Методический материал к уроку математики по теме "Признаки делимости"

Прокопенко Надежда Ивановна,

учитель математики МОУООШ №21 город Оленегорск

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение........................................................................................................................ 3-4

2. Из истории .................................................................................................................... 5-6

3. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, изучаемые в      школе   7-8

4. Признаки делимости натуральных чисел

4.1.Признаки делимости на 4.......................................................................................... 9.

4.2. Признак делимости на 7............................................................................................ 9

4.3.Признаки делимости на 8.......................................................................................... 10.

4.4.Признаки делимости  на 11....................................................................................... 11.

4.5Признак делимости на 17 ........................................................................................... 12

4.6.Признак делимости на 13........................................................................................... 13

4.7.Признаки делимости на 19........................................................................................ 13

4.8.Признак делимости на 23........................................................................................... 13

4.9.Признак делимости на 29........................................................................................... 14

4.10.Признак делимости на 31......................................................................................... 14

4.11.Признак делимости на 49......................................................................................... 14

5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.... 15-18

6. Применение признаков делимости в числовых фокусах.......................................... 19

7. Заключение................................................................................................................... 20

8.Список использованной   литературы......................................................................... 21.

Введение

«Если бы ни число и его природа, ничто

существующее нельзя было бы постичь ни

само по себе, ни в его отношениях к другим

вещам. Мощь чисел проявляется во всех

деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах  и в музыке».

        Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э

В арифметике много разделов и один из них - делимость чисел.

Признак  делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно  установить, делится ли одно число на другое.

Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик. Однажды заболел старик , позвал к себе сыновей и сказал: «Дети мои, вы знаете, что у меня есть 19 верблюдов. Когда я умру, разделите их между собой: половину верблюдов я завещаю старшему сыну, четверть – возьмет средний, ну а младший – забирай одну пятую часть».

Сказал так и умер. Братья и возразить не успели, что девятнадцать верблюдов невозможно разделить таким образом. Не резать же верблюдов. Думали братья, думали, ничего не придумали и отправились за советом к учёному.

 Посчитал ученый и сказал: «Ничего не поделаешь, если вы хотите остаться верными отцовскому завещанию, то верблюдов нужно резать. Иначе никак!»

Но братьям не хотелось убивать животных. Поэтому они решили сходить за советом к старому мудрецу.

Мудрец выслушал их проблему и сказал: «Не волнуйтесь, никого убивать не придётся. Я вам одолжу своего верблюда на время. Теперь у вас 20 верблюдов и они легко делятся на 2, на 4 и на 5. Десять верблюдов для старшего брата, пять – для среднего, а четыре или одна пятая, для младшего. Остается один верблюд лишний, но помните, вы должны мне одного верблюда. Я его забираю обратн

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне еще за 2 тысячи лет до нашей эры. Так, не случайно, на одной из египетских пирамид иероглифами написано число 2520. Оно является наименьшим общим кратным всех целых чисел от 1 до 10. Признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

 Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число. Признак описан в трактате «Особенности делимости чисел». Паскаль рассуждал так: пусть при делении 10 на число А получается остаток r_1, при делении 10 r₁ на А – остаток r_2, при делении  10 r₂ на А – остаток r₃ и так далее.

Если данное число, например четырехзначное,  будет иметь вид MCDU, где M, C, D, U –цифры тысяч, сотен, десятков и единиц, то признак делимости этого числа на А следующий. Если U + D × r₁  + C× r₂  + M× r₃   делится на А,

то и число MCDU делится на А. [8,46]

Например.7536 делится на 8, так как 10 : 8=1(ост.2), 20 : 8=2(ост.4), 40 : 8=5(ост.0),

6 + 3 × 2 + 5 × 4 + 7 × 0 = 32, 32 делится на 8.

Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.). В его главной работе «Начало» подведен итог предшествующему развитию греческой математики. Он ввел понятие иррационального числа, показал бесконечность множества простых чисел, изложил аксиоматический способ построения геометрии, которая сейчас изучается в школе.

Одним из наиболее важных в математике алгоритмов является алгоритм Евклида- способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. [7,352]

Пусть а и в – два натуральных числа, причем а > в. Разделим а на в с остатком: а = вq + r₁; Если r₁≠ 0, то делим в на r₁: в = r₁q₁ + r₂; Продолжая эти последовательные деления с остатком на остаток от предыдущего деления, получим равенства:

а = вq + r_1,

 в = r₁q₁ + r_2,

r₁ = r₂q₂ + r_3,

r₂ = r₃q₃ + r_4, и т. д.

Последний отличный от нуля остаток r_п, будет НОД (а; в).

Например. Найти НОД(1035, 851)

1035 = 851 ×1+ 184,

851 =  184  × 4 + 115,

184 = 115  ×1 + 69,

115 = 69  × 1 + 46,

69 = 46  × 1 + 23,

46 = 23  × 2 + 0          Ответ: НОД(1035, 851) = 23

1. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими  равнозначными словами: а кратно b; b - делитель а; а делится на  b

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число.  Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

В математике существует пять основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 5, 9 и на 10.

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если число оканчивается чётной цифрой или нулём.

Например: Число 248 будет делиться на 2, так как в конце этого числа стоит чётная цифра 8.

Число не разделится на 2, если число оканчивается на нечётную цифру.

Например: Число 235 не разделится на 2, так как на конце этого числа стоит нечётная цифра.

Признак делимости на 3

                                                                                                                                                                                                                                                                                        Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Например: Число 342 (3 + 4 + 2 = 9) будет делиться на 3, так как сумма его цифр равна 9, а число 9 делится на 3.

Число не делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3.

Например: Число 526 (5 + 2 + 6 = 13) не разделится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 13, а 13 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Например: Число 675 будет делиться на 5, так как на конце этого числа стоит цифра 5.

Число не делится на 5, если на конце не стоит ни 0, ни 5.

Например: Число 456 не разделится на 5, так как на конце этого числа не стоит ни 5, ни 0.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Например: Число 963 (9 + 6 + 3 = 18) будет делиться на 9, так как сумма цифр этого числа равна 18, а число 18 делится на 9.

Число не разделится на 9, если сумма цифр числа не делится на 9.

Например: Число 739 (7 + 3 + 9 = 19) не разделится на 9, так как сумма цифр этого числа равна 19, а число 19 не делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10, если последняя цифра числа нуль.

Например: Число 840 будет делиться па 10, так как это число оканчивается на нуль.

4. Признаки делимости натуральных чисел

При  выполнении действий деления и  умножения натуральных чисел, обнаружились закономерности, которые позволили получить признаки делимости чисел на 4,8,7,11,13 и другие.

4 .1        Признак делимости натуральных чисел  на 4

Если число, составленное из двух последних цифр кратно 4, то и число делится на 4

4.2.Признак делимости натуральных чисел  на 7

Если из числа десятков вычесть удвоенное число единиц и получится число, которое кратно 7, то и всё число кратно 7.

4.3.Признаки  делимости натуральных чисел  на 8

1признак:

Если число образованное тремя последними  цифрами кратно 8, то, число делится на 8.

2признак:

Если цифра сотен чётная, то число, составленное из двух последних цифр, кратно 8 без остатка, а если цифра сотен нечётная, то остаток составляет 4.

4.4.Признаки  делимости натуральных чисел  на 11

1 признак

Если от суммы цифр стоящих на нечётных местах  отнять сумму цифр  на чётных местах (или наоборот) и в результате получим число, которое кратно 11, то и сама число кратно 11.

2 признак

Если число разбить на части (по две цифры справа налево), и эти две части сложить, и в результате получим число, которое кратно 11, то и данное  число кратно 11.

3 признак

Если от числа  десятков отнять число единиц и получится число, которое кратно 11, то и данное число кратно 11.

4.5. Признак делимости натуральных чисел  на 17

1 признак

Если после разбиения числа на две части по две (начиная справа), разность правой и удвоенной левой частей делится на 17, то и число делится на 17.

2признак

Если из числа десятков вычесть упятеренное число единиц и получится число, которое кратно 17, то и всё число кратно 17.

4.6.Признак делимости натуральных чисел  на 13

Если число десятков сложенное с учетверенным числом единиц кратно 13, то и число кратно 13.

4.7. Признак делимости натуральных чисел  на 19

Если число десятков сложенное с удвоенным числом единиц кратно 19, то и число кратно 19.

4.8. Признак делимости натуральных чисел  на 23

Если число десятков сложить с усемеренным числом единиц и получится число, которое кратно 23, то и всё число кратно 23.

4.9.Признак делимости натуральных чисел  на 29

Если число десятков сложить с утроенным числом единиц и получится число, которое кратно 29, то и всё число кратно 29.

4.10.Признак делимости натуральных чисел  на 31

Если из числа десятков вычесть утроенное число единиц и получится число, которое кратно 31, то и всё число кратно31.

4.11.Признак делимости натуральных чисел  на 49

Если число десятков сложить с упятеренным числом единиц и получится число, которое кратно 49, то и всё число кратно 49.

5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, при сокращении дробей, при  приведении дробей к одному знаменателю,  при решении текстовых задач на применение НОД и НОК, при решении уравнений в целых числах и т. д.

Задача 1:   (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5  класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.  Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

       203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

 Решение:

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.      

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 ,то есть 1 ученик получил неудовлетворительную отметку.

 Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

 Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

 Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение:     НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков),  тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов);   240: 40 = 6 (конфет);   200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение:    НОК(48, 72) = 144 (мин).     144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ:   Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 7.     Маугли попросил своих друзей-обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли Маугли. Но по дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли досталось лишь 35 орехов. По скольку орехов обезьяны собрали, если известно, что каждая из них принесла больше одного ореха?

Решение:  Так как обезьяны собрали орехов поровну и поровну бросили, то принесли они поровну. Число 35 делится на 5 и на 7. Возможны 2 случая:

- Обезьян было 5, принесли по 7 орехов, бросили по 4 ореха, а значит, каждая собрала 7+4=11.

- Обезьян было7, принесли по 5 орехов, бросили по 6 ореха, а значит, каждая собрала 5+6=11.

Задача 8.

Доказать, что  делится на 7. (Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры).

Решение:             = × 10101 = × 37 × 13 × 7 × 3

Задача 9.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ:   Наибольшее – 987652413,  наименьшее – 102347586.

Задача 10.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167,  257, 347, 527.

Задача 11.

Найти наименьшее шестизначное число, делящееся на 3, 7 и 13 без остатка.

Решение: 

Искомое число должно делиться на 3× 7× 13=273, а наименьшее шестизначное число 100000 = 366×273 + 82. Если прибавить к нему 191, то получим 100191 = 367×273.

Ответ:     100191 

Задача 12.

Если сумма первой и второй цифр трёхзначного число, у которого одинаковые цифры сотен и единиц, делится на 7, то и число делится на 7. Докажите.

Решение: 

Имеем число 100а + 10в + а = 10(а + в) +91а. Так как (а+в) по условию делится на 7 и 91 делится на 7(91:7=13), то и число 100а + 10в +а делится на 7.

Задача 13.

Найти числа вида 34x5y, каждое из которых делится на 36.

 Решение. Число 36 = 4× 9;следовательно, искомые числа делятся и на 4 и на 9.

Чтобы число 34x5y  разделилось на 4, необходимо, чтобы  число 5y делилось на 4. Тогда y равно либо 2, либо 6.

Чтобы число 34x5y  разделилось на 9, необходимо, чтобы  3+4+x +5+y = 12 + x+y разделилось на 9.

Если y = 2, то 12+2+ x = 14+ x.  14+ x разделится на 9, если  x  равен 4.

Если y = 6, то 12+6+ x = 18+ x.  18+ x разделится на 9, если  x  равен 0 или 9.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют три числа: 34452, 34056, 34956.

Ответ: 34452, 34056, 34956

6. Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах:

1) Можно так же предложить друзьям загадать четырёхзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное восьмизначное число на 137. Затем предложить результат разделить на 73. К удивлению друзей,  получится в результате загаданное им число.

Объясняется  это легко: 73 ∙ 137 =10001, = ∙ 10001

2) Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом фокусе. Предложить друзьям загадать трехзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложить полученное число разделить на 11, а результат – на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное им число.

Объясняется  это так: 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001,  1001 ∙  =

3) Число Шехерезады 1001, которое мы видим в названии бессмертных сказок «Тысяча и одна ночь», с точки зрения математики обладает целым рядом интереснейших свойств:

1)      Это самое малое натуральное четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел: 1001 = 10³ + 1³.

2)      Число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001 = 77 х 13), из 91 одиннадцаток или из 143 семерок (число 7 считалось магическим числом); если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 ночь состоит

52 х 7 + 52 х 7 + 26 х 7 + 13 х 7, то есть из 1год + 1год + полгода  + четверть  года.[10,306]

3) на свойствах числа 1001 базируется метод определения делимости чисел на 7, на 11, на 13. Этот метод объясняется на примере.

Пример. Делится ли на 7 число 348285?

Число 348285 = 348 х 1000 + 285 = 348 х 1000 + 348 – 348 + 285 = 348 х 1001 – (348 – 285);

Чтобы число 348285 делилось на 7, достаточно, чтобы на 7 делилась разность 348 – 285.

И так как 348 – 285 = 63, а 63 делится на 7, то и 348285 также делится  на 7

8.Список использованной  литературы:

1.      Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П. Забавная арифметика.- Москва, «Наука», 1991, с.71

2.      Бабинская И.Л.Задачи математических олимпиад. - Москва, «Наука», 2000, с.58

3.      Волина В.В. Занимательная математика.- С.-Петербург, 1996, с.103

4.      Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- Москва, «Наука», 1988, с.148

5.      Клименченко Д. В. Задачи по математике для любознательных.- Москва,                                         «Просвещение», 1991, с.43

6.      Кордемский Б. А. «Математическая смекалка». - Москва, «Альянс», 2000, с.232

7.      Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – с. 352.

8.      Чистяков В.Д. Старинные задачи по математике. Минск.1987, с 46

9.      Перельман Я.И. г. Екатеринбург, Тезис,1994, с 88

10.  Станислав Коваль. От развлечения к знаниям. WARSZAWA., С.306

11.  Глейзер Г.И. История  математики в школе. IV- VI классы. Москва, “Просвещение», 1999 ,с.82