Методический материал по теме :"Окружность"

1	Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 18.			Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 15.
2	Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 7.			Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 7.
3	Центральный угол AOB, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 3. Найдите радиус окружности.			Центральный угол AOB опирается на хорду АВ длиной 5. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.
4	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки E, F и G таким образом, что OEFG – ромб. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.			Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC — ромб. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
5	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки E, F и G таким образом, что OEFG – ромб. Найдите угол OEF. Ответ дайте в градусах.			Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол OST. Ответ дайте в градусах.
6	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки E, F и G таким образом, что OEFG – ромб. Найдите угол OGF. Ответ дайте в градусах.			Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол OVT. Ответ дайте в градусах.

7	Точка О – центр окружности, ∠AOB=65° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).			Точка О – центр окружности, ∠AOB=34° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).
8	Точка О – центр окружности, ∠AOB=112° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).			Точка О – центр окружности, ∠AOB=107° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).
9	Точка О — центр окружности, ∠BOC=150° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).			Точка О — центр окружности, ∠BOC=114° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).
10	Точка О – центр окружности, ∠ACB=35° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).			Точка О – центр окружности, ∠ACB=43° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).
11	Точка О – центр окружности, ∠ACB=37° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).			Точка О – центр окружности, ∠ACB=56° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).
12	Точка О – центр окружности, ∠ACB=39° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).			Точка О – центр окружности, ∠ACB=18° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).
13	Точка О — центр окружности, ∠BAC=56° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).			Точка О — центр окружности, ∠BAC=62° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).
14	Точка О — центр окружности, ∠BOC=65° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).			Точка О — центр окружности, ∠BOC=83° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).
15	Точка О — центр окружности, ∠BOC=109° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).			Точка О — центр окружности, ∠BOC=124° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).
16	В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.			В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD.
	Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.			Диагональ прямоугольника образует угол 44° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
17	На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.			На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=39°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
18	На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=65°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах			На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=81°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

19	Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 27°.			Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 113°.
20	Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=27° и ∠OAB=9°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.			Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=41° и ∠OAB=15°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
21	Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=112° и ∠OAB=59°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.			Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=103° и ∠OAB=24°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
22	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.			Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
23	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.			Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

24	Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=25°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.			Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=88°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
25	Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.			Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=123°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
26	Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.			Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 16°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
27	В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.			В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 20°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
28	Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 2°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.			Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 6°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

29	Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 112°.			Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 126°.
30	Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 49°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.			Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 53°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
31	Прямая касается окружности в точке K. Центр окружности — точка O. Хорда KM образует с касательной угол, равный 34°. Найдите величину угла KOM. Ответ дайте в градусах.			Прямая касается окружности в точке K. Центр окружности — точка O. Хорда KM образует с касательной угол, равный 37°. Найдите величину угла KOM. Ответ дайте в градусах.
32	В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.			В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
33	Отрезок AB=40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.			Отрезок AB=18 касается окружности радиуса 80 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

34	На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=35 и BC=10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.			На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=48 и BC=10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
35	К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=12°, AO=13°.			К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=40, AO=85.
36	Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=75°. Ответ дайте в градусах.			Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=64°. Ответ дайте в градусах.
37	На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги окружности.			На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=39°. Длина меньшей дуги AB равна 65. Найдите длину большей дуги.
38	Сторона AB треугольника ABC проходит через центр окружности радиуса 14,5, описанной около него. Найдите AC, если BC=21.			Сторона AB треугольника ABC проходит через центр окружности радиуса 10, описанной около него. Найдите AC, если BC=16.

39	Длина хорды окружности равна 96, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 20. Найдите диаметр окружности.			Длина хорды окружности равна 42, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 72. Найдите диаметр окружности.
40	Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.			Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
41	Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.			Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 79.
42	Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.			Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
43	На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 9°?			На рисунке изображено колесо с пятью спицами. Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 40°?

44	Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 7:00?			Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 11:00?
45	Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 12:00?			Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 15:00?
46	Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 2 минуты?			Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 8 минут?
47	Две трубы, диаметры которых равны 48 см и 55 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.			Две трубы, диаметры которых равны 9 см и 12 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.

	В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.	В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=12.	В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90∘. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.
	В треугольнике ABC известны длины сторон AB=84, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.	Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен 125. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.	Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 48, тангенс угла BAC равен 1235. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
	Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.	На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC=12, BC=18 и CD=8.	На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB≠AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=63, MD=21, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
	Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=39−−√8.	Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=7√4.
	Окружности радиусов 29 и 87 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.	Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
	Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
	В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Краткое описание документа:

Предлагается подборка задач по теме:" Окружность", собранных из материалов открытого банка ОГЭ по математике сайта ФИПИ. Задания могут быть использованы учителем при подготовки учащихся 9-х классов к итоговой аттестации в модуле " Геометрия" первой части. По данным заданиям можно провести итоговый зачет.