Методический комплекс внеаудиторной самостоятельной работы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Методический комплекс

по дисциплине: «Математика:  геометрия»

по организации внеаудиторной самостоятельной работы

 студентов  специальностей программирования и бухгалтерского учета СПО        1 курса

Составитель: Н.П. Боброва

Н.Новгород

2016г.

Одобрена МК математических и                                   

естественнонаучных дисциплин

Протокол №_____9_от__04.09.2016г.__                       

Председатель:_______________                       

О.С. Симонова    

Пояснительная записка

Данный методический комплекс разработан, с целью помочь правильно организовать самостоятельную работу по стереометрии студентов 1 курса СПО. Он включает в себя 4 практические работы, которые составлены в соответствии с рабочей  программой учебной дисциплины:

·       Прямые и плоскости в пространстве

·       Многогранники и площади их поверхностей

·       Фигуры вращения и площади и поверхностей

·       Объёмы геометрических тел

Каждая практическая работа содержит необходимый теоретический материал, примеры с решениями, задания для самостоятельной работы, инструкционные карты по выполнению этих заданий.           

     Повторение теоретического материала и выполнение практических заданий      помогает формированию следующих знаний и умений:

Геометрия

·       изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

·       решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

·       использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

Содержание:

1.     Прямые и плоскости в пространстве

2.     Многогранники и площади их поверхностей

3.     Фигуры вращения и площади их поверхностей

4.     Объемы геометрических тел

Практическая работа №1

                         Прямые и плоскости в пространстве

  Цель работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Прямые и плоскости в пространстве».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.

1.     Необходимый теоретический материал

Аксиома 1

Какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 2

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости и имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.

Аксиома 3

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость , содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.

Теорема

В пространстве через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Все прямые в пространстве могут быть расположены различным образом. Прежде всего, может случиться, что две прямые имеют общую точку, т.е. являются пересекающимися. Тогда они, заведомо лежат в одной плоскости (аксиома 3). Возникла потребность рассмотреть следующую теорему.
Теорема 1. В пространстве через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Рассмотрим теперь случай, когда прямые не имеют общих точек. Это еще не означает, что они параллельны, т.к. определение параллельности предусматривает, что прямые принадлежат одной плоскости. Чтобы решить вопрос о расположении наших прямых, проведем через одну из них и произвольно взятую точку на другой прямой плоскость . Возможны два случая:

1. Построенная плоскость содержит всю вторую прямую. В этом случае обе прямые принадлежат одной плоскости и не пересекаются и потому параллельны. Здесь нужно заметить пару утверждений. Прежде всего, в пространстве как и на плоскости работает аксиома 9: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Из выше представленных рассуждений можно вывести следующую теорему:
Теорема 3. Параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну.
Также в стереометрии (как и в планиметрии) работает следующая теорема:
Теорема 4. Если две прямые параллельны третей прямой, то они параллельны между собой.
Теорема 5. Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.
2. Плоскость  пересекает прямую в точке А. Тогда обе прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися. 

Определение 1. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 1. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Определение. Прямая пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема 1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

Угол между прямой лежащей в одной плоскости с другой плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость.

Теорема 1. Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

Теорема 2. Обратная теореме о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третей, то прямые пересечения параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны. 

Перпендикулярность плоскостей 

Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если линейный угол при ребре двугранного угла между этими плоскостями — прямой. 
Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 1. Если  из точки,  принадлежащей   одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.

Теорема 2. Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.

Примеры

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

3. Задания к практической работе

                   Вариант №1

1. Из внешней точки А проведены к плоскости α отрезок АВ и отрезок АС = 6см так, что точки В и С принадлежат плоскости α. На АВ взята точка D так, что АD: DB = 1 : 2, а на АС точка Е так, что отрезок DE ǁ α. Найти отрезки АЕ и ЕС.

2. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15м и 20м. Из вершины прямого угла С проведен отрезок СD, перпендикулярный плоскости этого треугольника; СD  = 35м. Найти расстояние от точки D  до гипотенузы АВ.

       Вариант №2

1. А и В – точки, расположенные по одну сторону плоскости α; АС и ВD – перпендикуляры на эту плоскость; АС = 3м; ВD = 2м и СD = 24дм.  Найти расстояние между точками А и В.

2. Стороны треугольника равны 10см, 17см и 21см. Из вершины большего угла треугольника проведен отрезок, равный 15см и перпендикулярный плоскости треугольника. Найти расстояние от его концов до большей стороны.

                   Вариант №3

1. Из внешней точки А проведен к плоскости α отрезок АВ (В принадлежит  α). Он разделен точкой С в отношении 3 к 4 (от А к В), и отсюда проведен параллельно плоскости α  отрезок СD = 12см. Через точку  D проведен к плоскости α отрезок АDЕ (Е принадлежит плоскости α). Найти расстояние между точками В и Е.

2. В треугольнике АВС угол С прямой; СD – отрезок, перпендикулярный к плоскости треугольника. Точка D соединена отрезками с А и В. Найти площадь треугольника АDВ, если Са = 3дм, ВС = 2дм и СD = 1дм.

                     Вариант №4

1. Концы отрезка длиной 10дм принадлежат двум параллельным плоскостям, расстояние между которыми 8дм. Найти проекцию отрезка на каждую из этих плоскостей.

2. Из вершины А прямоугольника АВСD проведен к его плоскости перпендикулярный отрезок АК, конец которого К отстоит от других вершин на расстоянии 6см, 7см и 9см. Найти длину АК.

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

для проведения практической работы №1

Тема занятия: Прямые и плоскости в пространстве.

Цель выполнения работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Прямые и плоскости в пространстве».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

Необходимо знать: аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, признаки параллельности и перпендикулярности, теорему о трех перпендикулярах, определение угла между наклонной и плоскостью, линейный угол двугранного угла, проекцию наклонной на плоскость.

 Необходимо уметь: правильно применять теоремы, следствия, свойства и определения при решении задач.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

основные теоретические положения; задания и инструкционная карта для проведения практического занятия.

Порядок выполнения работы, методические указания:

-  повторить теоретические положения по данной теме;

- изучить схему решения заданий;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод;

- подготовить отчёт о выполненной работе.

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе.

Практическая работа №2

Многогранники и площади их поверхностей.

      Цель работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Многогранники и площади их поверхностей».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3 .Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.

1.Необходимый теоретический материал

Многогранник.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Многоугольники, ограничивающие многогранник , называются гранями, их стороны - рёбрами, а вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две какие-нибудь вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.

Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т.е. такие, которые расположены по одну сторону от каждой своей грани.

Призма.

Призмой называется многогранник, у которого две грани - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани - параллелограммы. Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы; перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки одного основания на другое, называется высотой призмы. Параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а их стороны, соединяющие соответственные вершины оснований, - боковыми рёбрами. У призмы все боковые рёбра равны, как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями.

Плоскость, проведённая через какие-нибудь два боковых ребра, не принадлежащих одной грани призмы, называется диагональной плоскостью.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям, называется прямой, в противном случае — наклонной. Прямая призма, у которой в основаниях лежат правильные n-угольники, называется правильной.

Параллелепипед.

Параллелепипедом называют призму, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основания - прямоугольники.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называется кубом.

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.

1.     Теорема: В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

2.     Теорема: В параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

3.     Теорема: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Пирамида.

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, - треугольники, имеющие общую вершину. Общая вершина боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, - её высотой .

Плоскость, проведённая через вершину пирамиды и какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.

Пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырёхугольник и т.д. Треугольная пирамида называется тетраэдром; у такой пирамиды все четыре грани - треугольники.

Пирамида называется правильной, если, во-первых, её основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Часть пирамиды, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усечённой пирамидой. Параллельные многоугольники называются основаниями, а расстояние между ними - высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.

Боковая поверхность призмы и пирамиды.

1.     Теорема: Боковая поверхность призмы равна произведению перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Следствие: Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

2.     Теорема: Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.

3.     Теорема: Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.

2.     Примеры

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания 7см

Решение.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:
По условию задачи a = 7 см
Так как площадь грани призмы в данном случае будет равна 7h, где h - высота бокового ребра, количество граней - три, то

49√3 / 4 = 3 * 7h
49√3 / 4 = 21h
откуда
h = 7√3 / 12

Ответ: длина бокового ребра правильной треугольной призмы равна 7√3 / 12

2. Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.

Решение.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:
По условию задачи a = 6 см  откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3

Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна 
9√3 * 2 =   18√3 

Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180

Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.

Ответ:  180 + 18√3 ≈ 211,18  

3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см², а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.
   
   Решение.
   Правильный четырехугольник - это квадрат.
   Соответственно, сторона основания будет равна √144 = 12 см.
   Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
   √( 12² + 12² ) = √288 = 12√2
   
   Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
   √( ( 12√2 )² + 14² ) = 22 см
   
   Ответ: 22 см

4. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16√3см². Вычислить периметр основания пирамиды.
   
   Решение.
   Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
   Площадь равностороннего треугольника равна:
   
   Соответственно:
   16√3 = a² √3 / 4
   16 = a² / 4
   a² = 64
   a = 8 см
   
   Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
   8 * 3 = 24 см
   
   Ответ: 24 см.

   3. Задания к практической работе

                        Вариант 1

1. В правильной треугольной пирамиде  сторона основания равна 8 см, апофема равна 13 см. Найдите площадь полной поверхности.

2. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см², а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Вариант 2

1.     Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 72,  боковые рёбра равны 39. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды.

2.     Сторона основания правильной четырёхугольной призмы АВСДА₁В₁С₁Д₁ равна 4, а боковое ребро – 5. Найдите площадь сечения, которое проходит через ребро АА₁ и вершину С.

Вариант 3

1.     В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания равна 8см , апофема равна 12 см. Найдите площадь полной поверхности.

2.     Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания 7см

Вариант 4

1.     Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30, и боковым ребром, равным 40.

2.     Сторона основания правильной четырёхугольной призмы АВСДА₁В₁С₁Д₁ равна 3, а боковое ребро – 4. Найдите площадь сечения, которое проходит через сторону основания АД и вершину С₁.

Дополнительно:

1. Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.

2.     Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого  16√3 см². Вычислить периметр основания пирамиды.

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

для проведения практической работы №2

Тема занятия:  Многогранники и площади их поверхностей.

Цель выполнения работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: « Многогранники и площади их поверхностей».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

Необходимо знать: определения призмы, пирамиды, усечённой пирамиды и формулы для нахождения их полной и боковой поверхностей.

 Необходимо уметь: правильно применять формулы при решении задач.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

основные теоретические положения; задания и инструкционная карта для проведения практического занятия.

Порядок выполнения работы, методические указания:

-  повторить теоретические положения по данной теме;

- изучить схему решения заданий;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод;

- подготовить отчёт о выполненной работе.

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе.

Практическая работа №3

Фигуры вращения и площади их поверхностей.

      Цель работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Фигуры вращения и площади их поверхностей».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.

1.     Необходимый теоретический материал

Конус, цилиндр и шар — это тела вращения. Они так называются, потому что их можно получить, вращая определенную фигуру вокруг некоторой оси.

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Эти круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, — образующими цилиндра.

Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым цилиндром.

Мы будем рассматривать только прямые цилиндры. Прямой цилиндр можно получить, если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон.

Высота цилиндра — это отрезок, соединяющий основания и перпендикулярный основаниям цилиндра.

Каждая образующая прямого цилиндра равна высоте.

Конец формы

Следующий важнейший пример тела вращения — это шар.

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более R от некоторой точки, которая называется центром шара. R называется радиусом шара.

Сфера — это поверхность шара. Сфера является множеством точек, отстоящих от ее центра на расстояние R.

Шар можно получить вращением полукруга вокруг его диаметра, а сферу – вращением полуокружности вокруг её диаметра.

Конус — это тело, которое получается при объединении всех отрезков, соединяющих точки круга (основание конуса) с вершиной конуса.

Прямой конус — это конус, вершина которого лежит на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через центр основания. Эта прямая называется осью прямого конуса.

Высота конуса — это отрезок, проведенный из вершины конуса к основанию перпендикулярно основанию конуса. Отрезок, который соединяет вершину конуса с окружностью в основании, называется образующей конуса.

Прямой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

 Площади тел вращения: 

Площадь боковой поверхности цилиндра     Площадь полной поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности конуса     Площадь полной поверхности конуса
Площадь боковой поверхности усеченного  конуса     Площадь полной поверхности усеченного  конуса
Площадь поверхности сферы

2.     Примеры                                                     

Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Дано: шар S(O,OX) S= 36(м) , R = OX = 10 м 

Найти: ОО

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S= r 36 = r  r= 36 (м)

2. ООХ – прямоугольный 
ОО = h , OX = r , OX = R

h= R- r - т. Пифагора 

h=100 – 36 =64, h = 8 м
Ответ: h = 8м

2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания — 9. Найдите высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: 

Значит,

Ответ: 8

3. Высота конуса равна 57, а диаметр основания — 152. Найдите образующую конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:

Ответ: 95

3. Задания к практической работе

                   Вариант №1

1. Диагональ осевого сечения  цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и        образующей цилиндра равен 60^◦. Найдите площадь основания цилиндра.

2. Осевое сечение конуса есть равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса.

Вариант №2

1.      Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 20 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2.       Радиусы двух шаров равны 8 и 15. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

                                               Вариант №3

1.      Длина окружности основания цилиндра равна 7. Площадь боковой поверхности равна 105. Найдите высоту цилиндра.

2.      Осевое сечение конуса есть равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса.

Вариант №4

1.      Сечение шара плоскостью имеет площадь 36π м². Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения. 

2.      Высота конуса равна 2 √3 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником.

Дополнительно:

1.      Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковой поверхности усеченного  конуса.

2.      Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого равна 80 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра, если его диагональ равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

для проведения практической работы №3

Тема занятия: Фигуры вращения и площади их поверхностей.

Цель выполнения работы:

3. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Фигуры вращения и площади их поверхностей».
4. Закрепить и систематизировать знания по теме.

Необходимо знать: определения цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара и сферы и формулы для нахождения их полной и боковой поверхностей.

 Необходимо уметь: правильно применять формулы при решении задач.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

основные теоретические положения; задания и инструкционная карта для проведения практического занятия.

Порядок выполнения работы, методические указания:

-  повторить теоретические положения по данной теме;

- изучить схему решения заданий;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод;

- подготовить отчёт о выполненной работе.

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе.

Практическая работа №4

                                Объёмы геометрических тел

  Цель работы:

1. Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Объёмы геометрических тел».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности студентов.

2.     Необходимый теоретический материал

Объём куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

V = a³

где V - объем куба,

a - длина грани куба.

Объём призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V = S_осн. h

где V - объем призмы,

S_осн. - площадь основания призмы, h - высота призмы.

  Объём параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

V = S_осн. · h

где 

V - объем параллелепипеда, 

S_осн. - площадь основания, 

h - длина высоты.

             Объём пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

 Формула объема пирамиды:

V=S_осн.

где V - объем пирамиды, 

Soсн. - площадь основания пирамиды, 

h - длина высоты пирамиды.

  Объём цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра:

V = π R² h

V = S_осн. h

где V - объем цилиндра,

S_осн. - площадь основания цилиндра,

R - радиус цилиндра,

h - высота цилиндра.

  Объём конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

V =  π R² h

V =  S_осн. h

где V - объем конуса,

S_осн. - площадь основания конуса,

R - радиус основания конуса,

h - высота конуса.

Объём шара

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.

Формула объема шара:

V = π R³

где V - объем шара,

R - радиус шара.

3.     Задания к практической работе

Вариант №1

1.      Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3и 4. Её объём равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

2.       Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30. Найдите объём конуса 

3.      Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 24. Найдите объём цилиндра.

Вариант №2

1.      Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой  см вокруг своего катета.

2.      Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 . 

3.      Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем цилиндра.

Вариант №3

1.      Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.

2.      Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.                        

3.      Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Вариант №4

1.      Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 2 и 4. Её объём равен 8. Найдите высоту этой пирамиды.

2.      Образующая и радиусы большего  и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см.  Вычислите объём этого конуса.

3.      В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 5/π . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Дополнительно:

1.      Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

2.      Объём шара   см3. Вычислите площадь поверхности шара.

3.      Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен  плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

для проведения практической работы №4

Тема занятия: Объёмы геометрических тел

Цель выполнения работы:

1.     Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Объёмы геометрических тел».

2.     Закрепить и систематизировать знания по теме.

Необходимо знать: формулы для нахождения объёмов многогранников и фигур вращения.

 Необходимо уметь: правильно применять формулы при решении задач.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):

основные теоретические положения; задания и инструкционная карта для проведения практического занятия.

Порядок выполнения работы, методические указания:

-  повторить теоретические положения по данной теме;

- изучить схему решения заданий;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод;

- подготовить отчёт о выполненной работе.

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе.