Методический материал с примерами решений на тему « применение метода декомпозиции при решении неравенств»

Метод декомпозиции

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).

Выражение F

Выражение G

1

1а

1б

2

2а

2б

3

(с≠1, a≠1)

4

4а

5

(k>0; c>0)

6

|f| - |k|

Из данных выражений можно вывести некоторые следствия ( с учетом области определения):

0  0

В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >, <, ≤, ≥

Объяснение полученных выражений

1. Пусть , т.е. , причем a>0; a≠1; c>0; b>0

1. Пусть a> 1 тогда из неравенства

Следует, ввиду того, что b>0 и c>0 ( по области допустимых значений логарифма ) и логарифмическая функция с основанием, большим единице, функция возрастающая, получаем, что bc, то есть b-c0. Значит выполняется система неравенств

Следовательно (a-1)(b-c)0.

2. Пусть 0<a<1 то из неравенства

Следует, что b>0, c>0 и логарифмическая функция с основанием, меньшим единице, убывающая, получаем, что b≤c, то есть b-c≤0. Тогда получаем систему неравенств

Следовательно (a-1)(b-c)0.

Следствие: при всех допустимых значениях a,b и с неравенство

^0

равносильно неравенству

(a-1)(b-c)0.

1.A) Пусть

Заменим

Если а>1, то f> то по свойству возрастающей логарифмической функции b>a. Значит выполняется система неравенств

Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции b<a. Значит выполняется система неравенств

Откуда следует неравенство

1.Б) Пусть

Заменим данное неравенство на .

Если а>1, то a-1>0, b-1>0, Отсюда следует неравенство

Если 0<а<1, то a-1<0, b-1<0. Отсюда следует аналогичное неравенство.

2.Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда

=

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

2.А) Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда

= или

2.б) = или

3.Так как

4.Из неравенства следует . Пусть число a >1, тогда

. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем

Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0

4.А) . Пусть некоторое число а>1, тогда . Откуда следует, что

Применив замену 1.б, получаем b(a-1)(k-1)>0,b(k-1)

5. Дано неравенство Пусть а>1, тогда

Используя замену 1, получаем b(a-1)(k-c)>0, b(k-c)>0,

Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0 .

6.Так как неравенство , то

Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами

1.Метод интервалов

Найдем ОДЗ

Ответ:(-3/2;-1)U(-1;0)U(0;3)

1. Метод интервалов

ОДЗ

a) b)

Ответ: (-5/3;-1]

≤0

Ответ:[0;4]

Задачи для закрепления

1. -

Алгоритм решения неравенств

1. Найти область допустимых значений( ОДЗ).

2. Представить неравенство в таком виде, чтобы справа от знака неравенства стоял 0, а слева разность выражений.

3. Записать неравенство по одной из формул в таблице.

4. Составить систему уравнений.

5. Решить систему уравнений .

Вывод

Метод декомпозиции облегчает решении неравенств различного вида, и его всегда можно использовать при решение логарифмических неравенств с переменным основанием, что позволит сделать неравенство проще и снизит вероятность допустимой ошибки.

Список использованных источников

1) Самсонов, П. И. О решении логарифмических и показательных неравенств // Математика в школе. — 2002. — № 8.

2) Самсонов П. И. Предупреждение ошибок школьников, вызванных ошибочными ассоциациями // Международный журнал экспериментального образования. — 2010. — № 1.

3) Самсонов П. И., Семенов А. В. Задание С3: как предупредить ошибки // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». — 2010. — № 20.