1477199
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМетодический материал с примерами решений на тему « применение метода декомпозиции при решении неравенств»

Методический материал с примерами решений на тему « применение метода декомпозиции при решении неравенств»

Проверен экспертом
IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Идёт приём заявок Для дошкольников и учеников 1-11 классов 16 предметов ОРГВЗНОС 25 Р. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Метод декомпозиции

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).



Выражение F

Выражение G

1













2













3



(с≠1, a≠1)




4








5


(k>0; c>0)


6


|f| - |k|




Из данных выражений можно вывести некоторые следствия ( с учетом области определения):





0  0





В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >, <, ≤, ≥





Объяснение полученных выражений

  1. Пусть , т.е. , причем a>0; a≠1; c>0; b>0

  1. Пусть a> 1 тогда из неравенства



Следует, ввиду того, что b>0 и c>0 ( по области допустимых значений логарифма ) и логарифмическая функция с основанием, большим единице, функция возрастающая, получаем, что bc, то есть b-c0. Значит выполняется система неравенств



Следовательно (a-1)(b-c)0.

  1. Пусть 0<a<1 то из неравенства



Следует, что b>0, c>0 и логарифмическая функция с основанием, меньшим единице, убывающая, получаем, что bc, то есть b-c≤0. Тогда получаем систему неравенств



Следовательно (a-1)(b-c)0.

Следствие: при всех допустимых значениях a,b и с неравенство

^0

равносильно неравенству

(a-1)(b-c)0.

1.A) Пусть

Заменим

Если а>1, то f> то по свойству возрастающей логарифмической функции b>a. Значит выполняется система неравенств

Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции b<a. Значит выполняется система неравенств



Откуда следует неравенство

1.Б) Пусть

Заменим данное неравенство на .

Если а>1, то a-1>0, b-1>0, Отсюда следует неравенство

Если 0<а<1, то a-1<0, b-1<0. Отсюда следует аналогичное неравенство.



2.Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда

=

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения



2.А) Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда

= или

2.б) = или

3.Так как




4.Из неравенства следует . Пусть число a >1, тогда

. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем



Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0

4.А) . Пусть некоторое число а>1, тогда . Откуда следует, что



Применив замену 1.б, получаем b(a-1)(k-1)>0,b(k-1)



5. Дано неравенство Пусть а>1, тогда







Используя замену 1, получаем b(a-1)(k-c)>0, b(k-c)>0,

Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0 .



6.Так как неравенство , то



































































Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами



1.Метод интервалов





Найдем ОДЗ









Ответ:(-3/2;-1)U(-1;0)U(0;3)




1. Метод интервалов





ОДЗ

a) b)













Ответ: (-5/3;-1]









0







Ответ:[0;4]

































Задачи для закрепления

  1. -

Алгоритм решения неравенств

  1. Найти область допустимых значений( ОДЗ).

  2. Представить неравенство в таком виде, чтобы справа от знака неравенства стоял 0, а слева разность выражений.

  3. Записать неравенство по одной из формул в таблице.

  4. Составить систему уравнений.

  5. Решить систему уравнений .

Вывод

Метод декомпозиции облегчает решении неравенств различного вида, и его всегда можно использовать при решение логарифмических неравенств с переменным основанием, что позволит сделать неравенство проще и снизит вероятность допустимой ошибки.

































Список использованных источников



1) Самсонов, П. И. О решении логарифмических и показательных неравенств // Математика в школе. — 2002. — № 8.

2) Самсонов П. И. Предупреждение ошибок школьников, вызванных ошибочными ассоциациями // Международный журнал экспериментального образования. — 2010. — № 1.

3) Самсонов П. И., Семенов А. В. Задание С3: как предупредить ошибки // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». — 2010. — № 20.



Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

https://docs.google.com/file/d/1UCl9BNqTme61jdQPysho-Kd1L5Uleyiq/edit?filetype=msword (Ссылка на материал)

https://drive.google.com/file/d/1qICr083XS1iyGJ9TN2tbjReaJxWJu7aJ/view (Ссылка на методический материал в формате PDF)

https://drive.google.com/file/d/1Qd93l7mCJpanKR6b9nVsrqjZYPShk4EM/view?usp=drivesdk (Ссылка на аннотацию методического материала в формате PDF)

ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку
26-28 октября 2019 I МЕЖДУНАРОДНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ «ИНФОФОРУМ» «Современные тенденции в воспитании и социализации детей» Подать заявку Очное участие Дистанционное участие Курс повышения квалификации (36 часов) + Сертификат участника “Инфофорума”
IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Для дошкольников и учеников 1-11 классов Рекордно низкий оргвзнос 25 Р. 16 предметов ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Подростковый возраст - важнейшая фаза становления личности»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Правовое обеспечение деятельности коммерческой организации и индивидуальных предпринимателей»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС педагогических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «История и философия науки в условиях реализации ФГОС ВО»
Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Организация маркетинга в туризме»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.