Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методический материал для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ на тему "Различные виды задач на проценты"

Методический материал для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ на тему "Различные виды задач на проценты"



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_32ccac66.png


Выпускной экзамен по математике в школе является одновременно и вступительным экзаменом в ВУЗы. В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты. Задачи на проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Причина, на мой взгляд, в том, что тема "Проценты" изучается в младших классах, причем непродолжительно, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. Тем не менее, учеников нужно подготовить к решению задач на проценты. Поэтому я рассмотрела наиболее часто встречающиеся виды задач. Все задачи по их видам записываются у учеников в тетради-справочнике. Я подготовила несколько рассчетных работ по теме "Проценты". Кроме того, использую творческие домашние задания, когда ученикам предлагается придумать свои задачи на проценты. Предложенные задачи можно найти в вариантах вступительного экзамена по математике в технические ВУЗы за прошлые годы, а также из сборника задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Различные виды задач на проценты

Определение процента от числа

Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120
. 0,25 = 30.
Ответ: 30.

Определение числа по известной его части, выраженной в процентах

Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:
х - данное число;
0,15
.х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.

После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:

1. На сколько процентов 10 больше 6?
2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6)
.100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6)
.100%)/10 = 40%

Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25
.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х
. 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:
1) 22
. 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
Ответ: 2,5 кг.

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.

Процентное содержание. Процентный раствор.

Задача:

Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.


10
. 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.


Задача:

Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?


Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.


1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25
. 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25
. 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.


Пример.

Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:


к - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в процентах).

Дополнительные задачи.

1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?


Решение:

Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.


Ответ:

13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.


2. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?


Решение.

Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержиться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.


Ответ:

добавили 10 л 5%-ного раствора.

Расчетные задачи по теме "Проценты".

  1. Найти 14% от 84.

  2. Найти число, если 12% его составляют 9,03.

  3. Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена?

  4. При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли. Определить себестоимость товара.

  5. Свежие фрукты содержали 72%, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

  6. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди?

  7. имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

  8. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?

  9. Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?

  10. Площадь прямоугольника равна 100 см2. Одна сторона прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти площадь нового прямоугольника.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

  2. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?

  3. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?

  4. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?

  5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?

  6. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.

  7. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?

Ответы


Расчетные задания.

  1. 11,76

  2. 76,25

  3. 10,94%

  4. 1290

  5. 7

  6. 1,5

  7. 40; 100

  8. 441

  9. 661500

  10. 104,5.

Самостоятельное решение.

  1. 13 1/3.

  2. 3; 7.

  3. 9; 6.

  4. 15.

  5. 50; 30.

  6. 15.

  7. 10; 30.




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 21.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров13
Номер материала ДБ-279546
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх