Инфоурок Другое Другие методич. материалыМетодическое пособие

Методическое пособие

Скачать материал

МЕТОДИЧЕСКОЕ

ПОСОБИЕ

для дополнительных занятий по математике

”Уравнения с параметрами”

Автор: Сагитова Л.М. - преподаватель математики Мелеузовского индустриального колледжа

                                   2015г.                        

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения с параметрами, частично входящие в курс школьной математики, составляют один из важнейших разделов элементарной математики. Изучение уравнений с одним неизвестным, множество его решений, равносильность уравнений и прочее - все это только начало изучения и подготовка средств для исследования гораздо более содержательных объектов - уравнений с параметрами. Важная роль уравнений с параметрами определяется прежде всего тем, что обычные уравнения с одним неизвестным лишь частные случаи соответствуюших уравнений с параметром. Кроме того, уравнения с параметрами сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования. К уравнениям с параметрами сводится многочисленные задачи из физики и других наук.

В начале каждого параграфа дается краткая характеристика одного из методов решения уравнений с параметром, далее рассматриваются решения примеров, в конце каждого параграфа даны задачи для самостоятельного решения и некоторые ответы к ним.

S 1.0сновные понятия.

Необходимо помнить следующие определения и замечания:

Определение 1. Уравнение с одним неизвестным х и одним параметром а в общем случае записывается в 0 (1),  - произвольная функция.

Определение 2. Решением уравнения ( 1 ) называется пара (хо,ао), при подстановке которой в уравнении( 1 ) получается верное числовое равенство.

Определение З. Решить уравнение ( 1 ) - значит найти все его решение или доказать, что решений нет. При этом ответ записывается так, чтобы для любого а 0 Е R было указано, какие значения неизвестного х в паре с ао дают решения уравнения ( 1 ).

Определение 4. Уравнение д(х,а)=() (2) называется следствием уравнения

Лх,а) = 0 (1), если все решение уравнений (1) являются решениями уравнения

Определение 5. Уравнения (1) и д(х,а)=0 (2) называются эквивалентными на множестве М R х R, если они имеют на этом множестве одни и те же решения. Это обозначается так: (1) (2) ; если , то так:

Определение 6. Пусть даны уравненияЛх,а)=0 (1) и д(х,а)=0 (2) и Ml,M2 множество всех решений уравнений (1) и (2) соответственно, тогда: решить систему (конъюнкцию) уравнений (1) и (2) - это значит найти

пересечение множеств М 1 и М 2 , обозначается система так:

д(х, а) = 0

Решить совокупность (дизъюнкцию) уравнений (1) и (2) - это значит найти f(x, а) = 0 объединение множеств М1 и М 2 , обозначается совокупность так:

д(х, а) = 0 илиЛх,а)=0 v д(х,а)=0.

Определение 7.Пусть даны уравненияЛх,а)=0 (1), д(х,а)=0 (2) и h(x,a)=O (З); М 1 и мз - множество их решений соответственно, тогда:

(1)

Решить системосовокупность, например вида(2) - это значит найти

(3) множество (М 2 lJM3 )ПМ1.

2

Решить системосовокупность, например вида (2) - это значит найти

следующее множество(М2 ПМ з )

Определение 8. Системосовокупность называется смешанной, если в нее входят как уравнения, так и неравенства.

Определение 9. Две смешанные системосовокупности называются эквивалентными на множестве М, если на этом множестве они имеют одни и те же решения.

Все эти определения станут яснее в дальнейшем.

Замечание 1.

Решение уравнений дано в лаконичной форме, очевидные элементарные преобразования опущены. При разборе решения задач рекомендую их восстановить.

Замечание 2.

При решении уравнений встречающиеся графики, как правило, не строятся, а считается заданными, потому что построение графиков здесь - не цель, а вспомогательное средство для решения уравнений.

Замечание З.

Иногда дается решение одного и того же уравнения различными методами, это сделано с целью сравнения.

р ЗНАКОМСТВО С ПАРАМЕТРОМ.

Необходимо усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет <<общаться» с параметром как с числом, а во-вторых — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите деликатного общения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать примеры настоящей главы.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

1.     Решить уравнение:

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:

Однако при данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ. Если а то нет решений;

1 если а        то х а

2.     Решить уравнение: (а 2 -        = а +1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а       тогда уравнение принимает вид       и не имеет решений; 2) а = -1; получаем   и, очевидно, х — любое.

1 З) а # ±1; имеем х —

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится>> в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести его.

Ответ: Если а — —1 , то х - любое; если а = 1, то нет решений; 1

если а ±1, то

З. Решить уравнение  0.

Решение. Как и в предыдущем примере, х а - единственный корень.

Понятно, что условие х # 1 влечет за собой требование а 1 .

Ответ: если а 1, тох = а; если а = 1, то нет решений.

4.Решить уравнение: (х - 1) х — а

Решение: Данное уравнение равносильно системе

Отсюда х = а - корень исходного уравнения при любом а, а х = 1-корень лишь при ад 1.

Ответ: Если а < 1, то х = а или х = 1; если а = 1, то х = 1; если а > 1, то х а.

5.При каких а уравнение ах - х + З имеет единственное решение? Решение: Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку:

считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда а = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же , а 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1-12а принимает значение,

1 равное нулю, при а =

12.

1

Ответ: а = 0 или а

12

Упражнения для самостоятельного решения:


Решите уравнения:

9.

х —4х+3

10.          х—З =а

11.          При каких а уравнение (2а + 8)х0 имеет единственное решение?

12.          Найти все значения параметра а , при которых графики функций у = (а + 5)х [1] —7 и у = (За + 15)х — 4 не имеют общих точек.

S3 .Метод эквивалентных смешанных системосовокупностей.

Наиболее сильным методом решения уравнений с параметром является метод эквивалентных смешанных совокупностей систем уравнений и неравенств. Он заключается в том, что для решения уравнения с  а)=0 выписывают ограничения на параметр а и неизвестное х так, чтобы последующие после этого преобразования данного уравнения были эквивалентными. От данного уравнения переходят к смешанной, то есть состоящей из уравнений и неравенств, совокупности систем. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не выразят неизвестное х как функцию от а,

(Р (а). Подставив (Р (а) в ограничения на х, находят дополнительные ограничения (к уже имеющимся) на параметр а. Выписывают значения х при тех значениях параметра а, которые возможны в конечной эквивалентной смешанной совокупности систем; при других значениях параметра а решений нет.

Пример 13. Решить уравнение               х — 3+ х—7 =а

Решение: х — З + Х

а 4 + 20а 2 +16

+16

ОТВЕТ: а<2,

Пример 14:

Решение:

(2х 2 2ах+1 (1)

(1)    (2х 2 —а 2 ) 2 +8а 2 х 2 = 8а 2 х 2 +4 2ах+1<>

                       (2х 2 + а           (2 2ах+

(2х 2 -ка 2 — 2 2ах—1)(2х 2

2х +а 2 —2 2ах—1 0

2х а + 2 2ах 1

2 2а±2 2

4

                                                        2        

ОТВЕТ: а Е к, х

2

Пример 15:(1)

Решение:        

х— а 20

(х + 2)(х + 2а) 2 0 х(4а + 2) = а 2 — 4а

               + 2.1) О                            

OTBET:  ,xeO.

11pHMep 16: 3 a + x —3                    

, TO 110JłaraeM B (2) f— a+x, g=a-x, rrorAa (l)

2x ž 0

a —x ž 0 4x2 =

ОТВЕТ: а д 0, х

Упражнения для самостоятельного решения:

18.     х —8х 2 +16=8ах+а2

19.     хloga х

S 4. Графический метод.

Одним из важнейших методов решения уравнения с параметром является графический метод, который заключается в следующем.

Пусть требуется решить уравнение с  а)=0 (1) или узнать, сколько корней имеет уравнение (1) в зависимости от а, тогда уравнение (1) разрешается относительно параметра а:

а V (х). При этом следят за эквивалентностью выполняемых преобразований, на координатной плоскости хоа строится график функции или соответствия а= V(x), вместо исследования уравнения (1) исследуется построенный график и по графику <<читают>> ответ, т.е. при фиксированном значении а=ао параметра а множество решений этого уравнения отыскивается как проекция на ось Ох пересечений прямой а=ао с графиком а= V(x). Преимущества этого метода состоят в том, что этот метод решения уравнений с параметром делает решение наглядным, позволяет выбрать нужные, отбросить лишнее сразу, не производя каких-либо преобразований, которые в итоге могут привести к посторонним решениям. Рассмотрим на конкретных примерах применение этого метода решения уравнений с параметром.

1

Пример 20. Сколько корней имеет уравнение

lo

в зависимости от параметра а?

                                                                        1

Решение: Строим график функции а  По рисунку («читаем» ответ.

 

с-

Ответ: ад, ХЕО ;

, 2 корня;

4 1 корень;

З

4

З

Пример 21. Сколько корней имеет уравнение

2х+ах+ х (

Решение: Если х=0, то а может быть любым. Пусть х 0 тогда (1) 1

График этой функции изображен на чертеже.

По графику «читаем>> ответ, учитывая, что для любого значения а один корень х 0 есть.

Ответ:

а < -2, 2 корня; а 2 -2, 1 корень.

Пример 22. х+а+1 + х- а              (1).

Решение: Прямые а х и а -х - 1 разбивают плоскость на 4 части, в каждой из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют определённый знак и, значит, от модулей можно избавится, рассматривая эти 4 случая отдельно:

1.                            (1)Ф х+а+ 1

2.                            х+а+1-х+а=5 а=2,

      4.           -х—а— 1 +х—а=5 Фа = -3.

По графику <<читаем>> ответ.

Ответ: а < -3, х Е О;

Пример 23. Сколько корней имеет уравнение l x + l l + l x + a l (l) ?

Решение: Прямые х = -1, х -2, а = -х разбивают плоскость на 6 частей. Строим график соответствия отдельно в каждой части.

-Q

 

               ос

1.

пт. IV. V.

VI.

Ответ: а < 1, 2 корня; а= 1, 1 корень; 1< а <2, нет корней; а = 2, 1 корень; а > 2, 2 корня.

Пример 24. Сколько решений имеет уравнение 12х — а = х + 2а ?

Решение: Прямая а 2х разбивает плоскость хоа на 2 части, в каждой из которых выражение, стоящее под знаком модуля, сохраняет определенный знак, что позволяет, в свою очередь, избавиться от модуля.

1)  -(2х —      2а

а=-х - 2х.

2)  2х—а=х +2а

х +2х а

З

По графику «читаем>> ответ.

Ответ: а < 0, 2 решения; а = 0, З решения;

0   < а <— , 4 решения;

1

З решения;

З

1    < а   2 решения;

З

1 решение; а > 1, нет решений.

Пример 25. Сколько решений имеет уравнение х — а =х 2 - 4х=2а (1)?

Решение: График соответствия (1) изображен на рисунке

со

 

4

По графику <<читаем» ответ.

16

                                          Ответ: а <         1 решение;

9

16

2 решения;

9

16

 < а < 2, З решения;

9

2 решения; 1 решение.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

26.                  х + а -4- 2      2а — х .

27.                  2•lgx - lg(x —1) lga

28.                  x+3al - x—al = 2а.

29.                  Сколько корней имеет уравнение х +11 + х— 11 - xl = а ?

30.                  Сколько корней имеет уравнение х 2 - 12x—al = 0 ?

31.                  х + 2x—al = 0 .

t5¯

32.При каких значениях а коренъ уравнения х +1 а = 1 заключен между 6

S5. МЕТОД ЗАМЕНЫ НЕИЗВЕСТНОГО И (ИЛИ) ПАРАМЕТРА.

Одним из важных методов решения уравнений с параметром является метод замены неизвестного и (или) параметра. Он заключается в том, что для решения подбирают функцию (Р (х,а), позволяющую ввести новое неизвестное у = (Р (х,а).  выражают через новое неизвестное у, первоначальное уравнение заменяется на равносильную ему систему

              f(y, а) = 0        полученную систему решают удобным для нее способом.

Рассмотрим на конкретном примере этот метод решения уравнений с параметром.

Пример 33: Решить уравнение (х + а) -F(x + 2а) 6 + (х + За) 6 2а6

Решение:

(х +       + (х + 2а) 6 + (х + за) б

2а6

У = х + 2а

Зу б +30а 2 у 4 +30а 4 у 2

—2а

                   5      15)

5+ 15)

Ответ: а Е R, х —2а

Пример 34.

{6

PemeHne:

4

a 4 + 20a 2 +16

4a

OTBeT: a < 2, x e Ø

a + 20a +16 4a

35.

lgx

t = lg x

2t2 —at —a

at

PemeHpłe:      

OTBeT.• a = 0, xeO;

                                                                                   10 2     

                                     2x           6x

Flpmvĺep 36.(1)

2x PemeHHe:         

                                                                         t I      O

2x3 a

loga

                           OTBeT: a e (0;1) IJ (l;+n)•, x

I-IPH mpyrmx a, xe Ø.

caMOCTomeJ1bHOFO pemeHvrn:

37) log 2 x + log 2        1

39) aI + log 3 x                    I—log 3 x

    40) ( x + |     x +2 )2 + ( x +3 — 3a2 + 6a+2

 6. MeT0A ceqeHnü.

YCTaHOBJ1eHV1% qucna pemeH1dü ypaBHeHuM c napaMeTpoM AOBOJ1bHO qacT0 6b1BaeT none3Hb1M TaK HUb1BaeMb1M1 MeTOA ceqeHHü, CYIUHOCTb KOToporo 3aKJuoqaeTcq B cneAY01-ueM.


IlycTb Tpe6yeTcq YCTaHOBHTb HHCJIO pemeHuM1 ypaBHeHH51 c napaMeTpoM f  ypaBHeHHM f(x,a)=0 3KBHBaneHTHOe eMY ypaBHeHvre BHAa p (x)        (x,a) rraKHM 06pa30M, HT06b1 KaK MO)KHO npome CTPOVIJIVICb           y= p (x,a) H             ceMeÜcTBa     y= V (x,a) , manee

CTPOHTC% rpa4)HK Ha TOM xe qepTexe CTPO%T rpa4)HKH ceMeüCTBa y V (x,a) T.e. HCCJ1eAYK)T 110BeneHue y= V (x,a) npu pa3JIHHHb1X 3HaqeHmnx napaMeTpa a, YCTaHaBJIUBaYOT I-IUCJIO pemeHuvi ypaBHeHH% f (x,a)=0 11YTeM YCTaHOBJ1eHH% qucna nepeceqeHuü rpad)HKa y V (x,a) c

pa3JIHLIHb1x 3HaqeHunx a.

pemeHH% ypaBHeHHM c napaMeTpaMH MeTOÅOM ceqeHv•1ü He06XOÅUMO'. YMeTb CTPOHTb rpa4)HKH 3J1eMeHTaPHb1X , CTPOUTb ceMeÜCTBO  HaXOAUTb 3HaqeHV1% flapaMeTpa, KOTOPOM KPHBan ceMeMCTBa npox0AHT qepe3 3aÅaHHY}0

TOLIKY IIJIOCKOCTH

06J1aÅaeT 3amaHHb1M CBOiiCTBOM.

CJ1emyeT 3aMeTHTb, HTO Merron ceqeHMii rrpurvreHRTcn He TOJ1bKO

YCTaHOBJ1eHH% qvrcna pell-lem,lü ypaBHeHH% C flapa1vreTpoM , HO H BO MHOPHX Apyrux cnyqanx, a HMeHHO: YCTaHOBJ1eHH% orpaHnqeHHM Ha naparvfeTp , Bb160pa HY)KHb1X KOPHeü, pemeHH% HepaBeHCTB VI AP.

PaccM0TpHM Ha KOHKpeTHb1X npvnuepax npHMeHeHvme 3Toro MeTOÅa.

Flpmvrep 41.CKOJ1bKO KopHeii HMeeT ypaBHeHue

I—x —a+x = 0

19

Решение: Строим график усемейство графиков у = а - х по рисунку «читаем» ответ.

Ответ: а<-1, х €0;

-1 5 1, 1решение; 1 а < 2, 2 решение; а 2, 1 решение; а> 2, Х ЕО.

Пример 42. Сколько корней имеет уравнение 2х+ ах + х

Решение:             х •(2+а)

Строим график функций у — и графики семейства функций у = (2+а) • х пучка прямых, проходящих через точку(0;0).

Из рис. видно, что если а < - 2, то прямые пересекут график у х в двух точках, то есть при а < - 2 2 корня, если а 2-2, то прямые пересекут график у х в одной точке .

                                                   Ответ: а - 2,            1 решение;

                                                                                  2решения.

Пример 43.Сколько корней имеет уравнение х - 11 ах ?

Решение: Строим график функций у х -1 1 и семейство графиков у ах.По рис. «читаем>> ответ.

Ответ: для любого а 2 решения.

Задачи для самостоятельного решения:

44.Сколько корней имеет уравнение (х +2х+           = 1 ?

45 .При каких значениях а системаимеет только два 4 решения?

46.Решить уравнение х -3x + 2 + З • I х + а 0.

S 7, Метод подбора.

Метод подбора , другими словами, метод прямого указания решений, заключается в следующем. Пусть требуется решить уравнение с

а)=0 (1), тогда исходя из уравнения (1) или эквивалентного ему уравнения подбирают возможные решения

(хп , ап), п=1,2,З,4,       этого уравнения (или возможные значения только неизвестного х, или возможнь1е значения только параметра а); подставляют все возможные решения (хп , ап ) в уравнение (1); доказь1вают, что другие значения неизвестного х и параметра а не являются решениями уравнения (1) (при этом чаще доказывают, что при других значениях х и а левая часть уравнения (1) или больше 0, или меньше 0, либо не существует.

Следует отметить, что этот метод чаще всего проходит в следующих ситуациях: когда уравнение имеет ”громоздкий ” вид, когда в уравнение входят ”разньле ” функции, например, показательная и логарифмическая.

Рассмотрим применение этого метода на конкретных примерах.

1                                                     З

Пример 47: Решить уравнение

                                   1                                                     1

Решение:

2

Ответ: а

З

2

З

Пример 48:  (1)


PemeHHe:           

sin x ž l                             sin x = 1


     Igsinx = x + a               Ig sin x

+ 27tk,k e Z

OTBeT.•

TC

27tk, k e Z

2

a —4 +10g2 x

49:

Igsinx ž 0

Igsinx = x + a

— + 2TCk,k e Z

=x+a

Igsinx = x + a

- 27tk, X — +2 k, ke Z 2

(1)


2

PellłeHHe: TaK Karc

, TO

O

r10Jłaraq f —                                 log2 x, HMeeM:


a —4 +10g2 x


2

log2 x

OTBeT: I a l < 2, x e O,

l a 1 > 2 , x-2

13

Упражнения для самостоятельного решения:

     50.         2        2 2 х— 4 cos х

1

51.                               х —10 + lgx

2

52.                               lg sin х - а 4

ОТВЕТЫ: 17) для любого а х- 3 1 a l.

18) а < 0, х = -2 ±

2

26)

                                            З                                   З                2

28)   


-2а; а0, х ER, 0, х = 0.

29)    а < 1, х Е О; а = 1, 2 корня; 1 < а < 2, 4 корня; а — 2, З корня; а > 2, 2 корня.

45) а

51) а

Использованная литература:

1.  С.Л.Евсюк, ”Математика. Решение задач повышенной трудности” , Минск, 2003г.

2.  Б.К.Галин ”Уравнения и неравенства с параметрами. Основные понятия. Методы решения”, Стерлитамак, 1999г.

З. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир ”Задачи с параметрами”, Москва,2006г.

4. Э.Н.Куценко, Н.Н.Мельников ”Решение уравнений с параметром”, Ташкент, 1982г.



[1]                                                                                                + 10) 2

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическое пособие"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Корреспондент

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Методическое пособие по «Математике», конкретно по разделу « Уравнения с параметрами», посвящено трудным вопросам школьной математики, затронутым в материалах Единого Государственного экзамена и важными для поступления в ВУЗы. С помощью упражнений этого пособия можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики выбранного ВУЗа. Пособие, в которые включены теоретический материал, задачи с решениями и упражнения для дополнительной переработки, может быть использовано для самостоятельного изучения тем.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 839 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 02.07.2015 601
    • PDF 9.6 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Сагитова Лилия Мукатдасовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Сагитова Лилия Мукатдасовна
    Сагитова Лилия Мукатдасовна
    • На сайте: 8 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 2467
    • Всего материалов: 3

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Педагог-библиотекарь

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 458 человек из 66 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Руководство электронной службой архивов, библиотек и информационно-библиотечных центров

Начальник отдела (заведующий отделом) архива

600 ч.

9840 руб. 5900 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Специалист в области охраны труда

72/180 ч.

от 1750 руб. от 1050 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 40 человек из 19 регионов

Мини-курс

Продвижение экспертной деятельности: от личного сайта до личного помощника

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное управление запасами

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное продвижение и организация проектов в сфере искусства

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе