963545
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие "Давайте изучать логарифмы вместе?"

Методическое пособие "Давайте изучать логарифмы вместе?"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_60114600.gifhello_html_m5c618d01.gifhello_html_m5ef115b2.gifАвтономное учреждение профессионального образованияhello_html_m6ed69ef9.jpg

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

 «СУРГУТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

 










Методическое пособие

Давайте изучать логарифмы вместе?

1 часть.

Понятие логарифма.

Основное логарифмическое тождество

I:\СТУДАКТИВ\ДНЕВНИК PRO;Active\иллюстрации\10347602-абстрактные-цветочные-дерево,-символ-природы.jpg







«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь»

П.С.Лаплас










Сургут, 2015



МАТЕМАТИКА. Давайте изучать логарифмы вместе?

©Сургутский политехнический колледж, 2015.






Составитель:

А.С.Аксенова, преподаватель математики



Методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приведен пример изучения логарифмов от появления этого понятия до разбора различных логарифмических выражений с подробным изучением основных формул.





Рассмотрена на заседании методического объединения «Математика, физика и информатика». Протокол № от


Рекомендовано к печати Методическим советом Сургутского политехнического колледжа.

Протокол № ___ от ______ 2015 года















Введение

Методическое пособие по теме: «Давайте изучать логарифмы вместе» предназначено для преподавателей и студентов. Данное методическое пособие поможет студентам при изучении логарифмов. В пособии приводятся определение логарифма, свойства, основные формулы, а также примеры решения логарифмов, логарифмических выражений. Конечно, методическое пособие не может заменить учебник, поэтому перед выполнением задания нужно прочитать соответствующие разделы учебника. Краткость изложения теории в данном пособии компенсируется разбором большего числа примеров различной степени трудности.

Работая с данным пособием, студенты будут четко знать основные способы решения логарифмов и логарифмических выражений, уметь быстро определять нужную формулу.

Данное методическое пособие могут использовать в своей работе и преподаватели с целью:

  • систематизации, закрепления и углубления полученных теоретических и практических знаний, умений;

  • формирования умений применять теоретические знания;

  • развития самостоятельности и организованности студентов;

  • подготовки к итоговой государственной аттестации.





Условные обозначения, используемые в тексте:

- подборка заданий легкого уровня.

◊◊ - подборка заданий среднего уровня.

◊◊◊ - подборка заданий сложного уровня.

* - рекомендации от автора.











Содержание

Глава I. Откуда взялся log?.................................................................

Глава II. Основное логарифмическое тождество………………….

Глава III. Разбор заданий по теме «Понятие логарифма»

Глава IV. Дифференцированный набор заданий для систематизации знаний по теме «Понятие логарифма»…………..

Глава V. Разбор заданий по теме «Основное тригонометрическое тождество»…………………………………………………….……...

Глава VI. Дифференцированный набор заданий для систематизации знаний по теме «Основное тригонометрическое тождество»……………………………………………………………






























Глава I

Откуда взялся log?


Мы изучили показательные уравнения.

Давайте повторим, решив одно из них.

hello_html_m1fc58d7e.gif= 32. (1)

Запишем данное уравнение так:

hello_html_m1fc58d7e.gif=hello_html_2b0f1414.gif, откуда х = 5.

Напомним, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 2.

А теперь, попробуем решить еще одно показательное уравнение.

hello_html_m1fc58d7e.gif= 30. (2)

Теперь, тех знаний с точки зрения решения показательных уравнений, недостаточно.

Есть ли корень у этого показательного уравнения?

Да, есть. Как его найти, если уравнение не решается привычным способом?

И теперь, мы введем понятие «логарифм», которое поможет нам решить данное уравнение.

Важно запомнить!

Логарифм (от греч. λόγος – «слово», «отношение», άριθμός - «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число.

Для начала, представим наши показательные уравнения в виде стандартной формы (т.е. заменим числа с правой и левой стороны на а и b), напишем:

hello_html_7bb64fbe.gif= b.

Важно запомнить!

Корень х уравнения hello_html_7bb64fbe.gif= b будем находить так:

х =hello_html_m758cd95d.gifb, где аhello_html_m7c48e444.gif0, аhello_html_m2bc03806.gif1, bhello_html_m7c48e444.gif0.

Соотнесем теперь определение логарифма с (1) показательным уравнением:

hello_html_m1fc58d7e.gif= 32 х =hello_html_m6dbe5e18.gif32

х = 5, так как hello_html_2b0f1414.gif= 32

Значит, hello_html_m6dbe5e18.gif32 = 5, так как hello_html_2b0f1414.gif= 32.

Мы решили показательное уравнение с помощью применение логарифма.

Теперь, представим (2) показательное уравнение в виде логарифма и попробуем решить его:

hello_html_m1fc58d7e.gif= 30 х =hello_html_m6dbe5e18.gif30.

х =hello_html_m6dbe5e18.gif30 – это и есть корень уравнения hello_html_m1fc58d7e.gif= 30. На инженерном калькуляторе это будет приблизительно.

Так откуда же взялся логарифм? А он взялся из-за потребности решить показательное уравнение, которое не решается привычным способом.



*Для тех, кто хочет знать больше


























Глава II

Основное логарифмическое тождество




Итак, мы узнали, что х =hello_html_m758cd95d.gifb – это корень показательного уравнения hello_html_7bb64fbe.gif= b, где аhello_html_m7c48e444.gif0, аhello_html_m2bc03806.gif1, bhello_html_m7c48e444.gif0.

В уравнение hello_html_7bb64fbe.gif= b вместо х подставим определение логарифма

х =hello_html_m758cd95d.gifb, получим:

hello_html_m2a498c51.gif= b.

Это равенство справедливо при аhello_html_m7c48e444.gif0, аhello_html_m2bc03806.gif1, bhello_html_m7c48e444.gif0.


Важно запомнить!

hello_html_m2a498c51.gif= b

основное логарифмическое тождество


С помощью основного логарифмического тождества можно представить любое показательное уравнение.

Возьмем уже знакомое нами показательное уравнение:

hello_html_m1fc58d7e.gif= 30

Мы решили его, зная определение логарифма

х =hello_html_m6dbe5e18.gif30.

Теперь, соотносим буквенные значения тождества с числами уравнения и получаем:

hello_html_2699200.gif= 30.

Мы рассмотрели основное логарифмическое тождество, которое состоит из стандартного вида показательного уравнения и основного определения логарифма.















Глава III

Разбор заданий по теме «Понятие логарифма»





Пример 1. Вычислить: hello_html_m57bc91d0.gif64

Решение примера:

*Можно задать себе вопрос: «4 в какую степень нужно возвести, чтобы получилось 64»?

hello_html_m57bc91d0.gif64 = 3, так как hello_html_37126e38.gif = 64.


◊◊ Пример 2.1. Вычислить: hello_html_2549772.gif2

Решение примера:

*Когда возникает затруднение сразу понять в какую степень нужно возвести 32, чтобы получить 2, необходимо обратиться к определению логарифма и применить стандартную форму показательного уравнения:

hello_html_256655c2.gif= 2.

Представим в виде степени с одним и тем же основанием 2:

hello_html_46d14b66.gif= hello_html_4c2bd5c5.gif .

Получаем, 5х = 1, х = hello_html_3b7b3c70.gif .

Следовательно, hello_html_2549772.gif2 = hello_html_3b7b3c70.gif .


◊◊ Пример 2.2. Вычислить: hello_html_46fab938.gif1024

Решение примера:

*Когда возникает затруднение сразу понять в какую степень нужно возвести hello_html_6eec8aff.gif, чтобы получить 1024, необходимо обратиться не только к определению логарифма и применить стандартную форму показательного уравнения, но и к свойству обыкновенной дроби, возведенную в степень:

Свойство дроби:

hello_html_m5d430c01.gif= hello_html_7baa171e.gif

hello_html_m79b91f72.gif= 1024.

Представим в виде степени с одним и тем же основанием 2:

hello_html_m17dff8fa.gif= hello_html_m5da0c93a.gif

-х = 10

х = -10.

Следовательно, hello_html_46fab938.gif1024 = -10.


◊◊◊ Пример 3. Вычислить: hello_html_m5cd28eb2.gif

Решение примера:

*Когда возникает затруднение сразу понять в какую степень нужно возвести hello_html_7f8f9891.gif, чтобы получить hello_html_3d111911.gif, необходимо обратиться не только к определению логарифма и применить стандартную форму показательного уравнения, но и обратиться к свойству арифметического квадратного корня и свойству обыкновенной дроби, возведенную в степень:

Итак,

hello_html_m5cd28eb2.gifпредставляем в виде показательного уравнения

hello_html_m179bbd3d.gif= hello_html_3d111911.gif, решая как обычное показательное уравнение.

Представим в виде степени с одним и тем же основанием 3.

Свойства арифметического корня:

hello_html_3ca722f8.gif= hello_html_m7e657dc0.gif

hello_html_m179bbd3d.gif= hello_html_faf65ae.gif, hello_html_3d111911.gif = hello_html_m3cf96c81.gif = hello_html_m3ce2819.gif = hello_html_m6d27ff05.gif

В итоге, записываем:

hello_html_m21430198.gif= hello_html_m6d27ff05.gif

-1х = hello_html_m4d2614a7.gif

х = hello_html_m660c2a5d.gif .

Следовательно, hello_html_m5cd28eb2.gif = hello_html_m660c2a5d.gif .



















Глава IV

Дифференцированный набор заданий

для систематизации знаний

по теме «Понятие логарифма»







1 вариант

Вычислить:

  1. hello_html_m6dbe5e18.gif16

  2. hello_html_m6dbe5e18.gif2

  3. hello_html_3ce512f6.gif27

  4. hello_html_3ce512f6.gif1

  5. hello_html_m4776afb1.gif25

  6. hello_html_m26d42b32.gif1

  7. hello_html_31c8abc8.gif121

  8. hello_html_m34af9fe7.gif4096

  9. hello_html_1bba62.gif729

  10. hello_html_7c3c9b2d.gif36


2 вариант

Вычислить:

  1. hello_html_m6dbe5e18.gif128

  2. hello_html_m6dbe5e18.gif1

  3. hello_html_3ce512f6.gif9

  4. hello_html_3ce512f6.gif3

  5. hello_html_m4776afb1.gif625

  6. hello_html_m26d42b32.gif15

  7. hello_html_31c8abc8.gif1

  8. hello_html_m34af9fe7.gif512

  9. hello_html_1bba62.gif729

  10. hello_html_m4888beaa.gif49


3 вариант

Вычислить:

  1. hello_html_m6dbe5e18.gif64

  2. hello_html_m6dbe5e18.gif4

  3. hello_html_3ce512f6.gif81

  4. hello_html_3ce512f6.gif243

  5. hello_html_7c3c9b2d.gif216

  6. hello_html_m57bc91d0.gif16

  7. hello_html_m4888beaa.gif7

  8. hello_html_m34af9fe7.gif64

  9. hello_html_1bba62.gif81

  10. hello_html_m4776afb1.gif25




1 вариант

◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m291d42cd.gif

  2. hello_html_788f2ba.gif

  3. hello_html_m6c02a83c.gif

  4. hello_html_m565c9d99.gif

  5. hello_html_2549772.gif2

  6. hello_html_470522a2.gif27

  7. hello_html_m635126b.gif

  8. hello_html_m4ae014ae.gif0,125

  9. hello_html_m26d42b32.gif225

  10. hello_html_14c74d89.gif1

2 вариант

◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m4ce8a4dd.gif

  2. hello_html_4bc3eb9d.gif

  3. hello_html_1b33e4c6.gif

  4. hello_html_m2f0ad973.gif

  5. hello_html_3bb079b8.gif2

  6. hello_html_470522a2.gif9

  7. hello_html_577f5774.gif

  8. hello_html_5864b786.gif0,5

  9. hello_html_mbbd69a.gif

  10. hello_html_m1b5c485f.gif

3 вариант

◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_1b33e4c6.gif

  2. hello_html_bf2393c.gif

  3. hello_html_4e6778e5.gif

  4. hello_html_271e65a3.gif

  5. hello_html_2549772.gif2

  6. hello_html_m6f251d02.gif81

  7. hello_html_m5259ecea.gif

  8. hello_html_5864b786.gif32

  9. hello_html_m4c71bdac.gif

  10. hello_html_20ec373d.gif0,1





1 вариант

◊◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_60fe2b3e.gif

  2. hello_html_69c8dad1.gif

  3. hello_html_65271223.gif

  4. hello_html_4e29233b.gif

  5. hello_html_28242b71.gif15hello_html_m2ecf8de.gif

  6. hello_html_m4759aa47.gif81hello_html_5909bbae.gif

  7. hello_html_m54194be.gif

  8. hello_html_m23eb37de.gif49

  9. hello_html_7277cacf.gif

  10. hello_html_1e8cdb09.gif


2 вариант

◊◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_6608ff71.gif

  2. hello_html_59c40173.gif

  3. hello_html_m7f00780b.gif

  4. hello_html_5282769.gif

  5. hello_html_m60d010ce.gif

  6. hello_html_m4759aa47.gif9hello_html_5909bbae.gif

  7. hello_html_m888c41c.gif

  8. hello_html_m58012b3b.gif

  9. hello_html_36d8577a.gif

  10. hello_html_m51203ced.gif


3 вариант

◊◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_6be557ef.gif

  2. hello_html_m1750ba89.gif

  3. hello_html_6e3c6ef2.gif

  4. hello_html_609d6064.gif

  5. hello_html_28242b71.gif15hello_html_m356a5205.gif

  6. hello_html_m4759aa47.gif81hello_html_5142593e.gif

  7. hello_html_1756396d.gif

  8. hello_html_24009ebc.gif

  9. hello_html_704aca85.gif

  10. hello_html_1e8cdb09.gif
























Глава V

Разбор заданий и дифференцированный набор заданий для систематизации знаний по теме «Основное тригонометрическое тождество»









Пример 1. Вычислить: hello_html_m7e4f981f.gif

Решение примера:

*Зная основное логарифмическое тождество, нетрудно соотнести переменные и числа, получив ответ.

hello_html_m2a498c51.gif= b hello_html_m7e4f981f.gif = 5


◊◊ Пример 2. Вычислить: hello_html_m87377af.gif

Решение примера:

*В данном случае сразу воспользоваться основным логарифмическим тождеством hello_html_m2a498c51.gif= b нельзя, так как а не равно а, 49 не равно 7. Значит, необходимо привести к числу 7 выражение:

hello_html_m87377af.gif= hello_html_193e37cc.gif.

В выражении hello_html_14f7c737.gif степень 2 перемещаем в конец выражения, возводя его в степень, используя свойства степени:

hello_html_4f9c2afa.gif= hello_html_447a7cfe.gif = 25.

hello_html_4708c734.gif



hello_html_m4ab156bb.gif




◊◊◊ Пример 3.1. Вычислить: hello_html_c269a7e.gif

Решение примера:

*Так как основание логарифма равно hello_html_7f8f9891.gif , значит преобразуем число 27 в hello_html_7f8f9891.gif , используя свойства степеней: 27 = hello_html_m35c38660.gif.

Запишем, учитывая определение основного тригонометрического тождества, свойства степеней:

hello_html_m33253e6.gif= hello_html_687135ec.gif = hello_html_b96139d.gif = hello_html_2cdc7c67.gif.

Так как степень оказалась большой, ответ можно оставить в таком виде.


◊◊◊ Пример 3.2. Вычислить: hello_html_71df1a9a.gif

Решение примера:

*Так как знак «+» «мешает» применить основное логарифмическое тождество, то необходимо вспомнить свойство степеней;

hello_html_6582d23c.gif= hello_html_4f764050.gif * hello_html_m1f071dd4.gif

hello_html_5650d852.gif= hello_html_4f764050.gif : hello_html_m1f071dd4.gif



Применим свойства, получаем:

hello_html_2d0e0217.gif= hello_html_42b18ad1.gif *hello_html_3c336f41.gif = hello_html_3c3a9193.gif = hello_html_m6cddeccd.gif .































Глава VI

Дифференцированный набор заданий

для систематизации знаний по теме «Основное тригонометрическое тождество»








1 вариант

Вычислить:

  1. hello_html_m7e4f981f.gif

  2. hello_html_6cdc4444.gif

  3. hello_html_m76f31b7e.gif

  4. hello_html_m3891659.gif

  5. hello_html_m32b27d08.gif

2 вариант

Вычислить:

  1. hello_html_4c0d2af4.gif

  2. hello_html_7463c9a9.gif

  3. hello_html_m768d26f3.gif

  4. hello_html_m27534dfe.gif

  5. hello_html_mcc269ae.gif

3 вариант

Вычислить:

  1. hello_html_m1134957b.gif

  2. hello_html_3ef87148.gif

  3. hello_html_aba2370.gif

  4. hello_html_m3891659.gif

  5. hello_html_21b7bb3e.gif


1 вариант

◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m13389786.gif

  2. hello_html_422c0bce.gif

  3. hello_html_m2c24ab78.gif

  4. hello_html_2e375d42.gif

  5. hello_html_15147e03.gif

  6. hello_html_m75761658.gif

  7. hello_html_4f7eefb0.gif

  8. hello_html_42f8cfaf.gif

  9. hello_html_m13eadbe7.gif

  10. hello_html_m687ab18a.gif

2 вариант

◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m3d3cf509.gif

  2. hello_html_37836254.gif

  3. hello_html_m42966acb.gif

  4. hello_html_452bc4d4.gif

  5. hello_html_m3abb7b7b.gif

  6. hello_html_5456bdcb.gif

  7. hello_html_m34ed52f7.gif

  8. hello_html_m7a3aa113.gif

  9. hello_html_m2019c4ee.gif

  10. hello_html_960b4d6.gif

3 вариант

◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m184b8108.gif

  2. hello_html_m65f832e7.gif

  3. hello_html_m70c63c1f.gif

  4. hello_html_m55a4e005.gif

  5. hello_html_7a6a8b2a.gif

  6. hello_html_45a0823e.gif

  7. hello_html_m36860b82.gif

  8. hello_html_72d3c277.gif

  9. hello_html_687966a0.gif

  10. hello_html_m5c21e562.gif


1 вариант

◊◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m45dcade4.gif

  2. hello_html_m113d71d2.gif

  3. hello_html_m5cea0310.gif

  4. hello_html_m42df9085.gif

  5. hello_html_487d0719.gif

2 вариант

◊◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m113d71d2.gif

  2. hello_html_m113d71d2.gif

  3. hello_html_m5e516145.gif

  4. hello_html_e25b93e.gif

  5. hello_html_487d0719.gif

3 вариант

◊◊◊ Вычислить:

  1. hello_html_m7cc7441f.gif

  2. hello_html_m113d71d2.gif

  3. hello_html_m50d72528.gif

  4. hello_html_fe69ae7.gif

  5. hello_html_487d0719.gif


Общая информация

Номер материала: ДВ-465113

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.