МЕТОДИЧЕСКОЕ
ПОСОБИЕ
для
дополнительных занятий по математике
”Уравнения с параметрами”
Автор:
Сагитова Л.М. - преподаватель математики
Мелеузовского индустриального
колледжа
2015г.
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения
с параметрами, частично входящие в курс школьной математики, составляют один из
важнейших разделов элементарной математики. Изучение уравнений с одним
неизвестным, множество его решений, равносильность уравнений и прочее - все это
только начало изучения и подготовка средств для исследования гораздо более
содержательных объектов - уравнений с параметрами. Важная роль уравнений с
параметрами определяется прежде всего тем, что обычные уравнения с одним
неизвестным лишь частные случаи соответствуюших уравнений с параметром. Кроме
того, уравнения с параметрами сами по себе представляют чрезвычайно
содержательный предмет исследования. К уравнениям с параметрами сводится
многочисленные задачи из физики и других наук.
В
начале каждого параграфа дается краткая характеристика одного из методов
решения уравнений с параметром, далее рассматриваются решения примеров, в конце
каждого параграфа даны задачи для самостоятельного решения и некоторые ответы к
ним.
S 1.0сновные
понятия.
Необходимо помнить следующие определения и
замечания:
Определение 1. Уравнение с одним
неизвестным х и одним параметром а в общем случае записывается в 0 (1), - произвольная
функция.
Определение 2. Решением
уравнения ( 1 ) называется пара (хо,ао), при подстановке которой в уравнении( 1
) получается верное числовое равенство.
Определение З. Решить уравнение (
1 ) - значит найти все его решение или доказать, что решений нет. При этом
ответ записывается так, чтобы для любого а 0 Е R было указано, какие значения
неизвестного х в паре с ао дают решения уравнения ( 1 ).
Определение 4. Уравнение д(х,а)=() (2) называется
следствием уравнения
Лх,а) = 0 (1), если все решение уравнений (1) являются
решениями уравнения
Определение 5.
Уравнения (1) и д(х,а)=0 (2) называются эквивалентными на множестве М R х R,
если они имеют на этом множестве одни и те же решения. Это обозначается так:
(1) (2) ; если , то так:
Определение
6. Пусть даны уравненияЛх,а)=0 (1) и д(х,а)=0 (2) и Ml,M2 множество всех
решений уравнений (1) и (2) соответственно, тогда: решить систему (конъюнкцию)
уравнений (1) и (2) - это значит найти
пересечение множеств М 1 и М 2 , обозначается система
так:
д(х, а) = 0
Решить совокупность (дизъюнкцию) уравнений (1) и (2) -
это значит найти f(x, а) = 0 объединение множеств М1 и М 2 , обозначается
совокупность так:
д(х, а) = 0
илиЛх,а)=0 v д(х,а)=0.
Определение 7.Пусть даны уравненияЛх,а)=0 (1), д(х,а)=0
(2) и h(x,a)=O (З); М 1 и мз - множество их решений соответственно, тогда:
(1)
Решить системосовокупность, например вида(2) - это
значит найти
(3) множество
(М 2 lJM3 )ПМ1.
2
Решить системосовокупность,
например вида (2) - это значит найти
следующее множество(М2 ПМ з )
Определение 8. Системосовокупность называется
смешанной, если в нее входят как уравнения, так и неравенства.
Определение 9. Две смешанные системосовокупности
называются эквивалентными на множестве М, если на этом множестве они имеют одни
и те же решения.
Все эти определения станут яснее в дальнейшем.
Замечание 1.
Решение уравнений дано в лаконичной форме, очевидные
элементарные преобразования опущены. При разборе решения задач рекомендую их
восстановить.
Замечание 2.
При решении уравнений встречающиеся графики, как
правило, не строятся, а считается заданными, потому что построение графиков
здесь - не цель, а вспомогательное средство для решения уравнений.
Замечание З.
Иногда дается решение одного и того же уравнения
различными методами, это сделано с целью сравнения.
р ЗНАКОМСТВО
С ПАРАМЕТРОМ.
Необходимо
усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет
как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет
<<общаться» с параметром как с числом, а во-вторых — степень свободы
общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение,
содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений
требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований
влияют и на решение, и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при
первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если
хотите деликатного общения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по
нашему мнению, во многом будут способствовать примеры настоящей главы.
Необходимость аккуратного обращения
с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает
задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа,
решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.
1. Решить
уравнение:
Решение. На первый взгляд представляется возможным
сразу дать ответ:
Однако при данное уравнение решений не имеет, и верный
ответ выглядит так:
Ответ. Если а то нет решений;
1
если а то х а
2. Решить
уравнение: (а 2 - = а +1.
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого
уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:
1) а тогда уравнение принимает вид и не
имеет решений; 2) а = -1; получаем и, очевидно, х — любое.
1 З) а # ±1;
имеем х —
Сделаем
одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись
ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы
«ветвится>> в зависимости от значений параметра. В подобных случаях
составление ответа — сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не
забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере
запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю
целесообразным привести его.
Ответ: Если а — —1 , то х -
любое; если а = 1, то нет решений; 1
если а ±1, то
З. Решить уравнение 0.
Решение. Как и в предыдущем примере, х а -
единственный корень.
Понятно, что условие х # 1 влечет за собой требование
а 1 .
Ответ: если а 1, тох = а; если а
= 1, то нет решений.
4.Решить уравнение: (х - 1) х — а
Решение: Данное уравнение равносильно системе
Отсюда х = а - корень исходного уравнения при любом а,
а х = 1-корень лишь при ад 1.
Ответ: Если а < 1, то х = а
или х = 1; если а = 1, то х = 1; если а > 1, то х а.
5.При каких а уравнение ах - х + З имеет единственное
решение? Решение: Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку:
считать исходное уравнение квадратным. На самом деле
это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно
начать решение, рассмотрев случай, когда а = 0, то очевидно данное уравнение
имеет единственное решение. Если же , а 0, то имеем дело с квадратным
уравнением. Его дискриминант 1-12а принимает значение,
1 равное нулю, при а =
12.
1
Ответ: а = 0 или а
12
Упражнения для самостоятельного решения:
Решите уравнения:
9.
х —4х+3
10.
х—З =а
11.
При каких а уравнение (2а + 8)х0 имеет единственное решение?
12.
Найти все значения параметра а , при которых графики функций у = (а +
5)х [1]
—7 и у = (За + 15)х — 4 не имеют общих точек.
S3 .Метод эквивалентных
смешанных системосовокупностей.
Наиболее
сильным методом решения уравнений с параметром является метод эквивалентных
смешанных совокупностей систем уравнений и неравенств. Он заключается в том,
что для решения уравнения с а)=0 выписывают ограничения на параметр а и
неизвестное х так, чтобы последующие после этого преобразования данного
уравнения были эквивалентными. От данного уравнения переходят к смешанной, то
есть состоящей из уравнений и неравенств, совокупности систем. Этот процесс
продолжают до тех пор, пока не выразят неизвестное х как функцию от а,
(Р (а). Подставив (Р (а) в ограничения на х,
находят дополнительные ограничения (к уже имеющимся) на параметр а. Выписывают
значения х при тех значениях параметра а, которые возможны в конечной
эквивалентной смешанной совокупности систем; при других значениях параметра а
решений нет.
Пример 13. Решить уравнение х
— 3+ х—7 =а
Решение: х — З + Х
а 4
+ 20а 2 +16
+164а
ОТВЕТ: а<2,
Пример
14:
Решение:
|
(2х 2 2ах+1 (1)
(1) (2х 2 —а
2 ) 2 +8а 2 х 2 = 8а 2 х
2 +4 2ах+1<>
|
(2х 2 +
а (2 2ах+
(2х 2 -ка 2 — 2 2ах—1)(2х 2
2х +а 2 —2
2ах—1 0
2х а + 2 2ах
1
2 2а±2 2
4
2
ОТВЕТ: а Е к, х
2
Пример 15:(1)
Решение:
х— а 20
(х + 2)(х +
2а) 2 0 х(4а + 2) = а 2 — 4а
+ 2.1) О
OTBET: ,xeO.
11pHMep 16: 3 a + x —3
, TO 110JłaraeM B (2) f— a+x, g=a-x, rrorAa (l)
2x ž 0
a —x ž 0 4x2
=
ОТВЕТ: а д 0, х
Упражнения для самостоятельного решения:
18.
х —8х 2 +16=8ах+а2
19.
хloga х
S 4.
Графический метод.
Одним из важнейших методов решения уравнения с
параметром является графический метод, который заключается в следующем.
Пусть требуется решить уравнение с а)=0 (1) или
узнать, сколько корней имеет уравнение (1) в зависимости от а, тогда уравнение
(1) разрешается относительно параметра а:
а V
(х). При этом следят за эквивалентностью выполняемых преобразований, на
координатной плоскости хоа строится график функции или соответствия а= V(x),
вместо исследования уравнения (1) исследуется построенный график и по графику
<<читают>> ответ, т.е. при фиксированном значении а=ао параметра а
множество решений этого уравнения отыскивается как проекция на ось Ох
пересечений прямой а=ао с графиком а= V(x). Преимущества этого метода состоят в
том, что этот метод решения уравнений с параметром делает решение наглядным,
позволяет выбрать нужные, отбросить лишнее сразу, не производя каких-либо
преобразований, которые в итоге могут привести к посторонним решениям.
Рассмотрим на конкретных примерах применение этого метода решения уравнений с
параметром.
1
Пример 20. Сколько корней имеет уравнение
lo
в зависимости от параметра а?
1
Решение: Строим график функции а По рисунку
(«читаем» ответ.
|
|
|
с-
|
Ответ: ад, ХЕО ;
, 2 корня;
4 1 корень;
З
4
З
Пример 21. Сколько корней имеет уравнение
2х+ах+ х (
Решение: Если х=0, то а может
быть любым. Пусть х 0 тогда (1) 1
График этой функции изображен на чертеже.
По графику «читаем>> ответ, учитывая, что для
любого значения а один корень х 0 есть.
Ответ:
а < -2, 2 корня; а 2 -2, 1 корень.
Пример 22. х+а+1 + х- а (1).
Решение:
Прямые а х и а -х - 1 разбивают плоскость на 4 части, в каждой из которых
выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют определённый знак и, значит, от
модулей можно избавится, рассматривая эти 4 случая отдельно:
1.
(1)Ф х+а+ 1
2.
х+а+1-х+а=5 а=2,
4. -х—а— 1 +х—а=5 Фа
= -3.
По графику <<читаем>> ответ.
Ответ: а < -3, х Е О;
Пример 23. Сколько корней имеет
уравнение l x + l l + l x + a l (l) ?
Решение: Прямые х = -1, х -2, а = -х разбивают
плоскость на 6 частей. Строим график соответствия отдельно в каждой части.
1.
пт. IV.
V.
VI.
Ответ: а < 1, 2 корня; а= 1, 1
корень; 1< а <2, нет корней; а = 2, 1 корень; а > 2, 2 корня.
Пример 24. Сколько решений имеет уравнение 12х — а =
х + 2а ?
Решение: Прямая а 2х разбивает
плоскость хоа на 2 части, в каждой из которых выражение, стоящее под знаком
модуля, сохраняет определенный знак, что позволяет, в свою очередь, избавиться
от модуля.
1) -(2х — 2а
а=-х - 2х.
2) 2х—а=х +2а
— х +2х а
З
По графику «читаем>> ответ.
Ответ: а < 0, 2 решения; а =
0, З решения;
0
< а <— , 4 решения;
1
З решения;
З
1 < а 2 решения;
З
1 решение; а > 1, нет решений.
Пример 25. Сколько решений
имеет уравнение х — а =х 2 - 4х=2а (1)?
Решение: График соответствия (1) изображен на рисунке
4
По графику <<читаем» ответ.
16
Ответ:
а < 1 решение;
9
16
2 решения;
9
16
< а < 2, З решения;
9
2 решения; 1 решение.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
26.
х + а -4- 2 2а
— х .
27.
2•lgx - lg(x —1)
lga
28.
x+3al - x—al = 2а.
29.
Сколько корней имеет уравнение х +11 + х— 11 - xl = а ?
30.
Сколько корней имеет уравнение х 2 - 12x—al = 0 ?
31.
х + 2x—al = 0 .
t5¯
32.При
каких значениях а коренъ уравнения х +1 а = 1 заключен между 6
S5. МЕТОД
ЗАМЕНЫ НЕИЗВЕСТНОГО И (ИЛИ) ПАРАМЕТРА.
Одним из важных
методов решения уравнений с параметром является метод замены неизвестного и
(или) параметра. Он заключается в том, что для решения подбирают функцию (Р
(х,а), позволяющую ввести новое неизвестное у = (Р (х,а). выражают через
новое неизвестное у, первоначальное уравнение заменяется на равносильную ему
систему
f(y,
а) = 0 полученную систему решают удобным для нее способом.
Рассмотрим на
конкретном примере этот метод решения уравнений с параметром.
Пример 33: Решить
уравнение (х + а) -F(x + 2а) 6 + (х + За) 6 2а6
Решение:
(х + + (х + 2а)
6 + (х + за) б
2а6
У = х + 2а
Зу б +30а
2 у 4 +30а 4 у 2
—2а
5 15)
5+ 15)
Ответ: а Е R, х
—2а
Пример 34.
{6
PemeHne:
4
a 4 + 20a 2 +16
4a
OTBeT: a <
2, x e Ø
a + 20a
+16 4a
35.
lgx
t = lg x
2t2 —at
—a
|
at
|
PemeHpłe:
OTBeT.• a =
0, xeO;
10 2
2x 6x
Flpmvĺep 36.(1)
2x
PemeHHe:
t
I O
2x3 a
loga
OTBeT: a e (0;1) IJ (l;+n)•, x
I-IPH mpyrmx
a, xe Ø.
caMOCTomeJ1bHOFO
pemeHvrn:
37) log 2 x + log 2 1
39) aI + log 3 x I—log
3 x
40) ( x + | x +2 )2 +
( x +3 — 3a2 + 6a+2
6. MeT0A ceqeHnü.
YCTaHOBJ1eHV1% qucna pemeH1dü
ypaBHeHuM c napaMeTpoM AOBOJ1bHO qacT0 6b1BaeT none3Hb1M TaK HUb1BaeMb1M1 MeTOA
ceqeHHü, CYIUHOCTb KOToporo 3aKJuoqaeTcq B cneAY01-ueM.
IlycTb Tpe6yeTcq YCTaHOBHTb
HHCJIO pemeHuM1 ypaBHeHH51 c napaMeTpoM f ypaBHeHHM f(x,a)=0 3KBHBaneHTHOe eMY ypaBHeHvre BHAa p (x) (x,a) rraKHM
06pa30M, HT06b1 KaK MO)KHO npome CTPOVIJIVICb y= p (x,a) H ceMeÜcTBa
y= V (x,a) , manee
CTPOHTC% rpa4)HK Ha TOM xe qepTexe
CTPO%T rpa4)HKH ceMeüCTBa y V (x,a) T.e. HCCJ1eAYK)T 110BeneHue y= V (x,a) npu
pa3JIHHHb1X 3HaqeHmnx napaMeTpa a, YCTaHaBJIUBaYOT I-IUCJIO pemeHuvi
ypaBHeHH% f (x,a)=0 11YTeM YCTaHOBJ1eHH% qucna nepeceqeHuü rpad)HKa y V (x,a) c
pa3JIHLIHb1x
3HaqeHunx a.
pemeHH% ypaBHeHHM c napaMeTpaMH
MeTOÅOM ceqeHv•1ü He06XOÅUMO'. YMeTb CTPOHTb rpa4)HKH 3J1eMeHTaPHb1X , CTPOUTb
ceMeÜCTBO HaXOAUTb
3HaqeHV1% flapaMeTpa, KOTOPOM KPHBan ceMeMCTBa npox0AHT qepe3 3aÅaHHY}0
TOLIKY IIJIOCKOCTH
06J1aÅaeT 3amaHHb1M CBOiiCTBOM.
CJ1emyeT 3aMeTHTb, HTO Merron
ceqeHMii rrpurvreHRTcn He TOJ1bKO
YCTaHOBJ1eHH% qvrcna pell-lem,lü
ypaBHeHH% C flapa1vreTpoM , HO H BO MHOPHX Apyrux cnyqanx, a HMeHHO:
YCTaHOBJ1eHH% orpaHnqeHHM Ha naparvfeTp , Bb160pa HY)KHb1X KOPHeü, pemeHH%
HepaBeHCTB VI AP.
PaccM0TpHM Ha
KOHKpeTHb1X npvnuepax npHMeHeHvme 3Toro MeTOÅa.
Flpmvrep
41.CKOJ1bKO KopHeii HMeeT ypaBHeHue
I—x —a+x = 0
19
Решение: Строим график усемейство
графиков у = а - х по рисунку «читаем» ответ.
Ответ: а<-1, х €0;
-1 5 1, 1решение; 1 а < 2, 2
решение; а
2, 1 решение; а> 2, Х ЕО.
Пример 42. Сколько корней
имеет уравнение 2х+ ах + х
Решение: х
•(2+а)
Строим график функций у — и графики семейства функций у =
(2+а) • х пучка прямых, проходящих через точку(0;0).
Из рис. видно, что если а < - 2, то прямые пересекут
график у х в двух точках, то есть при а < - 2 2 корня, если а 2-2, то прямые
пересекут график у х в одной точке .
Ответ:
а - 2, 1 решение;
2решения.
Пример 43.Сколько корней имеет уравнение х - 11 ах ?
Решение: Строим график функций у х -1 1 и семейство
графиков у ах.По рис. «читаем>> ответ.
Ответ: для любого а 2
решения.
Задачи для самостоятельного решения:
44.Сколько корней имеет
уравнение (х +2х+ = 1 ?
45 .При каких
значениях а системаимеет только два 4 решения?
46.Решить
уравнение х -3x + 2 + З • I х + а 0.
S 7, Метод
подбора.
Метод
подбора , другими словами, метод прямого указания решений, заключается в
следующем. Пусть требуется решить уравнение с
а)=0
(1), тогда исходя из уравнения (1) или эквивалентного ему уравнения подбирают
возможные решения
(хп ,
ап), п=1,2,З,4, этого уравнения (или возможные значения только
неизвестного х, или возможнь1е значения только параметра а); подставляют все
возможные решения (хп , ап ) в уравнение (1); доказь1вают, что другие значения
неизвестного х и параметра а не являются решениями уравнения (1) (при этом чаще
доказывают, что при других значениях х и а левая часть уравнения (1) или больше
0, или меньше 0, либо не существует.
Следует
отметить, что этот метод чаще всего проходит в следующих ситуациях: когда
уравнение имеет ”громоздкий ” вид, когда в уравнение входят ”разньле ” функции,
например, показательная и логарифмическая.
Рассмотрим
применение этого метода на конкретных примерах.
1
З
Пример
47: Решить уравнение
1 1
Решение:
2
Ответ:
а
З
2
З
Пример
48: (1)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.