Метод декомпозиции
Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).
№ Выражение F
Выражение G
1
1а
1б
2
2а
2б
3
(с≠1, a≠1)
4
4а
5
(k>0; c>0)
6
|f| - |k|
Из данных выражений можно вывести некоторые следствия ( с учетом области определения):
0 0
В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >, <, ≤, ≥
Объяснение полученных выражений
Пусть , т.е. , причем a>0; a≠1; c>0; b>0
Пусть a> 1 тогда из неравенства
Следует, ввиду того, что b>0 и c>0 ( по области допустимых значений логарифма ) и логарифмическая функция с основанием, большим единице, функция возрастающая, получаем, что bc, то есть b-c0. Значит выполняется система неравенств
Следовательно (a-1)(b-c)0.
Пусть 0<a<1 то из неравенства
Следует, что b>0, c>0 и логарифмическая функция с основанием, меньшим единице, убывающая, получаем, что b≤c, то есть b-c≤0. Тогда получаем систему неравенств
Следовательно (a-1)(b-c)0.
Следствие: при всех допустимых значениях a,b и с неравенство
^0
равносильно неравенству
(a-1)(b-c)0.
1.A) Пусть
Заменим
Если а>1, то f> то по свойству возрастающей логарифмической функции b>a. Значит выполняется система неравенств
Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции b<a. Значит выполняется система неравенств
Откуда следует неравенство
1.Б) Пусть
Заменим данное неравенство на .
Если а>1, то a-1>0, b-1>0, Отсюда следует неравенство
Если 0<а<1, то a-1<0, b-1<0. Отсюда следует аналогичное неравенство.
2.Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда
=
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
2.А) Пусть некоторое число а>0, a≠1, тогда
= или
2.б) = или
3.Так как
4.Из неравенства следует . Пусть число a >1, тогда
. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем
Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0
4.А) . Пусть некоторое число а>1, тогда . Откуда следует, что
Применив замену 1.б, получаем b(a-1)(k-1)>0,b(k-1)
5. Дано неравенство Пусть а>1, тогда
Используя замену 1, получаем b(a-1)(k-c)>0, b(k-c)>0,
Аналогично доказываются неравенства b<0, b≤0, b≥0 .
6.Так как неравенство , то
Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами
1.Метод интервалов
Найдем ОДЗ
Ответ:(-3/2;-1)U(-1;0)U(0;3)
1. Метод интервалов
ОДЗ
a) b)
Ответ: (-5/3;-1]
≤0
Ответ:[0;4]
Задачи для закрепления
-
Алгоритм решения неравенств
Найти область допустимых значений( ОДЗ).
Представить неравенство в таком виде, чтобы справа от знака неравенства стоял 0, а слева разность выражений.
Записать неравенство по одной из формул в таблице.
Составить систему уравнений.
Решить систему уравнений .
Вывод
Метод декомпозиции облегчает решении неравенств различного вида, и его всегда можно использовать при решение логарифмических неравенств с переменным основанием, что позволит сделать неравенство проще и снизит вероятность допустимой ошибки.
Список использованных источников
1) Самсонов, П. И. О решении логарифмических и показательных неравенств // Математика в школе. — 2002. — № 8.
2) Самсонов П. И. Предупреждение ошибок школьников, вызванных ошибочными ассоциациями // Международный журнал экспериментального образования. — 2010. — № 1.
3) Самсонов П. И., Семенов А. В. Задание С3: как предупредить ошибки // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». — 2010. — № 20.
