Метод декомпозиции
Метод
декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение
G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).
№
|
Выражение F
|
Выражение G
|
1
1а
1б
|



|



|
2
2а
2б
|



|



|
3
|

(с≠1, a≠1)
|

|
4
4а
|


|


|
5
|

(k>0;
c>0)
|

|
6
|
|f| - |k|
|

|
Из
данных выражений можно вывести некоторые следствия ( с учетом области
определения):


0 ó
0


В
указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств:
>, <, ≤, ≥
Объяснение полученных выражений
1.
Пусть
, т.е.
, причем a>0; a≠1; c>0; b>0
1) Пусть a> 1 тогда из неравенства

Следует, ввиду того,
что b>0 и c>0 ( по области
допустимых значений логарифма ) и логарифмическая функция с основанием, большим
единице, функция возрастающая, получаем, что b
c, то есть b-c
0. Значит
выполняется система неравенств

Следовательно (a-1)(b-c)
0.
2) Пусть 0<a<1 то из неравенства

Следует, что b>0, c>0 и логарифмическая
функция с основанием, меньшим единице, убывающая, получаем, что b≤c, то есть b-c≤0. Тогда получаем систему
неравенств

Следовательно (a-1)(b-c)
0.
Следствие: при всех допустимых значениях a,b и с неравенство
^0
равносильно неравенству
(a-1)(b-c)
0.
1.A) Пусть 
Заменим 
Если а>1, то f>
то по
свойству возрастающей логарифмической функции b>a. Значит выполняется система неравенств
Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической
функции b<a. Значит выполняется система
неравенств

Откуда следует неравенство 
1.Б) Пусть 
Заменим данное неравенство на
.
Если а>1, то a-1>0, b-1>0, Отсюда следует неравенство 
Если 0<а<1, то a-1<0, b-1<0. Отсюда следует аналогичное неравенство.
2.Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда
= 
Знак последнего выражения
совпадает со знаком выражения

2.А) Пусть некоторое число
а>0, a≠1, тогда
=
или 
2.б)
=
или 
3.Так
как


4.Из неравенства
следует
. Пусть
число a >1, тогда
. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем

Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0
4.А)
. Пусть
некоторое число а>1, тогда
. Откуда
следует, что

Применив замену 1.б, получаем b(a-1)(k-1)>0,b(k-1)
5. Дано неравенство
Пусть
а>1, тогда



Используя замену 1, получаем b(a-1)(k-c)>0, b(k-c)>0,
Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0 .
6.Так как неравенство
, то 

Рассмотрим
пример решения логарифмического неравенства двумя методами

1.Метод интервалов


Найдем ОДЗ










Ответ:(-3/2;-1)U(-1;0)U(0;3)

1. Метод интервалов








ОДЗ
a)
b)



Ответ:
(-5/3;-1]



≤0


Ответ:[0;4]




Задачи для закрепления
1)
-
2)

3) 
Алгоритм решения неравенств
1. Найти
область допустимых значений( ОДЗ).
2. Представить
неравенство в таком виде, чтобы справа от знака неравенства стоял 0, а слева
разность выражений.
3. Записать
неравенство по одной из формул в таблице.
4. Составить
систему уравнений.
5. Решить
систему уравнений .
Вывод
Метод декомпозиции
облегчает решении неравенств различного вида, и его всегда можно использовать
при решение логарифмических неравенств с переменным основанием, что позволит
сделать неравенство проще и снизит вероятность допустимой ошибки.
Список использованных источников
1) Самсонов, П. И. О решении логарифмических и
показательных неравенств // Математика в школе. — 2002. — № 8.
2) Самсонов П. И. Предупреждение ошибок школьников, вызванных
ошибочными ассоциациями // Международный журнал экспериментального образования.
— 2010. — № 1.
3) Самсонов П. И., Семенов А. В. Задание С3: как
предупредить ошибки // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». —
2010. — № 20.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.