331200
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодический семинар в помощь учителям математики

Методический семинар в помощь учителям математики

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Методический семинар в помощь учителям математики

Лемма о «дважды биссектрисе» треугольника

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающееся равенством hello_html_29f847a.gif (рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l2a=bc-xy и la=hello_html_7dc596a7.gif (см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулу la =hello_html_m1d50ad5d.gif

C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan2.tif

Все это так.Биссектриса-один из главных отрезков в геометрии треугольника.

Мы же сейчас поведем разговор о менее популярном,но чрезвычайно важном,необходимом свойстве биссектрисы.О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой,проведенной из вершины того же угла.Иными словами,la (биссектриса угла А)является биссектрисой угла ОАН1(рис.2)

C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan2.tif

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараемся аргументированно показать,насколько оно полезно при решении геометрических задач.

Лемма. Биссектриса lа треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН1 , где О- центр окружности,описанной около треугольника АВС,АН1 –его высота (рис.3)

C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\Scan2.tif

Доказательство.Угол АОС является центральным, hello_html_7721c9d3.gif.Но и <ВАН1=90°-<В(из треугольника ВАН1)Поскольку биссектриса la делит угол ВАС пополам,то отняв от равных углов САL1 и BAL1 равные части,мы вновь получим равные углы.Поэтому hello_html_73a93552.gif.Лемма доказана.

Задача1.Дан треугольник АВС.Серединный перпендикуля к стороне ВС и продолжение биссектрисы la пересекаются в точке Q (рис 4) Докажите что точка Q лежит на окружности с центромО,описанной около треугольника АВС.

Свойство серединного перпендикуляра и биссектрисы.Продолжение биссектрисы пересекается с серединым перпендикуляром в точке,лежащей на окружности описанной около треугольника.

hello_html_5c2e2020.png

Доказательство.Проведем высоту АН1 и радиус ОА.hello_html_3c88520e.gif- как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (АН1 OQ) Следовательно,треугольник АОQ-равнобедренный,причем ОQ=ОА=Rокр.А это и означает,что точка Q принадлежит окружности,описанной около треугольника АВС.

Краткое описание документа:

Любителям геометрии известно достаточно много фактов«из жизни» биссектрисытреугольника.Сюда следует отнести:свойство биссектрисы, выражающеесяравенством(рис 1).То,что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.Две знаменитые формулы:l2a=bc-xy иla=(см.рис.1) И даже несколько изысканную,но также весьма полезную формулуla=

Общая информация

Номер материала: 283445

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.