Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методический материал "Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу" (11 класс)

Методический материал "Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу" (11 класс)

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу


Карыбаева Сауле Шешкеновна – Қарақол орта мектеп-бақшасының математика пәнінің мұғалімі, ҚР Білім беру ісінің үздігі


Математика пәнін тереңдетіп оқытатын сыныптарда жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу мәселесі кеңінен қарастырылады.

Мұндай теңдеулерді шешудің түрлі әдістері бар.

1-әдіс. Безу теоремасына сүйеніп, теңдеудің дәрежесін біртіндеп төмендету.

Бұл әдіс теңдеудің рационал, дербес жағдайда бүтін, түбірлері бар болған жағдайда қолайлы болып табылады. Оның мәні теңдеудің сол жақ бөлігіндегі көпмүшені рационал түбірлері арқылы көбейткіштерге жіктеу.

Бұл әдісті меңгерту үшін оқушыларға француз математигі Безу (1730-1783) есімімен аталатын теореманы және көпмүше түбіріне байланысты негізгі тұжырымдарды таныстырып (дәлелдеуін келтіріп) өткен жөн.

Айталық, hello_html_m36670894.gif көпмүшесі берілсін.

Теорема 1. (Безу теоремасы). Р(х) көпмүшесін x-a екімүшесіне бөлгендегі қалдық Р(х) -тің x=a болғандағы мәніне тең.

Сонда hello_html_37485d5c.gif болса, мұндағы R=P(a).

Теорема 2. Р(х) көпмүш x-a екімүшесіне қалдықсыз бөлінгенде, тек сонда ғана a саны Р(х) көпмүшесінің түбірі болады.

Яғни Р(х) көпмүшесін hello_html_585297ad.gif түрінде көбейткіштерге жіктеуге болады. Мұндағы Q(x) дегеніміз (n-1)-ші дәрежелі бөлінді көпмүше, ол Р(х)-ті x-a екімүшеге бөлгенде пайда болады.

Осылайша Р(х)=0 теңдеуі х=а түбірі табылғаннан кейін Q(x)=0 теңдеуін шешуге келтіріледі.

Егер теңдеу бүтін коэффициентті болса, онда оның рационал түбірлерін табу үшін келесі теоремаға сүйенеміз.

Теорема 3. Егер hello_html_m2f646568.gif қысқартылмайтын бөлшегі бүтін коэффициентті hello_html_m1eafd327.gif теңдеуінің түбірі болса, онда р саны hello_html_21d5a54f.gif бос мүшенің бөлгіші, ал q саны hello_html_m306ad2f8.gif бас коэффициенттің бөлгіші болады.

Бұл теоремадан келесі екі салдар айқындалады.

Салдар 1. Бүтін коэффициентті теңдеудің кез келген бүтін түбірі бос мүшенің бөлгіші болады.

Салдар 2. Бүтін коэффициентті келтірілген (hello_html_7d488765.gif) теңдеудің рационал түбірі бар болса, онда ол бүтін сан болады.

Жоғарыда көрсетілген hello_html_37485d5c.gif, яғни hello_html_6d58232b.gif жазуындағы Q(x) көпмүшесінің коэффициенттері мен R қалдығын Горнер схемасының көмегімен оңай табуға болады.


hello_html_422cb331.gif

hello_html_m347226c3.gif

hello_html_43272566.gif

...

hello_html_m2fff18ca.gif

hello_html_21d5a54f.gif

х

b00

b1=a1+αb0

b2=a2+αb1

...

bn-1=an-1+αbn-2

R= an+αbn-1

Бұл кестенің бірінші жолында Р(х) көпмүшесінің коэффициенттері, ал екінші жолда Q (x) бөлінді көпмүшенің коэффициенттері мен қалдық.

Енді теңдеулер шешуді нақты мысалдармен көрсетейік.

1-мысал. hello_html_m5daec3b0.gif

Шешуі: 1-ші салдарға сүйеніп, егер бар болса, бос мүше бөлгіштері: ±1; ±2; ±4; ±8 сандары ішінен бүтін түбірлерін іздейміз. х=-4 түбірі болатынына көз жеткізуге болады. Горнер схемасын пайдаланып теңдеудің сол жақ бөлігіндегі көпмүшені х+4 екімүшеге бөлеміз.


5

18

-10

-8

х=-4

5

-2

-2

0

Сонда 1 дәрежеге төмендеген hello_html_6f940649.gif квадрат теңдеуі шығады. Оны шешіп, hello_html_m118687fd.gif түбірлерін табамыз.

Жауабы: hello_html_m50ca2e8.gif

2-мысал. hello_html_m7f1cd6bd.gif

Шешуі: 2-ші салдарға сүйеніп келтірілген бүтін коэффициентті теңдеудің бүтін түбірлері бар болса, бос мүше бөлгіштері ішінен іздейміз. Тексеру х=2 саны түбір болатынын көрсетеді. Горнер схемасын пайдаланып теңдеудің сол жақ бөлігіндегі көпмүшені х-2 екімүшеге бөлеміз.


1

-2

-9

18

20

-40

х=2

1

0

-9

0

20

0

Осылайша hello_html_m119fb4cb.gif биквадрат теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді шешіп, hello_html_1fa6221c.gif түбірлерін табамыз.

Жауабы: hello_html_67f28018.gif

Теңдеу шешуде Безу теоремасын қолдану үнемі тиімді тәсіл деуге болмайды. Теңдеудің рационал түбірлері болмайтын жағдайда Безу теоремасын тіпті де қолдануға келмейді. Сондықтан жоғары дәрежелі теңдеулерді шешудің басқа да ұтымды тәсілдерін қолдансақ, есеп шешу әлдеқайда жеңілдейді.

2-әдіс. Топтау арқылы көбейткіштерге жіктеу.

3-мысал. hello_html_2b04ed19.gif

Шешуі: Қосылғыштардың алғашқы екеуі мен соңғы екеуін топтап, ортақ көбейткіштерін жақша сыртына шығара отырып, көбейткіштерге жіктейміз. Сонда hello_html_m3a8c2f1b.gif, бұдан hello_html_m779f413c.gif, яғни hello_html_m49403a22.gif теңдеуін аламыз. Мұндағы hello_html_m49f64586.gif өрнегі ч-тің кез келген мәндері үшін оң мәнге ие болғандықтан, hello_html_m71ccd236.gif теңдеуін шешсе жеткілікті. Демек, hello_html_m70c8a5cc.gif.

Жауабы: hello_html_m70c8a5cc.gif

Бұл теңдеуді 1-ші әдіспен де шешуге болады (3-теоремаға сүйенеміз).

4-мысал. hello_html_m7097410.gif

Шешуі: Әрбір екі қосылғыштан ретімен топтай отырып, көбейткіштерге жіктейміз. Сонда hello_html_5f142894.gif. Бұдан hello_html_5869867b.gif, бұдан hello_html_m4d9706a6.gif теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу hello_html_m43801373.gifhello_html_17cc9ab2.gif теңдеулер жиынымен мәндес. Оларды шешіп, hello_html_m52913b2f.gifhello_html_m754b6cd4.gif түбірлерін табамыз.

Жауабы: hello_html_65d01e2b.gifhello_html_m754b6cd4.gif

3-әдіс. Жаңа айнымалы енгізу әдісі.

Мысал қарастырмастан бұрын теңдеу шешуде жиі кездесетін алмастыруларға тоқталайық.

  1. hello_html_m45f0cfda.gifалмастыруы. Дербес жағдайда hello_html_71c64ebf.gif белгілеуін енгізу арқылы hello_html_m2dfba8a9.gif биквадрат теңдеуі шешіледі.

  2. hello_html_40288e8d.gifнемесе hello_html_m2a32f491.gif алмастыруы. Мұндағы hello_html_358b6473.gif - көпмүше. Мұндай алмастырудың көп кездесетін түрі hello_html_m6f290214.gif немесе hello_html_m2866149e.gif

  3. hello_html_m6dbf6dfe.gifалмастыруы, мұндағы hello_html_358b6473.gif пен hello_html_17480011.gif - көпмүшелер. Мысалы hello_html_m6760f361.gif алмастыруы арқылы hello_html_m366aa050.gifтүріндегі төртінші дәрежелі қайталамалы (возвратные) теңдеуі шешіледі.

Теңдеу шешу кезінде ескеретін жағдай: 1) мүмкін болған жағдайда бірден жаңа айнымалы енгізілуі керек; 2) жаңа айнымалыға қатысты алынған теңдеуді толық шешіп, егер бөгде түбірлері пайда болса, оларды алып тастап, содан кейін ғана бастапқы айнымалыға қайтып оралу керек.

5-мысал. hello_html_m1e27e5c0.gif

Шешуі: х=0 саны теңдеуге түбір болмайтындықтан, теңдеудің екі бөлігін де х²-қа бөліп hello_html_5ffd92f6.gif теңдеуін аламыз. hello_html_65f28a8f.gif белгілеуін енгіземіз, онда hello_html_m51acdf47.gif. Сонда берілген теңдеу hello_html_e4bf8bc.gif түріне келеді. hello_html_m2f42f19.gif табылған түбірлерді белгілеудегі орнына қойсақ, hello_html_419f8814.gif немесе hello_html_m2c17e88a.gif. Бұдан hello_html_4d64906d.gif, hello_html_429fddd2.gif теңдеулер жиынын аламыз. Оларды шешіп, hello_html_6656bb9b.gif, hello_html_20762746.gif түбірлерін аламыз.

Жауабы: hello_html_6656bb9b.gif, hello_html_20762746.gif

6-мысал. hello_html_6a4cf9d6.gif

Шешуі: hello_html_m3fdfa218.gif белгілеуін енгіземіз. Сонда hello_html_m1ae6e476.gif теңдеуін аламыз. hello_html_24ff0641.gif формуласын пайдаланып, hello_html_m1cd41f78.gif теңдеуін аламыз. Осыдан hello_html_73c6ba58.gif теңдеулер жиынын аламыз. Біріншісінің шешімі жоқ, екіншісінің шешімі hello_html_m67cd334e.gif. Белгілеудугі орнына қойсақ, hello_html_6d008f41.gif немесе hello_html_m59744294.gif. Бұл теңдеулерді шешіп, hello_html_454e0f43.gif түбірлерін табамыз.


Жауабы: hello_html_454e0f43.gif

4-әдіс. Феррари әдісі.

XIV ғасырда итальяндық математик Л.Феррари (1522-1566 жж.) төртінші дәрежелі теңдеу шешудің жаңа әдісін тапты. Бұл әдістің негізгі идеясы теңдеудің екі бөлігін толық квадратқа келтіру болып табылады.

7-мысал. hello_html_m67644d1e.gif

Шешуі: Теңдеудің сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіретіндей түрлендіру жасайық. Сонда hello_html_428fed22.gif теңдеуін аламыз. Енді теңдеудің екі бөлігін де толық квадратқа түрлендіру үшін а параметрін енгіземіз. Сонда теңдеудің сол жақ бөлігі былай түрленеді: hello_html_4d79ca8b.gif, бұл hello_html_48a32960.gif толық квадрат болады. Бұдан теңдеудің екі бөлігіне де hello_html_m68f5e506.gif өрнегін қосу керектігін көреміз. Сонда теңдеу hello_html_742156e1.gif түріне келеді. Енді теңдеудің оң жақ бөлігі де толық квадрат болатындай а параметрінің нақты мәндерін табамыз. Ол үшін дискриминант hello_html_43b2676b.gif болуы қажетті және жеткілікті. hello_html_m6a7f38e.gif. Сонда hello_html_10d52b8f.gif теңдеуін шешеміз. Бос мүше бөлгіштерінен hello_html_14155182.gif түбірін оңай табуға болады.


4

-1

22

-25

а=1

4

3

25

0

а-1 екімүшеге бөлсек, hello_html_5137db5e.gif нақты шешімі жоқ теңдеу аламыз.

Демек, hello_html_m69afec35.gif. Бұл мәнді орнына қойсақ, hello_html_m159107c9.gif, бұдан hello_html_m377a4add.gif теңдеуі шығады. Квадраттар айырмасын көбейтіндіге түрлендірсек, hello_html_m7c7dea45.gif шығады. Сонда hello_html_m76b27be9.gif

Жауабы: hello_html_34ea968d.gif

Математиканы тереңдетіп оқитын 11 сыныптардың емтихан есептері жинағында комплекс сандар жиынында шешуге бірнеше теңдеулер берілген. Алгебраның негізгі (Гаус теоремасы) теоремасына сүйеніп, комплекс сандар өрісінде n-ші дәрежелі теңдеудің n түбірін табуға болады.

7-мысал. hello_html_m4dcfff3e.gif

Шешуі: Бос мүше бөлгіштерінен hello_html_472c9369.gif түбірін оңай табамыз.


12

-56

107

-107

56

-12

х=1

12

-44

63

-44

12

0

hello_html_m3f7ca004.gifекімүшеге бөлгенде hello_html_mc2b2e87.gif теңдеуі шығады.

6-мысалдағыдай теңдеудің екі бөлігін х²-қа бөліп, hello_html_m59e2b6a6.gif белгілеуін енгізсек, hello_html_m7fabdd26.gif теңдеуі шығады. Бұдан hello_html_29aa32a.gif Белгілеудегі орнына қойсақ, келесі теңдеулер жиынын аламыз: hello_html_m52ca0ba5.gif

Жауабы: hello_html_55cce876.gif

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешудің түрлі әдіс-тәсілдері бар. Мектеп алгебрасында мұндай теңдеулер жан-жақты қарастырылмайды, ал техникада, физикада, механикада олар жиі кездеседі. Сондықтан математикалық үйірмелерде, факультативтік сабақтарда бұл материалдармен оқушыларды таныстырған жөн болады.


Шығыс Қазақстан облысы

Үржар ауданы

Тел: 7(72230)55551

87773810150


Общая информация

Номер материала: ДВ-500595

Похожие материалы