0544d.png

S= hello_html_m76f23a6a.gif-(hello_html_284e4daa.gif-4hello_html_1c9a7a5.gifhello_html_m4474303.gifhello_html_m23945b46.gif=

=(hello_html_m4ea8b075.gif-hello_html_m239d0eea.gif)hello_html_m29ac1c68.gif=8-hello_html_m67119d74.gifкв.од.


Відповідь: а)S =9hello_html_m1ca7771.gifкв.од., б) S=2hello_html_m6533f619.gifкв.од.





Завдання 6

Знайти критичні точки функції у=2х3-9х2-24х-18.


Розвязування:

Функція визначена та диференційована на всій числовій прямій.

у'=6х2-18х-24, розвяжемо рівняння у'=0. 6х2-18х-24=0, х2-3х-4=0, х1=-1, х2=4. Корені рівняння у'=0 і є критичними точками функції.

Відповідь: критичні точки функції х1=-1, х2=4.


Завдання 7

Знайти проміжки зростання та спадання функції:

а) у=х2-4; б)у=hello_html_m1a4405f0.gif.

Розвязування:

а) Функція визначена та диференційована на всій числовій прямій.

у'=2х, розвяжемо рівняння у'=0, тобто 2х=0, х=0 – критична точка функції, яка розбиває область визначення функції на два інтервали (-hello_html_m1743aef3.gif;0) та (0; +hello_html_m1743aef3.gif), на кожному з яких похідна зберігає свій знак. у'(-1)=-2<0, у'(1)= 2>0.

Отже, на інтервалі (-hello_html_m1743aef3.gif;0) похідна приймає відємні значення, на (0; +hello_html_m1743aef3.gif) – додатні значення. Тому на інтервалі (-hello_html_m1743aef3.gif;0) функція спадає, а на (0; +hello_html_m1743aef3.gif) – зростає.

Відповідь: на інтервалі (-hello_html_m1743aef3.gif;0) функція спадає, а на (0; +hello_html_m1743aef3.gif) – зростає.

б) Область визначення даної функції – всі числа, крім х=3.

у'=-2hello_html_8c65098.gif=hello_html_m198b1534.gif, рівняння у'=0 немає коренів. Тому критичною точкою функції є лише точка х=3, яка розбиває область визначення функції на два інтервали (-hello_html_m1743aef3.gif;3) та (3; +hello_html_m1743aef3.gif), на кожному з яких похідна зберігає свій знак. у'(2)=-2<0, у'(4)=-2<0.

Отже, на інтервалах (-hello_html_m1743aef3.gif;3) та (3; +hello_html_m1743aef3.gif) похідна приймає відємні значення. Тому на інтервалах (-hello_html_m1743aef3.gif;3) та (3; +hello_html_m1743aef3.gif) функція спадає.

Відповідь: на інтервалах (-hello_html_m1743aef3.gif;3) та (3; +hello_html_m1743aef3.gif) функція спадає.


Завдання 8

Який кут (гострий чи тупий) утворює із додатнім напрямом осі Ох та дотичної до графіку функції у=х4-2 у точках -1, 1, 2.


Розв’язування:

Згідно геометричному змісту похідної k=у'(х0), де k – кутовий коефіцієнт дотичної до графіку функції. у'=4х3.Отже, k1=у'(-1)=-4<0, k2=у'(1)=4>0, k3=у'(2)=32>0.

З іншого боку, k=tg α, де α – кут між дотичною та додатнім напрямом віссі Ох. Отже, α1- тупий кут, α2 та α3 – гострі кути.

Відповідь: α1- тупий кут, α2 та α3 – гострі кути.


Завдання 9

Скласти рівняння дотичної до графіку функції f(х)= hello_html_m3791ab71.gif-8 у точці х0=4.

Розвязування:

Загальний вигляд рівняння дотичної має вигляд у= f(х0)+ f'(х0)(х-х0).

f(х0)= f(4)=-6, f'(х)=hello_html_5888c055.gif, f'(х0)= f'(4)=0,25.

Тому загальний вигляд дотичної має вигляд у=-6+0,25hello_html_m2a2d6202.gif(х-4)=-6+0,25х-1= =0,25х - 7.

Відповідь: у=0,25х - 7.


Завдання 10

Знайти найбільше та найменше значення функції у=4х2-48х на проміжку [1;4].

Розвязування:

Функція визначена та диференційована на всій числовій прямій.

Похідна у'=8х-48, знайдемо нулі похідної : 8х-48=0, х=6 – критична точка функції, але вона не належить даному проміжку. Тому знайдемо значення функції у кінцях даного проміжка, тобто у(1)=-44, у(4)= -128.

Отже, max у(х)= у(1)=-44, min у(х)= у(4)= -128.

[1;4] [1;4]

Відповідь: max у(х)= у(1)=-44, min у(х)= у(4)= -128.

Задание 11

Найти производную функции hello_html_3a1d7cc.gif.

Решение 1. hello_html_m3b640a22.gif.Поскольку hello_html_m64c3db68.gif-постоянная величина, то hello_html_5ba3f61c.gif ,поэтому hello_html_6c6c839d.gif. Применим формулу hello_html_5f2f103c.gif пологая что в ней hello_html_m2374a82e.gif.

Ответ:hello_html_39120f52.gif

Решение 2. Вычислите hello_html_m6bb307bb.gifпо определению hello_html_7233a5ab.gif здесь громоздко, поэтому представим что у(х) как произведение: hello_html_33f0151d.gif.hello_html_1e20cb04.gif.

Ответ:hello_html_m222831ea.gif

Решение 3. Учтем, что hello_html_m1331b194.gif , hello_html_m6c7ed1c3.gif. Применим логарифмическое дифференцирование для определения производной функции hello_html_m16c86f32.gif. Имеем: hello_html_m25625c7.gif; hello_html_m12a0169e.gif.

Ответ:hello_html_m222831ea.gif

Решение 4. Имеем: hello_html_62dc7ba1.gif.

Ответ:hello_html_m222831ea.gif

Задание 12

Найти производную функции hello_html_m4c6fb15b.gif.

Решение 1. hello_html_35b5b569.gif, найдем производную степенной функции: hello_html_2634c314.gif.

Ответ: hello_html_ddf0d4d.gif

Решение 2. hello_html_35b5b569.gif,используем логарифмическое дифференцирование:

hello_html_4149723c.gif; hello_html_m733c2e6a.gif; hello_html_m657cc807.gif.

Ответ: hello_html_ddf0d4d.gif

Задание 13

Точка движется по закону hello_html_47148d2a.gif, где х – время, у - путь точки. Найти скорость ускорения точки, экстремумы данной функции.

Решение 1. Областью существования функции является интервал hello_html_1c807a07.gif.Находим hello_html_m53d4ecad.gifскорость, точка: hello_html_m1290c650.gif.Решаем уравнение hello_html_m26bb9476.gif или hello_html_104a2944.gif. Разлагаем левую часть на множители: hello_html_3c4c99c8.gifоткуда hello_html_m37bb3c44.gif или hello_html_m20f9ca32.gif.Производная непрерывна при любом ч. Поэтому только эти точки будут критическими. Располагаем критические точка в порядке возрастания их абсцисс:-1;0;3. Рассмотрим интервалы hello_html_264cc62.gif. Выберем внутри каждого их этих интервалов произвольную точку и определим этой точке знак первой производной. В интервале hello_html_22c5263f.gif возьмем, например точку х=-2 и найдем hello_html_47383f8a.gif. В интервале hello_html_m42aacdf5.gif возьмем точку hello_html_52ae489b.gif, тогда hello_html_5d8f2fa9.gif; в интервале hello_html_m24be34b6.gif возьмем точку х=1,тогда hello_html_m58c3f2b0.gif.В интервале hello_html_45e3fe8c.gif возьмем точку х=4 и получим hello_html_6a7ecd88.gif.Строим таблицу поведения функции, находим max и min.

x

hello_html_22c5263f.gif

-1

hello_html_m42aacdf5.gif

0

hello_html_m24be34b6.gif

3

hello_html_45e3fe8c.gif

y'

-

0

+

0

-

0

+

y

hello_html_610886fc.gif

min

hello_html_7c8042fd.gif

max

hello_html_6469a5ec.gif

min

hello_html_7c8042fd.gif

Найдем экстремальные значения функции hello_html_26d19eb.gif; hello_html_6ea706ca.gif ; hello_html_2d42ed6c.gif. Ускорение точки:

hello_html_mf0ceef0.gif.

Ответ: hello_html_m7d90531b.gif;2; hello_html_m551a2f00.gif.

Решение 2. Исследуем функцию на экстремум по второй производной hello_html_35e6b63d.gif.Определяем знак второй производной в каждой критической точке. hello_html_m2d957bb2.gif,при х=-1 функция имеет минимум hello_html_m41f5bff9.gif,при х=0 функция имеет максимум; hello_html_m17c730c8.gif,при х=3 функция имеет минимум и т.д. как в решении1.Исследования по второму решению проще, однако, от исследования функции на экстремум по первому решению отказываться не следует, т.к. может оказаться, что в критической точке вторая производная окажется равной нулю, а в этом случае нельзя сделать никакого заключения о наличии экстремума.

Ответ: hello_html_m7d90531b.gif;2; hello_html_m551a2f00.gif.

Задание 14

Определить экстремумы функции hello_html_73b5f9e0.gif.Найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке hello_html_497dc1a8.gif.

Решение 1

Областью существования функции является интервал hello_html_1c807a07.gif. Находим первую производную функции ее критические точка hello_html_m79f00876.gif. Решим уравнение hello_html_m18440b0a.gif, hello_html_7e6e8e68.gif. hello_html_m1f5d7a74.gif.Производная конечна при любом значении ч, поэтому ч=1 является единственной критической точкой. Рассмотрим интервалы hello_html_3b8c2c56.gif и hello_html_567cabe5.gif.Внутри каждого из этих интервалом выберем произвольную точку и определим в ней знак первой производной ,например, в первом интервале возьмем точку х=0, во втором, х=2. hello_html_70feebce.gif ; hello_html_m6ca20bbd.gif,т.е. при переходе через критическую точку первая производная знака не поменяла, поэтому в точке х=1 экстремума нет. По второй производной такое исследование провести нельзя. Действительно, hello_html_m5e9afcbc.gif,и в критической точке х=1 имеем hello_html_m3367dc52.gif.Поскольку отрезок hello_html_497dc1a8.gif не содержит критической точки, то для определения наименьшего и наибольшего значения функции на этом отрезке следует определить только значения ее на концах отрезка: hello_html_7c4cc18f.gif. Наименьшего значения на отрезке hello_html_497dc1a8.gif функция достигает на левом конце при х=2 и это наименьшее значение hello_html_m2b1e8ec.gif. Наибольшего значения функция достигает при х=5-на правом конце отрезка; это значение hello_html_4336824d.gif.

Ответ: 4;67.

Решение 2

Первую производную hello_html_4934e80c.gif можно записать в виде hello_html_m1ab424e2.gif,поэтому можно сказу заключить, что в поле действительных чисел она положительна при любом значении hello_html_2d8abf23.gif,поэтому рассматриваемая функция возрастает на всем интервале hello_html_1c807a07.gif,и т.д. как в решении 1. Ответ: 4;67

Задание 15

Найти одну из первообразных для функции hello_html_m686e3fe8.gif на R.

Решение 1. имеем: hello_html_12f69596.gif

Ответ: х

Решение 2.Имеем hello_html_m12f682ad.gif

Ответ: х

Задание 16

Найти интеграл hello_html_4c3e01f4.gif.

Решение 1. hello_html_m2d4e9a9f.gif,где с – произвольная постоянная.

Ответ: hello_html_m3a8d21f5.gif

Решение 2.

Первообразными для функций hello_html_407bb42d.gif и hello_html_603d37ce.gifявляется, например, функции hello_html_22faea1.gif и hello_html_m1a2499c.gif. Поэтому функции hello_html_1926f338.gif является первообразной для функции hello_html_117bbe0c.gif.Следовательно, hello_html_7b295bde.gif,где с – произвольная постоянная.

Ответ: hello_html_2b052d2.gif

































Тест для самоконтроля

1. В какой из точек A.  1;   B.  10;   C.  20;   D.  100;   Ehello_html_2d90e4b4.png наиболее быстро растёт функция hello_html_f354df5.png?

2. Мяч брошен вертикально вверх. Если ось х направлена вверх, то закон движения мяча hello_html_26c96fc1.png A. Опускается или поднимается мяч в момент времени hello_html_m30e25bc4.png с?

3.   Материальная точка движется по закону hello_html_2a0620ab.png. Какова наибольшая скорость движения?

A. 1;   B.  2;   C.  3;   D.  4;   E.  6.

4.   Неравномерно, в зависимости от переменной t изменяется величина:

A. hello_html_10fe4292.png;   Bhello_html_m367d7ab7.png;   Chello_html_m35d41400.png;   D. hello_html_m4f004535.png;   Ehello_html_574d058e.png.

5.   Для какой из следующих функций ось х является касательной в начале координат?

A. hello_html_e93480c.png;   Bhello_html_m6ab6d694.png;   Chello_html_m123808af.png;   Dhello_html_1866f34a.png.

6.   Касается ли прямая hello_html_m1c242be7.png гиперболы hello_html_m3fda829d.png в точке hello_html_54f80b0.png?

A. Да;   B.  Нет.

7.   Укажите функцию, критическая точка которой не является точкой экстремума:

A. hello_html_m7d33870f.png;   Bhello_html_385e33fc.png;   C. hello_html_m6ab6d694.png;   Dhello_html_m41b1e1c9.png.

8.   Производная функции hello_html_m65279706.png равна hello_html_5d6e1efd.png. Сколько точек экстремумов имеет функция?

A. Одну;   B.  Две;   C.  Три;   D. Ни одной.

9. На всей числовой оси возрастает функция ...

А. hello_html_m7f5ddc82.pngB. hello_html_25aba4b.png;   C. hello_html_m3d199a4a.png;   D. hello_html_m1be1eb26.png.

10. Какое наибольшее число точек экстремумов может иметь функция hello_html_m59d9f13f.png?

A. 0;   B.  1;   C.  2;   D. 3;   Е.  4.

11. Укажите неверное утверждение:

A. Не все критические точки являются точками экстремума функции

B.  Значение функции в точке минимума может быть больше значения функции в точке максимума

C. Если функция возрастает, то она не имеет точек экстремума

D. Если hello_html_m5beb1b1f.png, то hello_html_m1bbe03c.png является точкой экстремума функции

E.  Касательная к графику функции может пересекать его в нескольких точках .

12. На рис. 7 изображён график производной функции hello_html_m65279706.png. Укажите промежутки убывания функции hello_html_m65279706.png. hello_html_58c118c5.png

A. hello_html_m32bc83f9.png, hello_html_44d59ada.png;   Bhello_html_d6eabe7.pngChello_html_4d14c366.png;   D.  Верного ответа нет.

 13. Какая из прямых на рис.16 является графиком производной квадратичной функции, изображённой на рис. 17?

           hello_html_m2efc5ce5.png

14. Производная функции hello_html_m65279706.png положительна на отрезке hello_html_m204cba0c.png. Каково наименьшее значение hello_html_m65279706.png на этом промежутке?

А.  hello_html_4f49668b.png;   B.   hello_html_m6dbe8c7f.pngC.   Наименьшего значения нет;

D. Правильный ответ отличен от приведённых.

15. Какое из следующих утверждений неверно:

А. Наименьшее значение функции может и не быть минимумом.

В. Наибольшее и наименьшее значения функция может принимать только в своих точках экстремума.

С. Если функция не имеет критических точек на hello_html_m204cba0c.png, то наибольшее и наименьшее значения она примет только на концах этого отрезка.

D. Существует функция, у которой совпадают её набольшее и наименьшее значения.

16. Пусть hello_html_m74b9962a.png и hello_html_4974db3d.png – первообразные одной функции. Какой вид (см. рис. 8)  может иметь график функции hello_html_m4f1f7ff5.pnghello_html_32db62f7.png

17. Могут ли графики первообразных одной функции пересекаться?

А. Да;   В. Нет;  С. Ответ зависит от вида функции.

18. Тело совершает гармонические колебания с ускорением hello_html_m47f9f782.png. Амплитуда колебания точки равна ...

А.  -2;   В.  6;   С.  -6;   D.  2;

19. Точка движется прямолинейно со скоростью hello_html_m65394472.png, график которой изображён на рис. 9. За промежуток времени hello_html_44d59ada.png она прошла путь, равный ...

А.  2;   В.  0,5;   С.  1;   D.  4;  Е.  3 . Е.  54. hello_html_18b17084.png

20. Какая из фигур, изображённных на рис. 20-24, является криволинейной трапецией?

hello_html_1ab50bdc.png

21. Какой из формул Вы воспользуетесь при вычислении площади фигуры, изображённой на рис. 23?

А.  hello_html_cbd8970.png;   В. hello_html_4fb4cdda.png;   С. hello_html_m4995e7a1.png;   D. hello_html_m1c88108b.png

22. Колесо вращается с угдовой скоростью hello_html_7d44fe90.png. Сколько оборотов оно сделает за промежуток времени hello_html_m5c4a83c8.png?

А.  hello_html_42d7fc37.png;   В.  hello_html_m155387b.png;   С.   hello_html_4fc1fc61.png;   D hello_html_25519b6d.png.































Ответы и указания к тестам

1.   Е. Скорость изменения функции характеризуется её производной.

2.   А. Если тело движется в направлении оси, то его скорость положительна.

3.   Е.

4.   В. Любой равномерно протекающий процесс описывается линейной функцией.

5.   С. Для того, чтобы ось х была касательной для функции hello_html_m65279706.png в точке hello_html_1cc23f6b.png, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: hello_html_720d1496.png и hello_html_2f8bef56.png.

6.   А. Проверьте, проходит ли заданная прямая hello_html_mc0823a8.png и гипербола hello_html_m3fda829d.png через точку hello_html_54f80b0.png и совпадают ли в этой точке их производные.

7.   С. Обращение в нуль производной функции в некоторой точке является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.

8.   А. Проверьте, меняет ли производная знак в критической точке.

9.   D.

10. С. Обратите внимание на то, что производная заданной функции является квадратным трёхчленом.

11. D. См. вопрос № 7.

12. В. Вспомните условие убывания функции.

13. В. Подумайте, как отразится на знаке производной поведение функции на интервалах hello_html_md9c8afe.png и hello_html_664c8274.png.

14. А.

15. В. См. вопрос № 14.

16. С. Вспомните, что первообразные одной функции отличаются друг от друга только некоторым постоянным слагаемым.

17. В.

18. D. Восстановите по ускорению закон движения тела.

19. С. Используйте геометрический и физический смысл интеграла.

20. С.

21. D.

22. В. Обратите внимание, что угол поворота колеса за промежуток времени hello_html_m5c4a83c8.png равен hello_html_m18c010c3.png.















Литература

  1. С.И. Шварцбург; О.С. Ивашев-Мусатов Алгебра и начала анализа Москва “Высшая школа” 1977г.

  2. М. Титаренко; А.А. Роганин Задачник по математики (для учащихся и абитуриентов)

  3. Сборник всех конкурсных задач по математики под редакцией М.И. Сканави Киев “Українська енциклопедія” 1996г.

  4. Н.И. Шкиль; З.И. Слепкань; Е.С. Дубинчук Алгебра и начала анализа Киев “Вежа” 1996г.

  5. М.И. Басимов Алгебра и начала анализа Москва “Просвещение”1992г.

  6. Афанасьева О.Н.; Бродский Л.С. Применение производной и нитеграла, - Донецк: ДонНУ,2007 – 24с.

  7. Т.П. Савенко, В.Г. Паньков, Ю.Н. Попов Задачи по алгебре и началам анализа.



57




Автор
Дата добавления 31.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров398
Номер материала ДВ-399493
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх