Методический материал "Модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешу" (9 класс)

Шығыс қазақстан облысы Үржар ауданы Қарақол орта мектеп-бақшасының математика пәні мұғалімі Карыбаева Сауле Шешкенқызының іс-тәжірибесінен

Модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешу тақырыбын оқыту әдістемесі

Модуль таңбасы бар теңсіздіктер көбінесе белгілі алгоритм көмегімен модуль таңбасы жоқ теңсіздіктерге келтіріліп шешіледі. Оларды шешудің аралықтар, анықтама бойынша, квадраттау, геометриялық, т.б тәсілдері бар. Солардың ішінде модуль ұғымының «түп қазығы» болып саналатын геометриялық түсінігі бойынша шешудің маңызы зор. Бұл әдіс оқушыға есептің мағынасын терең түсінуге және оны жан-жақты тануға көмектеседі.

Ең қарапайым , теңсіздіктерін қарастырайық. Біріншіден–бұлар қарама-қарсы теңсіздіктер деп аталады. Екіншіден–олардың шешімдері бірін-бірі түзуге дейін немесе нақты сандарға дейін толықтырады. Енді шешу әдістеріне тоқталайық.

1. Геометриялық тәсіл

1) теңсіздігін шешейік

а) а<0 болғанда шешімі жоқ;

ә) а=0 болғанда бір ғана х=0 мәні шешім болады;

б)а>0 болғанда сан осіндегі О нүктеден қашықтығы а–дан аспайтын барлық х нүктелерінің жиыны, яғни кесіндісі теңсіздікке шешім болады.

2) теңсіздігін шешейік

а) а≤0 болғанда шешімі–бүкіл анықталу облысы–R;

ә) а>0 болғанда сан осіндегі нүктеден қашықтығы а–дан кем болмайтын барлық х нүктелерінің жиыны, яғни жарты түзулері теңсіздікке шешім болады.

Схемалы сызбаларын салыстырып көрейік

2. Анықтама тәсілі

1) немесе

яғни

2) немесе

яғни

3. Аралықтар әдісі

ƒ(х)= функциясын қарастырайық. Нөлдері , бұдан

ƒ(х)=ƒ(х)=

IY. Квадраттау тәсілі

1)

₂₎

_{Осы талдаулардан жалпы қорытынды шығара отырып, кейбір модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешудің келесі ережелерін жазамыз.}

_I.

_II.

4. 

_IY.

_{Енді мысалдар қарастырайық:}

_{1-мысал. ‌ / 5-2х / < 3}

_{Шешу: 3 > 0 болғандықтан, оған мәндес I түрдегі -3 < 5-2х < 3 теңсіздігін аламыз. Бұдан 1 < х < 4}

_{Жауабы: (1; 4)}

_{2-мысал: / 5-2х / > 3}

_{Шешу: 1–мысалға қарама-қарсы теңсіздік болғандықтан, бұл екі теңсіздіктің шешімдері бірін-бірі түзуге дейін толықтырады. Яғни х ≤ 1; х  4}

_{Жауабы: ( -; 1]  [4;  )}

_{Бұл теңсіздіктерді жоғарыда көрсетілген геометриялық, анықтама, квадраттау тәсілдерімен де шешіп көруге болады Өйткені бірнеше есепті бір ғана тәсілмен шығарғаннан гөрі, бір есепті шешудің екі не одан да көп әдістерін таба білу оқушы білімінің логикалық тереңдеуінің көрсеткіші болмақ.}

_{Осыдан кейін оқушының ойлау қабілетін арттыру, есеп құрылымындағы тура және кері байланысты нығайту мақсатында келесі эвристикалық тапсырманы беруге болады.}

_{3-мысал. (–3; 5) аралығы шешімі болатын модуль}

_{таңбасы бар теңсіздік құр.}

_{Шешуі : Әрине, оқушы бұл есептің шешу жолын бірден таба алмауы мүмкін. Ойлана келіп, ⁄х– а ∕< b теңсіздігін шешу алгоритмін жазады.}

_{Шарт бойынша –3<х<5 . Бұдан Демек, ізделінді теңсіздік ⁄ х – 1 ∕ <4 түрінде болады.}

_{Жауабы: ⁄ х –1 ∕ < 4}

_{4-мысал. ⁄ 1– 4х ∕ >7}

_{Шешуі: 7>0 болғандықтан, оған мәндес (2)түрдегі теңсіздіктер жиынын аламыз.}

_{Бұдан х >2 немесе х <–1,5}

_{Жауабы: (– ; –1,5 ) ( 2;  )}

_{5-мысал ⁄ х + 5 ∕ > ⁄3– х ∕}

_{Шешуі: 1-әдіс.Квадраттау тәсілі.}

_{Теңсіздіктің екі жағы да оң болғандықтан, квадраттаймыз.}

_{Сонда х > – 1}

_{Жауабы. ( –1;  )}

_{2-әдіс . Аралықтар әдісі}

_{Модуль ішіндегі функциялардың нөлдерін тауып, аралықтардағы функция таңбаларын анықтап, модуль жақшаларын ашамыз. Нөлдері:–5;3}

А. 

В.

С.

Сонда табылған шешімдер жиыны х ( -1;  )

_{Жауабы. ( –1;  )}

_{Қосарланған модуль таңбалары бар теңсіздіктерді шешу модуль жақшаларын біртіндеп жоюға келтіріледі.}

_{6-мысал .}

_{Шешуі: І ереже негізінде 2>0 болғандықтан, оған мәндес теңсіздігін аламыз. Бұдан . Модуль анықтамасына сүйеніп, бұған мәндес теңсіздіктер жиынын аламыз. Яғни}

Жауабы: [-4;0][2;6]

Келесі теңсіздікті жаңа айнымалы енгізіп, ықшамдап шешуге болады.

7-мысал.

Шешуі: Анықталу облысы:

белгілейік. Сонда . Бұдан t≤0 немесе t>1. Белгілеудегі орнына қойсақ,

1)

2)

Осы шешімдердің бірігуі, анықталу облысына тиісті болғандықтан, берілген теңсіздікке шешім болады.

Жауабы: (–; )  {}(1; )

5. Стандарт емес тәсіл.

Кейбір модуль таңбасы бар қатаң теңсіздіктерді шешуде идеялық жағынан құнды саналатын стандарт емес әдістерді қолдану тиімді. Солардың бірі ретінде модуль қасиеттерінен туындайтын келесі тұжырымдарды айтуға болады.

Мұндағы болғандықтан ІІ теңсіздікті І теңсіздіктің салдары ретінде қарастыруға болады. Нақты мысалдар қарастырайық

8– мысал.

Шешуі. І түрдегі теңсіздік болатынын оңай көруге болады. . Олай болса, берілген теңсіздік теңсіздігімен мәндес. Аралықтар әдісімен шешеміз. Нольдері: -6; 1; 3,5

Бұдан х<–6; 1<х<3,5

Жауабы: (–; –6) (1; 3,5)

9-мысал.

Шешуі:болғандықтан, берілген теңсіздік теңсіздігімен мәндес. Тексеру –(2х–5)+(3х–6)=х–1 екенін көрсетеді. І тұжырымға сәйкес соңғы теңсіздік -(2х–5)(3х–6)<0 теңсіздігімен мәндес. Бұдан х<2;х>2,5

Жауабы: (–; 2)  (2,5; )

10-мысал.

Шешуі: Теңсіздікті ІІІ түрге келтіреміз.

Бұл теңсіздікті ІІІ тұжырым негізінде оған мәндес жүйемен және теңсіздікпен ауыстырамыз. Сонда

1) 

2)

Жауабы:

Мысалдар:

1. ⁄ 2х+3 ⁄ < 3

2. ∕ 4х-3 ∕  5

3. ⁄ 5-х ∕ < ∕ х+4 ∕

4. 

Біз модуль таңбасы бар теңсіздіктерді шешудің бірнеше әдіс-тәсілдерін қарастырдық. Оқушылар келтірілген тәсілдердің қолданылу аясын, айырмашылықтары мен артықшылықтарын, тиімділігі мен сенімділігін саралап, талдау арқылы тақырыпты толық, жан-жақты меңгеруге мүмкіндік алады. Есеп шешудің барлық мүмкін әдістерін болжай білу және қажетін таңдай алу олардың шығармашылық қабілетін дамытып, аналитикалық ақыл-ойын қалыптастырады, пәнге қызығушылығын арттырады. Бірнеше тақырыпты жалаң меңгергеннен, бір тақырыпты толық, жетік меңгерген абзал.