Методический материал для подготовки к ОГЭ Задания №12

                Задания №12         

         Фигуры на квадратной решетке

В этой статье речь пойдет о фигурах на квадратной решетке. В этом разделе присутствует несколько типов задач, это:

1) определение градусной меры угла;

2) определение тангенса угла (косинуса, синуса);

3) определение площади той или иной фигуры – трапеции, параллелограмма, сектора круга, треугольника и т.п.;

4) определение наибольшей (наименьшей) медианы (высоты) треугольника;

5) определение радиуса вписанной в треугольник (описанной около треугольника) окружности;

6) определение площади сложных или составных фигур.

Разберем задачи каждого типа.

Определение градусной меры угла.

1. Определите градусную меру угла:

Данный угол – тупой, и можно заметить, что левый луч, образующий его, является биссектрисой прямого угла (см. второй рисунок, угол показан рыжими прямыми). Тогда градусная мера этого угла равна:

Ответ: 

2. Определите градусную меру угла (имеется в виду “рыжий” угол):

В этой задаче все просто, если вспомнить, что любой угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 

Ответ: 

3.  Определите градусную меру угла (рыжий).

Имеем правильный шестиугольник. Угол, градусную меру которого нам надо определить – вписанный.

Он опирается на дугу, которую стягивает хорда, являющаяся стороной шестиугольника. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, это 1/6 часть всей окружности, или  . Вписанный угол вдвое меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу, значит, искомый угол равен  .

4. Определите градусную меру угла.

“Нехорошая” задача. В данной задаче определить градусную меру угла можно только приближенно, однако мы не можем вписать приближенный ответ в бланк. Выделенный рыжим угол – тупой, можно заметить , что он состоит из прямого угла и еще некоторой части. Эту часть можно определить только “на глаз” – прикинуть, что она составляет примерно третью часть прямого угла, или . Тогда весь угол – . Ответ – . К сожалению такие задачи, где приходится прикидывать, встречаются.

Определение синусов, косинусов, тангенсов углов.

Здесь придется вспомнить геометрические определения синуса, косинуса, тангенса:

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

5. Определить синус, косинус и тангенс угла.

Для того, чтобы воспользоваться определениями синуса, косинуса и тангенса, надо сначала выделить прямоугольный треугольник.

Конечно, удобнее вычислять, если катеты и гипотенуза этого треугольника будут целыми числами. Катеты, понятно, лежат на прямых, образующих саму решетку, поэтому нужно смотреть на луч этого угла, который станет гипотенузой нашего треугольника, и найти такое место, где этот луч пересечет узел решетки:

Тогда в нашем треугольнике катеты  – 3 и 4 клетки, а гипотенузу найдем по теореме Пифагора.

Тогда: синус угла – 4/5, или 0,8, косинус угла – 3/5, или 0,6, тангенс угла – 4/3, или 1,33 – кстати, вы подумали, как записать такое число в бланк ответов?

6. Определить тангенс угла:

Вспомним, что тангенс тупого угла равен тангенсу острого, смежного с ним, взятого с отрицательным знаком.

Надо найти тангенс смежного острого угла. Так как луч, образующий его – гипотенуза прямого угла и проходит прямо по узлам решетки, то катеты треугольников, образуемых этим лучом, всегда равны. Тогда тангенс равен:. Искомый тангенс тупого угла – (-1).

Ответ: -1

7. Определить тангенс угла.

Данный угол – острый, его тангенс – положительный. Осталось найти подходящий узел решетки, чтобы построить прямоугольный треугольник (для этого черным помечена опорная точка – узел решетки). В этом треугольнике считаем количество клеточек в каждом из катетов и определяем тангенс. У нас катеты – 1 и 4 клеточки, искомый тангенс – .

8. Определить тангенс угла.

Данный угол – тупой, значит, его тангенс – отрицателен. Определяем тангенс смежного с ним острого угла, ставим перед ним минус – и дело в шляпе. Чтобы определить тангенс острого угла, выбираем целый узел, через который проходит луч, образующий угол – помечен черной точкой. Катеты получившегося треугольника – 1 и 3 клетки, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, значит,  . Искомый тангенс тупого угла – (-3).

Ответ: -3

9 и 10. Попробуйте сами определить тангенсы углов на рисунках ниже.  

 Ответ:0,5                                              Ответ:1,5         

 Определение площади той или иной фигуры.

11. Определите площадь трапеции:

 Несмотря на то, что трапецию уложили на бок, сразу можем определить, где у нее основания – ведь, чтобы определить площадь трапеции, нужно знать основания и высоту трапеции:

У нас верхнее (малое) основание – 2 клетки, нижнее (большое) – 4 клетки. Высота трапеции – 2 клетки. Тогда вычисляем площадь: 

Ответ: 6

12. Определите площадь параллелограмма:

Для вычисления площади параллелограмма достаточно высоты и основания (есть, конечно, и другие формулы, но в данном случае, на решетке, они вряд ли пригодятся): . У данного параллелограмма основание равно 1 клетке, а вот высота? Высота – всегда перпендикуляр к основанию… или к его продолжению! Вы согласны, что высота этого параллелограмма равна 4 клеткам? Тогда его площадь .

Ответ:4.

13. Определите площадь ромба.

 Нетрудно понять, что посчитать площадь ромба удобно, разделив его на треугольники либо по вертикали, либо по горизонтали. Имеем два треугольника с основанием 6 клеток, высотой 2 клетки (поделила по горизонтали). Площадь треугольника определяем по формуле: .

Площадь ромба равна  .

Кстати, площадь ромба здесь еще очень удобно определить как половину произведения его диагоналей:  .

14. Определите площадь кругового сектора, в ответ запишите площадь, деленную на .

Радиус окружности равен 3, поэтому площадь всего круга будет: .

Так как центральный угол сектора равен , а это 1/3 от  , то площадь сектора будет равна 1/3 от площади всего круга, то есть . Делим на число   и записываем ответ: 3

15. Определите площадь треугольника:

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту. За основание может быть принята любая удобная сторона, удобная – значит, она расположена строго вертикально или горизонтально – так, чтобы ее длину в клеточках было удобно считать. Здесь возьмем за основание самую длинную сторону, расположенную вертикально, ее длина в клеточках – 10. Проведем к этой стороне высоту из правой вершины, высота получится равной 3 клеточкам.  Тогда площадь этого треугольника: .

Ответ:15. 

16. Определите площадь треугольника:

Основание его равно 2 клеткам, высота – 4 клеточки, и неважно, что она не “попала” в основание, ведь она может быть опущена и на его продолжение. Тогда площадь равна: .

Ответ: 4.

Определение наибольшей или наименьшей высоты (или медианы) треугольника.

17. Определите наименьшую высоту треугольника. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в см.

Проведем высоты из вершин данного треугольника к основаниям или их продолжениям:

Понятно, что самая маленькая высота  – та, что внутри треугольника (а). Ее длина – 1 клеточка.

Ответ: 1

18. Найдите наибольшую медиану треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

В этом треугольнике нетрудно определить середины сторон – точки, в которых медианы пересекутся со сторонами треугольника (отмечены черными кружочками). Но медианы получаются близкими по длине – как узнать, какая все же длиннее?

Очевидно, что борьба развернется между медианами “b” и “c”, “а” – не конкурент, она явно короче. Длину “с” можно определить сразу – это 5 клеточек. Осталось разобраться с медианой “b”, и здесь нельзя выполнить расчет неточно. Воспользуемся тем, что треугольник изображен на сетке – тогда можно использовать теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник на гипотенузе “b”: 

Видно, что катеты этого треугольника 3 и 4 клетки, тогда гипотенуза (это и есть наша медиана “b”) равна 5 и равна медиане “с”. В ответ нужно записать длину наибольшей медианы, ответ: 5 

19. Найдите наименьшую медиану  треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

  Проведем медианы. Самую длинную медиану (к самой короткой стороне треугольника) не проводим.

Какая из медиан короче – рыжая или зеленая? Если заметить, что два этих отрезка являются перпендикуляром и наклонной между двумя параллельными прямыми, образующими саму сетку, то очевидно, что перпендикуляр – рыжая медиана – короче (по теореме). Ее длина – 2 клетки, записываем ответ: 2.

20. Найдите наибольшую высоту  треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

Очевидно, что здесь наибольшая высота – это высота, проведенная к продолжению наименьшей стороны треугольника, ее длина составит 4 клетки. Ответ: 4.

Определение радиуса вписанной в треугольник (описанной около треугольника) окружности.

21. Для данного треугольника определите радиус описанной около него окружности. Размер клетки – 1 см. Ответ дайте в см.

В такого типа задачах может помочь знание формул. Нужно помнить, что 

, где a, b и c – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности.

, где  – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

Площадь этого треугольника – . Длины его сторон: основание – 8, боковые – по теореме Пифагора – 

Считаем радиус описанной окружности: 

Ответ: 5

22. Определить радиус вписанной в треугольник окружности. Размер клетки 1 см.

Снова понадобятся стороны – чтобы определить полупериметр. Катеты: 5 и 12, тогда гипотенуза – 13 (пифагорова тройка).

Полупериметр: 

Это прямоугольный треугольник, площадь найдем через катеты: 

Тогда радиус вписанной окружности: 

Ответ:2

23. Определим радиус описанной около треугольника окружности:

Самая длинная – 10, самая короткая – .Его площадь мы нашли в задаче 15, она равна 15 квадратным см. Осталось найти стороны.

Средняя: .

Считаем радиус описанной окружности: 

Ответ:5

Определение площади сложных или составных фигур.

При определении площадей сложных фигур часто их можно разбить на более простые, определить их площади и затем сложить.

Однако сначала разберем простые случаи.

24. Определите площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Видно, что фигура состоит из двух треугольников, причем площадь маленького нужно вычесть из площади большого. Определяем площади, большой треугольник: . Малый треугольник: . Вычитаем из большей площади меньшую: 4. Ответ: 4.

25. Определите площадь квадрата, размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Очень хочется повернуть квадрат так, чтобы стоял на стороне, и сказать, что сторона равна 3, а площадь – 9. Но это не так. Определим длину стороны квадрата по теореме Пифагора:  . Тогда площадь этого квадрата равна 10. Ответ: 10.

26. Определите площадь заштрихованной фигуры, размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

При отыскании площади такой фигуры принцип тот же: находим площадь большого квадрата и вычитаем площадь малого.

Сторона большого квадрата:  , значит, его площадь – 18 кв. см.

Сторона малого:  , его площадь 8 кв. см.

Разность площадей составляет 10 кв. см – это и есть искомая площадь.

27. Определите площадь кольца.  Размер клетки 1 см. В ответ запишите площадь  в кв. см, деленную на  .

Здесь легко по клеткам определить радиус как большего, так и меньшего круга, посчитать их площади и затем вычесть одно из другого.

Больший круг:  

Меньший круг: 

Разность составляет:  . В ответ записываем найденную площадь, деленную на число  : 3

28. Определить площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Эту фигуру можно разбить на три треугольника и определить сумму их площадей: 3+1+1=5.

29. Определить площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

В этом случае надо еще придумать, как разбить нашу фигуру на более простые. Нужно сделать это так, чтобы площади определялись точно, без “ну, там примерно полклеточки”. И это не обязательно должны быть треугольники!

Это могут быть  трапеция и треугольник, а площадь трапеции мы уже научились находить. Но в этом случае точно определить площадь можно только разбив фигуру на треугольники: у меня вышло 4 кв.  Ответ: 4

30. Самостоятельно определите площадь фигуры удобным вам способом:

 

Задания для самостоятельного решения:

1. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.   2. Най­ди­те тан­генс угла А тре­уголь­ни­ка ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.  

 3. Най­ди­те тан­генс угла С тре­уголь­ни­ка ABC , изоб­ражённого на ри­сун­ке.  4. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на тра­пе­ция  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

5. На ри­сун­ке изоб­ра­жен па­рал­ле­ло­грамм  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб  . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те  .

7. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ра­же­на тра­пе­ция. Най­ди­те её пло­щадь. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

8. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см × 1см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те длину его боль­шей вы­со­ты. Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

9. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

10. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

11.

На ри­сун­ке изоб­ражён пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка, про­ведённую из вер­ши­ны пря­мо­го угла.

12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

14. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

 15. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

16. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

17. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

18. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фи­гу­ра. Най­ди­те её пло­щадь.

19. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AC.

20.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те его пло­щадь.

21. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён ромб. Най­ди­те длину его боль­шей диа­го­на­ли.

22. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён тре­уголь­ник . Най­ди­те длину его сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не .

23. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

24. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­же­на тра­пе­ция. Най­ди­те длину её сред­ней линии.

25. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

26. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

27. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину его боль­ше­го ка­те­та.

28. Най­ди­те угол 

Ответы:  

№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7	№8	№9	№10	№11	№12	№13	№14	№15
2	0,4	0,75	0,8	0,6	0,75	10	5	1	5	2,5	40	-3	-1,5	20,5

№16	№17	№18	№19	№20	№21	№22	№23	№24	№25	№26	№27	№28
8	45	11	4	14	10	4	67,5	6	135	112,5	8	22,5