Методический конспект преподавателя "Информатика и ИКТ" (СПО)

ОГОБУСПО «Государственный медицинский колледж г. Братска»

Рассмотрен и одобрен                                            

на заседании ЦМК                                                 

Протокол заседания № _____                               

От «___»____________ 20___г.                            

Председатель _______________                           

            (ФИО)

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОНСПЕКТ

преподавателя

специальность 33.02.01 Фармация

ОДБ.00 Базовые

ОДБ.07 Информатика и ИКТ

Раздел 3. Информация и информационные процессы

Тема 3.2. Принципы обработки информации компьютером. Арифметические и логические основы компьютера

Составил преподаватель: Оспанова В. А.

 

Братск, 2014г.

Тема « Принципы обработки информации компьютером»

Продолжительность занятия – 90 минут

Цель занятия:

обучающие:

–сформировать у студентов понятие форм мышления;

–сформировать у студентов понимание арифметических и логических основ работы компьютера;

–сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.

развивающие:

–развитие познавательного интереса;

–развитие у учащихся умения обобщать и систематизировать полученные знания;

–развитие умения работать в группе;

воспитательные:

–воспитание умения высказывать свое мнение и слушать других;

–воспитание аккуратности в работе;

–воспитание чувства товарищества;

–создание необходимых условий для личностного развития, профессионального самоопределения и стимулирования творческого труда учащихся.

В результате изучения темы студент должен

Иметь практический опыт

–Перевода чисел в десятичную, двоичную, шестнадцатеричную системы.

–Перевода числа из десятичной, двоичной, шестнадцатеричной систем.

–Перевода смешанного числа.

–Упрощения логических выражений

–Использования логических элементов

–Решения логических задач.

Уметь:

–выполнять арифметические операции в любой позиционной системе счисления, с использованием обратного и дополнительного кодов и над числами, представленными в форме с плавающей запятой;
–переводить целые, дробные и смешанные числа из одной позиционной системы счисления по любому основанию в другую;
–представлять логические функции в табличной и аналитической форме;
–синтезировать простейшие логические схемы в базисах "и – не", "или - не"

Знать:

–расположение чисел с фиксированной и плавающей запятой в оперативной памяти ЭВМ;
–определение понятия логической переменой и логической функции;
–формы представления логических функций, определение функционально полной системы, базиса;
–способы минимизации логических функций;
Методическое оснащение занятия: Место проведения: аудитория
Литература для подготовки:

План занятия

1. Вводная часть – 10 минут

            1.1 Организационный момент – 2 мин.

            1.2 Мотивация занятия – 3 мин.

            1.3 Контроль исходного уровня знаний – 5 мин.

2. Основная часть – 69 минут

            2.1 Системы счисления – 19 мин.

            2.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую – 30 мин.

            2.3 Логические основы работы компьютера – 20 мин.

3. Заключительная часть – 11 мин.

            3.1 Контроль уровня усвоения знаний – 10 мин.

            3.2 Подведение итогов, рефлексия – 0,5 мин.

            3.3 Домашнее задание – 0,5 мин.

Ход занятия

Вводная часть

1.1  Организационный момент

Приветствие учащихся. Проверка посещаемости и внешнего вида студентов.

Запись темы занятия : «Принципы обработки информации компьютером. Арифметические и логические основы работы компьютера»

1.2 Мотивация занятия

            С каждым веком, десятилетием и годом роль информации в жизни человека все увеличивается. В наше время основными ресурсами общества становятся не труд и капитал, а информация и знания. Особенно быстро возросла роль информации после изобретения в середине XX века компьютера – машины для приема, переработки, хранения и выдачи информации. Компьютер является цифровой машиной, в которой информация представляется в виде чисел, как правило, в двоичной системе счисления.

Любая информация (например, зрительная или звуковая) в компьютере кодируется, т.е. представляется в виде чисел, а затем перерабатывается в соответствии с заложенной программой. вопрос

1.2  Контроль исходного уровня знаний

Основная часть

2.1 Системы счисления

2.1.1 История возникновения систем счисления

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках (на рисунке на титульном листе изображен счетовод-казначей, один из коренных жителей Южной Америки (инки), у которого в руках веревочный прибор для узелкового счета). Это и была простейшая и самая древняя – так называемая, унарная система. В ней для записи любых чисел используется всего один символ – палочка, узелок, камушек.  Используя именно эту систему счисления, вас научили считать (сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст). 

Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало не удобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Так, например, в Древнем Египте около 4000 лет назад для обозначения чисел использовали иероглифы, показанные на рисунке.

Единица изображена колом, десяток – как бы парой рук, сотня – свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом изобилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила.

Так, например число 5736 записывалось следующим образом:

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Например, 1232 руб. 24 коп. изображались так как показано на рисунке. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания.  Употребляемые в квитанции знаки означают:

Звезда – тысяча рублей

Колесо – сто рублей

Квадрат – десять рублей

Х      - рубль

|         - копейку.

«Дабы неможно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».

Задания:

·  запишите свой год рождения при помощи иероглифов Древнего Египта.

·  запишите с помощью старинной русской системы счисления сумму 2357 руб. 53 коп

2.1.2 Различные формы записи числа

До наших дней сохранилась известная вам римская система счисления. В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I = 1                 V = 5              X = 10                L = 50

C = 100            D = 500          M = 1000    

Для записи промежуточных чисел используется правило:  меньшие знаки, поставленные справа от большего, но не более трех одинаковых подряд, прибавляются к его значению, а меньшие знаки, поставленный слева от большего, вычитаются из него, при этом невозможно ставить более одного меньшего слева от большего.

Пример 1. Записать число 444 в римской системе.

Решение:

444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV

Пример 2. Записать число 2986 в римской системе счисления.

Решение:

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

Пример 3. Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

Решение:

CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963

Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, обозначения веков, разделов и глав в книгах.

Задание:

1. Запишите числа в римской системе:

·  2007

·  448

·  1954

2. Запишите числа в десятичной системе:

·  MCDXXIII

·  LXXIX

·  MMCXLI

2.1.3 Развернутая форма числа

Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа – основания системы счисления:

         25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*10⁴ +5*10³ + 0*10² +7*10¹ +6*10⁰

При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую мы и воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4;  2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.

Определение. Развернутой формой записи числа называется такая запись:а₄а₃а₂а₁а₀ = а₄*q⁴ + a₃*q³ + a₂*q² + a₁*q¹ + a₀*q⁰ , где а₄,а₃,а₂,а₁,а₀ –цифры числа, q –основание степени.

Пример 4. Получить развернутую форму числа 7512410.

Решение:

 а₄ = 7, а₃ = 5, а₂ =1 ,а₁ =2, а₀ =4,      q=10

4 3 2 1 0

75 124₁₀ = 7*10⁴ + 5*10³ + 1*10² + 2*10¹ + 4*10⁰.

Пример 5. Получить развернутую форму числа 1123.

Решение:

2 1 0

112₃ = 1*3² + 1*3¹ +2*3⁰

Задание:

1. Запишите в развернутом виде числа:

·    А₈=143511,62

·    А₂=100111

·    А₁₀=143,511

·    А₁₆=1А3,5С1

2. Запишите в свернутой форме число:

· 9*101+1*100+5*10-1+3*10-2 

· A*162+1*161+C*160+3*16-1

2.1.4 Основные понятия

Мы увидели, что есть множество способов представления чисел. В любом случае число изображается группой символов. Будем называть такие символы цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления (кодирования).

Определение. Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Все рассмотренные нами нечисловые системы счисления являются непозиционными.

Определение. Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная. В числах XI и  IX “вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками.  Исключительная роль десятка восходит к древнейшим временам и, несомненно, связана со счетом по пальцам на двух руках. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому ее и называют десятичной.

Определение.  Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Давайте рассмотрим  число 55. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной.

Определение. Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Итак, в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

2.1.5 Целые числа в позиционной системе счисления

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

 Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё. 

Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел:  

в десятичной системе:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

в шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, 10,11,12,…,1А,1В,..

Задание:

1. Запишите первые 35 чисел троичной системы

2. Запишите первые 25 чисел двоичной системы

2.1.6  Машинные коды чисел

Двоичная система счисления. Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ. Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь  чисел  0,1,2,3,4,5,6,7.

Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

Таблица соответствия систем счисления.

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	Е
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
…	…	…	…
26	11010	32	1А

2.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2.2.1 Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1.             Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных  на q  до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2.             Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Пример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

Ответ: 26₁₀=110102

Пример 2. Перевести 19₁₀ в троичную систему счисления. А₁₀→А₃

Решение:

 

Ответ: 19₁₀=201₃

Пример3. Перевести 241₁₀ в восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

Ответ: 241₁₀=361₈

Пример 4. Перевести 3627₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления. А₁₀→А₁₆

Решение:

Т.к. в шестнадцатеричной системе счисления 14 – Е, а 11 – В, то получаем ответ Е2В₁₆.

Ответ: 3627₁₀=E2B₁₆

Задание:

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 245₁₀→А2                       д) 404₁₀→А8

б) 1987₁₀→А₂                     е) 673₁₀→А₁₆

в) 161₁₀→А₃                             ж) 45348₁₀→А₁₆

г) 333₁₀→А₅                           з) 444₁₀→А₇

 

 

2.2.2  Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в другую

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1.             Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемых дробные части  на q  до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.

2.             Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления q – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Пример 1. Перевести 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:        

                                          Ответ: 0,5625₁₀=0,1001₂

Пример 2. Перевести 0,5625₁₀ восьмеричную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:        

  Ответ: 0,5625₁₀=0,52₈

Пример 3

Перевести 0,665₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:        

 

Процесс умножения может продолжаться до бесконечности. Тогда его прерывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа

 

Ответ: 0,665₁₀=0,10001₂

            Задание:

Переведите числа из десятичной системы счисления в другую.

а) 0, 65625₁₀→А₁₆

б) 0,7₁₀→А₂ с точностью до 4 знаков после запятой

в) 0,4125₁₀→А₈  с точностью до 6 знаков

2.2.3  Перевод произвольных чисел из десятичной системы счисления в другую

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Пример 1. Перевести 26,25₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 

Ответ: 26,25₁₀=11010,01₂

Пример 2. Перевести 123,5625₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₈

Решение:

переводим целую часть            переводим дробную часть

 

Ответ: 123,5625₁₀=173,44₈

Задание:

Перевести из десятичной системы счисления следующие числа:

а) 173,5625₁₀→А₂

б) 404,65625₁₀→А₁₆

в) 125,25₁₀→А₈

2.2.4  Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Правило. Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример 1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       5  4  3  2  1 0

      1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

Пример 2. Перевести число 101,01₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       2  1  0 -1 -2

      1 0 1,0 1  ₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 =4+0+1+0+0,25=5,25₁₀

Ответ: 101,01₂ = 5,25₁₀

Пример 3. Перевести число 122100₃ из троичной системы счисления в десятичную.

Решение:

       4  3  2 1  0

1 2 2 0 1 ₃=1*3⁴ +  2*3³ + 2*3² + 0*3¹ + 1*3⁰ = 81+54+18+1 = 154₁₀

Ответ: 12201₃ = 154₁₀

Пример 4. Перевести число 163₇ из семеричной системы счисления в десятичную.

      Решение:     163₇ = 1*7² + 6*7¹ + 3*7⁰  = 49+42+3= 94₁₀.

Ответ: 163₇ = 94_10.

Пример 5. Перевести число 234,6₈ из восьмеричной системы в десятичную:

      2  1  0 -1

2 3 4, 6₈ = 2*8² +3*8¹ + 4*8⁰ +6*8^-1= 2*64+3*8+4+6*0,125= 128+24+4+0,75 =156,75₁₀

Ответ: 234,6₈ = 156,75_10.

Пример6. Перевести число 2Е₁₆ в десятичную систему счисления.

Решение:

       2  1

 2 Е₁₆ = 2*16¹ +14*16⁰ = 32 +14 = 46₁₀.

Ответ: 2Е₁₆ = 46_10.

Задание:

Перевести из различных систем счисления в десятичную:

а) 111100111₂                   г) 367,2₈

б) 1001110,11₂                          в) АВ2Е,8₁₆

2.2.5  Перевод чисел из двоичной системы счисления в  восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Перевод целых чисел

Правило. Чтобы перевести целое двоичное число в восьмеричную (8=2³) систему счисления необходимо:

·               разбить данное число справа налево на группы по 3 цифры в каждой;

·               рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Пример 1. Перевести число 11101010₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

11101010

3    5   2

Ответ: 11101010₂ = 352₈

Пример 2. Перевести число 11110000010110₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111110000010110

7    6   0    2   6

Ответ: 11110000010110₂= 76026₈

Правило. Чтобы перевести целое двоичное число в шестнадцатеричную (16=2⁴) систему счисления необходимо:

·               разбить данное число справа налево на группы по 4 цифры в каждой;

·               рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Пример 3. Перевести число 11100010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11100010

   Е       2

Ответ: 11100010₂ = Е2₁₆

Пример 4. Перевести число 11110000010110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11110000010110

3    С     1     6

Ответ: 11110000010110₂= 3С16₁₆

Перевод дробных чисел

Правило. Чтобы перевести дробное двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления необходимо:

·               разбить данное число, начиная от запятой влево целую часть и вправо дробную часть на группы по 3 (4) цифры в каждой;

·               рассмотреть каждую группу и записать ее соответствующей цифрой восьмеричной (шестнадцатеричной)системы счисления.

Пример 5. Перевести число 0,10110000111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

0,10110000111

  В     0     7

Ответ: 0,10110000111₂ = В07₁₆

Пример 6. Перевести число 111100001,0111₂ в восьмеричную систему счисления.

Решение:

111100001,0111

 7    4   1    3   1

Ответ: 111100001,0111₂= 741,31₈

Пример 7. Перевести число 11101001000,11010010₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

11101001000,11010010

  7     4     8      D       2

 

Ответ: 11101001000,11010010₂ = 748,D2₁₆

Задание:

Перевести числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) 1101000101011₂

б) 100000011,000101110₂

в) 10010111011101,11101011₂

г) 111110000000111111111,000001111100000111110101₂

2.2.6 Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления

Правило. Для того, чтобы восьмеричное (шестнадцатеричное) число перевести в двоичную систему счисления, необходимо каждую цифру этого числа заменить соответствующим числом, состоящим из 3 (4) цифр двоичной системы счисления.

Пример 1. Перевести число 528₈  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 5    2     3

101 010 011

Ответ: 528₈ = 101010011₂

Пример 2. Перевести число 4ВА35,1С2₁₆  перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

 4     В       А     3     5    ,   1       С     2 

100 1011 101000110101  0001 1100 0010

 

Ответ: 4ВА35,1С2₁₆ = 10010111010001101010001 11000010₂

 

Задание:

Перевести числа в двоичную систему счисления

а) 6217,251₈                        в) 23654₈

б) А4ВС10А,5Е₁₆                      г) АСЕ560В₁₆

2.3  лОГИЧЕСКИЕ основы работы компьютера

Основные понятия алгебры логики

Логика – наука о законах и формах мышления. Математическая логика изучает любые рассуждения с помощью методов математики. Математическая логика входит в группу фундаментальных наук, которые образуют теоретическую основу информатики.

Центральная идея математической логики восходит еще к Г.В. Лейбницу (1646-1716) и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверять механически, не вникая в их смысл. Усилиями большого числа математиков и логиков второй поло- вины XIX и первой половины XX века (Буль, Кантор, Фреге, Пеано, Рассел, Уайтхед, Цермело, Френкель, Гильберт, фон Нейман, Гёдель и другие) эта программа была в основном выполнена. Английский математик Джордж Буль (1815-1864) впервые применил алгебраические методы для решения логических задач.

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует логическими высказываниями.

Логическое высказывание, предложение – это утверждение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. В исчислении высказываний не рассматриваются утверждения, имеющие значения, отличные от «истинно» и «ложно». Используется двузначная логика: ответ, отличный от «Да», есть «Нет». Древние философы назвали этот принцип «законом исключенного третьего». Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением. Не каждое повествовательное предложение является логическим высказыванием. Высказыванием не является, например, предложение «Информатика – интересный предмет».

           Примеры высказываний:

Сканер – устройство ввода в компьютер (истинно).

Дважды два – четыре (истинно).

Плоттер является устройством ввода в компьютер (ложно).

Высказывания делятся на простые и сложные (составные). Высказывание, содержащее одну простую законченную мысль, называется простым. Значение истинности простого высказывания не зависит от значений истинности каких-либо других высказываний. Сложные высказывания образуются из двух и более простых высказываний с помощью логических операций. Значение истинности сложного высказывания зависит от значений истинности других высказываний.

           Простые высказывания являются логическими аргументами, а сложные – логическими функциями аргументов.

Пример. Сидорову 20 лет и он студент и не солдат

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

           В таблице 10 приводятся обозначения, используемые для логических связок (операций) в различной литературе.

Наглядной иллюстрацией этих логических связок служат следующие диаграммы:

Простые высказывания обозначаются буквами латинского алфавита (A, B, C, …).

Истинное значение обозначают единицей (1) либо символом T (True – истина), а ложное - - нулем (0) либо F (False – ложь), иногда заменяют словами «да» («yes»), «нет» («no»).

Отрицание высказывания Ā является простым высказыванием.

Оно истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно

Таблица истинности – это табличное представление логической операции, в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции, лат. conjunctio – соединение), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции, лат. disjunctio – разделение) истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

Последовательность выполнения операций при отсутствии скобок в сложных логических формулах определяется старшинством операций (приоритетом). Наивысший приоритет имеет отрицание, затем следует конъюнкция и, наконец, дизъюнкция.

Основные законы алгебры логики

В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.

Закон коммутативности утверждает, что можно переставлять операнды при использовании конъюнкции или дизъюнкции. Это может показаться очевидным (в обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами), но имеются операторы вроде арифметического минуса, для которых это неверно: A-B отлично от B-A.

Закон ассоциативности позволяет расставлять скобки произвольным образом, если в логическом выражении используются только операции логического умножения или только операции логического сложения. В таких случаях можно вообще обойтись без скобок, так как закон ассоциативности гарантирует получение одного и того же

результата независимо от того, как сгруппированы предложения.

Закон дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые.

Законы де Моргана. Отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний. Отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Эти свойства иногда выражают словами: «конъюнкция двойственна дизъюнкции».

Операция переменной с её инверсией. Закон непротиворечия: Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Логическое произведение высказывания и его отрицания ложно.

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».

Вместе эти законы определяют булеву алгебру. Из них можно получить другие полезные законыю

Закон двойственности гласит, что любая теорема булевой алгебры остается истинной, если в ее формулировке заменить все связки И на ИЛИ, ИЛИ на И.

Импликация и эквивалентность

Любая логическая формула может быть выражена через три базовые логические операции (ранее рассмотренные), однако на практике часто используют еще две логические связки. Первая из них называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и служит для задания так называемых условных высказываний. В русском языке этой логической операции соответствуют фразы если ..., то ... или когда ..., то-

гда ...

Импликация – двухместная операция: часть формулы до импликации называют основанием условного высказывания, а часть, расположенную за ней, – следствием. В логических формулах импликация обозначается знаком →.

Операция A→B определяет логическую функцию, тождественно совпадающую с функцией А ∨ В .

Пример 1. Сложное высказывание: «Если на улице дождь, то на улице мокро». Обозначим через А простое высказывание «на улице дождь», а через В – «на улице мокро». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A→B.

Пример 2. Если число Х делится на 4, то оно делится на 2. Это означает, что высказывание (Х делится на 4) → (Х делится на 2) истинно при всех Х.

            Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание) (табл. 16).

Однако операция логического следования несколько отличается от обычного слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следо-

вать что угодно.

Другой распространенной операцией является эквивалентность (равнозначность, равносильность). Ее аналог в разговорной речи – фразы, подобные словосочетанию тогда и только тогда, когда ... или если и только если ... Для ее обозначения используется символ ↔ (или = , или ~).

Эквиваленцию A↔B можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: (А ∨ В) & (A ∨ B) .

Пример 1. Сложное высказывание: «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен тогда и только тогда, когда он сдан». Обозначим через А простое высказывание «В зачетную книжку выставляется оценка за экзамен», а через В – «Экзамен сдан». Тогда логическая формула сложного высказывания запишется в виде: A↔B.

Пример 2. Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности.

Операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны (табл. 17).

Вне зависимости от смысла равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания, например:

А = (дважды два – пять);

B = (один плюс два – шесть);

А~В («А и В равнозначны»).

Рассмотренные логические операции в порядке убывания приоритетов располагаются так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Как составить таблицу истинности для логической формулы?

Согласно определению таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т. д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая, кроме значений переменных и значений формулы, также и значения промежуточных формул.

Пример. Составим таблицу истинности для формулы А∧B∨А∨B∨А.

Из данных таблицы  следует, что при всех наборах значений переменных А и В формула А∧B∨А∨ B∨А принимает значение 1, т. е. является тождественно-истинной.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, де

Моргана и др.).

Рассмотрим на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул.

Заключительная часть

3.1   Подведение итогов, рефлексия

 - Какое задание было самым интересным? 
 - Какое задание, по вашему мнению, было самым сложным? 
 - С какими трудностями вы столкнулись, выполняя задания? 

Приложение 1

Задание для самостоятельной работы:

По теме «Принципы обработки информации компьютером. Арифметические и логические основы работы компьютера»

1) Переведите число из римской системы счисления в десятичную:

MCMLXXXIV = ____________₁₀

2) Переведите число в римскую систему счисления:

1499 = _______________________

3) Представьте число в развернутой форме:

235428,2₁₀ = ___________________________

12223101₄ = ___________________________

4) Переведите числа из десятичной системы счисления в другие:

56₁₀ = _____________₂

56₁₀ = _____________₅

5) Переведите числа в десятичную систему счисления:

11011011₂ = __________________₁₀

1222₃ = ____________________₁₀

 

  6)Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:   101011011;     100010,011101;    0,000110101

  7)Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:  111111;    100000111,001110;    0,011011011 

  8)Переведите восьмеричные числа в двоичную систему счисления:   276;     0,635;     25,024

  9)Переведите шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления    1А2С7; 0,3С1;  F4A,C1C

 10)Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьме­ричную:   А54;   21E,7F;    0,FD

 11)Переведите числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцате­ричную:  344;    0,7612;    333,222

12) Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие нет. Какие из высказываний истинны, какие – ложны. Объясните ответ:

1) солнце есть спутник Земли;

2) сегодня отличная погода;

3) выражение «накликать беду» появилось до появления компьютерных вирусов;

4) музыка Баха слишком сложна;

5) в почтовых отделениях Алтайского края действуют 340 пунктов доступа в Интернет;

6) в 2007 году на площадях Барнаула – им. Сахарова, Советов и Победы – были установлены видеокамеры;

7) не поддавайтесь на провокации телефонных мошенников;

8) скоро в Барнауле построят 30-этажные дома;

9) если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный;

10) TV-тюнер – видеоплата, превращающая компьютер в телевизор;

11) малая цифровая клавиатура используется только для ввода чисел;

12) драйвер – это разъем, через который можно соединить процессор компьютера с внешним устройством;

13) флэшка – лучший подарок;

14) в переводе с польского «академик» – учитель, наставник.

13) Какая из таблиц истинности соответствует логическому высказыванию:

1) «А вместе с В»;

2) «Неверно, что А»;

3) «Неверно, что В»;

4) «А или В, или оба».

14) Какие из заданных логических функций являются эквивалентной А?

1) А и не В или А;

2) А и не А или В;

3) А и не В и А;

4) А и не А или не А.

15) Число х имеет максимальное значение среди попарно неравных x, y и z. Какие из логических выражений истинны?

1) x > y or x > z;

2) x > y and y > z;

3) y < x and z < x;

4) z > y and y > x.

16) Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики: